Физика(часть 3.1,3.2) ''Колебания'',''Волновые процессы''. Конспекты лекций

Глава 5. Связанные и нелинейные колебания.  5.1 Колебания «связанны х осцилляторов».  Если колебательная система имеет несколько степеней свободы, то ее выведение из  равновесия  по  одной  из  них  может  привести  к  возникновению  колебаний  по  другим  степеням  свободы.  Возбуждаются  «связанные»  колебания.  Необходимое  условие  для  этого – наличие связи (каналов), обеспечивающих  возможность  обмена энергией между  различными  степенями  свободы.  Если  такая  связь  отсутствует,  то  будет  происходить  простое  кинематическое  сложение  движений  (сложение  колебаний).  Различные  случаи  суперпозиции колебаний рассматривались в Гл. 2.  В  связанных  между  собой  осцилляторах  динамика  колебательного  процесса  приобретает новые свойства. Во­первых, изменяются резонансные частоты собственных  колебаний  осцилляторов.  Частоты  резонансного  отклика  системы,  которые  называют  нормальными,  будут  отличаться  от  собственных  частот  исходных  независимых  осцилляторов.  Соответственно  гармоническую  «колебательную»  функцию,  описывающую  процесс  на  каждой  из  этих  частот,  также  называют  нормальным  колебанием  (модой).  Во­вторых,  из­за  наличия  связи,  при  свободных  колебаниях  происходит  периодический  обмен  энергией  между  осцилляторами,  т.е.  имеют  место  биения. Наконец, у системы расширяется полоса пропускания (резонанса), если резонансные  «кривые»,  каждой  из  соседних  мод,  перекрываются  (см.  рис.  5.3).  Иллюстрируем  эти  утверждения на двух примерах.  5.1.1. Колебания двух связанны х математических маятников.  Пусть имеется два одинаковых (математических) маятника, связанных между собой  пружиной  с  жесткостью  k  (рис.  5.1).  Маятники  совершают  колебания  в  одной  y  плоскости ( x, y ) .  Не  смотря  на  одномерность  движения,  система  имеет  две  степени  свободы,  и  ее  состояние  α2  α1  задается  двумя  параметрами  a1 ,a 2  или  х1 , х 2  .  Уравнения  движения  каждого  маятника  в  отсутствие  пружины  имеют  Х  x1  x2  вид:  Рис. 5.1  g  ì& a1  1 = ïïa& l  или  í g  ïa& & = - a 2  ïî  2 l g  ì& x1 = -w 02 x 1  1 = ïï x& l  (5.1)  í g  2  ï& x& = - x2 = -w 0 x 2  ïî  2 l Так как  a × l @  x .  Если  x2 ¹  x1 ,  то  из­за  растяжения  пружины  возникает  дополнительная  сила  (упругости) F y 1 = - k ( x1 - x2  ) , F y 2 = - k ( x2 - x1 ) .

Поэтому для связанных маятников получаем следующие уравнения: g K  ì& = - x1 + ( x2 - x 1 ) 1 ïï x& l m  í g K  ï& x& = - x2 - ( x2 - x 1 )  ïî 2 l m Складывая и вычитая уравнения, находим: g  &= -w 2 f f& & &  x& (& ( x1 + x 2 ) 1  1 + x2 ) = l  или  æ g 2 K ö & &  x& + &  (& ( x1 - x 2  )  1 - x2 ) = - ç S& = w 2 2 S m ÷ø  èl Таким  образом,  нормальные  колебания  представляют  собой  сумму  смещений каждого из маятников, с нормальными частотами:  g  g 2 K  w1  =  и  w 2  = +  l l m Из (5.3) следует: f = x1 + x2 = Acos (w1t + j1 ) S = x1 - x2 = B cos (w 2t + j 2  )  Дальнейший анализ требует конкретизации начальных условий.  Так,  если  принять  при  t = 0  x1  &  x2  = 0  х&  1  = 0  х2  = 0 , то получим:  x1 + x2 = xm  cos w1 t 

(5.2) 

(5.3)  и  разность  (5.4) 

(5.5) 

x1 ( 0 ) =  xm  , 

x1 - x2 =  xm  cos w 2 t x  или x1,2 = m  ( cos w1t ± cos w 2 t ) .  ТБ  2  Колебания  каждого  из  маятников  носят  x2  характер биений:  w - w1 w + w1  x1  = xm  cos 2 t cos  2 t  2 2  w - w1 w + w1  t  x2  =  xm  sin 2 t sin  2 t 2 2  Они  возникают  в  каждом  из  маятников  с  ТБ w + w1  частотой  2 ,  попеременно  нарастая  до  Рис. 5.2  2 максимальных  значений,  и  затем  полностью  исчезая (рис. 5.2). Период биений в каждом из маятников равен: 

t 

2p m æ TБ = @ 2 p ç w2 - w1 kè

g  l k  m 

3 

ö 2  1 æ T k  ö ÷ = T k  × ç ÷ 2 è T0  ø ø 

3  2 

,                       (5.6) 

k  m  = w K  ;  T k  = 2 p ­  частота  и  период  колебаний  грузиков  в  пружинном  m k l  маятнике,  T 0  = 2 p ­ собственная часта математических маятников.  g

w0  >>

Однако,  если  в  начальный  момент  x1 (0) = x2 (0) ,  то  биения  отсутствуют    при  g  l

w10 = w 20  =  , пружина не растягивается, и колебания в каждом из маятников происходят 

на частоте  w 0  = 

g  .  l

Наконец,  если  w 01 =

g g  ,  то  биения  будут  иметь  место  при  любом  ¹ w 02  =  l1 l2 

начальном возмущении системы. 

5.1.2. Колебания в двух индуктивно связанны х электрических контурах.  Один из вариантов системы приведен на рис. 5.3, М – коэффициент взаимной  индукции. Уравнения колебаний системы имеют вид: 

e 

М 

C  K1 

ì d 2 q1 d 2 q2 q 1  L + M  + = 0  ïï dt 2 dt 2  C  í 2 2  ï L d q2 + M  d q1 + q 2  = 0  ïî  dt 2 dt 2  C

К2

L 

C 

L 

(5.7) 

Складывая  и  вычитая  уравнения,  получаем  уравнения для нормальных колебаний: 1  ì & & &  ( q + q  ) = 0  1 + q2 ) + ï( q& ( L + M ) C  1 2  ï í 1  ï( q& & & &  ( q - q  ) = 0  1 - q2 ) + ïî  ( L - M ) L 1 2 

L 

Рис.5.3 

(5.8) 

с нормальными частотами: w1  =

1 

( L + M ) C

w1  =

1 

(5.9) 

( L - M ) C

5.1.3. Вы нужденны е колебания связанны х осцилляторов.  Так  как  каждое  нормальное  колебание  имеет  собственную  резонансную  частоту,  то  на  I2(ω)  резонансной  кривой  двух  связанных  I2(ω)  осцилляторов  образуется  два  максимума.  Для  построения  резонансной  кривой,  как  нетрудно  I10  (ω)  I20(ω)  сообразить,  на  каждой  из  частот,  следует  сложить  амплитуды  каждого  из  нормальных  колебаний. На рис. 5.4, для примера, приведена  резонансная  кривая  тока I 2  (U R ) ,  которая  ω ω2  ω1  должна  иметь  место    в  двух  связанных  LCR  Рис. 5.4  контурах (рис. 5.5).  Система является простейшим примером,  так  называемого  «полосового»  фильтра  –  устройства,  которое  регистрирует  сигналы  лишь  в  определенной  полосе  частот.  Набор  ячеек  широко  используется  в  LC  электрорадиотехнике  и  для  других  целей  (задерживающие  линии;  цепи,  формирующие  электрические импульсы и др.). 

x2 

C 

М 

UC 

L 

R 

Рис.5.5 

R 

На  рис.  5.6  приведена  искусственная  «длинная  линия»  (линия  «задержки»).  Чтобы  сигнал  попал  из  одной  LC  ячейки  в  другую  требуется  промежуток  времени  (для  зарядки  конденсатора)  Dt ~ T0  = 2 p LC .  Соответственно,  время  задержки  составит  t @ n LC , где  n  ­ число ячеек. 

L 

L  С  С 

Рис. 5.6 

5.2. Нелинейны е к олебания.  5.2.1. Общие представления.  Нелинейными называют процессы в колебательных системах, не удовлетворяющие  принципу  суперпозиции.  На  самом  деле  все  физические  системы  нелинейны.  Поэтому  реальные  колебания  можно  считать  линейными  лишь  приближенно  –  при  малых  амплитудах (интенсивности) колебательных  процессов. Нелинейные системы разделяют  на  два  класса:  консерват ивные,  в  которых  энергия  колебательных  процессов  сохраняется,  и  неконсерват ивные,  в  которых  энергия  колебаний  превращается  (диссипирует)  в  другие  виды.  К  числу  последних  относятся  также  активные  системы.  Возбуждение  и  поддержание  колебаний  в  таких  системах  –  следствие  поступления  энергии (в разных формах) от внешних источников.  Изучая  нелинейные  явления,  всегда  следует   имет ь  виду,  чт о  многие  нелинейные  сист емы совершенно различной природы имеют  одинаковое мат емат ическое описание,  т.е. в основе их анализа лежит единый теоретический подход. Математическим образом  нелинейных  систем  являются  нелинейные  уравнения,  то  есть  уравнения  движения,  в  которых  параметры,  определяющие  движение  (силы,  инертность,  и  т.п.)  нелинейным  образом  зависят  от  координат  и  их  производных.  В  теории  анализа  свойств  решений  нелинейных  уравнений  за  последние  50  лет  достигнуты  существенные  успехи. Анализом  колебательных  и  волновых  процессов  в  конкретных  нелинейных  системах  занимаются  гидро­газодинамика,  физика  плазмы,  нелинейная  оптика,  радиотехника,  химия,  биология,  социология,  экология и др.  Нелинейность  может  приводить  к  самым  разнообразным  изменениям  Рис. 5.7  колебательного  процесса.  В  x2 простейших  одномерных  (с  одной  степенью  свободы)  осцилляторах  нелинейность,  как  правило,  приводит  к  зависимости  периода  колебания  от  амплитуды  и  появлению  в  спектре  колебаний  гармонических  составляющих  кратных  основной  (наинизшей)  частоте.  Говорят,  что  на  нелинейных  элементах  может  происходить  «умножение»  частоты.  Колебания  с  частотами  двух  w1 , w 2  нелинейно  связанных  осцилляторов  порождают составляющие с частотами кратным комбинационным частотами  w1 ± w 2 . 

Другая  особенность  определенных  видов  линейности  –  появление  особых  точек  (в  фазовом пространстве кривых – сепарат рис см. п. 2.2.7), пересечение которых системой  приводит  к  качественному  изменению  состояния  её    (движения)  –  кат аст рофе  (состояния).  Так  при  анализе  колебаний  математического  маятника  в  п.  2.3.7.2  было  установлено,  что  при  переходе  через  сепаратрису  колебательный  процесс  сменяется  неограниченным вращательным движением.  Теория катастроф определяет области существования определенного вида состояния  (движения)  системы  (решения  нелинейных  уравнений),  границы  их  устойчивости,  на  которых  появляются  одно  или  несколько  других  типов  состояний  решений.  Величины,  которые определяют смену состояний, как отмечалось, в п. 4.9 называют управляющими  параметрами. Замечательным оказалось то, что для любых явлений в окружающем Мире  при  ограниченном  числе  степеней  свободы  и  управляющих  параметров  число  видов  катастроф  также  конечно.  Классификация  катастроф  была  проведена  В.И.  Арнольдом.  Для одной или двух степеней свободы и числа управляющих параметров  £ 5 , имеется 7  типов  элементарных  катастроф.  Механизм  появления  новых  решений  нелинейных  уравнений  из  уже  известного  при  некотором  критическом  значении  управляющего  параметра  составляет  предмет  теории  бифуркаций. 1)  Нелинейность  уже  в  системах  с  двумя степенями свободы может приводить  при определенных  условиях  к чрезвычайно  сложным,  нерегулярным  колебаниям,  требующим  для  своего  описания  методов  теории  вероятности.  Также  колебания  называют  ст охаст ическими.  Начав  свое  движение  с  определенных  начальных  условий  в  процессе  колебаний,  система  из­за  нелинейности  может  практически  никогда  не  вернуться  в  исходное  состояние.  Простейший  пример  такой  системы­  вынужденные  колебания  математического  маятника,  грузик  которого  может  совершать  колебания  не  в  одной  плоскости  (например  xz ,  т.е.  y = 0 ),  а  по  сферической  поверхности,  т.е.  в  плоскостях,  расположенных  под  любым  углом j  относительно  плоскости ( x, z ) ,  в  которой  начинается  движение  –  сферический  маятник  (Рис. 5.7).  Аналитическое  описание  колебаний  в  нелинейных  системах  затруднено  ввиду  отсутствия  общих  методов  решения  нелинейных  уравнений  и  в  большинстве  случаев  приходится  применять  численные  методы,  что,  как  правило,  не  дает  гарантий  единственности  полученного  решения  (описания)  процесса.  Поэтому  остановимся  на  анализе самых простых случаев влияния нелинейности на колебательные процессы.  5.2.2. Определение периода колебаний в консервативном нелинейном  осцилляторе.  Рассмотрим свободные колебания одномерного консервативного осциллятора (массы  m),  у  которого потенциальная энергия U(x) – сложная  функция смещения  x (рис. 5.8 а).  Т.к.  система  консервативная,  то  ее  полная  энергия  (после  ее  выхода  из  равновесного  состояния) сохраняется mV 2  e= + U ( x) = const (5.10)  2  Поэтому  точки  x1,  x2  на  рис.5.8  определяют  положения  элемента  системы,  совершающего  колебания,  в  которых  элемент  останавливается  и  затем  начинает  движение  в  противоположную  сторону.  Эти  точки  называют  т очками  поворот а.  Точки поворота определяют амплитуду колебаний.  1 

bifurcus(лат.)  –раздвоенный.  Приобритение  новых  качеств  движения  динамических  систем при малом изменение её

Дифференциальное  уравнение  движения  в  принципе  модно  определить  с  помощью  второго  закона Ньютона, используя известную  связь  между  потенциальной  энергией  и консервативной силой. F ( x ) = -

dU  dx

r 

( F = - gradU ) 

Если  вблизи  абсолютного  минимума  (x  =  0)  потенциальная  энергия  изменяется  по  2  параболическому закону (U ( x) = cx ) ,  1  то F ( x) = - cx = - kx .  2 

происходят 

Колебания 

x22 

x12 

U (x, e  )  x11 

б) 

x2 

c 

e c  e m2 

по 

гармоническому  k 1  c  2 m  закону  w 0  = =  , T 0  = 2 p .  m 2 m c На  рис.  5.8.а  это  имеет  место  при 

xm2  xc  x  XС0  '  x x2  1 x1  e m1 e2 такой способ имеет мало  Рис. 5.8  xm  e

C

x Сепаратриса 

Рис. 5.9  5.2.3. Свободны е колебания при нелинейной квазиупругой силе  (умножение частоты ).  Как  было  показано  в    5.2.2  при  нелинейной  зависимости  потенциальной  энергии U ( x )  от координаты колебания остаются периодическими (вне точек бифуркации).  5.2.3.1. Прост ейшее уравнение для нелинейных колебаний.  Разложим в ряд Маклорена­Тейлора U ( x )  вблизи  U min  = 0  (рис. 5.10): U ( x) = U ( 0 ) + x

где  примем U ( 0 ) = 0,

1 

2 3  dU  1 2 d U ( 0 ) 1  3  d U ( 0 )  + x + x  + ...  dx 2! dx2 3!  dx3 

(5.12) 

dU  = 0 .  dx

Topos (греч.) – место. Топология – раздел математики, изучающий свойства фигур, не  изменяющихся при любых (непрерывных) деформациях. 

d nU d n +1 U  d 3 U (0)  >>  x  ,   U C 1  и  анодный  ток  –  последовательность  прямоугольных  импульсов  с  периодом  определяемым  частотой 

w  @ w 0 2  - h 2  и амплитудой  I m  =  I s  (рис. 6.6).

С  другой  стороны  квазистационарный  ток I a  (t )  обеспечивает  в  осцилляторе  с  декрементом  b  =

R , установившиеся колебания. Иными словами, автоколебания можно  2 L 

рассматривать  как  вынужденные  колебания  осциллятора  под  действием  «вынуждающей  силы» I a (t ) 

&+ 2 b I&  I& + w02 I = w0 2 Ia ( t ) 

(6.7) 

Из  рис.  6.6  следует  функция I a  (t )  ­  последовательность  прямоугольных  импульсов

I a  (t ) = I s  при 0