Определение внутренних усилий методом сечений: Методические указания и варианты заданий

Министерство образования и науки Российской Федерации Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

А.И. Алексейцев, Е.В. Черепанова, С.Я. Куранаков

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ МЕТОДОМ СЕЧЕНИЙ Методические указания и варианты заданий для студентов машиностроительных специальностей

Барнаул 2005

УДК 620.1:539.3(0.75.5) Алексейцев А.И., Черепанова Е.В. Куранаков С.Я. Определение внутренних усилий методом сечений: Методические указания и варианты заданий для студентов машиностроительных специальностей / АлтГТУ им. И.И. Ползунова. – Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2005. – 45 с.

В данной работе вводятся понятия внутренних усилий и их определение методом сечений. Разобраны примеры определения внутренних усилий и построения их эпюр. Предлагаемые варианты домашних заданий охватывают линейные, плоские и пространственные расчетные схемы.

Рассмотрена и одобрена на заседании кафедры «Прикладная механика». Протокол № 7 От 06 мая 2005 года

2

Внутренние усилия, их определение. Между частицами твердого тела существуют определенные силы межатомного взаимодействия, называемые внутренними силами. Они стремятся сохранить тело как единое целое и противодействуют всякому внешнему воздействию, изменяющему взаимное расположение частиц. Внутренние силы действуют и при отсутствии внешней нагрузки, но в этом случае они взаимно уравновешены и никаким образом себя не проявляют. Деформация тела, являющаяся результатом внешнего воздействия, приводит к изменению внутренних сил. В курсе «Сопротивление материалов» изучают и вычисляют только приращения внутренних сил или так называемые внутренние усилия, которые появляются в результате нагружения. Таким образом, возникает необходимость связать и выразить внутренние усилия через внешние нагрузки. Для этого широко используется «метод сечений». Рассмотрим брус, находящийся в равновесии под действием внешних сил и опорных реакций (рис.1). Мысленно рассечем стержень на две части некоторой плоскостью, перпендикулярной продольной оси Z.

Рис.1 Внутренние силы действуют во всех точках поперечного сечения, т.е. представляют собой распределенную нагрузку. С помощью уравнений статики установить закон распределения этой нагрузки не представляется возможным. Методами статики можно лишь установить

r

статический эквивалент внутренних сил, т.е. главный вектор R и глав-

3

r

ный момент M . Проекциями главного вектора и главного момента на указанную координатную систему являются три силы и три момента, которые называются внутренними силовыми факторами или внутренними усилиями. В центре тяжести поперечного сечения поместим начало системы координат ZXY. Ось Z направляется по внешней нормали к сечению, т.е. по продольной оси стержня, а оси X и Y направляются перпендикулярно продольной оси и лежат в плоскости сечения. Каждый из внутренних силовых факторов имеет свое название и соответствует определенному виду деформации: N z - продольная (осевая) сила, которая определяется как сумма проекций на продольную ось Z всех внешних сил, действующих на одну из частей рассеченного стержня, и вызывает продольную деформацию стержня (растяжение или сжатие). Q x - поперечная (перерезывающая) сила, которая определяется как сумма проекций на ось X всех внешних сил, действующих на одну из частей рассеченного стержня, и вызывает деформацию сдвига или среза в направлении оси X. Q y - поперечная (перерезывающая) сила, которая определяется как сумма проекций на ось Y всех внешних сил, действующих на одну из частей рассеченного стержня, и вызывает деформацию сдвига или среза в направлении оси Y. M z - крутящий момент, определяется как сумма моментов всех внешних сил относительно оси Z, действующих на одну из частей рассеченного стержня, и вызывает деформацию кручения. M x - изгибающий момент, определяется как сумма моментов всех внешних сил относительно оси X, действующих на одну из частей рассеченного стержня, и вызывает деформацию изгиба в плоскости ZOY. M y - изгибающий момент, определяется как сумма моментов всех внешних сил относительно оси Y, действующих на одну из частей рассеченного стержня, и вызывает деформацию изгиба в плоскости ZOX. Для практического вычисления шести внутренних силовых факторов в самом общем случае нагружения требуется составить шесть уравнений равновесия, а именно:

4

n

∑ Fiz + N z

= 0;

i =1 m

= 0;

i =1

∑ M jz + M z = 0 ; j =1

n

∑ Fix + Q x m

∑M j =1

jx

+ Mx = 0

n

∑ Fiy + Q y i =1 m

= 0;

∑ M jy + M y

= 0;

j =1

На рисунке 1 показаны все внутренние силовых факторы, которые могут возникать в поперечном сечении стержня. Направления

N z , Qx , Q y

на рисунке выбраны так, чтобы они совпадали с на-

правлением

соответствующей оси, а направление моментов M z , M x , M y выбрано против хода часовой стрелки, если смотреть

со стороны положительного направления соответствующей оси. Порядок определения внутренних силовых факторов: 1. Определить опорные реакции (если есть такая необходимость). 2. Разбить конструкцию на силовые участки. Под силовым участком понимается часть стержня, в пределах которого тот или иной силовой фактор изменяется по одному закону. Границами силовых участков являются: - начало и конец стержня; - сечения, где продольная ось стержня меняет направление; - сечения стержня, где приложены сосредоточенные силы; - сечения стержня, где приложены сосредоточенные моменты; - сечения стержня, где начинает или заканчивает действовать распределенная нагрузка. 3. На каждом силовом участке провести произвольное сечение и одну из частей мысленно отбросить (удобнее отбрасывать наиболее нагруженную часть конструкции). 4. Влияние отброшенной части на оставшуюся заменить совокупностью внутренних силовых факторов. 5. Определить внутренние силовые факторы, составив соответствующие уравнения статики,. 6. Построить эпюры внутренних силовых факторов. Эпюрами называются графики, показывающие изменение внутренних силовых факторов по длине стержня.

5

Пример 1. На прямолинейный стержень (рис. 1-1) действуют сосредоточенные силы F1=5 кH , F2=4 кH, F3=6 кH и распределенная нагрузка интенсивностью q=3 кH/м, а1=а2=а3=1м. Определить значения внутренних силовых факторов и построить их эпюры.

Рис. 1-1 Стержень имеет три силовых участка: AB, BC, и CD. На каждом участке проводим произвольное сечение и отбрасываем левую часть, т.к. там находятся неизвестные нам опорные реакции, определять которые по условию задачи не требуется (рис. 1-2 а, б, в). К оставшейся правой части прикладываем совокупность шести внутренних силовых факторов. Но, так как стержень нагружен внешними силами, линия действия которых совпадают с продольной осьюстержня, то отличен от нуля будет только один внутренний силовой фактор - продольная сила. Для каждого силового участка составим уравнение статики. Правило знаков для продольной силы Nz: если внешняя нагрузка вызывает деформацию растяжения рассматриваемого участка стержня, то в выражении для определения Nz она дает положительное слагаемое, и наоборот, если вызывает деформацию сжатия, то дает отрицательное слагаемое.

6

Участок CD.

0 ≤ z1 ≤ a 3

∑F

z

=0

N z + F3 = 0 N z = − F3 = −6 кН Участок BC.

0 ≤ z2 ≤ a 2

∑F

z

=0

N z + F3 − F2 − qz 2 = 0 N z = − F3 + F2 + qz 2 При z 2 = 0, N z = −2 кН При z 2 = 1м, N z = 1 кН Участок AB.

0 ≤ z3 ≤ a 1

∑F

z

=0

N z + F3 − F2 − F1 − q1 = 0 N z = − F3 + F2 + F1 + q1 = 6 кН

Знак «минус», полученный для продольной силы на участках BC и CD говорит о том, что действительное направление продольной силы Nz не совпадает с принятым на рисунке 1-2 б, в. На самом деле продольная сила Nz направлена в противоположную сторону и вызывает сжатие данного участка. Знак «плюс», полученный для продольной силы на участках AB и BC, говорит о том, что действительное направление Nz совпадает с направлением, выбранным на рисунке 1-2 а, б и вызывает растяжение данных участков стержня. Наглядное представление о законе изменения продольных сил по длине стержня дает эпюра. Нулевая линия (база) проводится параллельно оси стержня, а ось ординат перпендикулярно базе. По оси ординат в выбранном масштабе откладывают значения продольных сил с учетом знаков (рис. 1-2 г).

7

Рис. 1-2

8

Положительные значения продольных сил Nz откладывают вверх от нулевой линии, отрицательные – вниз. В тех сечениях стержня, где приложены внешние сосредоточенные силы, на эпюре продольных сил получаются «скачки», равные величине этих сил. На тех участках стержня, где действует распределенная нагрузка, эпюра продольных сил ограничивается наклонной прямой, где распределенная нагрузка отсутствует, то эпюра ограничивается прямой параллельной базе.

Пример 2. К стержню приложены сосредоточенные скручивающие моменты: M1=8 кHм, M2=2 кHм, M3=6 кHм 9 (рис. 2-1). Определить значения внутренних силовых факторов и построить их эпюры.

Рис. 2-1 Стержень имеет три силовых участка. На каждом участке проводим произвольное сечение и отбрасываем левую часть, т.к. там находятся неизвестные нам опорные реакции, определять которые по условию задачи не требуется (рис. 2-2). К оставшейся правой части прикладываем совокупность шести внутренних силовых факторов. Но, так как стержень нагружен внешними моментами, плоскость действия которых перпендикулярна продольной оси стержня, то отличен от нуля будет только один внутренний силовой фактор – крутящий момент Mz. Для каждого силового участка составим уравнение статики. Правило знаков для крутящего момента Mz : Если внешняя нагрузка создает крутящий момент относительно оси Z, действующий против часовой стрелки, то в выражении для Mz она дает отрицательное слагаемое, если по часовой стрелке, то дает

9

положительное слагаемое. Смотреть необходимо со стороны отброшенной части стержня. Участок CD.

0 ≤ z1 ≤ с

∑M

=0

z

M z + M1 = 0 M z = − M 1 = −6 (кНм) Участок BC.

0 ≤ z2 ≤ b

∑M

=0

z

M z + M1 − M 2 = 0 M z = − M 1 + M 2 = −4 (кНм) Участок AB.

0≤ z3 ≤ a

∑M

z

=0

M z + M1 − M 2 − M 3 = 0 M z = − M 1 + M 2 + M 3 = 4 (кНм)

Знак « минус », полученный для крутящего момента Mz на участках ВС и СD, говорит о том, что действительное направление крутящего момента не совпадает с принятым на рисунке 2-1 а, б. На самом деле крутящий момент Mz направлен в противоположную сторону. Знак «плюс», полученный для крутящего момента Mz на участке АВ, говорит о том, что действительное направление Mz совпадает с направлением, выбранным на рисунке 2-1 в. Эпюра крутящих моментов (рис.2-1 г) строится аналогично эпюрам продольных сил. В тех сечениях стержня, где приложены внешние сосредоточенные моменты, на эпюре крутящих моментов получаются «скачки», равные величине этих моментов.

10

Рис. 2-2

11

Пример 3. Балками называются прямолинейные стержни, работающие на изгиб. Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q, сосредоточенной силой F=qa и сосредоточенным моментом M=qa2 (рис. 3-1). Определить значения внутренних силовых факторов и построить их эпюры.

Рис. 3-1 Заданная балка имеет шарнирно - неподвижную опору А и шарнирно - подвижную опору В, в которых возникают опорные реакции. Определим значения и направления этих реакций. Для этого зададимся их произвольным направлением и составим уравнения моментов относительно точек А и В.

∑ M A = M − q 2a ⋅ 3a + RB 4a − F ⋅ 5a = 0

R B = +2,5qa

∑ M B = − R A ⋅ 4a + M + q 2a ⋅ a − F ⋅ a = 0

R A = +0,5qa

∑F

z

= HA = 0

HA = 0

После определения опорных реакций делается проверка. Для этого составляется уравнение ΣМ C = 0 . Если тождество выполняется, то опорные реакции определены верно. Если при определении опорных и R получилось положительное значение, то это знареакций R

A

B

чит, что действительное направление реакции будет совпадать с принятым на рисунке 3-1. Если значение опорной реакции получилось отрицательным, то предлагается первоначально выбранное направление реакции зачеркнуть, и направить в противоположную сторону, и в дальнейшем считать положительным. Заданная конструкция имеет три силовых участка АВ, ВС и СD. На каждом участке проводится произвольное сечение и одна из частей отбрасывается. Удобнее отбрасывать ту часть, которая содержит большее количество нагрузок. Влияние отброшенной части заменяется совокупностью шести внутренних силовых факторов, которые можно 12

определить, составив возможные уравнения статики. Из шести возможных, отличными от нуля будут только поперечная сила Q y и изгибающий момент M x . Поэтому на рисунках показаны только эти внутренние силовые факторы. Для практических вычислений внутренних силовых факторов используют правила знаков. Правило знаков для определения поперечной (перерезывающей) силы: Поперечная сила Q y в сечении положительна, если ее векторы стремятся вращать часть рассеченной балки по часовой стрелке. И наоборот, поперечная сила Q y в сечении отрицательна, если ее векторы стремятся вращать часть рассеченной балки против часовой стрелки (рис. 3-2).

Рис. 3-2

13

Правило знаков для изгибающего момента M x : Изгибающий момент M x в сечении положителен, если он вызывает сжатие в верхних волокнах балки, и наоборот, изгибающий момент M x в сечении отрицателен, если он вызывает сжатие в нижних волокнах балки (рис. 3-3). .

Рис. 3-3 Участок AC.

0≤ z1 ≤2a

14

Рис.3-4

∑ Y = Qy − RA = 0 ∑ M x = M x − R A ⋅ z1 = 0

Q y = R A = 0,5qa M x = R A ⋅ z1

при z1 = 0

Mx = 0

при z1 = 2a

M x = qa 2

Из результатов расчета видно, что на участке АС перерезывающее усилие Qy будет постоянным, а изгибающий момент Mx представляется линейной функцией от осевой координаты z. Для определения внутренних усилий по всей длине стержня такие же действия повторяют на каждом силовом участке. Участок CB.

0≤ z2 ≤2a

Рис.3-5

∑Y = Q

y

− RA + qz 2 = 0

Q y = RA − qz 2 при z 2 = 0

Q y = + 0,5qa

при z 2 = 2a

Q y = −1,5qa

На участке СВ функция Q y меняет знак с плюса на минус, принимая в некотором сечении нулевое значение. Значит, функция

M x в этом

сечении имеет экстремум. Поэтому, приравняв функцию Q y к нулю на

15

этом участке, определим координату

z *2 , где данная функция равна

нулю.

R A − qz 2* = 0

z 2* =

RA = 0,5a q

Подставив эту координату в выражение M x для данного участка, определим экстремальное значение момента.

∑M

x

= M x − R A (2a + z 2 ) + M + qz 2

M x = R A (2a + z 2 ) − M − qz 2

z2 =0 2

z2 =0 2 при z 2 = 0

Mx = 0

при z 2 = 2a

M x = − qa 2

при z 2* = 0,5a M x = 0,125qa Результат расчета показывает, что перерезывающее усилие на участке СВ меняется по линейному закону, а изгибающий момент по закону квадратной параболы. Участок BD.

0≤ z3 ≤a Рассекая стержень на третьем участке проще рассматривать правую часть (рис. 3-6).

Рис. 3-6

16

∑Y = Q − F = 0 ∑ M = M + Fz

Q y = F = qa

y

x

x

3

=0

M x = − Fz 3

при z 3 = 0

Mx = 0

при z 3 = a

M x = − qa 2

На третьем участке перерезывающее усилие есть постоянная величина, а изгибающий момент представляется линейной функцией от осевой координаты z. По полученным результатам строятся эпюры внутренних силовых факторов (рис. 3-7). Отметим, что эпюра изгибающего момента строится со стороны сжатых волокон.

Рис. 3-7

17

После построения эпюр необходимо проверить их правильность. Для этого используются дифференциальные зависимости

dQ =q, dz

dM =Q, dz

d2 M =q d z2

- на тех участках балки, где распределенная нагрузка отсутствует, эпюра поперечной силы ограничивается прямой, параллельной нулевой линии, а эпюра изгибающего момента ограничивается наклонной прямой. - на том участке балки, где действует равномерно распределенная нагрузка, эпюра поперечной силы ограничивается наклонной прямой, а эпюра изгибающего момента ограничивается квадратной параболой. - на тех участках балки, где поперечная сила положительна, эпюра изгибающего момента возрастает, соответственно, где поперечная сила отрицательна, эпюра изгибающего момента убывает. - если в некотором сечении поперечная сила меняет знак, то в этом сечении эпюра моментов имеет экстремум. - если в каком либо сечении конструкции приложена внешняя сосредоточенная сила (к ним относятся и опорные реакции), то на эпюре поперечных сил имеет место “скачок” на величину этой силы и в том же направлении, в котором она действует, а на эпюре моментов наблюдается излом, острием навстречу этой силе. - если в некотором сечении конструкции приложен сосредоточенный внешний момент, то на эпюре изгибающего момента будет “скачок” на величину этого момента.

18

Пример 4. Рама – это система жестко скрепленных между собой под углом стержней. Рама нагружена равномерно распределенной нагрузкой q, сосредоточенной силой F=qa и сосредоточенным моментом M=qa2 (рис. 41). Определить внутренние силовые факторы и построить их эпюры.

Рис. 4-1 Расчет начнем со свободного конца рамы, чтобы не определять опорные реакции в жестком защемлении (заделке). Участок CD.

0 ≤ z1 ≤ 2a

Рис. 4-2

19

∑Z = N = 0 ∑Y = Q = 0 ∑m = M − M = 0 z

y

x

M x = M = qa

x

2

Участок BC.

0 ≤ z 2 ≤ 2a

Рис. 4-3

∑Z = N ∑Y = Q

∑m

x

z

+F =0

N z = − F = − qa

y

− qz 2 = 0

Q y = qz 2

= M x − M + qz 2

при z 2 = 0

Qy = 0

при z 2 = 2a

Q y = 2qa

z2 =0 2 при z 2 = 0

1 M x = M − qz 22 2 2 M x = qa

при z 2 = 2а

M x = − qa 2

20

Участок АВ

0 ≤ z 3 ≤ 3a

Рис. 4-4

∑ Z = N + q 2a = 0 ∑Y = Q + P = 0 ∑ m = M − M + q2a ⋅ a − Fz x

z

N z = −2qa

y

Q y = − F = − qa

x

2

3

= 0 M x = M − 2qa + Fz 3

при z 3 = 0

M x = −qa 2

при z 3 = 3a M x = +2qa 2 По полученным данным строятся эпюры внутренних силовых факторов (рис.4-5). Положительные значения продольных сил на эпюре принято откладывать с внешней стороны рамы, если ее можно определить, а отрицательные с внутренней, но обязательно надо указывать знак деформаций. Эпюра продольных сил строится в плоскости ZX или ZY. Эпюра поперечных сил Q y строится в плоскости ZY. Эпюра Мх строится со стороны сжатых волокон в плоскости ZY.

21

Рис. 4-5

22

Пример 5. Пространственная рама, состоящая из прямолинейных стержней соединенных под прямым углом, нагружена сосредоточенными силами F1=4 kH, F2 =6 kH. Определить внутренние силовые факторы и построить их эпюры. Введем систему прямоугольных координат XYZ. При переходе от участка к участку система координат поворачивается на 90 градусов таким образом, чтобы ось Z совпала с продольной осью стержня.

Рис. 5-1 Участок AB.

0≤ z1 ≤1,5 м .

Рис. 5-2

23

∑z = 0 ∑x = 0 ∑y =0 ∑М = 0 ∑ М =0 ∑М = 0

Nz = 0 Q x + F1 = 0

Q x = − F1 = −4 (кН )

Qy = 0

z

Mz = 0

x

Mx = 0

y

M y − F1 ⋅ z1 = 0

M y = F1 ⋅ z1

при z1 = 0

My =0

при z1 = 1,5

M y = 6 (кН )

Участок BC.

0≤ z2 ≤1,5 м

∑z = 0

Рис. 5-3

Nz = 0

∑x= 0

Q x + F1 = 0

Q x = − F1 = −4 (кН )

∑y=0

Q y − F2 = 0

Q y = F2 = 6 (кН )

24

∑М ∑М

∑М

z

=0

M z − F1 ⋅ 1,5 = 0

M z = F1 ⋅ 1,5 = 6 (кН ⋅ м)

x

=0

M x − F2 ⋅ z 2 = 0

M x = F2 ⋅ z 2

y

=0

при z 2 = 0

Mx = 0

при z 2 = 1,5

M x = 9 (кН ⋅ м)

M y − F1 ⋅ z 2 = 0

M y = F1 ⋅ z 2

при z 2 = 0

My =0

при z 2 = 1,5 м

M y = 6 (кН ⋅ м) Участок CD. 0≤ z3 ≤1,2 м

Рис 5-4

25

∑z =0 ∑x= 0

N z − F1 = 0 Qx = 0

N z = F1 = 4 (кН )

∑y=0

Q y − F2 = 0

Q y = F2 = 6 (кН )

∑m

z

=0

M z + F2 ⋅ 1,5 = 0

M z = − F2 ⋅ 1,5 = −9 (кН ⋅ м)

∑m

x

=0

M x − F1 ⋅ 1,5 − F2 ⋅ z 3 = 0 M x = F1 ⋅ 1,5 + F2 ⋅ z 3

∑ my = 0

при z 3 = 0

M x = 6 (kH ⋅ м)

при z 3 = 1,2

M x = 13,2 (кН ⋅ м)

M y − F1 ⋅ 1,5 = 0

M y = F1 ⋅ 1,5 = 6 (кН ⋅ м)

По полученным данным строятся эпюры внутренних силовых факторов. Эпюра Nz строится в плоскости ZX или ZY. Эпюра Qx строится в плоскости ZX. Эпюра Qy строится в плоскости ZY. Эпюра Mz строится в плоскости ZX или ZY. Эпюра Mx строится в плоскости ZY. Эпюра My строится в плоскости ZX.

26

Рис. 5-5

27

ЗАДАНИЕ Определить внутренние силовые факторы и построить их эпюры

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ №

q,

вар. кН/м 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4

F1

F2,

M,

a,

кН

кН

кНм

5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9

3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4

2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4

28

b,

c,

м

м

м

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0,5 1 0,4 1 0,5 0,4 1 0,5 0,4 1 0,5 0,4 1 0,5 0,4 1 0,5 0,4 1 0,5 0,4 1 0,5 0,4 1 0,5 0,4 1 0,5 0,4

1 0,5 0,5 1 0,4 0,5 1 0,4 0,5 1 0,4 0,5 1 0,4 0,5 1 0,4 0,5 1 0,4 0,5 1 0,4 0,5 1 0,4 0,5 1 0,4 0,5

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

А.И. Алексейцев, Е.В. Черепанова, С.Я. Куранаков ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ МЕТОДОМ СЕЧЕНИЙ Методические указания и варианты заданий для студентов машиностроительных специальностей В авторской редакции Подписано в печать 6.09.2005. Формат 60x84 I/I6. Печать - ризография. Усл.п.л. 2,32. Тираж 200 экз. Заказ 2005 Издательство Алтайского государственного технического университета им.И.И. Ползунова, 656038, г.Барнаул, пр-т Ленина,46 Лицензия на издательскую деятельность ЛP № 020822 от 21.09.98 г. Отпечатано в типографии АлтГТУ

44