Äìèòðèåâà Ìàðèíà Âàëåðüåâíà Ïàâëîâà Ìàðèàííà Âëàäèìèðîâíà ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂ. ÑÈÑÒÅÌÀ: ÅÅ ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ È ÑÎÑÒÎßÍÈÅ. Ì...
3 downloads
229 Views
164KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Äìèòðèåâà Ìàðèíà Âàëåðüåâíà Ïàâëîâà Ìàðèàííà Âëàäèìèðîâíà ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂ. ÑÈÑÒÅÌÀ: ÅÅ ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ È ÑÎÑÒÎßÍÈÅ. Ìíîæåñòâà è îïåðàöèè íàä íèìè. Ìíîæåñòâîì íàçûâàþò îïðåäåëåííóþ ñîâîêóïíîñòü îáúåêòîâ. Îäèí èç ñîçäàòåëåé òåîðèè ìíîæåñòâ Ãåîðã Êàíòîð(1845-1918) ñêàçàë : ″Ìíîæåñòâî åñòü ìíîãîå, ìûñëèìîå íàìè êàê åäèíîå″. Ñòðîãîãî îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà íåò, òàê êàê ýòî ïîíÿòèå, èç êîòîðîãî âûâîäÿòñÿ ìíîãèå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòèêè, òîãäà êàê îíî íå âûâîäèòñÿ èç äðóãèõ ïîíÿòèé è íå îïðåäåëÿåòñÿ. Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà ñòîëü æå ïåðâè÷íî êàê ïîíÿòèå òî÷êè èëè ÷èñëà. Ñèíîíèìàìè ñëîâà ″ìíîæåñòâî″ ìîæíî ñ÷èòàòü òàêèå ñëîâà êàê ″ñîâîêóïíîñòü″, ″êîëëåêöèÿ″, ″ñåìåéñòâî″, ″ñîáðàíèå″.  äàëüíåéøåì ïîíÿòèå ìíîæåñòâà áóäåò ðàçúÿñíåíî íà ïðèìåðàõ. Îïðåäåëåíèå: Îáúåêòû, èç êîòîðûõ ñîñòàâëåíî ìíîæåñòâî, íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàìè äàííîãî ìíîæåñòâà. Íåò íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà ïðèðîäó ýëåìåíòîâ, ñîñòàâëÿþùèõ ìíîæåñòâî. Íàïðèìåð: ðàçëè÷íûå ïðåäìåòû ìåáëèðîâêè êîìíàòû îáðàçóþò ìíîæåñòâî. Ìíîæåñòâàìè ÿâëÿþòñÿ êíèãè íåêîòîðîé áèáëèîòåêè, ó÷àùèåñÿ êëàññà, áóêâû àëôàâèòà, àâòîìîáèëè íà äîðîãàõ ãîðîäà, öåëûå ÷èñëà îò 1 äî 1000, àòîìû ñåðåáðà â äàííîé ìîíåòå èëè âñåâîçìîæíûå èäåè, êîòîðûå èìåëî ÷åëîâå÷åñòâî. Îïðåäåëåíèå: ìíîæåñòâî, èìåþùåå êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì. Âñå ðàññìîòðåííûå ðàíåå ïðèìåðû ñëóæàò ïðèìåðàìè êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ. Îïðåäåëåíèå: ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íûì, åñëè îíî ñîñòîèò èç áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî. Îïðåäåëåíèå: ìíîæåñòâî, â êîòîðîì íåò íè îäíîãî ýëåìåíòà, íàçûâàþò ïóñòûì ìíîæåñòâîì. Ôàêòè÷åñêîå ñîäåðæàíèå êóðñà èíôîðÍàïðèìåð, ìíîæåñòâî ëåòàþùèõ áåãåìîòîâ ïóñòî. ìàòèêè â ñðåäíåé øêîëå ñóùåñòâåííî Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìíîæåñòâà èñïîëüçóþò çàãëàâíûå çàâèñèò îò òåõíè÷åñêîé îñíàùåííîñòè áóêâû ëàòèíñêîãî àëôàâèòà, à â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ÷åðåç çàïÿòóþ âûïèñûâàþò åãî ýëåìåíòû. Ïóñòîå ìíîæåñòâî øêîëû, íàëè÷èÿ è êà÷åñòâà êîìïüþòåðíûõ çàïèñûâàþò êàê {} èëè ∅. Åñëè íåêîòîðûé ýëåìåíò êëàññîâ.  òî æå âðåìÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó, òî ýòî îáîçíà÷àþò çíàêîì ″∈″, ÷àñòü êóðñà, ñïîñîáñòâóþùàÿ îâëàäåíèþ îñíîâíûìè êîíöåïöèÿìè è áàçîâûìè à åñëè íå ïðèíàäëåæèò, òî çíàêîì ″∉″. Íàïðèìåð: A={3,5,6}; M={♠,♣,♦,♥}; L={}; 5∈A;
♦∈M; 2∉A; ♣∉L.
Ñóùåñòâóåò äâà ñïîñîáà çàäàíèÿ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ. Ìîæíî ëèáî äàòü ïîëíûé ïåðå÷åíü ýëåìåíòîâ ýòîãî ìíîæåñòâà, ëèáî óêàçàòü ïðàâèëî äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîãî, ïðèíàäëåæèò èëè íåò ðàññìàòðèâàåìîìó ìíîæåñòâó äàííûé îáúåêò. Ïåðâûé ñïîñîá íàçûâàåòñÿ ïåðå÷èñëåíèåì ìíîæåñòâà, à âòîðîé - îïèñàíèåì. Äëÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ âîçìîæåí ëèøü âòîðîé ñïîñîá. Íàïðèìåð, ïåðå÷èñëåíèå {2,4,6,8} èëè îïèñàíèå ″×åòíûå ÷èñëà áîëüøèå 0 è ìåíüøèå 10″; ïåðå÷èñëåíèå {âòîðíèê, ñðåäà, ÷åòâåðã} èëè îïèñàíèå ″Ïåðâûé, âòîðîé
êîìïîíåíòàìè èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ëèøåíà ýòîé çàâèñèìîñòè. Ðåäàêöèÿ æóðíàëà â ýòîì è ïîñëåäóþùèõ âûïóñêàõ íàìåðåíà ïðåäëàãàòü âíèìàíèþ ó÷èòåëåé è ó÷àùèõñÿ èçëîæåíèå ðàçëè÷íûõ ðàçäåëîâ êóðñà, àâòîðàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ îïûòíûå ïðåïîäàâàòåëè, íàó÷íûå ðàáîòíèêè è ñïåöèàëèñòû â îáëàñòè èíôîðìàòèêè. Âïîëíå âåðîÿòíî, ÷òî ïðåäëàãàåìûå âàðèàíòû îêàæóòñÿ óÿçâèìûìè äëÿ êðèòèêè. Ðåäàêöèÿ áóäåò áëàãîäàðíà âñåì, êòî âûñêàæåò êðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ, ïðåäëîæèò ñâîé âàðèàíò èçëîæåíèÿ, ïðåäëîæèò äðóãèå òåìû èëè çàäàñò âîïðîñû, îòâåòû íà êîòîðûå ðåäàêöèÿ ïîñòàðàåòñÿ íàéòè ó ñîîòâåòñòâóþùèõ ñïåöèàëèñòîâ.
è òðåòèé äíè ïîñëå ïîíåäåëüíèêà″. Îïðåäåëåíèå: ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç íåêîòîðûõ ýëåìåíòîâ äðóãîãî ìíîæåñòâà, íàçûâàåòñÿ åãî ïîäìíîæåñòâîì. Óòâåðæäåíèå, ÷òî ìíîæåñòâî A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B, çàïèñûâàþò òàê: A ⊆ B. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïóñòîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ëþáîãî ìíîæåñòâà. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâà {4,8} è {6} ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè ìíîæåñòâà {2,4,6,8};÷èñëà 2,4,6,8-åãî ýëåìåíòû. Ìíîæåñòâî { {},{2},{4},{6},{8},{2,4},{2,6},{2,8},{4,6},{4,8},{6,8},{2,4,6},{2,4,8},{2,6,8},{4,6,8},{2,4,6,8} } ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì âñåõ ïîäìíîæåñòâ èñõîäíîãî ìíîæåñòâà. Èç ïîñëåäíåãî ïðèìåðà âèäíî, ÷òî ìíîæåñòâà ñàìè ìîãóò áûòü ýëåìåíòàìè êàêîãî-òî ìíîæåñòâà. Ó ëþáîãî ìíîæåñòâà åñòü îáÿçàòåëüíî õîòÿ áû äâà ïîäìíîæåñòâà: ïóñòîå ìíîæåñòâî è ñàìî ìíîæåñòâî. Ýòè äâà ïîäìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ íåñîáñòâåííûìè ïîäìíîæåñòâàìè. Ëþáîå ïîäìíîæåñòâî, îòëè÷íîå îò íåñîáñòâåííîãî, íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì ïîäìíîæåñòâîì äàííîãî ìíîæåñòâà.
67
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ó ïóñòîãî ìíîæåñòâà íåò ñîáñòâåííûõ ïîäìíîæåñòâ, à îáà íåñîáñòâåííûõ ïîäìíîæåñòâà ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Ó ëþáîãî îäíîýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà òàêæå íåò ñîáñòâåííûõ ïîäìíîæåñòâ, íî åãî íåñîáñòâåííûå ïîäìíîæåñòâà ðàçëè÷íû. Ó ëþáîãî äâóõýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà åñòü óæå äâà ñîáñòâåííûõ ïîäìíîæåñòâà. Ñ ðîñòîì êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå êîëè÷åñòâî ñîáñòâåííûõ ïîäìíîæåñòâ ðàñòåò. Íàïðèìåð, åñëè F={s, t}, òî ñîáñòâåííûìè ïîäìíîæåñòâàìè ìíîæåñòâà F áóäóò ÿâëÿòüñÿ ìíîæåñòâà {s} è {t}. Îïðåäåëåíèå: ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ, íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè. Ïðè ýòîì ïîðÿäîê ïåðå÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà çíà÷åíèÿ íå èìååò. Íàïðèìåð: ðàâíû ìíîæåñòâî ðàâíîñòîðîííèõ òðåóãîëüíèêîâ è ìíîæåñòâî ðàâíîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ; ðàâíû ìíîæåñòâà {7,4,1},{1,4,7} è {7,1,4}. Îïðåäåëåíèå: ìîùíîñòüþ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà (ðàçìåðîì êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà) - íàçûâàþò êîëè÷åñòâî åãî ýëåìåíòîâ. Ìîùíîñòü ïóñòîãî ìíîæåñòâà ðàâíà íóëþ. Íàïðèìåð: ìîùíîñòü ìíîæåñòâà óãëîâ ëþáîé òðàïåöèè ðàâíà ÷åòûðåì, à ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ÷åòíûõ ÷èñåë, ïðèíàäëåæàùèõ îòðåçêó [1, 10] ðàâíà 5. Ñóùåñòâóþò íåñêîëüêî îñíîâíûõ îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè. Ñ èõ ïîìîùüþ ìîæíî ñòðîèòü íîâûå ìíîæåñòâà. Îïðåäåëåíèå: îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ À è  íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå âñå ýëåìåíòû èç À è âñå ýëåìåíòû èç Â. Îáúåäèíåíèåì ëþáîãî ìíîæåñòâà ñ ïóñòûì ÿâëÿåòñÿ ñàìî ýòî ìíîæåñòâî. Îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ îáîçíà÷àåòñÿ çíàêîì ″∪″. Íàïðèìåð, ïóñòü A={5,7,9}, B={6,1}. Òîãäà C=A∪B={1,5,6,7,9}. Îïðåäåëåíèå: ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ À è  íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò îáîèì ìíîæåñòâàì. Åñëè â ïåðåñå÷åíèè ìíîæåñòâ ýëåìåíòîâ íåò, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ èëè ÷òî èõ ïåðåñå÷åíèå - ïóñòîå ìíîæåñòâî. Ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî ìíîæåñòâà ñ ïóñòûì ÿâëÿåòñÿ ïóñòûì ìíîæåñòâîì. Ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ îáîçíà÷àåòñÿ çíàêîì ″∩″. Íàïðèìåð, ïóñòü A={4,5,7,9,10}, B={3,7,9}. Òîãäà C=A∩B={7,9}. Îïðåäåëåíèå: ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ À è  íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òåõ ýëåìåíòîâ èç À, êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó Â. Åñëè èç ëþáîãî ìíîæåñòâà A âû÷åñòü ïóñòîå ìíîæåñòâî, òî ðåçóëüòàòîì âû÷èòàíèÿ áóäåò ñàìî ìíîæåñòâî A. Ðàçíîñòü ìíîæåñòâ îáîçíà÷àåòñÿ çíàêîì ″\″. Íàïðèìåð, ïóñòü A={1,3,5,6,7}, B={6}. Òîãäà C=A \ B={1,3,5,7}. Åñëè G={ãóñü, êîò, ï¸ñ, óòêà, êóðèöà, èíäþê}, H={êîò, ï¸ñ}, òî R=G\H= {ãóñü, óòêà, êóðèöà, èíäþê}, à T=H \ ∅=H. Îòíîøåíèÿ è èõ ñâîéñòâà. Ìû ðàññìîòðåëè ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç êàêèõ-òî ýëåìåíòîâ, íî íè÷åãî íå ãîâîðèëè î ñâîéñòâàõ ýòèõ ýëåìåíòîâ è èõ îòíîøåíèÿõ äðóã ñ äðóãîì. Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ: A={a1,a2,...aN}, êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü ïðåäìåòíîé îáëàñòüþ. Îïðåäåëåíèå: ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ëîãè÷åñêîé, åñëè îáëàñòü å¸ çíà÷åíèé ñîñòîèò èç äâóõ ëîãè÷åñêèõ êîíñòàíò èñòèíà è ëîæü, èëè äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè âñå å¸ çíà÷åíèÿ ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó {èñòèíà, ëîæü} Îïðåäåëåíèå: ïðåäèêàòîì íàçûâàåòñÿ ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ïðåäìåòíîé îáëàñòè. Ïðåäèêàòû äåëÿòñÿ íà äâà âèäà: ïîíÿòèÿ è îòíîøåíèÿ. Îïðåäåëåíèå: ïîíÿòèå - ñâîéñòâî îäíîãî îáúåêòà ïðåäìåòíîé îáëàñòè. Íàïðèìåð, åñëè ïðåäìåòíàÿ îáëàñòü - íåêîòîðûé îòðåçîê íàòóðàëüíîãî ðÿäà, òî ïðåäèêàò ÷åòíîñòè - ýòî ñâîéñòâî êàêîãî-òî ýëåìåíòà (÷èñëà) èç ýòîãî îòðåçêà áûòü èëè íå áûòü ÷åòíûì. Ïîíÿòèÿ íàçûâàþòñÿ îäíîìåñòíûìè ïðåäèêàòàìè. Îïðåäåëåíèå: îòíîøåíèå - ñâîéñòâî ïàð, òðîåê, ÷åòâåðîê è ò.ä. îáúåêòîâ äàííîé ïðåäìåòíîé îáëàñòè. Íàïðèìåð, ñâîéñòâî îäíîãî ýëåìåíòà ëåæàòü ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì (òðåõìåñòíûì ïðåäèêàòîì ). Íàïîìíèì, ÷òî âñå ýëåìåíòû, ïðî êîòîðûå ìû âûÿñíÿåì, íàõîäÿòñÿ ëè îíè â äàííîì îòíîøåíèè, äîëæíû ïðèíàäëåæàòü ðàññìàòðèâàåìîé ïðåäìåòíîé îáëàñòè. ×àùå âñåãî ðàññìàòðèâàþò äâóìåñòíûå îòíîøåíèÿ è èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: < - ìåíüøå, ≤ - ìåíüøå èëè ðàâíî, = - ðàâíî, > - áîëüøå, ≥ - áîëüøå èëè ðàâíî, ≠ - íå ðàâíî. Åñëè â êà÷åñòâå ïðåäìåòíîé îáëàñòè ðàññìîòðåòü A - îòðåçîê íàòóðàëüíîãî ðÿäà îò 3 äî 100, òî îòíîøåíèå x < y, ãäå x, y ∈A, èìååò çíà÷åíèå èñòèíà, íàïðèìåð, ïðè x=6, y=123. Îòíîøåíèå x = y èìååò çíà÷åíèå ëîæü, íàïðèìåð, ïðè x=50, y=49, à îòíîøåíèå x ≠ y èìååò çíà÷åíèå èñòèíà ïðè òåõ æå çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ. Íåòðóäíî ïðèâåñòè ïðèìåðû è äðóãèõ íå ñòîëü èçâåñòíûõ îòíîøåíèé. Òàê îòíîøåíèåì áóäåò ÿâëÿòüñÿ
68
ëîãè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ çàäàíà íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, îïðåäåëÿþùàÿ, áóäåò ëè îäíî íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòüñÿ íà äðóãîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî áåç îñòàòêà. Îòíîøåíèåì òàêæå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ, âûÿñíÿþùàÿ, êàêàÿ èç äâóõ ëàìïî÷åê ãîðèò ÿð÷å. Êðîìå òîãî, ïðèìåðàìè îòíîøåíèé ñëóæàò ïðåäèêàòû, îïðåäåëÿþùèå ñîñòîÿò ëè äâà ÷åëîâåêà â áðàêå, ÿâëÿåòñÿ ëè îäèí ÷åëîâåê ðîäèòåëåì äðóãîãî è ò. ï. Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà äâóìåñòíûõ îòíîøåíèé. Áóäåì îáîçíà÷àòü ″Θ″ - çíàê îòíîøåíèÿ. Òîãäà îòíîøåíèå f Θ g ìîæåò îáëàäàòü ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ ðåôëåêñèâíûì, åñëè f Θ f äëÿ ëþáîãî f ∈ A; Íàïðèìåð, ðåôëåêñèâíîñòü èìååò ìåñòî äëÿ îòíîøåíèé = , = , ò.ê. 5=5, 7≤7, 9≥9. îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíûì, åñëè èç òîãî, ÷òî f Θ g è g Θ h ñëåäóåò, ÷òî f Θ h äëÿ ëþáûõ f, g, h∈A . Íàïðèìåð, òðàíçèòèâíîñòüþ îáëàäàþò îòíîøåíèÿ =, =, , òàê êàê èç òîãî, ÷òî 5 < 7 è 7 < 10 ñëåäóåò, ÷òî 5 < 10. îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, åñëè èç òîãî, ÷òî f Θ g ñëåäóåò, ÷òî g Θ f äëÿ ëþáûõ f è g ∈A. Íàïðèìåð, ïóñòü ïðåäìåòíàÿ îáëàñòü - îòðåçîê öåëûõ ÷èñåë îò 2 äî 10000. Ðàññìîòðèì îòíîøåíèÿ: à) ñâîéñòâî x è y èìåòü îáùèé äåëèòåëü, á) ñâîéñòâî x è y áûòü ðàâíûìè. Î÷åâèäíî, ÷òî îáà ýòè îòíîøåíèÿ áóäóò ñèììåòðè÷íû. îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ àíòèñèììåòðè÷íûì, åñëè èç òîãî, ÷òî f Θ g è g Θ f ñëåäóåò, ÷òî f = g äëÿ ëþáûõ f, g ∈A . Íàïðèìåð, àíòèñèììåòðè÷íûìè ÿâëÿþòñÿ îòíîøåíèÿ ≤ è ≥, ïîñêîëüêó, åñëè x≤y è y≤x, òî y=x äëÿ ëþáûõ x,y∈A. Îòíîøåíèå, êîòîðîå îïðåäåëÿåò äåëèòñÿ ëè îäíî ÷èñëî áåç îñòàòêà íà äðóãîå, àíòèñèììåòðè÷íî, òàê êàê åñëè x äåëèòñÿ íà y, à y äåëèòñÿ íà x, òî x=y. Çàìåòèì, ÷òî ñèììåòðè÷íîñòü è àíòèñèììåòðè÷íîñòü íå ÿâëÿþòñÿ âçàèìîèñêëþ÷àþùèìè ñâîéñòâàìè. Íàïðèìåð, ïóñòü ìíîæåñòâî A - ìíîæåñòâî ëþäåé. Îïðåäåëèì îòíîøåíèå β òàê, ÷òî äëÿ ëþáûõ x, y ∈ A îòíîøåíèå x β y èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x áðàò y.  ñåìüå, ãäå äâà áðàòà p è q è ñåñòðà r, òî åñòü íà ïðåäìåòíîé îáëàñòè A={p, q, r} îòíîøåíèå β íå ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, òàê êàê p β r (p ÿâëÿåòñÿ áðàòîì r), íî íåâåðíî, ÷òî r β p (r íå ÿâëÿåòñÿ áðàòîì p). Ýòî îòíîøåíèå íå ÿâëÿåòñÿ è àíòèñèììåòðè÷íûì, òàê êàê p β q (p áðàò q) è q β p (q áðàò p), õîòÿ p è q ðàçëè÷íû. Èñïîëüçîâàíèå ìíîæåñòâ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà êîìïüþòåðå. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîäåìîíñòðèðîâàòü, êàê èñïîëüçóþòñÿ îòíîøåíèÿ, ìíîæåñòâà è îïåðàöèè íàä íèìè â ïðîãðàììèðîâàíèè, ìû âûáðàëè ÿçûê Ïàñêàëü, òàê êàê èìåííî íà íåì ìîæíî îïèñûâàòü è îáðàáàòûâàòü äàííûå òèïà ìíîæåñòâî. Ìíîæåñòâî ìîæåò ñòðîèòüñÿ èç îáúåêòîâ ïåðå÷èñëèìîãî òèïà èëè òèïà äèàïàçîíà. Òèï ìíîæåñòâî - ñîñòàâíîé òèï, è åãî îïèñàíèå âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: Type ìíîæåñòâî=set of òèï-ýëåìåíòà, ãäå ″ìíîæåñòâî″- èäåíòèôèêàòîð îïðåäåëÿåìîãî òèïà, à ″òèï-ýëåìåíòà″ - îïèñàòåëü òèïà ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà. Îáû÷íî êàæäàÿ ñèñòåìà ïðîãðàììèðîâàíèÿ íà Ïàñêàëå íàêëàäûâàåò äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà âîçìîæíûå òèïû ýëåìåíòîâ. Äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ìíîæåñòâ â ïðîãðàììå ñëóæèò ñïåöèàëüíàÿ êîíñòðóêöèÿ, ïîçâîëÿþùàÿ çàäàòü íàáîð ýëåìåíòîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ êàêîå-ëèáî ìíîæåñòâî. Êîíñòðóêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàáîð âûðàæåíèé, ïåðå÷èñëåííûõ ÷åðåç çàïÿòóþ, çàêëþ÷åííûé â êâàäðàòíûå ñêîáêè. Ïåðå÷èñëåííûå âûðàæåíèÿ è çàäàþò çíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà, íàïðèìåð, ['A', 'D', 'N'] [5, i+1, j-7, k, 43] ['a', 's', 'f', 'j', 'l'] [x] [3,8,4,2,6,1,5,7] Ïóñòîå ìíîæåñòâî çàäàåòñÿ òàê: []. Äëÿ çàäàíèÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç íåñêîëüêèõ ïîäðÿä èäóùèõ çíà÷åíèé ìîæíî óêàçàòü â èçîáðàæåíèè ìíîæåñòâà ïåðâîå è ïîñëåäíåå èç âêëþ÷àåìûõ çíà÷åíèé, ñîåäèíèâ èõ ñèìâîëîì ″..″, íàïðèìåð: [23..67] [2..5, 8..34] ['0'..'9'] ['A'..'Z', 'a'..'z'] ['à'..'ÿ'] ['×','Ù'..'Ý','ß'] Äëÿ ðàáîòû ñ ìíîæåñòâàìè îïðåäåëåíû îïåðàöèè, ïîçâîëÿþùèå ñðàâíèâàòü ìíîæåñòâà ìåæäó ñîáîé, îïðåäåëÿòü ïðèíàäëåæíîñòü ýëåìåíòà ìíîæåñòâó, âûïîëíÿòü îáû÷íûå òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè íàõîæäåíèÿ îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ è ðàçíîñòè ìíîæåñòâ. Ïðèâåäåì òàáëèöó äîïóñòèìûõ îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè, ïîÿñíèâ êàæäóþ îïåðàöèþ ýêâèâàëåíòíîé çàïèñüþ, ïðèíÿòîé â òåîðèè ìíîæåñòâ.  òàáëèöå Ì, Ì1 è Ì2 îçíà÷àþò ìíîæåñòâà ñ ýëåìåíòàìè îäíîãî è òîãî æå òèïà, x - çíà÷åíèå ýëåìåíòà ìíîæåñòâà Ì. Îïåðàöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè IN îòíîñèòñÿ ê ãðóïïå îïåðàöèé îòíîøåíèÿ òàê æå, êàê è îïåðàöèè îòíîøåíèÿ ñî çíàêàìè ″>″, ″