Методические указания для практических занятий по общей и экспериментальной физике. Часть третья. Электричество

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ И. А. БУНИНА

Филимонова Л.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для практических занятий по общей и экспериментальной физике Часть третья «Электричество»

(для студентов физико-математического факультета)

Елец – 2006

УДК 531/534 ББК 22.3

Печатается по решению редакционноиздательского совета ЕГУ им. И.А. Бунина от 22.03.06, протокол №

Рецензенты: к. ф.-м. н., доцент кафедры общей физики ВГУ Алейников Н.М. к. ф.-м. н., ст.преподаватель кафедры физики ЕГУ им. И.А. Бунина Сидоров А.В.

Филимонова Л.В. Ф 53 Методические указания для практических занятий по общей и экспериментальной физике. Часть третья. Электричество. – Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006. – 131 с.: ил.

Целью данных указаний является оказание помощи студентам в усвоении программного материала по физике через решение типовых задач по разделу общей и экспериментальной физики «Электричество». В методических указаниях приводится материал к 7 практическим занятиям, содержащий вопросы для теоретической подготовки к занятию, некоторые замечания к теоретическому материалу, подробные указания по решению типовых задач, задачи для самостоятельного решения. Темы практических занятий охватывают соответствующий лекционный материал, раскрывая законы и принципы, понятия и термины электростатики и электродинамики, освещая практические аспекты и методы применения теории. Представленная в указаниях информация достаточна для самостоятельного решения студентами всех приведенных в конце каждого занятия задач. В приложениях приводятся перечень используемых обозначений, список основных формул, необходимый справочный материал, дополнительный материал, посвященный математической теории векторного поля, и др. Методические указания рекомендуются к использованию на практических занятиях по физике со студентами физико-математического факультета ЕГУ им. И.А. Бунина при изучении раздела физики «Электричество». УДК 531/534 ББК 22.3 © ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006 © Филимонова Л.В., 2006

2

Введение Одна из важнейших задач, стоящих перед курсом общей физики в вузе, состоит в том, чтобы студенты усвоили основные принципы и законы физики и их математическое выражение, познакомились с основными объектами физического исследования (физическими свойствами предметов, физическими процессами и явлениями) и характеризующими их физическими понятиями и величинами. Успех ее решения во многом определяется качеством проведения практических занятий со студентами по решению физических задач. Практические занятия по общей физике призваны обеспечить студентов личным опытом по применению полученных на лекции теоретических знаний. Однако это становится возможным лишь при условии первоначального знакомства студентов с методами и приемами решения типовых задач, особенностями практического использования физических понятий, терминов и законов, своеобразием практического воплощения теоретических выводов и следствий и др. В этой связи, данные методические рекомендации нацелены на раскрытие основных путей практического использования теоретического материала указанного раздела общей физики при решении учебных задач. Содержание лекционного материала, подлежащего усвоению через решение предлагаемых задач, очерчивается с помощью перечня вопросов для теоретической подготовки к занятиям, а также частично раскрывается в замечаниях к теоретическому материалу, предшествующих методическим указаниям по решению задач. Наиболее трудные аспекты материала раскрываются многократно с использованием рисунков и графиков, некоторые важные моменты указаны в сносках. Вычисления и построения графиков выполнены в системе Mathcad и не обременяют процесс решения даже самых сложных задач. Предлагаемые методические рекомендации включают материал по 7-ти темам практических занятий по электростатике и электродинамике, в том числе подробные методические указания по решению основных задач, а также задачи для самостоятельного решения. В приложения вынесены перечень используемых обозначений и основных формул, необходимый справочный материал (таблицы значений величин и др.), элементы математической теории векторного поля, алгоритм по решению физических задач. Предлагаемые для самостоятельного решения задачи могут служить материалом для домашних и семестровых заданий по усмотрению преподавателя. Данные указания содержат весь необходимый минимум материала для подготовки студентов к практическим занятиям по выбранным темам, не требуют использования и поиска дополнительных литературных источников, и тем самым экономят время, отводимое студентам для усвоения программного материала по данной дисциплине. В тексте часто встречается сокращение: ЭСП – электростатическое поле.

3

Содержание: Введение …………………………………………………………………………. 3 Содержание .……………………………………………………………………… 4 Электростатика Практическое занятие №1. Электрический заряд. Закон Кулона. Электрическое поле. Напряженность. Потенциал .…………………….......... 5 Практическое занятие №2. Связь между напряженностью и потенциалом. Принцип суперпозиции и его применение к расчету ЭСП ………..………………………………………………………….. 19 Практическое занятие №3. Теорема Остроградского-Гаусса. Примеры расчета ЭСП. Вещество в ЭСП. Поляризация. Электрическое смещение ……………………………………………………… 31 Практическое занятие №4. Электроемкость. Конденсаторы. Энергия взаимодействия электрических зарядов. Энергия ЭСП ……………………. 51 Электродинамика Практическое занятие №5. Постоянный электрический ток в проводниках. Электрические цепи. ЭДС. Законы Ома и Джоуля-Ленца. Работа и мощность тока ……………………………..……………………………. 67 Практическое занятие №6. Правила Кирхгофа. Метод контурных токов. Расчет параметров электрических цепей …………………..……........ 88 Практическое занятие №7. Ток в газах и электролитах…..………........... 101 Приложение 1. Обозначения используемых величин и их единицы измерения ……………………………………………………………………… 111 Приложение 2. Основные формулы …………………………………………. 113 Приложение 3. Характеристики электростатического поля тел правильной геометрической формы…………………………………………. 116 Приложение 4. Справочный материал ...…………………………………..... 117 Приложение 5. Элементы математической теории поля ……………….. 120 Приложение 6. Некоторые сведения из математики ……………………… 126 Приложение 7. Основные этапы решения физических задач ……………… 128 Основная и дополнительная литература ..……………………………….. 130

4

Практическое занятие № 1. Тема: Электрический заряд. Закон Кулона. Электрическое поле. Напряженность. Потенциал.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Вопросы для подготовки к занятию. Перечислите и поясните основные свойства электрического заряда. В каких единицах измеряется электрический заряд, напряженность электрического поля и его потенциал в системе СИ? Какими величинами характеризуется макроскопический непрерывным образом распределенный заряд? Что понимается под словами «точечный заряд»? Сформулируйте, запишите и поясните закон Кулона. Что такое электрическое поле? Дать определения напряженности и потенциала электрического поля? Каков их физический смысл? Запишите формулы для напряженности и потенциала поля точечного заряда и поясните входящие в них величины.

Некоторые замечания к теоретическому материалу. Электрический заряд обладает рядом важных свойств: 1) его значение не зависит от выбора инерциальной системы отсчета (перенос электрического заряда из одной системы отсчета в другую не изменяет его величины и знака); 2) он аддитивен (общий заряд системы тел равен алгебраической сумме зарядов всех тел системы); 3) заряд подчиняется закону сохранения: алгебраическая сумма зарядов в изолированной системе остается постоянной; 4) заряд макротела дискретен, т.е. всегда кратен элементарному заряду, численно равному е= 1,6022⋅10-19 Кл (заряд электрона e = − e ).

5

Согласно теории близкодействия взаимодействие электрических зарядов опосредовано: один заряд создает в окружающем его пространстве электрическое поле (частная форма электромагнитного поля), которое действует на второй заряд, находящийся в поле первого заряда. Взаимодействие заряда с полем характеризуется двумя величинами: силой, с которой поле действует на заряд и потенциальной энергией заряда по отношению к полю. Обе эти величины характеризуют именно систему – поле и находящийся в нем заряд. Поэтому их математические выражения содержат как характеристики источников поля, т.е. заряженных тел создающих данное поле, так и величину заряда, введенного в это поле. Таким образом, при решении задач важно различать, какой заряд создает поле, а какой лишь помещается в него, испытывая на себе силовое воздействие этого поля. Напряженность E – основная векторная характеристика электрического поля, равная силе, действующей на единичный положительный точечный заряд, помещенный в данную точку поля, и направленная в сторону действия этой силы. Электрическое поле считается заданным, если известна в каждой точке пространства величина и направление вектора E . При этом все остальные характеристики электрического поля могут быть вычислены через напряженность. Потенциал, как и потенциальная энергия, в общем виде определен с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Говорить об определенном значении потенциала возможно лишь после выбора начала отсчета: выбирается точка, в которой потенциал принимается равным нулю («нулевая точка»). Такая процедура называется нормировкой потенциала. После нормировки потенциал любой точки поля становится равным работе, совершаемой полем при перемещении единичного точечного положительного заряда из данной точки в нулевую точку. Если источники электрического поля имеют конечные размеры, то нулевую точку целесообразно выбирать в бесконечности, поскольку при этом произвольная постоянная обращается в ноль и формула для потенциала принимает наиболее простой вид. Если же источники поля имеют бесконечные размеры, то в расчетах потенциала появляются расходящиеся интегралы. В этом случае нулевая точка обычно выбирается на конечном расстоянии от источни6

ков поля. Такая ситуация имеет место, например, при расчетах электрических полей, создаваемых бесконечной заряженной нитью и бесконечной заряженной плоскостью.

Методические указания к решению типовых задач.

Задача №1.1. Как изменится сила взаимодействия двух металлических заряженных шариков, если их привести в соприкосновение, а затем удалить на прежнее расстояние? Указания по решению. В задаче требуется сравнить 2 силы взаимодействия заряженных тел в двух случаях. Обозначим их F 1 и F 2 . Величины этих сил зависят от величин зарядов шариков и от расстояния между ними (см. закон Кулона), а направления от совпадения или не совпадения знаков этих зарядов1. Возможны следующие случаи (см. таблицу 1): Таблица 1

Заряды шариков

Сила взаимодействия Расстоявеличина направление ние медо соприкос- после соприкос- жду ша- до сопридо со- после сопосле соприновения новения прикос- прикосриками косновекосновения ния новения новения 2 I одноименные, одноименные, qq F1 = k 1 22 F = k ( q1 + q2 ) слу равные q и равные 2 r 1 4r 2 чай q1 + q2 отталотталq2 q1 ' = q2 ' = кивание кивание 2

II разноименодноименные, слу ные, равные равные чай q и − q q − q2 1 2 q '= q '= 1 1

2

не меняется

F1 = k

q1q2 r2

F2 = k

( q1 − q2 )2 4r 2

притяжение

2

Сравнение сил сводится к сравнению величин2

1

q1q2 и

q1 ± q 2 2

отталкивание

.

Электрические заряды бывают отрицательные и положительные, а силы взаимодействия заряженных тел силами отталкивания (для одноименных зарядов) или силами притяжения (для разноименных зарядов). 2 Вспомните из математики как соотносятся между собой среднее геометрическое и среднее арифметическое двух чисел.

7

Завершите сравнение самостоятельно и дайте ответ к задаче.

Задача №1.2. В некоторой точке поля на заряд q действует сила F. Найдите напряженность поля в этой точке и определите заряд, создающий поле, если точка от него удалена на расстояние r. Указания по решению. По определению напряженность электрического поля есть вектор

E=

F , q

E=

F , q

модуль которого равен

а направление совпадает с направлением силы, действующей на заряд, если заряд положителен, и противоположно направлению силы, если заряд отрицателен. Считая, что поле создано точечным зарядом Q, получим

Q F ⋅ r2 F . E= =k 2 ⇒Q= q k ⋅q r Подумайте: зависит ли искомая величина заряда Q, создающего поле, от величины данного в задаче заряда q? Почему?

Задача №1.3. Два заряда q1 и q2 расположены в керосине на расстоянии r друг от друга. Найдите, пользуясь определением, напряженность поля в середине отрезка, соединяющего центры зарядов. Указания по решению. Представим, что в середине отрезка, соединяющего центры зарядов, находится положительный заряд q. На него будут действовать 2 кулоновские силы, со стороны зарядов q1 и q2. Результирующая этих сил равна F = F1 + F 2. Результирующая сила согласно закону Кулона будет направлена вдоль оси х, а ее проекция на эту ось будет равна

8

F=

k

⋅

q ⋅ q1

ε ( r / 2) 2

−

k

⋅

q ⋅ q2

ε ( r / 2) 2

,

где ε – диэлектрическая проницаемость керосина. Тогда по определению напряженности поля искомая величина равна F 4k E = = 2 ( q1 − q2 ) . q εr

рис. 1

Направление вектора E определяется знаком большего по модулю заряда. Самостоятельно рассмотрите возможные случаи направления вектора напряженности в зависимости от значений и знаков данных зарядов q1 и q2.

Задача №1.4. Металлический шар радиусом R=5 см заряжен до потенциала

ϕ=150 В. Чему равна напряженность поля в точке, находящейся на расстоянии r=5 см от поверхности шара? Указания по решению. Процесс зарядки проводника, распределение заряда по поверхности проводника и т.д. будут рассматриваться при изучении понятия электроемкости. Вывод формулы для напряженности и потенциала заряженной сферы (шара) также будет осуществлен позднее (при рис. 2 рассмотрении принципа суперпозиции или теоремы Остроградского-Гаусса). Здесь же отметим лишь, что электрическое поле заряженного шара (сферы) во внешней области аналогично полю точечного заряда, расположенного в точке, совпадающей с центром шара. Имеем следующие формулы: - для потенциала поля шара (сферы) в точке на расстоянии r от поверхности шара: Q ϕ =k , R+r Q тогда при r=0 получаем потенциал шара ϕ = k (потенциал на поверхности R шара одинаков во всех точках – свойство проводника); 9

- для величины напряженности

E=k

Q , ( R + r)2

где R – радиус шара. Выражая заряд шара через его потенциал и подставляя в формулу для напряженности, получим искомую величину:

E=

ϕR ( R + r)2

.

Самостоятельно проведите вычисления и запишите ответ, указав единицы измерения. Задача №1.5. Протон, движущийся со скоростью v0=100 км/с, влетает в электрическое поле с напряженностью Е=50 В/м в направлении, противоположном направлению силовых линий поля. Какую разность потенциалов пройдет протон до полной остановки? Через сколько микросекунд скорость протона стаq нет равной нулю? Отношение заряда протона к его массе равно =108 Кл/кг. m Указания по решению. Протон – частица, несущая положительный заряд. Со стороны электрического поля на нее действует сила в направлении силовых линий. В данном случае эта сила направлена противоположно скорости частицы, поэтому скорость протона будет уменьшаться по мере его движения в поле до нуля, а затем начнется движение в противоположном начальному направлении. В этом усматривается аналогия с рис. 3 движением тела, брошенного вверх в поле тяготения Земли. Электростатическое поле, как и гравитационное, потенциально: заряженная частица обладает в этом поле потенциальной энергией. При движении протона в ЭСП на него не действуют непотенциальные силы, поэтому выполняется закон сохранения полной механической энергии. Отсюда следует, что в положениях 1 и 2 суммы кинетической и потенциальной энергии протона равны между собой:

10

E1 = E2 , 2 mv0 2 m v0 . + qϕ1 = 0 + qϕ 2 ⇒ ϕ 2 − ϕ1 = ⋅ q 2 2

А искомая разность потенциалов равна 2

v ϕ1 − ϕ 2 = − m ⋅ 0 . q 2 Знак «–» означает. что протон движется в сторону большего потенциала. Рассмотренное выше рассуждение широко применяется при использовании понятия ускоряющей разности потенциалов. Заметим, что физический смысл имеет не само значение потенциала, а разность потенциалов между двумя точками, что и отражено в приведенных выше рассуждениях. А значение потенциала в некоторой точке определяется, в соответствии с этим, лишь относительно другой точки, выбранной в качестве нулевой (значение потенциала в которой условно принимается равным нулю). Для ответа на второй вопрос задачи рассмотрим равнозамедленное движение протона под действием электрической силы F = qE . По второму закону Ньютона для протона ускорение равно qE . m Зависимость модуля скорости от времени при равнозамедленном движении имеет вид a=

v (t ) = v0 − at ,

тогда v = 0 при t =

v0 . Подставляя выражение для ускорения, получаем искоa

мое время: t=

v0 q m

E

.

Вычисления проведите самостоятельно и сделайте проверку размерностей.

11

Задача №1.6. При переносе точечного заряда q=10 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r=20 см от поверхности равномерно заряженного шара, необходимо совершить работу A=0,5 мкДж. Радиус шара R=4 см. Найдите потенциал ϕ на поверхности шара и плотность распределения

заряда. Потенциал на бесконечности принять равным нулю. Указания по решению. Как уже отмечалось в задаче №1.4 поле равномерно заряженного шара описывается формулами поля точечного заряда, т.е. потенциал поля в точке на расстоянии r от поверхности шара радиусом R равен Q ϕ =k , R+r где Q – заряд шара, равный в случае равномерного распределения заряда по объему шара с объемной плотностью ρ q 4 Q = ρ q ⋅ V = ρ q ⋅ πR 3 . 3 С учетом (1.1) потенциал поля шара запишется в виде

(1.1)

ρq

4 ⋅ πR 3 . R+r 3 Известно из механики, что работа потенциальной силы равна убыли потенциальной энергии [8, с. 89]. В данном случае потенциальной силой является сила, с которой электростатическое поле, созданное зарядом Q, действует на точечный заряд q. В условии задачи речь идет о работе внешних сил, по преодолению этой потенциальной силы. Поэтому работа внешних сил равна приращению потенциальной энергии точечного заряда q в поле заряда Q, т.е.

ϕ =k

A = ΔW = q ⋅ Δϕ = q ⋅ (ϕ − ϕ 0 ) = qϕ ,

где потенциал на бесконечности принят равным нулю ϕ 0 = 0 , а ϕ - потенциал в точке на расстоянии r от поверхности шара. Отсюда, подставляя выражение для потенциала, можно выразить искомую плотность распределения заряда. Потенциал на поверхности шара находится аналогично тому, как показано в задаче №1.4. Завершите решение задачи самостоятельно (см. приложение 7). Задача №1.7. ЭСП создается положительно заряженной с постоянной по-

верхностной плотностью σ = 10 нКл/м2 бесконечной плоскостью. Какую ра-

12

боту надо совершить для того, чтобы перенести электрон вдоль линии напряженности с расстояния r1=2 см до r2=1 см? [9,04⋅10-19 Дж] (4, с. 128) Указания по решению. Положительно заряженная бесконечная плоскость создает электрическое поле, линии напряженности которого указаны на рис. 4.

рис. 4

Электрон – отрицательно заряженная частица, поэтому в электрическом поле он будет двигаться против силовых линий (что соответствует притяжению разноименных зарядов). Поэтому при перемещении электрона вдоль силовой линии с большего на меньшее расстояние от плоскости работа внешних сил будет отрицательной и численно равной изменению потенциальной энергии электрона в электрическом поле плоскости: A = qΔϕ = − e ⋅ (ϕ 2 − ϕ1 ) = e ⋅ (ϕ1 − ϕ 2 ) .

Разность потенциалов между двумя точками поля бесконечной плоскости равна (см. приложение 3)

ϕ1 − ϕ 2 = σ ( r2 − r1 ) , 2ε 0 подставляем и получаем выражение для искомой величины: A=

eσ (r − r ) , 2ε 0 2 1

где е – элементарный заряд (см. приложение 4). Произведите вычисления самостоятельно и сравните ответ. Задача №1.8. Два заряда –q и 9q находятся на расстоянии d друг от друга. Со стороны отрицательного заряда по линии, проходящей через эти заряды, движется по направлению к ним заряд q. Какой минимальной кинетической энер-

13

гией он должен обладать на бесконечности, чтобы попасть в точку, где находится отрицательный заряд? Указания по решению. На движущийся заряд q со стороны двух неподвижных зарядов –q и 9q действуют две кулоновские силы F 1 и F 2 : со стороны отрицательного заряда – сила притяжения F 1 , а со стороны положительного – сила отталкивания F 2 . т.е. эти силы противоположно направлены. Определим направление результирующей силы. Для этого сравним величины сил, определяемые законом Кулона: F1 = k

и F2 = k

q2 r2

9q 2 . (r + d )2

Из равенства

F1 = F2 найдем точку, в которой результирующая сила равна нулю. Получаем: k

9q 2 q2 = , k r2 (r + d )2 1 9 = , r 2 (r + d )2

r 2 + 2dr + d 2 = 9 r 2 ,

отсюда d . 2 Это расстояние на рис. 5 помечено точкой О. До точки О на движущийся заряд действует результирующая сила отталкивания, а после результирующая сила становится силой притяжения. Следовательно, достаточно этому заряду достичь точки О, чтобы он далее попал в место нахождения отрицательного заряда. Будем считать, что рис. 5 заряд q движется из r=

14

бесконечности с искомой минимальной кинетической энергией Emin , тогда в точке О он будет иметь скорость, равную нулю. Далее проводим рассуждения, описанные в задаче №1.5. Получаем из закона сохранения энергии: Emin + q ⋅ 0 = 0 + q ⋅ ϕO .

где ϕO - потенциал электрического поля в точке О, созданного двумя зарядами –q и 9q. Для завершения решения этой задачи необходимо применение принципа суперпозиции электрических полей, который рассматривается в теме следующего практического занятия.

Задачи для самостоятельного решения. 1.9. Металлическое кольцо разорвалось кулоновскими силами, когда заряд кольца был равен Q. Сделали точно такое же новое кольцо, но из материала, прочность которого в 10 раз больше. Какой заряд разорвет новое кольцо? Какой заряд разорвет новое кольцо, сделанное из прежнего материала, если все размеры нового кольца в 3 раза больше размеров ста-

рого? [ q = 10Q , q = 9Q ] (6, с. 191) 1.10. Расстояние между двумя одинаковыми шарами малого радиуса, заряженными разноименно, равно l. Шары притягиваются с силой F1. После кратковременного соединения шары оттолкнулись с силой F2. Определите величины первоначальных зарядов шаров. 1.11. Два одинаковых металлических шарика имеют положительные заряды

1,67⋅10 –9 и 6,67⋅10 –9 Кл и расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Изменится ли сила взаимодействия после того, как их на короткое время соединить? Какой заряд будет на каждом шаре после соединения? Сколько электронов перешло при соприкосновении от одного шарика к другому? 1.12. Отрицательный точечный заряд –5q и положительный +2q закреплены на расстоянии r друг от друга. Где следует поместить положительный заряд Q, чтобы он находился в равновесии? [1,72r]

15

1.13. Три заряженных шарика q1, q2 и q3 соединены последовательно двумя нерастяжимыми нитями длины l. Найдите силы натяжения нитей. 1.14. Проводящий шарик, несущий заряд 1,8⋅10 –8 Кл, привели в соприкосно-

вение с двумя такими же шариками, один из которых имел заряд -0,3⋅10 –8 Кл, а другой был не заряжен. Как распределился заряд между шариками? С какой силой будут взаимодействовать два из них в вакууме на расстоянии 5 см? 1.15. Два одинаковых маленьких металлических шарика находятся на расстоянии 1 м друг от друга. Заряд одного шарика в 4 раза больше заряда другого. Шарики привели в соприкосновении и развели на некоторое расстояние. Найдите это расстояние (в см), если сила взаимодействия шариков осталась прежней. 1.16. Заряды 40 и –10 нКл расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Какой надо взять третий заряд и где его надо поместить, чтобы система находилась в равновесии? Будет ли равновесие устойчивым или неустойчивым? 1.17. Четыре одинаковых по абсолютной величине точечных заряда, из которых 2 положительны и 2 отрицательны, расположены в вершинах квадрата со стороной а. Абсолютная величина каждого заряда q. Найдите силу, действующую на помещенный в центре квадрата точечный заряд q1. 1.18. Два одинаково заряженных шарика, подвешенных на нитях равной дли-

ны, разошлись на некоторый угол α. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы при погружении их в керосин угол между нитями не изменился? 1.19. Вокруг точечного заряда 5 нКл по окружности радиусом 3 см с угловой скоростью 5 рад/с вращается маленький отрицательно заряженный шарик. Найдите отношение заряда шарика к его массе (в мкКл/кг). 1.20. Два одинаковых отрицательных точечных заряда 100 нКл с массой 0,3 г движутся по окружности радиусом 10 см вокруг положительного заряда 100 нКл. При этом отрицательные заряды находятся на концах одного диаметра. Найдите угловую скорость вращения зарядов.

16

1.21. В однородном электрическом поле электрон движется с ускорением а. Найдите напряженность поля. 1.22. В однородном электрическом поле, вектор напряженности которого направлен вертикально вверх, находится в равновесии пылинка массой 0,03 г и зарядом 3 пКл. Определите напряженность поля. 1.23. Земля – отрицательно заряженное космическое тело. Зная, что напряженность поля на ее поверхности равна 130 Н/Кл и радиус Земли равен

6,4⋅106 м, определите заряд Земли. 1.24. Определите разность потенциалов электрического поля между точками 1 и 2, если известно, что электрон, двигаясь в этом электрическом поле в отсутствии других сил, в точке 1 имел скорость 109 см/с, а в точке 2 –

скорость 2⋅109 см/с. Чему была бы равна скорость электрона в точке 2, если бы в точке 1 электрон имел нулевую скорость. (6, с. 194) [850 В; 3 ⋅ 107 м/с] 1.25. В электронной лампе электроны «ускоряются разностью потенциалов» 220 В. Чему равна скорость электронов при попадании их на анод?

(6, с. 195) [8,8⋅106 м/с] 1.26. Электрон, летящий со скоростью v0 , попадает в однородное поле заря-

женного конденсатора и вылетает из него под углом α. Найдите напряженность поля конденсатора, зная длину l конденсатора, массу и заряд электрона. 1.27. Какую скорость приобретает частица массой 0,1 г с зарядом 4 мкКл за 1 мин, двигаясь в однородном ЭСП с напряженностью 1000 В/м? Силу тяжести не учитывать. 1.28. На какое расстояние (в см) был перемещен заряд 70 мкКл вдоль линии напряженности однородного электрического поля, если при этом полем была совершена работа 1,4 мДж? Напряженность поля равна 200 В/м. 1.29. Тысяча одинаковых шарообразных капелек ртути заряжена до одинакового потенциала 0,01 В. Определите потенциал одной шарообразной капли, получившейся в результате слияния малых капель. 1.30. ЭСП поле создается положительно заряженной бесконечной нитью. Протон, двигаясь от нити под действием поля вдоль линии напряженности с расстояния r1= 1 см до r2= 5 см, изменил свою скорость от 1 до

17

10 Мм/с. Определите линейную плотность заряда нити. [17,8 мкКл/м] (4, с. 130) 1.31. С какой силой действует электрический заряд q на равномерно заряженную бесконечную плоскость? С какой силой действует эта плоскость на заряд? Чему равна напряженность электрического поля плоскости? Поqσ σ ] (6, с.192) верхностная плотность заряда σ. [ F1 = F2 = ,E = 2ε 0 2ε 0

18

Практическое занятие № 2. Тема: Связь между напряженностью и потенциалом. Принцип суперпозиции и его применение к расчету ЭСП.

Вопросы для подготовки к занятию.

1. Какие поля называются потенциальными? Примеры. 2. Как в потенциальном поле сила связана с потенциальной энергией? Запишите формулу, отражающую эту связь на примере ЭСП. 3. Как математически выражается связь между напряженностью и потенциалом ЭСП? Что называется градиентом скалярного поля? Как он направлен? 4. Как, зная формулу для потенциала, найти значение напряженности? 5. Как, зная напряженность поля, найти разность потенциалов между двумя точками поля? Как выбирается «нулевая» точка? 6. Сформулируйте принцип суперпозиции ЭСП. 7. Как применяется принцип суперпозиции для расчета ЭСП?

Некоторые замечания к теоретическому материалу.

В потенциальных полях силы связаны с потенциальной энергией соотношением:

F = −gradU

(2.1)

Градиент скалярной функции – это вектор, направленный в каждой точке в сторону наиболее быстрого возрастания функции, равный по модулю производной от функции по этому направлению. Разделив обе части (2.1) на заряд и учитывая (1.2), получим формулу связи между напряженностью и потенциалом электрического поля:

E = − gradϕ

(2.2)

Знак минус в (2.2) указывает на то, что вектор напряженности ориентирован в направлении наиболее быстрого убывания потенциала.

19

В одномерном случае в прямоугольной декартовой системе координат формула (2.2) имеет вид: dϕ dx В одномерных полях сферической симметрии: E = −i ⋅

(2.3)

dϕ . (2.4) dr Перейдя к скалярной форме записи выражения (2.4) и представив в виде E ( r ) = − r0 ⋅

dϕ = − Er ( r )dr , преобразуем его следующим образом: r

r

r

r0

r0

r0

∫ dϕ = − ∫ Er ( r )dr или ϕ ( r ) − ϕ ( r0 ) = − ∫ Er ( r )dr .

(2.5)

Если в качестве r0 принять радиальную координату нулевой точки, для которой ϕ(r0)=0, то тогда последнее соотношение примет вид: r

ϕ ( r ) = − ∫ Er ( r )dr

(2.6)

r0

Формула (2.6) используется для определения потенциала ϕ(r) по ранее найденной напряженности Е (r). Для полей плоской симметрии справедливы формулы (2.5) и (2.6) с заменой в них r на х и r0 на х0, где х0 – координата плоскости, в точках которой потенциал принят равным нулю. Среда называется линейной, если ее проницаемость ε не зависит от напряженности созданного в ней электрического поля. Для электрических полей в вакууме и в линейных средах выполняется принцип суперпозиции: если в линейной среде создано несколько электрических полей, то результирующая напряженность равна векторной сумме напряженностей, а результирующий потенциал — скалярной (алгебраической3) сумме потенциалов всех полей: E = ∑ Ei , ϕ = ∑ ϕi i

(2.7)

i

Принцип суперпозиции отражает тот факт, что в линейных средах электрические поля не взаимодействуют между собой, а просто накладываются друг на друга. 3

Алгебраическая сумма предполагает учет знаков скалярных слагаемых.

20

Принцип суперпозиции лежит в основе метода расчета электрических полей, создаваемых заряженными телами. Сущность метода состоит в том, что тело, выступающее как источник поля, представляется разделенным на элементы, размеры которых достаточно малы, чтобы в рассматриваемой задаче их можно было считать точечными зарядами. Применив к отдельному элементу формулу, описывающую поле точесного заряда, получают выражение для потенциала dϕ поля, создаваемого в точке наблюдения этим элементом. Затем это выражение интегрируется по всем элементам источника поля, в результате чего получается полный потенциал в точке наблюдения. Расчет поля завершается определением напряженности по найденному потенциалу с помощью формулы (2.2). Возможен и обратный подход к расчету поля, когда с помощью принципа суперпозиции рассчитывается напряженность, а затем по найденной напряженности с помощью формулы типа (2.5) определяется потенциал. В большинстве случаев, однако, предпочтительней первый подход, ибо при втором подходе принцип суперпозиции приводит в общем случае к более сложному векторному интегралу для напряженности по сравнению со скалярным интегралом для потенциала при первом подходе. Однако в любом случае исходными являются формулы для напряженности Е и потенциала ϕ полей точечных зарядов.

Методические указания к решению типовых задач.

Задача №2.1. Нить в форме полуокружности заряжена равномерно с линейной плотностью τ. С помощью принципа суперпозиции найдите значение напряженности и потенциала в центре соответствующей окружности. Указания по решению. Рассмотрим элемент нити dl, несущий заряд dq=τ⋅dl. К нему применимы формулы, определяющие поле точечного заряда, т.е. dq τdl и dE = k dq = k τdl . dϕ = k =k R R R2 R2 Т.к. каждый элемент в силу симметрии формы нити имеет симметричный участок (рис. 6), вектор напряженности поля которого симметричен вектору d E

21

относительно указанной на рисунке оси симметрии, то суммарная напряженность поля будет направлена по оси симметрии и равна сумме проекций векторов d E на эту ось (проекции на перпендикулярное к этой оси направление взаимно компенсируются). В соответствии с формулами (2.7) получим значение потенциала поля нити: πR

πR τ ϕ = ∫ dϕ = k ∫ dl = k τ ⋅ πR = kπτ . 0

R

0

R

Для нахождения напряженности потребуется взять в качестве перемен-

рис. 6

ной интегрирования не элемент длины, а элементарный угол dα: dE x = k

τdl sin α = [dl = R ⋅ dα ] = k τRdα sin α = k τ sin α ⋅ dα , 2 R

R

R

тогда π /2 π /2 τ τ τ π τ Ex = 2 ⋅ k ∫ sin α ⋅ dα = 2 ⋅ k ( − cos α 0 ) = 2 ⋅ k (cos 0 − cos ) = 2 ⋅ k .

R

0

R

R

2

R

Полученные значения относятся лишь к одному частному случаю (к единственной точке – центру), а потому связь (2.2) на этом примере проследить нельзя. Задача №2.2. Тонкое плоское кольцо радиуса R и толщиной h равномерно заряжено с поверхностной плотностью зарядов σ. Найдите с помощью принципа суперпозиции напряженность и потенциал поля в точке, находящейся на перпендикулярной к плоскости кольца оси (проходящей через его центр) на расстоянии х от плоскости кольца. Принять h R заряд внутри вспомогательной сферы один и тот же, он равен полному заряду шара: 4 Q2 = ρ q ⋅ πR 3 . 3 Аналогично, получаем

E ⋅ 4πr2

2

ρ q R3 4 3 = ⋅ ρ πR ⇒ E = ⋅ при r2 > R . ε0 q 3 3ε 0 r2 2 1

Полученные результаты изображены графически на рис. 15. Для определения потенциала по найденной напряженности используем соотношение (2.6). Нулевую точку выбираем в бесконечности. В качестве линии интегрирования выбираем радиальную прямую, соединяющую центр шара с бесконечно удаленной точкой. Для определения потенциала ϕ1 во внутренней области интегрирование проводится вдоль всей прямой, т. е. через две области с разными формулами напряженности. Поэтому интеграл разбивается на сумму двух интегралов:

ϕ=

ρq 3ε 0

R

ρ q R3

r

3ε 0

⋅ ∫ rdr +

∞

dr . 2 r R

⋅∫

Выполнив интегрирование и подставив пределы, получим потенциал внутренних точек:

ρq

r2 ϕ= ( R − ) при 0 ≤ r ≤ R . 2ε 0 3 2

41

рис. 15

Для внешних точек вся линия интегрирования проходит только по одной

ρq

R3 внешней области с формулой напряженности E = ⋅ . Поэтому потенци3ε 0 r2 2 ал выражается только одним интегралом:

ϕ=

ρ q R3 3ε 0

∞

dr . 2 r r

⋅∫

Для потенциала внешних точек получаем:

ϕ=

ρ q R3 3ε 0 r

при r ≥ R .

На рис. 15 зависимости Е(r) для внутренней (1) и внешней (2) областей представлены нижней линией; верхняя линия представляет зависимость ϕ(r). Отметим, что на границе шара, т. е. при r =R формулы для внутренних и внешних характеристик должны давать одинаковые значения Е (точка а) и ϕ (точка b), что можно использовать для проверки правильности полученных решений.

42

Задача №3.6. Свободные заряды равномерно распределены с объемной плотностью ρ q =5 нКл/м3 по шару радиусом R=10 см из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью ε=5. Определите напряженность ЭСП на расстояниях r1= 5 см и r2= 15 см от центра шара. [1,88 В/м, 8,37 В/м] (5, с. 81) Указания по решению. При наличии диэлектрической среды величина напряженности электрического поля претерпевает скачек на границе раздела сред (поверхность шара). Поэтому в таком случае удобнее рассматривать вектор электрического смещения и воспользоваться постулатом Максвелла:

∫ D ⋅ d S = ∫ ρ q dV ,

S

V

где ρ q - объемная плотность распределения свободных зарядов. Внутреняя задача. В качестве замкнутой поверхности выбираем сферу ра-

диуса r1 < R . Внутри этой поверхности будет находиться свободный заряд, объемно распределенный по шару такого же радиуса, т.е. 4 Q1 = ρ q ⋅ πr13 . 3 Т.к. выбранная поверхность удовлетворяет условиям (∗) (в силу симметрии вектор электрического смещения во всех точках сферы перпендикулярен к ней и одинаков по величине), то постулат Максвелла запишется в виде: 4 D1 ⋅ 4πr12 = ρ q ⋅ πr13 ⇒ 3 ρ q r1 при r1 ≤ R . D1 = 3 Далее используем формулу связи между значениями векторов напряженности и электрического смещения ЭСП: D = ε 0εE .

Тогда для внутренней точки получаем E1 =

ρ q r1 3ε 0ε

при r1 ≤ R .

Внешняя задача. В качестве замкнутой поверхности выбираем сферу

радиуса r2 > R . Особенность внешней задачи в том, что при любом r2 > R

43

свободный заряд внутри вспомогательной сферы один и тот же, он равен суммарному свободному заряду шара радиуса R: 4 Q2 = ρ q ⋅ πR 3 . 3 Аналогично, получаем 4 D2 ⋅ 4πr2 2 = ρ q πR 3 ⇒ 3 D2 =

ρ q R3 ⋅ 2 при r2 > R . 3

r2

Аналогично, напряженность поля во внешней точке

ρ q R3 E2 = ⋅ при r2 > R . 3ε 0 r2 2 здесь учли, что ε=1, т.к. по условию вне шара диэлектрическая среда отсутствует. Проведите вычисления самостоятельно и сравните ответ. Задача №3.7. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (ε=7). Расстояние между пластинами d=5 мм, разность потенциалов U=1 кВ. Определите: 1) напряженность поля в стекле; 2) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора; 3) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле. [1) 200 кВ/м; 2) 12,4 мкКл/м2; 3) 10,6 мкКл/м2] (4, с. 81) Указания по решению. 1) Зная связь напряженности поля с разностью потенциалов U = Ed , найдем напряженность поля между пластинами конденсатора U E= . d 2) Из приложения (2) воспользуемся формулой напряженности поля плоскости E=

44

σ . 2ε 0ε

Т.к. в конденсаторе имеется 2 пластины, которые разноименно заряжены, то в пространстве между ними поле будет в 2 раза больше, т.е. напряженность поля между пластинами конденсатора равно E=

σ ⇒ σ = ε εE . 0 ε 0ε

3) Поверхностная плотность связанных зарядов численно равна величине вектора поляризации среды σ ′ = P = (ε − 1)ε 0 E . Завершите решение самостоятельно и проведите вычисления. Сравните полученные результаты. Задача №3.8. Найдите плотности поляризационных связанных зарядов на поверхностях диэлектрического слоя между обкладками сферического конденсатора с радиусами Rl и R2 (R1 < R2). Конденсатор заряжен до напряжения U. Диэлектрическая проницаемость слоя равна ε. (1, с. 235) Указания по решению. На обкладках конденсатора находятся равные по величине и противоположные по знаку заряды. В сферическом конденсаторе электрическое поле между обкладками создается действием только внутренней обкладки. Роль внешней обкладки сводится к компенсации поля внутренней обкладки во внешнем пространстве, за пределами конденсатора. Поле равномерно заряженной сферы во внешнем пространстве аналогично полю точечного заряда (равного суммарному заряду Q сферы), находящегося в центре сферы: E=

k Q , ε r2

где R1 < r < R2 . Выразим заряд сферического конденсатора через напряжение между обкладками: R2

U = ∫ Edr = R1

R2

εU ⋅ R1R2 . 1 dr kQ 1 Q = = ( − ) ⇒ ∫ ε R r2 ε R1 R2 k R2 − R1 1

kQ

Тогда выражение для напряженности поля перепишется в виде:

45

E=

R1R2 k 1 εU R1R2 U ⋅ ⋅ = ⋅ . ε r 2 k R2 − R1 r 2 R2 − R1

Вектор напряженности направлен вдоль радиальных прямых от положительной обкладки к отрицательной. Также будет направлен и вектор поляризации диэлектрика, равный в любой точке диэлектрика PE = ε 0 (ε − 1)

R1R2 U ⋅ . r 2 R2 − R1

Тогда на меньшей поверхности диэлектрика, т.е. при r = R1 , плотность поляризационных зарядов равна RR σ1′ = ε 0 (ε − 1) U2 ⋅ 1 2 = ε 0 (ε − 1) U ⋅ R1

R2 − R1

R1

R2 , R2 − R1

а на большей поверхности диэлектрика, т.е. при r = R2 , плотность поляризационных зарядов равна RR σ 1′ = ε 0 (ε − 1) U2 ⋅ 1 2 = ε 0 (ε − 1) U ⋅ R2

R2 − R1

R2

R1 . R2 − R1

Причем одно из выражений должно быть со знаком «+», а другое со знаком «−», что означает противоположность зарядов на обкладках конденсатора. Заметим, что т.к. величины зарядов одинаковы, а площади, по которым они распределены разные, то различны и значения плотностей зарядов. Правильность расчетов можно проверить согласно равенству

σ 1′ ⋅ 4πR12 = σ 2′ ⋅ 4πR2 2 . Кроме того, равенство суммарных поверхностных зарядов на диэлектрике означает отсутствие объемных связанных зарядов, т.е. то, что поляризация диэлектрика однородна. Самостоятельно убедитесь в выполнении последнего равенства в данной задаче.

46

Задачи для самостоятельного решения. 3.9. При расчете потока напряженности электрического поля через замкнутую поверхность потоки, входящие внутрь, берутся со знаком минус, выходящие вовне потоки берутся со знаком плюс. Используя это правило, найдите отрицательные и положительные потоки однородного электрического поля

напряженности E через замкнутую поверхность прямой трехгранной призмы, высота которой h (рис. 16). Передняя грань призмы, ширина которой равна h, перпендикулярна E , нижняя грань параллельна E . [ Φ− = − Eh 2 , Φ+ = Eh 2 ] (6. с. 191)

рис. 16

3.10. Определите поток ФЕ вектора напряженности ЭСП через сферическую

поверхность, охватывающую точечные заряды 5 нКл и -2 нКл. [339 В⋅м] (4, с. 125) 3.11. В области с равномерно распределенной по объему плотностью заряда выделена кубическая поверхность, вписанная в сферу. Определите отношение потока вектора напряженности через поверхность куба к потоку через поверхность сферы. 3.12. Вблизи равномерно заряженной нити мысленно строим замкнутую поверхность, имеющую форму цилиндра, соосного с нитью. Во сколько раз изменится поток вектора напряженности ЭСП через полную поверхность цилиндра, если нить наклонить на 45о и сохранить пересечение нити с основаниями цилиндра. 3.13. Шар радиусом 0,1 м равномерно заряжен с объемной плотностью 0,2 мкКл/м3. Найдите поток вектора напряженности ЭСП через сечение шара плоскостью, перпендикулярной радиусу и проходящей через его середину. 3.14. В каждой вершине куба находятся одинаковые точечные заряды 32 нКл. Определите поток вектора напряженности поля через поверхность куба.

47

3.15. Вычислите поток вектора напряженности поля через поверхность полусферы радиусом 0,5 м. Поле однородно и параллельно оси полусферы, напряженность поля 5 кВ/м. 3.16. Определите поверхностную плотность заряда, создающего вблизи поверхности Земли напряженность Е=200 В/м. [1,77 нКл/м2] (4, с. 126) 3.17. Определите поверхностную плотность зарядов на пластинах плоского

слюдяного (ε = 7) конденсатора, заряженного до разности потенциалов U=200 В, если расстояние между его пластинами равно d=0,5 мм. [24,8 мкКл/м2] (4, с. 130) 3.18. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено

слюдой (ε=7). Площадь пластины конденсатора 50 см2. Определите поверхностную плотность связанных зарядов на слюде, если пластины конденсатора притягиваются друг к другу с силой 1 мН. [4,27 мкКл/м2] (5, с. 83) 3.19. Между пластинами плоского конденсатора помещено 2 слоя диэлектри-

ка – слюда (ε1=7) толщиной 0,5 м и парафин (ε2=2) толщиной 0,5 мм. Определите: 1) напряженность ЭСП в слоях диэлектрика; 2) электрическое смещение. Разность потенциалов между пластинами конденсатора 500 В. [1) 182 кВ/м; 637 кВ/м; 2) 11,3 мкКл/м2] (5, с. 84) 3.20. Расстояние между пластинами плоского конденсатора 5 мм, разность потенциалов 1,2 кВ. Определите: 1) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора; 2) поверхностную плотность связанных зарядов на диэлектрике, если известно, что диэлектрическая восприимчивость ди-

электрика,

заполняющего

пространство

между

пластинами,

χ=1.

[1) 4,24 мкКл/м2; 2) 2,12 мкКл/м2] (5, с. 84) 3.21. Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 5 мм. После зарядки конденсатора до разности потенциалов U = 500 В между пластинами конденсатора вдвинули стеклянную пластинку (ε = 7). Определите: 1) диэлектрическую восприимчивость стекла; 2) поверхностную плотность связанных зарядов на стеклянной пластинке [1) 6; 2) 759 нКл/м2] (4, с. 131) 3.22. В однородное электростатическое поле напряженностью Е0 = 700 В/м перпендикулярно полю помещается бесконечная плоскопараллельная

стеклянная (ε = 7) пластина. Определите: 1) напряженность ЭСП внутри пластины; 2) электрическое смещение внутри пластины; 3) поляризованность 48

стекла; 4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле. [1) 100 В/м; 2) 6,19 нКл/м2; 3) 5,31 нКл/м2; 4) 5,31 нКл/м2] (4, с. 131) 3.23. Под действием ЭСП равномерно заряженной бесконечной плоскости точечный заряд 2 нКл переместился вдоль силовой линии на расстояние 1 см; при этом совершена работа 5 мкДж. Определите поверхностную плотность заряда на плоскости. [8,85 мкКл/м2] (4, с. 126) 3.24. ЭСП создается двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными равномерно одноименными (разноименными) зарядами с

σ1=2 нКл/м2 и σ2=4 нКл/м2. Определите напряженность ЭСП: 1) между плоскостями; 2) за пределами плоскостей. Постройте график изменения напряженности поля вдоль линии, перпендикулярной плоскостям. [1) 113 В/м; 2) 339 В/м] (4, с. 126) 3.25. На металлической сфере (объемно заряженном шаре) радиусом 15 см находится заряд 2 нКл. Определите напряженность ЭСП: 1) на расстоянии 10 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии 5 см от поверхности сферы. Постройте график зависимости Е(r). [0; 5 кВ/м; 0,9 кВ/м] (4, с. 127) 3.26. Электростатическое поле создается в вакууме бесконечным цилиндром радиусом 8 мм, равномерно заряженным с линейной плотностью 10 нКл/м. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстояниях 2 мм и 7 мм от поверхности этого цилиндра. [73 В] (4, с. 131) 3.27. Между пластинами плоского конденсатора помещено два слоя диэлек-

трика — слюдяная пластинка (ε 1= 7) толщиной dl = 1 мм и парафин (ε2 = 2) толщиной d2=0,5 мм. Определите: 1) напряженности ЭСП в слоях диэлектрика; 2) электрическое смещение, если разность потенциалов между пластинами конденсатора U=500 В. [1) Е 1 =182 кВ/м, Е 2 =637 кВ/м; 2) D = 11,3 мкКл/м2] (4, с. 132) 3.28. Используя теорему Гаусса, докажите, что объемная плотность электрического заряда внутри проводника равна нулю и что поверхностная плот-

ность заряда проводника σ связана с напряженностью электрического поля

49

Е вне проводника вблизи его поверхности соотношением

E=

σ . ε0

(6. с. 195) 3.29. Две заряженные параллельные плоскости с поверхностной плотностью заряда ± σ , разнесены на расстояние d друг от друга и разделены проклад-

кой толщины h , диэлектрическая проницаемость которой ε. Найдите поверхностную плотность индуцированного поляризационного заряда на прокладке, напряженность электрического поля в пространстве между плаε − 1 , напряженстинами и разность потенциалов между ними. [ σ пр = ±σ

ε

ность поля: E =

σ - в диэлектрике, E = σ - в зазоре] (6, с. 207) ε 0ε ε0

50

Практическое занятие № 4. Тема: Электроемкость. Конденсаторы. Энергия взаимодействия электрических зарядов. Энергия ЭСП.

Вопросы для подготовки к занятию.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Что называется электроемкостью проводника? От чего зависит электроемкость проводника? Какой проводник называется уединенным? Что такое конденсатор? Какие бывают конденсаторы? Как определяется емкость конденсатора? От чего она зависит? Запишите формулу емкости плоского конденсатора и поясните входящие в нее величины. 7. Какая энергия называется электрической? 8. Как найти энергию взаимодействия электрических зарядов? 9. Как найти энергию электрического поля? 10. Запишите формулу для объемной плотности энергии электрического поля и поясните входящие в нее величины. 11. Что является носителем электрической энергии: заряды или поле?

Некоторые замечания к теоретическому материалу.

Электроемкость уединенного проводника является мерой его способности накапливать электрический заряд и измеряется зарядом, повышающим потенциал проводника на единицу: C=

q

ϕ

.

(4.1)

Отсюда, зная формулу связи между зарядом проводника и его потенциалом, легко из нее выразить коэффициент пропорциональности С, являющийся емкостью. В случае конденсатора аналогично:

51

q . U Электроемкость плоского конденсатора: C=

C=

(4.2)

ε 0εS

, (4.3) d где S – площадь каждой обкладки, d – расстояние между обкладками, ε - диэлектрическая проницаемость вещества между обкладками конденсатора. При вычислении электрической энергии возможно использование одного из двух подходов. I-й подход: носителями энергии являются электрические заряды. II-й подход: носителем энергии является электрическое поле (полевая концепция электрической энергии). 1) Энергия взаимодействия точечных зарядов равна 1 (4.4) W p = ∑ qiϕi , 2 i

где ϕi - полный потенциал, создаваемый в точке расположения заряда qi всеми остальными зарядами системы. При использовании этой формулы необходимо выполнить следующую последовательность действий: 1. Найти потенциалы ϕi в точках нахождения зарядов системы. 2. Составить произведения qiϕi . 3. Найти их сумму и поделить на 2. 2) Энергия непрерывно распределенных зарядов в соответствии с видом распределения (объемный, поверхностный, линейный) равна 1 (4.5) W p = ∫ ρ qϕ dV , 2V Wp =

1 ∫ σϕ dS , 2S

(4.6)

Wp =

1 ∫ τ ϕ dV . 2L

(4.7)

3) Энергия заряженного проводника

52

Wp =

ϕ

qϕ q 2 Cϕ 2 , = = 2 2C 2

∫ σ dS =

2S

(4.8)

где q – заряд проводника, ϕ - потенциал на его поверхности (ϕ = const). 4) Энергия электрического поля W p = ∫ wE dV ,

(4.9)

V

где wE =

ε 0εE 2 2

=

D2 ED = 2ε 0ε 2

(4.10)

- объемная плотность энергии электрического поля.

Методические указания к решению типовых задач.

Задача №4.1. Два проводящих шара радиусами R1=8 см и R2=20 см находятся на большом расстоянии друг от друга и имеют заряды q1=14 нКл и q2= –7 нКл.

Каким станет заряд q2′ (в нКл) второго шара, если шары соединить проводником? Емкостью соединительного проводника пренебречь. (4, с. 88) Указания по решению. Заданные размеры шаров эквивалентны заданию их электроемкости (от вида вещества проводника его емкость не зависит). Известно, что потенциал шара ϕ связан с его зарядом q формулой

ϕ =k

q q 1 = ⋅ , R 4πε 0ε R

отсюда получаем выражение для электроемкости шара C=

q

ϕ

= 4πε 0ε R ,

где ε - диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится шар. При соединении шаров происходит перераспределение заряда между ними до тех пор, пока потенциалы шаров не станут равны. При этом алгебраическая сумма заряда не меняется: q1 + q2 = q1 '+ q2 ' ,

отсюда

53

q1 ' = q1 + q2 − q2 ' .

(*)

Постоянной остается и емкость каждого шара, т.е. отношение заряда к потенциалу: C1 =

q1

ϕ1

=

q1 '

ϕ

и C2 =

q2

ϕ2

=

q2 '

ϕ

.

Составим отношение этих равенств C1 q1 ' . = C2 q2 '

С другой стороны, из выражения емкости шара получаем C1 R1 . = C2 R2

Приравняем правые части последних равенств: R1 q1 ' , = R2 q2 '

и с учетом (*) имеем R1 q1 + q2 − q2 ' = , R2 q2 '

откуда легко найти искомую величину. Завершите самостоятельно решение задачи в общем виде и произведите вычисления. Задача №4.2. Между обкладками изолированного плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U1 =400 В, находится пластина с диэлек-

трической проницаемостью ε =5, примыкающая вплотную к обкладкам. Какова будет разность потенциалов U2 между обкладками конденсатора после удаления диэлектрика? Указания по решению. В соответствии с формулой (4.3) емкость плоского конденсатора при удалении диэлектрика уменьшится в ε раз. При этом заряд на его обкладках не изменится (зарядам некуда уйти). Тогда согласно формуле (4.2) напряжение увеличится в ε раз.

54

Задача №4.3.

Шар, погруженный в масло (ε =2,2), имеет поверхностную

плотность заряда σ =1 мкКл/м2 и потенциал ϕ =500 В. Определите: 1) радиус шара R; 2) заряд шара q; 3) электроемкость шара C; 4) энергию шара Wp. [1) 9,74 мм; 2) 1,19 нКл; 3) 2,38 пФ; 4) 0,3 мкДж] (5, с. 84) Указания по решению. В соответствии с определением поверхностной плотности заряда полный заряд шара в случае его равномерного распределения равен q = 4πR 2 ⋅ σ .

Потенциал шара в диэлектрике связан с его зарядом соотношением q ϕ=k⋅ . ε R

С учетом предыдущего равенства получаем 2 ϕ = k ⋅ 4πR σ = 4kπRσ , ε R ε

откуда можно выразить искомый радиус шара: R=

ϕε ε ϕε ϕε = ⋅ 4πε 0 = 0 . 4kπσ 4πσ σ

В задаче 4.1 было получено выражение для емкости шара C=

q

ϕ

= 4πε 0ε R .

Тогда с учетом выражения для радиуса шара получим в данном случае: C = 4πε 0ε ⋅

ϕε 0ε ϕ = 4π (ε 0ε ) 2 . σ σ

Энергию шара найдем по формуле (4.8): 3 Cϕ 2 2ϕ . Wp = = 2π (ε 0ε ) 2 σ Самостоятельно произведите расчеты и сравните полученные числовые

значения искомых величин. Задача №4.4. Найдите емкость С слоистого сферического конденсатора с радиусами обкладок R1=2 см и R2=2,6 см, между сферическим обкладками которого находятся два концентрических слоя диэлектрика, толщины и диэлектрические проницаемости которых равны соответственно d1= 0,2 см, d2= 0,4 см,

ε1=7, ε2=2 (рис. 17). 55

Указания по решению. Емкость заданного конденсатора будем искать в соответствии с определением емкости конденсатора, т.е. по формуле (4.2): q , U где напряжение следует искать из связи между напряженностью электрического поля конденсатора и разностью потенциалов. Учитывая сферическую симметрию поля конденсатора, получим указанную связь в виде C=

2

U = ∫ E ( r )dr , 1

где интегрирование должно проводиться от одной обкладки конденсатора до другой вдоль радиального направления. Остается найти закон изменения величины напряженности поля E ( r ) между сферическими обкладками данного конденсатора.

Т.к. среда диэлектрическая и неоднородная, то воспользуемся теоремой Гаусса для вектора электрического смещения (постулатом Максвелла):

∫ D ⋅ dS = q,

S

где q – свободный заряд внутри замкнутой поверхности S. Практический аспект постулата Максвелла состоит в том, что с его помощью рассчитываются симметричные электрические поля в неоднородных средах. Выбираем замкнутую поверхность S в форме сферы радиуса r (R1 ≤ r ≤ R2). В силу симметрии во всех точках этой поверхности вектор смещения перпендикулярен к ней и одинаков по величине. Поэтому интеграл в теореме Гаусса превращается в произведение D⋅ S. Имеем:

рис. 17

2 ∫ D ⋅ d S = D ⋅ S = D ⋅ 4πr = q ,

S

здесь q – заряд обкладки конденсатора (заряд меньшей сферы).

56

Тогда получаем выражение для смещения: q D= , R1 ≤ r ≤ R2. 4πr 2 Эта формула действует в обоих диэлектрических слоях. Далее из формулы связи вектора электрического смещения с вектором напряженности поля получим формулы для напряженностей в слоях диэлектриков: q kq D = = , R1 ≤ r ≤ R1+d1. E1 = ε 0ε1 4πε 0ε1r 2 ε1r 2 E1 =

D

ε 0ε 2

=

q

4πε 0ε 2 r 2

=

kq , R1+d1 ≤ r ≤ R2. 2 ε 2r

При переходе через границу раздела между слоями напряженность испытывает разрыв, обусловленный наличием на этой границе поверхностного связанного заряда. Поэтому при подстановке в эти выражения r=R1+d1 напряженности не совпадают, и их разность даст скачок напряженности при переходе через границу. Далее выразим напряжение на конденсаторе, используя в качестве линии интегрирования радиальную прямую, соединяющую обкладки. Поскольку эта прямая проходит через оба диэлектрических слоя, в каждом из которых действует своя формула напряженности, интеграл разбивается на сумму двух интегралов: U= = kq(

1

ε1

R1 + d1

∫

R1

R1 + d1

R2

R1 + d1

R1

R1 + d1

R1

∫ E1dr +

dr 1 + r2 ε2

R2

∫

R1 + d1

∫ E2 dr =

∫

R

2 kq kq dr + dr = ∫ 2 ε1r 2 ε r R1 + d1 2

⎡1 1 1 1 1 1 ⎤ dr = ⋅ − + − ) ( ) ( )⎥. kq ⎢ + + ε R R d ε R d R r2 ⎣ 1 1 1 1 2 1 1 2 ⎦

Отсюда находим емкость сферического двухслойного конденсатора: 4πε 0 q C= = . 1 1 1 1 1 1 U ⋅( − − )+ ( ) ε1 R1 R1 + d1 ε 2 R1 + d1 R2 Вычислим:

57

C=

4 ⋅ 3,14 ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 =2,682⋅10-11 (Ф)= 1 1 1 1 1 1 ⋅( − )+ ( − ) 7 0,02 0,02 + 0,002 2 0,02 + 0,002 0,026

=26,82 (пФ). Самостоятельно получите из общей формулы решения этой задачи формулу для емкости сферического конденсатора с однородным диэлектриком между обкладками. Сравните полученное выражение с формулой емкости плоского конденсатора. Задача №4.5. Найдите электрическую энергию системы 4-х зарядов q, 2q, 3q и –q, расположенных в вершинах квадрата со стороной а (рис. 18). Указания по решению. Энергия системы зарядов определяется формулой (4.4). 1) Найдем потенциалы ЭСП в вершинах квадрата на основе принципа суперпозиции:

ϕ1 = k

−q 2q 3q +k +k , a a a 2

ϕ2 = k

q 3q −q +k +k , a a a 2

ϕ3 = k

−q q 2q + +k , a a a 2

ϕ4 = k

q 2q 3q +k +k . a a a 2

рис. 18

2) Энергия их взаимодействия равна 1 W p = ( qϕ1 + 2 qϕ 2 + 3qϕ 3 − qϕ 4 ) . 2 Самостоятельно проведите подстановку выражений для потенциалов и получите окончательный ответ в общем виде. Задача №4.6. Найдите электрическую энергию непрерывно распределенного по объему шара заряда с объемной плотностью ρq. Принять, что диэлектрическая среда отсутствует. Указания по решению. Энергию распределенного по объему заряда найдем по формуле (4.5):

58

1 ∫ ρ ϕ dV . 2V q

Wp =

Здесь ϕ - потенциал поля в точках шара, т.е. задается формулой (см. задачу 3.2):

ϕ (r) =

ρq 2ε 0

r2 ), 0 ≤ r ≤ R . 3

( R2 −

С учетом сферической симметрии в качестве элементов объема следует выбрать тонкие сферические слои толщиной dr. В каждой точке такого слоя потенциал одинаков. Тогда элементарный объем dV = 4πr 2 dr . Подставляем: 2

R π ρq ρq 2 r2 1 1R Wp = ∫ ρq ⋅ ( R − )4πr 2 dr = ⋅ ( R 2 ∫ r 2 dr − ∫ r 4dr ) . 2V 2ε 0 3 30 ε0 0

После преобразований получим Wp =

4π ρ q 2 R 5 15ε 0

.

Задача №4.7. Электрическое поле создано равномерно заряженным с объемной плотностью ρ q шаром радиуса R. Найдите объемную плотность энергии электрического поля во внутренней и внешней области. Диэлектрическая среда отсутствует. Указания по решению. Объемная плотность энергии электрического поля задается в соответствии с (4.10) формулой:

ε0E 2

при ε =1. 2 В задаче 3.2 были получены выражения для напряженности поля внутри и вне объемно заряженного шара: ρ q r1 E1 = при r1 ≤ R 3ε 0 wE =

и

59

E2 =

ρ q R3 ⋅ при r2 > R . 3ε 0 r2 2

Соответственно получаем выражения для плотности энергии: wE 1 =

2 2 ε 0 ρ q r1

2

⋅

9ε 0

2

=

ρ q 2 r12 18ε 0

внутри шара

и wE 2 =

ε0

ρ q2 R6

ρ q2 R6

⋅ = вне шара. 2 9ε 02 r2 4 18ε 0 r2 4

Самостоятельно получите аналогичным образом выражения для плотности энергии поля при наличии диэлектрической среды с проницаемостью ε. Сравните полученные выражения и сделайте соответствующий вывод. Задача №4.8. Электрическое поле создано равномерно заряженным с объемной плотностью ρ q шаром радиуса R. 1) Найдите энергию электрического поля, заключенного во внутренней и внешней области пространства. Диэлектрическая среда отсутствует. 2) Найдите суммарную энергию поля и сравните с энергией взаимодействия распределенного по объему шара заряда. Указания по решению. Воспользуемся формулой (4.9), учитывая результаты, полученные в ходе решения предыдущей задачи. Энергию поля найдем суммированием энергии элементарных сферических слоев объемом 4πr 2dr . 1) Энергия поля внутри шара R ρ 2r 2 q

W p1 = ∫ wE1 dV = ∫ V

0

18ε 0

⋅ 4πr 2dr =

2πρ q 2 9ε 0

2 2 πρ r5 q 4 = ⋅ r dr ∫ 9ε 0 5 0

R

R 0

=

2π ρ q 2 R5 45ε 0

или W p1 =

2 π ρ q2 R5 . 45 ε 0

2) Энергия поля вне шара Wp2

2πρ q 2 R 6 R dr 2πρ q 2 R 6 1 = ∫ wE 2 dV = ∫ ⋅ 4πr dr = ⋅ ∫ 2 = 9ε 4 9 r ε V 0r R 18ε 0 r 0 0 ∞ρ

q

2 6

R

2

60

R ∞

=

2π ρ q 2 R5 9 ε0

или Wp2 =

2π ρ q 2 R5 . 9 ε0

Суммарная энергия поля внешней и внутренней областей равна 12 π ρ q 2 R5 = 4 π ρ q 2 R5 . Wp2 = 45 ε 0 15 ε 0 Сравнивая эту формулу с результатом, полученным в задаче 4.5, убеждаемся в их полном совпадении. В связи с этим заметим, что в электростатике оба подхода в нахождении электрической энергии равноправны. Это обусловлено тем, что электростатические поля и их источники – неподвижные заряды – существуют всегда совместно и взаимосвязаны между собой основными формулами электростатики. Задача №4.9. Воспользовавшись выражением для плотности энергии электрического поля, выразите энергию плоского конденсатора через: 1) заряд Q на обкладках; 2) через напряжение U между обкладками. Найдите силу притяжения обкладок друг к другу в каждом из этих случаев. Указания по решению. Плотность энергии электрического поля равна wE =

ε 0εE 2

. 2 считаем, что все поле заключено в пространстве между обкладками, т.е. занимает объем V = S ⋅d , где S – площадь обкладки, d – расстояние между обкладками конденсатора. Получаем

Wp =

ε 0εE 2

⋅ Sd . 2 Напряженность поля конденсатора связана с напряжением между обкладками U E= . d Тогда 61

Wp =

ε 0εU 2

ε 0εSU 2

⋅ Sd = 2d 2 Электроемкость плоского конденсатора C=

ε 0εS d

2d

.

,

тогда

ε 0εSU 2

CU 2 2d 2 – выражение для энергии конденсатора через напряжение между его обкладками. С учетом определения емкости конденсатора Wp =

=

Q = CU , получаем 2 Q2 CU 2 (CU ) = = . Wp = 2 2C 2C

Иначе можно записать Q 2d Wp = 2ε 0εS – выражение для энергии конденсатора через заряд на обкладках. Наконец, силу притяжения пластин найдем согласно равенствам: ∂W p ∂W p F = −( )q = ( ) . ∂x ∂x ϕ 1) Имеем Wp =

∂W p Q2 Q 2d ⇒ F = −( . )q = − ∂x 2ε 0εS 2ε 0εS

2) Имеем Wp =

ε 0εSU 2 2d

⇒ F =(

∂W p

) = ∂x ϕ

ε 0εSU 2 2

2

ε εSU 1 ⋅ (− 2 ) = − 0 2 . d 2d

Отметим, что знак «−» соответствует тому, что пластины притягиваются друг к другу (т.е. силы притяжения считаются отрицательными, а силы отталкивания – положительными).

62

Задача №4.10. Найдите работу, совершенную внешними силами по зарядке сферы радиусом R до заряда Q. Указания по решению. Элементарная работа при перемещении заряда dq′ из бесконечности ( ϕ ∞ = 0 ) на сферу равна dA = dq′ ⋅ ϕ ′ = dq′ ⋅

q′ . C

Интегрируем по заряду сферы Q

Q2 1 A = ∫ dA = ∫ qdq = . C0 2C Сравнивая с формулой для энергии заряженного проводника, можно сделать вывод, что работа по зарядке сферы переходит в потенциальную энергию заряженной сферы.

Задачи для самостоятельного решения. 4.11. Металлические шары, заряженные одинаковым зарядом, имеют потенциалы 20 В и 30 В. Каким будет потенциал этих шаров, если соединить их проволокой? Расстояние между шарами велико по сравнению с их радиусами. 4.12. Чему равна емкость (в мкФ) конденсатора, если при увеличении его заряда на 30 мкКл разность потенциалов между пластинами увеличивается на 10 В? 4.13. Плоский воздушный конденсатор емкостью 1 мкФ соединили с источником тока, в результате чего он приобрел заряд 10 мкКл. Расстояние между пластинами конденсатора 5 мм. Определите напряженность поля (в кВ/м) внутри конденсатора. 4.14. Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно 2 см. Пластины заряжены до разности потенциалов 100 В. Чему будет равна разность потенциалов между пластинами, если, не изменяя заряда, расстояние между ними увеличить до 8 см? 4.15. Одну пластину незаряженного конденсатора, обладающего емкостью 1 нФ, заземляют, а другую присоединяют длинным тонким проводом к

63

удаленному проводящему шару радиусом 20 см, имеющему заряд 92 мкКл. Какой заряд (в мкКл) останется на шаре? 4.16. Конденсатору емкостью 2 мкФ сообщен заряд 0,01 Кл. Обкладки конденсатора соединили проводником. Найдите количество теплоты, выделившееся в проводнике при разрядке конденсатора. 4.17. Плоский воздушный конденсатор заполнили керосином, зарядили, со-

общив ему энергию 2⋅10-5Дж, и отключили от источника тока. Определите, какая энергия (в мкДж) будет запасена в конденсаторе, если из него слить керосин. 4.18. Стеклянная пластина целиком заполняет зазор между обкладками плоского конденсатора, емкость которого в отсутствии пластинки равна 2 мкФ. Конденсатор зарядили от источника с ЭДС 1000 В, после чего отключили от источника. Найдите механическую работу, которую необходимо совершить против электрических сил, чтобы извлечь пластину из конденсатора. 4.19. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов 500 В. Площадь пластин 200 см2, расстояние между ними 1,5 мм. Пластины раздвинули до расстояния 15 мм. Найдите энергии конденсатора до и после раздвижения пластин, если источник тока перед раздвижением: 1) отключался; 2) не отключался. [1) 14,8 мкДж, 148 мкДж; 2) 14,8 мкДж, 1,48 мкДж] (5, с. 83) 4.20. Плоский воздушный конденсатор емкостью 10 пФ заряжен до разности потенциалов 500 В. После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в 3 раза. Определите: 1) разность потенциалов на пластинах конденсатора после их раздвижения; 2) работу сил по раздвижению пластин. [1) 1,5 кВ; 2) 2,5 мкДж] (5, с. 85) 4.21. В однородное ЭСП напряженностью 700 В/м перпендикулярно линиям

напряженности поместили стеклянную пластину (ε=7) толщиной 1,5 мм и площадью 20 см2. Определите: 1) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 2) энергию ЭСП, сосредоточенную в пластине. [5,31 нКл/м2; 2) 9,29 пДж] (5, с. 84)

64

4.22. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора 100 В. Площадь каждой пластины 200 см2, расстояние между пластинами 0,5 мм, пространство между ними заполнено парафином. Определите силу при-

тяжения пластин друг к другу. [ F =

ε 0εSU 2

= 7,08 мН] (5, с. 85) 2d 2 4.23. Одинаковые заряды Q = 100 нКл расположены вершинах квадрата со стороной а = 10 см. Определите потенциальную энергию этой системы. [4,87 мДж] (4, с. 128) 4.24. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сфер радиусами r l =5 см и r 2=5,5 см. Пространство между обкладками конденсатора заполнено трансформаторным маслом. Определите: 1) электроемкость этого конденсатора; 2) радиус шара, помещенного в масло, который обладает такой электроемкостью. [1) 135 пФ; 2) 0,55 м] (4, с. 133) 4.25. Уединенная металлическая сфера электроемкостью С=4 пФ заряжена до

потенциала ϕ=1 кВ. Определите энергию поля, заключенную в сферическом слое между сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в 4 раза больше радиуса уединенной сферы. [1,5 мкДж] (4, с. 134) 4.26. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено

стеклом (ε=7). Когда конденсатор присоединили к источнику ЭДС, давление пластин на стекло оказалось равным 1 Па. Определите: 1) поверхностную плотность зарядов на пластинах конденсатора; 2) электрическое смещение; 3) напряженность электростатического поля в стекле; 4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 5) объемную плотность энергии электростатического поля в стекле. [1) 11,1 мкКл/м2; 2) 11,1 мкКл/м2; 3) 179 кВ/м; 4) 9,5 мкКл/м2; 5) 0,992 Дж/м3] (4, с. 136) 4.27. Сплошной эбонитовый шар (ε = 3) радиусом R = 5 см заряжен равно-

мерно с объемной плотностью ρ q = 10 нКл/м3. Определите энергию электростатического поля, заключенную внутри шара. (4, с. 135)

65

[0,164 пДж]

4.28. Сплошной шар из диэлектрика радиусом R = 5 см заряжен равномер-

но с объемной плотностью ρq = 10 нКл/м3. Определите энергию электростатического поля, заключенную в окружающем шар пространстве. [2,46 пДж] (4, с. 135) 4.29. Две концентрические сферы радиусами 20 см и 50 см заряжены одинаковыми зарядами 100 нКл. Определите энергию ЭСП, заключенного между сферами. [135 мкДж] (5, с. 82) 4.30. Какую работу против электрических сил нужно совершить, чтобы уменьшить в 2 раза радиус заряженной сферы? Первоначальный радиус Q2 ] 2R 4.31. Найдите электроемкость цилиндрического конденсатора с радиусами обкладок R1 и R3 и осевой длиной l. Между обкладками расположены два

сферы R, а ее заряд Q. (6, с. 206) [ A = k

цилиндрических слоя диэлектриков с проницаемостями ε1 и ε2 и радиусом границы раздела R2. [ C =

2πε 0l ] (1, с. 241) R3 1 R2 1 ln + ln ε1 R1 ε 2 R2

4.32. На сколько увеличится энергия электрического поля 2-х точечных зарядов Q, удаленных друг от друга на большое расстояние, при сближении

Q2 их на расстояние d? (6, с. 206) [ ΔW = k ] d

66

Практическое занятие № 5. Тема: Постоянный электрический ток в проводниках. Электрические цепи. ЭДС. Законы Ома и Джоуля-Ленца. Работа и мощность тока.

Вопросы для подготовки к занятию.

1. 2. 3. 4.

5.

6.

7. 8. 9.

Что называется электрическим током? Какие разновидности тока вам известны? Каковы условия возникновения тока в проводниках? Какие силы называются сторонними? Какова их природа? Дайте определение ЭДС, запишите соответствующую формулу и укажите единицы измерения. Что характеризуют величины сопротивления и проводимости проводника? Что такое «удельная проводимость» и «удельное сопротивление» материала проводника? Как рассчитывается сопротивление линейного проводника? В каком виде запишется формула сопротивления проводника, если он неоднороден и имеет различное поперечное сечение? Сформулируйте и запишите законы Ома для однородного, неоднородного участка и для замкнутой цепи в интегральной форме. Что называется падением напряжения? Запишите закон Ома в дифференциальной форме и поясните входящие в него величины. Сформулируйте и запишите в интегральной и дифференциальной формах закон Джоуля-Ленца. Поясните входящие в формулы величины. Что понимается под работой электрического тока? Как вычисляется эта работа? Чему равна мощность тока?

Некоторые замечания к теоретическому материалу.

Различают 3 вида электрического тока: ток проводимости, ток переноса и ток смещения.

67

В данном практическом занятии рассматривается первый вид – ток проводимости – на примере электрического тока в металлах (проводниках), образованного направленным движением свободных электронов (электроны проводимости). Условия возникновения и существования тока: 1) наличие свободных носителей тока – заряженных частиц, способных перемещаться упорядоченно (характеризуются зарядом q0, подвижностью b, концентрацией n); 2) наличие электрического поля, энергия которого расходуется на их упорядоченное движение (характеризуется величиной напряженности Е); 3) восполнение энергии электрического поля (осуществляется в источнике тока и характеризуется величиной ЭДС). Электрический ток можно отнести к явлениям переноса (переносится электрический заряд) и по аналогии охарактеризовать его двумя величинами: 1) интегральной (скалярной) – потоком заряда через поперечное сечение проводника – называемой по традиции силой тока I; 2) локальной (векторной) – плотностью потока заряда или плотностью тока j

.

Связь между ними выражается формулой I = ∫ j ⋅ d S = ∫ jn ⋅ dS . S

(5.1)

S

Сила тока измеряется зарядом, который переносится через поперечное сечение проводника в единицу времени: dq I= , (5.2) dt Плотность тока – вектор, направленный в сторону движения положительных зарядов и равный величине заряда, переносимого через единицу поперечного сечения проводника за единицу времени:

j = q0n v = q0 nb E ,

68

(5.3)

где v

- средняя скорость упорядоченного движения носителей тока, под-

v измеряется средней скоростью направленного двиE жения в поле единичной напряженности.

вижность которых b =

Произведение в (5.3), стоящее перед E , характеризует проводящие свойства проводника, по которому течет ток, и называется удельной электропроводностью материала проводника (вещества):

γ = q0nb .

(5.4)

Величина, обратная к удельной электропроводности, называется удельным сопротивлением: (5.5) ρR = 1 .

γ

Ток, величина и направление которого не меняются с течением времени, называется постоянным. В этом случае формула (5.2) перепишется в виде

q , (5.6) Δt где q – суммарный заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за I =

время Δt. Наглядна аналогия между характеристиками движения материальной точки и величинами, используемыми для описания движения заряженных частиц (см. таблицу 2). Для поддержания постоянного тока в замкнутой цепи необходимо присутствие сторонних сил (сил не электростатического происхождения). Источник сторонних сил, которые восполняют энергию порождающего ток в проводниках электрического поля, называется источником ЭДС 6. Количественной характеристикой источника ЭДС служит электродвижущая сила E, измеряемая работой, совершаемой сторонними силами источника по перемещению единичного положительного заряда внутри источника от отрицательного полюса к положительному: A E = ст . (5.7) q 6

В электротехнике рассматриваются сходные понятия «источник тока» и «источник напряжения», которые различны между собой по содержанию и отличаются от понятия «источник ЭДС».

69

Таблица 2

Движение материальной точки пройденный путь

Движение заряженных частиц перенесенный заряд

S dS dt

скорость движения

v=

путь и скорость при равномерном движении

S = v Δt , S v= Δt

ускорение как скорость изменения скорости

a=

dv dt

сила тока заряд и сила тока в случае постоянного электрического тока скорость изменения силы тока

q dq dt q = I Δt , I=

I =

q Δt

a=

dI dt

закон изменения ско- v (t ) = v0 + at закон равномерного I (t ) = I 0 + at изменения тока рости при равноускоренном движении Путь при равноускоat 2 S = v0 t + ренном движении 2

заряд при равномерat 2 q = I 0t + ном изменении тока 2

За направление ЭДС принимается направление, в котором внутри источника перемещаются положительные заряды (т.е. от отрицательного полюса к положительному). Кроме того, по отношению к протекающему в замкнутой цепи току источник ЭДС характеризуется наличием некоторого внутреннего сопротивления r.

Методические указания к решению типовых задач.

Задача №5.1. В проводе длины l полный движущийся заряд, равномерно рас-

пределенный по проводу, равен q. Определите среднюю скорость v движения зарядов, если ток равен I. [

Il ] (6, с. 227) q

Указания по решению. Из условия задачи следует, что сила тока в проводе постоянна. Это значит, что при движении заряженных частиц, создающих ток, полный движущийся заряд в объеме провода не меняется.

70

Рассмотрим время Δt, за которое отдельная частица – носитель тока – переместится с одного конца провода на другой, пройдя путь l (равный длине провода) со средней скоростью движения v : l . Δt При этом через произвольное поперечное сечение проводника (расположенное в любом месте провода) будет перенесен заряд q. По определению силы тока v =

I=

q , Δt

т.к. ток постоянен. Исключая из полученных равенств время Δt, легко получить ответ к задаче в общем виде. Подумайте, в каком месте решения задачи было учтено равномерное распределение зарядов по объему провода? Задача №5.2. Из материала с удельным сопротивлением ρ R изготовлено

плоское кольцо толщины d. Радиусы кольца равны а и b (b>a). Между внешней и внутренней цилиндрическими поверхностями кольца поддерживается некоторая разность потенциалов. Найдите сопротивление R кольца в этих условиях. [ R =

ρR b ln ] 2πd a

(7, с. 132)

Указания по решению. Формула сопротивления линейного проводника l R = ρR , S где ρ R - удельное сопротивление материала проводника, l – его длина, S –

площадь поперечного сечения, подразумевает, что напряжение будет подаваться на концы этого проводника (при этом длина становится расстоянием, которое проходят носители тока между точками, с заданной разностью потенциалов). рис. 19 В данной задаче эта формула применима в виде dr dR( r ) = ρ R S (r)

71

лишь для элемента кольца высотой, равной d, (рис. 19), где r – радиус этого элемента, dr – его толщина в радиальном направлении. Выражаем S ( r ) = 2πr ⋅ d и суммируем по всем элементам, т.е. при a < r < b . Искомая величина получается интегрированием:

ρ R b dr ρ R b dr R = ∫ ρR = ⋅∫ = ln . 2 2 2 π r d π d r π d a ⋅ a a b

Самостоятельно, получите выражение для сопротивления этого же кольца в случае, когда напряжение подается на его верхнее и нижнее кольцевые поверхности. Произведите расчет, задавшись конкретными значениями величин, и сравните полученные результаты. Задача №5.3. Резистор и амперметр соединены последовательно и подключены к источнику тока. К концам резистора присоединен вольтметр с сопротивлением RV =4 кОм. Амперметр показывает силу тока

IА=0,3 А, вольтметр – напряжение UV=120 В. Определите сопротивление резистора7. рис. 20 (6, с. 238) Указания по решению. В условии описана разветвленная цепь (точки разветвления на схеме помечены черными кружками). Заметим (см. рис. 20), что ток, идущий через амперметр, не равен току, текущему через резистор! Важно подчеркнуть, что амперметр показывает величину тока, текущего через этот амперметр, а вольтметр показывает напряжение на «своих» зажимах. При этом т.к. резистор и вольтметр соединены параллельно, то по закону параллельного соединения напряжения на всех параллельных сопротивлениях одинаковы (без учета сопротивлений соединительных проводов, которые пренебрежимо малы). А поэтому показание вольтметра UV в данном рис. 21 7

Попробуйте осуществить соответствующий опыт в лаборатории и сравнить результат с известным значением измеряемого сопротивления.

72

случае совпадает со значением напряжения и на сопротивлении R, и на всем участке между точками А и В с общим сопротивлением, равным R ⋅ RV 1 R1 = = . 1 1 + R R V + R RV Рассмотрим новую неразветвленную схему (рис. 21), которая будет эквивалентна данной. Из этой схемы ясно видно, что через сопротивление R1 и амперметр течет один и тот же ток, равный IА. Запишем закон Ома для однородного участка цепи АВ: U IA = V . R1 Подставив сюда выражение для R1, получим равенство для нахождения искомой величины. Завершите решение задачи самостоятельно. Дополнительно можно рассчитать токи, текущие через резистор I и вольтметр IV и определить разницу между показанием амперметра и величиной тока, текущего через резистор: U I= V , R U IV = V . RV Проведите расчеты самостоятельно и сравните величины IV и (IА – I). Задача №5.4. Сечение медного провода длиной l=100 м меняется по закону S=S0⋅(1+kx), где S0=1 мм2, k=0,01 м-1. По проводу течет ток I = 0,02 А. Опреде-

лите силу, действующую на отдельные свободные электроны со стороны электрического поля. Указания по решению. В задаче №5.2 рассматривалась формула сопротивления линейного проводника l R = ρR , (1) рис. 22 S

73

где ρ R - удельное сопротивление материала проводника, l – его длина, S - площадь поперечного сечения, которая применима в случае однородного ( ρ R = const ) проводника постоянного поперечного сечения. В данной задаче сечение меняется по известному закону, поэтому записанная выше формула может быть использована лишь применительно к малому участку провода (с длиной участка dx), в пределах которого сечение можно считать постоянным. Решение задачи, таким образом, сводится к следующему: 1) разбиваем провод на малые участки постоянного сечения S(x); 2) по формуле (1) находим для каждого участка его сопротивление, т.е. dx dR = ρ R ; S ( x) 3) т.к. полученные участки провода соединены между собой последовательно, то их общее сопротивление (сопротивление всего провода) по закону последовательного соединения равно сумме (интегралу) найденных сопротивлений всех участков: l

R = ∫ ρR 0

ρ l dx ρ 1 + kl ρ R dx = R ⋅∫ = R ⋅ ln = ⋅ ln(1 + kl ) . 1 S0 (1 + kx ) S0 0 (1 + kx ) k S0 k S0

Значение удельного сопротивления меди находится по справочной таблице приложения 4. Далее запишем закон Ома для участка «провод»8: U I= , R где U – напряжение на концах провода, которое с учетом найденного выше сопротивления провода в дальнейшем считаем известным. Вспомним связь разности потенциалов (напряжения) между двумя точками электрического поля и величиной напряженности, которая в случае однородного электрического поля записывается в простом виде: U = E ⋅l , где l – расстояние вдоль силовой линии поля между точками, к которым приложено напряжение U. В данном случае это – длина провода. Отсюда можно

8

Прежде чем записывать закон Ома для участка цепи, необходимо указать, какой участок рассматривается, и при записи формулы соблюдать обозначения всех величин применительно к указанному участку!

74

найти величину напряженности электрического поля в проводе, которое действует на отдельные носители тока в нем – свободные электроны – с силой F = e⋅E. Самостоятельно получите общее решение задачи, сделайте проверку размерности и проведите вычисления. Задача №5.5. Даны N=12 элементов с ЭДС E =1,5 В и внутренним сопротивле-

нием r=0,4 Ом. Как нужно соединить эти элементы, чтобы получить от собранной из них батареи наибольшую силу тока во внешней цепи, имеющей сопротивление R=0,3 Ом; 1 Ом; 3 Ом? Определите максимальную силу тока. Указания по решению. Обозначим n – число элементов, которые соединяются параллельно, тогда (N – n) элементов будут подсоединены к ним последовательно. Запишем, чему будут равны ЭДС и внутреннее сопротивление полученного соединения элементов: Eбатареи=E+(N – n)E=(N – n + 1)E,

т.к. параллельное соединение одинаковых ЭДС (одноименными полюсами!) не меняет ее значения, а при последовательном соединении (разноименными полюсами) ЭДС частей суммируются, и 1 r rбатареи = + ( N − n ) r = ( N − n + ) ⋅ r , n n т.к. параллельное соединение n одинаковых сопротивлений уменьшает их общее сопротивление в n раз, а сопротивления последовательных участков складываются. Собранная таким образом батарея включается в цепь с сопротивлением R (рис. 23), записываем закон Ома для этой рис. 23 цепи:

Произведем расчеты значений силы тока в системе Mathcad для разных значений n от 1 до 12 и для различных значений внешней нагрузки и результаты занесем в таблицу: 75

Число параллельно соединенных элементов из 12-ти

R=0,3 Ом

R=1 Ом

R=3 Ом

Сила тока I, А

n

1

3,53

3,10

2,31 - наибольшее

2

3,67

3,173 - наибольшее

2,29

3

3,72

3,169

2,23

4

3,75

3,14

2,14

5

3,77

3,09

2,04

6

3,80

3,03

1,92

7

3,82

2,94

1,78

8

3,85

2,83

1,61

9

3,89

2,67

1,41

10

3,95

2,45

1,17

11

4,07

2,09

0,87

12

4,5 - наибольшее

1,45

0,45

Проанализируйте полученные значения и сделайте вывод. Задача №5.6. Определите напряженность электрического поля в алюминиевом проводнике объемом V=10 см3, если при прохождении по нему постоянного тока в течение t=5 мин выделилось Q=2,3 Дж теплоты. Указания по решению. Количество теплоты Q, выделившейся в алюминиевом проводнике сопротивлением R при прохождении по нему постоянного тока I в течение времени t, находится по закону Джоуля-Ленца в интегральной форме:

Q = I 2 Rt . Из условия задачи не ясно, какова форма проводника, поэтому будем считать его линейным и его сопротивление считаем равным l R = ρq , S где ρ R - удельное сопротивление алюминия (табличная величина), l – его длина, S - площадь поперечного сечения, которую считаем постоянной. Искомую напряженность электрического поля в проводнике выразим по аналогии с задачей 5.4:

76

U . l Осталось записать связь между током, напряжением на концах проводника и его сопротивлением в соответствии с законом Ома для однородного участка «данный алюминиевый проводник»: U I = . R Мы рассмотрели 4 основные взаимосвязи между величинами, прямо или косвенно затронутыми в условии задачи. Попытаемся, исходя из этого, найти искомую величину. Для этого подставим в первое равенство последующие три: E=

( El ) 2 U 2 U2 E 2 ⋅ lS E2 ⋅V Q = I Rt = ( ) R ⋅ t = ⋅t = ⋅t = ⋅t = ⋅t, l R R ρ ρ q q ρq ⋅ S отсюда и получается решение задачи в общем виде. Завершите самостоятельно решение задачи, сделайте проверку размерностей и получите числовой результат. 2

Задача №5.7. Сила тока в проводнике сопротивлением R=10 Ом за время Δt=50 с равномерно возрастает от I1=5 А до I2=10 А. Определите: 1) заряд,

протекший через поперечное сечение проводника за указанное время; 2) количество теплоты, выделившееся за это время в проводнике. Указания по решению. При решении этой задачи будем использовать 2 метода: графический и так называемый «метод среднего», а также аналогию с кинематикой материальной точки. Построим график изменения со временем силы тока в проводнике (рис. 24). 1) Будем искать заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за заданное время. При этом, как видно рис. 24

77

из рис. 24, начало отсчета времени совпадает в моментом, когда сила тока в проводнике равна I1. I способ (графический). Известно из кинематики, что при неравномерном прямолинейном движении тела (когда скорость меняется по величине) в течение некоторого промежутка времени пройденный за это время путь графически представляется площадью криволинейной трапеции под графиком зависимости v(t) в соответствующем рассматриваемому отрезку движения временном интервале. Аналогично (с учетом таблицы 2 на стр. 70) искомый заряд равен площади заштрихованной фигуры на рис. 24, т.е. q=375 Кл. II способ («метод среднего»). Из кинематики известно, что в случае равномерного возрастания скорости (равноускоренное движение) средняя на участке скорость равна среднему арифметическому от значений скорости в начале и в конце рассматриваемого участка движения. По аналогии найдем в данном случае среднее значение силы тока: I1 + I 2 15 = = 7,5 (А). 2 2 Тогда также, как, зная среднюю скорость, находится весь пройденный путь, суммарный прошедший через поперечное сечение заряд будет равен I ср =

q = I ср ⋅ Δt = 7,5 ⋅ 50 = 375 (Кл).

Легко видеть, что полученные разными способами результаты совпадают. 2) Будем теперь искать количество теплоты, выделившееся за это время в проводнике. Прежде всего, найдем искомое значение в соответствии с законом Джоуля-Ленца: t2

t2

2

Q = ∫ I (t ) Rdt = R ⋅ ∫ I 2 (t )dt , t1

(*)

t1

где, согласно таблице 2, сила тока меняется по закону I ( t ) = I1 +

I 2 − I1 ⋅ t = 5 + 0,1t . Δt

Подставляем и вычисляем t2 t3 Q = 10 ⋅ ∫ (5 + 0,1t ) dt = 10 ⋅ ∫ ( 25 + t + 0,01t )dt = 10 ⋅ ( 25t + + 0,01 ) =29,17 (кДж). 2 3 0 0 50

2

50

2

78

Возникает вопрос №1: можно ли как-то применить графический метод для нахождения теплоты? Ответ: можно, но нужно будет (в соответствии с формулой (*)) искать площадь под графиком функции I 2 (t ) R , который в данном случае представляет собой кусок параболы. Ясно, что по такому графику не удастся достаточно точно определить искомую величину. Далее возникает вопрос №2: нельзя ли тогда при решении использовать «метод среднего»? Ответ: можно, но для этого необходимо знать «процедуру усреднения», отличную от той, что применялась при решении первой части задачи. Действительно, любое усреднение нацелено на «совпадение результатов». Если в случае переменной величины (подлежащей в дальнейшем усреднению) результат имеет значение Y, то после проведения процедуры усреднения дальнейшее целесообразное использование полученного среднего значения должно давать тот же результат Y. В примере из кинематики это – «тот же путь за то же время». В первой части решения задачи это по аналогии есть – «тот же заряд за то же время»! Поэтому при нахождении теплоты требуется прежде решить вопрос о том, как необходимо провести усреднение по иному результату: «то же количество теплоты за то же время». Но это уже вопрос дополнительных исследований, выходящий за рамки данного издания. Похожая процедура определена для случая синусоидального переменного тока: вспомните определение действующего значения переменного тока. Задача №5.8. Проводка от магистрали к зданию имеет сопротивление 2R=0,5 Ом. Напряжение в магистрали постоянно и равно U0=127 В. Какова максимально допустимая потребляемая в здании мощность Р, если напряжение на включенных в сеть приборах не должно падать ниже Umin=120 В? Указания по решению. Представим описанную в условии задачи цепь на схеме (рис. 25). Заметим, что все приборы в здании подключаются параллельно, т.е. напряжение на них одинаково. Потребляемая каждым прибором мощность зависит от его сопротивления и с учетом закона Ома равна:

79

Pi = UI i = U ⋅

U U2 = , Ri Ri

где U – напряжение, подведенное к зданию, которое по условию не должно падать ниже Umin. Потребляемая в здании мощность Р равна сумме мощностей, потребляемых всеми подключенными к сети приборами: U2 1 P = ∑ Pi = U ∑ = = U ∑ I i = UI , Rоб || i i Ri i 2

где Rоб || – общее сопротивление параллельно соединенных приборов, I – ток идущий по проводке. При увеличении числа приборов, включенных в сеть в здании, увеличивается их общее сопротивление Rоб || . При этом меняется ток во всей цепи по закону Ома для участка цепи «подводка + нагрузка в здании»: I = рис. 25

U0 2 R + Rоб ||

и напряжение на включенных в сеть приборах: U = IRоб || =

U0 ⋅R . 2 R + Rоб || об ||

Построим с помощью системы Mathcad график зависимости напряжения в сети от сопротивления нагрузки Rоб || по данным из условия задачи (рис. 26). Подставляем в формулу для суммарной потребляемой мощности выражение для тока и получаем: 2

⎛ U ⎞ 2 0 ⎟ ⎜ P = UI = I Rоб || = ⋅ Rоб || . ⎜ 2 R + Rоб || ⎟ ⎝ ⎠ Графически эта зависимость представлена на рис. 27.

80

рис. 26

рис. 27

81

Сопоставляя оба графика, видно, что в области допустимых напряжений (U>Umin) наибольшая потребляемая мощность соответствует наименьшему напряжению в сети. Т.е. искомая мощность соответствует значению Umin: P = U min I ,

где силу тока найдем из закона Ома для участка цепи «подводка»: I =

U 0 − U min . 2R

Окончательно имеем: P = U min ⋅

U 0 − U min . 2R

Вычислим: P = 120 ⋅

127 − 120 =1680 (Вт) = 1,68 (кВт). 0,5

Задача №5.9. Обкладкам конденсатора емкости С=2 мкФ сообщаются разноименные заряды q0=1 мКл. Затем обкладки замыкаются через сопротивление R=5000 Ом. Найдите: 1) закон изменения тока, текущего через сопротивление;

2) заряд q, прошедший через сопротивление за время τ=2 мс;

3) количество t

q − RC e ; теплоты Q, выделившееся в сопротивлении за то же время. [1) I = RC τ

2τ

− q02 RC ) =0,18 мКл; 3) Q = (1 − e RC ) =82 мДж] (7, с. 133) 2) q = q0 (1 − e 2C Указания по решению. 1) Закон изменения тока есть зависимость величины силы тока от времени. Начало отсчета времени в данном случае совпадает с моментом замыкания конденсатора через сопротивление и соответствует тому, что при t=0: 1) заряд на обкладках конденсатора равен q0, 2) напряжение −

на сопротивлении равно напряжению на конденсаторе U 0 =

q0 , 3) сила тока C

U0 q = 0 . R RC Ясно, что указанные соотношения между начальными значениями заряда, напряжения и тока выполняются в любой другой момент времени. Прежде

по закону Ома для участка «сопротивление» I 0 =

82

всего, происходит разряд конденсатора, уменьшение заряда на его обкладках, т.е. имеет место какая-то зависимость заряда конденсатора от времени: q = q(t ) ,

зная которую, легко найти и 2 другие зависимости: в соответствии с определением электроемкости конденсатора q( t ) C и по закону Ома для однородного участка цепи сопротивлением R U (t ) =

U (t ) q( t ) = , рис. 28 R RC откуда видно, что для нахождения закона изменения тока, текущего через сопротивление, необходимо определить закон убывания заряда на конденсаторе. Пусть за малый промежуток времени dt заряд на конденсаторе уменьшится на величину dq. Весь этот заряд dq протечет за это время dt через сопротивление R (рис. 28). В соответствии с определением силы тока можно записать I (t ) =

− dq = I ⋅ dt ,

где знак минус означает уменьшение. В то же время сила тока подчиняется закону Ома, т.е. прямо пропорциональная текущему напряжению U на конденсаторе, которое в свою очередь связана с текущим значением заряда на нем в соответствии с определением емкости, т.е. q U q C . I = = = R R RC Подставляем в предыдущее выражение: q ⋅ dt RC – дифференциальное уравнение, описывающее процесс разрядки конденсатора. Его решение имеет вид − dq =

q(t ) = q0e

−

t RC

.

Теперь легко получить и искомый закон изменения тока. Запишите его самостоятельно. 83

2) заряд q, прошедший через сопротивление за время τ=2 мс, равен q = q0 − q(τ ) .

Вычислите самостоятельно. 3) Закон Джоуля-Ленца в виде

Q = I 2R ⋅ t справедлив при I = const в течение всего времени t. В данном случае ток меняется по найденному закону, поэтому для нахождения количества теплоты Q, выделившегося в сопротивлении за время τ=2 мс, воспользуемся законом Джоуля-Ленца в виде

dQ = I 2 (t ) Rdt . Подставим сюда найденный выше закон изменения тока 2

2

t ⎞ ⎛ − t ⎞ ⎛q − dQ = ⎜ I 0e RC ⎟ Rdt = ⎜ 0 ⋅ e RC ⎟ Rdt ⎜ ⎟ ⎜ RC ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

и проинтегрируем, получим определенный интеграл 2

t ⎞ ⎛q − ⎜ 0 ⋅ e RC ⎟ Rdt . Q = ∫ dQ = ∫ ⎜ ⎟ 0 0 ⎝ RC ⎠

τ

τ

Вычислим этот интеграл в системе Mathcad: Q=

2⋅10 − 6 ⎛

⎜

10

−3

e ∫ ⎜ −6 ⎜ ⋅ ⋅ 5000 2 10 0

−

2 t ⎞ 5000⋅2⋅10 − 6 ⎟

-3 ⎟⎟ ⋅ 5000 ⋅ dt = 10 (Дж)=1 (мДж). ⎠

⎝

Задачи для самостоятельного решения. 5.10. По медному проводу длиной 100 м и сечением 1 мм2 течет ток 1 А. На каждый атом меди приходится один свободный электрон. Определите заряд, который протечет через поперечное сечение провода за время, в течение которого электрон переместится от одного его конца до другого. 5.11. Определите, какой ток создает электрон, движущийся вокруг ядра в ато-

ме водорода, если радиус его орбиты принять равным 5,3⋅10-9 см.

84

5.12. Определите плотность тока в железном проводе длиной 20 м, если провод находится под напряжением 12 В. 5.13. В протонный пучок с плотностью тока 1 мкА/см2 поместили металлический шар радиуса 10 см. Определите время, за которое шар зарядится до

потенциала 220 В. Действием поля шара на пучок пренебречь.

[8⋅10-4 с]

(6, с. 228) 5.14. Под действием постоянного электрического поля в проводнике устанавливается постоянный ток, т.е. носители тока имеют постоянную среднюю скорость, а не ускорение. Это означает, что существует сила, действующая на носители тока со стороны вещества. Найдите среднюю силу, действующую на носители тока со стороны вещества. Найдите среднюю силу, действующую на носитель через удельную проводимость вещества

γ, плотность носителей тока n, скорость их дрейфа v и заряд е. [ f = − ne 2 v / γ ]

(6, с. 230)

5.15. Проволочное металлическое кольцо радиуса r = 0,1 м вращается с угло-

вой скоростью ω = 1000 рад/с. Определите, какой ток пойдет через кольцо при равномерном замедлении в течение времени τ = 0,001 с его вращения до полной остановки. Сечение проволоки S = 0,5 см2, удельная проводиm ω rγ S ] (6, с. 230) мость металла γ = 6⋅107 См/м. [ I = e eτ 5.16. Аккумуляторная батарея, замкнутая на реостат сопротивлением 20 Ом, создает в нем ток 1,170 А. При увеличении сопротивления в 3 раза ток уменьшается до 0,397 А. Определите ЭДС и внутреннее сопротивление источника, а также силу тока короткого замыкания9. 5.17. В сеть с напряжением 100 В подключили резистор с сопротивлением 2 кОм и вольтметр, соединенные последовательно. Вольтметр показывает 80 В. Когда резистор заменили другим, вольтметр показал 60 В. Определите сопротивление другого резистора. 5.18. Какую допускают относительную ошибку в измерении ЭДС источника, если показание вольтметра, присоединенного к его полюсам, принимают

9

Попытайтесь осуществить соответствующее измерение в лаборатории и сопоставить полученные результаты с техническими данными источника тока.

85

за ЭДС? Внутреннее сопротивлении е источника тока равно 0,9 Ом, сопротивление вольтметра 200 Ом. 5.19. Требуется определить падение напряжения на сопротивлении R. Для этого к концам сопротивления подключают вольтметр. Какая относительная погрешность будет допущена при измерениях, если показания вольтметра принять за то, которое имело место до его подключения? Сила тока в цепи поддерживается постоянной.

Сопротивление [

RV .

вольтметра

R ΔU ] (6, с. 236) = U R + RV

5.20. На рис. 29

R1= R, R2= 2R, R3= 3R,

рис. 29

17 R4= 4R. Определите заряд на конденсаторе. [ U 0C ] (4, с. 144) 29 5.21. Для измерения тока в цепи с сопротивлением R включен амперметр. Какая относительная ошибка будет допущена, если считать, что включение амперметра не изменило тока? Напряжение на концах цепи поддерживается

постоянным.

Сопротивление

амперметра

RA .

[

RA ΔI = ] I R + RA

(6, с. 236) 5.22. Амперметр с внутренним сопротивлением 2 Ом, подключенный к зажимам источника, показывает ток 5 А. Если к зажимам этого источника подключить вольтметр с внутренним сопротивлением 150 Ом, то он покажет напряжение 12 В. Чему равен ток короткого замыкания? 5.23. ЭДС источника равна 24 В, сопротивление внешней цепи 10 Ом, падение потенциала внутри источника 4 В. Определите: 1) напряжение на зажимах источника; 2) внутреннее сопротивление источника; 3) мощность, потребляемую внешней цепью. 5.24. Электрический чайник имеет 2 обмотки. При включении одной из них вода в чайнике закипает через 15 мин, при включении другой – через 30 мин. Через какое время закипит вода в чайнике, если включить 2 обмотки: 1) последовательно; 2) параллельно.

86

5.25. Обкладки конденсатора произвольной формы разделены слабо прово-

дящей средой с проницаемостью ε и удельным сопротивлением ρR. Емкость конденсатора равна С. Найдите силу тока утечки через конденсатор UC при подаче на него напряжения U. [ I = ] (7, с. 135)

ρ Rε 0ε

5.26. При равномерно возрастающей силе тока от нуля до некоторого максимума в проводнике сопротивлением 5 Ом выделяется 4 кДж теплоты за время 20 с. Определите скорость нарастания силы тока и заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за указанное время. 5.27. Конденсатор емкости C заряжают до напряжения U, после чего замыкают на сопротивление R. Какое количество теплоты выделится в сопротив-

CU 2 ] (7, с. 133) лении при разрядке конденсатора? [ Q = 2 5.28. ЭДС источника составляет 12 В. Наибольшая сила тока, обеспечиваемая источником, равна 6 А. Определите максимальную мощность, которая может выделиться во внешней цепи такого источника и его максимальный КПД. 5.29. К зажимам источника тока присоединен нагреватель. ЭДС источника равна 24 В, внутреннее сопротивление 1 Ом. Нагреватель, включенный в цепь, потребляет мощность 80 Вт. Определите силу тока в цепи и КПД нагревателя.

87

Практическое занятие № 6. Тема: Правила Кирхгофа. Метод контурных токов. Расчет параметров электрических цепей.

Вопросы для подготовки к занятию.

1. Что такое узел в электрической цепи? Нарисуйте пример узла. 2. Сформулируйте и запишите первое правило Кирхгофа. Каков его физический смысл? Откуда оно выводится? Укажите соответствующее правило знаков. 3. Сформулируйте второе правило Кирхгофа. Поясните соответствующее правило знаков. 4. Сколько независимых уравнений можно записать на основе этих двух правил, если известно общее число ветвей и узлов в цепи? Сколько переменных можно найти из системы этих уравнений? Какие, например, величины могут выступать в качестве искомых? 5. В чем заключается метод контурных токов? Как, зная контурные токи, находятся токи в ветвях? 6. Какие еще методы расчета электрических цепей вам известны?

Некоторые замечания к теоретическому материалу.

Правила Кирхгофа используются для расчета цепей, состоящих из нескольких контуров: контуры могут иметь общие участки, каждый из контуров может иметь по нескольку источников ЭДС и проводников. Точка разветвления цепи, в которой сходится не менее 3-х проводников, называется узлом. Правило знаков для токов: ток, входящий в узел, считается положительным, а ток выходящий – отрицательным. Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

∑ Ik = 0 . k

88

(6.1)

Оно является следствием закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды. Иначе токи не могли бы оставаться постоянными. Для цепи, содержащей m узлов, первое правило позволяет составить (m – 1) независимых уравнений. Второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжения на сопротивлениях этого контура равна алгебраической сумме действующих в нем ЭДС: . (6.2) Оно вытекает из обобщенного закона Ома (для неоднородного участка). Правило знаков для падений напряжения и ЭДС основано на выборе положительного направления обхода контура: произведение IR положительно, если ток на данном участке совпадает по направлению с выбранным направлением обхода контура; ЭДС считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Для цепи, содержащей р ветвей и m узлов второе правило позволяет составить (р – m + 1) независимых уравнений; столько же цепь содержит и независимых контуров. При расчете сложных цепей по правилам Кирхгофа необходимо: 1. Выбрать (произвольно) направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получился положительным, то его направление выбрано правильно, отрицательным – его истинное направление противоположно выбранному.

рис. 30

89

2. Обозначить на схеме узлы и записать для них равенства на основе правила (6.1) с учетом правила знаков для токов. 3. Выбрать и обозначить на схеме все элементарные контуры (внутри которых нет ветвей цепи, см рис. 30), указав для каждого из них положительное направление обхода. 4. Записать для каждого из выбранных контуров равенство на основе (6.2) с учетом правила знаков. 5. Для решения задачи необходимо столько уравнений сколько неизвестных. Если уравнений записано больше, то остальные могут быть использованы для проверки правильности полученных значений искомых величин.

Методические указания к решению типовых задач.

Задача №6.1. Дана цепь, изображенная на рис. 31. Определите силу тока в каждом элементе и напряжение на зажимах реостата, если E1=12 В, r1=1 Ом, E2=6 В, r2=1,5 Ом и R=20 Ом. Каковы параметры

источника тока, эквивалентного двум данным, соединенным параллельно? Указания по решению. На данной схеме есть m=2 узла: А и В. Сходящиеся в них токи одинаковы, поэтому первое правило Кирхгофа в данном случае дает лишь одно уравнение (m – 1=2 – 1=1, например, для узла В): I1 + I 2 − I 3 = 0 .

рис. 31

Т.к. число ветвей в данной цепи р=3, то независимых контуров в схеме будет p − m + 1 = 3 − 2 + 1 = 2 : АСDB и ABNM, они являются элементарными контурами цепи. В направлении указания обозначений, т.е. по часовой стрелке, выберем и положительное направление обхода каждого из них. Записываем еще 2 уравнения на основе (6.2) для указанных контуров соответственно:

90

Получаем систему из трех уравнений для искомых сил токов в ветвях, которая, после подстановки числовых данных из условия задачи, принимает вид: ⎧ I1 + I 2 − I 3 = 0 ⎪ ⎨ I1 − 1,5I 2 = 6 ⎪⎩1,5I + 20 I = 6 2 3 Находим решение этой системы в Mathcad: I1=2,68 А, I2=-2,214 А, I3=0,466 А. Отсюда ясно, что истинное направление тока через второй элемент противоположно указанному на рис. 31. Падение напряжения на зажимах реостата U = R ⋅ I 3 = 20 ⋅ 0,466 = 9,32 (В). Найдем на основе правил Кирхгофа и закона Ома для полной цепи формулы, определяющие параметры источника, эквивалентного двум параллельно соединенным элементам с ЭДС E1 и E2 и внутренними сопротивлениями r1 и r2 (см. табл. 3). Самостоятельно рассчитайте по данным задачи параметры эквивалентного источника, по закону Ома для полной цепи найдите ток I через сопротивление и сравните его с ранее полученным значением I3.

91

Таблица 3

отсюда I1 = I 2 + I , подставляем во второе уравнение: Сравнивая последние формулы каждой колонки, видно: Далее из 2-го уравнения последней системы выражаем

и подставляем в первое уравнение:

и

Умножим обе части последнего равенства на величину

r2 и упростим правую часть, получим r1 + r2

или

92

что и отражает факт параллельного соединения сопротивлений r1 и r2.

Задача №6.2. При решении задач с несколькими источниками ЭДС можно сначала рассчитать токи, создаваемые каждым источником ЭДС, потом найти полный ток, как сумму этих токов. Этот способ вполне законен, если при расчетах принимать во внимание внутреннее сопротивление источников, и называется методом суперпозиции (наложения). Определите, используя этот метод, ток между узлами А и В. Даны сопротивления R1=4 Ом, R2=3 Ом, R3=12 Ом и напряжения на клеммах источников U1=40 В, U2=72 В (рис. 32). [8 А] рис. 32 (6, с. 241) Указания по решению. Из закона Ома для полной цепи следует, что напряжение на клеммах источника меньше его ЭДС на величину падения напряжения на его внутреннем сопротивлении: Поэтому, оперируя напряжениями, не надо рассматривать внутренние сопротивления соответствующих источников напряжения. Расчет сложных цепей по методу наложения целесообразно применять в том случае, если, приравнивая нулю все ЭДС, кроме одной, упрощают цепь (получая, например, параллельно-последовательные цепи). При этом последовательность действий следующая: 1. Предположить, что в цепи существует только один источник ЭДС, например E1, а остальные источники ЭДС заменить резисторами с сопротивлениями, равными их внутренним сопротивлениям. В случае, если заданы не ЭДС, а напряжения на клеммах источников, остальные источники просто не учитываются. 2. Упростив полученную схему с одним источником ЭДС с учетом законов параллельного и последовательного соединений сопротивлений, вычислить токи Ij′ в каждой ветви (здесь индекс j принимает значения от 1 до р, где р – число ветвей в исходной цепи). Направление токов Ij′ определяется с учетом направления оставленного (единственного) источника ЭДС. 93

3. Проделать пункты 1 и 2 с каждым из других источников тока: E2, E3 и т.д. Получить значения и направления токов Ij′′, Ij′′′ и т.д. 4. Вычислить истинные токи в ветвях по правилу: ток каждой ветви цепи Ij равен алгебраической сумме токов, протекающих под действием каждой ЭДС в отдельности. Правило знаков: слагаемые токи, протекающие в ветви в противоположных направлениях, берутся с противоположными знаками. Направление истинного тока совпадает с направлением, в котором сумма протекающих токов от отдельных ЭДС больше. Переходим к решению задачи. 1) Оставляем в цепи первый источник и получаем схему на рис. 33, а). Здесь сопротивления R2 и R3 соединены параллельно: U ′ =U ′ 2

3

или по закону Ома R2 I 2′ = R3 I 3′ ,

их общее сопротивление R23 =

R2 R3 3 ⋅ 12 12 = = = 2,4 (Ом). R2 + R3 15 5

рис. 33

Сопротивления R23 и R1 соединены последовательно (рис. 33, б)), поэтому полное внешнее сопротивление, подключенное к источнику напряжения U1 (рис. 33 в)), равно R01 = R1 + R23 = 4 + 2,4 = 6,4 (Ом). Находим ток I1′: U 40 I1′ = 1 = = 6,25 (А). R01 6,4

94

Зная этот ток, найдем два другие из системы уравнений: ⎧⎪ R I ′ = R I ′ 2 2 3 3 . ⎨ ′ ′ ′ ⎪⎩ I 2 + I 3 = I1 Получаем: I 2′ + I 2′ =

R2 ′ I 2 = I1′ , R3

I1′ 6,25 = = 5 (А), 3 R2 1+ 1+ 12 R3

тогда I 3′ = 6,25 − 5 = 1,25 (А).

1) Оставляем в цепи второй источник напряжения и получаем схему на рис. 34. Здесь сопротивления R1 и R2 соединены параллельно: U ″ =U ″ 1

2

или по закону Ома R1I1″ = R2 I 2″ ,

их общее сопротивление R12 =

R1R2 4 ⋅ 3 12 = = = 1,714 (Ом). R1 + R2 7 7

рис. 34

Сопротивления R12 и R3 соединены последовательно, поэтому полное внешнее сопротивление, подключенное к источнику напряжения U2 , равно 12 5 96 R02 = R3 + R12 = 12 + = 13 = (Ом). 7 7 7 Находим ток I3′′: U 72 I 3″ = 2 = = 5,25 (А). R02 96 / 7

Зная этот ток, найдем два других из системы уравнений: ⎧⎪ R I ″ = R I ″ 1 1 2 2 . ⎨ ″ ″ ″ ⎪⎩ I1 + I 2 = I 3 Получаем: 95

R I1″ + 1 I1″ = I 3″ , R2 I1″ =

I 3″ 5,25 = = 2,25 (А), R1 4 1+ 1+ 3 R2

тогда I 2″ = 5,25 − 2,25 = 3 (А). Искомый ток во 2-й ветви равен алгебраической сумме токов I2′ и I2′′. Эти токи направлены одинаково, поэтому I 2 = I 2′ + I 2″ =5+3=8 (А). Задача №6.3. Элементы схемы, изображенной на рис. 35, имеют следующие значения: E1=1 В, E2=2 В, E3=3 В, R1=100 Ом, R2=200 Ом, R3=300 Ом,

R4=400

Ом. Определите токи I1 – I4, текущие через сопротивления. Сопротивлением источников и соединительных проводов пренебречь. [4,545 мА; 7,273 мА; 11,818 мА; 0] (7, с. 137) Указания по решению. Решим задачу методом контурных токов. При этом необходимо проделать следующие рис. 35 действия: 1. Выбрать и обозначить на схеме элементарные контуры. 2. Каждому элементарному контуру приписать произвольно направленный контурный ток. Удобно всем контурным токам задать одно и тоже направление10 (например, по часовой стрелке), совпадающее с направлением обхода контуров. Число различных контурных токов равно числу независимых (в частности, элементарных) контуров, т.е. (р – n + 1). 3. Направления токов в ветвях можно указать произвольно, но токи во внешних ветвях будем изображать сонаправленными с выбранным на-

10

Можно задать для контурных токов и различные направления. Но предлагаемая последовательность расчетов относится именно к одинаковому направлению всех контурных токов.

96

4.

5. 6.

7. 8.

правлением соответствующих контурных токов (например, по часовой стрелке). Записать (р – n + 1) уравнений по второму правилу Кирхгофа с учетом внутренних сопротивлений источников ЭДС (падения напряжений на внутренних сопротивлениях источников складываются с падениями напряжений на других сопротивлениях контуров). При этом учитываем: 1) контурные токи, проходящие по внешним ветвям, являются для этих ветвей реально существующими; 2) контурные токи внутренних контуров являются фиктивными величинами, введенными для удобства расчетов; реальные токи внутренних ветвей равны разности11 2-х контурных токов контуров, которым эта ветвь принадлежит. Решив систему, найти все контурные токи (некоторые значения могут быть отрицательными). Найти действительные токи ветвей: 1) ток внешней ветви совпадает с соответствующим положительным контурным токов и противоположен отрицательному; 2) ток внутренней ветви, определяемый как разность контурных токов, совпадает с «истинным12» направлением большего (по модулю) контурного тока. На основе полученных результатов изобразить на новой схеме истинные направления токов во всех ветвях. Преимущество этого метода: вместо системы из р уравнений по первому и второму правилам Кирхгофа решается система из (р – n + 1) уравнений только по второму правилу Кирхгофа.

Переходим к решению задачи. На данной схеме есть 3 элементарных контура: ABCL, LCDM и MNKA. Для них задаем контурные токи Iа, Ib, Iс. Указываем на схеме направления контурных токов, считая их одновременно и направлениями обхода соответствующих контуров. Внешних ветвей 3: ABC, CDM, NK, токи в них численно

11

Ток во внутренней ветви равен разности контурных токов, если направления всех контурных токов выбраны одинаково (например, по часовой стрелке). 12 Истинное направление контурного тока совпадает с указанным (выбранным) на схеме, если ток получился положительным, и противоположно указанному на схеме в противном случае.

97

равны контурным токам Iа, Ib, Iс соответственно. Внутренние ветви: AL, LM и MLA, токи в них выражаются так: I1 = I c − I a , I2 = Ib − Ic . I3 = Ia − Ib . Однако при записи уравнений необходимо все время учитывать правило знаков для второго закона Кирхгофа. рис. 36

Имеем р=6 – число ветвей, n=4 – число узлов, получим (р – n + 1)=3 уравнения с 3-мя неизвестными Iа, Ib, Iс:

Раскроем скобки и подставим числовые данные: ⎧400 I a − 300 I b − 100 I c = 4, ⎪ ⎨− 300 I a + 500 I b − 200 I c = −5, ⎪− 100 I − 200 I + 700 I = 1. ⎩ a b c Получим решение этой системы в Mathcad: Iа=4,545 (мА), Ib= – 7,273 (мА), Iс=0 (мА). Находим токи в ветвях: I1 = I c − I a = 0 − 4,545 = 4,545 (мА), направлен как Iа.

I 2 = − 7,273 − 0 = 7,273 (мА), направлен противоположно Ib. I 3 = 4,545 − ( −7,273) = 11,818 (мА), направлен противоположно Ib. I 4 = I c = 0 (мА), I 5 = I a = 4,545 (мА), направлен как Iа.

98

I 6 = I b = 7,273 (мА), направлен противоположно Ib, т.к. этот контурный ток получился отрицательным (рис. 37).

рис. 37

Сделайте проверку полученных значений на основе 2-х правил Кирхгофа.

Задачи для самостоятельного решения.

Предлагаемые ниже задачи решите по возможности несколькими методами (1) по правилам Кирхгофа; 2) методом наложения; 3) методом контурных токов) и сравните полученные значения.

рис. 38

6.5. В схеме, изображенной на рис. 38, E=5 В, R1=1 Ом, R2=2 Ом и R3=3 Ом.

Сопротивление источника тока r=0,1 Ом. Найдите силы токов I1 и I2. [0, 87 А, –1,30 А] (7, с. 136) рис. 39

6.6. Определите силу тока в резисторе R3 (рис. 39) и напряжение на концах

этого резистора, если E1=4 В, E2=3 В, R1=2 Ом, R2=6 Ом и R3=1 Ом. Внутренними сопротивлениями источников тока пренебречь.

99

6.7. В схеме, изображенной на рис. 40, если E1=10 В, E2=20 В, E3=30 В, R1=1

Ом, R2=2 Ом, R3=3 Ом, R4=4 Ом, R5=5 Ом, R6=6 Ом, R7=7 Ом. Внутреннее сопротивление источников тока пренебрежимо мало. Найдите силы тока I1, I2 и I3. [I1=0,63 А, I2= –2,86 А, I3= –2,23 А] (7, с. 136)

рис. 40

рис. 41

6.8. На рис. 41 E1=10 В, E2=20 В, E3=40 В, R1=R2=R3=R=10 Ом. Определите си-

лы токов, протекающих через сопротивления (I) и через источники ЭДС (I’). Внутренние сопротивления источников ЭДС не учитывать. [I1=1 А,

I2=3 А, I3=2 А, I′1=2 А, I′2=0, I′3=3 А] (4, c. 146) 6.9. В схеме, изображенной на рис. 42, определите токи через все сопротивления и напряжение генератора. Известны сопротивления: R1=R2=2 Ом, R3=5 Ом, R4=40 Ом, R5=10 Ом и ток через сопротивление R4 I4=0,5 А. [I1=7,5 А, I2=2,5 А, I3=5 А, I5=2 А; U=40 В] (6, с. 240)

100

рис. 42

Практическое занятие № 7. Тема: Ток в электролитах и газах.

Вопросы для подготовки к занятию.

1. Какие растворы проводят электрический ток? Почему? Что такое электролитическая диссоциация? Что называется рекомбинацией? 2. Что является носителями тока в жидком проводнике? Какие величины характеризуют их свойства как носителей тока? 3. Что называется электролизом? В чем различие между процессами переноса заряда в твердом проводнике и жидком электролите? 4. Выполняется ли закон Ома в растворах электролитов? В каком виде? Запишите и поясните входящие величины. 5. Сформулируйте и запишите законы Фарадея для электролиза. 6. Что называется электрохимическим эквивалентом вещества и его химическим эквивалентом? Что такое килограмм-эквивалент вещества? 7. Поясните физический смысл постоянной Фарадея. 8. Опишите процессы рождения носителей тока в газе? 9. Какова роль внешнего ионизатора? Что такое «ток насыщения»? 10. При каких условиях протекает несамостоятельный газовый разряд? 11. Когда начинается самостоятельный газовый разряд?

Некоторые замечания к теоретическому материалу.

Электролитами называются вещества, молекулы которых состоят из ионов противоположных знаков, удерживаемых друг около друга кулоновскими силами притяжения. Основными представителями электролитов, широко используемыми в технике, являются водные растворы неорганических кислот, солей и щелочей. Прохождение электрического тока через электролит сопровождается выделением веществ на электродах. Это явление получило название электролиза.

101

Электрический ток в электролитах представляет собой перемещение ионов обоих знаков в противоположных направлениях. Положительные ионы движутся к отрицательному электроду (катоду), отрицательные ионы – к положительному электроду (аноду). Ионы обоих знаков появляются в водных растворах солей, кислот и щелочей в результате расщепления части нейтральных молекул. Это явление называется электролитической диссоциацией. Первый закон Фарадея определяет количества первичных продуктов, выделяющихся на электродах при электролизе:

m = k ⋅ q,

(7.1)

где коэффициент пропорциональности k зависит от вида выделяющегося на электроде вещества и называется электрохимическим эквивалентом, q – заряд, прошедший через электролит. Масса выделившегося на электроде вещества равна массе всех ионов, пришедших к электроду: m = N ⋅ m0 ,

при этом ими перенесен заряд q = N ⋅ q0 .

Тогда с учетом (7.1) имеем

k=

m m0 m0 m0 ⋅ N A A 1 = = = = ⋅ , q q0 ze ze ⋅ N A eN A z

здесь m0 и q0 – масса и заряд одного иона, N – число ионов, пришедших к электроду при прохождении через электролит заряда q, А – атомный вес вещества, z – валентность иона. Величина eNA обозначается F и называется постоянной Фарадея. Постоянная Фарадея численно равна заряду, который необходимо пропустить через электролит для выделения на электроде одного моля одновалентного вещества. Второй закон Фарадея для электролиза приобретает вид: 1 A (7.2) k= ⋅ , F z A где отношение называется химическим эквивалентом вещества. z Обощенный закон Фарадея получается объединением обоих законов: 102

1 A (7.3) ⋅ ⋅q. F z Если сила тока, проходящего через электролит постоянна, то формула (7.3) может быть записана в виде: 1 A (7.4) m = ⋅ ⋅ It , F z где m – масса вещества, выделившегося на электроде за время t.

m=

Величина плотности электрического тока в газах при концентрации ионов n (насыщение не имеет места) пропорциональна величине напряженности электрического поля между электродами

j = en (b+ + b− ) E ,

(7.5)

где n – концентрация ионов одного знака, b+ и b- являются подвижностями положительных ионов и электронов. Плотность тока насыщения между плоскими электродами, отстоящими на расстоянии d,

j = eα d ,

(7.6)

где α - число пар ионов, образуемых ионизатором в единице объема за 1 с.

Методические указания к решению типовых задач.

Задача №7.1. Полная плотность тока в электролитах является суммой плотности тока положительных ионов и плотности тока отрицательных ионов: j = e+ n+ v+ + e− n− v− . Почему масса вещества, выделившегося на катоде, про-

порциональна полному току, а не току только положительных ионов? Указания по решению. Действительно, масса выделившегося на катоде вещества равна массе всех ионов, пришедших к нему:

m = N ⋅ m0 , при этом ими будет перенесен заряд q = N ⋅ q0 .

С другой стороны, носителями тока в электролитах являются ионы обоих знаков. Увлекаемые электрическим полем ионы дрейфуют в противопо-

103

ложных направлениях (чаще всего с различной скоростью, одновременно участвуя в хаотическом тепловом движении). В средней части электролита через любое поперечное сечение в единицу времени проносится заряд, складывающийся из заряда прошедших через это сечение положительных и отрицательных ионов. Концентрации ионов каждого знака в условиях динамического равновесия между процессами ионизации и молизации можно считать постоянными и одинаковыми практически по всему объему электролита. Однако вблизи электрода электрическое поле очищает раствор от ионов одного знака: вблизи катода почти отсутствуют отрицательные ионы, замыкают цепь на катоде лишь положительные ионы. Здесь ионы другого знака (по сравнению со знаком заряда электрода) вынуждены «спешить», чтобы самим осуществить весь электрический ток. Поскольку каждый из ионов обязательно достигает своего электрода, то в конце концов его заряд нейтрализуется (фактически ион теряет лишние или приобретает недостающие электроны). Заряд уходит дальше по электрической цепи, а образовавшиеся незаряженные атомы выделяются (оседают) на электродах или вступают во вторичные химические реакции.

Задача №7.2. Металлическую поверхность с площадью S=200 см2 надо покрыть слоем серебра толщиной d=20 мкм. Сколько минут надо пропускать ток силой I=0,5 А через электролит? Указания по решению. Для покрытия указанной поверхности слоем серебра потребуется эту поверхность поместить в качестве катода в раствор соли серебра. В результате электролиза должно выделиться серебро объемом V = S ⋅d , масса которого, с учетом плотности серебра, равна m = ρ ⋅V = ρ Sd . По первому закону Фарадея для электролиза запишем:

m = kq , где суммарный прошедший через электролит заряд выразим на основе постоянства силы тока в течение всего времени серебрения:

I = qt . Окончательно получаем: 104

ρ Sd = k ⋅ I t , откуда искомое время равно t=

ρ Sd kI

,

где значения плотности и электрохимического эквивалента серебра даны в приложении 4. Проверку размерности и вычисления произведите самостоятельно.

Задача №7.3. Какое количество электроэнергии W (в МДж) расходуется на получение m=1 кг алюминия, если электролиз ведется при напряжении U=9 В, а КПД установки η=50%?

Указания по решению. По определению коэффициента полезного действия η= A, W где А – полезная работа электрического тока по осуществлению электролиза, W – полная полученная установкой электроэнергия, включая потери и пр. Отсюда A = ηW . В соответствии с формулой работы электрического тока

A = U It , если сила тока не меняется, и

A = qU в общем случае. С другой стороны, по закону Фарадея для электролиза имеем

m = kq , где k – электрохимический эквивалент алюминия (см. приложение 4). Выражаем из закона электролиза заряд и подставляем в формулу для работы: m A = ηW = U , k откуда выражается искомая величина: m W = U. ηk Вычисления произведите самостоятельно.

105

Задача №7.4. Определите электрохимический эквивалент натрия. Относительный атомный вес натрия считать известным. Указания по решению. Воспользуемся вторым законом Фарадея для электролиза: электрохимический эквивалент k всякого вещества пропорционален его химическому эквиваленту Э, т.е. k = C ⋅Э, где коэффициент пропорциональности является универсальной (для всех веществ одинаковой) постоянной, обратной постоянной Фарадея, т.е. 1 C= . F Химический эквивалент натрия есть отношение его атомного веса к его валентности (см. приложение 4). Завершите решение задачи в общем виде, произведите расчет и сравните полученный результат с табличным значением искомой величины. Задача №7.5. Воздух между пластинами плоского конденсатора ионизируется рентгеновским излучением. Сила тока, текущего между пластинами, I=10 мкА. Площадь каждой пластины конденсатора S=200 см2, расстояние между ними d=1 см, разность потенциалов U=100 В. Подвижность положительных ионов b+=1,4 см2/(В⋅с) и отрицательных b-=1,9 см2/(В⋅с), заряд каждого иона равен элементарному заряду. Определите концентрацию пар ионов между пластинами, если ток далек от насыщения. [9,5⋅1014 м-3]

(3, с.176)

Указания по решению. Т.к. по условию ток далек от насыщения, то в газе идет несамостоятельный разряд. При этом выполняется закон Ома в виде (7.5): j = en (b+ + b− ) E , где n – концентрация ионов одного знака или, иначе говоря, концентрация пар ионов (положительный ион + электрон), т.е искомая величина. Выражаем ее:

n=

j . e(b+ + b− ) E

Величину плотности тока найдем в соответствии с ее определением: I j= , S

106

при этом предполагаем, что она постоянна, или, иначе, находим ее среднее значение. Величину напряженности поля получим на основе связи напряженности с разностью потенциалов: U E= d - напряженность поля между пластинами плоского конденсатора. Завершите самостоятельно решение задачи в общем виде и вычислите искомую концентрацию.

Задача №7.6.

Ток насыщения при несамостоятельном разряде равен

Iнас=9,6 пА. Определите число пар ионов, создаваемых в 1 с внешним ионизатором. [3⋅107]

(3, с. 176)

Указания по решению. В теории несамостоятельного газового разряда при наличии тока стационарное состояние газа характеризуется равенством: j α = Bn 2 + I = Bn 2 + ,

eSd ed где α – интенсивность ионизатора (число молекул, ионизируемых ежесекундно в единице объема газа), Bn 2 – число пар ионов, молизующихся за единицу I – число пар времени в единице объема (В – коэффициент рекомбинации), eSd ионов, уводимых под воздействием поля в единицу времени из единицы объема газа и нейтрализующихся на электродах, площадью S электродов с расстоянием d между ними.

j , т. е. когда плотность тока настолько велика, что ed вся убыль ионов практически будет определяться их нейтрализацией на электродах, условие равновесия принимает вид В случае Bn 2
R.

при r1 > R, r2 > R.

Е=0 при r < R

ϕ = const =

E=k

r1

r2

σ

- поле бесконечная E = 2ε 0 плоскость однородно E=k

сфера радиуса R

Q r2

r1

Q r R3 шар радиуса при r ≤ R, Q R E=k 2 r при r ≥ R. E=k

бесконечный цилиндр (нить)

r2

ϕ = const = σR ε0

kQ R

ρq 2 kQ 2 2 − ( r r ) ϕ − ϕ = ( r2 − r12 ) 1 1 2 3 2 6ε 0 2R при r1 < R, r2 < R. при r1 < R, r2 < R.

ϕ1 − ϕ 2 =

ϕ1 − ϕ 2 = kQ ( 1 − 1 ) r1

r2

при r1 > R, r2 > R.

2τ r при r ≥ R,

ρ q R3 1 1 ϕ1 − ϕ 2 = ( − ) 3ε 0 r1 r2 при r1 > R, r2 > R.

E=k

внутри нет

__ поля

116

ϕ1 − ϕ 2 = 2kτ ln

r2 r1

Приложение 4 Значения некоторых постоянных

Название постоянной

Значение и размерность

ε 0 = 8,85 ⋅ 10−12 Кл2/(Н⋅м2)

электрическая постоянная

1 коэффициент пропорциональности k= = 9 ⋅ 109 (Н⋅м2)/ Кл2 4πε 0 в законе Кулона

элементарный заряд

e = 1,6 ⋅ 10−19 Кл

масса электрона

me = 9,11 ⋅ 10− 31 кг

масса протона

m p = 1,67 ⋅ 10− 27 кг

число Фарадея

F = 96 485 Кл/моль

Электрохимические и химические эквиваленты веществ Вещество

Обозначение

Атомный вес

Валентность

Химический эквивалент

Электрохим. эквивалент, 10-6 кг/Кл

Серебро

Ag +

107,868

1

107,868

1,118

Медь

Cu 2 + Cl −

63,546

2

31,773

0,3294

35,453

1

35,453

0,367

Водород

H+

1,008

1

1,008

0,01045

Кислород

O2 −

16

2

8

0,0829

Алюминий

Al3+

26,9815

3

8,994

0,0932

Никель

Ni 2 +

58,71

2

29,355

0,304

Золото

Au 3+

196,967

3

65,6557

0,681

Калий

K+

39,102

1

39,102

0,4052

Натрий

Na +

22,9898

1

22,9898

0,2383

Железо

Fe3+

55,847

3

18,6157

0,193

Цинк

Zn 2 + NO3−

65,37

2

32,685

0,3388

Хлор

1

0,643

OH −

1

0,177

SO24 −

2

0,499

117

Плотности веществ

Вещество

Плотность Вещество

Плотность Вещество

ρ m , кг/м вода

Плотность

ρ m , кг/м

3

ρ m , кг/м3

3

1000

алюминий

2700

никель

8500

керосин

790-820

вольфрам

19300

серебро

10500

глицерин

1260

железо

7874

платина

21460

ртуть

13546

медь

8940

нихром

8100-8400

(20оС)

Энергия ионизации

Элемент Энергия ионизации, эВ

Н2

Не

СО2

15,4

24,45

14,4

N2

O2

Ne

Na

15,8 12,5 21,48

5,12

Подвижности некоторых положительных газовых ионов при давлении в 1 атм

Газ

см 2 Подвижность b+, с ⋅ В

см 2 Подвижность b+, с ⋅ В

Газ

Н2

5,91

N2

1,27

O2

1,29

СО2

1,10

Не

5,09

Cl2

0,65

Диэлектрическая проницаемость веществ (для газов при 0 оС, жидкостей и твердых веществ при 20 оС; при давлении 1 атм)

Газы

ε

Жидкости

Твердые тела

ε

81

Парафин

1,9-2,2

Азот

1,0058

Водород

1,00026 Глицерин

43

Дерево сухое

2,2-3,7

Воздух

1,00057 Спирт

26

Резина

3,0-6,0

Кислород

1,00055 Керосин

2,0

Слюда

5,7-7,2

2,2

Стекло

6,0-10,0

1,05

Фарфор

4,4-6,8

Водяной пар (100 оС) Углекислый газ

1,006

Вода

ε

Масло трансформаторное

1,00099 Гелий жидкий (при –269 оС)

118

Удельное электрическое сопротивление ρ R проводников

(при t=20 оС) Проводник

ρ R , мкОм⋅м

Проводник

ρ R , мкОм⋅м

Алюминий

0,028

Никель

0,073

Вольфрам

0,055

Свинец

0,21

Железо

0,10

Серебро

0,016

Золото

0,024

Олово

0,12

Медь

0,017

Сталь

0,10-0,14

119

Приложение 5 Элементы математической теории векторного поля Говорят, что в некоторой области пространства задано векторное поле, если для любой точки этого пространства задан некоторый вектор, на-

пример, a ( x, y , z ) . Пример. Если имеется поток текущей жидкости, то можно рассмот-

реть в любой точке этого потока вектор скорости v частицы жидкости, находящейся в этой точке. 1. Определим понятие «вектор элемента площади». рис. 43 Пусть дана поверхность S. Рассмотрим малый элемент поверхности с площадью dS (рис. 43). Выберем одну из двух нормалей к элементу в качестве положительной и введем единичный вектор этой нормали n

0

0

( n =1).

0

Образуем вектор d S = dS ⋅ n , модуль которого равен площади элемента и который направлен вдоль положительной нормали к нему. Такой вектор называется вектором элемента площади. 2. Определим понятие «поток векторного поля». Здесь возможны 3 случая в зависимости от вида поверхности. Рассмотрим поле вектора a ( x, y , z ) , заданного как функция координат точки. В этом поле рассмотрим элемент поверхности, характеризуемый вектором

d S . В силу малости элемента поверхности поле в его пределах представлено вектором a (рис. 44). Образуем скалярное рис. 44

произведение dФа = a ⋅ d S = an ⋅ dS , где ап

– нормальная (перпендикулярная) составляющая вектора a .

120

Величина dФа показывает, в какой мере элемент поверхности dS пронизывается векторным полем и называется потоком вектора a через элемент dS. Если просуммировать (проинтегрировать) такие величины по всей некоторой конечной поверхности S произвольной формы (предварительно разбив ее на малые элементы и проделав для них описанную выше процедуру), то получим величину Фa = ∫ a ⋅ d S = ∫ an dS , S

S

называемую потоком поля через заданную конечную поверхность. Пример. В гидродинамике поток вектора скорости определяет объем жидкости, ежесекундно протекающей через поверхность. Если рассматриваемая поверхность замкнута, то положительными считаются внешние нормали элементов и потому для всех элементов векторы d S направлены наружу (рис. 45). Тогда потоки, выходящие из замкнутой поверхности, будут положительными, а входящие потоки – отрицательными. Поток векторного поля через замкнутую поверхность находится интегрированием по замкнутой поверхнорис. 45

сти:

Фa = ∫ a ⋅ d S . S

3. Определим понятие «дивергенция векторного поля в точке». Рассмотрим в области задания векторного поля произвольную точку А. Выберем в окрестности этой точки малую замкнутую поверхность dS, ограничивающую объем dV (рис. 46). Найдем поток векторного поля через поверхность dS и разделим его на соответствующий объем dV. Предел этого отношения при стягивании объема dV в точку А рис. 46

121

называется дивергенцией поля в данной точке:

∫a ⋅dS

ΔS

= div a . ΔV Дивергенция характеризует расходимость и сходимость линий поля в окрестности точки: если дивергенция поля в точке положительна, то картина поля имеет вид, изображенный на рис. 47, а). Такие точки называются источниками поля. Если дивергенция отрицательна, то картина рис. 47 соответствует рис. 47, б) и такие точки называются стоками поля. Иначе говоря, дивергенция характеризует интенсивность (обильность) источников и стоков поля. Дивергенция в декартовой системе координат находится по формуле ∂a y ∂a ∂a div a = x + + z. ∂x ∂y ∂z

lim

ΔV → 0

Пример. В жидкости в местах, где div v≠0, находятся или ее источ-

ники с интенсивностью, равной div v, или стоки жидкости. 4. Определим понятие «вектор элемента длины». В области задания векторного поля выберем кривую L и на ней выберем положительное направление (рис. 48). Рассмотрим малый элемент линии длиной dl. Введем единичный вектор касательной

τ

0

0

( τ =1),

совпадающий

с

положительным направлением кривой L в области выбранного элемента линии. Образуем 0

вектор d l = dl ⋅ τ , модуль которого равен длине рис. 48 элемента и который направлен по касательной к кривой в положительном направлении. Такой вектор называется вектором элемента длины. 5. Определим понятие «циркуляция векторного поля». Рассмотрим в векторном поле кривую L и введем на ней положительное направление. Разобьем кривую на малые векторные элементы

122

d l , составим для каждого элемента скалярное произведение a ⋅ d l и проинтегрируем по всей кривой L. Полученный интеграл

∫ a ⋅ d l = ∫ al dl

L

L

называется криволинейным интегралом вектора a вдоль кривой L или напряжением векторного поля вдоль кривой L. Такой интеграл показывает, в какой мере вектор поля a проецируется на элементы d l кривой L. Пример. Если вектор a есть сила, a d l – перемещение, то криволинейный интеграл выражает работу этой силы на участке траектории L. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой Z = ∫ a ⋅ dl L

называется циркуляцией векторного поля по контуру L. Циркуляция характеризует меру проектирования поля на элементы контура L. рис. 49 Поля, для которых циркуляция вектора всюду равна нулю, называются безвихревыми. Это возможно, когда в одних частях контура проекции вектора поля положительны, а в других – отрицательны (рис. 49) и общая сумма проекций по всем элементам контура равна нулю. 6. Определим понятие «ротор векторного поля». Рассмотрим в векторном поле произвольную точку А и в ее окрестности рассмотрим малый контур ΔL, ограничивающий площадь ΔS (рис. 50). Выберем положительное направление обхода контура и введем единичный вектор нормали к 0

контуру n , приняв за положительную ту нормаль, при наблюдении с конца которой положительное

123

рис. 50

направление обхода соответствует движению против часовой стрелки. Рассмотрим циркуляцию поля по контуру ΔL. Очевидно, что величина и знак циркуляции зависят от ориентации контура по отношению к полю. Находим такую ориентацию, при которой циркуляция максимальна по величине и положительна по знаку. Вектор нормали в такой ориентации 0

обозначим n m . Предел отношения циркуляции по контуру к площади, ограниченной этим контуром, при стягивании контура ΔL в точку А

∫ a ⋅ dl

lim

ΔL

o

⋅ n m = rot a

ΔS называется ротором поля в точке А. Ротор вектора можно вычислить так: ΔS → 0

i

j ∂ ∂ rot a = ∂x ∂y ax a y

k ∂ . ∂z az

Символический определитель «раскрывается» по первой строке. О ситуации, когда циркуляция поля по контурам в малой окрестности точки отлична от нуля, говорят как о завихренности поля в окрестности этой точки. Тогда модуль вектора rot a характеризует степень завихренности векторного поля a . Направлен этот вектор по нормали к плоскости, в которой имеет место максимальная завихренность, причем так, что при наблюдении с конца вектора завихренность направлена против часовой стрелки. Пример. В гидродинамике ротор вектора скорости частиц жидкости отражает наличие у них вращательного движения с некоторой угловой скоростью. 7. Рассмотрим безвихревые и соленоидальные поля. Если в векторном поле есть контуры с отличной от нуля циркуляцией, то в этом поле обязательно есть точки с отличным от нуля ротором. И, наоборот, в полях, в которых отсутствуют контуры с отличной от нуля циркуляцией, нет и точек с отличным от нуля ротором. Такие поля явля-

124

ются безвихревыми. Следовательно, условия безвихревого характера поля записываются в виде: rot a = 0,

∫ a ⋅ dl = 0.

L

Первое из них называется дифференциальным условием, а второе – интегральным условием безвихревого характера поля. Векторные поля, в которых отсутствуют источники и стоки, называются соленоидальными полями. Наиболее распространены такие виды соленоидальных полей, линии которых либо замкнуты, либо обоими концами уходят в бесконечность. Очевидно, что поток соленоидального поля через любую замкнутую поверхность равен нулю, поскольку всякая вошедшая внутрь поверхности линия поля должна из нее выйти. Поэтому условие соленоидальности поля может быть записано в двух формах – в дифференциальной и интегральной: div a = 0,

∫ a ⋅ dS = 0.

S

Если в качестве контура взять любую из замкнутых линий соленоидального поля, то, очевидно, циркуляция поля по такому контуру будет отлична от нуля. Следовательно, соленоидальное поле обязательно является вихревым. Но обратное утверждение неверно: вихревое поле вовсе не обязательно будет соленоидальным, ибо существование завихренностей не связано с обязательной замкнутостью линий поля. 8. Математические формулы Гаусса-Остроградского и Стокса. Согласно формуле Гаусса-Остроградского, поток вектора a через произвольную замкнутую поверхность S равен интегралу от дивергенции этого вектора, взятому по объему V, ограниченному рассматриваемой поверхностью:

∫ a ⋅ d S = ∫ div a ⋅ dV .

S

V

Согласно теореме Стокса, циркуляция вектора a по замкнутой кривой равна потоку ротора этого вектора через поверхность S, опирающуюся на кривую L:

∫ a ⋅ d l = ∫ rot a ⋅ dS .

L

S

125

Приложение 6 Формулы для приближенных вычислений

Неравенства указывают значения х, при которых расчет по приближенным формулам приводит к ошибкам, не превышающим 0,1%. 1 x < 0,031 ≈1m x, 1± x 1 x < 0,093 1+ x ≈1+ x, 2 1 x < 0,085 1− x ≈ 1− x , 2 x < 0,045 e± x ≈ 1 ± x , x < 0,045

ln(1 ± x ) ≈ ± x ,

sin x ≈ x , cos x ≈ 1 −

1 2 x , 2

x < 0,077

рад (4,40)

x < 0,387

рад (22,20)

Некоторые неопределенные интегралы

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Некоторые определенные интегралы ∞

dx 1 x = arctg a a2 + x2 a dx 2

a +x

2

2

x −a

2

dx 2

a −x

2

−β x

dx =

0

∞

= ln( x + a 2 + x 2 )

∫ xe

−β x

1

β

dx =

0

dx 1 = 2 2 2 32 (a + x ) a dx

∫e

∞

x 2

a +x

∫e

2

−β x2

dx =

0

∞

= ln( x + x 2 − a 2 )

2

−β x dx = ∫e

0

= arcsin

∞

x a

1

β2 1 π 2 β 1 2β

2

2 −β x dx = ∫x e

0

a2 x x 2 2 ∫ 2 2 = 2 arcsin a − 2 a − x a −x x 2 dx

126

∞

2

3 −β x dx = ∫x e

0

π β3

1 4 1

2β 2

Десятичные приставки к названиям единиц Название

Обозначение

приставки

приставки

Множитель

Название

Обозначение

приставки

приставки

Множитель

тера

Т

1012

деци

д

10-1

гига

Г

109

санти

с

10-2

мега

М

106

милли

м

10-3

кило

к

103

микро

мк

10-6

гекто

г

102

нано

н

10-9

дека

да

101

пико

п

10-12

Некоторые числа

e = 2,718282

ln x = 2,3026 lg x

lg e = 0,434294

π = 3,1415926

ln 10 = 2,302585

π 2 = 9,869624

lg x = 0,4343 ln x

π = 1,7724538

Буквы греческого алфавита

1.

Α α

альфа

8.

Θ υ

тэта

15.

Ρ ρ

ро

2.

Β β

бета

9.

Κ χ

каппа

16.

Σ σ

сигма

3.

Γ γ

гамма

10.

Λ λ

ламбда 17.

Τ τ

тау

4.

Δ δ

дельта

11.

Μ μ

мю

18.

Φ ϕ

фи

5.

Ε ε

эпсилон 12.

Ν ν

ню

19.

Ψ ψ

пси

6.

Ζ ζ

дзета

13.

Ξ ξ

кси

20.

Ω ω

омега

7.

Η η

эта

14.

Π π

пи

127

Приложение 7 Основные этапы решения физической задачи

1. Прочтение и анализ условия задачи. 2. Запись данных с учетом используемых (принятых) обозначений. 3. Установление взаимосвязей между данными и искомыми величинами на основе определений физических величин, физических законов, принципов, теорем и др. Запись равенств (формул) отражающих эти взаимосвязи с учетом выбранных в пункте 2 обозначений. 4. Обсуждение возможности нахождения всех искомых величин на основе подсчета числа неизвестных и количества независимых равенств14. 5. Получение решения задачи в общем виде. 6. Проверка размерности. 7. Вычисление значений физических величин и указание единиц их измерения. 8. Формулирование ответа (полного) на вопрос задачи. Анализ условия задачи:

1) уяснить смысл всех слов и научных терминов, встречающихся в условии задачи (не следует пытаться решать задачу, пока не понятно, о чем в ней идет речь!); 2) пересказать условие задачи в последовательности, отражающей причинно-следственную связь явлений; 3) выделить основные взаимосвязи между данными и искомыми величинами.

14

На этом в случае экономии сил и времени можно прервать решение задачи.

128

Замечание. Общепринятые обозначения физических величин (силы тока I, сопротивления - R и т.д.), указанные в таблице приложения 1 и входящие в формулы законов, определений и пр., в общем случае отличаются (например, присутствием индексов) от обозначений данных из условия задачи, носящих конкретный характер (сила тока в данном резисторе – I1, сопротивление амперметра – RA и др.). Поэтому перед записью формулы специально необходимо оговаривать, для какого объекта она записывается, и соблюдать соответствующие обозначения (отраженные, прежде всего, в “Дано:”). Записывать тот или иной закон (формулу) в том виде, в каком он записывался на лекции или в ином источнике, в решении конкретной задачи нежелательно, т.к. зачастую такая запись приводит (при невдумчивом решении) к ошибкам.

129

Литература 1.

Курс физики: Учебник для вузов: В 2 т. Т. 1. 2-е изд., испр./Под ред. В.Н. Лозовского. – СПб.: Издательство «Лань», 2001 – 576 с.

2.

Телесин Р.В., Яковлев В.Ф. Курс физики: Электричество. – М.: Учпедгиз, 1960. – 456 с.

3.

Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. 5-е изд., стер. – М.: «Высшая школа», 1998 – 542 с.: ил.

4.

Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики для втузов/ Т.И. Трофимова. – 3-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и образование», 2003. – 384 с.: ил.

5.

Трофимова Т.И. Справочник по физике для студентов и абитуриентов / Т.И. Трофимова. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2001. – 399. 400 с.: ил.

6.

Задачи по физике: Учеб. пособие / И.И. Воробьев, П.И. Зубков, Кутузова и др.; Под ред. О.Я. Савченко. – 2-е изд., перераб. – М.: Наука. гл. ред. физ.- мат. лит. 1988. – 416 с., ил.

7.

Савельев И.А. Сборник вопросов и задач по общей физике: учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений / И.В. Савельев. – М.: АСТ: Астрель, 2005. – 318, [2] с.

8.

Филимонова Л.В. Методические указания для практических занятий по изучению раздела физики «Механика».- Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2003. – 119 с.

9.

Физика: Задания на контрольные работы № 1 и 2 с методическими указаниями для студентов инженерно-технических специальностей. Часть 1. – М.: РГОТУПС, 2000. – 90 с.

130

Для заметок ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________

131

Учебно-методическое издание

Филимонова Лилия Владимировна

Методические указания для практических занятий по общей и экспериментальной физике Часть третья. «Электричество» для студентов физико-математического факультета

Компьютерный набор и верстка – Л.В. Филимонова Техническое исполнение – В.Н. Бутов Переплет и обложка выполнены В МУП «Типография» г. Ельца Лицензия на издательскую деятельность ИД № 06146. Дата выдачи 26.10.01. Формат 60 х 84 /16. Гарнитура Times. Печать трафаретная. Усл.-печ.л. 6,4 Уч.изд.л. 6,6 Тираж 50 экз. (1-й завод 1-50 экз.). Заказ Отпечатано с готового оригинал-макета на участке оперативной полиграфии Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина 399770 г.Елец, ул. Коммунаров, 28

132