Основы компьютерного моделирования (Модели математической статистики): Конспект лекций

1

Ðîññèéñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò íåôòè è ãàçà èì. È.Ì. Ãóáêèíà Ñåðèÿ Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà â èíæåíåðíîì äåëå

Â.Þ. Èòêèí, Â.Â. Ðûêîâ ÎÑÍÎÂÛ ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÎÃÎ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß (Ìîäåëè ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè)

Êîíñïåêò ëåêöèé äëÿ ñòóäåíòîâ èíæåíåðíûõ ñïåöèàëüíîñòåé ÐÃÓ íåôòè è ãàçà èì. È.Ì. Ãóáêèíà ïîä ðåäàêöèåé ïðîô. Â.Â. Ðûêîâà

c Èòêèí Â.Þ., Ðûêîâ Â.Â. 2005 ° Ìîñêâà, 2005

2

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ

Íàñòîÿùåå èçäàíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíñïåêò îäíîèìåííîãî êóðñà ëåêöèé, ïîäãîòîâëåííîãî äëÿ ñòóäåíòîâ ôàêóëüòåòà èíæåíåðíîé ìåõàíèêè Ðîññèéñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà íåôòè è ãàçà èì. È.Ì. Ãóáêèíà. Ïðè ñîñòàâëåíèè êîíñïåêòà èñïîëüçîâàëèñü ðàçëè÷íûå ó÷åáíèêè è ìîíîãðàôèè, à òàêæå ëè÷íûé îïûò àâòîðîâ.  êà÷åñòâå îñíîâíîãî ðåêîìåíäóåìîãî ó÷åáíîãî ìàòåðèàëà ïðåäëàãàåòñÿ îäíîèìåííûé ðàçäåë ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ êàôåäðû ÏÌèÊÌ ÐÃÓ íåôòè è ãàçà Îñíîâû êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Ì.: Èçä. Íåôòü è ãàç, 2000, 287ñ. Òåêñò ðàçáèò íà ïàðàãðàôû, ïðåäñòàâëÿþùèå îòäåëüíûå òåìû. Íóìåðöèÿ îïðåäåëåíèé, òåîðåì, ôîðìóë è ïðèìåðîâ ñâîÿ â êàæäîì ïàðàãðàôå. Ïðè ññûëêàõ íà òåîðåìû è ôîðìóëû äðóãèõ ïàðàãðàôîâ èñïîëüçóåòñÿ äâîéíàÿ íóìåðàöèÿ.

3

ÑÏÈÑÎÊ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈÉ Â ñêîáêàõ ïðèâåäåíû  ñòðàíèö, ãäå ââîäÿòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ñîêðàùåíèÿ ÏÐ (14)  ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ; Ñ (11)  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (Ñ îáîçíà÷àþòñÿ çàãëàâíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè X, Y, Z à èõ çíà÷åíèÿ  ìàëûìè x, y, z ); ÍÎÐ Ñ (19) íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; ÔÐ (10,12)  Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ: F (x) = FX (x) = = P{X ≤ x}; P, M, D (6,?) - ñèìâîëû âåðîÿòíîñòè, ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, äèñïåðñèè; ÇÁ× (23)  Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë; ÓÇÁ× (23)  Óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë; ÖÏÒ (23)  Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà; κ(X, Y ) = (X, Y ) (23)  êîâàðèàöèÿ; ρ(X, Y ) =  êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè; N (µ, σ 2 ) (23)  íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííàÿ Ñ ñ ïàðàìåòðàìè µ 2 èσ ; N (~ µ, C) (23)  íîðìàëüíî ðàïñðåäåëåííûé ñëó÷àéíûé âåêòîð ñ âåêòîðîì ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé µ ˜ è êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé C ; N (µ, σ 2 )  êëàññ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ Ñ ñ ïàðàìåòðàìè µ è σ2 ; Φ(x) (12)  ôóíêöèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ; ~a0 (18) - ñèìâîëû òðàíñïîíèðîâàíèÿ âåêòîðà (ìàòðèöû); det C (18) - îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû C .

4

Ÿ 1 Âåðîÿòíîñòü: îñíîâíûå ïîíÿòèÿ Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñòàòèñòèêè îïèðàþòñÿ íà ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ïîýòîìó â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå íàïîìíèì îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.

1.1 ßâëåíèÿ íåñëó÷àéíûå è ñëó÷àéíûå Åæåäíåâíûé îïûò óáåæäàåò â ñóùåñòâîâàíèè ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè íåñëó÷àéíûõ (äåòåðìèíèðîâàííûõ) ÿâëåíèé õîðîøî èçâåñòíû. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñòðîèòü ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ íåîáõîäèìî îñòàíîâèòüñÿ íà îñíîâíûõ îñîáåííîñòÿõ òàêèõ ÿâëåíèé. Äåòåðìèíèðîâàííîå ÿâëåíèå îäíîçíà÷íî ðåàãèðóåò íà ôèêñèðîâàííûé êîìïëåêñ óñëîâèé, ò.å. ïðè ïðîâåäåíèè îïûòà (ýêñïåðèìåíòà) E ñ ôèêñèðîâàííûìè óñëîâèÿìè íàä äåòåðìèíèðîâàííûì ÿâëåíèåì â ðåçóëüòàòå áóäåò íàáëþäàòüñÿ åäèíñòâåííîå âîçìîæíîå ñîáûòèå A, â òî âðåìÿ êàê ñëó÷àéíîå ÿâëåíèå ðåàãèðóåò íà ôèêñèðîâàííûé êîìïëåêñ óñëîâèé ìíîãîçíà÷íî, ò.å. ïðè ïðîâåäåíèè îïûòà (ýêñïåðèìåíòà) E ñ ôèêñèðîâàííûìè óñëîâèÿìè íàä ñëó÷àéíûì ÿâëåíèåì â ðåçóëüòàòå áóäåò íàáëþäàòüñÿ ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ñîáûòèé {A1 , A2 , . . . }.

Ïðèìåðû. Äåòåðìèíèðîâàííûå ÿâëåíèÿ. 1. Ïðè íàãðåâàíèè âîäû â óñëîâèÿõ çåìíîãî äàâëåíèÿ âîçäóõà äî òåìïåðàòóðû T = 100◦ C (êîìïëåêñ óñëîâèé E ), îíà çàêèïàåò, ò.å. ïåðåõîäèò â ïàðîîáðàçíîå ñîñòîÿíèå (ñîáûòèå A). 2. Ïðè ïîäâåøèâàíèè ãðóçà â îáû÷íûõ çåìíûõ óñëîâèÿõ ê ïðóæèíå (êîìïëåêñ óñëîâèé E ), ïîñëåäíÿÿ ðàñòÿãèâàåòñÿ íà îïðåäåëåííóþ âåëè÷èíó, çàâèñÿùóþ îò åå ñâîéñòâ (ñîáûòèå A)  çàêîí Ãóêà. 3. Ïðè ïîìåùåíèè òåëà â áàññåéí ñ âîäîé (êîìïëåêñ óñëîâèé E ), îíî âûòåñíèò âîäó â îáúåìå ïîìåùåííîãî òåëà (ñîáûòèå A)  çàêîí Àðõèìåäà. 4.

Ñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ.

5

1. Ïðè ñòðåëüáå ïî ìèøåíè ôèêñèðîâàííîãî ñòðåëêà (êîìïëåêñ óñëîâèé E ), ïóëÿ ïîïàäàåò â îäíó èç âîçìîæíûõ îáëàñòåé {A0 , A1 , . . . , A10 }. 2. Ïðè ðîçûãðûøå ëîòåðåè 6 èç 49 (êîìïëåêñ óñëîâèé E ), âîçìîæíûì èñõîäîì ðîçûãðûøà ÿâëÿåòñÿ îäèí èç ìíîæåñòâà ¡49¢ íàáîðîâ âèäà (i1 , . . . , i6 ), ãäå êàæäîå èç ÷èñåë ik (k = 6 1, 2, 3, 4, 5, 6)ïðèíèìàåò îäíî èç öåëûõ çíà÷åíèé îò 1 äî 49. 3. 4.

Òàêèì îáðàçîì, ïîñêîëüêó ñëó÷àéíîå ÿâëåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì íàáîðîì ñîáûòèé, ïðåæäå âñåãî íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü ñâîéñòâà ñîáûòèé, íàáëþäàåìûõ â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà.

1.2 Àëãåáðà ñîáûòèé Ïóñòü A è B  äâà ñîáûòèÿ, âîçìîæíûõ â ñëó÷àéíîì ÿâëåíèè. Òîãäà â ðàìêàõ ýòîãî ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ âîçìîæíî òàêæå ïîÿâëåíèå ñîáûòèé A èëè B , A è B , íå A, äëÿ êîòîðûõ áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ 1) A èëè B = A ∪ B; 2) A è B = A ∩ B ≡ AB; 3) íå A = A¯ ≡ Ω − A. Ñîáûòèå A ∪ B ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîèñõîäèò õîòÿ áû îäíî èç ñîáûòèé A èëè B . Ñîáûòèå A∩B ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîèñõîäÿò îáà ñîáûòèÿ A è B . Íàêîíåö, ñîáûòèå A¯ ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íå ïðîèñõîäèò ñîáûòèå A. Êðîìå òîãî, äîïîëíèì ñèñòåìó ñîáûòèé ëþáîãî ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ íåâîçìîæíûì ñîáûòèåì, êîòîðîå íèêîãäà íå ïðîèñõîäèò â ýêñïåðèìåíòå è äîñòîâåðíûì ñîáûòèåì, êîòîðîå âñåãäà ïðîèñõîäèò â ýêñïåðèìåíòå, è êîòîðûå áóäåì îáîçíà÷àòü ñîîòâåòñòâåííî ñèìâîëàìè ∅ è Ω. Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòèìûìè, åñëè AB = ∅. Äëÿ íåñîâìåñòèñìûõ ñîáûòèé âìåñòî A ∪ B èñïîëüçóåòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå A + B .

6 Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ëþáûå ñîáûòèÿ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ óäîáíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîäìíîæåñòâà íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà Ω ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé (èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà) ω . Ïðè ýòîì ïîä ýëåìåíòàðíûì ñîáûòèåì ïîíèìàåòñÿ ìèíèìàëüíûé, íåäåëèìûé èñõîä ýêñïåðèìåíòà.  ýòîé èíòåðïðåòàöèè íåâîçìîæíîå ñîáûòèå ∅ ÿâëÿåòñÿ ïóñòûì ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, à äîñòîâåðíîå ñîáûòèå Ω ñîâïàäàåò ñî âñåì èõ ìíîæåñòâîì, à îïåðàöèè A ∩ B, A ∪ B è A¯ ïðåâðàùàþòñÿ â òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ, îáúåäèíåíèÿ è äîïîëíåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 1. Ñèñòåìà ñîáûòèé F , ñîäåðæàùàÿ íàðÿäó ñ ñîáûòèÿìè A è B òàêæå ñîáûòèÿ A∪B, A∩B, A¯ íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé ñîáûòèé. Òàêèì îáðàçîì, ìû îïðåäåëèëè äâà ñîñòàâíûõ ýëåìåíòà ëþáîé ìîäåëè ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ: ïðîñòðàíñòâî Ω ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ω è ñåìåéñòâî íàáëþäàåìûõ ñîáûòèé F . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òðåòüåé íàèáîëåå âàæíîé êîìïîíåíòû  âåðîÿòíîñòè P, îáðàòèìñÿ ñíà÷àëà ê íåêîòîðîìó ñïåöèàëüíîìó ñëó÷àþ. Ñèìâîëîì P çäåñü è äàëåå îáçíà÷àåòñÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ, çàêëþ÷åííîãî â ñêîáêè.

1.3 Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïîäðîáíåå ñëó÷àéíîå ÿâëåíèå, â êîòîðîì âîçìîæíî ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî N ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, Ω = {ω1 , . . . , ωN }, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ ïðåäïîëîæèì, ÷òî: S ωi = Ω; 1) ωi ∩ ωj = ∅, i 6= j, 1≤i≤N

2) âñå èñõîäû ωi ðàâíîâîçìîæíû. Ïðè ýòîì ëþáîå âîçìîæíîå ñîáûòèå A ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñîâîêóïíîñòè ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ åãî ñîñòàâëÿþùèõ, A = {ωi1 , . . . ωik }. Â ýòèõ óñëîâèÿõ åñòåñòâåííî ïîëîæèòü

P(ωi ) =

1 , N

(1)

7 à âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ñîáûòèÿ îïðåäåëèòü êàê

P(A) =

X

P(ωi ) =

ωi ∈A

N (A) , N

(2)

ãäå N (A)  ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A. Îïðåäåëåííûå òàêèì îáðàçîì âåðîÿòíîñòè îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) 0 ≤ P(A) ≤ 1; 2) P(A + B) = P(A) + P(B) ïðè A ∩ B = ∅; 3) P(Ω) = 1. Èç ýòèõ îñíîâíûõ ñâîéñòâ ëåãêî âûòåêàþò ñëåäóþùèå:

¯ = 1 − P(A); 4) P(A) 5) P(∅) = 0; 6) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB). Êðîìå òîãî, åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîèçîøëî ñîáûòèå B êàê ÷èñëî èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A ñðåäè òåõ, êîòîðûå áëàãîïðèÿòñòâóþò òàêæå è ñîáûòèþ B , à èìåííî:

P(A|B) =

N (AB) , N (B)

÷òî ïîñëå äåëåíèÿ ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ íà N ïðèâîäèò ê îïðåäåëåíèþ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè â âèäå

P(A|B) =

P(AB) . P(B)

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

P(AB) = P(A|B)P(B).

(3)

8 Ñîáûòèå A åñòåñòâåííî íàçâàòü ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûì îò ñîáûòèÿ B , åñëè P(A|B) = P(A). Çàìåòèì (ñì. óïð. 5), ÷òî ñâîéñòâî íåçàâèñèìîñòè âçàèìíî, ò.å. èç íåçàâèñèìîñòè A îò B ñëåäóåò íåçàâèñèìîñòü B îò A. Îäíàêî äàííîå âûøå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè íå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî â îáùåì ñëó÷àå, òàê êàê áîëüøèíñòâî ìîäåëåé ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé íå óäîâëåòâîðÿåò âûäâèíóòûì çäåñü òðåáîâàíèÿì: 1) ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ îáû÷íî íå áûâàåò êîíå÷íûì; 2) ýëåìåíòàðíûå èñõîäû îáû÷íî íåëüçÿ ñ÷èòàòü ðàâíîâîçìîæíûìè. Ïîýòîìó ïðèõîäèòñÿ èñêàòü äðóãèå ïîäõîäû ê îïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòåé. Òàêîé ïîäõîä áûë ïðåäëîæåí À.Í. Êîëìîãîðîâûì â âèäå àêñèîìàòè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Íî ïðåæäå ÷åì ñôîðìóëèðîâàòü åãî àêñèîìû îáðàòèìñÿ ê èíòóèòèâíîìó âîñïðèÿòèþ âåðîÿòíîñòè ÷åðåç ÷àñòîòû íàáëþäåíèÿ òåõ èëè èíûõ ñîáûòèé â ýêñïåðèìåíòå ñî ñëó÷àéíûì ÿâëåíèåì è ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ÷àñòîò.

1.4 ×àñòîòû è èõ ñâîéñòâà Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç n ýêñïåðèìåíòîâ E íàä ñëó÷àéíûì ÿâëåíèåì, â êîòîðûõ âîçìîæíî ïîÿâëåíèå íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ A, è ïóñòü ñðåäè ýòèõ ýêñïåðèìåíòîâ ñîáûòèå A íàáëþäàëîñü n(A) ðàç. Âåëè÷èíà

hn (A) =

n(A) n

(4)

íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé ñîáûòèÿ A â ñåðèè èç n ýêñïåðèìåíòîâ. Çàìåòèì, ÷òî ñàìà âåëè÷èíà hn (A) ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé, òàê êàê â äðóãîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ íàä òåì æå ñàìûì ÿâëåíèåì ÷àñòîòà ìîæåò îêàçàòüñÿ (è ñêîðíåå âñåãî îêàæåòñÿ) äðóãîé. Íàïðèìåð, äîëÿ ðîäèâøèõñÿ ìàëü÷èêîâ â ðàçëè÷íûõ ðîäèëüíûõ äîìàõ â òå÷åíèå ôèêñèðîâàííîãî ïåðèîäà âðåìåíè áóäåò ðàçëè÷íîé.

9 Ðàññìîòðè ñâîéñòâà ÷àñòîò. Âî-ïåðâûõ èç îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîòû ñëåäóåò, ÷òî 0 ≤ h(A) ≤ 1. Âî-âòîðûõ, ÿñíî ÷òî åñëè A è B äâà âîçìîæíûõ íåñîâìåñòèìûõ ñîáûòèÿ ýêñïåðèìåíòà, òî

h(A + B) = h(A) + h(B). Íàêîíåö, åñëè Ωäîñòîâåðíîå ñîáûòèå ýêïåðèìåíòà (ò.å. ïðîèñõîäèò âñåãäà), òî h(Ω) = 1. Êðîìå òîãî, îïðåäåëèì óñëîâíóþ ÷àñòîòó ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîèçîøëî äðóãîå ñîáûòèå B êàê äîëþ ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A ñðåäè òåõ ñîáûòèé, êîãäà íàáëþäàëîñü òàêæå ñîáûòèå B , ò.å. n(AB) h(A|B) = . n(B) Ïîäåëèâ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî çàìå÷àòåëüíîå óòâåðæäåíèå

h(A|B) =

ñîîòíîøåíèÿ

íà

n(AB) n(AB)/n h(AB) = = . n(B) n(B)/n h(B)

n

ïîëó÷èì

(5)

Îòñþäà ëåãêî ñëåäóåò ôîðìóëà ïðîèçâåäåíèÿ ÷àñòîò:

h(AB) = h(A|B)h(B).

(6)

Åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü ñîáûòèÿ A è B ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûìè, åñëè äîëÿ ñîáûòèé A ñðåäè B òàêàÿ æå, êàê è âî âñåé âûáîðêå, ò.å. h(A|B) = h(A). Ýòî ïðèâîäèò ê ôîðìóëå ïðîèçâåäåíèÿ ÷àñòîò äëÿ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé,

h(AB) = h(A)h(B).

(7)

Çìåòèì òàêæå, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêàÿ íåçàâèñèìîñòü, îïðåäåëåííàÿ ÷åðåç ÷àñòîòû ñîáûòèé, âçàèìíà àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíèþ ñ ïîìîùüþ êëàññè÷åñêèõ âåðîÿòíîñòåé.

10

1.5 Àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé Îïèðàÿñü íà ñâîéñòâà êëàññè÷åñêèõ âåðîÿòíîñòåé è ñâîéñòâà ÷àñòîò, ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü âåðîÿòíîñòü êàê ìåðó ñëó÷éíîñòè, ïðîÿâëÿþùóþñÿ â âèäå ÷àñòîòû ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèé â ýêñïåðèìåíòå. Òàêèì îáðâçîì, âåðî÷òíîñòü åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü êàê ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ P, îïðåäåëííóþ íà àëãåáðå ñîáûòèé F è îáëàäàþùóþ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) 0 ≤ P(A) ≤ 1; 2) P(A + B) = P(A) + P(B); 3) P(Ω) = 1. Òàêæå êàê â ñëó÷àå êëàññè÷åñêèõ âåðîÿòíîñòåé èç ýòèõ îñíîâíûõ ñâîéñòâ ëåãêî âûòåêàþò ñëåäóþùèå:

¯ = 1 − P(A); 4) P(A) 5) P(∅) = 0; 6) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB). Òàêèì îáðàçîì ñïðàâåäëèâî Îïðåäåëåíèå 2. Âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèé ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ P(·), çàäàííàÿ íà àëãåáðå ñîáûòèé F , ñâÿçàííûõ ñ äàííûì ÿâëåíèåì. Îïèðàÿñü íà ïîíÿòèå óñëîâíîé ÷àñòîòû îïðåäåëèì óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü, êàê P(AB) P{A|B} = . (8) P(B) Ñîáûòèÿ A íàçûâàåòñÿ íåçàâèñèìûì îò ñîáûòèÿ B , åñëè

P{A|B} = P(A). Êðîìå òîãî, ïðè ïîâòîðåíèè ýêñïåðèìåíòà íàä îäíèì è òåì æå ÿâëåíèåì áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ýêñïåðèìåíòû íåçàâèñèìû, åñëè íåçàâèñèìû ñîáûòèÿ â ýòèõ ýêñïåðèìåíòàõ.

11 Çàìåòèì, ÷òî äàííîå âûøå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè íå äàåò îòâåòà íà âîïðîñ îá èçìåðåíèè âåðîÿòíîñòåé â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå, à ëþáàÿ âåëè÷èíà áåç ñïîñîáà åå èçìåðåíèÿ òåðÿåò ñìûñë. Äëÿ ëþáûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ñóùåñòâóþò ñïîñîáû è åäèíèöû èçìåðåíèÿ (ìåòð, âîëüò, ì/ñåê è ò.ï.), à òàêæå ïðèáîðû èõ èçìåðÿþùèå (ìåòð, âîëüòìåð, ñïèäîìåòð è ò.ä.). Åäèíèöåé èçìåðåíèÿ âåðîÿòíîñòè ÿâëÿåòñÿ áåçðàçìåðíîå ÷èñëî ìåæäó 0 è 1, à ïðèáîð èçìåðåíèÿ çàìåíÿåòñÿ ìåòîäîì, â êà÷åñòâå êîòîðîãî âûñòóïàåò ñòàòèñòèêà, êîòîðîé è ïîñâÿùåí íàñòîÿùèé êóðñ. Îäíàêî ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê íåïîñðåäñòâåííî ñòàòèñòè÷åñêòèì ïðîáëåìàì íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü åùå îäíî âàæíîå ïîíÿòèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé  ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ÑÂ) è åå ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðîìó ïîñâÿùåí ñëåäóþùèé ïàðàãðàô.

1.6 Äîïîëíåíèÿ Âîïðîñû äëÿ êîíòðîëÿ 1. ×åì îòëè÷àþòñÿ ñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ îò íåñëó÷àéíûõ ? 2. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ ñîáûòèé: à) A ∪ B ; á) A ∩ B ; â) A¯.

3. Ñôîðìóëèðóéòå óñëîâèÿ íà ñëó÷àéíîå ÿâëåíèå, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíî êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè. 4. Äàéòå îïðåäåëåíèå êëàññè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè. 5. Äàéòå îïðåäåëåíèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè â êëàññè÷åñêîé ñõåìå. 6. Äàéòå îïðåäåëåíèå σ -àëãåáðû ñîáûòèé. 7. ×òî òàêîå ÷àñòîòà? 8. ñôîðìóëèðóéòå ñâîéñòâà ÷àñòîò. 9. Äàéòå îïðåäåëåíèå óñëîâíîé ÷àñòîòû. 10. Äàéòå àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé è îáîñíóéòå åãî.

12

Óïðàæíåíèÿ. 1. Ïðèâåäèòå ñîáñòâåííûå ïðèìåðû ÿâëåíèé ñëó÷àéíûõ è

íåñëó÷àéíûõ. 2. Ïðè áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè îïèøèòå â òåðìèíàõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ñîáûòèÿ: à) A = {âûïàëî íå÷åòíîå ÷èñëî }, á) B = { âûïàëî ÷èñëî < 3}, â) A ∪ B , ã) A ∩ B , ä) A¯. 3. Äëÿ ãðóïïû èç 25 ñòóäåíòîâ îïèøèòå ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, ïîçâîëÿþùåå èññëåäîâàòü êîëè÷åñòâî þíîøåé è äåâóøåê.  òåðìèíàõ ýòèõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ îïèøèòå ñîáûòèÿ: à) â ãðóïïå òîëüêî þíîøè, á) þíîøåé â ãðóïïå áîëüøå, ÷åì äåâóøåê. 4. Çàäà÷à äå Ìåðå. 5. Ïîêàçàòü, ÷òî ñâîéñòâî ñòàòèñòè÷åñêîé íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé âçàèìíî. 6. Ïðîâåñòè ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò ñ 10-êðàòíûì áðîñàíèåì ìîíåòû è âû÷èñëèòü ÷àñòîòó ãåðáà. 7. Ïðîâåñòè ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò ñ 10-êðàòíûì áðîñàíèåì èãðàëüíîé êîñòè è âû÷èñëèòü ÷àñòîòó ñîáûòèé: à) A = {âûïàëî íå÷åòíîå ÷èñëî }, á) B = { âûïàëî ÷èñëî < 3}, â) A ∪ B , ã) A ∩ B , ä) A¯. å) óñëîâíóþ ÷àñòîòó ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè ñîáûòèÿ B . 8. Ïîâòîðèòü ýêñïåðèìåíò èç ïðåäûäóùåãî óïðàæíåèÿ è âû÷èñëèòü òå æå ñàìûå ÷àñòîòû. Âû÷èñëèòü óñëîâíûå ÷àñòîòû ñîáûòèé â ïåðâîì ýêñïåðèìåíòå îòíîñèòåëüíî ñîáûòèé âòîðîãî ýêñåðèìåíòà. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î ñòàòèñòè÷åñêîé íåçàâèñèìîñòè ýåñïåðèìåíòîâ. à) â) ä)

9.

bigskip

13

Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà.

14

Ÿ 2 Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ Íàáëþäåíèÿ íàä ìíîãèìè ñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ÷èñëîâûõ èëè âåêòîðíûõ âåëè÷èí. Òàêèå íàáëþäåíèÿ íàçûâàþòñÿ (÷èñëîâûìè èëè âåêòîðíûìè) ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè (ÑÂ).  íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå ðàññìàòðèâàþòñÿ Ñ è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ.

2.1 Îïðåäåëåíèå Îòïðàâëÿÿñü îò ìîäåëè ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ, ñôîðìóëèðîâàííîé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå îïðåäåëèì ÑÂ, êàê ôóíêöèþ îò ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ. Áóäåì îáîçíà÷àòü Ñ çàãëàâíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè X, Y, Z , à èõ çíà÷åíèÿ  ñîîòâåòñòâóþùèìè ìàëûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè x, y, z è ò.ä.

Ïðèìåðû. 1. Åñëè ýëåìåíòàðíûå èñõîäû áðîñàíèÿ èãðàëüíîé êîñòè

îáîçíà÷èòü ÷èñëàìè ωi = i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6), òî ÷èñëî âûïàâøèõ î÷êîâ ÿâëÿåòñÿ ÑÂ, X(ωi ) = i. 2. (äàòü äðóãèå)

Îäíàêî ýòî îïðåäåëåíèå íå êîíñòðóêòèâíî, è íå èñïîëüçóåòñÿ íà ïðàêòèêå. Íàïðèìåð, ÷èñëî ñòóäåíòîâ èç ãðóïïû â 25 ÷åë., ïðèñóòñòâóþùèõ íà çàíÿòèè, ÿâëÿåòñÿ ÑÂ. Îäíàêî, ïîñòðîèòü ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé è îïðåäåëèòü íà íåì ýòó Ñ  çàäà÷à âðÿä ëè îñóùåñòâèìàÿ. Òåì íå ìåíåå, ìîæíî ïðîâîäèòü íåîäíîêðàòíûå íàáëþäåíèÿ çà ýòîé Ñ è óñòàíîâèòü äëÿ íåå íåêîòîðûå ñòàòèñòè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè. Ïðàêòè÷åñêè âñÿ íåîáõîäèìàÿ èíôîðìàöèÿ î Ñ ñîäåðæèòñÿ â åå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (ÔÐ). Îïðåäåëåíèå 1. Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Ñ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ FX (x) = P{X ≤ x}. (1) Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóþò ñâîéñòâà ÔÐ: 1) 0 ≤ F (x) ≤ 1  îãðàíè÷åííîñòü;

15 2) F (x) ≤ F (y) ïðè x ≤ y  ìîíîòîííîñòü; 3) limx→−∞ F (x) = 0, limx→∞ F (x) = 1; 4) F (x) = lim F (x + h)  íåïðåðûâíîñòü ñïðàâà. h↑0

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâàìè (1 4) îïðåäåëÿåò íåêîòîðóþ ÑÂ. Ïîýòîìó íåò íåîáõîäèìîñòè äåëàòü ðàçëè÷èå ìåæäó Ñ è èõ ðàñïðåäåëåíèÿìè. Âàæíûì ýëåìåíòîì ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, íàáëþäàåìûõ â âèäå ÷èñëîâûõ èëè âåêòîðíûõ âåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ ìîäåëèðîâàíèå èõ ÔÐ. Ïîýòîìó â ñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ìîäåëè ðàñïðåäåëåíèé.

2.2 Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è ìîäåëè äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé Îïðåäåëåíèå 2. Ñ (è åå ÔÐ) íàçûâàþòñÿ äèñêðåòíûìè, åñëè îíà

ïðèíèìàåò êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå1 ÷èñëî çíà÷åíèé. Ðàñïðåäåëåíèå òàêèõ Ñ çàäàåòñÿ íàáîðîì èõ çíà÷åíèé {xk (k = 1, 2, . . . )} è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì âåðîÿòíîñòåé,

pk = P{X = xk }

k = 1, 2, . . . .

(2)

 ñëó÷àå êîíå÷íîãî ÷èñëà çíà÷åíèé Ñ çàäàâàòü òàêèå ðàñïðåäåëåíèÿ óäîáíî ñ ïîìîùüþ òàáëèö, ãäå â ïåðâîé ñòðîêå âûïèñûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ ÑÂ, à âî âòîðîé  ñîîòâåòñòâóþùèå èì âåðîÿòíîñòè. Òàáëèöà 2.1. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàííåíûìè è ÷àñòî èñïîëüçóåìûìè íà ïðàêòèêå ÿâëÿþòñÿ äèñêðåòíûå Ñ ñî çíà÷åíèÿìè, êðàòíûìè íåêîòîðîìó ÷èñëó, ÿâëÿþùåìóñÿ åäèíèöåé èçìåðåíèÿ, xk = k∆. Òàêèå Ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ìàñøòàáà ñâîäÿòñÿ ê öåëî÷èñëåííûì ÑÂ, ïðèíèìàþùèì ëèøü öåëî÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ. Ìíîãèå èç ðàñïðåäåëåíèé òàêèõ Ñ çàäàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóë. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ìîäåëè òàêèõ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé. 1 ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî  ýòî ìíîæåñòâî ýëåìåíòû êîòîðîãî ìîæíî ïåðåñ÷èòàòü,

ò.å. ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå íàòóðàëüíîìó ðÿäó ÷èñåë.

16

2.2.1. Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå Ìîäåëü êëàññè÷åñêèõ âåðîÿòíîñòåé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèìåð ðàâíîìåðíîãî äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñëè â êëàññè÷åñêîé ñõåìå ñ N èñõîäàìè, êàæäîìó èñõîäó ωi ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå ÷èñëî, X(ωi ) = xi òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ Ñ çàäàåòñÿ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì, 1 pi = P{X = xi } = P(ωi ) = . (3) N Íàïðèìåð, â ýêñïåðíèìåíòå ñ áðîñàíèåì èãðàëüíîãî êóáèêà ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà âûïàâøèõ î÷êîâ èìååò âèä 1 pi = P{X = i} = P(ωi ) = . 6 Ïðèìåð 2. Ðàñïðåäåëåíèå ñóììû î÷êîâ ïðè áðîñàíèè äâóõ èãðàëüíûõ êîñòåé ïðåäñòàâëåíî â òàáë. 2.2. Âû÷èñëèòü ýòî ðàñïðåäåëåíèå ïðåäëàãàåòñÿ â âèäå óïðàæíåíèÿ 1. Òàáëèöà 2.2.

2.2.2. Ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè Ïîïóëÿðíîé ìîäåëüþ ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà ÿâëÿåòñÿ ìîäåëü ñ äâóìÿ èñõîäàìè. Íåñìîòðÿ íà ñâîþ ïðîñòîòó (èëè èìåííî áëàãîäàðÿ åé) îíà íàõîäèò ìíîãî ïðèëîæåíèé. Ìîäåëü ñ íåçàâèñèìûì ïîâòîðåíèåì òàêèõ ýêñïåðèìåíòîâ íàçûâàåòñÿ ñõåìîé Áåðíóëëè. Åñëè â òàêîì ýêñïåðèìåíòå íàáëþäàþòñÿ ÷èñëîâûå èñõîäû, ñîîòâåòñòâóþùàÿ Ñ íàçûâàåòñÿ áåðíóëëèåâîé ÑÂ, à åå ðàñïðåäåëåíèå  ðàñïðåäåëåíèåì Áåðíóëëè. Ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñäâèãà è ìàñøòàáà áåðíóëëèåâó Ñ âñåãäà ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó, êîãäà îíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0 èëè 1. Ïîýòîìó ðàñïðåäåëåíèå òàêîé Ñ áóäåì çàäàâàòü ñîîòíîøåíèåì

P{X = 1} = p,

P{X = 0} = 1 − p = q.

(4)

Ïðèìåð 3. Ìíîãî÷èñëåííûå íàáëþäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî íà 1000 ðîæäåíèé ïðèõîäèòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî 515 ìàëü÷èêîâ è 485 äåâî÷åê. Ïîýòîìó åñëè ââåñòè ÑÂ, ïðèíèìàþùóþ çíà÷åíèå 1 ïðè ðîæäåíèè ìàëü÷èêà è 0 ïðè ðîæäåíèè äåâî÷êè, òî îíà áóäåò áåðíóëëèåâîé Ñ ñ p = 0, 515.

17

2.2.3. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè, ñîîòâåòñòâóþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áåðíóëëèåâûõ Ñ X1 , . . . , Xn , ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèå 1 â ñëó÷àå óñïåøíîãî èñõîäà è 0  â ñëó÷àå íåóñïåøíîãî. Âî ìíîãèõ ïðèëîæåíèÿõ èíòåðåñíî çíàòü ÷èñëî Sn óñïåøíûõ èñõîäîâ â ñåðèè èç n èñïûòàíèé. Î÷åâèäíî, ýòî ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ñîîòâåòñòâóþùèõ áåðíóëëèåâûõ âåëè÷èí,

Sn = X1 + · · · + Xn . Âû÷èñëèì ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà Sn óñïåõîâ â ñåðèè èç n èñïûòàíèé Áåðíóëëè. Î÷åâèäíî ýòî ÷èñëî ìîæåò ïðíèìàòü îäíî èç n + 1 âîçìîæíûõ çíà÷åíèé: 0, 1, . . . n. Ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè ðàâíû µ ¶ k k pk = P{Sn = k} = p (1 − p)n−k ≡ bk (n, p). (5) n Çäåñü b¡k (n, ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðàìè ¢ p) îáîçíà÷åíèå n! . n, p, à nk = k!(n−k)! Äåéñòâèòåëüíî, êàæäûé ýëåìåíòàðíûé èñõîä, ñîäåðæàùèé k óñïåøíûõ è n − k íåóñïåøíûõ èñõîäîâ èìååò â ñèëó íåçàâèñèìîñòè ¡ ¢ ýêñïåðèìåíòîâ âåðîÿòíîñòü pk (1 − p)n−k , à òàêèõ èñõîäîâ nk . Ïðèìåð 4. Ïóñòü â íåêîòîðîì ðåãèîíå ïðåäâàðèòåëüíûìè ãåîëîãè÷åñêèì èññëåäîâàíèÿìè óñòàíîâëåíî íàëè÷èå íåôòè ñ âåðîÿòíîñòüþ p. Ïðè ïðîâåäåíèè ðàçâåäî÷íîãî áóðåíèÿ èíòåðåñíî âûÿñíèòü âîïðîñ î âåðîÿòíîñòè âñêðûòèÿ ïëàñòà k ñêâàæèíàìè ïðè íàìå÷åííîì ïðîáóðèâàíèè n ñêâàæèí. Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.

2.2.4. Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå Äðóãîå âàæíîå ðàñïðåäåëåíèå, ñâÿçàííîå ñî ñõåìîé Áåðíóëëè âîçíèêàåò ïðè èññëåäîâàíèè âîïðîñà î íåîáõîäèìîì ÷èñëå èñïûòàíèé äî ïîëó÷åíèÿ ïåðâîãî óñïåøíîãî (èëè íåóñïåøíîãî) èñõîäà. Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç T ñëó÷àéíîå ÷èñëî èñïûòàíèé (âðåìÿ) äî ïåðâîãî íåóñïåøíîãî èñõîäà, òî ðàñïðåäåëåíèå òàêîé Ñ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé

pk = P{T = k} = pk−1 (1 − p) ≡ gk (p)

k = 1, 2, . . .

(6)

18 è íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì. Çäåñü gk (p)  îáîçíà÷åíèå ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì p. Äåéñòâèòåëüíî, ñîáûòèå T = k ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íåóñïåøíîìó èñõîäó ïðåäøåñòâóþò k − 1 óñïåøíûõ è òàê êàê ýòè ñîáûòèÿ íåçàâèñìû, èõ âåðîÿòíîñòè ïåðåìíîæàþòñÿ. Çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îòñóòñòâèå ïàìÿòè. Òåîðåìà 1. Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèå, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî

P{T > k + j|T > k} = P{T > j}.

(7)

Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåñòè â âèäå óïðàæíåíèÿ 2. 2 Ïðèìåð 5.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà ÷èñëî ñêâàæèí, íåîáõîäèìûõ äëÿ âñêðûòèÿ ïëàñòà, îïèñûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì. 2.2.5. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà Âî ìíîãèõ ïðèëîæåíèÿõ âîçíèêàåò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà, êîòîðîå çàäàåòñÿ ôîðìóëîé

pk = P{Π = k} =

ak −a)≡Πk (a) e k!

k=1,2,...(8)

2.3 Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ Îïðåäåëåíèå 3. Ñ (è åå ÔÐ) íàçûâàþòñÿ íåïðåðûâíûìè, åñëè ÔÐ

 íåïðåðûâíà. Ñ (è åå ÔÐ) íàçûâàþòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûìè, åñëè ÔÐ  äèôôåðåíöèðóåìà.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ÔÐ ïðåäñòàâèìà â âèäå

Zx F (x) =

p(u)du, −∞

(9)

19 ãäå ôóíêöèÿ p(u) = F 0 (x) íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ (ÏÐ).  íàñòîÿùåì êóðñå ìû îãðàíè÷èìñÿ èçó÷åíèåì òîëüêî òàêèõ ðàñïðåäåëåíèé è ïðèâåäåì íåñêîëüêî ìîäåëåé òàêèõ ðàñïðåäåëåíèé.

Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå Ðàâíîìåðíîå íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì àíàëîãè÷íîãî äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è âîçíèêàåò âñåãäà, êîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Ñ X çàêëþ÷åíà â íåêîòîðûõ ïðåäåëàõ, a ≤ X ≤ b, è ïðèíèìàåò ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ çíà÷åíèÿ èç ëþáîãî ïîäèíòåðâàëà ∆ âíóòðè îñíîâíîãî èíòåðâàëà.  ýòîì ñëó÷àå, î÷åâèäíî |∆| P{X ∈ ∆} = . b−a Òàêèì îáðàçîì ÏÐ äëÿ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà

p(x) =

1 1{a≤x≤b} , b−a

(10)

à ÔÐ èìååò âèä

  0 F (x) =

x  b−a

 1

ïðè x < a, ïðè a ≤ x ≤ b, ïðè x > b.

(11)

Ïðèìåð 6. Ïðè îòñóòñòâèè äîñòàòî÷íîé èíôîðìàöèè â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñðîê ñëóæáû X òðóáû ìàãèñòðàëüíîãî íåôòåïðîâîäà ðàñïðåäåëåí ðàâíîìåðíî íà èíòåðâàëå [0, 30] (ëåò).  ýòîì ïðåäïîëîæåíèè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òðóáà íå îòêàæåò â òå÷åíèå ïåðâûõ 20 ëåò ðàâíà P{X > 20} = 1 − F (20) = 1 −

20 1 = . 30 3

Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì àíàëîãîì ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è èñïîëüçóåòñÿ â ðàçëè÷íûõ

20 ïðèëîæåíèÿõ â òîì ÷èñëå â ìîäåëÿõ òåîðèè íàäåæíîñòè, ñòðàõîâàíèÿ, è äð. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå çàäàåòñÿ ÔÐ

F (x) = 1 − eλx , èëè ÏÐ

x ≥ 0,

p(x) = λeλx 1{x≥0} ,

(12) (13)

è îáëàäàåò ìíîãìè çàìå÷àòåëüíûìè ñâîéñòâàìè.  ÷àñòíîñòè îíî îáëàäàåò ñâîéñòâîì îòñóòñòâèÿ ïÿìÿòè, êîòîîå ÿâëÿåòñÿ åãî õàðàêòåðèçàöèîííûì ñâîéñòâîì Òåîðåìà 2. Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì íåïðåðûâíûì ðàñïðåäåëåíèåì, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî îòñóòñòâèÿ ïàìÿòè, à èìåííî äëÿ ïîêàçàòåëüíî ðàñïðåäåëåííîé Ñ T ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

P{T > x + y|T > x} = P{T > y}.

(14)

Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåñòè â âèäå óïðàæíåíèÿ 3. Ïðèìåð 7. Äâå ïîäðóæêè ãîâîðÿò ïî òåëåôîíó (ñòàöèîíàðíîìó,

íå ìîáèëüíîìó) è ïîñëå îêîí÷àíèÿ îäíîé òåìû, ñêàæåì, î â÷åðàøíåì êèíîôèëüìå, ãäå ãåðîé íàïîìèíàåò èõ çíàêîìîãî, ïåðåõîäÿò ê îáñóæäåíèþ ïîñëåäíåãî è åãî äðóçåé, çàòåì ê èõ ëþáèìîìó âèäó ñïîðòà, ê ïîêàçó ìîä è ò.ï.  òàêèõ óñëîâèÿõ ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îñòàòî÷íàÿ äëèòåëüíîñòü ðàçãîâîðà íå çàâèñèò îò âðåìåíè íà íåãî óæå çàòðà÷åííîãî, òàê ÷òî íà îñíîâàíèè òåîðåìû 2 äëèòåëüíîñòü òàêîãî ðàçãîâîðà ìîæåò áûòü ñìîäåëèðîâàíà ïîêàçàòåëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì.

Ïðèìåð 8.  òåîðèè íàäåæíîñòè ïî àíàëîãè÷íûì ñîîáðàæåíèÿì ïîêàçàòåëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ìîäåëèðóåòñÿ âðåìÿ äî íàñòóïëåíèÿ âíåçàïíîãî îòêàçà. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, çàäàâàåìîå ñâîåé ÏÐ

p(x) = √

1 (x − µ)2 exp{− }. 2σ 2 2πσ

(15)

21 ãäå µ è σ  ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ. Ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè ðàâíûìè µ = 0, σ = 1 íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì. Çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ Ñ ÿâëÿåòñÿ èõ èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ Òåîðåìà 3. Ñóììà äâóõ (à ñëåäîâàòåëüíî è ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà) íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ Ñ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè, ðàâíûìè ñóììå ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàðàìåòðîâ. Äîêàçàòåëüñòâî îïóñêàåì. Ñïðàâåäëèâî òàêæå áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå,  òàê íàçûâàåìàÿ öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà (ÖÏÒ), ñ êîòîðîé ìû ïîçíàêîìèìñÿ ïîçæå. Ïðèìåð 9.  òåîðèè ñòðåëüáû ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî îòêëîíåíèå òî÷êè ïîïàäàíèÿ ñíàðÿäà îò òî÷êè ïðèöåëèâàíèÿ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Îñíîâàíèåì äëÿ ýòîãî ÿâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî íà îòêëîíåíèå âëèÿþò ìíîãî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ, òàêèõ êàê ñèëà âåòðà, âëàæíîñòü ïîðîõà, âåëè÷èíà çàðÿäà è ò.ï.

2.4 Ìíîãîìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ñ ìíîãîìåðíûìè ÑÂ. Íàïðèìåð, ïðè ãåîôèçè÷åñêîì èññëåäîâàíèè ñêâàæèíû ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñî ìíîãèìè åå ïîêàçàòåëÿìè: õèìè÷åñêèì ñîñòàâîì êåðíà, åãî ãðàíóëîìåòðèåé è ò.ï.  îáùåì ñëó÷àå ìíîãîìåðíàÿ Ñ X = (X1 , . . . , Xr ) çàäàåòñÿ ñâîåé ìíîãîìåðíîé ÔÐ

F (x1 , . . . xr ) = P{X1 ≤ x1 , . . . , Xr ≤ xr }.

(16)

Ñðåäè ìîäåëåé ìíîãîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé â êà÷åñòâå ïðèìåðà ìíîãîìåðíîãî äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìû ðàññìîòðèì ìóëüòèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, à â êà÷åñòâå ïðèìåðà íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèå  ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.

22

Ìóëüòèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ìóëüòèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì áèíîìèàëüíîãî è âîçíèêàåò â ñõåìå Áåðíóëëè ñ íåñêîëüêèìè èñõîäàìè. Ïóñòü ïðîèçâîäèòñÿ ñåðèÿ íåçàâèñèìûõ ýêñïåðèìåíòîâ íàä ñëó÷àéíûì ÿâëåíèåì, â êîòîðîì âîçìîæíî íåñêîëüêî, ñêàæåì, r èñõîäîâ {A1 , . . . , Ar } ñ âåðîÿòíîñòÿìè èñõîäîâ P(Ai ) = pi (i = 1, . . . r), p1 + · · · + pr = 1. Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà èñõîäîâ êàæäîãî òèïà â ñåðèè èç n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè ñ r èñõîäàìè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ki ñëó÷àéíîå ÷èñëî èñõîäîâ i-ãî òèïà. Òîãäà n! P{K1 = k1 , . . . , Kr = kr } pk1 . . . pkr r . (17) k1 ! . . . kr! 1 ïðè ýòîì î÷åâèäíî, ÷òî k1 + · · · + kr = n. Ïîëó÷åííîå ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàåòñÿ ìóëüòèíîìèàëüíûì.

Ïðèìåð 9. Èçâåñòíî, ÷òî ðàçíûå ëþäè îáëàäàþò ðàçëè÷íûìè ãðóïïàìè êðîâè, ïðè÷åì íåêîòîðûå èç íèõ íåñîâìåñòèìû. Íà ñòàíöèè ïåðåëèâàíèÿ êðîâè âàæíî çíàòü êàêèå çàïàñû êðîâè íåîáõîäèìî õðàíèòü. Äëÿ ýòîãî âàæíî çíàòü ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà âîçìîæíîãî ïàöèåíòîâ ïî ãðóïïàì êðîâè. Ïóñòü èç ñòàòèñòè÷åñêèõ íàáëþäåíèé èçâåñòíî, ÷òî äîëÿ ëþäåé ñ i-îé ãðóïïîé êðîâè ðàâíà pi (i = 1, 2, 3, 4). Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå n ïàöèåíòîâ ïî ãðóïïàì êðîâè ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèíîìèàëüíûì ñ ïàðàìåòðàìè n; pi (i = 1, 2, 3, 4). Ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå çàäàåòñÿ ñâîåé ìíîãîìåðíîé ÏÐ 1 1 f (x1 , . . . xr ) = p exp{− (~x − µ ~ )0 C−1 (~x − µ ~ )}, (18) r 2 (2π) detC ãäå µ ~ è C  ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðíûé è ìàòðè÷íûé ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ, ñìûñë êîòîðûõ áóäåò ðàñêðûò ïîçäíåå.

2.5 Äîïîëíåíèÿ Âîïðîñû äëÿ êîíòðîëÿ

23

1. ×òî òàêîå Ñ è ÷åì îíà îïðåäåëÿåòñÿ? 2. ×òî òàêîå ÔÐ Ñ è êàêîâû åå ñâîéñòâà? 3. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ: à) äèñêðåòíîé ÑÂ, á) äèñêðåòíîãî ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, â) ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè, ã) áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ä) ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, å) ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

4. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ: à) íåïðåðûâíîãî è àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèé, á) íåïðåðûâíîãî ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, â) ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ã) íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

5. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ: à) ìíîãîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, á) ìóëüòèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, â) ìíîãîìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

6. Óïðàæíåíèÿ. 1. Âû÷èñëèòü ðàñïðåäåëåíèå ñóììû î÷êîâ ïðè áðîìàíèè äâóõ

èãðàëüíûõ êîñòåé. 2. Äîêàçàòü òåîðåìó 1. 3. Äîêàçàòü òåîðåìó 2.

4.

Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà.

24

Ÿ 3 Õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ÔÐ ñîäåðæèò âñþ íåîáõîäèìóþ èíôîðìàöèþ îòíîñèòåëüíî ÑÂ. Îäíàêî ýòà èíôîðìàöèÿ òðóäíî îáîçðèìà. Ïîýòîìó ÷àñòî ïðèáåãàþò ê íåêîòîðûì ÷èñëîâûì õàðàêòåðèñòèêàì ÑÂ.  ýòîì ïàðàãðàôå ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêèå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè.

3.1 Õàðàêòåðèñòèêè ïîëîæåíèÿ Ïðåæäå âñåãî ïîëåçíî çíàòü îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ïîëîæåíèÿ ÑÂ. Ê òàêèì õàðàêòàðèñòèêàì îòíîñÿòñÿ ìîäà, ìåäèàíà è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå (ñðåäíåå çíà÷åíèå). Îïðåäåëåíèå 1. Ìîäîé íàçûâàåòñÿ íàèáîëåå âåðîÿòíîå ñðåäè îêðóæàþùèõ çíà÷åíèå ÑÂ. Äëÿ äèñêðåòíûõ âåëè÷èí íàèáîëåå âåðîÿòíîå çíà÷åíèå ëåãêî îïðåäåëèòü ñðàâíèâàÿ âåðîÿòíîñòè ñîñåäíèõ çíà÷åíèé ÑÂ. Äëÿ íåïðåðûâíûõ Ñ ìîäîé ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèå, â êîòîðîé ïëîíîñòü äîñòèãàåò ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî Ñ ìîãóò èìåòü îäíó èëè íåñêîëüêî ìîä. Ðàñïðåäåëåíèå ñ åäèíñòâåííîé ìîäîé íàçûâàåòñÿ óíèìîäàëüíûì. Ðàñïðåäåëíèå ñ íåñêîëüêèìè ìîäàìè  ìóëüòèìîäàëüíûì. Òàêèì îáðàçîì ìîäà (èëè ìîäû) ïîêàçûâàåò ïîëîæåíèå íàèáîëåå âåðîÿòíîãî (âåðîÿòíûõ) çíà÷åíèÿ ÑÂ. (ïðèâåñòè ïðèìåðû è ãðàôèêè) Äðóãîé õàðàêòåðèñòèêîé ïîëîæåíèÿ Ñ ÿâëÿåòñÿ åå ìåäèàíà. Îïðåäåëåíèå 2. Ìåäèàíîé íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, êîòîðîå äåëèò çíà÷åíèÿ Ñ íà äâå ðàâíûå ÷àñòè. Äðóãèìè ñëîâàìè, ìåäèàíîé Ñ X ÿâëÿåòñÿ òàêîå ÷èñëî me, ÷òî

P{X < me} = P{X > me} =

1 . 2

(1)

Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ìåäèàíà íå âñåãäà îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Íàïðèìåð, åñëè ÔÐ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0.5 íà öåëîì èíòåðâàëå, òî âñå çíà÷åíèÿ ýòîãî èíòåðâàëà ìîæíî ïðèíÿòü çà ìåäèàíó.  ýòîì ñëó÷àå ìåäèàíîé áóäåì ñ÷èòàòü öåíòð

25 ýòîãî èíòåðâàëà. Íàðÿäó ñ ìåäèàíîé äëÿ ìíîãèõ ïðèëîæåíèé ïîëåçíî ðàññìàòðèâàòü ÷èñëà, îòñåêàþùèå â ðàñïðåäåëåíèè Ñ îïðåäåëåííûå äîëè  êâàíòèëè. Îïðåäåëåíèå 3. α-êâàíòèëüþ èëè 100α%-êâàíòèëüþ ðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî cα , òàêîå ÷òî

P{X < cα } = α.

(2)

(ïðèâåñòè ïðèìåðû è ãðàôèêè ì.á. ÁÎÊÑÏËÎÒ?) Íàêîíåö, âîçìîæíî ñàìîé ðàñïðîñòðàíåííîé õàðàêòåðèñòèêîé ïîëîæåíèÿ Ñ ÿâëÿåòñÿ åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå (ÌÎ). Îïðåäåëåíèå 4. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì Ñ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî MX = µX ≡ µ, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ äèñêðåòíûõ Ñ êàê X µX ≡ µ = xk pk , (3) {âñå çíà÷åíèÿ xk } à äëÿ íåïðåðûâíûõ êàê

Z∞ µX ≡ µ =

x p(x).

(4)

−∞

 ýòîì îïðåäåëåíèè ñèìâîë MX îçíà÷àåò îïåðàöèþ (îïåðàòîð) âû÷èñëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ÌÎ ÿâëÿåòñÿ ñðåäíèì ïî âåðîÿòíîñòè çíà÷åíèåì ÑÂ. Ïîýòîìó âìåñòî ÌÎ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ òåðìèí ñðåäíåå çíà÷åíèå èëè ïðîñòî ñðåäíåå ÑÂ. (ïðèâåñòè ïðèìåðû äëÿ íåïð. è äèñêð. Ñ ) Íèæå ïåðå÷èñëåíû ñâîéñòâà ÌÎ ÑÂ. Òåîðåìà 1. ÌÎ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:

1) M[X + Y ] = MX + MY ; 2) M[cX] = cMX .

Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî â âèäå óïðàæíåíèÿ 1 Ñàìîñòîÿòåëüíî. Ïðèìåðû. Âû÷èñëèì ÌÎ äëÿ íåêîòîðûõ ìîäåëåé Ñ êàê ôóíêöèè îò èõ ïàðàìåòðîâ.

26

1. ÌÎ ðàñïðåäåëåíèé Áåðíóëëè è áèíîìèàëüíîãî. Äëÿ

ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè èìååì

µX = MX = 0(1 − p) + 1p = p.

(5)

Äàëåå, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 1) ÌÎ íàéäåì X µSn = MSn = M Xi = np.

(6)

1≤i≤n

2.

ÌÎ

ðàñïðåäåëåíèÿ

Ïóàññîíà èìååò âèä

Ïóàññîíà. ÌÎ ðàñïðåäåëåíèÿ

3. ÌÎ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ÌÎ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì

3.2 Õàðàêòåðèñòèêè ðàçáðîñà Ê õàðàêòåðèñòèêàì ðàçáðîñà îòíîñÿòñÿ äèñïåðñèÿ è ïðîèçâîäíûå îò íåå: ñòàíäðòíîå îòêëîíåíèå è êîýôôèöèåíò âàðèàöèè. 2 Îïðåäåëåíèå 5. Äèñïåðñèé íàçûâàåòñÿ ÷èñëî DX = σX ≡ σ2 , êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ äèñêðåòíûõ Ñ êàê X 2 σX ≡ σ2 = (xk − µX )2 pk , (7) {âñå çíà÷åíèÿ xk } à äëÿ íåïðåðûâíûõ êàê

Z∞ (x − µX )2 p(x).

µX ≡ µ =

(8)

−∞

√ Âåëè÷èíà σ = DX íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì, à âåëè÷èíà CX = σµ  êîýôôèöèåíòîì âàðèàöèè. Ñèìâîë DX îçíà÷àåò îïåðàöèþ (îïåðàòîð) âû÷èñëåíèÿ äèñïåðñèè. Òåîðåìà 2 (Ñâîéñòâà äèñïåðñèè). Äèñïåðñèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:

1) Äëÿ íåçàâèñèìûõ ÑÂ X è Y D[X + Y ] = DX + DY ;

27

2) D[cX] = c2 DX . 2.

Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî â âèäå óïðàæíåíèÿ

Ïðåèìóùåñòâîì ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî îíî èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è ñàìà Ñ è åå ÌÎ. Êîýôôèöèåíò âàðèàöèè è âîâñå áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà. Ïðèìåðû. Âû÷èñëèì äèñïåðñèè äëÿ íåêîòîðûõ ìîäåëåé Ñ êàê ôóíêöèè îò èõ ïàðàìåòðîâ.

1. Äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèé Áåðíóëëè è áèíîìèàëüíîãî.

Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè èìååì

2 σX = M(X − µX )2 = (0 − p)2 (1 − p) + (1 − p)2 p = p(1 − p).

Äàëåå, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 1) äèñïåðñèè íàéäåì X σS2 n = M(Sn − µSn )2 = D Xi = np(1 − p).

(9)

(10)

1≤i≤n

2. Äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà. Äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ

Ïóàññîíà èìååò âèä

3. Äèñïåðñèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ äèñïåðñèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Çàìåòèì, ÷òî ïîíÿòèÿ ÌÎ è äèñïåðñèè ëåãêî îáîáùàÿþòñÿ íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé.

3.3 Õàðàêòåðèñòèêè çàâèñèìîñòè è âçàèìîçàâèñèìîñòè Ïðè èçó÷åíèè ìíîãîìåðíûõ Ñ âàæíîå çíà÷åíèå èìåþò èõ âçàèìîçàâèñèìîñòè è çàâèñèìîñòè. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå õàðàêòåðèñòèêè çàâèñèìîñòè è ñâÿçè ÑÂ. Îñòàíîâèìñÿ íà õàðàêòåðèñòèêàõ çàâèñèìîñòè è âçàèìîçàâèñèìîñòè ìåæäó äâóìÿ ÑÂ. ( ñëó÷àå ìíîãîìåðíîé Ñ ìîæíî èçó÷àòü ïîïàðíóþ çàâèñèìîñòè åå êîìïîíåíò). Âçàèìîçàâèñèìîñòü ìåæäó Ñ ìîæåò áûòü èçìåðåíà ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòîâ êîâàðèàöèè è êîððåëÿöèè.

28

Êîýôôèöèåíòîì êîâàðèàöèè Ñ X è Y íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, êîòîðîå âû÷èñëÿåòñÿ äëÿ äèñêðåòíûõ Ñ ïî ôîðìóëå X κXY = (X, Y ) = (xi − µX )(yj − µY )pij , ïî âñåì çíà÷åíèÿì Ñ (X, Y ) (11) à äëÿ íåïðåðûâíûõ  ïî ôîðìóëå Z Z κXY = (X, Y ) = (x − µX )(y − µY )p(x, y)dxdy. (12) Çäåñü pij = P{X = xi , Y = yj }  ðàñïðåäåëåíèå Ñ (X, Y ) â äèñêðåòíîì ñëó÷àå, à p(x, y)  ÏÐ Ñ (X, Y )  â íåïðåðûâíîì. Áîëåå óäîáíûì äëÿ õàðàêòåðèçàöèè çàâèñèìîñòè (êàê ñòàíåò âèäíî èç ñëåäóþùåé íèæå òåîðåìû) ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííûé àíàëîã êîýôôèöèåíòà êîâàðèàöèè  êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ êàê

κXY (X, Y ) √ = . (13) σX σY DX DY Èç îïðåäåëåíèÿ ëåãêî âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè: Òåîðåìà 3 (Ñâîéñòâà êîððåëÿöèè). Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: ρXY = √

1) ρ(X, Y ) = ρ(Y, X); 2) |ρ(X, Y )| ≤ 1, èëè −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1; 3) Äëÿ íåçàâèñèìûõ ÑÂ X è Y ρ(X, Y ) = 0; 4) ρ(X, Y ) = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Y = aX + b.

Äîêàçàòåëüñòâî îïóñêàåì.

Ïðèâåäåííûå ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè ïîçâîëÿþò ðàññìàòðèâàòü åãî êàê ìåðó âçàèìîçàâèñèìîñòè ÑÂ. Èññëåäîâàòü çàâèñèìîñòü îäíîé ÑÂ îò äðóãîé (èëè äðóãèõ) ìîæíî òîëüêî â ñðåäíåì. Òàêàÿ çàâèñèìîñòü íàçûâàåòñÿ ðåãðåññèîííîé.

29

Îïðåäåëåíèå 6. Ðåãðåññèåé Y ïî X íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ φ(x) = M[Y |X = x]. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ðåãðåññèÿ X ïî Y . Îïðåäåëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ðåãðåññèÿ õàðàêòåðèçóåò çàâèñèìîñòü îäíîé Ñ îò äðóãîé â ñðåäíåì. Äëÿ íåêîòîðûõ ìíîãîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé (â ÷àñòíîñòè äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ) ðåãðåññèÿ îêàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé, ò.å. èìååò âèä φ(x) = M[Y |X = x] = ax + b.  ýòîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíòû a è b ýòîé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè íàçûâàþò êîýôôèöèåíòàìè ðåãðåññèè.

3.4 Äîïîëíåíèÿ Âîïðîñû äëÿ êîíòðîëÿ 1. Êàêèå õàðàêòåðèñòèêè ïîëîæåíèÿ Ñ Âàì èçâåñòíû? 2. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ: à) ìîäû, á) ìåäèàíû, â) ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.

3. Ñôîðìóëèðóéòå ñâîéñòâà ÌÎ. 4.Êàêèå õàðàêòåðèñòèêè ðàçáðîñà Ñ Âàì èçâåñòíû? 5. Äàéòå îïðåäåëåíèå äèñïåðñèè è ñôîðìóëèðóéòå åå ñâîéñòâà. 6. Äàéòå îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ êîâàðèàöèè è êîððåëÿöèè. 7. Ñôîðìóëèðóéòå ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè. 8. Îáúÿñíèòå ïî÷åìó êîýôôèöèåò êîððåëÿöèè ìîæíî ñ÷èòàòü

ìåðîé âçàèìîçàâèñèìîñòè ÑÂ.

Óïðàæíåíèÿ. 1. Äîêàçàòü òåîðåìó 1. 2. Äîêàçàòü òåîðåìó 2. 3. Âû÷èñëèòü ÌÎ äëÿ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðåäûäóùåãî

ïàðàãðàôà.

30

4. Âû÷èñëèòü ÌÎ äëÿ íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà. 5. Âû÷èñëèòü äèñïåðñèè, ñòàíäàðòíûå îòêëîíåíèÿ è êîýôôèöèåíòû âàðèàöèè äëÿ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà. 6. Âû÷èñëèòü äèñïåðñèè, ñòàíäàðòíûå îòêëîíåíèÿ è êîýôôèöèåíòû âàðèàöèè äëÿ íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà. 7. Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè äëÿ äâóìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. 8. Âû÷èñëèòü ðåãðåññèþ äëÿ äâóìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà.

Ÿ 4 Ýëåìåíòû îáðàáîòêè è ïðåäñòàâëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå ñòàòèñòèêà ÿâëÿåòñÿ èíñòðóìåíòîì (ïðèáîðîì) èçìåðåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé. Ïîýòîìó âñå òåîðåòèêî-âåðîÿòíîñòíûå ïîíÿòèÿ è õàðàêòåðèñòèêè èìåþò ñâîè ñòàòèñòè÷åñêèå àíàëîãè.  íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ íåêîòîðûìè èç ýòèõ ïîíÿòèé è ðàññìîòðèì îñíîâíûå ñïîñîáû ïðåäñòàâëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ.

4.1 Âûáîðêè è èõ ïðåäñòàâëåíèÿ 4.1.1. Âûáîðêè Íàáîð âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé íàáëþäàåìîé Ñ â ñòàòèñòèêå ïðèíÿòî íàçûâàòü ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ. Ìàòåðèàëîì äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà ÿâëÿþòñÿ íàáëþäåíèÿ X1 , X2 , . . . , Xn íàä ýëåìåíòàìè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Ðåçóëüòàò x = (x1 , x2 , . . . , xn ) n íàáëþäåíèé íàä ýëåìåíòàìè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè íàçûâàþò âûáîðêîé îáúåìà n èç äàííîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, èëè ïðîñòî âûáîðêîé. Îäíîé èç ïðèíöèïèàëüíûõ òðóäíîñòåé ïîíèìàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà ÿâëÿåòñÿ äâîéñòâåííîñòü îòíîøåíèÿ ê íàáëþäåíèÿì.

31 Ïîñëå ïðîâåäåíèÿ íàáëþäåíèé ñòàòèñòèê èìååò äåëî ñ ÷èñëàìè (ðåçóëüòàòîì íàáëþäåíèé), îäíàêî íà ñòàäèè ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðèìåíòà áóäóùèå íàáëþäåíèÿ ÿâëÿþòñÿ Ñ ñ íåêîòîðûì îáû÷íî íåèçâåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Ýòà äâîéñòâåííîñòü îòðàæàåòñÿ è â îáîçíà÷åíèÿõ: ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé îáîçíà÷àþòñÿ ìàëûìè áóêâàìè, à ïëàíèðóåìûå íàáëþäåíèÿ  çàãëàâíûìè, õîòÿ ýòó äâîéñòâåííîñòü íå âñåãäà óäàåòñÿ ñîõðàíèòü íà äåëå. Ïðè ýòîì ñàìè íàáëþäåíèÿ ìîãóò ïðîèçâîäèòüñÿ ïî îäíîìó èëè íåñêîëüêèì ïðèçíàêàì.  çàâèñèìîñòè îò ýòîãî âåëè÷èíû Xi áóäóò ñêàëÿðíûìè èëè âåêòîðíûìè (îäíîìåðíûìè èëè ìíîãîìåðíûìè). Óñëîâèÿ ïðîâåäåíèÿ íàáëþäåíèé (èëè ýêñïåðèìåíòîâ) òàêæå ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè. Íàèáîëåå ïðîñòûì äëÿ îáðàáîòêè è àíàëèçà (íî íå âñåãäà äîñòóïíûì è íàèëó÷øèì) ÿâëÿåòñÿ ýêñïåðèìåíò, íàçûâàåìûé ïðîñòûì ñëó÷àéíûì âûáîðîì (ÏÑÂ), ñîñòîÿùèé â ïðîâåäåíèè íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé íàä èçó÷àåìîé âåëè÷èíîé â îäèíàêîâûõ (îäíîðîäíûõ) óñëîâèÿõ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè èññëåäóåìûé ïðèçíàê â ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ðàñïðåäåëåí ïî çàêîíó ñ ÏÐ p(x), òî âûáîðêà x = (x1 , x2 , . . . , xn ) èìååò ÏÐ Y p(xi ). p(x) = p(x1 , x2 , . . . , xn ) = p(x1 ) · · · p(xn ) = 1≤i≤n

Ñóùåñòâóþò è äðóãèå ïëàíû ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòîâ, îäíàêî â íàñòîÿùåì êóðñå ìû îãðàíè÷èâàåìñÿ ÏÑÂ. Âû÷èñëåííûå ïî âûáîðêå õàðàêòåðèñòèêè íàçûâàþòñÿ âûáîðî÷íûìè èëè ýìïèðè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè.  ñòàòèñòèêå ïðèíÿòî âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè îáîçíà÷àòü òåìè æå áóêâàìè, ÷òî è èõ òåîðåòè÷åñêèå àíàëîãè, íî ñ êîëïà÷êîì ñâåðõó. Êàê â êëàññè÷åñêîé ñòàòèñòèêå, òàê è â âîïðîñàõ ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðèìåíòà ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ñ îáðàáîòêîé ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ. Ðàññìîòðèì êðàòêî îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è ïðèåìû, èñïîëüçóåìûå ïðè îáðàáîòêå ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ.

4.1.2. Âàðèàöèîííûé ðÿä Ïóñòü èìååòñÿ âûáîðêà x = (x1 , x2 , . . . , xn ) èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ïî îäíîìó ÷èñëîâîìó ïðèçíàêó. Óïîðÿäî÷åííàÿ â

32 ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ýëåìåíòîâ âûáîðêà

x(1) , x(2) , . . . , x(n)

ñ x(i) ≤ x(i+1)

íàçûâàåòñÿ âàðèàöèîííûì ðÿäîì, à åå ýëåìåíòû âàðèàíòàìè, èëè ïîðÿäêîâûìè ñòàòèñòèêàìè. Ïðè ýòîì ìèíèìàëüíûé è ìàêñèìàëüíûé ÷ëåíû âûáîðêè ñîâïàäàþò ñîîòâåòñòâåííî ñ ïåðâûì è ïîñëåäíèì (êðàéíèìè) ÷ëåíàìè âàðèàöèîííîãî ðÿäà: xmin = mini xi = x(1) , xmax = maxi xi = x(n) . Âåëè÷èíà R = x(n) − x(1) íàçûâàåòñÿ ðàçìàõîì âûáîðêè.

Çàìå÷àíèå. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ïðè âûáîðêè èçìåíÿþòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿ åå ÷ëåíîâ.

óïîðÿäî÷èâàíèè

Ïî âàðèàöèîííîìó ðÿäó ëåãêî ïîñòðîèòü âûáîðî÷íûå ìåäèàíó me c è êâàíòèëè cc α. Âûáîðî÷íîé ìåäèàíîé íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèå âûáîðêè, äåëÿùåå åå íà äâå ðàâíûå ÷àñòè. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âûáîðêè íå÷åòíîãî îáúåìà n = 2k + 1 âûáîðî÷íîé ìåäèàíîé ÿâëÿåòñÿ k + 1-îå çíà÷åíèå âûáîðêè, me c = x(k+1) , à äëÿ âûáîðêè ÷åòíîãî îáúåìà n = 2k çà âûáîðî÷íóþ ìåäèàíó ìîæíî ïðèíÿòü ëþáîå èç ÷èñåë â èíòåðâàëå [x(k) , x(k+1) ], îäíàêî ìû áóäåì ïîëàãàòü â ýòîì ñëó÷àå, ÷òî âûáîðî÷íàÿ ìåäèàíà ðàâíà x +x me c = (k) 2 (k+1) . Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ âûáîðî÷íûå êâàíòèëè.  ÷àñòíîñòè, íèæíåé âûáîðî÷íîé êâàðòèëüþ ÿâëÿåòñÿ íàáëþäåíèå ñ íîìåðîì l = [n = over4] +£1, ¤à âåðõíåé âûáîðî÷íîé êâàðòèëüþ  íàáëþäåíèå ñ íîìåðîì l = 3n 4 + 1. Âûáîðî÷íûå ìàäèàíà è êâàðòèëè ïîçâîëÿþò äàòü ïðîñòåéøåå íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå âûáîðêè â âèäå ïðÿìîóãîëüíîé äèàãðàììû (box plot). Ïðÿìîóãîëüíàÿ äèàãðàììà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìîóãîëüíèê ñ öåíòðîì â òî÷êå me c è íèæíåé è âåðõíåé ñòîðîíîé â òî÷êàõ c\ [n 4 ]+1 è c\ ñîîòâåòñòâåííî. [ 3n ]+1 4 Îñîáåííî ïîëåçíî ñòðîèòü òàêèå äèàãàðììû äëÿ ñðàâíåíèÿ àíàëîãè÷íûõ íàáëþäåíèé íàä ðàçëè÷íûìè îáúåêòàìè. Ïðèìåð. Íåîáõîäèì !!!

33

4.1.3. Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Îáîçíà÷èì ÷åðåç Fn (x) äîëþ ñðåäè n íàáëþäåíèé x1 , . . . , xn íå ïðåâîñõîäÿùèõ x, ò.å.

Fn (x) = =

1 × {÷èñëî íàáëþäåíèé ≤ x} = n k ïðè x(k−1) < x ≤ x(k) . n

(1)

Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà Fn (x) ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì x ÿâëÿåòñÿ ÑÂ, à ôóíêöèÿ Fn (x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèìåð ñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ Fn (x) íàçûâàåòñÿ ýìïèðè÷åñêîé èëè âûáîðî÷íîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ (ÝÔÐ). Åå çíà÷åíèå äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè è ñâÿçü ñ òåîðåòè÷åñêîé ÔÐ ðàñêðûâàþòñÿ ñëåäóþùèìè ôóíäàìåíòàëüíûìè òåîðåìàìè. Òåîðåìà 1 (Ãëèâåíêî). Äëÿ âñåõ x èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå

Fn (x) → F (x)

ïî âåðîÿòíîñòè è ñ âåðîÿòíîñòüþ 1.

Äîêàçàòåëüñòâî âûòåêàåò èç îáû÷íîãî èëè óñèëåííîãî ÇÁ×, åñëè çàìåòèòü, ÷òî Ñ nFn (x) èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì F (x). 2 Îáîçíà÷èì òåïåðü Dn = maxx∈R |Fn (x) − F (x)|. Òåîðåìà 2. (Ãëèâåíêî-Êàíòåëëè). Ñõîäèìîñòü Fn (x) ê F (x) ïî÷òè íàâåðíîå ðàâíîìåðíàÿ, ò.å.

Dn → 0

ñ âêðîÿòíîñòþ 1.

Òåîðåìà 3. Êîëìîãîðîâ. Ñïðàâåäëèâî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå √ lim P{ nDn ≤ x} = K(x) =

n→∞

X

(−1)k e−2k

2

x2

−∞ 1, èíîãäà îêàçûâàåòñÿ íåóäîáíûì õðàíèòü è îáðàáàòûâàòü òàêîé áîëüøîé îáúåì èíôîðìàöèè. Äëÿ ñîêðàùåíèÿ ýòîãî îáúåìà (õîòÿ è ñ íåêîòîðîé ïîòåðåé èíôîðìàöèè) ÷àñòî

35 ïðèáåãàþò ê ãðóïïèðîâêå äàííûõ è ïîñòðîåíèþ ðÿäîâ ðàñïðåäåëåíèé è ÝÔÐ ïî ñãðóïïèðîâàííûì äàííûì. Ãðóïïèðîâêà äàííûõ ñîñòîèò â òîì, ÷òî âåñü èíòåðâàë èçìåíåíèÿ íàáëþäàåìîé âåëè÷èíû, ò.å. èíòåðâàë [x(1) , x(n) ] ðàçáèâàþò íà íåñêîëüêî k (îáû÷íî k = 10 − 20) ïîäèíòåðâàëîâ îäèíàêîâîé (èëè ðàçíîé, íî ÷àùå îäèíàêîâîé) äëèíû, âû÷èñëÿþò ÷èñëî âàðèàíò, ïîïàâøèõ â êàæäûé èõ èç ïîäèíòåðâàëîâ è ñîñòàâëÿþò ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä âèäà Òàáë. 2. Ãðóïïèðîâêà äàííûõ èíòåðâàëû (y0 , y1 ] ... ÷èñëî íàáëþäåíèé n1 ...

(yk−1 , yk ] nk

Çäåñü yi (i = 0, k) ÿâëÿþòñÿ êîíöàìè ïîäèíòåðâàëîâ, à ïðè ïîäñ÷åòå ÷àñòîò ni íåîáõîäèìî ïîçàáîòèòüñÿ, ÷òîáû êàæäóþ âàðèàíòó ñ÷èòàòü òîëüêî îäèí ðàç, ò.å. ãðàíèöû ïîäèíòåðâàëîâ ∆i ïðèñîåäèíÿòü ê îäíîìó èç íèõ. Ïî ñãðóïïèðîâàííûì äàííûì ìîæíî ñòðîèòü ÝÔÐ, ïðèïèñûâàÿ åå ñêà÷åê êàêîé-ëèáî òî÷êå (îáû÷íî öåíòðó) ïîäèíòåðâàëà. Äëÿ íàãëÿäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåííëîé Ñ ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ ãèñòîãðàììîé ÷àñòîò (èëè îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò), êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ ïî ñãðóïïèðîâàííûì äàííûì ñëåäóþùèì îáðàçîì: îñü àáñöèññ ðàçáèâàåòñÿ íà èíòåðâàëû ãðóïïèðîâêè è íàä êàæäûì èíòåðâàëîì ñòðîèòñÿ ïðÿìîóãîëüíèê âûñîòîé nni èëè ni ñîîòâåòñâåííî n∆ . Òàêèì îáðàçîì, ïëîùàäü ïîëó÷èâøåéñÿ ôèãóðû i ðàâíà ñîîòâåòñòâåííî x(n) − x(1) èëè 1. Çíà÷åíèå ãèñòîãðàììû îïðåäåëÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè n è óìåíüøåíèè èíòåðâàëà äåëåíèÿ ∆ îíà ñõîäèòñÿ ê òåîðåòè÷åñêîé ÏÐ

hn (x) → p(x)

ïðè n → ∞è ∆ → 0.

Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ãðóïïèðîâêó äàííûõ è ïîñòðîåíèå ÝÔÐ è ãèñòîãðàììû äëÿ äàííûõ èç ïðèìåðà 1. Çàìå÷àíèå. Îáðàáîòêó ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ ìîæíî îñóùåñòâëÿòü íà ÝÂÌ. Âñå ñòàòàòèñòè÷åñêèå ïàêåòû, âêëþ÷àÿ EXCEL, ñîäåðæàò ñðåäñòâà ïðåäâàðèòåëüíîé îáðàáîòêè äàííûõ.

36

4.3 Ïðåäñòàâëåíèå ìíîãîìåðíûõ äàííûõ Çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå îáðàáîòêà è ïðåäñòàâëåíèå ìíîãîìåðíûõ äàííûõ. Íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ïîëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èëè òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ (÷àñòîò, îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò) âîçìîæíî ëèøü â äâóìåðíîì ñëó÷àå. Ïóñòü èìååòñÿ âûáîðêà x1 , . . . , xn íàáëþäåíèé ïî äâóì ïðèçíàêàì xi = (yi , zi ). Òîãäà â ñèñòåìå êîîðäèíàò y0z (ñì. ðèñ. ?) íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î äâóìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè ìîæíî ïîëó÷èòü â âèäå ïîëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ... Äðóãèì ñïîñîáîì íàãëÿäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ äâóìåðíûõ äàííûõ ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâëåíèå òàáëèö ðàñïðåäåëåíèé (ðèñ. ?), â ÿ÷åéêàõ êîòîðûõ óêàçûâàåòñÿ êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé, ïîïàâøèõ â ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåðâàëû çíà÷åíèé ïðèçíàêîâ. (ñì. òàêæå äâóìåðíûå ãèñòîãðàììû è ò.ï.)

4.4 Âûáîðî÷íûå ìîìåíòû 4.4.1. Îïðåäåëåíèÿ  òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðè èçó÷åíèè îäíî- è ìíîãîìåðíûõ Ñ ìû ÷àñòî ïîëüçóåìñÿ ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ýòèõ Ñ è èõ ðàñïðåäåëåíèé  ìîìåíòàìè (ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, äèñïåðñèåé, êîýôôèöèåíòàìè êîâàðèàöèè è êîððåëÿöèè è äð.). Ïðè èçó÷åíèè âûáîðîê è èõ ñâîéñòâ â ñòàòèñòèêå ïîëüçóþòñÿ àíàëîãè÷íûìè ïîíÿòèÿìè âûáîðî÷íûõ ìîìåíòîâ. Âûáîðî÷íûìè, èëè ýìïèðè÷åñêèìè ìîìåíòàìè íàçûâàþòñÿ ìîìåíòû, âû÷èñëåííûå ñ ïîìîùüþ ÝÔÐ.  äàëüíåéøåì áóäåò âèäíî, êàêóþ âàæíóþ ðîëü èãðàþò âûáîðî÷íûå ìîìåíòû â ñòàòèñòèêå.  ñòàòèñòèêå ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü òåîðåòè÷åñêèå ìîìåíòû ãðå÷åñêèìè áóêâàìè, à âûáîðî÷íûå ñîîòâåòñâóþùèìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè (èëè îòìå÷àòü êîëïà÷êîì). Òàêèì îáðàçîì, ÷åðåç µ0k è µk îáîçíà÷àþòñÿ òåîðåòè÷åñêèå

37 íà÷àëüíûå è öåíòðàëüíûå ìîìåíòû, ò.å. Z µ0k = xk p(x)dx, Z µk = (x − µ)k p(x)dx, à ÷åðåç m0k è mk - ñîîòâåòñâóþùèå âûáîðî÷íûå ìîìåíòû, Z 1 X k xk dFn (x) = m0k = xi , n 1≤i≤n Z 1 X mk = (x − µ)k dFn (x) = (xi − m)k . n 1≤i≤n

Ïåðâûå äâà ìîìåíòà êàê òåîðåòè÷åñêèå, òàê è âûáîðî÷íûå èìåþò ñïåöèàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ,

µ01

=

µ,

m01 = m = x ¯=

1 X xi , n 1≤i≤n

µ2

=

σ2 ;

1 X m2 = S 2 = (xi − x ¯)2 , n 1≤i≤n

ïðè ýòîì x ¯ àíàëîãè÷íî µ õàðàêòåðèçóåò öåíòð âûáîðêè, à S 2 àíàëîãè÷íî σ 2  åå ðàçáðîñ.  ñëó÷àå ìíîãîìåðíûõ âûáîðîê, ò.å. íàáëþäåíèé ïî íåñêîëüêèì ïðèçíàêàì, îäíîìåðíûå âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè, êàê è îäíîìåðíûå òåîðåòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè âû÷èñëÿþòñÿ ïî ñîîòâåòñòâóþùèì ìàðãèíàëüíûì 2 ðàñïðåëåíåíèÿì è ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñâóþùèìè õàðàêòåðèñòèêàìè, âû÷èñëåííûì ïî íàáëþäåíèÿì çà îäíèì ïðèçíàêîì. Äîïîëíèòåëüíîãî ïîÿñíåíèÿ òðåáóþò òîëüêî ñìåøàííûå ìîìåíòû.  äàëüíåéøåì íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü òîëüêî âòîðûå ñìåøàííûå ìîìåíòû. Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ k -ìåðíîé Ñ X = (X1 , . . . , Xk ) ñ ÔÐ

F (x) = F (x1 , . . . xk ) = P{X1 ≤ x1 , . . . Xk ≤ xk } 2 Íàïîìíèì, ÷òî ìàðãèíàëüíûì íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå îäíîé èëè íåñêîëüêèõ êîìïîíåíò ìíîãîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

38 è ÏÐ

p(x) = p(x1 , . . . xk ) =

∂kF ∂x1 · · · ∂xk

òåîðåòè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû êîâàðèàöèè îïðåäåëÿþòñÿ êàê Z Z κij = cov(Xi , Xj ) = · · · (xi − µi )(xj − µj )p(x1 , . . . , xk )dx1 · · · dxk , à èõ íîðìèðîâàííûå àíàëîãè  êîýôôèöèåíòû êîððåëÿöèè  ôîðìóëàìè cov(Xi , Xj ) κij p ρij = √ = . σ VXi VXj i σj Âûáîðî÷íûå êîýôôèöèåíòû êîâàðèôöèè è êîððåëÿöèè èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä

kij

=

1 X (xli − x ¯i )(xlj − x ¯j ), n

=

kij . Si Sj

1≤l≤n

rij

Èç ñõîäèìîñòè ÝÔÐ ê òåîðåòè÷åñêîé (ñì. òåîðåìû 1-3) ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ýìïèðè÷åñêèõ ìîìåíòîâ ê òåîðåòè÷åñêèì â ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ ïîñëåäíèõ.

4.4.2. Âû÷èñëåíèå âûáîðî÷íûõ ìîìåíòîâ ïî ñãðóïïèðîâàííûì äàííûì Âû÷èñëåíèå âûáîðî÷íûõ ìîìåíòîâ îñòàåòñÿ â ñèëå è â òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ÝÔÐ, ïîñòðîåííîé ïî ñãðóïïèðîâàííûì äàííûì. Íóæíî, îäíàêî, ïîìíèòü, ÷òî ïðè ãðóïïèðîâêå äàííûõ èñòèííûå çíà÷åíèÿ âàðèàíò ñìåùàþòñÿ (â öåíòð èëè îäèí èç êîíöîâ èòåðâàëîâ ãðóïïèðîâêè) îòíîñèòåëüíî ñâîèõ ÷àñòîò. Ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ ìîìåíòîâ, âû÷èñëåííûå ïî ñãðóïïèðîâàííûì äàííûì, îòëè÷àþòñÿ îò ñîîòâåòñâóþùèõ âåëè÷èí, ïîëó÷åííûì áåç ãðóïïìðîâêè. Ïðè ýòîì âûáîðî÷íûå ìîìåíòû, âû÷èñëåííûå ïî ñãðóïïèðîâàííûì äàííûì, îáëàäàþò íåêîòîðûìè ñèñòåìàòè÷åñêèìè îøèáêàìè ïî

39 ñðàâíåíèþ ñ òåîðåòè÷åñêèìè ìîìåíòàìè, çàâèñÿùèìè îò èíòåðâàëà ãðóïïèðîâêè. Ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ ìîæíî ââåñòè ïîïðàâêè íà ãðóïïèðîâêó äàííûõ, íàçûâàåìûå ïîïðàâêàìè Øåïïàðäà, ïîçâîëÿþùèå óñòðàíèòü ýòî ñìåùåíèå (ñì. [?]).

4.5 Äîïîëíåíèÿ Âîïðîñû äëÿ êîíòðîëÿ 1. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ: à) ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, á) âûáîðêè, â) âàðèàöèîííîãî ðÿäà, ã) ðàçìàõà âûáîðêè, ä) ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, å) ãèñòîãðàììû.

2. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìû î ñõîäèìîñòè ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ê òåîðåòè÷åñêîé. 3.  ÷åì ñîñòîèò ãðóïïèðîâêà äàííûõ è êîãäà îíà èñïîëüçóåòñÿ? 4. ×òî òàêîå ïîëå íàáëþäåíèé? 5. 6.

Óïðàæíåíèÿ. 1. 2. 3. à) â) ä)

Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà  . 1. Ïî ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì, ïðèâåäåííûì â òàáëèöå ?

ïîñòðîèòü èñïîëüçóÿ ñðåäñòâà EXEL:

40 à) âàðèàöèîííûé ðÿä, á) ýìïèðè÷åñêóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, â) ãèñòîãðàììó, ã) ïðÿìîóãîëüíóþ äèàãðàììó.

2. Èñïîëüçóÿ äâóìåðíûå ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå èç òàáëèöû ? ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ ñðåäñòâ EXEL: à) ïîëå íàáëþäåíèé, á) äâóìåðíóþ ãèñòîãðàììó.

3. Èñïîëüçóÿ òå æå ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå è ñðåäñòâà EXEL âû÷èñëèòü ïåðâûå è âòîðûå âûáîðî÷íûå ìîìåíòû.

41

Ÿ 5 Îöåíêà ïàðàìåòðîâ Ïðèìåðû ðàñïðåäåëåíèé, ïðèâåäåííûå ⠟ 2, è ðàññìîòðåííûå òàì èõ ñâîéñòâà ïîêàçûâàþò, ÷òî ìíîãèå ñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ è/èëè îïèñûâàþùèå èõ Ñ íà îñíîâå èõ ñâîéñòâ ìîãóò áûòü çàðàíåå ñìîäåëèðîâàíû ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàñïðåäåëåíèé ñ òî÷íîñòüþ äî ïàðàìåòðîâ. Ïîýòîìó âîçíèêàåò âàæíàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàäà÷à îöåíèâàíèÿ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàííîãî âèäà ïî íàáëþäåíèÿì. Îäíèì èç íàèáîëåå ïðîñòûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ìîìåíòîâ.

5.1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ìåòîä ìîìåíòîâ Ïóñòü Ñ X ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó êëàññó ðàñïðåäåëåíèé F (x; θ) ñ íåèçâåñòíûì (ñêàëÿðíûì èëè âåêòîðíûì) ïàðàìåòðîì θ ∈ Θ. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïî âûáîðêå x1 , . . . , xn îáúåìà n (ðàçìåð âûáîðêè îïðåäåëÿåòñÿ çàðàíåå) îöåíèòü çíà÷åíèå íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ, ò.å. ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå íàáëþäåíèÿì x1 , . . . , xn ÷èñëî θˆ, êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü îöåíêîé ïàðàìåòðà θ. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ôóíêöèè tn = t(x1 , . . . , xn ), êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå îöåíêè ïàðàìåòðà θ, ò.å. òàêóþ, ÷òîáû åå çíà÷åíèÿ θˆ áûëè áëèçêè â íåêîòîðîì ñìûñëå ê θ ïðè ëþáûõ θ è x1 , x2 , . . . , xn . Îïðåäåëåíèå 1. Ôóíêöèÿ t(x1 , . . . , xn ) îò íàáëþäåíèé íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòèêîé.  Ÿ 4 íà îñíîâå ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðåì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé áûëî ïîêàçàíî, ÷òî âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ñõîäÿòñÿ ê òåîðåòè÷åñêèì è, òàêèì îáðàçîì, ÿâëÿþòñÿ èõ õîðîøèìè îöåíêàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè íåîáõîäèìî îöåíèòü ëèøü ìîìåíòû (íàïðèìåð, ÌÎ µ èëè äèñïåðñèþ σ 2 Ñ X ), òî äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè âûáîðî÷íûìè ìîìåíòàìè,

¯ µ ˆ = X,

σˆ2 = S 2 .

(1)

Îäíàêî âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû è äëÿ áîëåå ãëóáîêîãî àíàëèçà ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ. À èìåííî, åñëè èç òåîðåòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ

42 Ñ ïðèíàäëåæèò çàäàííîìó êëàññó ðàñïðåäåëåíèé, íî åãî ïàðàìåòðû íåèçâåñòíû, òî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ âûáîðî÷íûìè ìîìåíòàìè äëÿ îöåíêè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ñâÿçàòü ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ ñ òåîðåòè÷åñêèìè ìîìåíòàìè è ðåøèòü ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ, ò.å. âûðàçèòü ïàðàìåòðû â âèäå ôóíêöèé îò íåîáõîäèìîãî êîëè÷åñòâà ìîìåíòîâ. Ïðè ýòîì ïîòðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü íåîáõîäèìîå êîëè÷åñòâî (ðàâíîå ÷èñëó íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ) ìîìåíòîâ ðàñïðåäåëåíèÿ â âèäå ôóíêöèé îò íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ Çàòåì ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèÿ äëÿ ïàðàìåòðîâ âìåñòî òåîðåòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ èõ âûáîðî÷íûå àíàëîãè ïîëó÷èì íåîáõîäèìûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ. Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ýòîãî ìåòîäà íà íåñêîëüêèõ ïðèìåðàõ

5.2 Ïðèìåðû Îöåíêà íåèçâåñòíîé âåðîÿòíîñòè â ñõåìå Áåðíóëëè Ðàññìîòðèì ïðîñòîé ïðèìåð ñõåìû Áåðíóëëè. Ïóñòü Ñ X ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ 0 èëè 1, ïðè÷åì P{X = 1} = p, ãäå p ∈ (0, 1)]  íàáîð âîçìîæíûõ çíà÷åíèé âåðîÿòíîñòè óñïåõà â ðàññìàòðèâàåìîì ýêñïåðèìåíòå.  äàííîì ñëó÷àå ýëåìåíòû âûáîðêè x1 , . . . , xn ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ ëèáî 0, ëèáî 1 è çàäà÷à ñîñòîèò â îöåíêå çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà p. Äëÿ áåðíóëëèåâîé Ñ èçâåñòíî (ñì. Ÿ 3), ÷òî MX = p. Ïîýòîìó ñîãëàñíî ìåòîäó ìîìåíòîâ íàèëó÷øåé îöåíêîé âåðîÿòíîñòè óñïåõà áóäåò ñðåäíåå ÷èñëî hn óñïåõîâ â ñåðèè èç n èñïûòàíèé

¯ = Sn = hn . pˆ = X n

(2)

Ýòîò ðåçóëüòàò âïîëíå ñîãëàñóåòñÿ ñ èíòóèòèâíûì ïðåäñòàâëåíèåì îöåíêè âåðîÿòíîñòè â ñõåìå Áåðíóëëè. Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ýòîé îöåíêè. Òàê êàê ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì Ÿ 2 âåëè÷èíà Sn èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, à ñîãëàñíî (??.4bi) MSn = np, òî ñîãëàñíî ñâéîñòâàì ÌÎ

Mhn = p.

(3)

43 Òàêèì îáðàçîì, îöåíêà ãðóïïèðóåòñÿ âîêðóã îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà. Èç êóðñà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé èçâåñòíî, ÷òî ïðè n → ∞ ÷àñòîòà ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè (è ñ âåðîÿòíîñòüþ 1) ê âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ (çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë), hn → p. Áîëåå òîãî ñëåäóÿ ÖÏÒ ìîæíî îöåíèòü âåðîÿòíîñòè îòêëîíåíèé ÷àñòîòû hn îò èñòèííîé âåðîÿòíîñòè p, r ¾ ¯ ½ ½¯ ¾ ¯ ν − np ¯ pq ¯ ≤ x → Φ(x) − Φ(−x) P |hn − p| ≤ x = P ¯¯ √ n npq ¯ = 2Φ(x) − 1, (4) ãäå Φ(x) - ÔÐ ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ÑÂ. Èç ýòèõ ðàññóæäåíèé ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíó hn äåéñòâèòåëüíî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îöåíêó ïàðàìåòðà p; áîëåå òîãî ñîîòíîøåíèå (4) ïîçâîëÿåò îöåíèòü, â íåêîòîðîì ñìûñëå, òî÷íîñòü è íàäåæíîñòü ýòîé îöåíêè.

Îöåíêè ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Èç ðåçóëüòàòî⠟ 2 ñëåäóåò, ÷òî

MN (µ, σ 2 ) = µ,

DN (µ, σ 2 ) = σ 2 .

Òàêèì îáðàçîì, ñëåäóÿ ìåòîäó ìîìåíòîâ äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äîñòàòî÷íî îöåíèòü äâà åãî ïåðâûõ ìîìåíòà, ÌÎ è äèñïåðñèþ. Îäíàêî, èçâåñòíî, ÷òî âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ÿâëÿþòñÿ õîðîøèìè îöåíêàìè èõ òåîðåòè÷åñêèõ àíàëîãîâ. Òàêèì îáðàçîì, îöåíêàìè ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ ÿâëÿþòñÿ ¯ µ ˆ = X, σˆ2 = S 2 . (5) Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå ñâîéñòâà îöåíîê, ïîëó÷åííûõ ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ.

5.3 Ñâîéñòâà îöåíîê ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ Ñîñòîÿòåëüíîñòü. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñòàòèñòèêó θˆ = t(x1 , . . . , xn ) ìîæíî áûëî ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå îöåíêè ïàðàìåòðà θ íåîáõîäèìî, ÷òîáû

44 îöåíêà ïðèáëèæàëàñü ê îöåíèâàåìîìó ïàðàìåòðó ïðè óâåëè÷åíèè ðàçìåðà âûáîðêè. Òàêèå îöåíêè âûäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 2. Îöåíêà íàçûâàåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè îíà ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê îöåíèâàåìîìó ïàðàìåòðó,

P{|θˆn − θ| < ²} → 1

äëÿ ëþáûõ ² > 0 è θ ∈ Θ

ïðè n → ∞.

 ñèëó ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðåì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ñõîäÿòñÿ ê òåîðåòè÷åñêèì (ïî âåðîÿòíîñòè è ñ âåðîÿòíîñòüþ 1). Ïîýòîìó â òîì ñëó÷àå, êîãäà ïàðàìåòðû ñîâïàäàþò ñ ìîìåíòàìè (êàê, íàïðèìåð, äëÿ áåðíóëëèåâà è íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèé) èõ îöåíêè ÿâëÿþòñÿ ñîñòîÿòåëüíûìè.  îáùåì ñëó÷àå ñõîäèìîñòü ìîìåíòîâ òàêæå îáû÷íî âëå÷åò ñõîäèìîñòü ôóíêöèé îò íèõ, òàê ÷òî îöåíêè ïàðàìåòðîâ, ïîëó÷åííûå ìåòîäîì ìîìåíòîâ, òàêæå îáû÷íî ÿâëÿþòñÿ ñîñòîÿòåëüíûìè.

Ïðèìåðû.

1. hn - ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà p (ñì. ï. 4.1);

¯ - ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà µ (ïðîâåðèòü ñàìîñòîÿòåëüíî). 2. X Äðóãîå âàæíîå ñâîéñòâî îöåíîê  èõ íåñìåùåííîñòü.

Íåñìåùåííîñòü. Ïîíÿòèå ñîñòîÿòåëüíîñòè - àñèìïòîòè÷åñêîå. Îäíàêî íà ïðàêòèêå âñåãäà ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ âûáîðêàìè êîíå÷íîãî ðàçìåðà. Ïîýòîìó ê îöåíêàì íåîáõîäèìî ïðåäúÿâëÿòü òàêèå òðîåáîâàíèÿ, ÷òîáû îíè äàâàëè õîðîøèå ðåçóëüòàòû äëÿ âûáîðîê êîíå÷íîãî ðàçìåðà. Åñòåñòâåííîå òðåáîâàíèå äëÿ ýòîãî ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû âû÷èñëåííûå äëÿ ðàçëè÷íûõ âûáîðîê çíà÷åíèÿ îöåíîê θˆ ãðóïïèðîâàëèñü âîêðóã èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà θ. Îïðåäåëåíèå 3. Îöåíêà θˆ íàçûâàåòñÿ íåñìåùåííîé, åñëè

ˆ 1 , . . . , xn ) = θ Mθ θ(x

äëÿ âñåõ θ ∈ Θ.

Çäåñü Mθ îçíà÷àåò ñèìâîë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, âû÷èñëåííîãî ïî ðàñïðåäåëåíèþ Pθ ñ ïàðàìåòðîì θ.

Ïðèìåðû.

45

¯ - íåñìåùåííàÿ îöåíêà µ â ìîäåëè ñ ïðîèçâîëüíûì ñåìåéñòâîì 1. X ðàñïðåäåëåíèé ñ íåèçâåñòíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì µ; P 2. S 2 = n1 1≤i≤n (xi − x ¯)2 - ñìåùåííàÿ îöåíêà äèñïåðñèè σ 2 â ìîäåëè ñ ïðîèçâîëüíûì ñåìåéñòâîì ðàñïðåäåëåíèé, çàâèñÿùèì îò äâóõ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ: ÌÎ. µ è äèñïåðñèè σ 2 .  ïîñëåäíåì ñëó÷àå, îäíàêî, ñìåùåíèå ìîæíî óñòðàíèòü, çàìåíèâ îöåíêó äèñïåðñèè íà

S2 =

X 1 (xi − x ¯ )2 n−1

(6)

1≤i≤n

Ýôôåêòèâíîñòü. Íåñìåùåííàÿ îöåíêà ãðóïïèðóåòñÿ âîêðóã îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà. Îäíàêî, åñòåñòâåííî, ÷òî ñðåäè òàêèõ îöåíîê ëó÷øåé áóäåò òà, ó êîòîðîé äèñïåðñèÿ íàèìåíüøàÿ. Ïîíÿòèå ýôôåêòèâíîñòè îöåíêè ñâÿçàíî ñ ìèíèìèçàöèåé åå äèñïåðñèè. Îïðåäåëåíèå 4. Íåñìåùåííàÿ îöåíêà θˆ∗ íàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíîé, åñëè íà íåé äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì äèñïåðñèè âîçìîæíûõ îöåíîê â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè,

ˆ 1 , . . . , xn ) : äëÿ âñåõ θ] ˆ Dθ θˆ∗ (x1 , . . . , xn ) = min[Dθ θ(x äëÿ âñåõ θ ∈ Θ. Ïîñòðîåíèå ýôôåêòèâíûõ îöåíîê  íå ïðîñòàÿ çàäà÷à. Ñóùåñòâóþò ñïîñîáû ïðîâåðêè ýôôåêòèâíîñòè îöåíîê, îäíàêî èõ èçó÷åíèå âûõîäèò çà ðàìêè íàñòîÿùåãî êóðñà.

5.4 Äîïîëíåíèÿ Âîïðîñû äëÿ êîíòðîëÿ 1. Êàê âîçíèêàåò ïðîáëåìà îöåíêè ïàðàìåòðîâ ìîäåëè? 2.  ÷åì ñîñòîèò ñóùíîñòü ìåòîäà ìîìåíòîâ? 3. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ: à) ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêè,

46 á) íåñìåùåííîé îöåíêè, â) ýôôåêòèâíîé îöåíêè.

4. Óïðàæíåíèÿ. 1. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìîìåíòîâ íàéäèòå îöåíêè ïàðàìåòðîâ: à) ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè; á) áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ïàðàìåòð p); â) ãåîìåòðíè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ; ã) ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà; ä) ðàâíîìåðíîãî íà îòðåçêå [a, b] ðàñïðåäåëåíèÿ; å) ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

2. Ïðîâåðèòü ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíîê: à) µ ˆ = 12 (x(1) + x(n) ); á) µ ˆ = k1 (x(1) + x(2) + · · · + x(2k−1) ), n = 2k ; â) Fˆ (x) = Fn (x).

3. Ïðîâåðèòü íåñìåùåííîñòü îöåíîê: à) µ ˆ = x1 ; â) µ ˆ=

1 2 (x1

á) µ ˆ = x(1) ;

+ x2 );

ã) µ ˆ = 12 (x1 + xn );

ä) µ ˆ = 12 (x(1) + x(n) );

å) σˆ2 = x21 ;

æ) σˆ2 = (x1 − x ¯)2 ;

ç) σˆ2 = (x(n) − x(1) )2 ;

è) pˆ = hn ;

ê) pˆ = 21 (x(1) + x(n) );

Ïðèâåäèòå íåñêîëüêî ñàìîñòîÿòåëüíûõ ïðèìåðîâ íåñìåùåííûõ è ñìåùåííûõ îöåíîê.

4. à) â) ä)

47

Ÿ6 Îöåíêà òî÷íîñòè è íàäåæíîñòè ñòàòèñòè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ 6.1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Îïðåäåëåíèÿ Òåîðèÿ òî÷å÷íîãî îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ, ðàññìîòðåííàÿ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, ïîçâîëÿåò ñòðîèòü îöåíêè θˆ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ θ â âèäå ôóíêöèé θˆ = t(x1 , x2 , . . . , xn ) îò âûáîðî÷íûõ (íàáëþäåííûõ) çíà÷åíèé x = (x1 , x2 , . . . , xn ). Ïðè ýòîì íóæíî îòäàâàòü ñåáå îò÷åò â òîì, ÷òî äàæå íàèëó÷øèå îöåíêè ïîçâîëÿþò îöåíèâàòü íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû ëèøü â ñðåäíåì, ò.å. â êà÷åñòâå îöåíêè ïîëó÷àòü ÑÂ θˆ = t(x), êîòîðàÿ ëèøü â ñðåäíåì ãðóïïèðóåòñÿ îêîëî îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà (åñëè îöåíêà íåñìåùåííàÿ, Mθ θˆ = θ) è ëèøü ñ ðîñòîì n ïî âåðîÿòíîñòè ñõîäèòñÿ ê îöåíèâàåìîìó ïàðàìåòðó (åñëè îöåíêà ñîñòîÿòåëüíà, θˆn → θ). Ìåðîé îòêëîíåíèÿ íåñìåùåííîé îöåíêè îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ÿâëÿåòñÿ åå äèñïåðñèÿ Dθ θˆ = Mθ [θˆ − θ]2 , êîòîðàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, òàêæå íåèçâåñòíà è ìîæåò áûòü ïðèáëèæåííî çàìåíåíà ýìïèðè÷åñêîé äèñïåðñèåé îöåíêè. Åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ î òî÷íîñòè è íàäåæíîñòè (äîñòîâåðíîñòè) îöåíîê è íå àñèìïòîòè÷åñêîé (ïðè áîëüøèõ n), à ïðè êîíêðåòíûõ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ îáúåìà âûáîðêè n. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîãî âîïðîñà Äæ. Íåéìàí â 1937ã. ïåðåäëîæèë òåîðèþ èíòåðâàëüíîãî îöåíèâàíèÿ, ñóùíîñòü êîòîðîé ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïóñòü θˆn = tn (x) - îöåíêà ïàðàìåòðà θ. Òîãäà, ò.ê. θˆn ÿâëÿåòñÿ ÑÂ, ñâÿçàííîé ñ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ èñõîäíîé (íàáëþäàåìîé) ÑÂ, îíà èìååò íåêîòîðîå ðàñïðåäåëåíèå

Fθˆ(t; θ) = Pθ {θˆn < t}, âîîáùå ãîâîðÿ òàêæå çàâèñÿùåå îò θ. Îäíàêî, åñëè óäàñòñÿ ïîñòðîèòü ôóíêöèþ îò âûáîðêè g =

48

g(x; θ), ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé íå çàâèñèò îò θ, ò.å. Pθ {g(x; θ) ≤ t} = F (t)

ïðè ëþáûõ

θ ∈ Θ,

òî ñ ïîìîùüþ ýòîãî ðàñïðåäåëíèÿ ìîæíî äåëàòü òàê íàçûâåìûå äîâåðèòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ, à èìåííî: âûáåðåì ÷èñëà α1 , α2 (0 < αi < 0.5) è íàéäåì g1 , g2 òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâà

F (g1 ) ≤ α1 ,

F (g2 ) ≥ 1 − α2 .

(1)

Òîãäà ïîëàãàÿ α1 + α2 = α èìååì äëÿ ëþáîãî θ ∈ Θ,

Pθ {g1 ≤ g(x; θ) < g2 } = F (g2 )−F (g1 ) ≥ 1−α2 −α1 = 1−α, (2) ò.å. ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíüøåé, ÷åì 1 − α ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî g1 ≤ g(x; θ) < g2 . (3) Äàëåå, åñëè ôóíêöèÿ g(x; θ) ìîíîòîííà ïî âòîðîìó àðãóìåíòó, òî èñïîëüçóÿ îáðàòíóþ ôóíêöèþ θ = g (−1) (g, x) = t(g, x) è ðåøàÿ íåðàâåíñòâî (3), ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî

t1 (x) = t(g1 , x) ≤ θ < t(g2 , x) = t2 (x),

(4)

êîòîðîå ïðè âñåõ θ ∈ Θ âûïîëíÿåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíüøåé, ÷åì 1 − α.

Çàèìå÷àíèå. Çäåñü ïàðàìåòð θ ÿâëÿåòñÿ íå ñëó÷àéíîé

âåëè÷èíîé, à ñëó÷àéíû (îò âûáîðêè ê âûáîðêå) êîíöû èíòåðâàëà t1 (x) è t2 (x) è óòâåðæäåíèå (4) ñëåäóåò ïîíèìàòü â òîì ñìûñëå, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíüøåé, ÷åì 1 − α ñëó÷àéíûé èíòåðâàë [t1 (x), t2 (x)) íàêðûâàåò íå ñëó÷àéíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè ïðîíàáëþäàòü N íåçàâèñèìûõ âûáîðîê x1 = (x11 , . . . , x1n ), . . . , xN = (xN 1 , . . . , xN n ), òî â ñðåäíåì â (1 − α)N ñëó÷àÿõ íåèçâåñòíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ îêàæåòñÿ âðóòðè èíòåðâàëà [t1 (x), t2 (x)), è ëèøü â αN ñëó÷àÿõ âíå åãî.

49

Îïðåäåëåíèå 1. Âåðîÿòíîñòü 1 − α, ñ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå (4) ïðè âñåõ θ íàçûâûàåòñÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ, èëè êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ. Îïðåäåëåíèå 2. Ôóíêöèè t1 (x) è t2 (x), äëÿ êîòîðûõ

ñîîòíîøåíèå (4) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ θ ∈ Θ ñ çàäàííûìè âåðîÿòíîñòÿìè α1 è 1 − α2 íàçûâàþòñÿ íèæíåé è âåðõíåé äîâåðèòåëüíûìè ãðàíèöàìè óðîâíåé α1 è 1−α2 ñîîòâåòñòâåííî. Èíòåðâàë [t1 (x), t2 (x)) íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì ñ êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ 1 − α.

Îïðåäåëåíèå 3. Îáúåäèíåíèå äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ ïî

âñåâîçìîæíûì âûáîðêàì, ò.å. ìíîæåñòâî S = {(θ, x)} ⊂ Θ×Xn , äëÿ êîòîðîãî íåðàâåíñòâî

Pθ {(θ, x) ∈ S} ≥ 1 − α âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ θ ∈ Θ è âñåõ x ∈ Xn , íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíîé îáëàñòüþ.

6.2 Ïðèìåðû 6.2.1. Îöåíêà íåèçâåñòíîãî ÌÎ íîðìàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Ïóñòü Ñ X èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íåèçâåñòíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì µ è äèñïåðñèåé σ 2 = 1. ×òîáû ïî âûáîðêå x = (x1 , . . . , xn ) ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ µ, çàìåòèì, ÷òî Ñ µ ˆ=x ¯ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå √ ñ ïàðàìåòðàìè µ è n1 ; ñòàëî áûòü (¯ x −√ µ) n èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, (¯ x − µ) n ∈ N (0, 1). Òàêèì îáðàçîì, âûáèðàÿ â êà÷åñòâå íèæíåé è âåðõíåé äîâåðèòåëüíûõ ãðàíèö ñîîòâåòñâóþùèå α1 - è 1 − α2 -êâàíòèëè ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ò.å. çíà÷åíèÿ c1 , c2 òàêèå, ÷òî Φ(c1 ) = α1 , Φ(c2 ) = 1 − α2 ïîëó÷èì √ P{c1 ≤ (¯ x − µ) n < c2 } = Φ(c2 ) − Φ(c1 ) = 1 − α2 − α1 . Îòêóäà ðåøàÿ íåðàâåíñòâî â ñêîáêàõ ëåâîé ÷àñòè íàéäåì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ µ ñ êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ 1 −

50

α = 1 − α1 − α2 â âèäå c2 c1 t1 (x) = x ¯− √ c1 } = 1 − Fχ2n−1 (c1 ) = . 2 Òîãäà ýêâèâàëåíòíûå íåðàâåíñòâà

c1 ≤

(n − 1)S 2 < c2 , σ2

(n − 1)S 2 (n − 1)S 2 ≤ σ2 < , c2 c1 âûïîëíÿþòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − α. Ïîñëåäíåå èç ýòèõ íåðàâåíòñâ çàäàåò äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè ñ çàäàííûì êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ 1 − α.

Çàìå÷àíèå. Ïðè ïîñòðîåíèè äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ çäåñü

èñïîëüçîâàëèñü äëÿ ïðîñòîòû ñèììåòðè÷íûå èíòåðâàëû, õîòÿ äëÿ χ2 -ðàñïðåäåëåíèÿ ýòîò èíòåðâàë, âîçìîæíî, íå ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ïî äëèíå èíòåðâàëîì.

6.4 Èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà ÌÎ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ 6.4.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è  ïðèìåðå 2.1 áûëà ðàññìîòðåíà èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà ÌÎ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè èçâåñòíîé äèñïåðñèè.  ýòîì ñëó÷àå Ñ x−µ σ èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ò.å. íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðà, ÷òî ïîçâîëÿåò ñòðîèòü äëÿ ÌÎ µ äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë. Êîãäà äèñïåðñèÿ σ 2 íåèçâåñòíà (÷òî ÿâëÿåòñÿ îáû÷íîé ñèòóàöèåé), åñòåñòâåííî çàìåíèòü åå îöåíêîé ¯ √ 2 óæå S 2 . Îäíàêî ïîëó÷àþùàÿñÿ ïðè ýòîì ñòàòèñòèêà Tn = X−µ íå áóäåò èìåòü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

Sn

57

6.4.2. Ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà Ðàñïðåäåëåíèå ñ.â. Tn âîçíèêàåò âî ìíîãèõ çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Âïåðâûå ýòî ðàñïðåäåëåíèå ââåë è ðàññìîòðåë ëîðä Ãîññåò (W.S. Gosset), ðàáîòàâøèé ïîä ïñåâäîíèìîì Ñòüþäåíò, îòêóäà è ïððîèçîøëî íàçâàíèå ýòîãî ðàñïðíåäåëåíèÿ ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà.

Îïðåäåëåíèå 4. tn -ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüþäåíòà ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ÑÂ Z √ Tn = p n χ2n

(12)

ãäå Z ∈ N (0, 1) è ñ.â Z è χ2n íåçàâèñèìû. ÏÐ tn -ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä

ptn (x) = √ ãäå B(p, q) = ôóíêöèÿ.

R1 0

1 ¡ nB( 12 , n2 ) 1 +

x2 n

, ¢ n+1 2

(13)

xp−1 (1 − x)q−1 dx (p > 0, q > 0)  Beta-

Ìîìåíòû tn -ðàñïðåäåëåíèÿ ñóùåñòâóþò òîëüêî äëÿ k < n, ïðè÷åì â ñèëó ñèììåòðèè ïëîòíîñòè tn -ðàñïðåäåëåíèÿ íå÷åòíûå ìîìåíòû ðàâíû 0, à äëÿ ÷åòíûõ ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

µ2k = nk ãäå Γ(p) =

R∞ 0

n Γ(k + 12 ) · Γ( 2−k )

Γ( 12 ) · Γ( nk )

,

2k < n,

e−x xp−1 dx  Γ-ôóíêöèÿ.  ÷àñòíîñòè, âòîðîé

ìîìåíò ðàâåí

µ2 = n

n ) Γ( 32 ) · Γ( 2−1

Γ( 12 )

·

Γ( n2

=

Ïðè n → ∞ ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

Tn → N (0, 1).

n . n−2

58

6.4.3. Èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà íåèçâåñòíîãî ÌÎ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè Ñëåäóÿ ðàçäåëó 2 äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà â ýòîì ñëó÷àå áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ñòàòèñòèêîé

¯ − µ√ X Tn = p n= Sn2

√ ¯ X−µ n σ Sn σ

=r

√ ¯ X−µ n σ ³

P 1≤i≤n

¯ Xi −X σ

√ ´2

n − 1.

Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ îðòîãîíàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà åå ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó

Tn−1 = qP

√

Zn

1≤i≤n−1 Zi

n − 1,

ãäå Zi ∈ N (0, 1) - ÍÎÐ ÑÂ. Îòêóäà âèäíî, ÷òî ñòàòèñòèêà √ ¯ Tn−1 = X−µ n èìååò tn−1 -ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n − 1 Sn ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñ êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ 1 − α ìîæíî èñêàòü íèæíþþ è âåðõíþþ äîâåðèòåëüíûå ãðàíèöû ñîîòâåòñòâåííî èç óñëîâèé

P{tn−1 ≤ c1 } =

α , 2

è

P{tn−1 ≤ c2 } = 1 −

α . 2

(14)

Ïðè ýòîì íåðàâåíñòâî

x ¯ − µ√ n < c2 S à âìåñòå ñ íèì è íåðàâåíñòâî c1 ≤

c2 S c1 S x ¯− √ 0 è îòâåðãíóòü, åñëè x < 0. Òàêèì îáðàçîì, êðèòåðèé (ïðàâèëî) ïðîâåðêè ãèïîòåçû ñîñòîèò â äàííîì ñëó÷àå â ðàçáèåíèè îáëàñòè âîçìîæíûõ íàáëþäåíèé (âûáîðî÷íîãî ïðîñòðàíñòâà) X íà äâå îáëàñòè: {x < 0}  îáëàñòü, ãäå ïðîâåðÿåìàÿ ãèïîòåçà îòâåðãàåòñÿ è {x > 0}  ãäå ãèïîòåçà íå îòâåðãàåòñÿ (ñîãëàñóåòñÿ ñ äàííûìè íàáëþäåíèé).

Çàìå÷àíèå. Óæå â ýòîì ïðîñòîì ïðèìåðå âèäíî, íàñêîëüêî

ñèëüíî ïðàâèëî ïðîâåðêè ãèïîòåçû çàâèñèò îò âîçìîæíûõ àëüòåðíàòèâ. Íàïðèìåð, åñëè áû àëüòåðíàòèâíàÿ (èëè àëüòåðíàòèâíûå) ¯ ìîãëè ïðèâîäèòü êàê ê ïîëîæèòåëüíûì, òàê è ãèïîòåçà H îòðèöàòåëüíûì íàáëþäåíèÿì x ≥ 0 èëè x ≤ 0, òî âûñêàçàííîå ïðàâèëî ïðîâåðêè ãèïîòåçû áûëî áû óæå, ïî êðàéíåé ìåðå, íå î÷åâèäíûì, à âîçìîæíî è íå âåðíûì. Îáîáùàÿ ðàññìîòðåííîå â ïðèìåðå ïðàâèëî â îáùåì ñëó÷àå êðèòåðèé ïðîâåðêè ãèïîòåçû ñâîäÿò ê ïîñòðîåíèþ êðèòè÷åñêîé îáëàñòè W â âûáîðî÷íîì ïðîñòðàíñòâå Xn , W ∈ Xn , ò.å. òàêîãî ïîäìíîæåñòâà íàáëþäåíèé, ïðè êîòîðîì ïðîâåðÿåìàÿ ãèïîòåçà îòâåðãàåòñÿ, êàê íå îòâå÷àþùàÿ äàííûì íàáëþäåíèé. ×òîáû âûñêàçàòü ðàçóìíûå òðåáîâàíèÿ ê êðèòåðèÿì ïðîâåðêè ãèïîòåç, ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ê êàêèì ïîñëåäñòâèÿì ïðèâîäèò íàñ êëàññ ïðåäëîæåííûõ ïðàâèë ïðîâåðêè ãèïîòåç.  îáùåì ñëó÷àå êàê ïðîâåðÿåìàÿ H0 , òàê è àëüòåðíàòèâíàÿ H ãèïîòåçû ìîãóò ïðèâîäèòü ê ëþáûì íàáëþäàåìûì òî÷êàì x ∈ X èç âûáîðî÷íîãî ïðîñòðàíñòâà X 3 . Ïîýòîìó ñòðîÿ êðèòåðèé ïðîâåðêè ãèïîòåçû íà ëþáîé êðèòè÷åñêîé îáëàñòè W ñòàòèñòèê 3 ßñíî, ÷òî òî÷êè, êîòîðûå çàâåäîìî íå ìîãóò íàáëþäàòüñÿ ïðè ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçå ñëåäóåò âêëþ÷àòü â êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü.

64 äîïóñêàåò îøèáêè äâóõ ñîðòîâ. Îøèáêà ïåðâîãî ðîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí ìîæåò îòâåðãíóòü âåðíóþ ãèïîòåçó. Âåðîÿòíîñòü ýòîé îøèáêè (âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà) íàçûâàåòñÿ ðàçìåðîì êðèòåðèÿ èëè óðîâíåì çíà÷èìîñòè êðèòåðèÿ è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç α = PH 0 . Çàìåòèì, ÷òî, âîîáùå ãîâîðÿ, îøèáêà I ðîäà íåèçáåæíà, åñëè ðàñïðåäåëåíèÿ íàáëþäåíèé ïðè ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçå  ñîáñòâåííîå, ò.å. ñîñðåäîòî÷åíî íà âñåì âûáîðî÷íîì ïðîñòðàíñòâå, èáî α = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà W = ∅, íî ýòî çíà÷èò, ÷òî ñòàòèñòèê ïðèíèìàåò ãèïîòåçó H0 íåñìîòðÿ íà ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé (ïðåäóáåæäåííûé ñòàòèñòèê).

Îøèáêîé âòîðîãî ðîäà ïðè ïðîâåðêå ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç íàçûâàåòñÿ ïðèíÿòèå íåâåðíîé ãèïîòåçû. Âåðîÿòíîñòü îøèáêè II ðîäà îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ¯) β = PH (W è çàâèñèò, î÷åâèäíî, îò êëàññà àëüòåðíàòèâíûõ ãèïîòåç H . Ïðè ôèêñèðîâàííîé àëüòåðíàòèâå H = H1 âåëè÷èíó

1 − β = PH1 (W ) = π(H1 ) íàçûâàþò ìîùíîñòüþ êðèòåðèÿ. Ôóíêöèÿ

π(H) = PH (W ), ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ôóíêöèÿ àëüòåðíàòèâíûõ ãèïîòåç (èëè çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, â ñëó÷àå ïðîâåðêè ïàðàìåòðèñ÷åñêèõ ãèïîòåç) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ìîùíîñòè êðèòåðèÿ.

7.2.3. Ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ è òðåáîâàíèÿ ê íèì Ïîñòðîåíèå êðèòè÷åñêîé îáëàñòè W â ìíîãîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå Xn äîâîëüíî óòîìèòåëüíàÿ (à áåç äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé è íåâîçìîæíàÿ) çàäà÷à. Ïîýòîìó îáû÷íàÿ ïðîöåäóðà ïðîâåðêè

65 ãèïîòåç ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè íåêîòîðîé ñòàòèñòèêè (ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ) w = w(x) = w(x1 , . . . , xn ) è ñâåäåíèè ìíîãîìåðíîé êðèòè÷åñêîé îáëàñòè ê îäíîìåðíîé,

W = {x : w(x ∈ ∆)}, ãäå ∆  íåêîòîðûé èíòåðâàë (êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé) íà ïðÿìîé. Î÷åâèäíî, ïðè ýòîì ðàçìåð α è ìîùíîñòü π êðèòåðèÿ ïðîâåðêè H0 ïðîòèâ H1 ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî

α π

= =

PH0 (W ) = PH0 (w(x) ∈ ∆), PH1 (W ) = PH1 (w(x) ∈ ∆).

Çàìå÷àíèå. Ïðè ïðîâåðêå ïàðàìåòðè÷åñêèõ ãèïîòåç òàêàÿ

ñòàòèñòèêà ñòðîèòñÿ îáû÷íî íà îñíîâå äîñòàòî÷íûõ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïàðàìåòðà ñòàòèñòèê. Ïðè ïîñòðîåíèè íåïàðàìåòðè÷åñêèõ êðèòåðèåâ âûáîð òàêîé ñòàòèñòèêè îïðåäåëÿåòñÿ èñêóññòâîì èññëåäîâàòåëÿ.

7.3 Êðèòåðèé ñîãëàñèÿ Ïèðñîíà Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âûáîðêà íàáëþäåíèé x = (x1 , . . . , xn ) ñîãëàñóåòñÿ ñ ðàñïðåäåëåíèåì F (x), x ∈ R Ñ X . ×òîáû ïîñòðîèòü ñòàòèñòèêó äëÿ ïðîâåðêè ýòîé ãèïîòåçû ðàçîáüåì ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü (â äàííîì ñëó÷àå, ñêàæåì, R) íà r èíòåðâàëîâ ∆i = (yi−1 , yi ] i = 1, r è âû÷èñëèì òåîðåòè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè

pi = P{X ∈ ∆i } = F (xi ) − F (xi−1 ) ïîïàäàíèÿ íàáëþäåíèÿ â èíòåðâàë ∆i â ñîîòâåòñòâèè ñ ãèïîòåòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì F (x) è ðåàëüíûå ÷àñòîòû hn,i ïîïàäàíèÿ íàáëþäåíèé â ýòè èíòåðâàëû. Òîãäà òàê êàê ñîãëàñíî ÖÏÒ ñòàòèñòèêà

hn,i − npi Zi = p npi (1 − pi )

66 àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà, Zi → N (0, 1), òî ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî ñòàòèñòèêà

X

X2 =

Zi2 =

1≤i≤r

(hn,i − npi )2 npi

(1)

èìååò â ïðåäåëå χ2r−1 -ðàñïðåäåëåíòèå ñ r −1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû íà åäèíèöó ìåíüøå ÷èñëà ñëàãàåìûõ èç-çà íàëè÷èÿ äîïîëíèòåëüíîé ñâÿçè, n1 + · · · + nr = n, à ñîìíîæèòåëü 1 − pi â çíàìåíàòåëå ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ îïóùåí äëÿ óëó÷øåíèÿ àïïðîêñèìàöèè). Äåéñòâèòåëüíî, èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå

Òåîðåìà 1. Ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè X 2 ñõîäèòñÿ ïðè n → ∞

ê chi2r−1 -ðàñïðåäåëåíèþ ñ r − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.

Äîêàçàòåëüñòâî îïóñêàåì.

2

2

Ñòàòèñòèêà X ïîçâîëÿåò ñòðîèòü êðèòåðèé (êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü) ïðîâåðêè ñîãëàñèÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû

P{X 2 > cα } ≤ α. Ôàêòè÷åñêè íåðàâåíñòâî {X 2 > cα } âûäåëÿåò îïðåäåëåííóþ êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü W â ïðîñòðàíñòâå íàáëþäåíèé Rn , îäíàêî äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû íåò íåîáõîäèìîñòè ðàññìàòðèâàòü 2 ýòó êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü,  äîñòàòî÷íî 1 − α-êâàíòèëü ξr−1 ðàñïðåäåëåíèÿ ñ r − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäâ è ñðàâíèòü ñ íèì íàáëþäåííîå çíà÷åíèå x2 ñòàòèñòèêè X 2 .

Ïðèìåð. Ðàññìîòðåòü

7.4 Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà À.Í. Êîëìîãîðîâ â 1933ã. äëÿ ïðîâåðêè ñîãëàñèÿ ïðåäëîæèë èñïîëüçîâàòü ñòàòèñòèêó

Dn = sup |Fn (x) − F (x)|, x∈R

(2)

67 ãäå F (x)  ãèïîòåòè÷åñêàÿ (òåîðåòè÷åñêàÿ) ÔÐ, à Fn (x)  âûáîðî÷íàÿ (ýìïèðè÷åñêàÿ) ÔÐ. À.Í. Êîëìîãîðîâ äîêàçàë, ÷òî â ïðåäïîëîæåíèè î íåïðåðûâíîñòè ãèïîòåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè Dn íå çàâèñèò îò èñõîäíîãî òåîðåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è âû÷èñëèë ïðåäåëüíîå ïðè n → ∞ ðàñïðåäåëåíèå.

Òåîðåìà 2 (Êîëìîãîðîâà). Åñëè òåîðåòè÷åñêàÿ ÔÐ F (x)

íåïðåðûâíà, òî â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âûáîðêà ïîëó÷åíà èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñ ýòèì ðàñïðåäåëíèåì, ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè Dn íå çàâèñèò îò íåå è ñïðàâåäëèâî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå X √ 2 2 lim P{ nDn ≤ x} = K(x) = (−1)k e−2k x n→∞

−∞