Основы технической электродинамики

Министерство образования Российской Федерации Тамбовский государственный технический университет

Н.А. Малков, Г.А. Барышев ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ Учебное пособие Одобрено Учебно-методическим объединением по образованию в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники и автоматизации в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению 5511 и специальностям 200800 и 220500

Тамбов • Издательство ТГТУ • 2003 УДК 696:28.342 ББК 32.85к65 М19 Рецензенты: Доктор физико-математических наук, профессор В.А. Федоров Доктор технических наук, профессор В.Ф. Калинин

Малков Н.А., Барышев Г.А. Основы технической электродинамики: Учебное М19 пособие. – Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2003. – 128 с. ISBN 5-8265-0235-5 В пособии приведены разделы, посвященные статическим и стационарным полям, большое внимание уделяется переменным электромагнитным полям (распространение электромагнитных волн вдоль проводника, излучение, электромагнитное поле диполей и экранирование). Рассмотрена теория линий передачи, поверхностных волн и замедляющих структур. Учебное пособие соответствует программе курса «Техническая электродинамика» и предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 200800 и 220500. УДК 696:28.342 ББК 32.85к65

ISBN 5-8265-0235-5

 Тамбовский государственный технический университет (ТГТУ), 2003  Малков Н.А., Барышев Г.А., 2003

Н.А. МАЛКОВ, Г.А. БАРЫШЕВ ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

Учебное издание МАЛКОВ Николай Аркадьевич, БАРЫШЕВ Гертруд Алексеевич

ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ Учебное пособие

Редактор Т.М. Г л и н к и н а Компьютерное макетирование И.В. Евсеевой Подписано к печати 16.05.2003 Гарнитура Тimes New Roman. Формат 60 × 84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем: 7,44 усл. печ. л.; 7,3 уч.-изд. л. Тираж 100 экз. С. 313 Издательско-полиграфический центр ТГТУ 392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14

ВВЕДЕНИЕ Математическую формулировку законов электромагнитного поля дал Максвелл, полностью воспринявший идеи Фарадея. Теория Максвелла объединяла все известные в то время законы электромагнетизма и содержала гениальные предположения о глубокой связи, существующей между электрическими и магнитными явлениями. Именно эти предположения дополнили теорию электромагнитного поля новой идеей о существовании токов смещения и привели к созданию системы уравнений Максвелла, справедливых для любых электромагнитных полей в любых средах. Подобно веществу электромагнитное поле обладает энергией, массой, количеством движения (импульсом) и моментом количества движения, т.е. теми универсальными свойствами материи, которые подчиняются всеобщим законам сохранения и обусловлены несотворимостью и неуничтожимостью материи и ее движения. Электромагнитное поле в макроскопическом масштабе наблюдения характеризуется непрерывностью его распределения в пространстве. С те-чением времени происходит распространение поля в пространстве. Распространяющееся электромагнитное поле называют электромагнитной волной. Поскольку объемная плотность массы электромагнитного поля весьма мала, то в вакууме при отсутствии сильных гравитационных полей скорость распространения электромагнитного поля в свободном пространстве всегда постоянна и равна скорости света, которая близка к 3⋅108 м/с. Классическая (макроскопическая) электродинамика приписывает полю лишь волновые свойства, а элементарным частицам – корпускулярные. Электромагнитное поле есть особый вид материи, отличающийся непрерывным распределением в пространстве (электромагнитные волны, поле заряженных частиц) и обнаруживающий дискретность структуры (фотоны), характеризующийся в свободном состоянии способностью распространения в вакууме (при отсутствии сильных гравитационных полей) со скоростью, близкой к 3⋅108 м/с, оказывающий на заряженные частицы силовое воздействие, зависящее от их скорости. Электрический заряд есть свойство частиц материи (вещества) или тел, характеризующее их взаимосвязь с собственным электромагнитным полем и их взаимодействие с внешним электромагнитным полем; имеет два вида, известные как положительный заряд (заряд протона, позитрона и др.) и отрицательный заряд (заряд электрона и др.); количественно определяется по силовому взаимодействию тел, обладающих электрическими зарядами. Ярче всего торжество теории электромагнитного поля проявилось в изобретении радиосвязи нашим соотечественником А. С. Поповым (1895 г.), которое привело к широкому практическому использованию электромагнитного поля. Глава 1 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 1.1 Законы электромагнитного поля Из физики известны следующие законы электромагнитного поля, найденные экспериментальноопытным путем: НаименоваДифференциальная Интегральная форма ние форма Электростатическое (магнитостатическое) поле Закон Кулона

Fэ =

q1q 1r 4πεr 2 q E ds =

[H]

ρ Теорема ГаdivE = ∫s ε0 ε0 усса dq Закон сохраI = ∫ J пр dS = − divJ пр = 0 dt нения заряда S Электрическое поле постоянного тока в проводниках Первый закон divJ пр = 0 ∫ J пр dS = 0 Кирхгофа S

Второй закон Кирхгофа

∫ E dl = 0

rotE = 0

l

I=

Закон Ома Закон ДжоуляЛенца

U R

J пр = γ пр E P = J пр E

P = IU

Магнитное поле постоянного тока Закон Ампера Закон Био-Савара Закон Ома для магнитной цепи Сила Лоренца Закон полного тока

dFм12 =

µ [I 2 dl2 [I1dl1r12 ] ] = 4π r123

= [I 2 dl2 dB1 ]

H =

I 4π

ϕ=

∫

[dl r ]

l

r3

IW Rм

Jм = γмH

F = Fэ + Fм = qE + q[V B ]

∫ Hdl = ∫ J пр dS L

rotH = J пр

S

Продолжение табл. НаименоваДифференциальная Интегральная форма ние форма Переменное электромагнитное поле Обобщенной ∂D ∂D   rotH = J ст + J пр + Hdl = ∫  J ст + J пр +  dS закон полного ∫ ∂t t ∂  L S тока ЗАКОН ∂B ∂B rotE = − ∫ E dl = −∫ ∂t dS ЭЛЕКТРО∂t L S МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ Переход от интегральной формы к дифференциальной форме записи законов выполняется с помощью теоремы Стокса ∫ E dl = ∫ rotE ds и теоремы Гаусса ∫ E ds = ∫ divE dv . l

s

s

v

Закон Кулона определяет направление и величину силы Fэ электростатического взаимодействия между двумя точечными, неподвижными относительно наблюдателя, электрическими зарядами q1 и q, а закон Ампера – силы dFм12 магнитного взаимодействия, с которой элемент тока I1dl1 действует на элемент тока I 2dl2 (рис. 1.1). Напряженностью E электрического поля называется сила Fэ , с которой электрическое поле действует на точечное тело с единичным положительным зарядом q1, внесенное в рассматриваемую точку поля. Она определяется из закона Кулона E=

Fэ q = 1r . q1 4πεr 2

"1"

"2"

dB2

q

−q

l2

dl

dl2

l1

dFм 21

dFм 21

dB1

Рис. 1.1 Магнитная индукция B численно равна силе Fм , с которой магнитное поле действует на единичный элемент тока Idl = 1 А ⋅ м , расположенный перпендикулярно к направлению этого поля B=

µ [Idl r ] Fм = . Idl 4π S r 3

∫

Для наглядного представления пользуются графическим изображением поля. Силовые линии E и H проводят так, чтобы касательные к ним указывали направление вектора E или H , а их густота была прямо пропорциональна его абсолютному значению. В случае замкнутой поверхности S, окружающей заряд q, согласно теореме Гаусса для вакуума, полный поток вектора E , проходящий через эту поверхность, равен величине заряда q, деленной на диэлектрическую проницаемость ε0. Линии вектора D электрического смещения, связанного с зарядами, начинаются и заканчиваются на этих зарядах. Линии вектора магнитной индукции B всюду непрерывны, так как магнитных зарядов не существует и полный поток вектора B , проходящий через замкнутую поверхность, равен нулю, т.е. ∫ B dS = 0 . S

В случае неоднородной и анизотропной среды теорема Гаусса не применима. В этом случае следует пользоваться постулатом Максвелла ∫ D dS = q , S

имеющим более общий характер. Из закона сохранения заряда следует, что количество электричества, выходящего за некоторый промежуток времени через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V, равно величине уменьшения находящегося в объеме заряда за тот же промежуток времени

∫

I = J пр dS = − S

dq dt

,

где вектор J пр – плотность тока проводимости в какой-либо точке этой поверхности, определяется как вектор, направленный вдоль линии тока, проходящей через эту точку, и равный J пр = lim

∆I пр ∆S

∆S → 0

=

dI dS

.

Токи, создаваемые генераторами, условились называть сторонними электрическими токами Iст или токами возбуждения, а токи, создаваемые полем в проводящей среде – токами проводимости Iпр. Кроме токов проводимости и сторонних токов, существуют токи смещения Iсм. Связь между электрическим током и напряженностью магнитного поля устанавливается законом полного тока. В общем случае на основании обобщенного закона полного тока циркуляция вектора напряженности магнитного поля определяется тремя токами Iст, Iпр и Iсм . Вторая связь определяет электрическое поле, возникающее при изменении во времени магнитного поля. Циркуляция вектора напряженности электрического поля на основании закона электромагнитной индукции по любой замкнутой регулярной кривой равна скорости уменьшения по времени магнитного потока −

∂Ф ∂t

через любую поверхность, опирающуюся на эту кривую. Полный поток может меняться во

времени, а также из-за деформации контура и изменения магнитной проницаемости.

При всяком изменении магнитного потока через проводящий контур в этом контуре возникает электрический ток. Индуцированный ток всегда имеет такое направление, при котором его магнитное поле уменьшает или компенсирует изменение магнитного потока, являющееся причиной возникновения этого тока. 1.2 Интегральные уравнения электромагнитного поля Основными уравнениями макроскопической теории электромагнитного поля являются уравнения, изложенные Дж. Максвеллом в 1873 г. в труде «Трактат об электричестве и магнетизме». Эти уравнения, получившие название уравнений Максвелла, математически связывают векторы поля друг с другом, а также с токами и зарядами. Дж. Максвелл, проанализировав основные опытные законы электрического и магнитного поля, ввел понятие о плотности тока смещения J см =

∂D ∂t

, как производной вектора электрического смещения по

времени, теорему Гаусса распространил на любой диэлектрик с ε , а закон полного тока обобщил на случай переменных электромагнитных полей и показал, что связь между векторами поля, токами и зарядами определяется четырьмя основными уравнениями: I



∫ Hdl = ∫  J см + J пр + l

S

∂D   dS ∂t 

;

(1.1)

∂B

II

∫ E dl = −∫ ∂t dS ;

(1.2)

∫ D dS = q ,

(1.3)

∫ B dS = 0

(1.4)

l

III

S

S

IV

S

и тремя вещественными уравнениями , B = µH , J пр = γ пр E . В основе первого уравнения – обобщенный закон полного тока, второго – закон электромагнитной индукции, третьего – теорема Гаусса, четвертого – аналогичная теореме Гаусса, но только для потока магнитной индукции через замкнутую поверхность, а «вещественных» уравнений – закон Ома в дифференциальной форме. Первое уравнение Максвелла в интегральной форме определяет суммарный эффект циркуляции вектора H от потоков плотностей стороннего тока, тока проводимости, тока смещения через поверхность, ограниченную циркуляцией, второе уравнение – циркуляции вектора E от потока плотности D = εE

магнитного тока

∂B ∂t

, третье и четвертое – потоков векторов D и B через замкнутые поверхности от со-

вокупности зарядов, имеющихся внутри объемов, ограниченных замкнутыми поверхностями. Плотность тока смещения J см =

∂D ∂E ∂P = ε0 + ∂t ∂t ∂t

определяется движущимся электрическим полем

и движением электрических зарядов, связанных в микросистемах

∂P ∂t

∂E ∂t

, где P – вектор поляризованности

веществ, Кл/м2, P = χε0 E , χ – относительная электрическая восприимчивость. Все остальные закономерности электромагнитного поля могут быть определены из этой системы уравнений. В качестве примера покажем, что основные законы электротехники, как закон Ома, первый и второй законы Кирхгофа, являются следствием основных уравнений. Так при изменении векторов поля по гармоническому закону

∂D ∂B = jω D , = jωB ∂t ∂t

для резистивного,

емкостного и магнитного элементов цепи длиной dl с поперечным сечением dS с параметрами γпр, ε, µ и

векторами J , D , B , направленными вдоль элементов dl, из трех вещественных уравнений после умноdS и ряда подстановок получаем известные соотношения dl dS dS 1 1 J пр = γ пр E; I = E ; IR = ν R ; dl dl R dl 1 dS dS ∂D dE = νс , D dS = C =ε E ; DdS = CEdl ; dl = jωCEdl ; I см jωC dl dt dl ∂t 1 dS dS B =µ H ; BdS = Hdl ; Rм Ф = ν м , Rм dl dl

жения на отношение

соответствующие закону Ома, из второго уравнения Максвелла (1.2) E dl = −

dФ ∂B dS = − jωdФ = − jωI = − jωLI I ∂t

; U L = − jωLI –

закон Ома для индуктивного элемента. Первый закон Кирхгофа можно получить из первого уравнения Максвелла (1.1), если взять циркуляцию вектора H по одному и тому же бесконечно малому контуру в узле в двух противоположных направлениях 

∫ Hdε − ∫ Hdl = ∫  J пр + L

L

S

∂D   dS = 0 ; ∂t 

n

∑ Ii = 0 , i =1

где S – бесконечно малая поверхность сферы, образованная двумя полусферами, опирающимися на один и тот же бесконечно малый контур L . Второй закон Кирхгофа является следствием второго уравнения Максвелла (1.2)

∫

E dl = −

L

где

n

∑ Фi

∫ S

n n ∂B dS = − jω B dS = − jω Ф i = − jω L i I , ∂t i =1 i =1 S

∑

∫

∑

– суммарный поток, пронизывающий контур, созданный как токами контура, так и токами со-

i =1

седних контуров; Li – собственная и взаимная индуктивности. Циркуляцию вектора E по оси замкнутой цепи можно представить в виде суммы напряжений на отдельных участках контура с сосредоточенными интегральными параметрами R, С и напряжений источников. 1.3 Дифференциальные уравнения электромагнитного поля Переход от интегральных уравнений к дифференциальным, представляющим связь между векторами поля в данной точке, осуществляется путем уменьшения контура циркуляции векторов H и E в первом и во втором уравнениях Максвелла (1.1), (1.2) и объема внутри замкнутой поверхности в третьем и четвертом уравнениях Максвелла (1.3), (1.4) до бесконечно малых величин [12]. При этом принимается во внимание, что предел, к которому стремится отношение циркуляции вектора к величине поверхности ∆S, охватываемой малым замкнутым контуром ∆l, равен составляющей ротора этого вектора, ориентированной по направлению единичной нормали 1n к поверхности S , т.е. I

rot n H = lim

∫ H dl L

∆S → 0

∆S



1n = lim

∫  J ст

п

+ J пр п +

S

∂Dn   dS ∂t 

∆S

∆S → 0

; (1.5)

rot H = J ст + J пр

II

rot n E = lim

∆S →0

∫ E dl L

∆S

∂B

1n = lim

∆S →0

∫ ∂t dS S

∆S

;

rot E = −

∂B ∂t

∂D + ∂t

;

,

(1.6)

а предел отношения потока вектора через малую замкнутую поверхность ∆S к объему ∆V, находящемуся внутри замкнутой поверхности ∆S, равен дивергенции вектора, т.е. III

div D = lim

∆V → 0

∫ D dS

∆S

∆V

= lim

∆V → 0

∫ ρdV

∆V

∆V

, div D = ρ ;

(1.7)

IV

divB = lim

∫ B dS

∆S

∆V →0

∆V

=0,

divB = ρ ,

(1.8)

где 1n – единичная нормаль к поверхности ∆S; rot n H , rot n E – составляющие ротора, ориентированные по направлению единичной нормали 1n к поверхности ∆S ; J

∂Dn ∂Bn ∂B , Jn , – составляющие векторов и ∂t ∂t ∂t

∂D , ориентированные по 1n . ∂t

,

«Дивергенция» по-латыни значит расхождение или расходимость. Те точки поля вектора D , в которых div D ≠ 0 , принято называть истоками этого поля, численно величина div D называется силой или обильностью истоков поля. Первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме (1.5) устанавливает связь между магнитным полем и его изменением в пространстве с плотностью тока в этой точке, при этом все виды токов независимо от причин их возникновения являются равноценными в смысле возбуждения ими магнитных полей. Второе уравнение Максвелла (1.6) определяет связь между электрическим полем и его изменением в пространстве с изменением магнитного поля во времени. При этом изменяющееся во времени магнитное поле создает вихревое электрическое поле, т.е. наряду с электрическим полем зарядов может существовать вихревое электрическое поле. Третье и четвертое уравнения Максвелла (1.7), (1.8) выражают принцип непрерывности в дифференциальной форме тока и магнитного потока. Отличие от нуля дивергенции электрического смещения отражает то обстоятельство, что линии электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядах, по сравнению с линиями магнитного поля, не имеющих ни начала, ни конца. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме определяют связь векторов E , H , J , D , B между собой. Для определения дифференциального уравнения, которому самостоятельно удовлетворяет каждый из векторов поля, применим операцию ротор к первому и второму уравнениям и в них вместо rot E ∂B ∂E , а вместо rot H − J ст + γ пр E + ε : ∂t ∂t ∂ ∂H ∂2H − εµ 2 ; rot rot H = rot J ст + rot γ ст E + ε rot E = rot J ст − γ ст µ ∂t ∂t ∂t

подставим −

(1.9) 2

∂J ∂ ∂E ∂ E rot H = −µγ пр − εµ 2 − µ ст . ∂t ∂t ∂t ∂t Векторное тождество rot rot H = grad div H − ∇ 2 H , где ∇2 – оператор Лапласа позволяет уравнения (1.9)

rot rot E = −µ

привести к обобщенным неоднородным векторным волновым уравнениям: ∇ 2 H − γ ст µ

∂H ∂2H − εµ 2 = −rotJ ст ; ∂t ∂t

(1.10) ∂J ∂E ∂2E ρ ∇ 2 E − γ пр µ − εµ 2 − grad = µ ст . ∂t ε ∂t ∂t

При изменении векторов поля во времени по гармоническому закону, в комплексной форме как e , первая и вторая производные (1.10) равны jωt

∂ j ωt e = jωe jωt ; ∂t j ωt

а сумма

γ прµ

∂e jωt ∂e 2 + εµ ∂t ∂t 2 

где γ = ω µε′ = ω µ ε − j 

∂ 2 j ωt e = − ω 2 e j ωt , ∂t 2

= ( jωγ прµ − εµω2 )e jωt = − γ 2 e jωt ,

γ пр  γ пр – комплексная диэлек – коэффициент распространения поля; ε′ = ε − j ω  ω

трическая проницаемость. Волновые уравнения (1.10) для комплексных амплитуд векторов поля переходят в уравнения Гельмгольца ∇ 2 H& + γ 2 H& = − rot J&ст ;  ∇ 2 E& + γ 2 E& = jωµ J&ст .

(1.11)

В случае, когда используются процессы распространения электромагнитных волн в сторонние токи J ст , возбуждающие поле, находятся за пределами анализируемой части пространства, неоднородные уравнения Гельмгольца переходят в однородные уравнения вида ∇ 2 H& + γ 2 H& = 0 ;  ∇ 2 E& + γ 2 E& = 0 ,

(1.12)

ОБЩИМИ РЕШЕНИЯМИ КОТОРЫХ ДЛЯ ПЛОСКИХ ВОЛН В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ЯВЛЯЮТСЯ ФУНКЦИИ ВИДА e

j (ωt ± (γ x x + γ y y + γ z z ))

= e j (ωt ± γ r ) ,

для цилиндрических волн в цилиндрической системе координат AI n ( jγr ) + BK n ( jγr ) и для сферических волн в сферической системе координат e j ( ωt m γ r ) rn

,

I n ( jγr ), K n ( jγr ) – модифицированные функции Бесселя I и II где n-порядка аргумента jγr. В комплексной форме полная система дифференциальных уравнений приводится к виду

I

rot H& = jωε′E& ;

II

rot E& = − jωµH& ; D& = εE& ;

III

divD& = 0 ;

B& = µH& ;

IV

div B& = 0 ;

J&пр = γ пр E& .

рода

(1.13)

В дальнейшем в (1.13) не будем ставить точки над векторами. 1.4 Векторные и скалярные потенциалы Векторные и скалярные потенциалы вводят для упрощения решения векторных неоднородных волновых уравнений (1.10). Вместо решения двух уравнений для векторов E и H определяется одно для векторного потенциала A (или A ′ ), связанного следующими простыми соотношениями с векторами поля: B = rotA ; E = rot A ′ ; E =−

∂A ∂A ′ − gradν ; H = ε + γ пр A ′ − gradν м , ∂t ∂t

(1.14)

где A – векторный электрический потенциал; A ′ – векторный магнитный потенциал; ν, νм – скалярные потенциалы электрического и магнитного поля. Векторные и скалярные потенциалы удовлетворяют неоднородным волновым уравнениям ∇ 2 A − µγ пр ∇ 2U − µγ пр

∂A ∂2 A ∂A ′ ∂ 2 A′ − µε = −µJ см ; ∇ 2 A ′ − µγ пр − µε 2 = 0 ; ∂t ∂t ∂t ∂t

∂ν ∂ν ∂ 2ν ρ ∂ 2ν − µε 2 = − , ∇ 2 ν м − µγ пр м − µε 2м = 0 . ∂t ∂t ε ∂t ∂t

Между векторными и скалярными потенциалами существует связь в виде соотношений:

(1.15)

div A = −µγ пр ν − µε

∂ν ∂t

; div A& = − jγ

ν& ∂ν ; div A ′ = µ м ω ∂t

; div A& ′ = jωµν& м , (1.16)

а напряженности E и H через векторные потенциалы определяются как 1   E& = − jω A& + 2 grad div A&  ; γ  

1   H& = − jωε′ A& ′ + 2 grad div A& ′  . (1.17) γ  

В качество доказательства правильности выражений (1.14) – (1.17), например для E& и H& , подставим значения E и H в I уравнение Максвелла (1.5) rot

∂A ′ ∂2 A ∂ 1 − γ пр grad U − ε 2 − ε grad U + J ст , rot A = − γ пр µ ∂t ∂ t ∂t

затем воспользуемся тождеством rot rot A = grad div A − ∇ 2 A

и сгруппируем слагаемые так ∇ 2 A − µγ пр

∂A ∂2 A ∂ − µε 2 = γ пр gradν + ε grad ν − grad div A − µJ ст , ∂t ∂ t ∂t

ЧТО С УЧЕТОМ (1.15) И (1.16) ПОЛУЧАЕМ РАВЕНСТВО НУЛЮ КАК ЛЕВОЙ, ТАК И ПРАВОЙ ЧАСТЕЙ. ∂ Для стационарных полей   = 0 неоднородные волновые уравнения (1.15) переходят в уравнения  ∂t 

Пуассона ∇ 2 A = −µ J ст ;

∇ 2ν =

ρ ε

(1.18)

и уравнения Лапласа ∇A ′ = 0 ;

∇ 2ν м = 0 .

(1.19)

1.5 Граничные условия для векторов поля Уравнения Максвелла в дифференциальной форме, содержащие производные от составляющих векторов поля E , D , H , B , J по координатам, теряют смысл в точках разрыва на границах раздела сред с различными параметрами ε, µ, γпр. Для определения граничных условий предполагают, что граница E1r раздела двух сред обладает некоторой малой толщиной, в пределах которой происходит непрерывный переход от параметров первой dS1 E1 µ1ε1γ np1 E1n среды к параметрам второй среды. Такое же непрерывное изменение a b происходит и с векторами поля. Далее, устремляя толщину границы ∆V dl1 раздела к нулю, осуществляют предельный переход и получают граc d ничные условия, определяющие поведение векторов поля на границе раздела. ∆ d dS 2 Рассмотрим границу раздела двух сред (рис. 1.2) при отсутствии на ней сторонних зарядов. E2 r Допустим, что толщина границы раздела равна ∆d . За основу E2 n E2 вывода примем уравнения Максвелла в интегральной форме. Циркуляцию векторов E и H определим по бесконечно малому контуру abcd, а потоки векторов D , B , J через замкнутую поверхность бесконечно малого объема ∆V высотой ∆d найдем, устремив толщину границы к нулю, т.е. µ 2 ε 2 γ np 2

I



∫ Hdl = H1r dl1 − H 2r dl2 = ( H1r − H 2r )dl =  J пр +

abcd

∂D  dS abcd = 0 , ∂t 

так как dS abcd → 0 при ∆d → 0 ; II

dФ

∫ E dl = E1r dl1 − E2r dl2 = ( E1r − E2r )dl = − dt

= 0 , так как dФ → 0

при ∆d → 0 ;

abcd

III

∫ D dS = D1ndS1 − D2ndS2 = ( D1n − D2n )dS = q

или

S

D1n − D2 n =

IV

q = σ пов ; dS

∫ B dS = B1n dS1 − B2n dS2 = (B1n − B2n )dS

или B1n − B2n = 0.

S

Кроме того, определим разность двух циркуляций вектора H по контурам элементов поверхность dS1 и dS2. 

∫ Hdl − ∫ Hdl = (H1τ − H 2τ )L = ∫  Jпр +

dS1

dS 2

dS1

∂D  ∂D    dS = dS −  J пр +  ∂t  ∂t  dS 2 

∫

∂D ∂D =  J1n + 1n − J 2n − 2n  dS = 0 ∂t  ∂t 

или J 1n +

∂D1n ∂D2 n = J 2n + ∂t ∂t

.

В результате на границе раздела двух сред непрерывны тангенциальные составляющие векторов E,H : H1τ = H 2 τ , E1τ = E2 τ

и нормальные составляющие векторов B , J пр +

dD dt

( 1.20 )

, D:

B1n = B2 n , J1n +

∂D1n ∂D = J 2n + 2n ∂t ∂t

, D1n = D2n

(1.21)

при равенстве нулю поверхностной плотности заряда σ пов , так как в общем случае D1n − D2n = σпов . Соответственно разрыв на границе претерпевают нормальные составляющие H и E и тангенциальные составляющие B , J пр +

dD , D. dt

1.6 Закон сохранения энергии электромагнитного поля Выделим в электромагнитном поле некоторый объем V , ограниченный поверхностью S , и составим уравнение баланса энергии в нем. Для этого второе уравнение Максвелла (1.6) умножим скалярно на вектор H , а первое уравнение Максвелла (1.5) – на вектор E и вычтем из первого произведения второе: rot E = −

∂B ∂t

H

(–) rot H = J ст

∂D + γ пр E + ∂t

E ∂B ∂D − J ст E − γ пр E E + E . ∂t ∂t div [E H ] = H rot E − E rot H = div П находим

HrotE − E rotH = − H

С учетом векторного тождества

div П + E J ст + γ пр E 2 + µH

∂H ∂E + εE = 0. ∂t ∂t

(1.22)

Это уравнение называют теоремой Пойтинга в дифференциальной форме для мгновенных значений векторов поля. Проинтегрируем выражение по объему V и, используя теорему Остроградского-Гаусса, на основании которой

∫ div ПdV = ∫ ПdS ,

V

S

получаем теорему Пойтинга в интегральной форме для мгновенных значений векторов поля

∫ ПdS + ∫ E J ст dV + ∫ γ пр E S

V

V

2

∂H ∂E   + εE dV +  µH dV = 0 , ∂t ∂t  V

∫

(1.23)

где интегралы ∫ ПdS – поток вектора плотности мощности электромагнитного поля П через замкнутую S

В А В⋅А = , ПdS → [ВА] ;  м м   м 2 

поверхность S, охватывающую объем V, П = [E H ] → 

∫ E J ст dV

– мощность источника сторонних токов в объеме V;

V

∫ γ пр E

2

dV – мощность тепловых электрических потерь в V;

V



∫  µH

V

=

∫

V

∂  µH 2 εE 2  + 2 ∂t  2

∂H ∂E  + εE  dV = ∂t ∂t 

 ∂ ∂  dV = (Wм + Wэ )dV = (Wм + Wэ ) ∂t ∂t  V

∫

–

мощность электромагнитного поля, сосредоточенная в объеме V. Сумма мощностей источников сторонних токов, тепловых потерь, магнитного и электрического полей, сосредоточенных в объеме, и мощности электромагнитного поля, проходящего через поверхность S объема V, равна нулю, что позволяет рассматривать выражение (1.23) в качестве уравнения баланса мгновенных мощностей в пространстве объема V, ограниченном поверхностью. Для определения баланса комплексных, активных и реактивных мощностей в пространстве второе уравнение Максвелла (1.13) для комплексных амплитуд векторов поля умножим скалярно на сопряженное значение комплексной амплитуды вектора H& * (у которой обратный знак мнимой части H& ), а первое уравнение Максвелла для сопряженных комплексных амплитуд – на вектор E& и вычтем из первого произведения второе, т.е. rotE& = − jωµH&

H& *

(–) ∗ rot H& = J&ст + γ пр E& * − jωεE& * *

E&

H& *rot E& − E& rot H& * = − jωµH& H& * − &j * E& − γ пр E& * E& + jωµE& * E&

С E& E& * = E&

учетом 2

= Em

2

векторного

тождества

[ ]

div E& H& * = H& *rot E& − E& rot H& * ,

. а

также

значений

2

, H& H& * = H& = H m2 получаем

[ ]

div E& H& * + J ст E& + γ пр Em2 + jω(µH m2 − εEm2 ) = 0 ,

(1.24)

а после интегрирования по объему V , деления всего выражения на 2 и использования теоремы Остроградского-Гаусса –

∫

[E& H& ] dS + *

2

S

Величины γ пр , ω, µ, ε, Em2 , H m2

∫

V

* & γ пр Em2 dV  µH m2 εEm2  J&ст E  dV + ∫ jω − dV + ∫ 2 2 2   2 V V

.

(1.25)

Выражения (1.24) называют теоремой Пойнтинга в дифференциальной и (1.25) в интегральной формах для комплексных амплитуд векторов поля. являются действительными, поэтому третий интеграл в (1.25), пред-

ставляющий собой усредненную за период колебаний мощность тепловых потерь, всегда величина действительная, а четвертый интеграл – представляющий мощность, затраченную на создание магнитного и электрического полей в объеме V – всегда величина мнимая. Разделяя действительные и мнимые части в (1.25), напишем отдельно баланс активных и реактивных мощностей в пространстве:

∫ Re S

[ ]

E2 1 & &* 1 * & E H dS + ∫ Re J&ст E dV + ∫ γ пр m dV = 0 ; 2 2 2 V V

∫ Im 2 [E& H& 1

S

*

]dS + ∫ Im 12 J&

* & ст E dV

V

 µH m2 εEm2   dV = 0 . + ∫ ω  − 2 2  V 

(1.26) (1.27)

Рассмотрим баланс мощностей в частных случаях. 1 В объеме V отсутствуют источники сторонних электрических токов:

∫ Re S

[ ]

E2 1 & &* E H dS = − ∫ γ пр m dV 2 2 V

;

∫ Im S

[ ]

 µH m2 εEm2  1 & &*  dV . − E H dS = − ∫ ω 2 2 2  V 

(1.28) В этом случае, как видно из баланса мощностей (1.28), тепловые потери компенсируются за счет притока действительной части потока электромагнитной энергии в объем V , а реактивная мощность, затрачиваемая на создание магнитного поля и электрического поля токов смещения в объеме V – за счет притока мнимой части потока. 2 В объеме V отсутствуют источники сторонних электрических токов и тепловые потери (γпр = 0), как, например, в объемном резонаторе:

∫ Im S

[ ]

 µH m2 εEm2 1 & &* − E H dS = − ∫ ω  2 2 2 V 

  dV 

.

(1.29)

Реактивная мощность, затрачиваемая на создание электромагнитного поля в объемном резонаторе, компенсируется за счет притока мнимой части потока электромагнитного поля, которая может иметь как индуктивный при µH m2 > εEm2 , так и емкостной характер при µH m2 < εEm2 . При резонансе, когда энергия магнитного поля равна энергии электрического поля токов смещения, мнимая часть потока стремится к нулю. 3 При распространении плоских волн в воздухе, т.е. в среде без потерь, удельные энергии 2 2 µH m = εEm , H m µ = Em ε , баланс активных и реактивных мощностей тождественно равен нулю, т.е. 0 = 0. Поэтому распространение плоских волн в прозрачных средах ( γ пр → 0 ) происходит без затраты энергии. 4 При распространении плоских волн в проводниках ε