Выпуклые функции: Методические указания к специальному курсу лекций для студентов и слушателей ФПК факультета математики, механики и компьютерных наук

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ "ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ" Êàôåäðà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà

Ä.À. Àáàíèíà, Ò.È. Êîðøèêîâà ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÊÀÇÀÍÈß ê ñïåöèàëüíîìó êóðñó ëåêöèé äëÿ ñòóäåíòîâ è ñëóøàòåëåé ÔÏÊ ôàêóëüòåòà ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê ÂÛÏÓÊËÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

Ðîñòîâ-íà-Äîíó 2008

Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ðàçðàáîòàíû äîöåíòîì êàôåäðû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Ò.È. Êîðøèêîâîé è ñòàðøèì ïðåïîäàâàòåëåì, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Ä.À. Àáàíèíîé. Îòâåòñòâåííûé ðåäàêòîð Êîìïüþòåðíûé íàáîð è âåðñòêà

êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Ë.È. Êàëèíè÷åíêî Ä.À. Àáàíèíà

Ïå÷àòàåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì êàôåäðû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ôàêóëüòåòà ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê ÞÔÓ, ïðîòîêîë  îò

Ââåäåíèå

Âûïóêëûé àíàëèç  äîñòàòî÷íî âàæíûé è ñàìîñòîÿòåëüíûé ðàçäåë ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííûé îäíîâðåìåííî è ñ êëàññè÷åñêèì àíàëèçîì, è ñ ãåîìåòðèåé. Åãî ìåòîäû øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â òåîðèè ôóíêöèé è êîìïëåêñíîì àíàëèçå, òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, âàðèàöèîííîì èñ÷èñëåíèè è òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. Áîëüøóþ ðîëü âûïóêëîñòü èãðàåò òàêæå ïðè ðåøåíèè ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ â ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêå. Íàñòîÿùèå ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïîñâÿùåíû ââåäåíèþ â âûïóêëûé àíàëèç. Îíè âêëþ÷àþò â ñåáÿ ïîíÿòèÿ è îñíîâíûå ñâîéñòâà âûïóêëûõ ìíîæåñòâ è âûïóêëûõ ôóíêöèé â RN . Íàèáîëåå ïîäðîáíî èçó÷àþòñÿ âûïóêëûå ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîé ïåðåìåííîé. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ñîñòîÿò èç ïÿòè ïàðàãðàôîâ ñ òåîðåòè÷åñêèì ìàòåðèàëîì è ïðèìåðàìè ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ è òåîðåòè÷åñêèõ çàäà÷.  êîíöå ïðèâåäåíû çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ, ñðåäè êîòîðûõ "*"îòìå÷åíû çàäà÷è ïîâûøåííîé ñëîæíîñòè. 1. Âûïóêëûå ìíîæåñòâà Îïðåäåëåíèå 1.1. Ìíîæåñòâî Q ⊂ RN ∀x, y ∈ Q , ∀λ ∈ [0, 1]

íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè

λx + (1 − λ)y ∈ Q .

Ïóñòîå ìíîæåñòâî ñ÷èòàåòñÿ âûïóêëûì ïî îïðåäåëåíèþ. Óñëîâèå âûïóêëîñòè ìîæíî çàïèñàòü åùå â âèäå λ1 x1 + λ2 x2 ∈ Q , ∀x1 , x2 ∈ Q , ∀λ1 , λ2 ≥ 0 , λ1 + λ2 = 1 .

Ãåîìåòðè÷åñêè âûïóêëîñòü ìíîæåñòâà Q îçíà÷àåò, ÷òî âìåñòå ñ ëþáûìè äâóìÿ ñâîèìè òî÷êàìè Q ñîäåðæèò ïðÿìîëèíåéíûé îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ýòè òî÷êè. Ïîíÿòíî, ÷òî âûïóêëûå ìíîæåñòâà â R  ýòî âñå ïðîìåæóòêè, è òîëüêî îíè.

Ìíîæåñòâî Q ⊂ RN âûïóêëî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî n ∈ N ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå Òåîðåìà 1.2.

λ 1 x 1 + . . . + λn x n ∈ Q , ∀x1 , . . . , xn ∈ Q , ∀λ1 , . . . , λn ≥ 0 , λ1 + . . . + λn = 1 .

Äîêàçàòåëüñòâî.

î÷åâèäíà (ïîëîæèòå n = 2). áóäåì äîêàçûâàòü èíäóêöèåé ïî n. Ïóñòü Q âûïóêëî â RN . Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè n = 1, 2 ðàññìàòðèâàåìîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíî âåðíî ïðè íåêîòîðîì n ∈ N, è ïîêàæåì, ÷òî òîãäà îíî âåðíî Äîñòàòî÷íîñòü

Íåîáõîäèìîñòü

3

è äëÿ n + 1. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûå òî÷êè x1, . . . , xn, xn+1 ∈ Q è ÷èñëà n+1 P λ1 , . . . , λn , λn+1 ≥ 0 òàêèå, ÷òî λk = 1 . Îáîçíà÷èì x := λ1 x1 + . . . + λn+1 xn+1 k=1 è λ := λ1 + . . . + λn. Åñëè λ = 0, òî λ1 = . . . = λn = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, λn+1 = 1 è x = xn+1 ∈ Q. Åñëè λ > 0, òî

λn  x1 + . . . + xn + λn+1 xn+1 . x=λ λ λ n λ P Òàê êàê λk = 1, òî ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè λλ1 x1 + . . . + λλn xn ∈ Q. k=1 Äàëåå, ïîñêîëüêó λ + λn+1 = 1 è Q âûïóêëî, ïîëó÷àåì, ÷òî x ∈ Q. λ

1

Ãåîìåòðè÷åñêè ðàññìàòðèâàåìîå óòâåðæäåíèå ïðè n = 3, íàïðèìåð, îçíà÷àåò, ÷òî âìåñòå ñ ëþáûìè òðåìÿ ñâîèìè òî÷êàìè ìíîæåñòâî Q ñîäåðæèò è ñîîòâåòñòâóþùèé òðåóãîëüíèê.  çàêëþ÷åíèå ïàðàãðàôà ïðèâåäåì ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà âûïóêëûõ ìíîæåñòâ. 10 . Ïóñòü {Qα }α∈A  ïðîèçâîëüíîå ñåìåéñòâî âûïóêëûõ ìíîæåñòâ â RN . T Òîãäà èõ ïåðåñå÷åíèå Q := òàêæå âûïóêëî. α∈A Äîêàçàòåëüñòâî òðèâèàëüíî. 20 . Ïóñòü {Qn }∞ n=1  ðàñøèðÿþùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âûïóêëûõ ìíî∞ æåñòâ â RN (Q1 ⊂ Q2 ⊂ . . .). Òîãäà èõ îáúåäèíåíèå Q := S Qn òàêæå âûïóêëî. n=1 Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî. Ïîêàæèòå òàêæå, ÷òî äàííîå óòâåðæäåíèå, âîîáùå ãîâîðÿ, ïåðåñòàåò áûòü âåðíûì, åñëè íåò óïîðÿäî÷åííîñòè ïî âëîæåíèþ. 30 . Âíóòðåííîñòü int Q è çàìûêàíèå Q ïðîèçâîëüíîãî âûïóêëîãî ìíîæåñòâà âûïóêëû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Q âûïóêëî â RN . Äëÿ òîãî ÷òîáû äîêàçàòü âûïóêëîñòü ìíîæåñòâà int Q, âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå òî÷êè x, y ∈ int Q, ÷èñëî λ ∈ [0, 1] è ïîêàæåì, ÷òî òî÷êà z := λx + (1 − λ)y ïðèíàäëåæèò int Q. Òàê êàê x, y ∈ int Q, òî íàéäåòñÿ ε > 0 òàêîå, ÷òî x + B0(ε) ⊂ Q è y0 + B0(ε) ⊂ Q. Çäåñü B0(ε) := {t ∈ RN : ktk < ε}  îòêðûòûé øàð ñ öåíòðîì â 0 ðàäèóñà ε. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå t ∈ B0(ε). Òîãäà x + t ∈ Q è y + t ∈ Q. Ïîñêîëüêó z + t = λx + (1 − λ)y + λt + (1 − λ)t = λ(x + t) + (1 − λ)(y + t),

à Q âûïóêëî, òî z + t ∈ Q. Òàêèì îáðàçîì, z + B0(ε) ⊂ Q, òî åñòü z ∈ int Q. Âûïóêëîñòü ìíîæåñòâà Q äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî. 4

2. Îïðåäåëåíèå è ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà âûïóêëûõ ôóíêöèé

Ïóñòü Q  âûïóêëîå ìíîæåñòâî â f : Q → R íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé, åñëè Îïðåäåëåíèå 2.1.

∀x, y ∈ Q , ∀λ ∈ [0, 1]

RN

. Ôóíêöèÿ


f λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) .

Ýòî óñëîâèå ìîæíî çàïèñàòü òàêæå â âèäå f (λ1 x1 + λ2 x2 ) ≤ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) , ∀x1 , x2 ∈ Q , ∀λ1 , λ2 ≥ 0 , λ1 + λ2 = 1 .

Ïðèìåð 2.2.

Äîêàçàòü ïî îïðåäåëåíèþ, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = x2 âûïóêëà

íà R. Ðåøåíèå. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ x, y ∈ R è λ ∈ [0, 1] èìååì


f λx + (1 − λ)y − λf (x) − (1 − λ)f (y) =
2 = λx + (1 − λ)y − λx2 − (1 − λ)y 2 = = λ2 x2 + 2λ(1 − λ)xy + (1 − λ)2 y 2 − λx2 − (1 − λ)y 2 = = −λ(1 − λ)(x2 − 2xy + y 2 ) = −λ(1 − λ)(x − y)2 ≤ 0 ,

òî åñòü ôóíêöèÿ x2 âûïóêëà íà R. Ãåîìåòðè÷åñêè âûïóêëîñòü ôóíêöèè f íà èíòåðâàëå (α, β) â R îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ x1, x2 ∈ (α, β), x1 < x2, ó÷àñòîê ãðàôèêà ôóíêöèè {(x, f (x)) : x ∈ [x1 , x2 ]} ëåæèò íå âûøå õîðäû, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè (x1 , f (x1 )) è (x2 , f (x2 )). y6 y = f (x) f (x2 )

  

 

λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) f (x1 )
f λx1 + (1 − λ)x2

 

 



0

x1

λx1 + (1 − λ)x2

x2

x

Ðèñ. 1

Èíà÷å ãîâîðÿ, ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç â ñìûñëå êëàññè÷åñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, åñëè ïîíÿòèå âûïóêëîñòè âíèç ââîäèòü ÷åðåç ñåêóùèå.  Ÿ 4 5

áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî åñëè f äèôôåðåíöèðóåìà íà (α, β), òî âûïóêëîñòü â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 2.1 ñîâïàäàåò òàêæå ñ ïîíÿòèåì âûïóêëîñòè âíèç, ââîäèìûì ÷åðåç êàñàòåëüíûå. Îòìåòèì åùå, ÷òî ïîíÿòèå âûïóêëîé ôóíêöèè ìîæíî áûëî îïðåäåëèòü ÷åðåç íàäãðàôèê. Èìåííî, ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå Q ⊂ RN òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå íàäãðàôèê Epi f := {(x, y) ∈ RN +1 : x ∈ Q, y ≥ f (x)} ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì â RN +1.  ñëó÷àå N = 1 ýòî ëåãêî óâèäåòü íà ïðåäûäóùåì ðèñóíêå. Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü êðèòåðèé âûïóêëîñòè Èåíñåíà.

Ïóñòü Q  âûïóêëîå ìíîæåñòâî â RN . Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ f : Q → R áûëà âûïóêëà íà Q, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî n ∈ N, ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê x1, . . . , xn ∈ Q è ÷èñåë λ1, . . . , λn ≥ 0 òàêèõ, ÷òî λ1 + . . . + λn = 1, âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî Èåíñåíà Òåîðåìà 2.3.

f (λ1 x1 + . . . + λn xn ) ≤ λ1 f (x1 ) + . . . + λn f (xn ) .

Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1.2.

Åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå Q ⊂ RN , òî äëÿ ëþáîãî íàáîðà òî÷åê x1, . . . , xn ∈ Q (n ∈ N) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Ñëåäñòâèå.

f

 ÷àñòíîñòè,

x + . . . + x  1
1 n ≤ f (x1 ) + . . . + f (xn ) . n n  x + x  f (x ) + f (x ) 1 2 1 2 f ≤ . 2 2

Îòìåòèì, ÷òî ïåðâîíà÷àëüíî ïîñëåäíåå óñëîâèå âûñòóïàëî â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ âûïóêëîé ôóíêöèè, êîòîðîå áûëî ââåäåíî Èåíñåíîì. Âçàèìîñâÿçü ìåæäó âûïóêëîñòüþ â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 2.1 è âûïóêëîñòüþ ïî Èåíñåíó èçó÷àåòñÿ ⠟ 5. Åñëè âûïèñàòü íåðàâåíñòâî Èåíñåíà äëÿ êîíêðåòíûõ âûïóêëûõ ôóíêöèé, ìîæíî ïîëó÷èòü ìíîãèå èçâåñòíûå íåðàâåíñòâà àíàëèçà (â ÷àñòíîñòè, íåðàâåíñòâà üëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî). Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî íà ïðèìåðå íåðàâåíñòâà ìåæäó ñðåäíèìè àðèôìåòè÷åñêèìè è ñðåäíèìè ãåîìåòðè÷åñêèìè. Ïðèìåð 2.4. Ïîêàçàòü,

òî

÷òî åñëè aj > 0, λj > 0, j = 1, . . . , n, è n Y

λ aj j

n X

≤

j=1

λ j aj . j=1

6

n P

j=1

,

λj = 1

Ðåøåíèå. Äëÿ âûïóêëîé ôóíêöèè ex (ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî âûïóêëîñòè ex

ïðîâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðèâåäåííîãî ⠟ 4 êðèòåðèÿ âûïóêëîñòè äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè) íåðàâåíñòâî Èåíñåíà èìååò âèä n X

n X

λj x j ≤

exp j=1

λj exp xj . j=1

Ïîëîæèâ çäåñü xj := ln aj , ïîëó÷èì íóæíîå. Íàêîíåö, ñôîðìóëèðóåì åùå èíòåãðàëüíîå íåðàâåíñòâî Èåíñåíà.

Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) âûïóêëà íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå Q â RN , λ(t)  íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà èçìåðèìîì ìíîæåR m ñòâå D â R , ñî çíà÷åíèÿìè â Q òàêàÿ, ÷òî λ(t)dt = 1. Òîãäà äëÿ ëþáîé D íåïðåðûâíîé ôóíêöèè x(t) : D → Q ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Òåîðåìà 2.5.

Z

f

 Z
λ(t)x(t)dt ≤ λ(t)f x(t) dt.

D

D

Ïóñòü Q  âûïóêëîå ìíîæåñòâî â f : Q → R íàçûâàåòñÿ âîãíóòîé íà Q, åñëè Îïðåäåëåíèå 2.6.

∀x, y ∈ Q , ∀λ ∈ [0, 1]

RN

. Ôóíêöèÿ


f λx + (1 − λ)y ≥ λf (x) + (1 − λ)f (y) .

Ïðèâåäåì ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà âûïóêëûõ è âîãíóòûõ ôóíêöèé.

Ïóñòü Q  âûïóêëîå ìíîæåñòâî â RN . Ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà Q òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà −f âîãíóòà íà Q. 10 .

Äîêàçàòåëüñòâî òðèâèàëüíî.

Ôóíêöèÿ f îäíîâðåìåííî âûïóêëà è âîãíóòà íà ïðîìåæóòêå I ⊂ R òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f  àôôèííàÿ ôóíêöèÿ, òî åñòü f (x) = ax + b. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè f (x) = ax + b, òî äëÿ âñåõ x, y ∈ I è 20 .

Äîñòàòî÷íîñòü.

λ ∈ [0, 1]



f λx + (1 − λ)y = a λx + (1 − λ)y + b = = λ(ax + b) + (1 − λ)(ay + b) = λf (x) + (1 − λ)f (y) .

Ïóñòü f âûïóêëà è âîãíóòà íà I . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé îòðåçîê [α, β] ⊂ I . Çàôèêñèðóåì x ∈ [α, β]. Òîãäà x = λα + (1 − λ)β , ãäå λ = αx −− ββ . Íåîáõîäèìîñòü.

7

Òàê êàê f âûïóêëà è âîãíóòà íà I , òî ãäå


f (x) = f λα + (1 − λ)β = λf (α) + (1 − λ)f (β) =

x−β f (α) − f (β) + f (β) = ax + b , = λ f (α) − f (β) + f (β) = α−β


f (α) − f (β) β , b = f (β) − f (α) − f (β) . α−β α−β Òàêèì îáðàçîì, íà [α, β] f ñîâïàäàåò ñ àôôèííîé ôóíêöèåé. Âçÿâ èçâîëüíîå èñ÷åðïàíèå ïðîìåæóòêà I îòðåçêàìè [αn, βn], n ∈ N: ∞ [ I= [αn , βn ] , [αn , βn ] ⊂ [αn+1 , βn+1 ] , n ∈ N , a=

òåïåðü ïðî-

n=1

ïîëó÷èì, ÷òî f ñîâïàäàåò ñ àôôèííîé ôóíêöèåé íà âñåì ïðîìåæóòêå I .

Ïóñòü Q  âûïóêëîå ìíîæåñòâî â RN , ôóíêöèè f è ϕ âûïóêëû íà Q. Òîãäà ôóíêöèè f + ϕ è λf , ãäå λ > 0, âûïóêëû íà Q, à ôóíêöèÿ λf , ãäå λ < 0, âîãíóòà íà Q. 30 .

Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëàãàåì ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî. Çàìå÷àíèå. Ïðî ðàçíîñòü äâóõ âûïóêëûõ ôóíêöèé íè÷åãî îïðåäåëåííîãî ñêàçàòü íåëüçÿ. Íàïðèìåð, ôóíêöèè f (x) = x2, ϕ(x) = 2x2 âûïóêëû íà R, ϕ(x) − f (x) = x2 âûïóêëà íà R, à f (x) − ϕ(x) = −x2 âîãíóòà íà R.

Ïóñòü ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò (ñîîòâåòñòâåííî, óáûâàåò) íà (α, β) è îòîáðàæàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íî (α, β) íà (α1, β1). Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f âûïóêëà íà (α, β), òî îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ f −1 âîãíóòà (ñîîòâåòñòâåííî, âûïóêëà) íà (α1, β1). 40 .

Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.

Ïóñòü ϕ : (α, β) → (α1, β1), f : (α1, β1) → R, ϕ âûïóêëà íà (α, β), f âûïóêëà è íå óáûâàåò íà (α1, β1). Äîêàçàòü, ÷òî f ◦ ϕ âûïóêëà íà (α, β). 50 .

Ðåêîìåíäóåì äîêàçàòü ýòîò ðåçóëüòàò ñàìîñòîÿòåëüíî.

Ïóñòü A  íåïóñòîå ìíîæåñòâî èíäåêñîâ, ôóíêöèè fα, α ∈ A, âûïóêëû íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå Q â RN . Òîãäà ìíîæåñòâî Q0 := {x ∈ Q : sup fα (x) < +∞} âûïóêëî è âåðõíÿÿ îãèáàþùàÿ f (x) := sup fα (x) âûïóêëà íà α∈A α∈A Q0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x, y ∈ Q0, λ ∈ [0, 1]. Òîãäà sup fα(x) < +∞ è sup fα(y) < 60 .

+∞.

Òàê êàê ôóíêöèè fα âûïóêëû íà Q, òî

α∈A


fα λx + (1 − λ)y ≤ λfα (x) + (1 − λ)fα (y) . 8

α∈A

Ïåðåõîäÿ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ê ñóïðåìóìó ïî α ∈ A è èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ñóïðåìóìîâ, ïîëó÷àåì, ÷òî

sup fα λx + (1 − λ)y ≤ sup λfα (x) + (1 − λ)fα (y) ≤ α∈A

α∈A

≤ sup λfα (x) + sup(1 − λ)fα (y) = λ sup fα (x) + (1 − λ) sup fα (y) < +∞ . α∈A

α∈A

α∈A

α∈A




Çíà÷èò, λx + (1 − λ)y ∈ Q0 è f λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y). Òàêèì îáðàçîì, f âûïóêëà íà Q0. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî, ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâà âåðõíèõ ïðåäåëîâ, ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùåå ñâîéñòâî.

Ïóñòü ôóíêöèè fk , k ∈ N, âûïóêëû íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå Q â RN è ïðè âñåõ x ∈ Q. Òîãäà ôóíêöèÿ f (x) := k→+∞ lim fk (x) âûïóêëà íà k→+∞ Q. Ñëåäñòâèå. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fk (x)}∞ k=1 âûïóêëûõ íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå Q â RN ôóíêöèé ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî íà Q ê ôóíêöèè f , òî f âûïóêëà íà Q. 70 . lim fk (x) ∈ R

Çàìåòèì, ÷òî ñâîéñòâà 60 è 70 ïåðåñòàþò áûòü âåðíûìè, åñëè ñóïðåìóì çàìåíèòü èíôèìóìîì, à âåðõíèé ïðåäåë  íèæíèì (çàäà÷è 5 è 6). Ïîñëå èçó÷åíèÿ äàííîãî ïàðàãðàôà ðåêîìåíäóåòñÿ ðåøèòü çàäà÷è 1-6. 3. Äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà âûïóêëîé ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîé ïåðåìåííîé

Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ f áûëà âûïóêëà íà ïðîìåæóòêå I ⊂ R, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîé òî÷êè a ∈ I íàêëîí f (x) − f (a) P (Ma Mx ) := áûë íåóáûâàþùåé ôóíêöèåé ïî x íà I\{a}. x−a Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà I . ÇàôèêñèðóÒåîðåìà 3.1.

Íåîáõîäèìîñòü.

åì a ∈ I è x1, x2 ∈ I\{a}, x1 < x2. Âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ. 1) a < x1 < x2. Òîãäà x1 = λa + (1 − λ)x2, ãäå λ = xx2 −−xa1 . Èç âûïóêëîñòè 2 ôóíêöèè f ñëåäóåò, ÷òî f (x1 ) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (x2 ) ⇔
f (x1 ) − f (a) ≤ (1 − λ) f (x2 ) − f (a) ⇔
f (x1 ) − f (a) 1−λ ≤ f (x2 ) − f (a) . x1 − a x1 − a 9

a . Çíà÷èò, Íî 1 − λ = 1 − xx2 −−xa1 = xx1 − −a 2

2

f (x1 ) − f (a) f (x2 ) − f (a) ≤ . x1 − a x2 − a −a . Àíàëîãè÷íî 2) x1 < x2 < a.  ýòîì ñëó÷àå x2 = λx1 +(1−λ)a, ãäå λ = xx2 − a 1 ïðåäûäóùåìó èìååì f (x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (a) ⇔
f (x2 ) − f (a) ≤ λ f (x1 ) − f (a) ⇔
f (x1 ) − f (a) f (x2 ) − f (a) λ ≥ f (x1 ) − f (a) = . x2 − a x2 − a x1 − a

3) x1 < a < x2. Çäåñü a = λx1 + (1 − λ)x2. Ïðè ýòîì λ=

a − x2 x1 − a , 1−λ= . x1 − x2 x1 − x2

Èñïîëüçóÿ âûïóêëîñòü ôóíêöèè f , ïîëó÷àåì

f (a) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) ⇔

λ f (x1 ) − f (a) ≥ (1 − λ) f (a) − f (x2 ) ⇔
f (x2 ) − f (a) f (x1 ) − f (a) 1 − λ 1 ≤ f (a) − f (x2 ) = . x1 − a λ x1 − a x2 − a

Òàêèì îáðàçîì, âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ P (MaMx ) ≤ P (MaMx ). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå x1, x2 ∈ I , x1 < x2, è λ ∈ [0, 1]. Ïîëîæèì a = λx1 + (1 − λ)x2. Òîãäà 1

2

Äîñòàòî÷íîñòü.

λ=

Òàê êàê ïî óñëîâèþ òî Îòñþäà

a − x1 x2 − a , 1−λ= . x2 − x1 x2 − x1

f (x1 ) − f (a) f (x2 ) − f (a) ≤ , x1 − a x2 − a



f (a) − f (x1 ) (x2 − a) ≤ f (x2 ) − f (a) (a − x1 ) . (x2 − x1 )f (a) ≤ (x2 − a)f (x1 ) + (a − x1 )f (x2 ) .

Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà x2 − x1, ïîëó÷èì

f (a) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) , 10

òî åñòü


f λx1 + (1 − λ)x2 ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) .

Çíà÷èò, f âûïóêëà íà I . Çàìå÷àíèå. Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû âûòåêàåò, ÷òî äëÿ âûïóêëîñòè ôóíêöèè f íà ïðîèçâîëüíîì ïðîìåæóòêå íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû f (x1 ) − f (a) f (x2 ) − f (a) ≤ , ∀x1 < a < x2 . x1 − a x2 − a

Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ òåîðåìû î íàêëîíå è çàìå÷àíèÿ ê íåé çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå I â R, x1 , a, x2  ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ýòîãî ïðîìåæóòêà òàêèå, ÷òî x1 < a < x2 . Ïóñòü, äàëåå, M1(x1, f (x1)), M (a, f (a)) è M2(x2, f (x2))  ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè Γf . Åñëè ϕ1, ϕ, ϕ2  óãëû íàêëîíà õîðä M1M , M1M2 è M M2 ê ïîëîæèòåëüíîìó íàïðàâëåíèþ îñè Ox, òî äëÿ âûïóêëîñòè f íà I íåîáõîäèìî, ÷òîáû ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2, è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ϕ1 ≤ ϕ2. y6 y = f (x) M2

M1

ϕ ϕ1

ϕ2 M -

0

x1

a

x2

x

Ðèñ. 2

Îòìåòèì, ÷òî äîêàçàííàÿ òåîðåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îñíîâîïîëàãàþùåå ñâîéñòâî âûïóêëûõ ôóíêöèé. Ïðèâåäåì ïðèìåð åãî èñïîëüçîâàíèÿ.

Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà è îãðàíè÷åíà ñâåðõó íà [α, +∞), òî f íå âîçðàñòàåò íà [α, +∞). Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò x1, x2 ∈ [α, +∞) òàêèå, ÷òî x1 < x2 è Çàäà÷à 3.2.

11

f (x1 ) < f (x2 ).

îòêóäà

Òàê êàê íàêëîí â òî÷êå x2 ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé ôóíêöèåé, òî f (x1 ) − f (x2 ) f (x) − f (x2 ) ≤ , ∀x ∈ (x2 , +∞) , x1 − x2 x − x2 f (x2 ) − f (x1 ) + f (x2 ) . x2 − x1 ñòðåìèòñÿ ê +∞ ïðè x → +∞,

f (x) ≥ (x − x2 )

Ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî íåðàâåíñòâà òàê êàê f (x2 ) − f (x1 ) > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, f (x) → +∞ ïðè x → +∞, à ýòî ïðîòèx2 − x1 âîðå÷èò òîìó, ÷òî f îãðàíè÷åíà ñâåðõó íà [α, +∞). Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Ïåðåéäåì òåïåðü ê äèôôåðåíöèàëüíûì ñâîéñòâàì âûïóêëûõ íà èíòåðâàëå ôóíêöèé. Òåîðåìà 3.3. Ïóñòü

ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà èíòåðâàëå (α, β). Òîãäà 1) f èìååò êîíå÷íûå ëåâóþ è ïðàâóþ ïðîèçâîäíûå â êàæäîé òî÷êå a ∈ (α, β), ïðè÷åì f−0 (a) ≤ f+0 (a) ; 2) äëÿ ëþáûõ a, b ∈ (α, β), a < b, âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà

f (b) − f (a) ≤ f−0 (b) . b−a 1) Çàôèêñèðóåì a ∈ (α, β) è âûáåðåì δ > 0 òàê, ÷òîáû f (x) − f (a) a ± δ ∈ (α, β). Ïî òåîðåìå 3.1 ôóíêöèÿ ϕ(x) := íå óáûâàåò íà x−a [a − δ, a + δ]\{a}. Òîãäà â ñèëó òåîðåìû îá îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëàõ ìîíîòîííîé ôóíêöèè ñóùåñòâóþò lim ϕ(x), ïðè÷åì f+0 (a) ≤

Äîêàçàòåëüñòâî.

x→a±0

ϕ(a − δ) ≤ lim ϕ(x) ≤ lim ϕ(x) ≤ ϕ(a + δ) . x→a−0

x→a+0

Ñëåäîâàòåëüíî, f±0 (a) ñóùåñòâóþò, êîíå÷íû è f−0 (a) ≤ f+0 (a). 2) Ïóñòü a, b ∈ (α, β), a < b. Ó÷èòûâàÿ íåóáûâàíèå íàêëîíîâ â òî÷êàõ a è b, äëÿ âñåõ x ∈ (a, b) èìååì äâà íåðàâåíñòâà f (x) − f (a) f (b) − f (a) ≤ , x−a b−a f (a) − f (b) f (x) − f (b) ≤ . a−b x−b Ïåðåõîäÿ â ïåðâîì èç íèõ ê ïðåäåëó ïðè x → a + 0, à âî âòîðîì ïðè x → b − 0,

ïîëó÷èì, ÷òî

f+0 (a) ≤

f (b) − f (a) ≤ f−0 (b) . b−a 12

Ñëåäñòâèå 1. Åñëè

ôóíêöèÿ âûïóêëà íà èíòåðâàëå, òî îíà íåïðåðûâíà íà

íåì. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f âûïóêëà íà (α, β). Çàôèêñèðóåì a ∈ (α, β) è δ0 > 0 òàêîå, ÷òî a ± δ0 ∈ (α, β). Ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå

f (x) − f (a) = f+0 (a) ∈ R . x→a+0 x−a

∃ lim

Ñëåäîâàòåëüíî, íàéäåòñÿ δ ∈ (0, δ0) òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ (a, a + δ) f (x) − f (a) ≤ |f+0 (a)| + 1 =: A . x−a

Ïîýòîìó |f (x) − f (a)| ≤ A|x − a| äëÿ ëþáîãî x ∈ (a, a + δ). Çíà÷èò, f (x) ñòðåìèòñÿ ê f (a) ïðè x → a + 0, ÷òî îçíà÷àåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f â òî÷êå a ñïðàâà. Àíàëîãè÷íî, èç ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íîé ëåâîé ïðîèçâîäíîé âûòåêàåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f â òî÷êå a ñëåâà. Çàìå÷àíèå. Åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà ïîëóñåãìåíòå èëè ñåãìåíòå, òî íà êîíöàõ îíà ìîæåò èìåòü ðàçðûâû. Ïðèìåðîì ñëóæèò ôóíêöèÿ ( 0 , åñëè x ∈ (0, 1) , f (x) = 1 , åñëè x = 0 èëè x = 1 . Ñëåäñòâèå 2.

Åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà (α, β), òî f+0 è f−0 íå óáûâàþò

íà (α, β). Äîêàçàòåëüñòâî. Îáúåäèíÿÿ ïåðâóþ è âòîðóþ ÷àñòè òåîðåìû 3.3, ïîëó÷àåì ïðè âñåõ a < b

f−0 (a) ≤ f+0 (a) ≤

f (b) − f (a) ≤ f−0 (b) ≤ f+0 (b) , b−a

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî f−0 (a) ≤ f−0 (b) è f+0 (a) ≤ f+0 (b).

Ïóñòü ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà (α, β), [α1, β1] ⊂ (α, β). Òîãäà íàéäåòñÿ M > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x1, x2 ∈ [α1, β1] Ñëåäñòâèå 3.

|f (x2 ) − f (x1 )| ≤ M |x2 − x1 | ,

òî åñòü ôóíêöèÿ f óäîâëåòâîðÿåò íà [α1, β1] óñëîâèþ Ëèïøèöà. 13

Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.

Åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà (α, β), òî îíà äèôôåðåíöèðóåìà íà (α, β), êðîìå, âîçìîæíî, íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà.  òî÷êàõ äèôôåðåíöèðóåìîñòè f+0 è f−0 íåïðåðûâíû è ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè f−0 íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 ∈ (α, β), òî f+0 Òåîðåìà 3.4.

íåïðåðûâíà â òî÷êå x0, è íàîáîðîò. Ïóñòü ε > 0 òàêîâî, ÷òî x0 ± 2ε ∈ (α, β). Ïî òåîðåìå 3.2

f−0 (x0 −ε) ≤ f+0 (x0 −ε) ≤ f−0 (x0 ) ≤ f+0 (x0 ) ≤ f−0 (x0 +ε) ≤ f+0 (x0 +ε) ≤ f−0 (x0 +2ε) .

Òàê êàê f−0 íåïðåðûâíà â òî÷êå x0, òî f−0 (x0 −ε) → f−0 (x0) è f−0 (x0 +2ε) → f−0 (x0) ïðè ε → +0. Òîãäà ïî òåîðåìå î òðåõ ôóíêöèÿõ ∃ lim f+0 (x0 − ε) = lim f+0 (x0 + ε) = f+0 (x0 ) = f−0 (x0 ) . ε→+0

ε→+0

Òàêèì îáðàçîì, f+0 íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 è f+0 (x0) = f−0 (x0). Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè f+0 íåïðåðûâíà â òî÷êå x0, òî f−0 íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 è f+0 (x0) = f−0 (x0). Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè f±0 ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà. Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà f−0 (è f+0 ) íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî. Ýòî ñëåäóåò èç íåóáûâàíèÿ f−0 , ïîñêîëüêó, êàê èçâåñòíî, ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ëþáîé ìîíîòîííîé íà ïðîìåæóòêå ôóíêöèè íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî. Ñëåäñòâèå. Åñëè f

âûïóêëà íà (α, β) è äèôôåðåíöèðóåìà íà (α, β) \ E , ãäå E  íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî, òî f 0 íå óáûâàåò íà (α, β) \ E .

 çàêëþ÷åíèå íà îñíîâàíèè óñòàíîâëåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ñâîéñòâ âûïóêëûõ ôóíêöèé äîêàæåì åùå óòâåðæäåíèå î ìîíîòîííîñòè âûïóêëîé íà èíòåðâàëå ôóíêöèè. Äëÿ ýòîãî íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò, êîòîðûé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåíèå òåîðåìû Ëàãðàíæà î êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèÿõ. Ëåììà 3.5. (ñì. [1; Ãë. I, Ÿ2, ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 1]) Ïóñòü f : [a, b] → R,

íåïðåðûâíà íà [a, b] è èìååò êîíå÷íóþ ïðàâóþ ïðîèçâîäíóþ f+0 íà ìíîæåñòâå (a, b) \ E , ãäå E íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî. Ïóñòü, äàëåå, m := inf{f+0 (x) : x ∈ (a, b) \ E}, M := sup{f+0 (x) : x ∈ (a, b) \ E}. Åñëè f íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé, òî f

m
0) íà I \ E , òî f íå óáûâàåò (âîçðàñòàåò) íà I . Ñîîòâåòñòâåííî, åñëè f+0 (x) ≤ 0 (f+0 (x) < 0) ïðè âñåõ x ∈ I \ E , òî f íå âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà I . Åñëè æå f+0 (x) = 0 äëÿ ëþáîãî x ∈ I \ E , òî f ≡ const íà I . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f+0 (x) ≥ 0 ïðè âñåõ x ∈ I \E . Òîãäà äëÿ ëþáûõ a, b ∈ I ,

a < b,

èìååì

f (b) − f (a) ≥ inf{f+0 (x) : x ∈ (a, b) \ E} ≥ inf{f+0 (x) : x ∈ I \ E} ≥ 0 , b−a

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî f (b) ≥ f (a). Òàêèì îáðàçîì, f íå óáûâàåò íà I . Ïóñòü òåïåðü f+0 (x) > 0 äëÿ ëþáîãî x ∈ I \ E . Ôèêñèðóåì a, b ∈ I , a < b. Åñëè f ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ ôóíêöèþ íà [a, b], òî èç ïîëîæèòåëüíîñòè ïðîèçâîäíîé âûòåêàåò, ÷òî ýòà ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà [a, b]. Ñëåäîâàòåëüíî, f (b) > f (a). Åñëè f îòëè÷íà îò ëèíåéíîé ôóíêöèè íà [a, b], òî f (b) − f (a) > inf{f+0 (x) : x ∈ (a, b) \ E} ≥ 0 . b−a

Ïîýòîìó f (b) > f (a) è â ýòîì ñëó÷àå.  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè a, b ∈ I , çàêëþ÷àåì, ÷òî f âîçðàñòàåò íà I . Ñëó÷àè f+0 (x) ≤ 0 è f+0 (x) < 0, x ∈ I \ E , ðàññìàòðèâàþòñÿ àíàëîãè÷íî. Åñëè f+0 (x) = 0 íà I \ E , òî â ëåììå 3.5 m = M = 0. Ýòî àâòîìàòè÷åñêè âëå÷åò, ÷òî f  ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ è, áîëåå òîãî, òîæäåñòâåííàÿ êîíñòàíòà.

Åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà èíòåðâàëå (α, β) è îòëè÷íà îò òîæäåñòâåííîé ïîñòîÿííîé, òî âîçìîæíû ëèøü òðè ñëó÷àÿ: 1) f âîçðàñòàåò íà (α, β) ; 2) f óáûâàåò íà (α, β) ; 3) ∃γ1, γ2 : α ≤ γ1 ≤ γ2 ≤ β òàêèå, ÷òî f (x) ≡ const íà (γ1 , γ2 ) (ïðè γ1 < γ2 ), f óáûâàåò íà (α, γ1 ) (ïðè α < γ1 ), f âîçðàñòàåò íà (γ2 , β) (ïðè γ2 < β ). Òåîðåìà 3.7.

15

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê f âûïóêëà íà (α, β), òî âñþäó íà (α, β) f èìååò êî-

íå÷íóþ ïðàâóþ ïðîèçâîäíóþ f+0 , ïðè÷åì f+0 íå óáûâàåò íà (α, β). Ïîñêîëüêó f 6≡ const, òî f+0 6≡ 0 íà (α, β). Åñëè f+0 (x) > 0 ïðè âñåõ x ∈ (α, β), òî ïî ïðåäûäóùåìó ïðåäëîæåíèþ f âîçðàñòàåò íà (α, β). Àíàëîãè÷íî, åñëè f+0 (x) < 0 íà (α, β), òî f óáûâàåò íà (α, β).  îáùåì ñëó÷àå, êîãäà f+0 íå ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ïîëîæèòåëüíîé èëè ñòðîãî îòðèöàòåëüíîé íà âñåì èíòåðâàëå (α, β), ââåäåì â ðàññìîòðåíèå òðè ìíîæåñòâà: B1 := {x ∈ (α, β) : f+0 (x) < 0} , B2 := {x ∈ (α, β) : f+0 (x) = 0} , B3 := {x ∈ (α, β) : f+0 (x) > 0} .

Ïîíÿòíî, ÷òî õîòÿ áû äâà èç íèõ íåïóñòû. Ïîëîæèì ( ( sup x , åñëè B1 6= ∅ , sup x , åñëè B2 6= ∅ , x∈B x∈B γ1 := γ2 := α , åñëè B1 = ∅ , γ1 , åñëè B2 = ∅ . Òîãäà α ≤ γ1 ≤ γ2 ≤ β , ïðè÷åì õîòÿ áû äâà èç íåðàâåíñòâ ñòðîãèå. Åñëè γ1 < γ2, òî f+0 (x) = 0 íà (γ1, γ2). Çíà÷èò, f ≡ const íà (γ1, γ2). Åñëè α < γ1, òî f+0 (x) < 0 äëÿ âñåõ x ∈ (α, γ1), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî f óáûâàåò íà (α, γ1). Àíàëîãè÷íî, åñëè γ2 < β , òî f+0 (x) > 0 ïðè x ∈ (γ2 , β), è f âîçðàñòàåò íà (γ2 , β). Ïîñòðîéòå ïðèìåðû ê êàæäîìó èç ñëó÷àåâ 1)-3). 1

2

Ñëåäñòâèå. Åñëè f

âûïóêëà íà (α, β), òî ñóùåñòâóþò (êîíå÷íûå èëè áåñêîíå÷íûå) îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû f (α + 0) è f (β − 0). Ïîñëå èçó÷åíèÿ íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà ïîëåçíî ðåøèòü çàäà÷è 7-12.

4. Êðèòåðèè âûïóêëîñòè ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîé ïåðåìåííîé

 äàííîì ïàðàãðàôå ïðèâîäÿòñÿ òðè ðàçëè÷íûõ êðèòåðèÿ âûïóêëîñòè ôóíêöèè íà èíòåðâàëå. Çàìåòèì, ÷òî ïðèñîåäèíåíèå êîíöîâ ê èòåðâàëó âûïóêëîñòè ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî íà îñíîâàíèè óòâåðæäåíèÿ, ñôîðìóëèðîâàííîãî â çàäà÷å 9.

Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ f áûëà âûïóêëà íà èíòåðâàëå (α, β), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü òðè óñëîâèÿ: 1) f íåïðåðûâíà íà (α, β); 2) f äèôôåðåíöèðóåìà íà (α, β) \ E , ãäå E  íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî; 3) f 0 íå óáûâàåò íà (α, β) \ E . Òåîðåìà 4.1.

16

Äîêàçàòåëüñòâî.

Íåîáõîäèìîñòü

óæå äîêàçàíà (ñëåäñòâèå 1 èç òåîðåìû 3.3,

òåîðåìà 3.4 è åå ñëåäñòâèå). Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1)-3). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f íå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé íà (α, β). Òîãäà â ñèëó çàìå÷àíèÿ ê òåîðåìå î íàêëîíå, íàéäóòñÿ a, b, c ∈ (α, β), a < c < b, òàêèå, ÷òî Äîñòàòî÷íîñòü.

Ïðèìåíÿÿ ëåììó 3.5 ê

f (a) − f (c) f (b) − f (c) > . a−c b−c ôóíêöèè f íà èíòåðâàëàõ (a, c)

è (c, b), èìååì

f (a) − f (c) , a−c f (b) − f (c) . inf{f 0 (x) : x ∈ (c, b) \ E} ≤ b−c

sup{f 0 (x) : x ∈ (a, c) \ E} ≥

Îáúåäèíèâ òðè ïîñëåäíèå íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì, ÷òî

sup{f 0 (x) : x ∈ (a, c) \ E} > inf{f 0 (x) : x ∈ (c, b) \ E} ,

÷òî, ïîíÿòíî, ïðîòèâîðå÷èò íåóáûâàíèþ f 0 íà (α, β) \ E . Ñëåäñòâèå 1 (êðèòåðèé âûïóêëîñòè äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè). Äëÿ òî-

ãî ÷òîáû äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà èíòåðâàëå (α, β) ôóíêöèÿ f áûëÿ âûïóêëà íà íåì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû f 0 íå óáûâàëà íà (α, β).

Èç ñëåäñòâèÿ 1 è êðèòåðèÿ ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè íà ïðîìåæóòêå âûòåêàåò Ñëåäñòâèå 2 (êðèòåðèé âûïóêëîñòè äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè).

Äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà èíòåðâàëå (α, β) ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà íåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f 00 (x) ≥ 0 , ∀x ∈ (α, β) .

Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = xp âûïóêëà íà [0, +∞), åñëè p > 1, è âîãíóòà, åñëè 0 < p < 1. Ðåøåíèå. Ïðè âñåõ x > 0 èìååì, ÷òî f 00(x) = p(p − 1)xp−2. Åñëè p > 1, òî Ïðèìåð 4.2.

íà (0, +∞). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â òî÷êå x = 0 ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà, çàêëþ÷àåì, ÷òî f âûïóêëà íà [0, +∞). Ñëó÷àé 0 < p < 1 ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Òåîðåìà 4.3 (êðèòåðèé âûïóêëîñòè ÷åðåç ëèíåéíûå ìèíîðàíòû). Ôóíêöèÿ f 00 (x) > 0

âûïóêëà íà èíòåðâàëå (α, β) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ êàæäîé òî÷êè x0 ∈ (α, β) ñóùåñòâóåò àôôèííàÿ ôóíêöèÿ g(x) = ax + b òàêàÿ, ÷òî g(x0 ) = f (x0 ) è g(x) ≤ f (x), ∀x ∈ (α, β). f

17

Äîêàçàòåëüñòâî.

Çàôèêñèðóåì x0 ∈ (α, β). Òàê êàê f âûïóêëà íà (α, β), òî ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå f±0 (x0), ïðè÷åì f−0 (x0) ≤ f+0 (x0). Âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå k ∈ [f−0 (x0), f+0 (x0)] è ïîëîæèì g(x) := k(x − x0) + f (x0). Çàìåòèì ñðàçó, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0, k = f 0(x0) è y = g(x)  óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê ãðàôèêó Γf := {(x, f (x)) : x ∈ (α, β)} â òî÷êå (x0 , f (x0 )). Ïîêàæåì, ÷òî g(x) ≤ f (x) ïðè âñåõ x ∈ (α, β). Åñëè x ∈ (x0, β), òî â ñèëó âòîðîé ÷àñòè òåîðåìû 3.3 Íåîáõîäèìîñòü.

f (x) − f (x0 ) , x − x0 îòêóäà f (x) ≥ k(x − x0) + f (x0) = k(x − x0) + g(x0) = g(x). Åñëè x ∈ (α, x0), òî f (x0 ) − f (x) , k ≥ f−0 (x0 ) ≥ x0 − x èç ÷åãî îïÿòü æå ñëåäóåò, ÷òî f (x) ≥ g(x). Äîñòàòî÷íîñòü. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûå x1 , x2 ∈ (α, β) è λ ∈ [0, 1] . Ïîëîæèì x0 := λx1 + (1 − λ)x2. Ïî óñëîâèþ ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ g(x) = ax + b òàêàÿ, ÷òî g(x0) = f (x0) è g(x) ≤ f (x) ïðè âñåõ x ∈ (α, β). Òîãäà
f (x0 ) = g(x0 ) = ax0 + b = a λx1 + (1 − λ)x2 + b = = λ(ax1 + b) + (1 − λ)(ax2 + b) = λg(x1 ) + (1 − λ)g(x2 ) ≤ ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) . k ≤ f+0 (x0 ) ≤

Çíà÷èò, f âûïóêëà íà (α, β). Ñëåäñòâèå. Ïóñòü f

äèôôåðåíöèðóåìà íà (α, β). Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ

ýêâèâàëåíòíû: (i) f âûïóêëà íà (α, β) ; (ii) êàñàòåëüíàÿ, ïðîâåäåííàÿ ê ãðàôèêó Γf â åãî ïðîèçâîëüíîé òî÷êå, ëåæèò íå âûøå ñàìîãî ãðàôèêà. Äîêàçàòåëüñòâî. (i) ⇒ (ii) : Åñëè f âûïóêëà è äèôôåðåíöèðóåìà íà (α, β),

x0 ∈ (α, β), òî ôóíêöèÿ g(x) èç äîêàçàòåëüñòâà íåîáõîäèìîé ÷àñòè ïðåäûäóùåé òåîðåìû ñîâïàäàåò ñ f 0(x0)(x − x0) + f (x0). Êàê áûëî ïîêàçàíî, g(x) ≤ f (x) ïðè âñåõ x ∈ (α, β). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Γf ëåæèò íå íèæå êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê íåìó â òî÷êå (x0, f (x0)).  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè x0 ïîëó÷àåì íóæíîå. (ii) ⇒ (i) : Ïóñòü âñå êàñàòåëüíûå ëåæàò íå âûøå Γf . Ïîëàãàÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè x0 ∈ (α, β) g(x) = f 0(x0)(x − x0) + f (x0), ïîëó÷èì, ÷òî g(x0) = f (x0) è g(x) ≤ f (x), ∀x ∈ (α, β). Ïî òåîðåìå 4.3 f âûïóêëà íà (α, β). 18

Ïðèâåäåì íàêîíåö åùå îäèí êðèòåðèé âûïóêëîñòè ôóíêöèè íà èíòåðâàëå.

Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ f áûëà âûïóêëà íà èíòåðâàëå (α, β), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî µ ∈ R è ïðîèçâîëüíûõ a, b ∈ (α, β), a < b, ôóíêöèÿ gµ (x) := f (x) + µx äîñòèãàëà ñâîåé âåðõíåé íà [a, b] ãðàíè õîòÿ áû â îäíîé èç òî÷åê a è b. Äîêàçàòåëüñòâî. Ôèêñèðóåì µ ∈ R. Ôóíêöèÿ gµ âûïóêëà íà Òåîðåìà 4.4.

Íåîáõîäèìîñòü.

(α, β) êàê ñóììà âûïóêëîé ôóíêöèè f è ëèíåéíîé (à çíà÷èò, âûïóêëîé) ôóíêöèè µx. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå a, b ∈ (α, β), a < b. Åñëè gµ(x) ≡ const, òî gµ(a) = gµ(b) = sup{gµ(x) : x ∈ [a, b]}. Ïóñòü òåïåðü gµ îòëè÷íà îò òîæäåñòâåííîé ïîñòîÿííîé. Òàê êàê gµ âûïóêëà íà (α, β), òî îíà íåïðåðûâíà íà (α, β), à, ñëåäîâàòåëüíî, è íà [a, b].  ñèëó óòâåðæäåíèÿ, ñôîðìóëèðîâàííîãî íèæå â çàäà÷å 2, sup{gµ(x) : x ∈ (a, b)} íå äîñòèãàåòñÿ íà (a, b). Íî èç íåïðåðûâíîñòè gµ íà [a, b] ñëåäóåò ðàâåíñòâî sup{gµ (x) : x ∈ [a, b]} = sup{gµ (x) : x ∈ (a, b)} .

Ïîýòîìó âåðõíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ íà êîíöàõ îòðåçêà. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîêàçàòü âûïóêëîñòü f íà (α, β), âîñïîëüçóåìñÿ çàìå÷àíèåì ê òåîðåìå î íàêëîíå. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå a, b ∈ (α, β), f (b) − f (a) a < b, è ïîëîæèì µ := − . Äëÿ ôóíêöèè gµ (x) = f (x) + µx èìååì b−a Äîñòàòî÷íîñòü.

gµ (a) = f (a) − a

f (b) − f (a) bf (a) − af (b) = , b−a b−a

f (b) − f (a) bf (a) − af (b) = . b−a b−a Òàêèì îáðàçîì, gµ(a) = gµ(b) = sup{gµ(x) : x ∈ [a, b]}. Çíà÷èò, gµ(x) ≤ gµ(a) ïðè âñåõ x ∈ (a, b), òî åñòü gµ (b) = f (b) − b

f (x) − x

îòêóäà

f (b) − f (a) f (b) − f (a) ≤ f (a) − a , b−a b−a

f (x) − f (a) f (b) − f (a) ≤ . x−a b−a Ïîñêîëüêó ýòî íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî ïðè âñåõ a < x < b, âûïóêëà íà (α, β).

ïîëó÷àåì, ÷òî f

Ïîñëå èçó÷åíèÿ äàííîãî ïàðàãðàôà ðåêîìåíäóåòñÿ ðåøèòü çàäà÷è 13-18. 19

5. Âûïóêëûå ïî Èåíñåíó ôóíêöèè

Ôóíêöèþ f : (α, β) → R áóäåì íàçûâàòü âûïóêëîé ïî Èåíñåíó íà (α, β), åñëè ïðè âñåõ x, y ∈ (α, β) Îïðåäåëåíèå 5.1.

f

x + y  2

≤

f (x) + f (y) . 2

Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñåðåäèíà ëþáîé õîðäû, ñîåäèíÿþùåé äâå òî÷êè ãðàôèêà ôóíêöèè f , ëåæèò ëèáî íàä ãðàôèêîì, ëèáî íà íåì. Ïîíÿòíî, ÷òî âñÿêàÿ âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ áóäåò âûïóêëà è ïî Èåíñåíó. Îñíîâíàÿ öåëü ýòîãî ïàðàãðàôà  äîêàçàòü, ÷òî äëÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ïîíÿòèÿ âûïóêëîñòè è âûïóêëîñòè ïî Èåíñåíó ñîâïàäàþò. Îäíàêî, èçâåñòíî [4, ñ.119], ÷òî ïðè ïðåäïîëîæåíèè î ñïðàâåäëèâîñòè àêñèîìû Öåðìåëî íà îñíîâå áàçèñà Ãàìåëÿ ìîæíî ïîñòðîèòü ðàçðûâíóþ âûïóêëóþ ïî Èåíñåíó ôóíêöèþ. Òàêèì îáðàçîì, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîíÿòèÿ âûïóêëîñòè è âûïóêëîñòè ïî Èåíñåíó íå ýêâèâàëåíòíû. Òåîðåìà 5.2. Åñëè ôóíêöèÿ f

âûïóêëà ïî Èåíñåíó íà (α, β), òî äëÿ ëþáîãî n ∈ N è ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê x1 , . . . , xn ∈ (α, β) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f

 x + . . . + x  f (x ) + . . . + f (x ) 1 n 1 n ≤ . n n

Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ñíà÷àëà ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ïîêàæåì, ÷òî

  1
1 m f m (x1 + . . . + x2 ) ≤ m f (x1 ) + . . . + f (x2m ) , ∀m ∈ N . 2 2 Ïðè m = 1 óòâåðæäåíèå âåðíî ïî îïðåäåëåíèþ âûïóêëîé ïî Èåíñåíó ôóíêöèè. Ïðè m = 2 èìååì: ! ! x1 +x2 x3 +x4 x + x + x + x      + 2 1 x1 + x2 x3 + x4 1 2 3 4 2 f =f ≤ f +f ≤ 4 2 2 2 2 !

1 1 1 f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) + f (x4 ) ≤ . f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) + f (x4 ) = 2 2 2 4

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå âåðíî ïðè íåêîòîðîì m ∈ N, è ïîêàæåì, ÷òî òîãäà îíî âåðíî è ïðè m + 1. Îáîçíà÷èì äëÿ óäîáñòâà x1 + . . . + x2 =: x, x2 +1 + . . . + x2 =: y . Òîãäà m

m

m+1

!

f

x1 + . . . + x2m+1 2m+1

!

=f

x+y 2m+1

1 x y  =f + 2 2m 2m 20

!

!     1 x y ≤ f m +f m . 2 2 2

Ïîñêîëüêó x è y ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñóììû 2m ñëàãàåìûõ, òî, ïðèìåíÿÿ ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè, ïîëó÷àåì, ÷òî

x y    1  1  f m + f m ≤ m f (x1 ) + . . . + f (x2m ) + m f (x2m +1 ) + . . . + f (x2m+1 ) . 2 2 2 2

Îáúåäèíÿÿ äâå ïîñëåäíèå îöåíêè, çàêëþ÷àåì, ÷òî !

x1 + . . . + x2m+1 f 2m+1

≤

1  2m+1

 f (x1 ) + . . . + f (x2m+1 ) .

2) Åñëè òåïåðü n 6= 2m, òî âîçüìåì m ∈ N òàê, ÷òîáû 2m−1 Îáîçíà÷èì x := x1 + .n. . + xn . Òîãäà x1 + . . . + xn = nx è

< n < 2m .

x1 + . . . + xn + (2m − n)x nx + (2m − n)x = = x, 2m 2m ïðè÷åì ÷èñëèòåëü x1 +. . .+xn +(2m −n)x ðàññìàòðèâàåìîé äðîáè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó 2m ñëàãàåìûõ (x1, . . . , xn è (2m − n) ñëàãàåìûõ, ðàâíûõ x). Ïî

ïóíêòó 1)

x1 + . . . + xn + (2m − n)x f (x) = f 2m

Ñëåäîâàòåëüíî,

!

 1  m ≤ m f (x1 )+. . .+f (xn )+(2 −n)f (x) . 2

nf (x) ≤ f (x1 ) + . . . + f (xn ) ,

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Ïóñòü ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà (α, β). Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû: (i) f âûïóêëà íà (α, β); (ii) f âûïóêëà ïî Èåíñåíó íà (α, β). Äîêàçàòåëüñòâî. Â äîêàçàòåëüñòâå íóæäàåòñÿ ëèøü èìïëèêàöèÿ (ii) ⇒ (i). Òåîðåìà 5.3.

Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûå x, y ∈ (α, β) è λ ∈ [0, 1]. Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ. m 1) λ ∈ Q. Òîãäà λ = n , ãäå m ∈ N0, n ∈ N, m ≤ n, è

 mx + (n − m)y  n−m  f λx + (1 − λ)y = f x+ y =f . n n n ×èñëèòåëü äðîáè mx + (nn − m)y ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû n ñëàãàåìûõ (m ñëàãàåìûõ, ðàâíûõ x, è (n − m) ñëàãàåìûõ, ðàâíûõ y). Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ


m

21

òåîðåìó 5.2, èìååì f

 mx + (n − m)y  n

 1 ≤ mf (x) + (n − m)f (y) = λf (x) + (1 − λ)f (y) . n

2) λ ∈/ Q. Ïî ñâîéñòâó ïëîòíîñòè ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë âî ìíîæåñòâå T äåé∞ ñòâèòåëüíûõ, íàéäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {λn}n=1 òàêàÿ, ÷òî λn ∈ Q [0, 1] è λn → λ ïðè n → ∞. Ïî ïóíêòó 1)
f λn x + (1 − λn )y ≤ λn f (x) + (1 − λn )f (y) , ∀n ∈ N .

Ïåðåõîäÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè n → +∞, ó÷èòûâàÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f , ïîëó÷àåì, ÷òî
f λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) .

Èç ïóíêòîâ 1) è 2) âûòåêàåò, ÷òî f âûïóêëà íà (α, β). Çàìåòèì åùå, ÷òî, êàê èçâåñòíî ([1, Ãë.I, Ÿ4, óïð.10] è [4, ñ.119]), äëÿ íåïðåðûâíîñòè âûïóêëîé ïî Èåíñåíó íà (α, β) ôóíêöèè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû f áûëà èçìåðèìà íà (α, β) èëè ÷òîáû f áûëà îãðàíè÷åíà ñâåðõó õîòÿ áû íà îäíîì èíòåðâàëå, ñîäåðæàùåìñÿ â (α, β). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ êëàññîâ èçìåðèìûõ íà èíòåðâàëå ôóíêöèé, à òàêæå ôóíêöèé, îãðàíè÷åííûõ ñâåðõó â îêðåñòíîñòè õîòÿ áû îäíîé òî÷êè, ïîíÿòèÿ âûïóêëîñòè è âûïóêëîñòè ïî Èåíñåíó ñîâïàäàþò. Ïðèâåäåì ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ òåîðåìû 5.3. Çàäà÷à 5.4. Ïîêàçàòü, ÷òî

åñëè ôóíêöèÿ f íå óáûâàåò íà [a, b), òî ôóíêf (t) dt âûïóêëà íà [a, b).

öèÿ F (x) := a Ðåøåíèå. Çàìåòèì ñðàçó, ÷òî ïî ñâîéñòâàì èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì Rx

ïðåäåëîì ôóíêöèÿ F íåïðåðûâíà íà [a, b). Ïîêàæåì, ÷òî F âûïóêëà ïî Èåíñåíó íà [a, b). Çàôèêñèðóåì x, y ∈ (a, b), x < y. Îáîçíà÷èì c := x +2 y . Èìååì A := F (x) + F (y) − 2F (c) = Z x Z y Z c Z = f (t) dt + f (t) dt − 2 f (t) dt = a

a

Òàê êàê f íå óáûâàåò íà [a, b), òî Z

a

f (t) dt −

c

y

y−x , 2

f (t) dt ≤ f (c)(c − x) = f (c)

y−x . 2

c

x 22

c

f (t) dt. x

f (t) dt ≥ f (c)(y − c) = f (c) c

Z

Z

y

Çíà÷èò, A ≥ 0, òî åñòü F (c) ≤ F (x) +2 F (y) . Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 5.3, çàêëþ÷àåì, ÷òî F âûïóêëà íà (a, b). À ïîñêîëüêó F íåïðåðûâíà â òî÷êå a, òî F âûïóêëà íà [a, b). 6. Âûïóêëûå ôóíêöèè è îïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ

Äëÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ îò âûïóêëûõ ôóíêöèé èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé, à òàêæå íà îñíîâàíèè ñâîéñòâ âûïóêëûõ ôóíêöèé ìîæíî ïîëó÷èòü ðÿä ïðîñòûõ îöåíîê. Òåîðåìà 6.1. Åñëè f

ôóíêöèÿ f âûïóêëà è íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b], òî

a + b 2

Z

b

f (x) dx ≤

(b − a) ≤ a

f (a) + f (b) (b − a), 2

ïðè÷åì ðàâåíñòâà èìåþò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f  àôôèííàÿ ôóíêöèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðàâîå íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó f (a) +2 f (b) (b−a) 

ýòî ïëîùàäü òðàïåöèè ABCD. y6 f (b)

C

y = f (x) f (a)

D

C1

D1 A

B -

0

a

a+b 2

b

x

Ðèñ. 3

Äîêàæåì ëåâîå íåðàâåíñòâî. Òàê êàê f âûïóêëà íà [a, b], òî ïî êðèòåðèþ âûïóêëîñòè ÷åðåç ëèíåéíûå ìèíîðàíòû (òåîðåìà 4.3) ñóùåñòâóåò ëèíåéíàÿ ôóíê23

a + b

a + b

öèÿ g(x) = λx+µ òàêàÿ, ÷òî g 2 = f 2 è g(x) ≤ f (x) íà [a, b]. Ñëåäîâàòåëüíî, îòðåçîê C1D1 ïðÿìîé y = λx+µ ïîëíîñòüþ ëåæèò íå âûøå Γf , òàê ÷òî a + b Rb ïëîùàäü òðàïåöèè ABC1D1 íå áîëüøå f (x)dx. Íî SABC D = f 2 (b − a). a Òàêèì îáðàçîì, ëåâîå íåðàâåíñòâî äîêàçàíî. Ãåîìåòðè÷åñêè ïîíÿòíî òàêæå, ÷òî ðàâåíñòâà áóäóò âûïîëíÿòüñÿ â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà f  àôôèííàÿ ôóíêöèÿ. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî, ðàçáèâ îòðåçîê [a, b] íà n ðàâíûõ èëè íå ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè a = x0 < x1 < . . . < xn = b, ìîæíî ïîëó÷èòü ðÿä áîëåå îáùèõ íåðàâåíñòâ. 1

1

y6 y = f (x)

0

a = x0

x1

x2

xn−1 b = xn

x

Ðèñ. 4

Ïóñòü ôóíêöèÿ f âûïóêëà è íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b], a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Òîãäà Òåîðåìà 6.2.

Z b n−1  n−1 X X f (xk ) + f (xk+1 ) xk + xk+1  (xk+1 − xk ) ≤ f (x) dx ≤ (xk+1 − xk ) f 2 2 a k=0

k=0

è, â ÷àñòíîñòè, åñëè xk = a + k · b −n a , k = 0, 1, . . . , n, òî b−aX  2k + 1 b − a  f a+ · ≤ n 2 n n−1

k=0

Z

b

f (x) dx ≤ a

  n−1 b − a b − a f (a) + f (b) X  ≤ + f a+k· . n 2 n k=1

24

Ïðè ýòîì ðàâåíñòâà âûïîëíÿþòñÿ â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà f  àôôèííàÿ ôóíêöèÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî. Íà ðèñóíêå 4 ïðîèëëþñòðèðîâàíà ïðàâàÿ îöåíêà. Ðàññìàòðèâàåìàÿ ñóììà  ýòî ñóììà ïëîùàäåé ïîëó÷åííûõ "ïîãëîùàþùèõ"òðàïåöèé. Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ èñïîëüçîâàíèÿ òåîðåì 6.1 è 6.2. Ïðèìåð 6.3. Äîêàçàòü

íåðàâåíñòâà:

a à) ln ab > 2 bb − , 0 < a < b; +a

á) 1 + 2cos x < sinx x , 0 < x < π2 .

Ðåøåíèå. à) Ïðèìåíèâ òåîðåìó 6.1 ê âûïóêëîé íà (0, +∞) ôóíêöèè f (x) = x1 , ïîëó÷èì, ÷òî

2 (b − a) < a+b

Z a

b

dx b = ln , x a

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
á) Òàê êàê ôóíêöèÿ f (x) = − cos x âûïóêëà íà 0, π2
, òî â ñèëó äîêàçàííîãî â òåîðåìå 6.1 ïðàâîãî íåðàâåíñòâà äëÿ ëþáîãî x ∈ 0, π2 èìååì Z

−

òî åñòü

x

cos t dt < − 0

− sin x < −

îòêóäà ñëåäóåò íóæíîå.

Ïðèìåð 6.4. Äîêàçàòü,

cos 0 + cos x x, 2

1 + cos x x, 2

÷òî ïðè âñåõ n√≥ 2 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî

√ 4 n3 + 3 n − 1 1 + 2 + ... + n < . 6 Ðàññìîòðèì âîãíóòóþ ôóíêöèþ f (x) = √x íà îòðåçêå [1, n]. Ðàçîáüåì ýòîò îòðåçîê íà n − 1 ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè 1, 2, . . . , n. Âûïèøåì àíàëîã √

√

√

Ðåøåíèå.

ïðàâîãî íåðàâåíñòâà, óñòàíîâëåííîãî â òåîðåìå 6.2, äëÿ âîãíóòûõ ôóíêöèé Z

1

n√

Ñëåäîâàòåëüíî,

√ √ √ √ √ 1+ 2 2+ 3 n−1+ n x dx > + + ... + . 2 2 2

√ √ √ √ 2 √ 3 1 n ( n − 1) > ( 1 + 2 + . . . + n) − − , 3 2 2 25

√

1+

√

2 + ... +

√

√ √ 4 n3 + 3 n − 4 + 3 n< . 6

Ïîñëå èçó÷åíèÿ äàííîãî ïàðàãðàôà ðåêîìåíäóåòñÿ ðåøèòü çàäà÷è 20-21. Çàäà÷è

1. Äîêàçàòü ïî îïðåäåëåíèþ, ÷òî

à) ôóíêöèÿ f (x) = |x| âûïóêëà íà R; á) ôóíêöèÿ f (x) = x1 âûïóêëà íà (0, +∞). 2. Äîêàçàòü, ÷òî âûïóêëàÿ íà èíòåðâàëå (α, β) ôóíêöèÿ f , îòëè÷íàÿ îò òîæäåñòâåííîé ïîñòîÿííîé, íå ìîæåò äîñòèãàòü íà ýòîì èíòåðâàëå ñâîåãî íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ. 3. Ïóñòü ϕ : (α, β) → (α1 , β1 ), f : (α1 , β1 ) → R. Äîêàçàòü, ÷òî f ◦ϕ âûïóêëà íà (α, β) äëÿ ëþáîé âûïóêëîé íà (α1 , β1 ) ôóíêöèè f òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ϕ  àôôèííàÿ ôóíêöèÿ, òî åñòü êîãäà ϕ(t) = at + b. Êàê ñëåäñòâèå, åñëè f âûïóêëà íà R, òî f (ax + b) âûïóêëà íà R ïðè âñåõ a, b ∈ R. 4*. Ïóñòü ϕ : (α, β) → (α1 , β1 ), f : (α1 , β1 ) → R, (α, β) è (α1 , β1 )  êîíå÷íûå èíòåðâàëû â R. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f ◦ ϕ âûïóêëà íà (α, β) äëÿ ëþáîé âûïóêëîé íà (α, β) ôóíêöèè ϕ, òî f âûïóêëà è íå óáûâàåò íà (α1, β1). Óêàçàíèå: äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåóáûâàíèÿ ôóíêöèè f â ñëó÷àå, êîãäà (α, β) ⊃ [−1, 1], èñïîëüçîâàòü ôóíêöèþ ϕ(t) = x1 + (x2 − x1 )|t|, t ∈ (α, β). 5. Ïðèâåñòè ïðèìåð âûïóêëûõ íà (α, β) ôóíêöèé f1 è f2 òàêèõ, ÷òî f (x) = min{f1 (x), f2 (x)} íå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé íà (α, β). 6. Ïðèâåñòè ïðèìåð ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fk (x)}, ñîñòîÿùåé èç âûïóêëûõ íà (α, β) ôóíêöèé, è òàêîé, ÷òî lim fk (x) ∈ R ïðè âñåõ x ∈ (α, β), k→+∞ íî ïðè ýòîì f (x) = lim fk (x) íå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé íà (α, β). k→+∞ 7. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà R è îòëè÷íà îò òîæäåñòâåííîé ïîñòîÿííîé, òî õîòÿ áû îäèí èç ïðåäåëîâ x→±∞ lim f (x) ðàâåí +∞. Ïðèâåñòè ïðèìåðû, êîãäà îáà îíè ðàâíû +∞ è êîãäà òîëüêî îäèí èç íèõ ðàâåí +∞. 8. 1) Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f âûïóêëà íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå (α, β), òî îíà îãðàíè÷åíà ñíèçó íà íåì. 2) Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî f îãðàíè÷åíà ñâåðõó íà (α, β)? 3) Ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèå êîíå÷íîñòè èíòåðâàëà ñóùåñòâåííî äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè ðåçóëüòàòà. 9. Ïóñòü f : [α, β] → R. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíò26

íû: (i) f âûïóêëà íà [α, β]; (ii) f âûïóêëà íà (α, β) è f (α + 0) ≤ f (α), f (β − 0) ≤ f (β). 10. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f âûïóêëà íà (α, +∞), òî f (x) = lim f±0 (x) =: k ; 1) ∃ x→+∞ lim x→+∞ x 2) åñëè x→+∞ lim f (x) = +∞, òî k > 0. 11. Ïóñòü f âûïóêëà íà (α, β), α ≥ 0. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) − xf+0 (x) ("îòíåñåííàÿ ê íà÷àëó"ïðàâàÿ ïîëóêàñàòåëüíàÿ) íå âîçðàñòàåò íà (α, β).
12*. Ïóñòü f âûïóêëà íà (α, +∞), α ≥ 0, è lim f (x) − xf+0 (x) = b ∈ R. x→+∞ Äîêàçàòü, ÷òî f (x) 1) x→+∞ lim = k ∈ R; x 2) ïðÿìàÿ y = kx + b ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòîé Γf ïðè x → +∞ è ëåæèò íå âûøå Γf íà (α, +∞). 13. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ x arctg x âûïóêëà íà R, è äîêàçàòü íåðàâåíñòâî: (x + y) arctg

x+y ≤ x arctg x + y arctg y , ∀x, y ∈ R . 2

14. Äîêàçàòü íåðàâåíñòâà:

x n + y n  x + y n ≥ , ∀x, y > 0 , ∀n ∈ N ; 2 2 x+y ex + ey ≥ 2e 2 , ∀x, y ∈ R .

à) á) 15. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà è ïîëîæèòåëüíà íà (α, β), òî f1 âûïóêëà íà (α, β) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f f 00 −2(f 0)2 ≤ 0 íà (α, β). 16. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ âûïóêëà íà (α, β) è (β, γ) è íåïðåðûâíà â òî÷êå β , òî f âûïóêëà íà (α, γ)? 17. Ïðè ïðåäïîëîæåíèÿõ çàäà÷è 16 óñòàíîâèòü íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî f âûïóêëà íà (α, γ). 18. Ïóñòü ôóíêöèè f è g ïîëîæèòåëüíû è âûïóêëû íà (α, γ) è ïóñòü ñóùåñòâóåò β ∈ (α, γ) òàêîå, ÷òî íà (α, β) è (β, γ) ôóíêöèè f è g èçìåíÿþòñÿ â îäèíàêîâûõ íàïðàâëåíèÿõ (òî åñòü íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ (α, β) è (β, γ) f è g îäíîâðåìåííî íå óáûâàþò èëè íå âîçðàñòàþò). Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå 27

âûïóêëî íà (α, γ). 19*. Ïóñòü f âûïóêëà è îãðàíè÷åíà íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå (α, β). Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fk (x)} òàêàÿ, ÷òî ôóíêöèè fk âûïóêëû è äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû íà (α, β) ;

f ·g

fk+1 (x) ≤ fk (x) , ∀x ∈ (α, β) ; {fk (x)} ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà (α, β)

ê f (x). Óêàçàíèå: ñíà÷àëà ïîñòðîèòü íóæíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëÿ f (x) = |x| íà (−1, 1), çàòåì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ f ïðèáëèçèòü ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ôóíêöèé âèäà |x − a| (êîýôôèöèåíòû ïðè íèõ íåîòðèöàòåëüíû) è íåêîòîðîé ëèíåéíîé ôóíêöèè. 20. Äîêàçàòü, ÷òî a b b a 21. Äîêàçàòü, ÷òî

e +e e −e > , 0 < a < b. 2 b−a
ln n! < n + 12 ln n − n + 1 ïðè âñåõ n ≥ 2.

28

Ëèòåðàòóðà

1. Áóðáàêè, Í. Ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî [Òåêñò]: ìîíîãðàôèÿ. Ì.: Íàóêà, 1965. - 424ñ. 2. Ëåéõòâåéñ, Ê. Âûïóêëûå ìíîæåñòâà [Òåêñò]: ìîíîãðàôèÿ. - Ì.: Íàóêà, 1985. - 335ñ. 3. Òèõîìèðîâ, Â.Ì. Âûïóêëûé àíàëèç. Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ [Òåêñò]: ìîíîãðàôèÿ. - Ì.: ÂÈÍÈÒÈ, 1987. Ñ.5-101. 4. Õàðäè, Ã.Ã. Íåðàâåíñòâà [Òåêñò]: ìîíîãðàôèÿ / Ã.Ã. Õàðäè, Äæ.Å. Ëèòòëüâóä è Ã.Ì. Ïîëèà. - Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèò-ðû, 1948. - 455ñ. 5. Õåéìàí, Ó. Ñóáãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè [Òåêñò]: ìîíîãðàôèÿ / Ó. Õåéìàí, Ï. Êåííåäè. - Ì.: Ìèð, 1980. - 304ñ. 6. H¨ormander, L. Notions of convexity [Òåêñò]: ìîíîãðàôèÿ. - Boston: Birkh¨auser, 1994. - 416p. Ñîäåðæàíèå

Ââåäåíèå ............................................................................................................ 3 1. Âûïóêëûå ìíîæåñòâà ................................................................................... 3 2. Îïðåäåëåíèå è ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà âûïóêëûõ ôóíêöèé ......................... 5 3. Äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà âûïóêëîé ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîé ïåðåìåííîé .................................................................................................... 9 4. Êðèòåðèè âûïóêëîñòè ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîé ïåðåìåííîé .................. 16 5. Âûïóêëûå ïî Èåíñåíó ôóíêöèè ................................................................. 20 6. Âûïóêëûå ôóíêöèè è îïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ ................................................................................................... 23 Çàäà÷è .............................................................................................................. 26 Ëèòåðàòóðà ...................................................................................................... 29

29