Практикум ЭВМ. Решение линейных систем

        
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36

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1 CC CC CC CC CC CC CC : CC CC CC CC CA

(1)

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44

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1 CC CC CC CA

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45


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k+1 BB 1 BB ... B@

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1 CC CC CC CC CC CC CC CA

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k a(kkk;1) ... a(nkk;1)

::: ::: ::: ... ::: ::: ... :::

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1 CC CC CC CC CC : CC CC CC CA

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47

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n .) "/)-1&4(* &/1&41 $+** 3 ( 5 /$+,.+), 3)& &1( 4+C+/)4+11 (6 /)&$=04+,+1(@ *-)'(0 B = U (x)A = TU (x)a(1)  : : :  U (x)a(n) ], ).+. b(k) = U (x)a(k)  k = 1 : : :  m . -2(* &='->&*, ,$@ 44+,+1(8 U (x)a(k) *-)'(0< U (x) 1- 4+2)&'- a(k)  k = 1 : : :  m . &2->&4-1- 2 4(,. A(k;1) x = b(k;1)  (1) %,+ Y1 Y1 A(k;1) = Ui A b(k;1) = Ui b (2) i =k ; 1

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k a(kkk;1) ... a(nkk;1)

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c1n c2n c3n ...

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1 CC CC CC CC CC  CC CC CC CA

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Y1 i= k

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k +1 : : :

(10)

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1 CC CC CC CC CC CC : CC CC CC CC A (11)

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(15)

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62

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x 14.1. "! 5%6&"# %?' =&>1-3(* a1 = (a21  : : :  an1 )t . &%$-/1& $+**+ 12.3 /.C+/)4.L) n ; 2 *-)'(0 T2j = T2j ('2j ) j = 3 : : :  n )-2(6, 3)& T2n : : : T24 T23a1 = ka1 k e(1n;1) (7'(3+* >1-3+1(@ .%$&4 '2j  j = 3 : : :  n &7'+,+$@L)/@ $+**-*( 12.2, 12.3). "*1&A(* *-)'(0. A 1- T2n : : : T24 T23 /$+4-, 7&$.3(*

0 BB kaa11k BB 1 (1) b A = T2n : : : T24 T23A = B BB 0. B@ .. 0

a12 a^(1) 22 a^(1) 32 ... a^(1) n2

::: ::: ::: ... :::

a1n a^(1) 2n a^(1) 3n ... a^(1) nn

1 CC CC CC : CC A

(1)

"*1&A(* *-)'(0. Ab(1) 1- (T2n : : : T24 T23 ) = T23t T24t : : : T2tn /7'-4-, 7&$.3(* (/ .3+)&* )&%&, 3)& 7'( .*1&A+1(( /7'-4- 1- T2j  j = 3 : : :  n 7+'4*+1@+)/@)

0 BB a11 BB ka1 k (1) (1) t t t A = Ab T23 T24 : : : T2n = B BB 0. B@ .. 0

a(1) 12 a(1) 22 a(1) 32 ... a(1) n2

::: ::: ::: ... :::

a(1) 1n a(1) 2n a(1) 3n ... a(1) nn

1 CC CC CC : CC A

(2)

9./): /,+$-1< k ; 1 k = 1 : : :  n ; 1 K-%&4 ;)&%& 7'&0+//-, ).+. *-)'(07'+&='->&4-1- 2 4(,.

A(k;1) =

+1 Y2 iY

i=k j =n

0 c13 12 BB a11 c(1) c23 BB ka1 k a22 (1) (2) BB k a k a 1 33 BB BB ka(2) 1 k B ( k ; 1) A =B BB BB BB BB B@ =&>1-3(*

Tij A

::: ::: ::: ... ...

k Y n Y i=2 j =i+1

c1
k;1 c2
k;1 c3
k;1 ... a(kk;;12)
k;1 ka(1k;2)k

Tijt  a(1kk;1) a(2kk;1) a(3kk;1) ... a(kk;;11)
k a(kkk;1) a(kk+1;1)
k ... a(nkk;1)

a(1k;1) = (a(kkk;1) : : :  a(nkk;1) )t 2 Rn;k

(3)

::: ::: ::: ... ::: ::: ::: ... :::

a(1kn;1) a(2kn;1) a(3kn;1) ... a(kk;;11)
n a(knk;1) a(kk+1;1)
n ... a(nnk;1)

1 CC CC CC CC CC CC : CC CC CC CC CA

(4)

(5)

{ 3-/): 7+'4&%& /)&$=0- 7&,*-)'(0< (a(ijk;1) )i
j=k
:::
n . &%$-/1& $+**+ 12.3 /.C+/)4.L) n ; k ; 1 *-)'(0 Tk+1
j = Tk+1
j2('k+1
j ) j = k + 2 : : :  n )-2(6, 3)& Tk+1
n : : : Tk+1
k+3Tk+1
k+2a(1k;1) = ka(1k;1) k e(1n;k) (6) (>1-3+1(@ .%$&4 'k+1
j  j = k +2 : : :  n &7'+,+$@L)/@ $+**-*( 12.2, 12.3). "*1&A(* *-)'(0. (3) 1- Tk+1
n : : : Tk+1
k+3Tk+1
k+2 /$+4-, 7&$.3(*

Y Ab(k) = Tk+1
j A(k;1) k+2

j =n

. . 

(7)

    !!

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0 c13 12 BB a11 c(1) c23 BB ka1k a22 (1) BB ka1 k a(2) 33 BB BB ka(2) 1 k BB Ab(k) = B BB BB BB BB BB B@

::: ::: ::: ... ...

c1
k;1 c1k c2
k;1 c2k c3
k;1 c3k ... ... a(kk;;12)
k;1 ck;1
k ka(1k;2)k a(kkk;1) ka(1k;1) k

a(1k
k;+11) a(2k
k;+11) a(3k
k;+11) ... a(kk;;11)
k+1 a(k
kk;+11) ab(kk+1)
k+1 ab(kk+2)
k+1 ... k) ab(n
k +1

::: ::: ::: ... ::: ::: ::: ::: ... :::

a(1kn;1) a(2kn;1) a(3kn;1) ... a(kk;;11)
n a(knk;1) ab(kk+1)
n ab(kk+2)
n ... ab(nnk;1)

64

1 CC CC CC CC CC CC CC : CC CC CC CC CC A (8)

)*+)(*, 3)& 4 (7) 2-A,-@ (> n ; k ; 1 *-)'(0 ;$+*+1)-'1*+'- (n ; k)
(n ; k + 1) (&/)-$:1-@ 3-/): A(k;1) 4 7'+&='->&4-1(( (7) 1+ .3-/)4.+)). "*1&A(* *-)'(0. Ab(k) 1- (Tk+1
n : : : Tk+1
k+2) = Tk+1
k+2 : : : Tk+1
n /7'-4-, 7&$.3(* (> (8) (/ .3+)&* )&%&, 3)& 7'( .*1&A+1(( /7'-4- 1- Tk+1
j  j = k + 2 : : :  n /)&$=0< 1 : : :  k *-)'(0< Ab(k) 1+ (>*+1@L)/@) n kY +2 n Y Y A(k) = Ab(k) Tkt+1
j = Tk+1
j A(k;1) Tkt+1
j  j =n

j =k+2

0 a11 c12 c13 B (1) B ka1k a22 c23 B B (2) B ka(1) B 1 k a33 B B B ka(2) 1 k B B B A(k) = B B B B B B B B B B B B @

::: ::: ::: ... ...

j =k+2 a(1k
k)+1 a(2k
k)+1 a(3k
k)+1

c1
k;1 c1k c2
k;1 c2k c3
k;1 c3k ... ... ... a(kk;;12)
k;1 ck;1
k a(kk;)1
k+1 ka(1k;2)k a(kkk;1) a(k
kk) +1 ka(1k;1) k a(kk+1)
k+1 a(kk+2)
k+1 ... k) a(n
k +1

::: ::: ::: ... ::: ::: ::: ::: ... :::

(9)

a(1kn) a(2kn) a(3kn) ... a(kk;)1
n a(knk) a(kk+1)
n a(kk+2)
n ... a(nnk;1)

1 CC CC CC CC CC CC CC : CC CC CC CC CC A

(10) )*+)(*, 3)& 4 (9) 2-A,-@ (> n ; k ; 1 *-)'(0 ;$+*+1)-'1*+'n
(n ; k) (&/)-$:1-@ 3-/): Ab(k;1) 4 7'+&='->&4-1(( (9) 1+ .3-/)4.+)).

. . 

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65

9&/$+ n ; 2 K-%&4 ;)&%& 7'&0+//- ().+. 7+'+6&,- &) *-)'(0 (3), (4) 2 (9), (10)) *-)'(0- 7'(*+) )'+=.+*$&A+114+,+1(+ &')&%&1-$:1$&A+11$&A+1(@ ,$@ *-)'(0< A *+)&,&* 4'-C+1(8.

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-//*&)'(* /().-0(L, 2&%,- &7(/-11*+1+ ,'.%&8 /)&'&11-3+1(@ .%$&4 '2j  j = 3 : : :  n &7'+,+$@L)/@ $+**-*( 12.2, 12.3). =&>1-3(* (1) (1) t (1) t (1) t (1) A(1) 3 = T23 AT23 , A4 = T24 A3 T24 , : : : , An = T2n An;1 T2n . /+ *-)'(0< Aj , j = 3 4 : : :  n .1()-'1& 7&,&=1< A ( 7&)&*. /(**+)'(31&*, . *-)'(0< A(k) 1+&=6&,(*& / 7&*&C:L $+**< 1 44$+3+1(@ 2&'1@. k -8 /)&$=+0 ( k --@ /)'&2- 4 /7&/&=&4, (>-

$&A+11$&A+1(@ ,$@ *-)'(0< A *+)&,&* 4'-C+1(8. $@ /(**+)'(31 &7'+,+$+1(@ .*1&A+1(@ *-)'(0. 2. /$( *-)'(0- Uk 2 Mk 4 (1) /-*&/&7'@A+11-@, )& *-)'(0- U 2 Mn , 7&$.3+11-@ 4 (1), )-2A+ /-*&/&7'@A+11-@. F)& ,&2->-1& 7'( '-//*&)'+1(( -$%&'()*- *+)&,- &)'-A+1(8, /*. (13.8). 3. /$( *-)'(0- Uk 2 Mk 4 (1) .1()-'1-, )& *-)'(0- U 2 Mn , 7&$.3+11-@ 4 (1), )-2A+ .1()-'1-. F)& ,&2->-1& 7'( '-//*&)'+1(( -$%&'()*- *+)&,&)'-A+1(8, /*. (13.9).

x 15.1. "! 5%6&"# %?'

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j=k
:::
n , /*. (14.5). &%$-/1& $+**+ 13.9 /.C+/)4.+) *-)'(0- &)'-A+1(@

U (x(k) ) = I )-2-@, 3)&

; 2x(k)(x(k) ) 

x(k)

(k;1) ; ka(k;1) ke(n;k) a 1 1 n;k =  (1k;1) (k;1) (n;k) 2 C  ka1 ; ka1 ke1 k

(4)

U (x(k) )a(1k;1) = ka(1k;1) ke(1n;k): (5) 9&$&A(*
! I 0 k Uk = 0 U (x ) : (6) k -2 &)*+3-$&/: 4*+'- (n ; k)
(n ; k + 1) (&/)-$:1-@ 3-/): A(k;1) 4 7'+&='->&4-1(( (7) 1+ .3-/)4.+)). "*1&A(* *-)'(0. Ab(k) 1- Uk = Uk /7'-4-, 7&$.3(* (> (14.8) (/ .3+)&* )&%&, 3)& 7'( .*1&A+1(( /7'-4- 1- Uk /)&$=0< 1 : : :  k *-)'(0< Ab(k) 1+ (>*+1@L)/@)

A(k) = Ab(k) Uk = Uk A(k;1) Uk 

(8)

%,+ *-)'(0- A(k) (*++) 4(, (14.10). )*+)(*, 3)& 4 (8) 7+'4&4-1(+ (8) >-2$L3-+)/@ 4 .*1&A+1(( *-)'(0< U (xk ) 2 Mn;k 1- 7&,*-)'(0. (ab(ijk;1) )i=1
:::
n
j=k+1
:::
n *-)'(0< Ab(k;1) '->*+'- n
(n ; k) (&/)-$:1-@ 3-/): Ab(k;1) 4 7'+&='->&4-1(( (8) 1+ .3-/)4.+)). &*: 41-3-$+ 4-)+* { 4+2)&'

ka(1k;1) k =

r

ja(kk+1;1)
k j2 + sk :

x(k) = (a(kk+1;1)
k ; ka(1k;1) k a(kk+2;1)
k : : :  a(nkk;1) )t 2 Cn;k ( +%& 1&'*-

q

(10) (11)

kx(k) k = jx(1k) j2 + sk :

(12)

x(k) := x(k) =kx(k)k ).+. x(jk) := x(jk) =kx(k)k j = 1 : : :  n ; k:

(13)

+7+': *&A1& 44&$:1&8 *-)'(0< 2 7&3)( )'+.%&$:1&*. 4(,. .1()-'1$&A+1(@ /2$-, 2&$(3+/)4- -'(5*+)(3+/2(6 &7+'-0(8, 1+&=6&,(*- 2&1+31&+ 3(/$& -'(5*+)(3+/2(6 &7+'-0(8 (1-7'(*+', ,$@ *+)&,- !-.//- ;)& 2 n3 + O(n2 )). 3 - '+-$:1&8 4