Εκπαιδευτικοί Προβληματισμοί - Τεύχος 3 - Ιούνιος 1997

Περιοδικ κδοση Συµβολ στην προσπ θεια του µαχµενου εκπαιδευτικο για αποτελεσµατικ διδακτικ προσφορ

Nο 3

IOYNIOΣ 1997

E π™∞°ø°π∫∞ Xαιρετισµς

Aγαπητο συν δελφοι,

εκδοτικς µας οκος, στην προσπ θει του να συµβ λει στην εκπαιδευτικ διαδικασα, αποφ σισε, εκτς απ τις εκδσεις των βοηθηµ των Γυµνασου και Λυκεου και των Πανεπιστηµιακν Συγγραµµ των, να εκδδει σε τακτ χρονικ διαστµατα το περιοδικ «Eκπαιδευτικο ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ», που θα απευθνεται στον εκπαιδευτικ αλλ και στο µαθητ και σπουδαστ. H συµβολ αυτ θα επιδικεται µε «συζτηση» µ*σα απ τις σελδες του περιοδικο. Θ*λουµε να ελπζουµε τι θα αναπτυχθε *νας εποικοδοµητικς δι λογος, ο οποος θα συµβ λει στην προσπ θει µας αυτ. Για το σκοπ αυτ θα θ*λαµε να σας παρακαλ*σουµε να συµπληρσετε και να µας επιστρ*ψετε το *νθετο ερωτηµατολγιο. O εκδοτικς µας οκος, για να κ νει πιο ενδιαφ*ρουσα τη «συζτηση» µ*σα απ τους «Eκπαιδευτικος ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ», θα σας δωρζει βιβλα των εκδσεν του (τα οποα θα επιλ*ξετε εσες) αξας 10.000 δρχ. για κ θε πρτασ σας που θα δηµοσιεεται.

*κδοση των «Eκπαιδευτικν ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΩΝ», εναι µια σηµαντικ πρωτοβουλα του Eκδοτικο Oκου ZHTH στην προσπ θει του να συµβ λει στην επιτυχα της εκπαιδευτικς διαδικασας µ*σα στο Γυµν σιο και στο Λκειο. Eµες, οι επιστηµονικο υπεθυνοι των «Eκπαιδευτικν ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΩΝ», κατανοοµε τις δυσκολες που *χει *να τ*τοιο εγχερηµα αλλ πιστεουµε τι µε τη δικ σας συµβολ θα µπορ*σουµε να προσφ*ρουµε πολτιµη βοθεια στο µαχµενο εκπαιδευτικ µας. Θα επιδιξουµε: ◆ Oι «Eκπαιδευτικο ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ» να αποτελ*σουν στα χ*ρια σας *να σηµαντικ βοθηµα στην εκπαιδευτικ πρ ξη και ◆ να εναι *νας πρακτικς, χρσιµος και σντοµος οδηγς, ο οποος θα εξυπηρετε καθαρ διδακτικος σκοπος, εν θα µπορε επσης να χρησιµοποιηθε και απ τους µαθητ*ς. Για το λγο αυτ θα επιδικουµε τα παρουσιαζµενα θ*µατα να προ*ρχονται, κατ προτεραιτητα, απ ερεθσµατα και προτ σεις σας. Θεωροµε αυτονητο τι οι προτ σεις σας, τις οποες η Συντακτικ Eπιτροπ θεωρε κατ λληλες, θα δηµοσιεονται επνυµα. Για να γνει πιο ευχ ριστη η ενασχλησ σας µε τους «Eκπαιδευτικος ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ», θα τους εµπλουτσουµε µε σντοµες αναφορ*ς σε εντυπωσιακ*ς επιστηµονικ*ς πληροφορες, πως π.χ. η απ ντηση στην εικασα του Fermat, το πρβληµα του ζοντος, τα CD στην εκπαιδευτικ διαδικασα, το πρβληµα της αυτµατης µετ φρασης κ. .

O

Πελαγα Zτη Y.Γ. Mε την ευκαιρα του 3ου τεχους: H πολλαπλ ανταπκριση των εκπαιδευτικν µας στα 2 πρτα τεχη ταν τσο µεγ λη –γεγονς που επιβεβαινει τι οι στχοι µας αγγζουν τους διδακτικος προβληµατισµος των εκπαιδευτικν µας– µας υποχρενει να επιδιξουµε την επικοινωνα µε περισστερους εκπαιδευτικος. Για το λγο αυτ τα πρτα τεχη θα διαν*µονται δωρε ν και µπορον οι εκπαιδευτικο να τα προµηθεονται απ τα βιβλιοπωλεα µας. ;ταν δεν τα βρσκουν µπορον να ζητσουν, µε επιστολ τους  συµπληρνοντας το *νθετο ερωτηµατολγιο, να αποστ*λλονται στο σχολεο τους.

H

Περιµ*νοντας την ανταπκρισ σας Mε εκτµηση

TÔ ÂÚÈÔ‰ÈÎfi ÌÔÚ›Ù ӷ ÙÔ ˙ËÙ‹ÛÂÙ ·fi Ù· ‚È‚ÏÈÔˆÏ›·: ●

EΉfiÛÂȘ ZHTH AÚÌÂÓÔÔ‡ÏÔ˘ 27, 546 35 £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË TËÏ. (031) 203.720, Fax: (031) 211.305

●

«ŒÓˆÛË EΉÔÙÒÓ BÈ‚Ï›Ô˘ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢» ™ÙÔ¿ ÙÔ˘ BÈ‚Ï›Ô˘ (¶ÂÛÌ·˙fiÁÏÔ˘ 5), 105 64 Aı‹Ó· TËÏ.-Fax: (01) 32 11 097

Γεργιος Παντελδης Kαθηγητς EMΠ

ZËÙÔ‡ÌÂ Û˘ÁÓÒÌË ÁÈ· ÙËÓ Î·ı˘ÛÙ¤ÚËÛË ÙÔ˘ 3Ô˘ Ù‡¯Ô˘˜, Ë ÔÔ›· ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙË ÌÂÙ·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÁÚ·Ê›ˆÓ Î·È ÂÚÁ·ÛÙËÚ›ˆÓ ÛÙÔ Ó¤Ô Ì·˜ ¯ÒÚÔ, ÛÙÔ 18Ô ¯ÏÌ £ÂÛ/ӛ΢-¶ÂÚ·›·˜

Oδηγ ες προς τους συγγραφε ς των προτσεων ➧ ➧ ➧

H κταση της παρουσ ασης ενς θµατος δε θα πρπει να υπερβα νει τις 4 σελ δες του εντπου, τουλχιστον στις θετικς επιστµες. H χρησιµοπο ηση της διατπωσης, της ορολογ ας και των συµβολισµν των εγκεκριµνων διδακτικν βιβλ ων της ∆ευτεροβθµιας Eκπα δευσης ε ναι υποχρεωτικ. H προσφυγ στη βοθεια εννοιν και µεθδων, που ε ναι εκτς της διδακτας λης, οπωσδποτε µως απ το "µεσο περιβλλον" της, θα πρπει να ε ναι περιορισµνη και να επισηµα νεται τι ε ναι εκτς διδακτας λης. Στην περ πτωση αυτ µια βιβλιογραφικ αναφορ θα ε ναι πολ χρσιµη.

Eιδικτερα, κατ την παρουσ αση θα πρπει, εφσον ε ναι εφικτ και απαρα τητο, ➧ να επισηµα νονται οι επιδιωκµενοι στχοι, ➧ να δ νεται το απαρα τητο πληροφοριακ υλικ µε αναφορ στα διδακτικ βιβλ α, ➧ να γ νονται οι κατλληλες διδακτικς υποδε ξεις, ➧ να γ νονται εκε νες οι αποδε ξεις που υποδεικνουν µεθδους επεξεργασ ας θεµτων  επ λυσης προβληµτων και ➧ να υποδεικνονται εκε να τα σηµε α, που ε ναι δυνατν να ξεφγουν λθη.

3 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

5

AÓ. ™‚¤ÚÎÔ˜

°Ú·ÊÈ΋ Â›Ï˘ÛË Â͛ۈÛ˘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ·ÎÏÔ˘

7

N. AÓ·ÛÙ·Û›Ô˘ K. AÓÂÛÙfiÔ˘ÏÔ˜

™˘Ì‚ÔÏ‹ ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË °Ú·ÌÌÈÎÔ‡ ™˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ··ÏÔÈÊ‹˜ ÙÔ˘ Gauss

9

°. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë˜

H AÚ¯È΋ ™˘Ó¿ÚÙËÛË. O ÚfiÏÔ˜ Ù˘ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜

13

°. ¶ÔÏ˘˙Ò˘-B. ¶·Ï›Ï˘ H. TÛÈÁ·Ú›‰·˜

¢È‰·ÎÙÈÎÔ› ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ› Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ

16

¶. I·ÎÒ‚Ô˘

TÈ ·fi Ù· ‰‡Ô Â›Ó·È ÚÔÙÈÌfiÙÂÚÔ ÁÈ· ÙÔÓ Ô‰ËÁfi; N· ÛÙÚ›„ÂÈ ‹ Ó· ÊÚÂÓ¿ÚÂÈ;

17

XÚ. K·ÏΛÙÛ·˜

ŒÚÁÔ ¿ÓˆÛ˘

19

Mȯ. ¶. Mȯ·‹Ï

2Ô˜ £ÂÚÌÔ‰˘Ó·ÌÈÎfi˜ NfiÌÔ˜

22

Iˆ¿Ó. ™ÂÈÚ·‰¿Î˘

O KÔÌ‹Ù˘ Hale-Bopp

23

K. TÛ›˘

AÚÈıÌfi˜ OÍ›‰ˆÛ˘ Î·È Ë ÛËÌ·Û›· ÙÔ˘

29

¢. ¢ÂÚ¿Ó˘

MÂıÔ‰ÔÏÔÁ›· χÛ˘ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ù˘ ™‡Á¯ÚÔÓ˘ AÙÔÌÈ΋˜ £ÂˆÚ›·˜: AÓÙÈÚÔÛˆ¢ÙÈο ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·

32

E˘. ¶··ÁÈ¿ÁÎÔ˘

BÈÔÌ˯·Ó›· flÛ̈Û˘ ÌÈ· ÊÈÏfi‰ÔÍ· ·Ó·Ù˘ÛÛfiÌÂÓË ‰‡Ó·ÌË

33

AÓ·ÛÙ. ™Ù¤ÊÔ˜

™¯¤‰ÈÔ ¢È‰·ÎÙÈ΋˜ ¶ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘ •ENOº. E§§HNIKA B (ÁÈ· ÙËÓ A' §˘Î›Ԣ)

35

¶. AÏ·Ù˙fiÁÏÔ˘

°È· ÙÔ Ì¿ıËÌ· Ù˘ ÊÈÏÔÛÔÊ›·˜

38

ºÈÏÔÏÔÁÈÎfi EÈÙÂÏÂ›Ô E.¶.

°ÂÓÈο ÁÈ· ÙËÓ ŒÎıÂÛË

41

¢ËÌ. KÔ˘ÙÛÔÁÈ¿ÓÓ˘

H °ÏÒÛÛ·

45

I.N. ¶ÂÙηӿ˜

«ŒÎÊÚ·ÛË-ŒÎıÂÛË» B' §˘Î›Ԣ «EÈÏÂÎÙÈ΋ ¶·ÚÔ˘Û›·ÛË AÛ΋Ûˆӻ

47

A. °È·ÁÎfiÔ˘ÏÔ˜

O AÙÙÈÎfi˜ ¶Â˙fi˜ §fiÁÔ˜

6

°. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë˜

¶ÔȘ Â›Ó·È ÔÈ ÌÔÚʤ˜ Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ ÌÈ·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ÛÙ· ÛÙ¿ÛÈÌ· ÛËÌ›· Ù˘;

11

°. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë˜

MÔÚ› ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Û˘Ó¯‹˜ Û’¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· Ó· ÌËÓ ¤¯ÂÈ ÛÙÔ ¿ÎÚÔ ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔÈÎfi ·ÎÚfiÙ·ÙÔ;

37

¢ÔÌ‹ Î·È ¢È¿ÚıÚˆÛË ÙÔ˘ °ÂÚÌ·ÓÈÎÔ‡ EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ‡ ™˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ¶ËÁ‹: Annotated charts on Germany’s higher education and research system, Chr. Bode.(¶›Ó·Î·˜ °ÂÓÈÎÔ‡ EӉȷʤÚÔÓÙÔ˜)

M ∞£∏ª∞∆π∫∞

°ƒ∞ºπ∫∏ ∂¶π§À™∏ ∂•π™ø™∏™ 2 Ô˘ µ∞£ª√À ª∂ ∆∏ µ√∏£∂π∞ ∫À∫§√À

αx

TÔ˘ AÓ. ™‚¤ÚÎÔ˘, K·ıËÁËÙ‹ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, M¤ÏÔ˘˜ Ù˘ Û˘ÁÁÚ·ÊÈ΋˜ ÔÌ¿‰·˜ ÙˆÓ ‚È‚Ï›ˆÓ ÙÔ˘ OE¢B

O

È Ì·ıËÙ¤˜ Ù˘ A¢ §˘Î›Ԣ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈο ÙȘ Ú›˙˜ ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ‰‡Ô ÙÚfiÔ˘˜:

ñ ™¯Â‰È¿˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ·Ú·‚ÔÏ‹ y = ·x2 + ‚x + Á, · π 0, Î·È ÂÓÙÔ›˙ÔÓÙ·˜ Ù· ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ Ù˘ Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x¢ x. ñ ™¯Â‰È¿˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ·Ú·‚ÔÏ‹ y = x2 Î·È ÙËÓ Â˘ı›· ·y + ‚x + Á = 0 Î·È ÂÓÙÔ›˙ÔÓÙ·˜ Ù· ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜. OÈ ·Ú·¿Óˆ ÁÚ·ÊÈΤ˜ ̤ıÔ‰ÔÈ Â›Ï˘Û˘ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ÌÂÈÔÓ¤ÎÙËÌ· Ó· ‰›ÓÔ˘Ó ·Ó·ÎÚÈ‚‹ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·, ·ÊÔ‡ ·Ó·ÎÚÈ‚‹˜ Â›Ó·È Î·È Ë Û¯Â‰›·ÛË ÌÈ·˜ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÌÂÚÈÎÒÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘˜. ŸÌˆ˜ Ë Û¯Â‰›·ÛË ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘, Ë ÔÔ›· Á›ÓÂÙ·È Ì ‰È·‚‹ÙË, Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚË ·fi ÙË Û¯Â‰›·ÛË Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜. AÓ ÂÔ̤ӈ˜ ÌÔÚÔ‡Û·Ì ӷ ‚Úԇ̠·ÎÏÔ ·ÓÙÈ ·Ú·‚ÔÏ‹˜, ÔÈ ÙÔ̤˜ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x¢ x Ó· Â›Ó·È ÔÈ Ú›˙˜ Ù˘ ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘, ÙfiÙÂ Ô ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ ı· ‹Ù·Ó ·ÚÎÂÙ¿ ·ÎÚÈ‚‹˜ Î·È ÔˆÛ‰‹ÔÙ ·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi Ì ÙÔ˘˜ ·Ú·¿Óˆ ÙÚfiÔ˘˜. ZËÙÂ›Ù·È Ô ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈÎfi˜ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ ÂÍÈÛÒÛˆ˜ ·x2 + ‚x + Á = 0, · π 0

(1)

AÓ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ٷ ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ÂÍÈÛÒÛˆ˜ Ì ·, ‚ y ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È x2 +

x +

= 0, Ë ÔÔ›· · · ‚ Á ÁÈ· p = –

, q =

·›ÚÓÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ · · (2) x2 – px + q = 0. ™ËÌ›ˆÛË: H ÌÔÚÊ‹ (2) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î·ÓÔÓÈ΋ ÌÔÚÊ‹ Ù˘ ‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘.

£ÂˆÚԇ̠ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ì ‰È¿ÌÂÙÚÔ AB, fiÔ˘ A(0, 1) Î·È B(p, q), Ô ÔÔ›Ô˜ ÂÔ̤ӈ˜ ¤¯ÂÈ p q+1 ΤÓÙÚÔ K

,

2 2




Î·È ·ÎÙ›Ó· R =



1 –1 

p2
–0 +

q+2
  = 2

2

H Â͛ۈÛË ÏÔÈfiÓ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È 2

2


x –
2
 +
y –
2
 p

(C)

q+1

1 =

[p2 + (q – 1)2]. 4

OÈ ÙÂÙÌË̤Ó˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x¢ x ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·Ó ı¤ÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· Â͛ۈÛË fiÔ˘ y=0, ÔfiÙ ·›ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË 2

2


x –
2
 +
–
2
 p

q+1

... ¤

1 =

[p2 + (q – 1)2] ¤ ... 4

x2 – px + q = 0.

Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÏÏË ·fi ÙËÓ Â͛ۈÛË (2). EÔ̤ӈ˜ ÔÈ Ú›˙˜ Ù˘ (2) Î·È ¿Ú· Î·È Ù˘ (1) Û˘Ì›ÙÔ˘Ó Ì ÙȘ ÙÂÙÌË̤Ó˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ C Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x¢ x. ñ AÓ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ‹ Ú›˙·, ÙfiÙÂ Ô Î‡ÎÏÔ˜ ÂÊ¿ÙÂÙ·È ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· x¢ x. ñ AÓ Ë Â͛ۈÛË ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ Ú›˙˜, ÙfiÙÂ Ô Î‡ÎÏÔ˜ ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x¢ x. T· ‚‹Ì·Ù· ÏÔÈfiÓ ÁÈ· ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÁÚ·ÊÈ΋ Â›Ï˘ÛË Â›Ó·È: 1Ô B‹Ì·: °Ú¿ÊÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË ·x2 + ‚x + Á = 0, · π 0, ÛÙË ÌÔÚÊ‹ x2 – px + q = 0. 2Ô B‹Ì·: ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÛÙÔ Â›Â‰Ô Ù· ÛËÌ›· A(0, 1) Î·È B(p, q). 3Ô B‹Ì·: BÚ›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ Ì¤ÛÔ K ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ AB. 4Ô B‹Ì·: ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ K Î·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ AB. 5Ô B‹Ì·: ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ٷ ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x¢ x, ÔÈ ÙÂÙÌË̤Ó˜ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Â›Ó·È ÔÈ Ú›˙˜ Ù˘ ‰Ôı›۷˜ Â͛ۈÛ˘. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· N· Ï˘ı› ÁÚ·ÊÈο Ë Â͛ۈÛË 2x2 – x – 1 = 0. §‡ÛË: 1Ô B‹Ì·: H Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È ÛÙË ÌÔÚÊ‹ 1 1 x2 –

x –

= 0. 2 2

1 =

p 2+ q (–) 12 . 2 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

5

° ƒ∞ºπ∫∏ E ¶π§À™∏ E •π™ø™∏™ 2 √À B ∞£ª√À

A(0, 1)

K –1

–1 2

1 2

O

–1 2

1

x

B(1/2 , –1/2)

2Ô B‹Ì·: ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÛÙÔ Â›Â‰Ô Ù· ÛËÌ›·




B √∏£∂π∞ K À∫§√À

5Ô B‹Ì·: ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ٷ ÛËÌ›· ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·˘ÙÔ‡ Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x¢ x, ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÔÈ ÙÂÙÌË̤1 Ó˜ Â›Ó·È x1 = –

Î·È x2=1, Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Î·È ÙȘ 2 ✦ Ú›˙˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ 2x2 – x – 1 = 0.

y 1

ª∂ ∆∏



1 1 A(0, 1) Î·È B

, –

. 2 2 3Ô B‹Ì·: BÚ›ÛÎÔ˘Ì (ηٿ Ù· ÁÓˆÛÙ¿, Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Î·È ÙÔ ‰È·‚‹ÙË) ÙÔ Ì¤ÛÔÓ K ÙÔ˘ AB. 4Ô B‹Ì·: ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ K Î·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ AB ηÈ

EÛÂȘ EÌÂȘ ÚÔÛ·ıԇ̠ڈٿÙ Ӓ ··ÓÙ‹ÛÔ˘ÌÂ

™¯fiÏÈÔ O ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ÛËÌ›ˆÓ, Â‰Ò ÙˆÓ A Î·È B, Î·È Ë ¯¿Ú·ÍË ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ·˘Ù¿ ˆ˜ ¿ÎÚ· ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘, Â›Ó·È ÌÈ· ÂÚÁ·Û›· Ô˘ Ì ÈηÓÔÔÈËÙÈ΋ ·ÎÚ›‚ÂÈ· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· οÓÔ˘Ó fiÏÔÈ Û¯Â‰fiÓ ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜. ™ÙËÓ Èı·Ó‹ ÂÚÒÙËÛË «ÙÈ ÙË ı¤ÏÔ˘Ì ÌÈ· ·ÎfiÌË Ì¤ıÔ‰Ô», Ë ·¿ÓÙËÛË ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë Ì¤ıÔ‰Ô˜ Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿„·ÌÂ Â‰Ò Â›Ó·È Ôχ ÂÏ΢ÛÙÈ΋, ·ÊÔ‡ ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ Ë °ÂˆÌÂÙÚ›· ÌÔÚ› Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Î·È ·ÊÂÙ¤ÚÔ˘ ÂÈÛËÌ·›ÓÂÈ ÌÈ· ·fi ÙȘ ÂӉȷʤÚÔ˘Û˜ Û¯¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ·ÎÏÔ˘ Î·È ·Ú·‚ÔÏ‹˜. [BÈ‚ÏÈÔÁÚ.: ¶ÂÚÈÔ‰ÈÎfi Mathematics Teacher, February 1991]

◆ ¶ÔȘ Â›Ó·È ÔÈ ÌÔÚʤ˜ Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ ÌÈ·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ÛÙ· ÛÙ¿ÛÈÌ· ÛËÌ›· Ù˘; A·ÓÙ¿ÂÈ Ô °. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë˜, K·ıËÁËÙ‹˜ E.M. ¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ԣ

TÔ ı¤Ì· ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙË ‰È‰·ÎÙ¤· ‡ÏË Ù˘ °' §˘Î›Ԣ, ·ÏÒ˜ ÛÙԯ‡ÂÈ ÛÙËÓ ÏËÚÔÊfiÚËÛË ÙÔ˘ ‰È‰¿ÛÎÔÓÙ·.

°È· ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Û˘Ó¯‹ Û’ ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· I ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô x0 ÙÔ˘ I ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÛÙ¿ÛÈÌÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ f, fiÙ·Ó f¢ (x0)=0. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Fermat, Ù· ÂÛˆÙÂÚÈο ÛËÌ›· ·ÎÚÔÙ¿ÙÔ˘, fiÔ˘ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË, Â›Ó·È ÛÙ¿ÛÈÌ· ÛËÌ›· Ù˘. H ı¤ÛË ÛËÌ›Ԣ ηÌ‹˜ Ì ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Â›Ó·È Â›Û˘ ÛÙ¿ÛÈÌÔ ÛËÌ›Ô. TÔ ÂÚÒÙËÌ· ÂÔ̤ӈ˜ Â›Ó·È ·Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙ¿ÛÈÌ· ÛËÌ›· Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÛËÌ›· ·ÎÚÔÙ¿ÙÔ˘ ‹ ÛËÌ›· ηÌ‹˜ Ì ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË. H ·¿ÓÙËÛË Â›Ó·È fiÙÈ Ù¤ÙÔÈ· ÛËÌ›· ˘¿Ú¯Ô˘Ó. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: °È· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË 1 x2 ËÌ

, xπ0 x f(x) = 0 , x=0 ,

y

0,2

s 1 -π -0,4

0,2





= –

< 0.  > 0 Î·È f


(4Ó–1)  (4Ó–1)  2

1 π

-0,2

x

0,5

x

-0,1

Ù˘ ÔÔ›·˜ Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‰›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì· (‚Ï. Â›Û˘ AÓ¿Ï˘ÛË °¢ §˘Î›Ԣ, ·Ú¿ÁÚ. 6.7), ÙÔ ÛËÌÂ›Ô 0 Â›Ó·È ÛÙ¿ÛÈÌÔ, ¯ˆÚ›˜ Ó· Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ·ÎÚÔÙ¿ÙÔ˘ Ô‡Ù ÛËÌÂ›Ô Î·Ì‹˜ Ì ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË. H ·fi‰ÂÈÍË fiÙÈ Â›Ó·È ÛÙ¿ÛÈÌÔ, ‰ËÏ. f¢ (0) = 0, ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô. H ·fi‰ÂÈÍË fiÙÈ ÙÔ x = 0 ‰ÂÓ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ·ÎÚÔÙ¿ÙÔ˘ Â›Ó·È ¿ÌÂÛË Û˘Ó¤ÂÈ· ÙÔ˘ ÁÂÁÔÓfiÙÔ˜ fiÙÈ fiÛÔ ÎÈ ·Ó ÏËÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô 0 ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙfiÛÔ ·ÚÓËÙÈΤ˜, fiÛÔ Î·È 2 ıÂÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜ Ù˘ f, ·ÊÔ‡ ÁÈ· ηٿÏÏËÏ· ÌÂÁ¿ÏÔ Ó Ù·

(4Ó+1) 2 ηÈ

‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÔÛÔÓ‰‹ÔÙ ÎÔÓÙ¿ ÛÙÔ 0 Î·È ÈÛ¯‡Ô˘Ó (4Ó–1)




P

0,1



2 2 f

=

(4v+1) (4Ó+1)

y=x2.sin 1 x

y=x2

2

2

2

-0,2 y=-x2

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Ù˘ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (0, 0), Ô˘ Â›Ó·È Ô ¿ÍÔÓ·˜ x¢ x, Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·Û‹ Ù˘ Û ·ÚÈıÌ‹ÛÈ1 ÌÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÛËÌ›· ÔÛÔÓ‰‹ÔÙ ÎÔÓÙ¿ ÛÙÔ 0 (ÛÙ· ÛËÌ›·

, Ó Ó Œ ƒ). ™Â ηӤӷ ‰È¿ÛÙËÌ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹ (0, Â) (·ÓÙ. (–Â, 0)), Â>0, Ë f ‰ÂÓ ÛÙÚ¤ÊÂÈ Ù· ÎԛϷ ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ (·ÓÙ. ÚÔ˜ Ù· οو) ‹ ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. EÔ̤ӈ˜ ‰ÂÓ ÌÔÚ› ÙÔ x=0 Ó· Â›Ó·È ı¤ÛË ÛËÌ›Ԣ ηÌ‹˜ Ì ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÂÊ·ÙÔ̤ÓË.

6 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

◆

M ∞£∏ª∞∆π∫∞

™YMBO§H ™THN E¶I§Y™H °PAMMIKOY ™Y™THMATO™ ME TH ME£O¢O A¶A§OIºH™ TOY GAUSS TˆÓ N. AÓ·ÛÙ·Û›Ô˘ Î·È K. AÓÂÛÙfiÔ˘ÏÔ˘, M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ

Σ

ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ KÂÊ¿Ï·ÈÔ Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ Ù˘ 1˘ Î·È 4˘ ¢¤ÛÌ˘ Ë ‚·ÛÈ΋ ̤ıÔ‰Ô˜ ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È Ô AÏÁfiÚÈıÌÔ˜ Gauss (M¤ıÔ‰Ô˜ E·˘ÍË̤ÓÔ˘ ¶›Ó·Î·). ™Ùfi¯Ô˜ ÙÔ˘ ¿ÚıÚÔ˘ Ì·˜ ·˘ÙÔ‡ Â›Ó·È Ó· ˘ԉ›ÍÔ˘Ì ¤Ó· ÙÚfiÔ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜ ÙÔ˘ ·ÏÁÔÚ›ıÌÔ˘ ÒÛÙ ӷ ÍÂÂÚ·ÛÙÔ‡Ó ÔÚÈṲ̂Ó˜ ‰˘ÛÎÔϛ˜ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È Î·Ù¿ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘.

E›Ï˘ÛË ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ··ÏÔÈÊ‹˜ ÙÔ˘ GAUSS K¿ı Â͛ۈÛË ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÙ·È Ì ÌÈ· ÁÚ·ÌÌ‹ ÙÔ˘ ¢·˘ÍË̤ÓÔ˘ ›Ó·Î·. AÓ ÔÈ ÌÂÙ·ÙÚÔ¤˜ ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Á›ÓÔÓÙ·È ÛÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ °1, °2, … °Î ÙÔ˘ Â·˘ÍË̤ÓÔ˘ ›Ó·Î· ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ÁÚ·ÌÌÔÚ¿ÍÂȘ Î·È Â›Ó·È ÔÈ ÂÍ‹˜: °Ú·ÌÌÔÚ¿ÍË

™˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜

1. EÓ·ÏÏ·Á‹ Ù˘ ı¤Û˘ ‰‡Ô ÁÚ·ÌÌÒÓ

°i ´

°j

2. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÌÈ·˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜ Ì ¤Ó· ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ·ÚÈıÌfi

°i Æ

Ï°i, Ïπ0

3. ¶ÚfiÛıÂÛË ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÌÈ·˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜, ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌ¤ÓˆÓ Ì ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi, ÛÙ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÌÈ·˜ ¿ÏÏ˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜.

°i Æ

4. ¶ÚfiÛıÂÛË ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÌÈ·˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜, ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌ¤ÓˆÓ Ì ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi, ÛÙ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÌÈ·˜ ¿ÏÏ˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌ¤ÓˆÓ Ì ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ ·ÚÈıÌfi.

°i Æ

°i + Ï°j

ΰi + ϰj

°È· Ó· χÛÔ˘Ì ¤Ó· ÁÚ·ÌÌÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· Ì ÙÔÓ ·ÏÁfiÚÈıÌÔ ÙÔ˘ Gauss, ÌÂÙ·ÙÚ¤Ô˘Ì ÙÔÓ Â·˘ÍË̤ÓÔ ›Ó·Î¿ ÙÔ˘ Û ¤Ó· ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ ·ÓËÁ̤ÓÔ ÎÏÈ̷ΈÙfi ›Ó·Î·. ●

AÓ Î·Ù¿ ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÂÓfi˜ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ Â·˘ÍË̤ÓÔ˘ ›Ó·Î· ·ÚÔ˘ÛÈ·ÛÙ› ÌÈ· ÁÚ·ÌÌ‹ 0 0…0 | ·, Ì · π 0, ÙfiÙ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ.

●

AÓ Î·Ù¿ ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÂÓfi˜ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ Â·˘ÍË̤ÓÔ˘ ›Ó·Î· ·ÚÔ˘ÛÈ·ÛÙ› Ì›· ÁÚ·ÌÌ‹ 0 0…0 | 0, ÙfiÙ ÌÂٷʤÚÔ˘Ì ·˘Ù‹ ÙË ÁÚ·ÌÌ‹ ÙÂÏÂ˘Ù·›· Î·È Û˘Ó¯›˙Ô˘Ì ÙË ‰È·‰Èηۛ·. TË ÁÚ·ÌÌ‹ ·˘Ù‹ ‰ÂÓ ÙË ‰È·ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÁÈ· Ó· ÌËÓ ·ÏÏ¿ÍÔ˘Ì ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ‰ÔṲ̂ÓÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜.

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1 ¢›ÓÔÓÙ·È ÔÈ Â˘ı›˜: Â1: x + y = 2 Â2: 3x – y = 2, Â3: 2x + 5y = 5 Ô˘ Û˘ÓÙÚ¤¯Ô˘Ó ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô A(1, 1). AÓ Ï‡ÛÔ˘Ì ÙÔ Û‡ÛÙËÌ¿ ÙÔ˘˜ Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ÙÔ˘ Gauss ı· ηٷϋÍÔ˘Ì ÛÙÔÓ ÂÍ‹˜ Â·˘ÍË̤ÓÔ ›Ó·Î·: 1 0 1 0

1

1

0

0

0

AÓ Â›¯·Ì ‰È·ÁÚ¿„ÂÈ ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÁÚ·ÌÌ‹ ÙÔ˘ ›Ó·Î·, ÙfiÙÂ Ë ›‰È· χÛË ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ›¯Â ÚÔ¤ÏıÂÈ ·fi ÙË Ï‡ÛË ‰‡Ô ÂÎ ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ÂÍÈÛÒÛˆÓ.

¶ÚÔÙÔ‡ ÚÔ¯ˆÚ‹ÛÔ˘Ì ı· ·Ú·ı¤ÛÔ˘Ì ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÁÈ· Ó· οÓÔ˘Ì ηٷÓÔËÙ‹ ÙËÓ ·Ó·ÁηÈfiÙËÙ· Ù˘ ÚÔÙ¿ÛÂÒ˜ Ì·˜. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2 N· Ï˘ı› ÙÔ Û‡ÛÙËÌ·

H ٤ٷÚÙË ÁÚ·ÌÌÔÚ¿ÍË ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô Â›Ó·È fï˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ Î·È ÙÚ›Ù˘ ÁÚ·ÌÌÔÚ¿Í˘.



2x + 7y – 4z =

0

–4x + 6y – 3z = –8 6x – 11y + 5z =

8



Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ÙÔ˘ Â·˘ÍË̤ÓÔ˘ ›Ó·Î·. §‡ÛË: T· ‰È·‰Ô¯Èο ‚‹Ì·Ù· ‰›ÓÔ˘Ó

7 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

™ Àªµ√§∏

2

7 –4

–4

6 –3

6 –11

8

–2

0

20 –11

–8

7 2

1 0

0 –32

17

7 2

1 0

0

1

7 2

0

0

1

0

4

0

0

1

8

16

0

6 –3

–8

–4

1 °2 20

°2 Æ

5 °3 3

°3 Æ

2 5 24 5

0

7 –2 2

6 –11

0

11 20 3 5

§ À™∏ ° ƒ∞ªªπ∫√À ™ À™∆∏ª∞∆√™

1

8

–2

1

1 °1 2

0 °1 Æ –8

5

™∆∏

°1

8

1

7 2

–2

0

0

1

11 20

2 5

0 –32

17

8

1 0 0

°1 Æ

5

7 °2 2

7 2

–2

1

11 20

2 5

1

8

0

2

°2 Æ

°2+4°1

°3 Æ

°3–6°1

°3 Æ

ª∂ ∆∏

°3+32°2

0

1

0

0

2

0

1

0

4

0

0

1

8

°1 Æ

°1+2°3

°2 Æ

° 2+

M ∂£√¢√ A ¶∞§√πº∏™

7

–4

0

0 20 –11

–8

0

0

1

8

2

7

0

32

0

1

0

4

0

0

1

8

1

0

0

2

0

1

0

4

0

0

1

8

11 ° 20 3

°1 Æ

°1+4°3

°2 Æ

°2+11°3

°1 Æ

°1–7°2

G AUSS

∆√À

2

7

0

0

20

0

0

0

1

32 °2 Æ 1 °2 20 80 8

2

0

0

0

1

0

4 °1 Æ 4

0

0

1

8

1 °1 2

ÕÚ·: (x = 2, y = 4, z = 8)

M ÙË ¯Ú‹ÛË Ù˘ ÁÚ·ÌÌÔڿ͈˜ 4, ÙËÓ ÔÔ›· ‰È·Ù˘ÒÛ·Ì ÛÙËÓ ·Ú¯‹, ÌÔÚԇ̠¢ÎÔÏfiÙÂÚ· Î·È Û˘ÓÙÔÌfiÙÂÚ· Ó· ÌˉÂÓ›ÛÔ˘Ì ٷ ˘fiÏÔÈ· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ Î·È ÌÂÙ¿ Ó· ÂÚÁ·ÛÙԇ̠fiˆ˜ ÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÚ›ÙˆÛË.

●

ÕÚ·: (x = 2, y = 4, z = 8)

¶ÚÔÛ·ıÒÓÙ·˜ ÛÙÔ ·Ú·¿Óˆ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÚÒÙÔ ·fi ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÌË ÌˉÂÓÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô 1 ÙÔ˘ AÏÁfiÚÈıÌÔ˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁԇ̠ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ô˘ ‰˘ÛÎÔÏÂ‡Ô˘Ó ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ Ú¿ÍÂȘ. °È· Ó· ·ÔʇÁÔ˘Ì ٤ÙÔÈ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÌÔÚԇ̠ӷ ÌˉÂÓ›˙Ô˘Ì ٷ ˘fiÏÔÈ· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ·ÊÔ‡ ÚÒÙ· Ù· οÓÔ˘Ì ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÙÔ˘ ÌË ÌˉÂÓÈÎÔ‡ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ Ô˘ ¤¯Ô˘ÌÂ Î·È ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ı· ÌÂÙ·ÙÚ¤Ô˘Ì ٷ ÚÒÙ· ·fi ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÌË ÌˉÂÓÈο ÛÙÔȯ›· Û ÌÔÓ¿‰Â˜, Ì ÙË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›· ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚ˘ ÌÔÚÊ‹˜. EÈÛËÌ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Î·È ·˘Ù‹ Ë Ì¤ıÔ‰Ô˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ fiÛÔ ·ÔÙÂÏÂÛÌ·ÙÈ΋ ı· ı¤Ï·ÌÂ.

●

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 3 N· Ï˘ı› ÙÔ Û‡ÛÙËÌ·



2x + 7y – 4z = 0 –4x + 6y – 3z = –8 6x – 11y + 5z = 8



–4

2 0

6 –3 –8

6 –11

5

8

7

–4

0

20 –11 –8

0 –160

8

0

85 40

°2 Æ

°2+2°1

2 0

°3 Æ

°3–3°1

°3 Æ

°3+8°2

7

–4

0

20 –11 –8

°3 Æ

0 –32

17

8

2

–4

0 ° Æ 3 –8

7

0 20 –11 0

0

–3 –24

2x + 4y – z = –12 – x + 2y + 5z =

3



Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ÙÔ˘ Â·˘ÍË̤ÓÔ˘ ›Ó·Î·. §‡ÛË: T· ‰È·‰Ô¯Èο ‚‹Ì·Ù· ›ӷÈ: 1

6

4

–9

2

4 –1 –12

–1

2

5

3

1

6

4

–9

0 –8 –9 0

0

1

°2 Æ

°2–2°1

°3 Æ

°3+°1

°1 Æ

4°1+3°2

1

6

0

–8

0

8

4 –9 –9

°3 Æ

°3+°2

6

9 –6

6

0 –11 –18 °1 Æ 0 –8 –9 6

1 °1 4

0

0

0

0 °2 Æ

1 °2 8

0

11 4

9 2

0

1

9 8

3 4

0

0

0

0

4

0

0

11 9 z= 4 2 ¤ 9 3 y+ z = 8 4

11 9 z– 4 2 9 3 y= z 8 4

x ¤




§‡ÛË: T· ‰È·‰Ô¯Èο ‚‹Ì·Ù· Ô˘ ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ›ӷÈ: 7 –4



x + 6y + 4z = –9

x=

ÕÚ· ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ¤¯ÂÈ ¿ÂÈÚ˜ χÛÂȘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 11 9 9 3 (x, y, ˆ) =

z –

, –

z –

, z , ˆŒ ó. 4 2 8 4

Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ÙÔ˘ Â·˘ÍË̤ÓÔ˘ ›Ó·Î·.

2

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 4 N· Ï˘ı› ÙÔ Û‡ÛÙËÌ·



5°3

1 °3 3

¶APATHPH™H MÔÚԇ̠ηٿ ÙË ‰È·‰Èηۛ· Â›Ï˘Û˘ ÙÔ˘ Â·˘ÍË̤ÓÔ˘ Ó· ·ÓÙÈÌÂÙ·ı¤ÛÔ˘Ì ÙȘ ÛًϘ ÙÔ˘ Â·˘ÍË̤ÓÔ˘ ›Ó·Î·, fï˜ ·˘Ù‹ Ë ‰È·‰Èηۛ· ηÏfi Â›Ó·È Ó· ·ÔʇÁÂÙ·È ÁÈ·Ù› Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ÔÌÔ›ˆ˜ ·ÏÏ¿˙Ô˘Ó Î·È ÔÈ ı¤ÛÂȘ ÙˆÓ ·ÁÓÒÛÙˆÓ. ◆

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

M ∞£∏ª∞∆π∫∞

f(x)dx

H APXIKH ™YNAPTH™H O PO§O™ TH™ ™TON Y¶O§O°I™MO TOY O§OK§HPøMATO™ TÔ˘ °. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë, K·ıËÁËÙ‹ E.M.¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ԣ

O

ÚÈÛÌfi˜: ¢›ÓÂÙ·È ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÔÚÈṲ̂ÓË

Û’ ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· ¢, ÊÚ·Á̤ÓÔ ‹ ÌË. MÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË F ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ¢ Î·È Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ÁÈ· οı xŒ ¢ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ F¢ (x) = f(x)

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) =

Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ó Ì ·Ú¿ÁˆÁÔ

ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ú¯È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ‹ ·Ú¿ÁÔ˘Û· Û˘Ó¿ÚÙËÛË ‹ Î·È ·ÓÙÈ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ¢. Afi ÙË ÌÂϤÙË Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı› ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ·˘Ùfi ÛÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô Ù˘ °¢ §˘Î›Ԣ, AÓ¿Ï˘ÛË, ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ȉÈfiÙËÙ˜: ●

H ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·Ú¯È΋˜ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ¿ÓÙÔÙ Û ‰È¿ÛÙËÌ·.

●

AÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ·Ú¯È΋ F Ù˘ f Û’ ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· ¢, ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÂÈÚ˜ Î·È Ì¿ÏÈÛÙ· Â›Ó·È fiϘ ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ F+c, cŒ ó, Î·È ÌfiÓÔÓ ·˘Ù¤˜, ‰ËÏ. ‰‡Ô ·Ú¯ÈΤ˜ ÌÈ·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó Î·Ù¿ ÛÙ·ıÂÚfi ·ÚÈıÌfi.

●

AÓ F Î·È G Â›Ó·È ·Ú¯ÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÙˆÓ f Î·È g ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ¢, ÙfiÙÂ Ë Ï Ô F Â›Ó·È Ë ·Ú¯È΋ Ù˘ Ï Ô f, ÏŒ ó, Î·È Ë F+G Â›Ó·È ÌÈ· ·Ú¯È΋ Ù˘ f+g.

TÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ·Ú¯ÈÎÒÓ ÌÈ·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ¢ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·fiÚÈÛÙÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È

f(x)dx.

¢ËÏ·‰‹, ·Ó F Â›Ó·È ÌÈ· ·Ú¯È΋ Ù˘ f ¤¯Ô˘Ì (1)

f(x)dx = F(x)+c,

cŒ ó.

f¢ (x)dx = f(x) + c, cŒ ó. TÔ Û‡ÓÔÏÔ ÛÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1) Î·È (2) ‰Â ÛËÌ·›ÓÂÈ

··Ú·›ÙËÙ· ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË.

f’(x) =



3 1 1 1

x sin

–

cos

, xπ0 2 x x x 0

, x=0

(‚Ï. AÛÎ. B1, ¨ 6.3), Ë ÔÔ›· ‰ÂÓ Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË ÛÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ 0 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Û ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ [0, ·]. ŒÙÛÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) Â›Ó·È ÌÈ· ·Ú¯È΋ Ù˘ f¢ (x) ¯ˆÚ›˜ Ó· ÌÔÚ› Ó· ÚÔ·„ÂÈ ·fi ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË Ù˘ f¢ (x).

H ȉȷ›ÙÂÚË ÛËÌ·Û›· Ô˘ ¤¯ÂÈ ÁÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙˆÓ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÌ¿ÙˆÓ Ë ·Ú¯È΋ ÌÈ·˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f Ê·›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔ ıÂÌÂÏÈ҉˜ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ OÏÔÎÏËÚˆÙÈÎÔ‡ §ÔÁÈÛÌÔ‡: £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ·1: AÓ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË F Â›Ó·È ÌÈ· ·Ú¯È΋ Ù˘ Û˘Ó¯ԇ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ¢ Î·È ·, ‚Œ ¢, ÙfiÙ (3)



‚

f(x)dx = F(‚ )– F(·).

·

°È· Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ÌÈ· ·Ú¯È΋ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ˘˜ ›Ó·Î˜ ÙˆÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ ‚·ÛÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Î·È ÙÔ˘˜ ηÓfiÓ˜ ·Ú·ÁˆÁ›Ûˆ˜ (ÛÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô Ù˘ AÓ¿Ï˘Û˘ Â›Ó·È ÛÙȘ ÛÂÏ. 158 & 159) ηıÒ˜ Î·È ÙȘ ÌÂıfi‰Ô˘˜ ÔÏÔÎÏËÚÒÛˆ˜ ÁÈ· Ó· ÌÂÙ·ÙÚ¤„Ô˘Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ηٿ Ù¤ÙÔÈÔ ÙÚfiÔ, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È Â‡ÎÔÏÔ˜ Ô ÂÓÙÔÈÛÌfi˜ ÌÈ·˜ ·Ú¯È΋˜ Ù˘.

¶ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÁÈ· Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ë Âfi-

EÔ̤ӈ˜, ·Ó Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ¢, ÙfiÙ ÌÈ· ·Ú¯È΋ Ù˘ f¢ Â›Ó·È Ë f Î·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (1) ÈÛ¯‡ÂÈ (2)



1 xx sin

, xπ0 x 0 , x=0

ÌÂÓË ÚfiÙ·ÛË Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· ‚Úԇ̠ÌÈ· ·Ú¯È΋ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÔÚÈṲ̂ÓÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜.

¶ÚfiÙ·ÛË: AÓ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ¢ Î·È ·Œ ¢, ÙfiÙ Ë

f(t)dt, x

(*)

F(x) =

·

xŒ ¢,

Â›Ó·È ÌÈ· ·Ú¯È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ f ÛÙÔ ¢.

1. TÔ ıÂÒÚËÌ· ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ· Î·È fiÙ·Ó Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Û οı ÎÏÂÈÛÙfi Î·È ÊÚ·Á̤ÓÔ ˘ԉȿÛÙËÌ· ÙÔ˘ ¢, Ô˘ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÂȉÈÎfiÙÂÚ· fiÙ·Ó Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

9

H A ƒÃπ∫∏ ™ À¡∞ƒ∆∏™∏ ●

●

H Û˘Ó¿ÚÙËÛË (*) Â›Ó·È ÌÈ· ·Ú¯È΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ Û˘Ó¯ԇ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f Î·È Ì¿ÏÈÛÙ· ÂΛÓË ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ F(·)=0. K¿ı ·Ú¯È΋ fï˜ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÚÔ·„ÂÈ ·fi ¤Ó· ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ f Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ (*). °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË x2+1 Â›Ó·È ÌÈ· ·Ú¯È΋ Ù˘ 2x ¯ˆÚ›˜ fï˜ Ó· ‰›ÓÂÙ·È ·fi ¤Ó· ÔÏÔÎϋڈ̷ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜



x

2t dt = x2 – ·2,

‰ËÏ. ÂΛÓË ÙËÓ ·Ú¯È΋ H(x)+c0, ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· Ë F(x) =



G(x)

xŒ [‚, Á]

H(x)+c0, xŒ (Á, ‰]

Â›Ó·È ÌÈ· ·Ú¯È΋ Ù˘ ‰Ôı›Û˘ f(x). ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 1: ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Ô ÎÏ¿‰Ô˜ g(x) ÔÚ›˙ÂÙ·È Û ‰È¿ÛÙËÌ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ [‚, Á) Î·È Ô h(x) Û ‰È¿ÛÙËÌ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ [Á, ‰], ÙfiÙ ÛÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÌÂϤÙË ·ÏÏ¿˙Ô˘Ó ÔÈ ÚfiÏÔÈ ÙˆÓ G(x) Î·È H(x) ·Ó¿ÏÔÁ·.

·

ÁÈ·Ù› ÁÈ· οı · Â›Ó·È –·2 π 1. £· ·Ú·ı¤ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌÔ‡ ÌÈ·˜ ·Ú¯È΋˜ Û˘Ó¯ԇ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ̤ۈ ÙÔ˘ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ·ÙÔ˜ (*) fiÙ·Ó Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ‰›ÓÂÙ·È Ì ÎÏ¿‰Ô˘˜ Î·È ı· ÂÈÛËÌ¿ÓÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· Ô˘ ı· ‰È¢ÎÔχÓÔ˘Ó ÙË Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. OÈ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ô˘ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ‰›ÓÂÙ·È Ì ¤Ó·Ó Ù‡Ô ¤¯ÂÈ ÌÂÏÂÙËı› ÈηÓÔÔÈËÙÈο ÛÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô. ¢›ÓÂÙ·È Ë Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) =



g(x), xŒ [‚, Á]

2)

(4)

f(x) =

2x –2

t lnt dt =
14
(2x lnx – x + 1). 2

2

Afi ÙȘ ·Ú¯ÈΤ˜ H(x)+c, cŒ ó, ·Ó·˙ËÙԇ̠ÂΛÓË 1

(2x2 lnx – x2 + 1) + c0 4 Ô˘ Ì·˙› Ì ÙËÓ G(x) = x2 ı· Ì·˜ ‰ÒÛÔ˘Ó ÌÈ· ·Ú¯È΋

·Œ (Á, ‰].

F(x) =

·

Afi ÙȘ ·Ú¯ÈΤ˜ H(x)+c, cŒ ó , ·Ó·˙ËÙԇ̠ÂΛÓË H(x)+c0 Ô˘ Ì·˙› Ì ÙËÓ G(x) ı· Ì·˜ ‰ÒÛÂÈ ÌÈ· ·Ú¯È΋ G(x), xŒ [‚, Á] F(x) = H(x)+c0, xŒ (Á, ‰]



, x≤0

1

(2x2 lnx – x2 + 1) + c0 , 0<x 4






1 lim

(2x2 lnx – x2 + 1) +c = G(0) 4

xÆ 0

H F(x), ˆ˜ ·Ú¯È΋, Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. ™Â fiÏ· Ù· ÛËÌ›· xŒ [‚, ‰], Ì xπÁ, Ë F(x) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, ·ÊÔ‡ οı ÎÏ¿‰Ô˜ Ù˘ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÛÙ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù·. °È· Ó· Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Á ı· Ú¤ÂÈ



x2

Ù˘ f(x). H F(x), ˆ˜ ·Ú¯È΋, Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜. ™Â fiÏ· Ù· ÛËÌ›· x π 0 Ë F(x) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜, ·ÊÔ‡ Î·È ÔÈ ‰‡Ô ÎÏ¿‰ÔÈ Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ. °È· Ó· Â›Ó·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x=0 Ë F(x) Û˘Ó¯‹˜ Ú¤ÂÈ

Ù˘ f(x).

‹

1

+ c = 0, 4

1 c0 = –

. 4

ÔfiÙÂ

EÔ̤ӈ˜ ÌÈ· ·Ú¯È΋ Ù˘ f Â›Ó·È Ë

(5)

F(x) =

lim+[H(x) + c] = G(Á).

xÆ Á



x2

Afi ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÈÛfiÙËÙ· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ c0,

3. YÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ lim+(xklnx)=0, k>0, ‚Ï. AÓ¿Ï˘ÛË °¢ §˘Î›Ԣ, ·Ú¿‰. 7, ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ˜ 6.16. xÆ 0

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

, x≤0

1

(2x2 lnx – x2), 0<x . 4

2. TÔ ·Ó Ù· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· Â›Ó·È ·ÓÔȯٿ ‹ ÎÏÂÈÛÙ¿ ÛÙ· ÛËÌ›· ‚ Î·È ‰ ‰ÂÓ ·›˙ÂÈ Î·Ó¤Ó· ÚfiÏÔ.

10

x

1

x

●

1

x

H(x) =

g(t)dt,

ÂÓÒ ÌÈ· ·Ú¯È΋ Ù˘ h(x) ÛÙÔ (Á, ‰] Â›Ó·È Ë

●

O

ÂÓÒ ÌÈ· ·Ú¯È΋ Ù˘ h(x) = x lnx ÛÙÔ (0, +• ) ›ӷÈ

Á

●

–1

2

x

h(t)dt,

xlnx

0

MÈ· ·Ú¯È΋ Ù˘ g(x) ÛÙÔ [‚, Á], Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ (*), Â›Ó·È Ë

H(x) =

y

2t dt = x , x

G(x) =

°È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ¿ Ì·˜ ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜:

G(x) =

x≤0,  2x, x lnx, 0<x.

§‡ÛË: H f(x) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (–• , +• )3). MÈ· ·Ú¯È΋ Ù˘ g(x) = 2x ÛÙÔ (–• , 0], Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË, ›ӷÈ

h(x), xŒ (Á, ‰]

Î·È ˙ËÙԇ̠ӷ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ÌÈ· ·Ú¯È΋ Ù˘.

●

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1 N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› ÌÈ· ·Ú¯È΋ Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜

M ∞£∏ª∞∆π∫∞ EÊ·ÚÌÔÁ‹ 1: °È· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË (4) Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÔÚÈṲ̂ÓÔ ÔÏÔÎϋڈ̷:

f(t)dt.

f(t)dt = x

F(x) =

0

1

I=

0

§‡ÛË: ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÌÂÏÈ҉˜ ıÂÒÚËÌ· Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ·Ú¯È΋˜ (5) ¤¯Ô˘ÌÂ



f(t)dt = F(1 ) – F(0) =

xŒ [–1, 0]

0 x

xΠ(0, 1] .

0

™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË fï˜ ·˘Ù‹ ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ÔÏÔÎϋڈ̷ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÓfiËÌ·*, ·ÊÔ‡ Ô ÏÔÁ¿ÚÈıÌÔ˜ ‰ÂÓ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ 0.

0

1 1 =

(2 Ø 12 ln1 – 12) – 02 = –

. 4 4



x

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 3: AÎfiÌË Î·È ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÌÈ·˜ ÈÔ ·Ï‹˜ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜

1

I=

2t dt, t lnt dt,

f(x) =

❏

 4x ,

3x2, x Œ [–1, 0] 4

x Π(0, 1]

Ë ÁÚ·Ê‹ EÊ·ÚÌÔÁ‹ 2: N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ¯ˆÚ›Ô˘ Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· Ox Î·È ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ· Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ (4) ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [–1, 1]. §‡ÛË: ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÌÂÏÈ҉˜ ıÂÒÚËÌ· ı· Â›Ó·È E=

|f(x)| dx = – f(x)dx = –[F(1)–F(–1)] = 1

1

–1

–1





1 5 = –

(2 Ø 12 ln1 – 12) – ( – 1)2 =

. 4 4

❏

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË 2: AÓ ÁÈ· ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 2 ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ì ÙËÓ (*) ÁÈ· Ó· ‚Úԇ̠ÌÈ· ·Ú¯È΋ Ù˘ f Î·È ÂÈϤÁ·Ì · = 0, ÙfiÙ ı· ÁÚ¿Ê·ÌÂ:

EÛÂȘ EÌÂȘ ÚÔÛ·ıԇ̠ڈٿÙ Ӓ ··ÓÙ‹ÛÔ˘ÌÂ

f(t)dt = x

F(x) =

0

3t dt, xŒ [–1, 0] 4t dt, xŒ (0, 1] .



x

0 x

2

2

0

‰ÂÓ Â›Ó·È ÂÈÙÚÂÙ‹ ÁÈ·Ù› Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ÎÏ¿‰Ô˜ Ù˘ f ‰ÂÓ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ 0. ™ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ·˘Ù‹ ÂÚ›ÙˆÛË ÂÂȉ‹ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ ÎÏ¿‰Ô˘ 4x2 ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› fiÙÈ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô 0, Ë ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÈÛfiÙËÙ· ı· Ì·˜ ‰ÒÛÂÈ ÙË ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ·Ú¯È΋. E›Ó·È ‚¤‚·È·, ¯ˆÚ›˜ ȉȷ›ÙÂÚË ÂÚÌËÓ›·, Ï¿ıÔ˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·. ◆ * ™Ù· Ï·›ÛÈ· Ù˘ ‡Ï˘ ÙÔ˘ Û¯ÔÏÈÎÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘.

MÔÚ› ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË Û˘Ó¯‹˜ Û’ ¤Ó· ‰È¿ÛÙËÌ· Ó· ÌËÓ ¤¯ÂÈ ÛÙÔ ¿ÎÚÔ ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔÈÎfi ·ÎÚfiÙ·ÙÔ; A·ÓÙ¿ÂÈ Ô °. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë˜, K·ıËÁËÙ‹˜ E.M. ¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ԣ

H ·¿ÓÙËÛË, Ô˘ ‰È·Ê·›ÓÂÙ·È ·fi ÙËÓ ·Ú·Ù‹ÚËÛË ÛÙÔÓ Û¯ÂÙÈÎfi ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ Û¯ÔÏÈÎÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘ fiÙÈ «T· ¿ÎÚ· ·, ‚ ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ¢ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÛËÌ›· ÙÔÈÎÒÓ ·ÎÚÔÙ¿ÙˆÓ Ù˘ f», Â›Ó·È ıÂÙÈ΋. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ f(x) = Î·È g(x) =

 

x2

1 Û˘Ó

x

0

,

x>0

,

x=0

(Û¯. 1)







y

y=x2.cos 1 x

0,2

,

x>0

,

x=0



 > 0, 2

y

y=x.sin 1 x

s

s

P P

(Û¯. 2) 0

Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [0, +• ) (Ë f Â›Ó·È Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË), fï˜ ÙfiÛÔ Ë ÌÈ· fiÛÔ Î·È Ë ¿ÏÏË ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÈÎfi ·ÎÚfiÙ·ÙÔ ÛÙÔ ¿ÎÚÔ 0. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, fiÛÔ ÎÈ ·Ó ÏËÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô 0 ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙfiÛÔ ·ÚÓËÙÈΤ˜ fiÛÔ Î·È ıÂÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜ Ù˘ f, ·ÊÔ‡ ÁÈ· 1 1 ηٿÏÏËÏ· ÌÂÁ¿ÏÔ Ó Ù·

,

‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÔÛÔÓ‰‹2Ó (2Ó+1) ÔÙ ÎÔÓÙ¿ ÛÙÔ 0 Î·È ÈÛ¯‡Ô˘Ó: 1 1 f

=

2Ó 2Ó

2

+1

0,1

1 x ËÌ

x 0

 d Î ). AÚ¯Èο ‰È·ÙËÚԇ̠ÙÔÓ Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ Ì ÙËÓ Î¿Ùˆ ÂÈÊ¿ÓÂÈ¿ ÙÔ˘ Û Â·Ê‹ Ì ÙËÓ ÂχıÂÚË ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ˘ÁÚÔ‡. AÊ‹ÓÔ˘Ì ÂχıÂÚÔ ÙÔÓ Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ (‹ ÙÔÓ ·Ó·Áο˙Ô˘Ì ӷ ‚˘ıÈÛÙ› ‚·ıÌÈ·›·) ÔfiÙ Ì ÙËÓ Â›‰Ú·ÛË ÙÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ‚˘ı›˙ÂÙ·È ‚·ıÌÈ·›· ÛÙÔ ˘ÁÚfi. H ¿ÓˆÛË Ô˘ ‰¤¯ÂÙ·È ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ x ηٿ ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ‚˘ıÈṲ̂ÓÔ˜. A = V‚Îd˘g = (Sx)d˘g = kx.

F2

H ¿ÓˆÛË ·˘Í¿ÓÂÙ·È ÁÚ·ÌÌÈο Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ x Î·È Ë ÁÚ·ÊÈ΋ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·. T· fiÚÈ· ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ ÙÔ˘ x Â›Ó·È ·fi Ìˉ¤Ó ̤¯ÚÈ h1, ÁÈ·Ù› ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÂÍ ÔÏÔÎÏ‹ÚÔ˘ ‚‡ıÈÛË ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ Ë ¿ÓˆÛË ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È ÛÙ·ıÂÚ‹. ™Â ÌÈ· ÂӉȿÌÂÛË ı¤ÛË ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ ÛÎÈ·Ṳ̂Ó˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜. TÔ ¤ÚÁÔ Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi ÁÈ·Ù› Ë ¿ÓˆÛË ¤¯ÂÈ ÊÔÚ¿ ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ ÂÓÒ Ë ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ÚÔ˜ Ù· οو. OfiÙ ›ӷÈ

A

B

F1

ŸÙ·Ó ÙÔ ÛÒÌ· ÎÈÓÂ›Ù·È Î·È ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û˘Ó¯Ҙ ‚˘ıÈṲ̂ÓÔ Ì¤Û· ÛÙÔ ˘ÁÚfi Ë ¿ÓˆÛË Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹ A = VÛ Ø d˘ Ø g. ŸÙ·Ó ÙÔ ÛÒÌ· ÂÈÛ¤Ú¯ÂÙ·È ‹ ÂͤگÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ˘ÁÚÔ‡ ÙfiÙÂ Ë ¿ÓˆÛË ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È, ¿Ú· ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È fiˆ˜ ·˘Ùfi ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ‰˘Ó¿ÌˆÓ, ‰ËÏ·‰‹ ÁÚ·ÊÈο.

°IA TON Y¶O§O°I™MO TOY EP°OY TH™ ANø™H™ KATA THN BY£I™H ENO™ ™øMATO™ ™E Y°PO AKO§OY£OYME THN ¶APAKATø ¢IA¢IKA™IA

1 1 W(x) = –

kx2 = –

Sd˘gx2. 2 2 °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ı· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ¿ÓˆÛ˘ fiÙ·Ó Ô Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜ ÂÈϤÂÈ (x=h1) Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ‚˘ı›˙ÂÙ·È Ï‹Úˆ˜ ÛÙÔ ˘ÁÚfi (x=h). ŸÙ·Ó Ô Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜ ÂÈϤÂÈ ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ B Î·È Ë ¿ÓˆÛË A0 ÈÛÔÚÚÔÔ‡Ó, B = A0 fi

VÎdÎg = V‚Îd˘g fi

ShdÎ = Sh1d˘ fi TÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ¤ÚÁÔ Â›Ó·È

d h1 = h

Î . d˘

1 1 W(h1Æ h) = W(h)–W(h1) = –

kh2 +

kh12 = 2 2


 .

1 h12 Sd˘gh2 d = –

kh2 1–

=

1–

Î 2 2 h 2 d˘




A0



2

h

ÕÛÎËÛË

A

x=h1 A=kx B

S Wdk

O

x

h

x

Œ¯Ô˘Ì ¤Ó· ·ÏÈÓ‰ÚÔ ‡„Ô˘˜ h Î·È ‰È·ÙÔÌ‹˜ S Î·È ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ¿ÓˆÛ˘ ηٿ

K‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜ ‡„Ô˘˜ h=1m Â›Ó·È ÙÔÔıÂÙË̤ÓÔ˜ fiÚıÈÔ˜ ÛÙÔÓ ˘ı̤ӷ ‰Ô¯Â›Ô˘ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÓÂÚfi ‡„Ô˘˜ H=3m. AÓ ·Ê‹ÛÔ˘Ì ÙÔÓ Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ ÂχıÂÚÔ Ó· ÎÈÓËı› Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ¿ ÙÔ˘, ·) ÙË ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ Ë ¿Óˆ ‚¿ÛË ÙÔ˘ ÊÙ¿ÓÂÈ ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡, ‚) ÙË ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ ‚Á·›ÓÂÈ ÔÏfiÎÏËÚÔ˜ Ô Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜ ·fi ÙÔ ÓÂÚfi. ¢›ÓÔÓÙ·È dÎ=600 Kgr/m3, d˘=1000 Kgr/m3. §‡ÛË:

·) AÊ‹ÓÔÓÙ·˜ ÙÔÓ Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ ÂχıÂÚÔ Ó· ÎÈÓËı›

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

17

E ƒ°√ A ¡ø™∏™ ‰¤¯ÂÙ·È ‰‡Ô ‰˘Ó¿ÌÂȘ. TËÓ ¿ÓˆÛË

‚) ™Â ÌÈ· Ù˘¯·›· ı¤ÛË (IV) Ô Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜ ¤¯ÂÈ ·Ó·‰˘ı› ηٿ x ÔfiÙÂ Ë ¿ÓˆÛË Ô˘ ‰¤¯ÂÙ·È Â›Ó·È

A=V‚Î Ød˘Øg = Shd˘g Î·È ÙÔ ‚¿ÚÔ˜

A = S(h – x)d˘g . B=VÎ ØdÎØg = ShdÎg.

H ¿ÓˆÛË ÙÒÚ· Â›Ó·È ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ ‰‡Ó·ÌË Ë ÔÔ›· ÌÂÈÒÓÂÙ·È ÁÚ·ÌÌÈο Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË x Î·È ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ·fi ÙË ı¤ÛË (III) fiÔ˘ x=0, ¤ˆ˜ ÙË ı¤ÛË (IV) fiÔ˘ x=h Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È ÁÚ·ÊÈο.

u2 A u1 x

A

h-x

(V)

Shdug

(H-h) H h

O

ŸÌˆ˜ d˘>dÎ ¿Ú· A>B, ÂÔ̤ӈ˜ Ô Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜ ÎÈÓÂ›Ù·È ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ. ™ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· Ù˘ ÌÂٷΛÓËÛ‹˜ ÙÔ˘ ·fi ÙË ı¤ÛË (I) ÛÙË ı¤ÛË (III) Ô Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜ Â›Ó·È Û˘Ó¯Ҙ ‚˘ıÈṲ̂ÓÔ˜ ÔÏfiÎÏËÚÔ˜ ÛÙÔ ÓÂÚfi ¿Ú· Ë ¿ÓˆÛË Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹. EÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ £.M.K.E. ·fi ÙË ı¤ÛË (I) ÛÙË ı¤ÛË (III). EÎ(I) + ™W = EÎ(III) fi 1 0 + WA – WB =

m˘12 fi 2 1 A(H – h) – B(H – h) =

m˘12 fi 2

2(H – h)g(d – d )


@  d ˘

Î

EÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ £.M.K.E. ·fi ÙË ı¤ÛË (III) ÛÙË ı¤ÛË (V) EÎ(III) + ™W = EÎ(v) fi 1 1

m˘21 + WA – WB =

m˘22 fi 2 2 1 1 1

dÎSh˘21 +

Sh2d˘g – ShdÎgh =

dÎSh˘22 fi 2 2 2 1 1 1

d΢21 +

d˘gh – dÎgh =

d΢22 fi 2 2 2

1 Shd˘g(H – h) – ShdÎg(H – h) =

dÎSh˘12 fi 2 1 2 g(H – h)(d˘ – dÎ) =

d΢1 fi 2 ˘1 =

1 WA =

h(Shd˘g) = 2 h x(m) 1 =

Sh2d˘g 2

WA>0

B (II)

(I)

ÁÈ· x=h A=0

B (IV)

(III)

ÁÈ· x=0 A = Shd˘g

A(N)

d΢21 + d˘gh – 2dÎgh fi ˘22 =


dÎ ˘2 =

2 Î 1

d ˘ + d gh – 2d gh


@  d ˘

Î

8,36 m/s.

Î

5,164 m/s

◆

Î

¶§HPEI™ ™EIPE™ ºY™IKH™ ÁÈ· ÙÔ §‡ÎÂÈÔ Î·È ÙȘ ¢¤Û̘ AΣKHΣEIΣ ΦYΣIKHΣ TAΞINOMHΣH - MEΘO∆OΛOΓIA - TEXNIKEΣ AΣKHΣEIΣ ΦYΣIKHΣ Π. IAKΩBOY ΦYΣIKH A' ΛYKEIOY I AΣKHΣEIΣ ΦYΣIKHΣ AΣKHΣEIΣ ΦYΣIKHΣ ΠETPOY Γ. IAKΩBOY

ΓIΩPΓOY ATPEI∆H

Γ. ΓIOYBANOY∆HΣ ΦYΣIKH Γ' ΛYKEIOY °ÈÒÚÁÔ˘ °ÈÔ˘‚·ÓÔ‡‰Ë

TAΞINOMHΣH - MEΘO∆OΛOΓIA - TEXNIKEΣ

ΠETPOY Γ. IAKΩBOY

ΠETPOY Γ. IAKΩBOY

TOMO™

TOMOΣ A' - B' EK∆OΣH

OÈ Ï‹ÚÂȘ χÛÂȘ ‰Ú·ÛÙËÚÈÔًوÓ, ÂÚˆÙ‹ÛÂˆÓ & ·Û΋ÛÂˆÓ ÙÔ˘ Û¯ÔÏÈÎÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘

ΘEΣΣAΛONIKH

Hλεκτρικ κυκλµατα συνεχος ρεµατος (Mνιµη - Mεταατικ κατσταση) Θερµοδυναµικ Hλεκτροµαγνητικ Eπαγωγ Eναλλασσµενα ρεµατα Hλεκτροµαγνητικ θεωρ#α

Kινητικ θεωρ#α των αερ#ων Tαλαντσεις Kµατα

ΘEΣΣAΛONIKH 1992

TOMOΣ Γ'

EK∆OΣEIΣ ZHTH

TOMOΣ 2ος

°È· ÙËÓ 1Ë Î·È 2Ë ‰¤ÛÌË

Περι χει λα τα κεφλαια 1-12

&

ΣTOIXEIA ΘEΩPIAΣ MEΘO∆OΛOΓIA EPΩTHΣEIΣ ΘEΩPIAΣ TYΠOΛOΓIO ΛYMENA ΠAPA∆EIΓMATA ΛYMENA ΠPOBΛHMATA ΠPOBΛHMATA ΓIA ΛYΣH

£E™™A§ONIKH 1996

ΠEPIEXEI: ΣTOIXEIA ΘEΩPIAΣ MEΘO∆OΛOΓIA EPΩTHΣEIΣ ΘEΩPIAΣ TYΠOΛOΓIO ΛYMENA ΠAPA∆EIΓMATA ΛYMENA ΠPOBΛHMATA ΠPOBΛHMATA ΓIA ΛYΣH

TOMO™ 1

✓ ŸÏË Ë ıˆڛ· ·Ó·Ï˘Ì¤ÓË Û ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ ● EP°O - ENEP°EIA ✓ T˘ÔÏfiÁÈÔ ● OPMH - KPOY™H ✓ ™ÙÔȯ›· ıˆڛ·˜ Ì ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ● ¶E¢IA ¢YNAMEøN ✓ MÂıÔ‰ÔÏÔÁ›· ÁÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙˆÓ ·Û΋ÛÂˆÓ ● KINH™EI™ ™E ✓ 110 ˘Ô‰ÂÈÁÌ·ÙÈο & ÌÂıÔ‰Èο Ï˘Ì¤Ó˜ ·Û΋ÛÂȘ ¶E¢IA ¢YNAMEøN ✓ 33 ‰È‰·ÁÌ·Ù¿ÎÈ· ● TA§ANTø™EI™ ✓ 600 ¿Ï˘Ù˜ ·Û΋ÛÂȘ Ì ··ÓÙ‹ÛÂȘ ● KYMATA ✓ ŸÏ· Ù· £¤Ì·Ù· ıˆڛ·˜ Î·È ·Û΋ÛÂˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÌÂÈ Û ¶·ÓÂÏÏ·‰ÈΤ˜ EÍÂÙ¿ÛÂȘ

MÂıÔ‰ÔÏÔÁ›· T·ÍÈÓfiÌËÛË ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ T¯ÓÈΤ˜

ΓIA MAΘHTEΣ - ΦOITHTEΣ - KAΘHΓHTEΣ ΓIA MAΘHTEΣ - ΦOITHTEΣ - KAΘHΓHTEΣ

TOMOΣ B'

TOMOΣ 1ος

°È· ÙËÓ 1Ë Î·È 2Ë ‰¤ÛÌË

ΠEPIEXEI:

A' §YKEIOY

EÚˆÙ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·ÓfiËÛË Ù˘ ıˆڛ·˜ ÙÔ˘ Û¯ÔÏÈÎÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘

HΛEKTPIΣMOΣ KYKΛΩMATA ΣYNEXOYΣ PEYMATOΣ HΛEKTPOMAΓNHTIKH EΠAΓΩΓH ENAΛΛAΣΣOMENO PEYMA

ΠPOBΛHMATA ΦYΣIKHΣ ΠPOBΛHMATA ΦYΣIKHΣ

°. °IOYBANOY¢H™

¶ETPO™ °. IAKøBOY

ΓIA MAΘHTEΣ - ΦOITHTEΣ - KAΘHΓHTEΣ

EPΩTHΣEIΣ KPIΣEΩΣ και ΓPAΦIKEΣ ΠAPAΣTAΣEIΣ στη ΦYΣIKH Γ' ΛYKEIOY

°' §˘Î›Ԣ

TAΞINOMHΣH - MEΘO∆OΛOΓIA - TEXNIKEΣ TAΞINOMHΣH - MEΘO∆OΛOΓIA - TEXNIKEΣ

KINHMATIKH ¢YNAMIKH

ΓIΩPΓOY ATPEI∆H MHXANIKH EPΓO-ENEPΓEIA OPMH-KPOYΣH ΠE∆IA ∆YNAMEΩN KINHΣEIΣ ΣE ΠE∆IA ∆YNAMEΩN

EÚˆÙ‹ÛÂȘ KÚ›Ûˆ˜ §˘Ì¤Ó˜ Î·È ÕÏ˘Ù˜ AÛ΋ÛÂȘ £E™™A§ONIKH

EK∆OΣEIΣ ZHTH

™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô

18 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

£E™™A§ONIKH 1996

Γ. ATPEI∆HΣ ΦYΣIKH (1η-2η ∆EΣMH) T.1: MHXANIKH, T.2: HΛEKTPIΣMOΣ Yπ κδοση: T.3: ΘEPMO∆YNAMIKH, NOMOI AEPIΩN TAΛANTΩΣEIΣ, KYMATA

º À™π∫∏

2 Ô˜ £EPMO¢YNAMIKO™ NOMO™

TÔ˘ Mȯ. ¶. Mȯ·‹Ï, º˘ÛÈÎÔ‡

2Ô˜ £ÂÚÌÔ‰˘Ó·ÌÈÎfi˜ ÓfiÌÔ˜ Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È ÈÛÙÔÚÈο Ì ÙȘ ÚÔÛ¿ıÂȘ ÁÈ· ÙË ‚ÂÏÙ›ˆÛË ÙˆÓ ıÂÚÌÈÎÒÓ Ì˯·ÓÒÓ. ¶ÔÈÔÙÈο: ¢È·Ù˘ÒÓÂÙ·È Ì ÙȘ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Kelvin-Plank Î·È Clausius. ¶ÔÛÔÙÈο: ¢È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ÂÈÛ¿ÁÔÓÙ·˜ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÂÓÙÚÔ›·˜ Ì ÙË Û¯¤ÛË

O

¢SÔÏ ≥ 0

(1)

¢ËÏ·‰‹: H ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ÂÓÙÚÔ›·˜ ÂÓfi˜ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È ÙÔ˘ ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓÙfi˜ ÙÔ˘ ıˆÚÔ‡ÌÂÓˆÓ Û·Ó Û‡ÓÔÏÔ, Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ Î·È ÏËÛÈ¿˙ÂÈ ÛÙÔ Ìˉ¤Ó ÁÈ· οı ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ô˘ ÚÔÛÂÁÁ›˙ÂÈ ÙËÓ ·ÓÙÈÛÙÚÂÙ‹. ¢ËÏ. Ë (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È Î·È ¢SÛ˘ÛÙ + ¢SÂÚÈ‚ ≥ 0. TÈ Â›Ó·È fï˜ ÂÓÙÚÔ›·; ™ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Carnot ÈÛ¯‡ÂÈ: W T1–T2 n =

=

fi Q1 T1

¢T W = Q1

fi T1

Q W =

1 ¢T T1

fiÔ˘ Q1 Â›Ó·È Ë ıÂÚÌfiÙËÙ· Ô˘ ÚÔÛʤÚÂÙ·È ÛÙÔ Û‡ÛÙËÌ· (·¤ÚÈÔ) ·fi ÙÔ ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓ Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· T1 ÈÛfiıÂÚÌ· ‰ËÏ·‰‹ Î·È Ì ·ÓÙÈÛÙÚÂÙfi ÙÚfiÔ. Q BϤÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ ÙÔ ËÏ›ÎÔ

1 Â›Ó·È ¤Ó· ̤ÙÚÔ T1 ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ Ô˘ ·Ú¿ÁÂÙ·È ·fi ÙË Ì˯·Ó‹, ÁÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜ ¢T. A˘Ùfi ÙÔ ËÏ›ÎÔ Ô˘ Ì·˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ ¤ÚÁÔ Ô˘ ÌÔÚԇ̠ӷ ¿ÚÔ˘Ì ·fi ÙËÓ ÂÓÙfi˜ ÙÔ˘ ·ÂÚ›Ô˘ ÌÂÙ·ÙÚÔ‹ Ù˘ ıÂÚÌfiÙËÙ·˜ Ô Clausius ÙÔ ÔÓfiÌ·Û ÌÂÙ·Q ‚ÔÏ‹ Ù˘ ÂÓÙÚÔ›·˜ ¢S. ÕÚ· ¢S =

(2) Â›Ó·È Ë ÌÂT Ù·‚ÔÏ‹ Ù˘ ÂÓÙÚÔ›·˜ Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ ·Ó Ë ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚÂÙ‹ Î·È ÈÛfiıÂÚÌË. ™ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Carnot ·ԉ›ͷÌ fiÙÈ Q Q

1 = –

2 fi T1 T2 fi

Q Q

1 +

2 = 0 fi T1 T2

¢S1 + ¢S2 = 0 fi

¢SÔÏ = 0

2 ¢Q fiÔ˘ ¢SÔÏ =

Â›Ó·È Ë Û˘ÓÔÏÈ΋ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ T 1

ÂÓÙÚÔ›·˜ ·fi ÙËÓ Î·Ù¿ÛÙ·ÛË 1 ÛÙËÓ Î·Ù¿ÛÙ·ÛË 2 ηÈ

‚ϤÔ˘Ì ˆ˜ ¢SÔÏ = 0. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ¤¯Ô˘Ì ·ÓÙÈÛÙÚÂÙ‹ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ fi¯È fï˜ ÈÛfiıÂÚÌË ¤¯Ô˘ÌÂ:



2 dQ dQ dS =

fi ¢S =

. 1 T T ŸÔ˘ ÙÔ dQ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÙË ÁÓˆÛÙ‹ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ‰È·ÊÔÚÈÎÔ‡ ·ÊÔ‡ ÙÔ Q ‰ÂÓ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔ ·fi ÙËÓ ·Ú¯È΋ Î·È ÙÂÏÈ΋ ηٿÛÙ·ÛË ·ÏÏ¿ Î·È ·fi ÙÔ ‰ÚfiÌÔ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı‹Û·Ì (.¯. Ì ÛÙ·ıÂÚfi fiÁÎÔ, ‹ Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ ›ÂÛË Î.Ù.Ï.). H Û¯¤ÛË (1) ‰ÂÓ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È, Â›Ó·È ÌÈ· ÂÌÂÈÚÈ΋ Û¯¤ÛË Î·È ÚÔ·ÙÂÈ Û·Ó ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ì·ÎÚÔ¯ÚfiÓÈˆÓ ÂÌÂÈÚÈÒÓ. Afi ÙËÓ ÔÛÔÙÈ΋ ‰È·Ù‡ˆÛË Ù˘ ÂÓÙÚÔ›·˜ Û¯¤ÛË (1) ‚Á¿˙Ô˘Ì ٷ ÂÍ‹˜ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù·:

·) O ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ÂÓÙÚÔ›·˜ Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÌfiÓÔ ÌÂÙ·‚ÔϤ˜ ÂÓÙÚÔ›·˜ Î·È fi¯È ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜. ‚) H ÂÓÙÚÔ›· Û·Ó È‰ÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È Î·Ù·ÛÙ·ÙÈ΋ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ ¿Ú· ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔ ·fi ÙËÓ Î·Ù¿ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È fi¯È ·fi ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ Á›ÓÂÙ·È Ë ÌÂÙ·‚ÔÏ‹. Á) H Û¯¤ÛË (1) ‰ÂÓ ·ÔÎÏ›ÂÈ ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ¢SÛ˘ÛÙ < 0 ‹ ¢SÂÚ < 0 ·ÏÏ¿ fiÙ·Ó ¢SÛ˘ÛÙ < 0, ÙfiÙ ˘Ô¯ÚˆÙÈο ¢S ÂÚ > 0 Î·È Ì¿ÏÈÛÙ· ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ¢SÛ˘ÛÙ + ¢SÂÚÈ‚ ≥ 0. ‰) H Û¯¤ÛË ¢SÔÏ=0 ÈÛ¯‡ÂÈ ÌfiÓÔ ÁÈ· ·ÓÙÈÛÙÚÂÙ¤˜ ÌÂÙ·‚ÔϤ˜ Î·È ·ÔÙÂÏ› ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ·ÓÙÈÛÙÚ„ÈÌfiÙËÙ·˜.

YÔÏÔÁÈÛÌÔ› Ù˘ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ÂÓÙÚÔ›·˜ ηٿ ÙȘ ·ÓÙÈÛÙÚÂÙ¤˜ ÌÂÙ·‚ÔϤ˜ ÙˆÓ È‰·ÓÈÎÒÓ ·ÂÚ›ˆÓ 1) IÛfiıÂÚÌË: Q ¢S =

fi T

nRT VB ¢S =

ln

fi T VA

VB ¢S = nRln

VA

2) A‰È·‚·ÙÈ΋: ¢S = 0 ÁÈ·Ù› Q = 0. A˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÁÈ·Ù› ÂÓÒ Ë ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ÂÏ·ÙÙÒÓÂÙ·È ¢S < 0 Ô fiÁÎÔ˜ ·˘Í¿ÓÂÈ ¢S > 0 Ì ÙÂÏÈÎfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ¢S = 0.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

19

2 √™ £ ∂ƒª√¢À¡∞ªπ∫√™ N √ª√™ ‰È·ÊÔÚÂÙÈο Ì ÙËÓ Ù¯ÓÈ΋ ÙˆÓ ‰˘Ô ‰ÚfïÓ:

3) IÛfi¯ˆÚË:



B

¢S =

A

dQ

fi T

P



B nC

dT ¢S =
v
= nCv A T



A

B

B dT

A

TB fi

= nCvln

T TA

TB ¢SAB = nCvln

TA PA PB Î·È ÂÂȉ‹

=

fi TA TB

° V

TB PB =

¿Ú· ηÈ

TA PA

0

MÔÚԇ̠ӷ ÊÙ¿ÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ·Ú·¿Óˆ Û¯¤ÛË ‰È·ÊÔÚÂÙÈο Ì ÙËÓ Ù¯ÓÈ΋ ÙˆÓ ‰‡Ô ‰ÚfïÓ:

P

B

Cp–Cv V° fi ¢SAB = nCp

ln

Cp VA




fi

¿Ú·




V° V° = nCv(Á–1) ln

= nCvln

VA VA TBVAÁ–1 = TAV°Á–1 fi

Á–1



V
 V°

A




Á–1

.

TB =

TA

¢S =



A



B

A

dT

fi T

TB ¢S = nCpln

. TA ŸÌˆ˜

VA VB =

fi

TA TB

TB VB =



TA VA

¿Ú·

VB ¢S = nCpln

. VA 20

Á–1

= TAV°



Á–1

MÔÚԇ̠ӷ ÊÙ¿ÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ·Ú·¿Óˆ Û¯¤ÛË

Á–1



 TB

TA

¿Ú·

¿Ú· ηÈ

nC dT
p
= nCp T

TB VB =

VA , TA fi Á–1

= TAV°


 =

V


TB TB



TA TA

4) IÛÔ‚·Ú‹˜: B

Á–1

TBVB

TB TB

VA TA

TB ¢S = nCvln

. TA

A

= T AV°

VA VB =

fi

TA TB

Cp–Cv V° = ¢SAB = nCv

ln

Cv VA



Á–1

TBVB

AÎfiÌË ÁÈ· ÙËÓ ÈÛÔ‚·Ú‹ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ ›ӷÈ

A° ÈÛfiıÂÚÌË ÂÎÙfiÓˆÛË ¢S°B [ŸÔ˘ Î·È °B ·‰È·‚·ÙÈ΋ Û˘Ì›ÂÛË]

V° R V° ¢SAB = nRln

= nCv

ln

fi VA C v VA

¢S =

.

Á–1

ŸÌˆ˜

0

dQ

fi T

Á–1
Á


V° ¢SAB = nCpln

VA V

B

fi

V° R V° ¢SAB = nRln

= nCp

ln

fi VA Cp VA

°

ŸÌˆ˜

Î·È °B ·‰È·‚·ÙÈ΋ Û˘Ì›ÂÛË]

Á–1 V° ¢SAB = nCp

ln

fi VA Á

A

¢SAB = ¢SA° +

[ŸÔ˘ A° ÈÛfiıÂÚÌË ÂÎÙfiÓˆÛË

¢SAB = ¢SA° + ¢S°B

PB ¢S = nCvln

. PA

Á

V° =

VA

Á–1

V°

fi

fi

A

Á–1

fi

Á–1
Á





TB V° =



TA VA

,

TB . ¢SAB = nCpln

TA

5) ™ÙËÓ ÂχıÂÚË ÂÎÙfiÓˆÛË ·ÂÚ›Ô˘ Û ‰Ô¯Â›Ô Ì ·‰È·‚·ÙÈο Î·È ·Ó¤Ó‰ÔÙ· ÙÔȯÒÌ·Ù· Q=0, W=0, ¢U=0 ı· Q ÂÚ›ÌÂÓ ηÓ›˜ ¢S =

= 0. A˘Ùfi fï˜ Â›Ó·È Ï¿ıÔ˜ T Q ÁÈ·Ù› Ô Ù‡Ô˜ ¢S =

›·Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ ÌfiÓÔ ÁÈ· ·ÓÙÈT ÛÙÚÂÙ‹ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·. H ÂχıÂÚË ÂÎÙfiÓˆÛË fï˜ Â›Ó·È ÌË ·ÓÙÈÛÙÚÂÙ‹ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹. EÂȉ‹ fï˜ ÛÙËÓ ÂχıÂÚË ÂÎÙfiÓˆÛË Ë T ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ÛÙ·ıÂÚ‹ ÁÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi Ù˘ ¢S ÌÔÚԇ̠ӷ ıˆڋÛÔ˘Ì ÌÈ· ·ÓÙÈÛÙÚÂÙ‹ ÈÛfiıÂÚÌË ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ ÌÂٷ͇ Ù˘ ·Ú¯È΋˜ Î·È ÙÂÏÈ΋˜ ηٿÛÙ·Û˘.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

º À™π∫∏ ÕÚ· Q ¢S =

fi T

nRT V ¢S

ln

Ù fi T V·

V ¢S = nRln

Ù . V·

(3)

H Û¯¤ÛË (3) ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ ·ÓÙÈÛÙÚÂÙ‹ ‹ fi¯È, ·ÚΛ Ë ·Ú¯È΋ Î·È ÙÂÏÈ΋ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· Ó· Â›Ó·È ›Û˜. ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ: ™Â ·ÓÙ›ıÂÛË Ì ÙËÓ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙˆÓ ·ÂÚ›ˆÓ Ô˘ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔ ·fi ÙË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· (T=ÛÙ·ı. fi ¢U=0) Ë ÂÓÙÚÔ›· ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È Î·È ·fi ÙË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· Î·È ·fi ÙÔÓ fiÁÎÔ. A˘Ùfi Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙËÓ ÈÛfiıÂÚÌË ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ô˘ ÂÓÒ ¢T=0 Ë

1

VB ¢S=nRln

π 0. VA

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

Iω

Παπαπολκα ρπ ος

‚) ŸÙ·Ó ÌÈ· ÛÊ·›Ú· ÎÈÓÂ›Ù·È ÌÂٷʤÚÂÈ «Ù·ÍÈÓÔÌÈ̤ÓË» ÂÓ¤ÚÁÂÈ·, ÎÈÓËÙÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·. ŸÙ·Ó Ë ÛÊ·›Ú· ¯Ù˘‹ÛÂÈ Û ¯·Ï‡‚‰ÈÓË Ͽη Î·È ÛÙ·Ì·Ù‹ÛÂÈ, Ë ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ù˘ ÎÈÓ‹ÛÂÒ˜ Ù˘ ÌÂٷʤÚÂÙ·È ÛÙȘ Ù˘¯·›Â˜ ÎÈÓ‹ÛÂȘ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Ù˘ ÛÊ·›Ú·˜ Î·È Ù˘ Ͽη˜, ·˘Ù‹ Ë ¿Ù·-

◆ ς K. νη

ν

·) ™ÙËÓ ÂχıÂÚË ÂÎÙfiA B ÓˆÛË Ë ‚·ÛÈ΋ ‰È¿ÎÚÈÛË ÌÂٷ͇ ·Ú¯È΋˜ Î·È ÙÂÏÈ΋˜ ηٿÛÙ·Û˘ Û ÌÈ· Ù¤ÙÔÈ· ÌË ·ÓÙÈÛÙÚÂÙ‹ ‰È·‰Èηۛ· Â›Ó·È fiÙÈ ÛÙËÓ ÙÂÏÈ΋ A B ηٿÛÙ·ÛË Ë ÁÓÒÛË Ì·˜ ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù¿ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÏÈÁfiÙÂÚÔ Ï‹Ú˘, Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· fiÙÈ ·Ú¯Èο ›̷ÛÙ ‚¤‚·ÈÔÈ ˆ˜ fiÏ· Ù· ÌfiÚÈ· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ ÌÈÛfi (A) ÙÔ˘ ‰Ô¯Â›Ô˘, ÂÓÒ ÙÂÏÈο οı ÌfiÚÈÔ ÌÔÚ› Ó· ‚ÚÂı› ›Ù ÛÙÔ (A) ›Ù ÛÙÔ (B). Œ¯Ô˘Ì ‰ËÏ. ÏÈÁfiÙÂÚ˜ ÏËÚÔÊÔڛ˜ ÁÈ· ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ı¤ÛÂȘ ÙˆÓ ÌÔÚ›ˆÓ. OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙËÓ ÙÂÏÈ΋ ηٿÛÙ·ÛË ÏÈÁfiÙÂÚÔ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓË ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ Ù˘¯·›· ηٿÛÙ·ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜. ¶ÈÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, Ë ·Ù·Í›· ·˘Í‹ıËΠÁÈ·Ù› ¯¿Û·Ì ̤ÚÔ˜ ·fi ÙËÓ ÈηÓfiÙËÙ¿ Ì·˜ Ó· Ù·ÍÈÓÔÌ›ÛÔ˘Ì ٷ ÌfiÚÈ·. H ÚfiÙ·ÛË: «T· ÌfiÚÈ· Â›Ó·È Ì¤Û· ÛÙÔ ‰Ô¯Â›Ô» Â›Ó·È ·’ ·˘Ù‹ ÙËÓ ¿Ô„Ë ÈÔ ·‰‡Ó·ÙË ·fi ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË «T· ÌfiÚÈ· Â›Ó·È ÛÙÔ ÛÙ·ıÂÚfi ÌÈÛfi ÙÔ˘ ‰Ô¯Â›Ô˘». ŸÌˆ˜ fiˆ˜ ‰Â›Í·Ì ÛÙËÓ ÂχıÂÚË ÂÎÙfiÓˆÛË ÙÔ˘ ·ÂÚ›Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ V ¢S = nRln

Ù > 0. V· ÕÚ· Ì ÙËÓ ·‡ÍËÛË Ù˘ ·Ù·Í›·˜ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ Î·È ·‡ÍËÛË Ù˘ ÂÓÙÚÔ›·˜. ŒÙÛÈ ÏÔÈfiÓ Ë ÂÓÙÚÔ›· ÌÈ·˜ ηٿÛÙ·Û˘. ŸÛÔ ÌÂٷχÙÂÚË Ë ·Ù·Í›·, ÙfiÛÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Ë ÂÓÙÚÔ›· Ù˘ ηٿÛÙ·Û˘.

2

ÎÙË ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Á›ÓÂÙ·È ·ÈÛıËÙ‹ Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ ıÂÚÌfiÙËÙ·˜ Q. ŒÙÛÈ ÏÔÈfiÓ Ë ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Á›ÓÂÙ·È ıÂÚÌfiÙËÙ· ÌfiÏȘ ·Ô‰ÈÔÚÁ·ÓÒÓÂÙ·È. K·È ÛÙ· ‰‡Ô ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· fï˜ ÛÙ· ÔÔ›· ¤¯Ô˘Ì ·‡ÍËÛË Ù˘ ÂÓÙÚÔ›·˜ Ë ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ‰ÈÂÚÁ·ÛÈÒÓ Á›ÓÂÙ·È ÚÔ˜ ÙËÓ ÈÔ Èı·Ó‹ ηٿÛÙ·ÛË. ÕÚ· ÏÔÈfiÓ Ë ÈÔ Èı·Ó‹ ηٿÛÙ·ÛË Â›Ó·È Î·È ÌÈ· ηٿÛÙ·ÛË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˘ ·Ù·Í›·˜. ŒÙÛÈ ÏÔÈfiÓ ‰Â ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ì ӷ ÂÚÈ̤ÓÔ˘Ì ӷ ‚¿ÏÔ˘Ì ÙÔ ‰È¿ÊÚ·ÁÌ·, ÛÙÔ ·Ú¯ÈÎfi ‰Ô¯Â›Ô Î·È Ù· ÌfiÚÈ· Ó· Í·Ó·Ì·˙‡ÔÓÙ·Ó ÛÙÔ ·ÚÈÛÙÂÚfi ÌÈÛfi (A) ÙÔ˘ ‰Ô¯Â›Ô˘. O‡Ù ı· ‹Ù·Ó ‰˘Ó·Ùfi Ó· ‰ÒÛÔ˘Ì ÙË ıÂÚÌfiÙËÙ· Q Ô˘ ¤¯·ÛÂ Ë ÛÊ·›Ú· Î·È ·˘Ù‹ Ó· Í·Ó·Â¤ÛÙÚÂÊ ÚÔ˜ Ù· ›Ûˆ Ì ÙËÓ ›‰È· Ù·¯‡ÙËÙ·. ŒÙÛÈ ÏÔÈfiÓ Ë ÊÔÚ¿ ÚÔ˜ ÙËÓ ÔÔ›· Á›ÓÔÓÙ·È ÔÈ Ê˘ÛÈΤ˜ ‰ÈÂÚÁ·Û›Â˜ Â›Ó·È Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙ ӷ Ô‰ËÁԇ̷ÛÙ Û ηٿÛÙ·ÛË ÈÛÔÚÚÔ›·˜ Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ÌÈ· ηٿÛÙ·ÛË Ì¤ÁÈÛÙ˘ ÂÓÙÚÔ›·˜ ıÂÚÌÔ‰˘Ó·ÌÈο Î·È Ì¤ÁÈÛÙ˘ Èı·ÓfiÙËÙ·˜ ÛÙ·ÙÈÛÙÈο (S = KlnP fiÔ˘ P Â›Ó·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ·Ú·ÙËÚËı› ÌÈ· ηٿÛÙ·ÛË. H ÈÔ Èı·Ó‹ ηٿÛÙ·ÛË ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÂÓÙÚÔ›· S). •¤ÚÔ˘Ì fï˜ ·Ú’ fiÏ· ·˘Ù¿ fiÙÈ Á‡Úˆ ·fi ÌÈ· ηٷÓÔÌ‹ ÈÛÔÚÚÔ›·˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ú·ÙËÚËıÔ‡Ó ‰È·Î˘Ì¿ÓÛÂȘ (ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ΛÓËÛË Brown). A’ ·˘Ù‹Ó ÙËÓ ¿Ô„Ë ÏÔÈfiÓ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·fiÏ˘Ù· ‚¤‚·ÈÔ fiÙÈ Ë ÂÓÙÚÔ›· ·˘Í¿ÓÂÙ·È Û οı ·˘ıfiÚÌËÙË ‰ÈÂÚÁ·Û›·. H ÂÓÙÚÔ›· ÌÔÚ› ÌÂÚÈΤ˜ ÊÔÚ¤˜ Ó· ÌÂÈÒÓÂÙ·È. AÓ ÂÚÈ̤ÓÔ˘Ì ÁÈ· ·ÚÎÂÙfi ¯ÚfiÓÔ, ·ÎfiÌ· Î·È ÔÈ ÈÔ ·›ı·Ó˜ ηٷÛÙ¿ÛÂȘ Èı·Ófi Ó· Û˘Ì‚Ô‡Ó. «TÔ ÓÂÚfi Û ÌÈ· ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ Í·ÊÓÈο ·ÁÒÓÂÈ Û ÌÈ· ˙ÂÛÙ‹ ηÏÔηÈÚÈÓ‹ ̤ڷ». ¶·Ú’ fiÏÔ Ô˘ Ù¤ÙÔÈ· Û˘Ì‚¿ÓÙ· Â›Ó·È ‰˘Ó·Ù¿ Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· Û˘Ì‚Ô‡Ó, fiÙ·Ó ˘ÔÏÔÁÈÛÙ›, ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·›ÛÙÂ˘Ù· ÌÈÎÚ‹. O 2Ô˜ ÓfiÌÔ˜ ÏÔÈfiÓ Ù˘ ıÂÚÌÔ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ Ì·˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙËÓ Èı·ÓfiÙÂÚË ÔÚ›· ÙˆÓ ÁÂÁÔÓfiÙˆÓ, fi¯È ÙË ÌfiÓË ‰˘Ó·Ù‹. H ÂÚÈÔ¯‹ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜ ÙÔ˘ fï˜ Â›Ó·È ÙfiÛÔ Ï·ÙÈ¿ Î·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ÙÔÓ Î·Ù·ÚÁ‹ÛÂÈ Ë Ê‡ÛË Â›Ó·È ÙfiÛÔ ÌÈÎÚ‹ Ô˘ η٤¯ÂÈ ÙË ‰È¿ÎÚÈÛË ◊ ÛÙÚ·‚‹ Â›Ó·È Ë °Ë, ÂÓfi˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÈÔ ¯Ú‹ÛÈ‹ ÛÙÚ·‚¿ ÂÚ·Ù¿ˆ! ÌÔ˘˜ Î·È ÁÂÓÈÎÔ‡˜ ÓfiÌÔ˘˜ Û’fiϘ ÙȘ ÂÈÛً̘.

K·Ï¿ Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ Ë ‚·Ú‡ÙËÙ· ÁÈ·Ù› Ë °Ë Â›Ó·È ÛÙÚ·‚‹ !!

21

A ™∆ƒ√¡√ªπ∞

O KOMHTH™ HALE-BOPP TÔ˘ Iˆ¿ÓÓË ™ÂÈÚ·‰¿ÎË, K·ıËÁËÙ‹ º˘ÛÈ΋˜ ÙÔ˘ A.¶.£.

ÎÔÌ‹Ù˘ Hale-Bopp Â›Ó·È Ô Ï·ÌÚfiÙÂÚÔ˜ ÎÔÌ‹Ù˘ Ô˘ Ì·˜ ÂÈÛΤÙÂÙ·È ·fi ÙfiÙ Ô˘ ·Ó·Î·Ï‡ÊÙËΠÙÔ ÙËÏÂÛÎfiÈÔ. H ‰È¿ÌÂÙÚfi˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÂÚ›Ô˘ 40 km (ÙÔ˘ ÁÓˆÛÙÔ‡ -Î·È Ù˘ÈÎÔ‡- ÎÔÌ‹ÙË Halley Â›Ó·È ÂÚ›Ô˘ 10km). E›Ó·È Ô ÚÒÙÔ˜ ÎÔÌ‹Ù˘ Ô˘ ·ÓȯÓ‡ıËΠÙfiÛÔ Ì·ÎÚÈ¿, ¤Ú·Ó Ù˘ ÙÚԯȿ˜ ÙÔ˘ ¢›· (ÛÙËÓ ›‰È· ·fiÛÙ·ÛË Ô ÎÔÌ‹Ù˘ Halley ‹Ù·Ó 250 ÊÔÚ¤˜ ·Ì˘‰ÚfiÙÂÚÔ˜).'EÚ¯ÂÙ·È ·fi Ôχ Ì·ÎÚÈ¿ (ÚÔ¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ó¤ÊÔ˜ ÙÔ˘ Oort) Î·È ÎÈÓÂ›Ù·È Ì ٷ¯‡ÙËÙ· 140.000 ¯ÈÏÈfiÌÂÙÚ· ÙËÓ ÒÚ·. M·˜ ›¯Â ÂÈÛÎÂÊı› Í·Ó¿ ÚÈÓ ·fi 4200 ¯ÚfiÓÈ· Î·È ı· Ì·˜ ÂÈÛÎÂÊı› ¿ÏÈ ÌÂÙ¿ ·fi 2400 ¯ÚfiÓÈ·. K·ıËÌÂÚÈÓ¿ ÂÍ·¯ÓÒÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ¿ ÙÔ˘ 2 ÂηÙÔÌ̇ÚÈ· ÙfiÓÓÔÈ ¿ÁÔ˘ (Ë Û˘ÓÔÏÈ΋ Ì¿˙· ÙÔ˘ ÍÂÂÚÓ¿ Ù· 3 ÙÚÈÛÂηÙÔÌ̇ÚÈ·, 3x1013, ÙfiÓÓÔ˘˜) Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·˜ Á‡Úˆ ÙÔ˘ ÌÈ· ÛÊ·›Ú· ·fi ·¤ÚÈÔ Î·È ÛÎfiÓË ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ 1.000.000 km. O ËÏÈ·Îfi˜ ¿ÓÂÌÔ˜ Î·È Ë ËÏȷ΋ ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›· ˆıÔ‡Ó ÙÔ ·¤ÚÈÔ Î·È ÙË ÛÎfiÓË ·ÓÙ›ıÂÙ· ·fi ÙË ‰È‡ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ◊ÏÈÔ˘, Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·˜ ¤ÙÛÈ ÌÈ· ÙÂÚ¿ÛÙÈ· Ô˘Ú¿, ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÔÔ›·˜ ÌÔÚ› Ó· ÊÙ¿ÛÂÈ ·ÚÎÂÙ¤˜ ‰Âο‰Â˜ ÂηÙÔÌ̇ÚÈ· ¯ÈÏÈfiÌÂÙÚ·.

O

O ÎÔÌ‹Ù˘ Hale-Bopp. (H ʈÙÔÁÚ·Ê›· ¿ÚıËΠ·fi ÙËÓ K·ÛÙÔÚÈ¿ ÛÙȘ 10 M·ÚÙ›Ô˘ 1997 Î·È ÒÚ· 5:35 .Ì., ·fi ÙÔÓ KÔÛÌ¿ °·˙¤·, ÊÔÈÙËÙ‹ ÙÔ˘ TÌ‹Ì·ÙÔ˜ º˘ÛÈ΋˜ ÙÔ˘ A.¶.£.)

TI EINAI OI KOMHTE™;

22

¶ÚÈÓ ·fi ¤ÓÙ ÂÚ›Ô˘ ‰ÈÛÂηÙÔÌ̇ÚÈ· ¯ÚfiÓÈ· Ë ‚·Ú˘ÙÈ΋ ηٿÚÚ¢ÛË ÂÓfi˜ ·Ú¯¤ÁÔÓÔ˘ Ó¤ÊÔ˘˜ ·fi ·¤ÚÈÔ Î·È ÛÎfiÓË ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÛ ÙÔÓ ◊ÏÈÔ. TËÓ ›‰È· ÂÚ›Ô˘ ÂÔ¯‹, ·fi Ù· ˘fiÏÔÈ· Ù˘ ‡Ï˘ ÙÔ˘ Ó¤ÊÔ˘˜ Ô˘ ‰ÂÓ Â›¯·Ó Û˘Ì‚¿ÏÂÈ ÛÙË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›· ÙÔ˘ ∏ÏÈÔ˘, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ıËÎ·Ó ÔÈ 9 ÌÂÁ¿ÏÔÈ Ï·Ó‹Ù˜ Î·È Ù· ÌÈÎÚfiÙÂÚ· ÛÒÌ·Ù· ÙÔ˘ Ï·ÓËÙÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜. Afi Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›·, fiÛ· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ıËÎ·Ó Û ÌÈÎÚ‹ ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙÔÓ ◊ÏÈÔ (̤۷ ·fi ÙËÓ ÙÚԯȿ ÙÔ˘ ¢›·) ·ÔÙ¤ÏÂÛ·Ó ÙÔ˘˜ ·ÛÙÂÚÔÂȉ›˜. ŸÛ· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ıËÎ·Ó Û ÌÂÁ¿ÏË ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙÔÓ ◊ÏÈÔ (¤Ú· ·fi ÙËÓ ÙÚԯȿ ÙÔ˘ ¢›·) ·ÔÙ¤ÏÂÛ·Ó ÙÔ˘˜ ÎÔÌ‹Ù˜. OÈ ÎÔÌ‹Ù˜, Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡ÓÙ·È Î˘Ú›ˆ˜ ·fi ¿ÁÔ, ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Ó

Ó· "ÂÈ˙‹ÛÔ˘Ó" ÎÔÓÙ¿ ÛÙÔÓ ◊ÏÈÔ, ÂÂȉ‹ Ë ·ÎÙÔÓÔ‚ÔÏ›· ÙÔ˘ ÚÔηÏ› ÂÍ¿¯ÓˆÛË ÙÔ˘ ¿ÁÔ˘ Î·È ‰È¿Ï˘ÛË ÙÔ˘ ÎÔÌ‹ÙË. A˘Ù‹ ÙË ÛÙÈÁÌ‹ οı ‰Â˘ÙÂÚfiÏÂÙÔ ÂÍ·¯ÓÒÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ÎÔÌ‹ÙË Hale-Bopp 30 ÙfiÓÔÈ ¿ÁÔ˘. OÈ ÎÔÌ‹Ù˜ Â›Ó·È Û˘ÁÎÂÓÙڈ̤ÓÔÈ Û ‰‡Ô ÂÚÈÔ¯¤˜ ÛÙȘ ÂÛ¯·ÙȤ˜ ÙÔ˘ Ï·ÓËÙÈÎÔ‡ Ì·˜ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜. H Ì›·, Ë ÎÔÓÙÈÓfiÙÂÚË, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˙ÒÓË ÙÔ˘ Kuiper Î·È Ë ¿ÏÏË, Ë ÈÔ ·ÔÌ·ÎÚ˘Ṳ̂ÓË, Ó¤ÊÔ˜ ÙÔ˘ Oort. H ˙ÒÓË ÙÔ˘ Kuiper ÎÂ›Ù·È ¿Óˆ ÛÙËÓ ÂÎÏÂÈÙÈ΋, ‰ËÏ·‰‹ ÛÙÔ Â›Â‰Ô fiÔ˘ ÎÈÓÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ÂÓÓ¤· Ï·Ó‹Ù˜, Î·È ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ï›ÁÔ ¤Íˆ ·fi ÙËÓ ÙÚԯȿ ÙÔ˘ Ï·Ó‹ÙË ¶ÔÛÂȉÒÓ·, Û ·fiÛÙ·ÛË 10 ‰ÈÛÂηÙÔÌÌ˘Ú›ˆÓ ¯ÈÏÈÔ̤ÙÚˆÓ. TÔ Ó¤ÊÔ˜ ÙÔ˘ Oort ÌÔÈ¿˙ÂÈ Ì ÛÊ·ÈÚÈÎfi ÊÏÔÈfi Î·È ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ·fiÛÙ·ÛË ÂÓfi˜ ¤ÙÔ˘˜ ʈÙfi˜, ‰ËÏ·‰‹ 750 ÊÔÚ¤˜ ÈÔ Ì·ÎÚÈ¿. ¶ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ Ë ÙÚԯȿ οÔÈÔ˘ ÎÔÌ‹ÙË Ù˘¯·›ÓÂÈ Ó· ·ÏÏ¿ÍÂÈ ·fi ÙË ‚·Ú˘ÙÈ΋ Â›‰Ú·ÛË Î¿ÔÈÔ˘ ·ÛÙ¤Ú· ‹ ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ ÌÂÁ¿ÏÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜. AÓ Ë Ó¤· ÙÚԯȿ ÙÔ˘ ÎÔÌ‹ÙË ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi ÙËÓ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ ÙÔ˘ ËÏÈ·ÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜, Ë ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›· ÙÔ˘ ◊ÏÈÔ˘ ÂÍ·¯ÓÒÓÂÈ ¤Ó· ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¿ÁÔ˘ Î·È ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È Á‡Úˆ ·fi ÙÔ ÛÙÂÚÂfi ÛÒÌ· ÙÔ˘ ÎÔÌ‹ÙË, Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˘Ú‹Ó·˜, ÌÈ· ÛÊ·›Ú· ·fi ·¤ÚÈ· Î·È ÛÎfiÓË ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘ 100.000 ¯ÏÌ, Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎfiÌË. H ›ÂÛË Ù˘ ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›·˜ ÙÔ˘ ◊ÏÈÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ËÏÈ·ÎÔ‡ ·Ó¤ÌÔ˘ ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ó ÙËÓ ÎfiÌË ÚÔ˜ ÙËÓ ·ÓÙ›ıÂÙË, ÚÔ˜ ÙÔÓ ◊ÏÈÔ, ‰È‡ı˘ÓÛË, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÒÓÙ·˜ ÙËÓ Ô˘Ú¿ ÙÔ˘ ÎÔÌ‹ÙË, Ô˘ ÙfiÛÔ Ì·˜ ÂÓÙ˘ˆÛÈ¿˙ÂÈ. OÈ ÎÔÌ‹Ù˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÛÊ·ÈÚÈο ÛÒÌ·Ù·. TÔ Û¯‹Ì· ÙÔ˘˜ ÌÔÈ¿˙ÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ Ì ·Ù¿Ù·, Î·È ÔÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ Ù˘ Ù¿Í˘ ÙˆÓ 10 km. EÎÙfi˜ ·fi ¿ÁÔ, ÂÚȤ¯Ô˘Ó ·ÁˆÌ¤ÓÔ ‰ÈÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ ¿Óıڷη (ÍËÚfi ¿ÁÔ), ÌÔÓÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ ¿Óıڷη, ÌÂı¿ÓÈÔ, ¿˙ˆÙÔ Î·È ÂÓÒÛÂȘ ÌÂÙ¿ÏψÓ. ŸÏ˜ ·˘Ù¤˜ ÔÈ ÂÓÒÛÂȘ Û˘ÁÎÔÏÏÔ‡ÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Ì ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ÔÛfiÙËÙ· ÛÎfiÓ˘, ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ô ·ÛÙÚÔÊ˘ÛÈÎfi˜ Fred Whipple ·ÚÔÌÔ›·Û ÙÔ˘˜ ÎÔÌ‹Ù˜ Ì ÌÈ· "‚ÚÒÌÈÎË ¯ÈÔÓfiÌ·Ï·". H ÂÈÎfiÓ· ·˘Ù‹ [ÙÔ˘ ˘Ú‹Ó· ÙˆÓ ÎÔÌËÙÒÓ] ÂȂ‚·ÈÒıËΠÙÔ 1986, fiÙ·Ó ÙÔ ‰È·ÛÙËÌfiÏÔÈÔ Giotto ÏËÛ›·Û ÙÔÓ ÎÔÌ‹ÙË ÙÔ˘ Halley Û ·fiÛÙ·ÛË 600 ¯ÏÌ Î·È ÙÔÓ ÊˆÙÔÁÚ¿ÊÈÛ ·fi ÎÔÓÙ¿. OÈ ÎÔÌ‹Ù˜ Â›Ó·È ÔÚ·ÙÔ› Û ¤Ó· ÌÈÎÚfi ÌfiÓÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ ÙÚԯȿ˜ ÙÔ˘˜. M·ÎÚÈ¿ ·fi ÙÔÓ ◊ÏÈÔ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¤ÙÛÈ fiˆ˜ ÙÔ˘˜ ÂÚȤÁÚ·„Â Ô Whipple: ÌÈÎÚ¤˜ "‚ÚÒÌÈΘ ¯ÈÔÓfiÌ·Ï˜" Î·È ÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘ÙfiÓ ‰‡ÛÎÔÏ· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ú·ÙËÚËıÔ‡Ó. K·ıÒ˜ fï˜ ÏËÛÈ¿˙Ô˘Ó ÙÔÓ ◊ÏÈÔ, Ù· ÂÏ·ÊÚ¿ ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ÂÍ·¯ÓÒÓÔÓÙ·È, ÂÚÓÒÓÙ·˜ ηÙ¢ı›·Ó ·fi ÙË ÛÙÂÚ¿ ÛÙËÓ ·¤ÚÈ· ηٿÛÙ·ÛË. T· ÛÙÔȯ›· Ô˘ ÂÍ·¯ÓÒÓÔÓÙ·È Î·È Ë ÛÎfiÓË Ô˘ ·ÂÏ¢ıÂÚÒÓÂÙ·È Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙfiÙ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ ÛÙÂÚÂfi ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ÎÔÌ‹ÙË, ÙÔÓ ˘Ú‹Ó· ÙÔ˘, ¤Ó· ËÌȉȷʷӤ˜ Ó¤ÊÔ˜ ÌÂÁ¿ÏˆÓ ‰È·ÛÙ¿ÛÂˆÓ (ÔÏÏÒÓ ‰Âο‰ˆÓ ¯ÈÏÈ¿‰ˆÓ ¯ÈÏÈÔ̤ÙÚˆÓ), Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎfiÌË. H ÎfiÌË ·ÓÙ·Ó·ÎÏ¿ ÙÔ ÊÒ˜ ÙÔ˘ ◊ÏÈÔ˘ Î·È Â›Ó·È ·˘Ù‹ Ô˘ οÓÂÈ ÙÔÓ ÎÔÌ‹ÙË Ó· ÌÔÈ¿˙ÂÈ Ì "ı·Ìfi ·ÛÙ¤ÚÈ". K·ıÒ˜ Ô ÎÔÌ‹Ù˘ ÏËÛÈ¿˙ÂÈ ÙÔÓ ◊ÏÈÔ, ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ fiÙÈ ıÂÚÌ·›ÓÂÙ·È ÔÏÔ¤Ó· Î·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ, ‰¤¯ÂÙ·È Î·È ÙËÓ Â›‰Ú·ÛË ÙÔ˘ ËÏÈ·ÎÔ‡ ·Ó¤ÌÔ˘, Ô ÔÔ›Ô˜ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ۈ̷ٛ‰È· (΢ڛˆ˜ ÚˆÙfiÓÈ· Î·È ËÏÂÎÙÚfiÓÈ·) Ô˘ Û˘Ó¯Ҙ ‰È·Ê‡ÁÔ˘Ó ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ·ÙÌfiÛÊ·ÈÚ·˜ ÙÔ˘ ◊ÏÈÔ˘. O ËÏÈ·Îfi˜ ¿ÓÂÌÔ˜ ˆı› Ù· ۈ̷ٛ‰È· Ù˘ ÛÎfiÓ˘ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ÎfiÌË Ì·ÎÚ˘¿ ·fi ÙÔÓ ˘Ú‹Ó·, Û ηÙ‡ı˘ÓÛË ·ÓÙ›ıÂÙË ·fi ·˘Ù‹Ó ÙÔ˘ ◊ÏÈÔ˘, fiˆ˜ ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ô Á‹ÈÓÔ˜ ¿ÓÂÌÔ˜ ·Ú·Û‡ÚÂÈ ÙÔÓ Î·Ófi Ô˘ ‚Á·›ÓÂÈ ·fi ÌÈ· ηÌÈÓ¿‰·. H ÛÎfiÓË ·˘Ù‹ Â›Ó·È ÔÚ·Ù‹, ÂÂȉ‹ ·ÓÙ·Ó·ÎÏ¿ ÙÔ Êˆ˜ ÙÔ˘ ◊ÏÈÔ˘, Î·È ·ÔÙÂÏ› ¤Ó· ·fi Ù· ‰‡Ô ›‰Ë Ô˘Ú¿˜ Ô˘ ·Ó·Ù‡ÛÛÂÈ Î¿ı ÎÔÌ‹Ù˘, ÙËÓ Ô˘Ú¿ ÛÎfiÓ˘. H Ô˘Ú¿ ·˘Ù‹ ¤¯ÂÈ Î·Ì‡ÏÔ Û¯‹Ì· Î·È Â›Ó·È ÙÔ ÈÔ ı·̷ÙÈÎfi ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ÎÔÌ‹ÙË. TÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÌÔÚ› Ó· ÊÙ¿ÛÂÈ ÔÏÏ¿ ÂηÙÔÌ̇ÚÈ· ¯ÈÏÈfiÌÂÙÚ· Î·È ¿ÓÙÔÙ ÂÎÙ›ÓÂÙ·È ·ÓÙ›ıÂÙ· ·fi ÙË ‰È‡ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ◊ÏÈÔ˘.[EÔ̤ӈ˜ fiÙ·Ó Ô ÎÔÌ‹Ù˘ ÏËÛÈ¿˙ÂÈ ÙÔ ◊ÏÈÔ, Ë Ô˘Ú¿ ·ÎÔÏÔ˘ı› ÙËÓ ÎfiÌË, ÂÓÒ fiÙ·Ó ·ÔÌ·ÎÚ‡ÓÂÙ·È, Ë Ô˘Ú¿ ÚÔËÁÂ›Ù·È Ù˘ ÎfiÌ˘.] AÍ›˙ÂÈ Ó· ÛËÌÂȈı› fiÙÈ ÙÔ ÌÔÓÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ ¿Óıڷη ÈÔÓ›˙ÂÙ·È Â‡ÎÔÏ· ·fi ÙÔÓ ËÏÈ·Îfi ¿ÓÂÌÔ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ·Áȉ‡ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì·ÁÓËÙÈÎfi ‰›Ô ÙÔ˘. ŒÙÛÈ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ Î·È ÌÈ· ‰Â‡ÙÂÚË Ô˘Ú¿, ÂÎÙfi˜ ·fi ·˘Ù‹Ó Ù˘ ÛÎfiÓ˘, Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÈÔÓÈṲ̂ÓÔ ·¤ÚÈÔ. H Ô˘Ú¿ ·˘Ù‹ Â›Ó·È ›ÛÈ· ηÈ, ÂÂȉ‹ ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ› ÛÙÔ Î˘·Ófi ʈ˜ (fiÔ˘ ÙÔ Ì¿ÙÈ Ì·˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È Â˘·›ÛıËÙÔ), ‰ÂÓ Â›Ó·È ÙfiÛÔ ÂÓÙ˘ˆÛȷ΋.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

◆

X ∏ª∂π∞

API£MO™ O•EI¢ø™H™ KAI H ™HMA™IA TOY TÔ˘ K. TÛ›Ë, K·ıËÁËÙ‹ K‚·ÓÙÈ΋˜ XËÌ›·˜ ÙÔ˘ A.¶.£.

¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÔÍ›‰ˆÛ˘ (oxidation number) ‹ Ù˘ÈÎÔ‡ Ûı¤ÓÔ˘˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ¿Ú· Ôχ ¯Ú‹ÛÈÌË Î·È ÈÔ ÁÂÓÈ΋ ¤ÓÓÔÈ·, ·’ fiÙÈ Â›Ó·È Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ Ûı¤ÓÔ˘˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ.

H

°ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÛÙȘ ÈÔÓÈΤ˜ ÂÓÒÛÂȘ Ù· ηÙÈfiÓÙ· Î·È Ù· ·ÓÈfiÓÙ· ʤÚÔ˘Ó ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ·ÚÈıÌfi ÛÙÔȯÂȈ‰ÒÓ ÊÔÚÙ›ˆÓ Ô˘ Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÂÙÂÚÔÔÏÈÎfi ÙÔ˘˜ Ûı¤ÓÔ˜. ™ÙÔȯÂÈÒ‰Ë, fï˜, ÊÔÚÙ›· ÎÏ·ÛÌ·ÙÈο (‰+ Î·È ‰–), ʤÚÔ˘Ó Î·È Ù· ¿ÙÔÌ· ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÛÙȘ ÔÏÈΤ˜ ÂÓÒÛÂȘ. T· ÎÏ·ÛÌ·ÙÈο ·˘Ù¿ ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë ÊÔÚÙ›· ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ó Ó’ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÛÙÔȯÂȈ‰ÒÓ ÊÔÚÙ›ˆÓ, ·Ó ‰Â¯fiÌ·ÛÙ·Ó fiÙÈ Ù· ÎÔÈÓ¿ ˙‡ÁË ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ÙˆÓ ÔÌÔÈÔÔÏÈÎÒÓ ‰ÂÛÌÒÓ ·Ó‹Î·Ó ÂÍ’ ÔÏÔÎÏ‹ÚÔ˘ ÛÙÔ ÈÔ ËÏÂÎÙÚ·ÚÓËÙÈÎfi ÛÙÔȯ›Ô. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Â›Ó·È ÛÙËÓ Ô˘Û›· Û·Ó Ó· ‰Â¯fiÌ·ÛÙ ÙËÓ Ï‹ÚË ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ÙˆÓ ÎÔÈÓÒÓ ˙¢ÁÒÓ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ÚÔ˜ ÙÔ ÈÔ ËÏÂÎÚ·ÚÓËÙÈÎfi ÛÙÔȯ›Ô, ÙÔ ÔÔ›Ô Î·È ı· ÊÔÚÙ›˙ÂÙ·È ·ÚÓËÙÈο (Ì ÔÏfiÎÏËÚ· fï˜ ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë ÊÔÚÙ›·) ÂÓÒ ÙÔ ÏÈÁfiÙÂÚÔ ËÏÂÎÙÚ·ÚÓËÙÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ı· ÊÔÚÙ›˙ÂÙ·È ıÂÙÈο (Ì ÔÏfiÎÏËÚ· ÛÙÔȯÂÈÒ‰Ë ÊÔÚÙ›·). M’ ·˘Ùfi ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÚÈÁÚ¿„Ô˘Ì ÙËÓ Î·Ù¿ÛÙ·ÛË ÂÓfi˜ ·ÙfiÌÔ˘, ·fi ¿Ô„Ë ÊÔÚÙ›Ô˘, Û ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÌfiÚÈÔ (ÂÙÂÚÔÔÏÈÎfi, ÔÏÈÎfi ‹ ÌË) ηٿ ¤Ó· ÁÂÓÈÎfi ÙÚfiÔ. H ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ·˘Ù‹ Á›ÓÂÙ·È Ì ÙËÓ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘ fiÚÔ˘ ·ÚÈıÌfi˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ‹ ‚·ıÌ›‰· ÔÍ›‰ˆÛ˘ ‹ Î·È ÔÍÂȉˆÙÈ΋ ηٿÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ ÛÙÔ ÌfiÚÈÔ. Afi ÙȘ ÙÚÂȘ ÔÓÔ̷ۛ˜ ÙÔ˘ fiÚÔ˘ ·˘ÙÔ‡ ÌÔÚԇ̠ӷ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠fiÔÈ· ı¤ÏÔ˘ÌÂ. O ·ÚÈıÌfi˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯÂȈ‰ÒÓ ÊÔÚÙ›ˆÓ Ô˘ ʤÚÂÈ ÙÔ ¿ÙÔÌÔ ÂÓfi˜ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ Û ÌÈ· ¤ÓˆÛ‹ ÙÔ˘, Ì ÙËÓ ·Ú·‰Ô¯‹ fiÙÈ Ù· ÎÔÈÓ¿ ˙‡ÁË ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÂÍ’ ÔÏÔÎÏ‹ÚÔ˘ ÛÙ· ÈÔ ËÏÂÎÙÚ·ÚÓËÙÈο ÛÙÔȯ›·. °È· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÂÓfi˜ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ Û ÌÈ· ¤ÓˆÛ‹ ÙÔ˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Î·ÓfiÓˆÓ, Ô˘ Â›Ó·È ÔÈ ÂÍ‹˜:

Na+, Al3+, S2– ¤¯Ô˘Ó ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘ +1, +3 Î·È –2, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. 3. ÙÔ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÔÍ›‰ˆÛ˘ fiÏˆÓ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Û’ ¤Ó· Ô˘‰¤ÙÂÚÔ ÌfiÚÈÔ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì Ìˉ¤Ó. 4. ÙÔ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÔÍ›‰ˆÛ˘ fiÏˆÓ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Û’ ¤Ó· ÔÏ˘·ÙÔÌÈÎfi ÈfiÓ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÊÔÚÙ›Ô ÙÔ˘ ÈfiÓÙÔ˜. 5. ÙÔ ÊıfiÚÈÔ ÛÙȘ ÂÓÒÛÂȘ ÙÔ˘ ¤¯ÂÈ ¿ÓÙÔÙ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ –1. 6. Ù· ·ÏηÏÈ̤ٷÏÏ· (Li, Na, K, Rb, Cs, Fr) ¤¯Ô˘Ó ÛÙȘ ÂÓÒÛÂȘ ÙÔ˘˜ ¿ÓÙÔÙ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ +1. 7. fiÏ· Ù· ̤ٷÏÏ· ¤¯Ô˘Ó ¿ÓÙÔÙ ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘. 8. ÙÔ ˘‰ÚÔÁfiÓÔ ÛÙȘ ÂÓÒÛÂȘ ÙÔ˘ ¤¯ÂÈ ¿ÓÙÔÙ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ +1, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙȘ ÂÓÒÛÂȘ ÙÔ˘ Ì ̤ٷÏÏ· fiÔ˘ ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ –1. 9. ÙÔ Ô͢ÁfiÓÔ ÛÙȘ ÂÓÒÛÂȘ ÙÔ˘ ¤¯ÂÈ ¿ÓÙÔÙ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ –2, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙȘ ÂÓÒÛÂȘ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙËÓ ˘ÂÚÔÍÂȉÈ΋ Á¤Ê˘Ú· –O–O–, fiÔ˘ ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ –1 Î·È ÙËÓ ¤ÓˆÛË OF2, fiÔ˘ ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ +2. A˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ηÓfiÓ˜ ·˘ÙÔ‡˜ Û ÔÚÈṲ̂ӷ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1 N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙÔ˘ οı ·ÙfiÌÔ˘ ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ ÌfiÚÈ· ‹ ÈfiÓÙ·: 2–

·) KNO3,

‚) Na2S4O6,

Á) Cr2O 7 ,

‰) HClO3,

Â) CaH2,

ÛÙ) Na2O2

§‡ÛË: ·) ÙÔ K ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ +1 (ηÓfiÓ·˜ 6). TÔ O ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ –2 (ηÓfiÓ·˜ 9). EÔ̤ӈ˜ ÙÔ N ı· ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ x Ô˘ ı· ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË (ηÓfiÓ·˜ 3): +1 + x + 3(–2) = 0

1. Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ ÛÙË ÛÙÔȯÂȷ΋ ÙÔ˘ ηٿÛÙ·ÛË Â›Ó·È Ìˉ¤Ó (.¯. ÙÔ ˘‰ÚÔÁfiÓÔ ÛÙÔ ÌfiÚÈfi ÙÔ˘, H2, ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ Ìˉ¤Ó, ÙÔ ¯ÏÒÚÈÔ ÛÙÔ ÌfiÚÈfi ÙÔ˘, Cl2, ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ Ìˉ¤Ó, Ô ÊˆÛÊfiÚÔ˜ ÛÙÔ ÌfiÚÈfi ÙÔ˘, P4, ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ Ìˉ¤Ó, Î.fi.Î.).

‚) TÔ Na ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ +1 (ηÓfiÓ·˜ 6). TÔ O ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ –2 (ηÓfiÓ·˜ 9). EÔ̤ӈ˜ ÙÔ S ı· ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ x Ô˘ ı· ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË (ηÓfiÓ·˜ 3):

2. Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ·ÏÔ‡ ÈfiÓÙÔ˜ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÊÔÚÙ›Ô ÙÔ˘ ÈfiÓÙÔ˜. ¶.¯. Ù· ÈfiÓÙ·

™ËÌÂÈÒÛÙÂ, fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÌÔÚ› Ó· ÌËÓ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi.

x = +5

2(+1) + 4(x) + 6(–2) = 0 x = 2,5

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

23

A ƒπ£ª√™ O •∂π¢ø™∏™

∫∞π ∏

™ ∏ª∞™π∞

Á) TÔ O ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ –2 (ηÓfiÓ·˜ 9). EÔ̤ӈ˜ ÙÔ

7) NO:

Cr ı· ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ x Ô˘ ı· ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË (ηÓfiÓ·˜ 4): 2(x) + 7(–2) = –2

8) N2O3:

∆√À

x–2=0 x = +2 2(x) – 3(–2) = 0 x = +3

x = +6

‰) TÔ H ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ +1 (ηÓfiÓ·˜ 8). TÔ O ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ –2 (ηÓfiÓ·˜ 9). ÕÚ· ÙÔ Cl ı· ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ x Ô˘ ı· ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË (ηÓfiÓ·˜ 3):

10) N2O5:

+ 1 + x + 3(–2) = 0 x = +5

Â) TÔ H ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ –1(ηÓfiÓ·˜ 8). ÕÚ· ÙÔ Ca ı· ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ x Ô˘ ı· ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË (ηÓfiÓ·˜ 3): x + 2(–1) = 0 x = +2 ™ËÌÂÈÒÛÙ fiÙÈ Ù· ̤ٷÏÏ· ¤¯Ô˘Ó ¿ÓÙÔÙ ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘.

ÛÙ) TÔ Na ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ +1 (ηÓfiÓ·˜ 6). ÕÚ· ÙÔ O ı· ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ Ô˘ ı· ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË (ηÓfiÓ·˜ 3): 2(+1) + 2(x) = 0 x = –1 ™ËÌÂÈÒÛÙÂ, fiÙÈ Ë ÔÌ¿‰· O 2– 2 Â›Ó·È Ë ˘ÂÚÔÍÂȉÈ΋ Á¤Ê˘Ú· –O–O–.

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2 N· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙÔ˘ ·˙ÒÙÔ˘ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÓÒÛÂȘ ÙÔ˘. 1) NH+4,

2) NH3,

3) N2H4,

4) NH2OH,

5) N2,

6) N2O,

7) NO,

8) N2O3,

9) NO2,

10) N2O5.

§‡ÛË: 1) NH+4: TÔ H ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ +1. ÕÚ· ÙÔ N ı· ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ x Ô˘ ı· ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: x + 4(+1) = +1 x = –3 2) NH3: To H ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛË +1. ÕÚ· ÙÔ N ı· ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ x Ô˘ ı· ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: x + 3(+1) = 0

2(x) + 5(–2) = 0 x = +5

TÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‰Â›¯ÓÂÈ ÍÂοı·Ú· fiÙÈ ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ ÔÏÏÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘. M¿ÏÈÛÙ· ‰Â ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·˘ÙÔ› ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙˆÓ Î‡ÚÈˆÓ ÔÌ¿‰ˆÓ ÙÔ˘ ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡ ›Ó·Î· ηχÙÔ˘Ó fiÏË ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ Ô˘ ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi n ÙˆÓ ÔÌ¿‰ˆÓ Î·È ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi n – 8. A˘Ùfi ·ÔÙÂÏ› ¤Ó·Ó ‰¤Î·ÙÔ Î·ÓfiÓ·, ı· ϤÁ·ÌÂ, Ì ÙȘ ÂÍ·ÈÚ¤ÛÂȘ fï˜ Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙÔ˘˜ ¿ÏÏÔ˘˜ ηÓfiÓ˜. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ ÛÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2 ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙÔ˘ N Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ÔÌ¿‰· 5 ηχÙÔ˘Ó ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ ·fi ÙÔ +5 ¤ˆ˜ ÙÔ 5 – 8 = –3. ™ËÌÂÈÒÛÙÂ, fiÙÈ Ù· ÛÙÔȯ›· ÙˆÓ ÔÌ¿‰ˆÓ 1, 2 Î·È 3 Â›Ó·È fiÏ· ̤ٷÏÏ· Î·È Î·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ· ¤¯Ô˘Ó ÌfiÓÔ ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘. Afi ÙËÓ ÔÌ¿‰· fï˜ 4 Î·È ¤Ú· ̤¯ÚÈ ÙËÓ 7 ¤¯Ô˘Ì ÙfiÛÔ ıÂÙÈÎÔ‡˜ fiÛÔ Î·È ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘. ™ÙËÓ ÔÌ¿‰· 7 .¯. (·ÏÔÁfiÓ· ) ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÔÍ›‰ˆÛ˘ ı· Î˘Ì·›ÓÔÓÙ·È ·fi +7 ¤ˆ˜ –1 (ÂÍ·›ÚÂÛË ÙÔ F2, ηÓfiÓ·˜ 5). ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ ÁÈ· ÙÔ ¯ÏÒÚÈÔ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÈ ÂÓÒÛÂȘ HCl (–1), Cl2 (0), HClO (+1), HClO2 (+3), HClO3 (+5), Î·È HClO4 (+7), Ô˘ Ú¿ÁÌ·ÙÈ Î·Ï‡ÙÔ˘Ó ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ·fi –1 ̤¯ÚÈ +7. AÏÏ¿ Î·È Ù· ÌÂÙ·‚·ÙÈο Î·È ÂÛˆÌÂÙ·‚·ÙÈο ÛÙÔȯ›· ¤¯Ô˘Ó ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ ·fi ¤Ó· ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘, ıÂÙÈÎÔ‡˜ Ê˘ÛÈο ¿ÓÙÔÙÂ, ·ÊÔ‡ fiÏ· Ù· ÛÙÔȯ›· ·˘Ù¿ Â›Ó·È Ì¤Ù·ÏÏ·. ™ÙÔÓ ›Ó·Î· 11.3 ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ÈÔ ÎÔÈÓÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÌÂÚÈÎÒÓ ·fi Ù· ÌÂÙ·‚·ÙÈο ̤ٷÏÏ·. ¶›Ó·Î·˜ 1. OÈ ÈÔ ÎÔÈÓÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÌÂÚÈÎÒÓ ÌÂÙ·‚·ÙÈÎÒÓ ÌÂÙ¿ÏψÓ.

x = –3 3) N2H4: To H ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ +1. ÕÚ· ÙÔ N ı· ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ x Ô˘ ı· ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: 2(x) + 4(+1) = 0 x = –2

M¤Ù·ÏÏÔ

AÚÈıÌfi˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘

M¤Ù·ÏÏÔ

AÚÈıÌfi˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘

Ti

+3, +4

Ni

+2

V

+3, +5

Cu

+1, +2

Cr

+2, +3, +6

Zn

+2

x + 3(+1) – 2 = 0

Mn

+2, +3

Ag

+1

x = –1

Fe

+2, +3

Au

+1, +3

5) N2: To ¿˙ˆÙÔ Â›Ó·È ÛÙÔȯÂÈ·Îfi. ÕÚ· Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÔÍ›‰ˆÛ‹˜ ÙÔ˘ ı· Â›Ó·È 0 (ηÓfiÓ·˜ 1).

Co

+2, +3

Pt

+2, +4

Rh

+1, +3

Hg

+1, +2

4) NH2OH: TÔ H ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ +1. TÔ O ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ –2. ÕÚ· ÙÔ N ı· ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ x Ô˘ ı· ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË:

24

x + 2(–2) = 0 x = +4

9) NO2:

6) N2O: To O ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ –2. ÕÚ· ÙÔ N ı· ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘: 2(x) – 2 = 0 x = +1

MÈ· ¿ÏÏË ÈÔ ·Ï‹ ̤ıÔ‰Ô˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ ÛÙȘ ÂÓÒÛÂȘ ÙÔ˘˜ ‚·Û›˙Â-

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

X ∏ª∂π∞ Ù·È ÛÙÔÓ ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎfi Ù‡Ô Ù˘ ¤ÓˆÛ˘ Î·È ÛÙËÓ ·Ú·‰Ô¯‹ fiÙÈ Ù· ÎÔÈÓ¿ ˙‡ÁË ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÂÍ’ ÔÏÔÎÏ‹ÚÔ˘ ÛÙ· ÈÔ ËÏÂÎÙÚ·ÚÓËÙÈο ¿ÙÔÌ· Ô˘ ··ÚÙ›˙Ô˘Ó ÙÔ ¯ËÌÈÎfi ‰ÂÛÌfi. M ÙËÓ ·Ú·‰Ô¯‹ fï˜ ·˘Ù‹ Ô ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ Ù˘ ¤ÓˆÛ˘ ·›ÚÓÂÈ ÌÈ· Ó¤· ÌÔÚÊ‹ ÛÙËÓ ÔÔ›· Ù· ÎÔÈÓ¿ ˙‡ÁË ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ÌÂٷ͇ ·ÙfiÌˆÓ ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ (›‰È· ËÏÂÎÙÚ·ÚÓËÙÈÎfiÙËÙ·) ·ÚÈÛÙ¿ÓÔÓÙ·È ˆ˜ + ÂÓÒ ·˘Ù¿ ÌÂٷ͇ ·ÙfiÌˆÓ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ (‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ËÏÂÎÙÚ·ÚÓËÙÈÎfiÙËÙ·) ·ÚÈÛÙ¿ÓÔÓÙ·È ˆ˜ (—‹—) ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ ·Ó ÙÔ ËÏÂÎÙÚ·ÚÓËÙÈÎfiÙÂÚÔ ¿ÙÔÌÔ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ ‹ ÚÔ˜ Ù’ ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÙÔ˘ ¯ËÌÈÎÔ‡ ‰ÂÛÌÔ‡. EÍ·ÈÙ›·˜ ÙÔ˘ ÙÚfiÔ˘ ·˘ÙÔ‡ Ù˘ ÁÚ·Ê‹˜ ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎÒÓ Ù‡ˆÓ Ë Ì¤ıÔ‰Ô˜ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ˆ˜ ̤ıÔ‰Ô˜ Ù˘ ÂÎÚ·Á›۷˜ ‰ÔÌ‹˜ (exploded structure method). K·Ù¿ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ Ù˘ ÌÂıfi‰Ô˘ Ù˘ ÂÎÚ·Á›۷˜ ‰ÔÌ‹˜ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ ÛÙȘ ÂÓÒÛÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ÙËÓ ÂÍ‹˜ Û˘ÓÙ·Á‹: 1. °Ú¿ÊÔ˘Ì ÙÔÓ ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎfi Ù‡Ô Ù˘ ¤ÓˆÛ˘.

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 4 TÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ Î·ı¤Ó· ·fi Ù· ¿ÙÔÌ· ÛÙÔ ÌfiÚÈÔ ÙÔ˘ ˘ԯψÚÈÒ‰Ô˘˜ ÔͤԘ, HClO; §‡ÛË: 1. HÏÂÎÙÚÔÓÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ HClO H( O 2. EÎÚ·Á›۷ ‰ÔÌ‹ ÙÔ˘ HClO H( O ( Cl 3. AÚÈıÌÔ› ÔÍ›‰ˆÛ˘ H: 1–0 = 1, O: 6–8 = –2, Cl: 7–6 = 1.

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 5 TÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ ¤¯Ô˘Ó Ù· ¿ÙÔÌ· ¿Óıڷη Ô˘ Û˘ÌÌÂÙ¤¯Ô˘Ó ÛÙÔ ‰ÈÏfi ‰ÂÛÌfi ÛÙ· ÌfiÚÈ· Ù˘ ·ÎÂÙfiÓ˘, (CH3)2CO Î·È ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÌÂı˘ÏÔ-·Èı˘ÏÂÓ›Ô˘, (CH3)2=C(CH3)2; §‡ÛË: (CH3)2CO

1. HÏÂÎÙÚÔÓÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ Ù˘ ·ÎÂÙfiÓ˘

2. °Ú¿ÊÔ˘Ì ÙÔÓ ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎfi Ù‡Ô Ù˘ ¤ÓˆÛ˘ Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ Ù˘ ÂÎÚ·Á›۷˜ ‰ÔÌ‹˜. 3. AÊ·ÈÚԇ̠ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ Á‡Úˆ ·fi ÙÔ ¿ÙÔÌÔ ÛÙËÓ ÂÎÚ·Á›۷ ‰ÔÌ‹ ·fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ ÂχıÂÚÔ ¿ÙÔÌÔ Î·È Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ·˘Ù‹ ·ÔÙÂÏ› ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙÔ˘ ·ÙfiÌÔ˘ ÛÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ¤ÓˆÛË. E›Ó·È Ê·ÓÂÚfi ˆ˜ ÛÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ÂÎÚ·Á›۷˜ ‰ÔÌ‹˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ó· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ηÓfiÓ˜ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ÚÒÙË Ì¤ıÔ‰Ô ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ ÛÙȘ ÂÓÒÛÂȘ ÙÔ˘˜. A˜ ‰Ô‡ÌÂ, fï˜, ÌÂÚÈο ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·:

( Cl

H3C C

O

H3C

2. EÎÚ·Á›۷ ‰ÔÌ‹ Ù˘ ·ÎÂÙfiÓ˘ H3C C(

O

H3C

3. AÚÈıÌfi˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘ Ù˘ C C: 4–2 = 2, (CH3)2=C(CH3)2 1. HÏÂÎÙÚÔÓÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÌÂı˘ÏÔ-·Èı˘ÏÂÓ›Ô˘

C H3C

S

CH3

CH3

H3C C

O O

O

C

2. EÎÚ·Á›۷ ‰ÔÌ‹ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÌÂı˘ÏÔ-·Èı˘ÏÂÓ›Ô˘

§‡ÛË: 1. HÏÂÎÙÚÔÓÈÎfi˜ Ù‡Ô˜ ÙÔ˘ H2SO4

H

CH3

H3C

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 3 TÈ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ Î·ı¤Ó· ·fi Ù· ¿ÙÔÌ· ÛÙÔ ÌfiÚÈÔ ÙÔ˘ ıÂÈÈÎÔ‡ ÔͤԘ, H2SO4;

H3C

H

O

2. EÎÚ·Á›۷ ‰ÔÌ‹ ÙÔ˘ H2SO4

C CH3

3. AÚÈıÌfi˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙÔ˘ C C: 4–4 = 0.

O ) (

H( O ) S ( O )H O

3. AÚÈıÌÔ› ÔÍ›‰ˆÛ˘ H: 1–0=1, O: 6–8=–2, S: 6–0=6.

£· Û˘ÓÈÛÙÔ‡Û·Ì ÛÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË Ó’ ·ÔÌÓËÌÔÓ‡ÛÂÈ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙˆÓ ÈÔ ÎÔÈÓÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ. KÈ ·˘Ùfi ÁÈ·Ù› ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ì·˜ ÂÈÙÚ¤Ô˘Ó: 1. Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ì ‡ÎÔÏ· ÙÔ ¯ËÌÈÎfi Ù‡Ô ÌÈ·˜ ¤ÓˆÛ˘ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·Ó ·˘Ù‹ Â›Ó·È ÈÔÓÈ΋ ‹ fi¯È, EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

25

A ƒπ£ª√™ O •∂π¢ø™∏™ 2. Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÔ˘Ì ÌÈ· ¯ËÌÈ΋ ¤ÓˆÛË Î·È, 3. Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ˘˜ ÛÙÔȯÂÈÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÌÈ·˜ ÛÔ˘‰·›·˜ Ù¿Í˘ ¯ËÌÈÎÒÓ ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ Ô˘ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔ˘Ó ÌÂÙ·ÊÔÚ¿ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÓÙȉڈÛÒÓ Ô˘ÛÈÒÓ Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·ÓÙȉڿÛÂȘ ÔÍÂȉԷӷÁˆÁ‹˜. E‰Ò ı· ÂÚÈÔÚÈÛÙԇ̠ÛÙË Û˘˙‹ÙËÛË ÙˆÓ ‰‡Ô ¿ÏÏˆÓ ÂÊ·ÚÌÔÁÒÓ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÔÍ›‰ˆÛ˘.

°PAºH TøN XHMIKøN TY¶øN · ÈÔÓÈο ÊÔÚÙ›· ÛÙȘ ÈÔÓÈΤ˜ ÂÓÒÛÂȘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÁÈ· ÙÔÓ Î·ıÔÚÈÛÌfi ÙˆÓ ‰ÂÈÎÙÒÓ ÙÔ˘ ηÙÈfiÓÙÔ˜ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÈfiÓÙÔ˜ ÛÙÔ ¯ËÌÈÎfi Ù‡Ô ÙˆÓ ÂÓÒÛÂˆÓ ·˘ÙÒÓ. ŸÌˆ˜, Ù· ÈÔÓÈο ·˘Ù¿ ÊÔÚÙ›· Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÛÙȘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˜ ÂÓÒÛÂȘ. A˘Ùfi Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙË ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÔÍ›‰ˆÛ˘ Î·È ÛÙË ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ Ù‡ˆÓ fi¯È ÌfiÓÔ ÙˆÓ ÈÔÓÈÎÒÓ ÂÓÒÛˆÓ, ·ÏÏ¿ Î·È fiÏˆÓ ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ ÂÓÒÛÂˆÓ (ÔÏÈÎÒÓ Î·È ÌË). O ηÓfiÓ·˜ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi˜ ˆ˜ ·Ó¿ÛÙÚÔÊÔ˜ ηÓfiÓ·˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÔÍ›‰ˆÛ˘. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· ·˘Ùfi, Ë ·Ó·ÏÔÁ›· Ì ÙËÓ ÔÔ›· Ù· ¿ÙÔÌ· ‹ ÔÌ¿‰Â˜ ·ÙfiÌˆÓ ÂÓÒÓÔÓÙ·È ÁÈ· Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ó ÌÈ· ¤ÓˆÛË Â›Ó·È Ë ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ·Ó·ÏÔÁ›· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ‹ ÙˆÓ ÊÔÚÙ›ˆÓ ÙÔ˘˜. A˜ ‰Ô‡Ì ÌÂÚÈο ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·. ŒÛÙˆ, fiÙÈ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ÁÚ¿„Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ¯ËÌÈÎÔ‡˜ Ù‡Ô˘˜ ÙˆÓ ÂÓÒÛÂˆÓ ÙÔ˘ ¿Óıڷη Ì Ô͢ÁfiÓÔ, ÛÙȘ ‚·ıÌ›‰Â˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙÔ˘ ¿Óıڷη +2 Î·È +4. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ·Ó¿ÛÙÚÔÊÔ Î·ÓfiÓ· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ı· ¤¯Ô˘ÌÂ:

T

C2O2 = CO C2

C2O4 = CO2

O2

C4

H 26

S2

S2O4 = SO2 S4

O2

™ ∏ª∞™π∞

∆√À

Ù‡Ô˘˜ ÙˆÓ ÂÓÒÛÂˆÓ ÙÔ˘ ıÂÈ˚ÎÔ‡ ·ÓÈfiÓÙÔ˜, SO42– Ì + 3+ Ù· ÈfiÓÙ· ÙÔ˘ ·ÌÌˆÓ›Ô˘, NH+ 4 , ÙÔ˘ Na Î·È ÙÔ˘ Cr . K·È ¿ÏÈ ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: (NH4)2SO4

Na2SO4

NH 4 SO24

SO24

Na

Cr2(SO4)3 Cr 3

SO24

™ËÌÂÈÒÛÙ fiÙÈ Ù· ÔÏ˘·ÙÔÌÈο ÈfiÓÙ· ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È Ì¤Û· Û ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ‰Â›ÎÙË ‰È¿ÊÔÚÔ ÙÔ˘ 1 ÎÈ’ ·˘Ùfi ÁÈ· Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ·˘ÙÔ‡ÛȘ ¯ËÌÈΤ˜ ÔÓÙfiÙËÙ˜. ŸÏ· Ù· ·Ú·¿Óˆ ÌÔÚԇ̠ӷ Ù· Û˘ÓÔ„›ÛÔ˘Ì Û ٤ÛÛÂÚȘ ηÓfiÓ˜ Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó’ ·ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ηٿ ÙË ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ Ù‡ˆÓ: 1. ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙËÓ ÔÓÔÌ·Û›· Ù˘ ¯ËÌÈ΋˜ ¤ÓˆÛ˘ 2. οو ·fi ÙËÓ ÔÓÔÌ·Û›· ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ٷ ۇ̂ÔÏ· ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ‹ ÙˆÓ ÔÏ˘·ÙÔÌÈÎÒÓ ÈfiÓÙˆÓ Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙËÓ ¤ÓˆÛË 3. ÛÙÔ Î¿ı ۇ̂ÔÏÔ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ ÂÎı¤ÙË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ ‹ ÙÔ ÊÔÚÙ›Ô ÙÔ˘ 4. ‰È·ÛÙ·˘ÚÒÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÂÎı¤Ù˜ ·˘ÙÔ‡˜ Î·È ÙÔ˘˜ ÙÔÔıÂÙԇ̠ˆ˜ ‰Â›ÎÙ˜ ÛÙ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ‹ ÔÏ˘·ÙÔÌÈο ÈfiÓÙ·. ŸÔ˘ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ ÔÈ ‰Â›ÎÙ˜ ·˘ÙÔ› ·ÏÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Î·È Ë ÌÔÓ¿‰· ·Ú·Ï›ÂÙ·È.

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 6 N· ÁÚ·ÊÔ‡Ó ÔÈ ¯ËÌÈÎÔ› Ù‡ÔÈ ÙˆÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÓÒÛˆÓ: 1) 2) 3) 4) 5)

ʈÛÊÔÚÈÎfi ·ÚÁ›ÏÈÔ fiÍÈÓÔ ıÂÈ˚Îfi ·Û‚¤ÛÙÈÔ ÙÂÙÚ·˚ˆ‰ÈÔ‡¯Ô Ì·ÁÁ¿ÓÈÔ ÂÓÙÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ ʈÛÊfiÚÔ˘ ÓÈÙÚÈÎfi˜ ¯·ÏÎfi˜

§‡ÛË: 1) ʈÛÊÔÚÈÎfi ·ÚÁ›ÏÈÔ: ¶ÂÚȤ¯ÂÈ ÊˆÛÊÔÚÈο ·ÓÈfiÓÙ· Ì ÊÔÚÙ›Ô 3– Î·È ÈfiÓÙ· Al3+. EÔ̤ӈ˜, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ:

O2

™ËÌÂÈÒÛÙÂ, fiÙÈ fiÙ·Ó ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·ÏÔÔÈÔ‡ÓÙ·È, ÙÔ˘˜ ·ÏÔÔÈÔ‡ÌÂ Î·È ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔÓ ÈÔ ·Ïfi Ù‡Ô. E›Û˘ fiÙ·Ó Î¿ÔÈÔ˜ ‰Â›ÎÙ˘ Â›Ó·È Ë ÌÔÓ¿‰·, ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ·Ú·Ï›Ô˘ÌÂ. ŒÛÙˆ ÙÒÚ· fiÙÈ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ÁÚ¿„Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ¯ËÌÈÎÔ‡˜ Ù‡Ô˘˜ ÙˆÓ ÂÓÒÛÂˆÓ ÙÔ˘ ı›Ԣ Ì ÙÔ ˘‰ÚÔÁfiÓÔ ÛÙË ‚·ıÌ›‰· ÔÍ›‰ˆÛ˘ –2 Î·È Ì ÙÔ Ô͢ÁfiÓÔ ÛÙȘ ‚·ıÌ›‰Â˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘ +4 Î·È +6. £· ¤¯Ô˘Ì ÏÔÈfiÓ. H2S

∫∞π ∏

S2O6 = SO3 S6

Al3(PO4)3 = AlPO4 Al 3

PO34

2) fiÍÈÓÔ ıÂÈ˚Îfi ·Û‚¤ÛÙÈÔ: ¶ÂÚȤ¯ÂÈ fiÍÈÓ· ıÂÈ˚ο ·ÓÈfiÓÙ· Ì ÊÔÚÙ›Ô –1 Î·È ÈfiÓÙ· ·Û‚ÂÛÙ›Ô˘, Ca2+. EÔ̤ӈ˜, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: Ca(HSO4)2 Ca2 HSO4

3) ÙÂÙÚ·˚ˆ‰ÈÔ‡¯Ô Ì·ÁÁ¿ÓÈÔ: ÂÚȤ¯ÂÈ Èˆ‰ÈÔ‡¯· ÈfiÓÙ·, I– Î·È ÈfiÓÙ· Ì·ÁÁ·Ó›Ô˘, Mn4+. EÔ̤ӈ˜, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ:

O2

T¤ÏÔ˜, ¤ÛÙˆ fiÙÈ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ÁÚ¿„Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ¯ËÌÈÎÔ‡˜ EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

MnI4 Mn 4

I

X ∏ª∂π∞ 4) ÂÓÙÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ ʈÛÊfiÚÔ˘: ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ ÊˆÛÊfiÚÔ Û ‚·ıÌ›‰· ÔÍ›‰ˆÛ˘ +5. EÔ̤ӈ˜, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: P2O5 P5

O2

5) ÓÈÙÚÈÎfi˜ ¯·ÏÎfi˜: ÂÚȤ¯ÂÈ ÓÈÙÚÈο ·ÓÈfiÓÙ· Ì ÊÔÚÙ›Ô –1 Î·È ÈfiÓÙ· ¯·ÏÎÔ‡, Cu2+. EÔ̤ӈ˜, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: Cu(NO3)2 Cu2

NO3

ONOMATO§O°IA A¶§øN ANOP°ANøN ENø™EøN Ù·Ó ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ Ì οÔÈÔ ¿ÏÏÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi ÌÈ· ÂÓÒÛÂȘ, ÁÈ· Ó· ÙȘ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÛÙËÓ ÔÓÔÌ·Û›· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌËÙÈο ÚÔı¤Ì·Ù·. ¶.¯.,

Ÿ

PCl3

ÙÚȯψÚÈÔ‡¯Ô˜ ʈÛÊfiÚÔ˜

PCl5

ÂÓÙ·¯ÏˆÚÈÔ‡¯Ô˜ ʈÛÊfiÚÔ˜

FeCl2

‰È¯ÏˆÚÈÔ‡¯Ô˜ Û›‰ËÚÔ˜

FeCl3

ÙÚȯψÚÈÔ‡¯Ô˜ Û›‰ËÚÔ˜

Cu2O

˘ÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ ¯·ÏÎÔ‡

CuO

ÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ ¯·ÏÎÔ‡

AÓÙ› ÙÔ˘ ÙÚfiÔ˘ ·˘ÙÔ‡ ÔÓÔÌ·Û›·˜ ÙˆÓ ÂÓÒÛÂˆÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘ÌÂ Î·È ¿ÏÏÔ ÙÚfiÔ, ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô Ë ÔÓÔÌ·Û›· ÙˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ ÂÓÒÛÂˆÓ Â›Ó·È ›‰È· Î·È Ë ‰È¿ÎÚÈÛ‹ ÙÔ˘˜ Á›ÓÂÙ·È Ì ÙËÓ ÙÔÔı¤ÙËÛË Ï·ÙÈÓÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ÙË ‚·ıÌ›‰· ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ ÌÂÙ¿ ÙÔ fiÓÔÌ¿ ÙÔ˘ Î·È Ì¤Û· Û ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ. ŒÙÛÈ, ÁÈ· ÙȘ ·Ú·¿Óˆ ÂÓÒÛÂȘ Ë Ó¤· ÙÔ˘˜ ÔÓÔÌ·Û›· ı· ›ӷÈ: PCl3

¯ÏˆÚÈÔ‡¯Ô˜ ʈÛÊfiÚÔ˜ (III)

PCl5

¯ÏˆÚÈÔ‡¯Ô˜ ʈÛÊfiÚÔ˜ (V)

FeCl2

¯ÏˆÚÈÔ‡¯Ô˜ Û›‰ËÚÔ˜ (II)

FeCl3

¯ÏˆÚÈÔ‡¯Ô˜ Û›‰ËÚÔ˜ (III)

Cu2O

ÔÍ›‰ÈÔ ¯·ÏÎÔ‡ (I)

CuO

ÔÍ›‰ÈÔ ¯·ÏÎÔ‡ (II)

°È· Ù· ÔÏ˘·ÙÔÌÈο ÈfiÓÙ· Î·È Î˘Ú›ˆ˜ Ù· ·ÓÈfiÓÙ· Ô˘ Â›Ó·È Î·È Ù· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· Î·È fiˆ˜ ı· ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ù ÂÚȤ¯Ô˘Ó ηٿ ηÓfiÓ· οÔÈÔ ÎÂÓÙÚÈÎfi ¿ÙÔÌÔ Âӈ̤ÓÔ Ì ¿ÙÔÌ· Ô͢ÁfiÓÔ˘ Î·È ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Î·È Ô͢·ÓÈfiÓÙ·, Ë ÔÓÔÌ·Û›· ÙÔ˘˜ ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙÔ˘ ÎÂÓÙÚÈÎÔ‡ ÙÔ˘˜ ·ÙfiÌÔ˘. H ÔÓÔÌ·Û›· ÏÔÈ-

fiÓ ÙˆÓ ÔÏ˘·ÙÔÌÈÎÒÓ Ô͢·ÓÈfiÓÙˆÓ Á›ÓÂÙ·È Ì ‚¿ÛË ÙÔ fiÓÔÌ· ÙÔ˘ ÎÂÓÙÚÈÎÔ‡ ·ÙfiÌÔ˘ Î·È ÙËÓ Î·Ù¿ÏËÍË -ÈÎfi ‹ ҉˜. H ηٿÏËÍË -ÈÎfi ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ÙÔ ÎÂÓÙÚÈÎfi ¿ÙÔÌÔ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙËÓ ˘„ËÏfiÙÂÚË ‚·ıÌ›‰· ÔÍ›‰ˆÛ‹˜ ÙÔ˘, ÂÓÒ Ë Î·Ù¿ÏËÍË -҉˜ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ÙÔ ÎÂÓÙÚÈÎfi ¿ÙÔÌÔ ¤¯ÂÈ ÙËÓ ·Ì¤Ûˆ˜ ¯·ÌËÏfiÙÂÚË ‚·ıÌ›‰· ÔÍ›‰ˆÛ˘. ¶.¯., NO3–

(AÚÈı. ÔÍ›‰ˆÛ˘ N + 5) ÓÈÙÚÈÎfi ·ÓÈfiÓ

NO2–

(AÚÈı. ÔÍ›‰ˆÛ˘ N + 3) ÓÈÙÚ҉˜ ·ÓÈfiÓ

SO42–

(AÚÈı. ÔÍ›‰ˆÛ˘ S + 6) ıÂÈ˚Îfi ·ÓÈfiÓ

SO32–

(AÚÈı. ÔÍ›‰ˆÛ˘ S + 4) ıÂÈ҉˜ ·ÓÈfiÓ

AÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È ¿ÏÏÔ Ô͢·ÓÈfiÓ ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ Ì ·ÎfiÌË ¯·ÌËÏfiÙÂÚÔ ·ÚÈıÌfi ÔÍ›‰ˆÛ˘, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ ÚfiıÂÌ· ˘Ô-. ¶.¯. ClO3– (AÚÈıÌ. ÔÍ›‰ˆÛ˘ Cl + 5) ¯ÏˆÚÈÎfi ·ÓÈfiÓ ClO2– (AÚÈıÌ. ÔÍ›‰ˆÛ˘ Cl + 3) ¯ÏˆÚÈ҉˜ ·ÓÈfiÓ ClO– (AÚÈıÌ. ÔÍ›‰ˆÛ˘ Cl + 1) ˘ԯψÚÈ҉˜ ·ÓÈfiÓ T¤ÏÔ˜, ÌÂÚÈΤ˜ ÊÔÚ¤˜, Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ Ô͢·ÓÈfiÓ ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ Ì ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ‚·ıÌ›‰· ÔÍ›‰ˆÛ˘ ·’ fi,ÙÈ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÂÌ›˜ Û·Ó ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÁÈ· Ó· ‰ÒÛÔ˘Ì ÙËÓ ÔÓÔÌ·Û›·. A˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ .¯. ÛÙ· Ô͢·ÓÈfiÓÙ· ClO4–, BrO4–, IO4– fiÔ˘ Ù· ÎÂÓÙÚÈο ÙÔ˘˜ ¿ÙÔÌ· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ‚·ıÌ›‰· ÔÍ›‰ˆÛ˘ +7. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ ÚfiıÂÌ· ˘ÂÚ- Î·È ¤ÙÛÈ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ٷ Ô͢·ÓÈfiÓÙ· ·˘Ù¿ ˆ˜, ClO4–

˘ÂگψÚÈÎfi ·ÓÈfiÓ

BrO4– IO4–

˘ÂÚ‚ÚˆÌÈÎfi ·ÓÈfiÓ ˘ÂÚȈ‰ÈÎfi ·ÓÈfiÓ

™ËÌÂÈÒÛÙ fiÙÈ Ë ‚·ıÌ›‰· ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙˆÓ ·ÏÔÁfiÓˆÓ +7 Â›Ó·È Ë ˘„ËÏfiÙÂÚ‹ ÙÔ˘˜ ‚·ıÌ›‰· ÔÍ›‰ˆÛ˘ Î·È ›Ûˆ˜ ı· ¤ÚÂ ٷ Ô͢·ÓÈfiÓÙ· ·˘Ù¿ Ó· ÔÓÔÌ·ÛÙÔ‡Ó ˆ˜ ·Ï¿ -Èο ·ÓÈfiÓÙ·. ŸÌˆ˜, ÂȉÈο ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Û·Ó ˘„ËÏfiÙÂÚË ‚·ıÌ›‰· ÔÍ›‰ˆÛ˘ ıˆÚԇ̠ÙËÓ +5 Î·È ‰›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ·Ó¿ÏÔÁË ÔÓÔÌ·Û›·. A˘Ùfi, fï˜, ‰ÂÓ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Û ¿ÏϘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ. Afi Ù· ·Ú·¿Óˆ Á›ÓÂÙ·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ, fiÙ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÔÓÔÌ·Û›· ÂÓfi˜ Ô͢·ÓÈfiÓÙÔ˜ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ٷ˘Ùfi¯ÚÔÓ· Î·È ÙË ‚·ıÌ›‰· ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙÔ˘ ÎÂÓÙÚÈÎÔ‡ ÙÔ˘ ·ÙfiÌÔ˘. H ηٿÏËÍË -ÈÎfi ÛËÌ·›ÓÂÈ ÙËÓ ˘„ËÏfiÙÂÚË ‚·ıÌ›‰· ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙÔ˘ ÎÂÓÙÚÈÎÔ‡ ·ÙfiÌÔ˘ (ÂÍ·›ÚÂÛË Ù· Ô͢·ÓÈfiÓÙ· ÙˆÓ ·ÏÔÁfiÓˆÓ). H ηٿÏËÍË -҉˜ ÙËÓ Î·Ù¿ ‰‡Ô ÌÔÓ¿‰Â˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‚·ıÌ›‰· ÔÍ›‰ˆÛ˘. T¤ÏÔ˜ ÙÔ ÚfiıÂÌ· ˘Ô- Î·È Ë Î·Ù¿ÏËÍË -҉˜ ÙËÓ Î·Ù¿ ‰‡Ô ·ÎfiÌË ÌÔÓ¿‰Â˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‚·ıÌ›‰· ÔÍ›‰ˆÛ˘. X·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi Â›Ó·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÛÙ· Ô͢·ÓÈfiÓÙ· ÔÈ ‚·ıÌ›‰Â˜ ÔÍ›‰ˆÛ˘ ÙÔ˘ ÎÂÓÙÚÈÎÔ‡ ÙÔ˘˜ ·ÙfiÌÔ˘ ÔÈΛÏÏÔ˘Ó ¿ÓÙÔÙ ηٿ ‰‡Ô ÌÔÓ¿‰Â˜, ÂÓÒ ÔÈ ¯ËÌÈÎÔ› ÙÔ˘˜ Ù‡ÔÈ

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

27

A ƒπ£ª√™ O •∂π¢ø™∏™ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó ¿ÓÙÔÙ ηٿ ¤Ó· ¿ÙÔÌÔ Ô͢ÁfiÓÔ˘. ™˘ÁÎÚ›Ó·Ù ٷ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Î·È ı· ÙÔ ‰È·ÈÛÙÒÛÂÙÂ Î·È ÌfiÓÔÈ Û·˜. T¤ÏÔ˜, fiÙ·Ó Ù· Ô͢·ÓÈfiÓÙ· ÂÓÒÓÔÓÙ·È Ì ¿ÏÏ· ηÙÈfiÓÙ·, ÔÈ Ô˘‰¤ÙÂÚ˜ ÂÓÒÛÂȘ Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Î·ÓÔÓÈο, fiˆ˜ Î·È ÔÈ ¿ÏϘ ‰˘·‰ÈΤ˜ ÂÓÒÛÂȘ Ì ÚÒÙÔ ÙÔ fiÓÔÌ· ÙÔ˘ Ô͢·ÓÈfiÓÙÔ˜ Î·È ÌÂÙ¿ ÙÔ fiÓÔÌ· ÙÔ˘ ηÙÈfiÓÙÔ˜ .¯., Cu(NO3)2

ÓÈÙÚÈÎfi˜ ¯·ÏÎfi˜

FeSO4

ıÂÈ˚Îfi˜ Û›‰ËÚÔ˜ (II)

Fe2(SO4)3

ıÂÈ˚Îfi˜ Û›‰ËÚÔ˜ (III)

AlPO4

ʈÛÊÔÚÈÎfi ·ÚÁ›ÏÈÔ

(NH4)3PO4

ʈÛÊÔÚÈÎfi ·ÌÌÒÓÈÔ

∫∞π ∏

™ ∏ª∞™π∞

∆√À

·ÙÔ˘Ó ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÁÂÓÈο Ô͢ÁÔÓÔ‡¯· Ôͤ· Î·È Ë ÔÓÔÌ·Û›· ÙÔ˘ ηıÂÓfi˜ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙËÓ ÔÓÔÌ·Û›· ÙÔ˘ Ô͢·ÓÈfiÓÙÔ˜ Î·È ÙË Ï¤ÍË Ô͇. ¶.¯., HNO3

ÓÈÙÚÈÎfi Ô͇

HNO2

ÓÈÙÚ҉˜ Ô͇

H2SO4

ıÂÈ˚Îfi Ô͇

H2SO3

ıÂÈ҉˜ Ô͇

H3PO4

ʈÛÊÔÚÈÎfi Ô͇

H3PO3

ʈÛÊÔÚ҉˜ Ô͇

HClO4

˘ÂگψÚÈÎfi Ô͇

HClO3

¯ÏˆÚÈÎfi Ô͇

HClO2

¯ÏˆÚÈ҉˜ Ô͇

HClO

˘ԯψÚÈ҉˜ Ô͇.

AÓ ÙÒÚ· Ù· ηÙÈfiÓÙ· Ì ٷ ÔÔ›· ÂÓÒÓÔÓÙ·È Ù· Ô͢·ÓÈfiÓÙ· Â›Ó·È H+, ÔÈ Ô˘‰¤ÙÂÚ˜ ÂÓÒÛÂȘ Ô˘ ÚÔ-

XHMEIA

KøN™TANTINOY T™I¶H: I. ATOMA KAI MOPIA

◆

II. KATA™TA™EI™ TH™ Y§H™

Xηµεα I. >τοµα ? Mρια

Yfi ¤Î‰ÔÛË: III. XHMIKE™ ANTI¢PA™EI™ Kωνσταντνος A. Tσπης

M

È· ÂÓÙ˘ˆÛȷ΋ ¤Î‰ÔÛË ÙÔ˘ EΉÔÙÈÎÔ‡ O›ÎÔ˘ ZHTH Ì ٛÙÏÔ "XHMEIA" Û ÙÚÂȘ ÙfiÌÔ˘˜: I. ÕÙÔÌ· Î·È MfiÚÈ·, II. K·Ù·ÛÙ¿ÛÂȘ Ù˘ ⁄Ï˘ Î·È III. XËÌÈΤ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ" Î·È Û˘ÁÁڷʤ· ÙÔÓ K·ıËÁËÙ‹ Ù˘ K‚·ÓÙÈ΋˜ XËÌ›·˜ ÙÔ˘ AÚÈÛÙÔÙÂÏ›Ԣ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢ Î. KˆÓ/ÓÔ TÛ›Ë, ÚÔηÏ› ÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ Î·È ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ÙÔÓ ÂÈÚ·ÛÌfi Ó’ ·ÊÈÂÚÒÛÂÈ Î·Ó›˜ Ï›ÁÔ ·fi ÙÔ ¯ÚfiÓÔ ÙÔ˘ ÁÈ· ÌÈ· ÚÒÙË Â·Ê‹ Î·È ÂÎÙ›ÌËÛË ÙÔ˘ ÂÚȯÔ̤ÓÔ˘ ÙÔ˘ οı ÙfiÌÔ˘. H XËÌ›·, ˆ˜ Ì¿ıËÌ·, ·ÔÙÂÏÔ‡Û ·Ó¤Î·ıÂÓ ¤Ó· ‰˘ÛÓfiËÙÔ Î·È ‰‡Û‚·ÙÔ ¯ÒÚÔ ÁÓÒÛÂˆÓ ÁÈ· ÙÔ Ì¤ÛÔ Ì·ıËÙ‹, Ô˘ ÙÔÓ Ô‰ËÁÔ‡Û Û ·¤¯ıÂÈ· ÁÈ’ ·˘Ù‹Ó. ŸÌˆ˜, ηٿ ÙÔÓ Û˘ÁÁڷʤ· Ë ÂÈÎfiÓ· Ù˘ XËÌ›·˜ Â›Ó·È ·˘Ù‹ ÌÈ·˜ ÂӉȷʤÚÔ˘Û·˜, ÁÔËÙ¢ÙÈ΋˜ Î·È Â˘¯¿ÚÈÛÙ˘ ÂÈÛÙ‹Ì˘, Ô˘ ηıËÌÂÚÈÓ¿ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Á‡Úˆ Ì·˜ Î·È Û˘Ì‚¿ÏÏÂÈ ÙfiÛÔ Ôχ ÛÙËÓ ·Ó‡„ˆÛË ÙÔ˘ ‚ÈÔÙÈÎÔ‡ Ì·˜ ÂÈ¤‰Ô˘. £¤ÏÔÓÙ·˜, ÏÔÈfiÓ, Ó· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÂÈ Î·È Ó· ÚÔˆı‹ÛÂÈ ÙËÓ ÂÈÎfiÓ· ·˘Ù‹ Ù˘ XËÌ›·˜, Ô Û˘ÁÁڷʤ·˜ ·fiıÂÛ fiϘ ÙȘ ÁÓÒÛÂȘ Î·È ÂÌÂÈڛ˜ ÙÔ˘, ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ôχ¯ÚÔÓ˘ ‰È‰·Ûηϛ·˜ Î·È ¤Ú¢ӷ˜, Ì ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÛÙfi¯Ô Ó· ÚÔÛʤÚÂÈ ÛÙÔ Ì·ıËÙ‹ (·fi ÙËÓ A °˘ÌÓ·Û›Ô˘ ̤¯ÚÈ Î·È ÙË ° §˘Î›Ԣ), ·ÏÏ¿ Î·È ÛÙÔ ÊÔÈÙËÙ‹ ÙˆÓ £ÂÙÈÎÒÓ ÂÈÛÙËÌÒÓ, ÙˆÓ ÂÈÛÙËÌÒÓ YÁ›·˜ Î·È ÙˆÓ ¶ÔÏ˘Ù¯ÓÈÎÒÓ ™¯ÔÏÒÓ, ηıÒ˜ Î·È ÔÏÏÒÓ ÂȉÈÎfiÙËÙˆÓ ÙˆÓ T¯ÓÔÏÔÁÈÎÒÓ EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÒÓ I‰Ú˘Ì¿ÙˆÓ, ·ÎfiÌË Î·È ÛÙÔÓ ·Ïfi ÔÏ›ÙË Ù˘ Û‡Á¯ÚÔÓ˘ ÎÔÈÓˆÓ›·˜, ¤Ó· ¢¯¿ÚÈÛÙÔ ·Ó¿ÁÓˆÛÌ·, Ô˘ ı· ÙÔÓ Â˘¯·ÚÈÛÙ› ÙÔ ›‰ÈÔ, fiÛÔ Î·È Ë ·Ó¿ÁÓˆÛË ÂÓfi˜ ÏÔÁÔÙ¯ÓÈÎÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘. M ·Ï¿, ÚÔÛÂÁ̤ӷ Î·È Î·Ù·ÓÔËÙ¿ ΛÌÂÓ·, ¯·Ú·ÎÙËÚÈ˙fiÌÂÓ· ·fi ˘„ËÏ‹ ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ·ÎÚ›‚ÂÈ· Î·È ‰È·ÎÔÛÌË̤ӷ Ì Ï‹ıÔ˜ ¤Á¯ÚˆÌˆÓ ʈÙÔÁÚ·ÊÈÒÓ Î·È ÂÈÎfiÓˆÓ, ÂÈı˘Ì› Ó· ‰ÒÛÂÈ ÛÙÔÓ ·Ó·ÁÓÒÛÙË Î¿ÔȘ ¢¯¿ÚÈÛÙ˜ ÒÚ˜ ·Ó¿ÁÓˆÛ˘ Î·È ÌÂϤÙ˘ Ô˘ ÂÓÙÂÏÒ˜ ·ÓÒ‰˘Ó· ı· ÌÂÙ·‰ÒÛÔ˘Ó ‚·ıÂÈ¿, ÂÈÛÙËÌÔÓÈο, ÁÓÒÛË. O ·Ó·ÁÓÒÛÙ˘ Ú¿ÁÌ·ÙÈ ·ÔÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ÙÔ ‰È¿‚·ÛÌ·

Ù˘ οı ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘ ÙˆÓ ‚È‚Ï›ˆÓ ·˘ÙÒÓ, ‡ÎÔÏ· ·Ó·Ù‡ÛÛÂÈ ÌfiÓÔ˜ ÙÔ˘˜ ÙȘ ··Ú·›ÙËÙ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ‰ÂÍÈÔÙ¯ӛ˜ Î·È ÂϤÁ¯ÂÈ Î¿ı ÛÙÈÁÌ‹ ÙÔ Â›Â‰Ô ÙˆÓ ÁÓÒÛÂˆÓ Ô˘ ·ÔÎÙ¿ Ì ÙÔ ‰È¿‚·ÛÌ·. H ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛË ÙˆÓ ¤Á¯ÚˆÌˆÓ Î·È ·Ú·ÛÙ·ÙÈÎÒÓ ÂÈÎfiÓˆÓ, fiˆ˜ ÂÈ‚¿ÏÏÂÙ·È ÁÈ· ÌÈ· ÂÈÛÙ‹ÌË ÛÙËÓ ÔÔ›· ΢Úȷگ› ÙÔ ¯ÚÒÌ·, ÔÏÏÒÓ ·Ú·‰ÂÈÁÌ¿ÙˆÓ, ÂÈÏÂÁÌ¤ÓˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Î·È ÂÚˆÙ‹ÛÂˆÓ ÔÏÏ·Ï‹˜ ÂÈÏÔÁ‹˜ Ì ÙȘ ··ÓÙ‹ÛÂȘ ÙÔ˘˜, ηıÈÛÙÔ‡Ó ÙËÓ ÂÌ¤‰ˆÛË ÙˆÓ ÔχÏÔÎˆÓ Î·È ‰‡ÛÎÔÏˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Î·È ÌÂıÔ‰ÔÏÔÁÈÒÓ Ù˘ ÂÈÛÙ‹Ì˘ Ù˘ XËÌ›·˜ ¿ÓÂÙË Î·È Â˘¯¿ÚÈÛÙË. £· ϤÁ·Ì fiÙÈ Ù· ‚È‚Ï›· XËÌ›·˜ ÙÔ˘ K·ıËÁËÙ‹ Î. TÛ›Ë ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ¤Ó· ÈÛ¯˘Úfi ·ÓÙ›‰ÔÙÔ Î·Ù¿ Ù˘ "¯ËÌÂÈÔÊÔ‚›·˜" Ô˘ ‰È·Î·Ù¤¯ÂÈ ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜, ÙÔ˘˜ ÊÔÈÙËÙ¤˜ Î·È ÙÔÓ ·Ïfi ·ÎfiÌË ÔÏ›ÙË, Ô ÔÔ›Ô˜ fiÏÔ Î·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ·ÈÛı¿ÓÂÙ·È ÙËÓ ·Ó¿ÁÎË Ó· ηٷÓÔ› fiÏ· Ù· ÂÈÛÙËÌÔÓÈο ÂÈÙ‡ÁÌ·Ù· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Û¯¤ÛË Ì ÙË ˙ˆ‹ ÙÔ˘ Î·È Ì ٷ ÔÔ›· ηٷÎχ˙ÂÙ·È Î·ıËÌÂÚÈÓ¿ ·fi Ù· ̤۷ Ì·˙È΋˜ ÂÓË̤ڈÛ˘. T¤ÏÔ˜, ÂÍ›ÛÔ˘ ÛÔ˘‰·›· Â›Ó·È Ë ÚÔÛÊÔÚ¿ ÙˆÓ ‚È‚Ï›ˆÓ ·˘ÙÒÓ ÛÙËÓ ÂÎ·›‰Â˘ÛË, ·ÊÔ‡ ηٿ ÙË ÁÓÒÌË ÌÔ˘ ı· ‹Ù·Ó ¯Ú‹ÛÈÌ· ‚ÔËı‹Ì·Ù· ÁÈ· ÙÔ˘˜ ηıËÁËÙ¤˜ Ô˘ ‰È‰¿ÛÎÔ˘Ó ÙË XËÌ›·, ·Ú¤¯ÔÓÙ·˜ Û’ ·˘ÙÔ‡˜ ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ÔÚÁ¿ÓˆÛ˘ ÙˆÓ Ì·ıËÌ¿ÙˆÓ Î·Ù¿ ÙÚfiÔ Ô˘ ı· ÂÓıÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ Î·È ı· ‰ÈÂÁ›ÚÂÈ ÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ÙÔ˘˜ ÁÈ· ÙË XËÌ›·. O ÚÒÙÔ˜ ÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ ·˘Ù‹˜ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ‡ÏË Ù·ÍÈÓÔÌË̤ÓË Û ‰Ò‰Âη ÎÂÊ¿Ï·È·. ™ÙÔ ÚÒÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Á›ÓÂÙ·È ÌÈ· ÚÒÙË ÁÓˆÚÈÌ›· Ì ÙËÓ ÂÈÛÙ‹ÌË Ù˘ XËÌ›·˜, Ì˘Â›Ù·È Ô ·Ú¯¿ÚÈÔ˜ ·Ó·ÁÓÒÛÙ˘ ÛÙȘ ·Ú¯¤˜ Ù˘ ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋˜ ¤Ú¢ӷ˜ Î·È ·›ÚÓÂÈ ÌÈ· Á‡ÛË ·fi ÙÔ Â›‰Ô˜ Î·È ÙËÓ ·ÎÚ›‚ÂÈ· ÙˆÓ ÌÂÙÚ‹ÛÂˆÓ Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ Ù˘ ÂÈÛÙ‹Ì˘ ·˘Ù‹˜. ™ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ÂÚÈÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ‰ÈÂÍÔ‰Èο ÔÈ ¤ÓÓÔȘ Ù˘ ‡Ï˘ Î·È Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜, ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜, ÔÈ Î·Ù·ÛÙ¿ÛÂȘ Î·È Ë Û‡ÛÙ·ÛË Ù˘ ‡Ï˘, ηıÒ˜ Î·È Ë ÔÈÎÈÏ›· ÙˆÓ ÌÔÚÊÒÓ Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Î·È Ë Û¯¤ÛË

28 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ™ÙÔ ÙÚ›ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·Ó·Ù‡ÛÛÔÓÙ·È ÌÂÚÈΤ˜ ÛÔ˘‰·›Â˜ Ù¯ÓÈΤ˜ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› Ô XËÌÈÎfi˜ ÛÙÔ ÂÚÁ·ÛÙ‹ÚÈÔ, ‹ ÛÙÔ ÂÚÁÔÛÙ¿ÛÈÔ, ÁÈ· Ó· ‰È·¯ˆÚ›˙ÂÈ Ì›ÁÌ·Ù· Ô˘ÛÈÒÓ. AÎÔÏÔ˘ı› ÛÙÔ Ù¤Ù·ÚÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Ë ‰ÈÂÍÔ‰È΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ıÂÌÂÏȈ‰ÒÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Ù˘ XËÌ›·˜, fiˆ˜ Â›Ó·È Ù· ¿ÙÔÌ· Î·È Ù· ÌfiÚÈ·, Ù· ÙfiÛÔ ÌÈÎÚ¿ ·˘Ù¿ ۈ̷ٛ‰È· ·fi Ù· ÔÔ›· ‰ÔÌÂ›Ù·È Ô ÎfiÛÌÔ˜ fiÏÔ˜. MÂÙ¿ ·fi ÌÈ· ÚÒÙË ÚÔÛ¿ıÂÈ· ÁÈ· ÙËÓ ÂÎÌ¿ıËÛË Ù˘ ¯ËÌÈ΋˜ ÁÏÒÛÛ·˜, Ô˘ Á›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ¤ÌÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ, Ô ·Ó·ÁÓÒÛÙ˘ ·›ÚÓÂÈ ÌÈ· ÚÒÙË Á‡ÛË ÙˆÓ ¯ËÌÈÎÒÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÒÓ Î·È ÁÓˆÚ›˙ÂÈ ÙȘ ÙfiÛÔ ÛÔ˘‰·›Â˜ ¯ËÌÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘, fiˆ˜ Â›Ó·È ÙÔ mole Î·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙÔ˘ Avogadro ÛÙÔ ¤ÎÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ. ™ÙÔ ¤‚‰ÔÌÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ÙÔ "Ì¿ÙÈ" ÙÔ˘ Ì˘·ÏÔ‡ ÙÔ˘ ·Ó·ÁÓÒÛÙË ‰ÈÂÈÛ‰‡ÂÈ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ÌÈÎÚfiÎÔÛÌÔ˘ ÙˆÓ ·ÙfïÓ, ·ÓȯÓ‡ÂÈ ÙËÓ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ÙÔ˘˜ ‰ÔÌ‹ Î·È ÚÔ¯ˆÚ› ÛÙÔ fiÁ‰ÔÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ÁÈ· Ó· ÁÓˆÚ›ÛÂÈ ÙËÓ ϤÔÓ Û‡Á¯ÚÔÓË ıˆڛ· ηٷÓfiËÛ˘ Ù˘ ‰ÔÌ‹˜ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Î·È ÌÔÚ›ˆÓ Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÏÏË ·fi ÙËÓ K‚·ÓÙÔÌ˯·ÓÈ΋, ÙËÓ ÔÔ›·, ·Ú¿ ÙËÓ ·Ó·fiÊ¢ÎÙË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ Ù˘ ÔÏ˘ÏÔÎfiÙËÙ·, ηÙÔÚıÒÓÂÈ Ô Û˘ÁÁڷʤ·˜ Ó· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÂÈ Ì ÙËÓ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚË ‰˘Ó·Ù‹ Ù˘ ÁÏÒÛÛ·. O ÙÚfiÔ˜ ÔÚÁ¿ÓˆÛ˘ Ù˘ ÌÂϤÙ˘ Ù˘ Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿˜ Ù˘ ‡Ï˘ ‰›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ¤Ó·ÙÔ Î·È ‰¤Î·ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Ì ÙËÓ ·ÚÔ˘Û›·ÛË Î·È ‰ÈÂÍÔ‰È΋ ·Ó¿Ï˘ÛË ÙÔ˘ ¶ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡ ¶›Ó·Î· ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ, ηıÒ˜ Î·È ÙÔ˘ ÙÚfiÔ˘ Ù˘ ÂÚÈÔ‰È΋˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ ȉÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Û ۯ¤ÛË Ì ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘˜ ÛÙÔÓ ¶›Ó·Î· ·˘Ùfi. ™ÙÔ ÂÓ‰¤Î·ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Î·Ù·‚¿ÏÏÂÙ·È ÚÔÛ¿ıÂÈ· ·¿ÓÙËÛ˘ ÛÔ˘‰·›ˆÓ ÂÚˆÙËÌ¿ÙˆÓ Ù˘ XËÌ›·˜, Ù· ÔÔ›· ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙÔ ÁÈ·Ù› Î·È Ò˜ Ù· ¿ÙÔÌ· ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÂÓÒÓÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ÁÈ· Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ó ÙȘ ¯ËÌÈΤ˜ ÂÓÒÛÂȘ, ÂÓÒ ÛÙÔ ‰ˆ‰¤Î·ÙÔ Î·È ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È Ì ÂÓÙ˘ˆÛÈ·Îfi ÙÚfiÔ Ë ÙÚÈۉȿÛÙ·ÙË ÂÈÎfiÓ· Ù˘ XËÌ›·˜ Î·È Î·Ù·‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È Ë ÔÌÔÚÊÈ¿ Ô˘ ΢Úȷگ› ÛÙË º‡ÛË Ì ÙËÓ ··Ú¿ÌÈÏÏË Û˘ÌÌÂÙÚ›· Ù˘. O ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ÙfiÌÔ˜ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ‡ÏË Ù·ÍÈÓÔÌË̤ÓË Û ¤ÓÙ ÎÂÊ¿Ï·È·. •ÂÎÈÓÒÓÙ·˜ Ì ÌÈ· ·Ï‹, ηٷÓÔËÙ‹ Î·È ÁÏ·Ê˘Ú‹ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ Î·È Ù˘ ¯·ÔÙÈ΋˜ Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿˜ ÙˆÓ ·ÂÚ›ˆÓ Î·È ÙˆÓ ÓfiÌˆÓ Ô˘ ÙË ‰È¤Ô˘Ó, ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ ÙËÓ ÔÌÔÚÊÈ¿ Ù˘ ÙÚÈۉȿÛÙ·Ù˘ ‰ÔÌ‹˜ Ù˘ ÛÙÂÚ‹˜ ηٿÛÙ·Û˘ Ô˘ ˘·ÎÔ‡ÂÈ ÛÙË ÌÔÚȷ΋ Ù¿ÍË Î·È ÛÎÈ·ÁÚ·Ê› Ì ÙÔÓ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚÔ, ·ÏÏ¿ ÂÈÛÙËÌÔÓÈο ·ÎÚÈ‚‹ ÙÚfiÔ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Î·È ÙË Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ Ù˘ ˘ÁÚ‹˜ ηٿÛÙ·Û˘ Ù˘ ‡Ï˘. ™˘Ó¯›˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ÂÚÈ¤ÙÂÈ· ÚÔ‚¿ÏÏÂÙ·È Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙˆÓ ‰È·Ï˘Ì¿ÙˆÓ, fiÔ˘ Ì ÂÌÌÔÓ‹ ÛÙË ÌÂıÔ‰ÈÎfiÙËÙ· ‰›ÓÂÙ·È Ë ÔÚÔÏÔÁ›· ÙÔ˘˜ Î·È ÂÚÈÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ Î·È Ë ÌÂÁ¿ÏË ÔÈÎÈÏ›· ÙˆÓ ÂÊ·ÚÌÔÁÒÓ ÙÔ˘˜. H ηٿÏËÍË Á›ÓÂÙ·È Ì ÌÈ· ¤ÎÏËÍË, ÙË ÛÎÈ·ÁÚ¿ÊËÛË ÙˆÓ Û˘ÓıËÎÒÓ ‡·Ú͢, ÙË ÛÔ˘‰·ÈfiÙËÙ· Î·È ÙË ÛËÌ·Û›· ÙˆÓ ÂÊ·ÚÌÔÁÒÓ Ù˘ ٤ٷÚÙ˘ Î·È ϤÔÓ ‰È·‰Â‰Ô̤Ó˘ ηٿÛÙ·Û˘ Ù˘ ‡Ï˘ Ô˘ ‰È·ÔÙ›˙ÂÈ ÙÔ Û‡Ì·Ó, ÙÔ Ï¿ÛÌ·.

X ∏ª∂π∞

ª∂£√¢√§√°π∞ §À™∏™ ¶ƒ√µ§∏ª∞∆ø¡ ∆∏™ ™À°Ãƒ√¡∏™ ∞∆√ªπ∫∏™ £∂øƒπ∞™: AÓÙÈÚÔÛˆ¢ÙÈο ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· TÔ˘ ¢. ¢ÂÚ¿ÓË, XËÌÈÎÔ‡

°È· ÙË Ï‡ÛË ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ù˘ Û‡Á¯ÚÔÓ˘ ·ÙÔÌÈ΋˜ ıˆڛ·˜ ı· ¤¯Ô˘Ì ˘fi„Ë Ù· ÂÍ‹˜:

1

HÏÂÎÙÚÔÓȷΤ˜ ÛÙÈ‚¿‰Â˜. H ηٷÓÔÌ‹ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ÛÙȘ ËÏÂÎÙÚÔÓȷΤ˜ ÛÙÈ‚¿‰Â˜, Á›ÓÂÙ·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ Ù‡Ô 2n2, fiÔ˘ n Â›Ó·È Ô Î‡ÚÈÔ˜ ΂·ÓÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙË ÛÙÈ‚¿‰· ÛÙËÓ ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÙÔ ËÏÂÎÙÚfiÓÈÔ Î·È ·›ÚÓÂÈ ÙÈ̤˜ 1, 2, 3 Î·È 4. OÈ ËÏÂÎÙÚÔÓȷΤ˜ ÛÙÈ‚¿‰Â˜ Â›Ó·È 7 Î·È ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÔÓÙ·È Ì ٷ ÁÚ¿ÌÌ·Ù· K, L, M, N, O, P, Q ‹ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ·›ÙËÌ· Bury, ÛÙËÓ Â͈ÙÂÚÈ΋ ÛÙÈ‚¿‰· ÌÔÚ› Ó· ¯ˆÚ¤ÛÔ˘Ó ·fi 1-8e, ÛÙËÓ ÚÔÙÂÏÂ˘Ù·›· ÛÙÈ‚¿‰· ÌÔÚ› Ó· ¯ˆÚ¤ÛÔ˘Ó Ì¤¯ÚÈ 18e Î·È ÛÙËÓ ÚÒÙË ÛÙÈ‚¿‰· 1-2e. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛË: ™Ù· ¿ÙÔÌ· fiÏˆÓ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ (ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ ÎÔÈÓfi ˘‰ÚÔÁfiÓÔ), Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÓÂÙÚÔÓ›ˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ ‹ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÙˆÓ ÚˆÙÔÓ›ˆÓ.

2

YÔÛÙÈ‚¿‰Â˜. EÂȉ‹ Ù· ËÏÂÎÙÚfiÓÈ· Ù˘ ›‰È·˜ ÛÙÈ‚¿‰·˜ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÂÓ¤ÚÁÂÈ·, ÁÈ’ ·˘Ùfi Ô Sommerfeld ‰¤¯ıËÎÂ, fiÙÈ Î¿ı ÛÙÈ‚¿‰· ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ˘ÔÛÙÈ‚¿‰Â˜ Ô˘ ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÔÓÙ·È Ì ٷ ÁÚ¿ÌÌ·Ù· s, p, d, f. O ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ¯ˆÚ¤ÛÂÈ Û οı ˘ÔÛÙÈ‚¿‰· Â›Ó·È 2, 6, 10 Î·È 14 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. H Û˘ÓËıÈṲ̂ÓË ¤ÎÊÚ·ÛË Ù˘ ËÏÂÎÙÚÔÓȷ΋˜ ‰È·ÌfiÚʈÛ˘ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Â›Ó·È n l x fiÔ˘ n=1, 2, 3, 4, … l ÔÈ ˘ÔÛÙÈ‚¿‰Â˜ s, p, d, f Î·È x=·ÚÈıÌfi˜ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ Ô˘ η٤¯ÂÈ Ë ˘ÔÛÙÈ‚¿‰·. ¶.¯. Ë ËÏÂÎÙÚÔÓȷ΋ ‰È·ÌfiÚʈÛË ÙÔ˘ ·ÙfiÌÔ˘ ÙÔ˘ ˘‰ÚÔÁfiÓÔ˘ ÛËÌÂÈÒÓÂÙ·È Ì ÙÔ 1s1, ÙÔ˘ ËÏ›Ô˘ 1s2 Î.Ï. TÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ÙˆÓ ˘ÔÛÙÈ‚¿‰ˆÓ οı ÛÙÈ‚¿‰·˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ Ù˘ ÛÙÈ‚¿‰·˜. H Û˘ÌÏ‹ÚˆÛË ÙˆÓ ˘ÔÛÙÈ‚¿‰ˆÓ Ì ËÏÂÎÙÚfiÓÈ· Á›ÓÂÙ·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ·. AÎÔÏÔ˘ıԇ̠ÙË ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ‚ÂÏÒÓ:

K

1S

L

2S

2p

M

3S

3p

3d

N

4S

4p

4d

4f

O

5S

5p

5d

5f

P

6S

6p

6d

Q

7S

7p

3

AÙÔÌÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ (Z) ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÚˆÙÔÓ›ˆÓ ÙÔ˘ ˘Ú‹Ó· ÙÔ˘ ·ÙfiÌÔ˘ ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ Î·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ Ô˘ ÂÚÈʤÚÔÓÙ·È Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ ˘Ú‹Ó·, ÂÊfiÛÔÓ ÙÔ ¿ÙÔÌÔ Â›Ó·È ËÏÂÎÙÚÈο Ô˘‰¤ÙÂÚÔ. O ·ÙÔÌÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÁÚ¿ÊÂÙ·È ÛÙÔ Î¿Ùˆ ·ÚÈÛÙÂÚfi ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ Û˘Ì‚fiÏÔ˘ ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ .¯. 6C.

4

M·˙ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ (A) ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÚˆÙÔÓ›ˆÓ Î·È ÙˆÓ ÓÂÙÚÔÓ›ˆÓ ÙÔ˘ ËÚ‹Ó· ÙÔ˘ ·ÙfiÌÔ˘ ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘. °Ú¿ÊÂÙ·È ÛÙÔ ¿Óˆ ·ÚÈÛÙÂÚfi ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ Û˘Ì‚fiÏÔ˘ ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ .¯. 12C.

5

IÛfiÙÔ· ÛÙÔȯ›· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù· ÛÙÔȯ›· ÂΛӷ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ù· ¿ÙÔÌ· ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÙÔÌÈÎfi ·ÚÈıÌfi (Z) ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi fï˜ Ì·˙ÈÎfi ·ÚÈıÌfi (A). H ̤ÛË ÙÈÌ‹ Ù˘ ·ÙÔÌÈ΋˜ Ì¿˙·˜ ÙˆÓ ÈÛÔÙfiˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô: — AMÌÈÁÌ. ÈÛÔÙ. ‹ AM =

AÚ.mol ÈÛÔÙfiÔ˘ A ¥ Ì·˙ÈÎfi ·Ú+AÚ. mol ÈÛÔÙfiÔ˘ B ¥ M·˙ÈÎfi ·Ú.+… =







™˘ÓÔÏÈÎfi ·ÚÈıÌfi mol

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË: H ·Ó·ÏÔÁ›· ÙˆÓ ÈÛfiÙÔˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ›Ù ·˘Ù‹ ‰›ÓÂÙ·È, ›Ù ·˘Ù‹ ˙ËÙ›ٷÈ, Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ Û mol.

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

29

M ∂£√¢√§√°π∞ § À™∏™ ¶ ƒ√µ§∏ª∞∆ø¡

6

IÛÔ‚·Ú‹ ÛÙÔȯ›· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù· ÛÙÔȯ›· ÂΛӷ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ù· ¿ÙÔÌ· ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ Ì·˙ÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi fï˜ ·ÙÔÌÈÎfi ·ÚÈıÌfi.

7 8

IÛfiÙÔÓ· ÛÙÔȯ›· ›ӷÈ, Ù· ÛÙÔȯ›· ÂΛӷ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ù· ¿ÙÔÌ· ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi ÓÂÙÚÔÓ›ˆÓ.

∆∏™

™ À°Ãƒ√¡∏™ A ∆√ªπ∫∏™ £ ∂øƒπ∞™

‚) T· ¿ÙÔÌ· ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÛÙËÓ Â͈ÙÂÚÈ΋ ÙÔ˘˜ ÛÙÈ‚¿‰· ·ÚÈıÌfi ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ 4 Ù· ·Ô‚¿ÏÏÔ˘Ó Â‡ÎÔÏ· Î·È ÊÔÚÙ›˙ÔÓÙ·È ıÂÙÈο (ηÙÈfiÓÙ·), ÂÓÒ ·˘Ù¿ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÙÔ˘ 4 ÚÔÛÏ·Ì‚¿ÓÔ˘Ó ËÏÂÎÙÚfiÓÈ· Î·È ÊÔÚÙ›˙ÔÓÙ·È ·ÚÓËÙÈο (·ÓÈfiÓÙ·) ‰ËÏ·‰‹:

XÚfiÓÔ˜ ˘Ô‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌÔ‡ (‹ ËÌÈ˙ˆ‹), ÂÓfi˜ Ú·‰ÈÔ˚ÛÔÙfiÔ˘ Â›Ó·È Ô ¯ÚfiÓÔ˜ ̤۷ ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ı· ‰È·Û·ÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÌÈÛÔ› ·fi ÙÔ˘˜ ËÚ‹Ó˜ Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·Ú¯Èο. TÔ Ú·‰ÈÔ˚ÛfiÙÔÔ ÂÓfi˜ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ Â›Ó·È Ë Ú·‰ÈÂÓÂÚÁ‹ ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ Ë ÔÔ›· ÂÎ¤ÌÂÈ Û˘Ó‹ıˆ˜ ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›· ·, ‚, Á. H ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›· · Â›Ó·È ˘Ú‹Ó˜ 42He, Ë ·ÎÙÈÓÔ‚Ô0 Ï›· ‚ Â›Ó·È ÛˆÌ·Ù›‰È· ‚(–1e) Î·È Ë ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›· Á Â›Ó·È ÊˆÙfiÓÈ·.

9

P·‰ÈÔ¯ÚÔÓÔÏfiÁËÛË. AÔÙÂÏ› ̤ıÔ‰Ô ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ ËÏÈΛ·˜ ÙˆÓ ·Ú¯·ÈÔÏÔÁÈÎÒÓ Â˘ÚËÌ¿ÙˆÓ Î·È ÛÙËÚ›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ËÌÈ˙ˆ‹ ÙÔ˘ οı ڷ‰ÈÔ˚ÛÔÙfiÔ˘. ¶Ú·ÎÙÈÎfi˜ ηÓfiÓ·˜. O ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ˘Ú‹ÓˆÓ Ô˘ ·Ô̤ÓÔ˘Ó ÌÂÙ¿ ¯ÚfiÓÔ t ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: °È· » » »

»

t = 0 ¤¯Ô˘ÌÂ

N0 ˘Ú‹Ó˜

N0 ˘Ú‹Ó˜

2 1 N0 N0 t = 2T » =

˘Ú‹Ó˜

Ø

2 2 22 1 N0 N0 =

˘Ú‹Ó˜ t = 3T »

Ø

2 2 2 23 ………………………………………… N0 t = ÓT » ˘Ú‹Ó˜

2Ó t = T ·Ô̤ÓÔ˘Ó

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1 ¢›ÓÔÓÙ·È Ù· ÛÙÔȯ›·: 11Na, 15P, 17Cl Î·È 20Ca. N· ÁÚ·ÊÔ‡Ó ÔÈ ËÏÂÎÙÚÔÓȷΤ˜ ‰Ô̤˜ Û ÛÙÈ‚¿‰Â˜ ·) ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ ·˘ÙÒÓ , ‚) ÙˆÓ ÈfiÓÙˆÓ. §‡ÛË: ·) O ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ Ô˘ η٤¯Ô˘Ó ÙË ÛÙÈ‚¿‰· ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô: 2n2. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘ÌÂ:

11 p

15 p

ÈfiÓ Na+

ÈfiÓ P---

17 p

20 p

ÈfiÓ Cl-

ÈfiÓ Ca++

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2 ¢›ÓÔÓÙ·È Ù· ÛÙÔȯ›: 7N, 12Mg, 16S, 53I. N· ÁÚ·ÊÔ‡Ó ÔÈ ËÏÂÎÙÚÔÓȷΤ˜ ‰Ô̤˜ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Û ˘ÔÛÙÈ‚¿‰Â˜ Î·È Û ÛÙÈ‚¿‰Â˜. §‡ÛË: EÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙȘ Ô‰ËÁ›Â˜. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘ÌÂ: ·)

7N

‚)

2eK

1S2

5eL

2s2

12Mg

2eK 1s2 2p3

8eL

2s2 2p6

2eM 3s2 Á)

16S

‰)

2eK

1s2

8eL

2s2

2p6

6eM

3s2

3p4

53I

2eK

1s2

8eL

2s2

2p6

18eM

3s2

3p6

3d10

18eN

4s2

4p6

4d10

7eO

5s2

5p5

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 3 N· ‚ÚÂı› Ë ËÏÂÎÙÚÔÓȷ΋ ‰ÔÌ‹ ÂÓfi˜ ·ÙfiÌÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ Ì·˙ÈÎfi ·ÚÈıÌfi 84 Î·È ÛÙÔÓ ˘Ú‹Ó· ÙÔ˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 12 ÓÂÙÚfiÓÈ· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ·fi Ù· ÚˆÙfiÓÈ·. §‡ÛË: A=Z+Nfi

11 p

¿ÙÔÌÔ Na

15 p

¿ÙÔÌÔ P

Z + N = 84

(1)

N – Z = 12

(2)

fi

N = 48, Z = 36

™˘ÓÂÒ˜ ÙÔ ¿ÙÔÌÔ ·˘Ùfi ı· ÂÚȤ¯ÂÈ ÛÙÔÓ ˘Ú‹Ó· 36 ÚˆÙfiÓÈ·, 48 ÓÂÙÚfiÓÈ· Î·È Á‡Úˆ ·fi ÙÔÓ ˘Ú‹Ó· ÂÚÈÛÙÚ¤ÊÔÓÙ·È 36 ËÏÂÎÙÚfiÓÈ·. H ËÏÂÎÙÚÔÓȷ΋ ‰ÔÌ‹ Û ÛÙÈ‚¿‰Â˜ ı· ›ӷÈ: K: 2e, L: 8e, M: 18e, N: 8e ™Â ˘ÔÛÙÈ‚¿‰Â˜ ı· ›ӷÈ:

17 p

¿ÙÔÌÔ Cl

20 p

K L M N

¿ÙÔÌÔ Ca

30 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

1s2 2s2 3p2 4s2

2p6 3p6 4p6

3d10

X ∏ª∂π∞ xØ12 + yØ13 M  =

= 12,01112 (2) A x+y Afi ÙȘ (1), (2) ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 4 39 80 137 ¢›ÓÔÓÙ·È Ù· ¿ÙÔÌ· 19K, 35Br Î·È 53I. ·) ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Û‡ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ˘Ú‹Ó· ÙÔ˘˜; ‚) ÔÈ· Â›Ó·È Ë ËÏÂÎÙÚÔÓȷ΋ ‰ÔÌ‹ ÁÈ· Ù· ÈfiÓÙ· ·˘ÙÒÓ Û ÛÙÈ‚¿‰Â˜. §‡ÛË: ·) TÔ ¿ÙÔÌÔ K ÂÚȤ¯ÂÈ ÛÙÔÓ ˘Ú‹Ó· 19 ÚˆÙfiÓÈ· Î·È 39–19 = 20 ÓÂÙÚfiÓÈ·. TÔ ¿ÙÔÌÔ Br ÂÚȤ¯ÂÈ ÛÙÔÓ ˘Ú‹Ó· 35 ÚˆÙfiÓÈ· Î·È 80–35 = 45 ÓÂÙÚfiÓÈ·. TÔ ¿ÙÔÌÔ I ÂÚȤ¯ÂÈ ÛÙÔÓ ˘Ú‹Ó· 53 ÚˆÙfiÓÈ· Î·È 127–53 = 74 ÓÂÙÚfiÓÈ·. ‚)

ÈfiÓ K+

ÈfiÓ Br–

ÈfiÓ I–

K: 2e L: 8e M: 8e

K: L: M: N: O:

K: L: M: N: O:

2e 8e 18e 18e 8e

2e 8e 18e 18e 8e

y=1,112% 13C

ηÈ

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 8 O ¯ÚfiÓÔ˜ ˘Ô‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌÔ‡

14 6C

Â›Ó·È 5.700 ¯ÚfiÓÈ·. N·

‚ÚÂı› Ë ËÏÈΛ· ÙˆÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ·Ú¯·ÈÔÏÔÁÈÎÒÓ Â˘ÚËÌ¿ÙˆÓ ·) 14 ÎÔÌÌ¿ÙÈ Í‡ÏÈÓ˘ ÂÈÎfiÓ·˜ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙË ÌÈÛ‹ ÔÛfiÙËÙ· 6C ·fi ÂΛÓË Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È Û ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÛËÌÂÚÈÓfi ‰Â›ÁÌ·. ‚) 14 AÓıÚÒÈÓÔ˜ ÛÎÂÏÂÙfi˜ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ 1/4 Ù˘ ÔÛfiÙËÙ·˜ 6C Î·È Á) ÛÎÂÏÂÙfi˜ ˙ÒÔ˘ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ 1/8 Ù˘ ÔÛfiÙËÙ·˜

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 5 ¢›ÓÔÓÙ·È Ù· ¿ÙÔÌ· 13Al, 18Ar, 38Sr, 54Xe Î·È 86Rn. N· ÁÚ·Ê› Ë ËÏÂÎÙÚÔÓȷ΋ ‰ÔÌ‹ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Û ÛÙÈ‚¿‰Â˜. §‡ÛË: 13Al

18Ar

38Sr

54Xe

86Rn

K: 2e

K: 2e

K: 2e

K: 2e

K: 2e

L: 8e

L: 8e

L: 8e

L: 8e

L: 8e

M: 3e

M: 8e

M: 18e

M: 18e

M: 18e

N: 8e

N: 18e

N: 32e

O: 2e

O: 8e

O: 18e P: 8e

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 6 TÔ ¯ÏÒÚÈÔ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË Ê‡ÛË Ì ÌÔÚÊ‹ ‰‡Ô ÈÛÔÙfiˆÓ 37 Î·È 17Cl Û ·Ó·ÏÔÁ›· 75,5% Î·È 24,5% ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. N·

35 17Cl

‚ÚÂı› Ë ·ÙÔÌÈ΋ Ì¿˙· ÙÔ˘ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ¯ÏˆÚ›Ô˘. §‡ÛË: H ·Ó·ÏÔÁ›· ÙˆÓ ÈÛÔÙfiˆÓ Â›Ó·È Û mol. ŒÙÛÈ Û 100 mol 35 Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ÈÛÔÙfiˆÓ, ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È 75,5 mol 17Cl Î·È 37 24,5 mol 17Cl. EÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙË Û¯¤ÛË: ·Ú.mol ¥ 35 + ·Ú mol ¥ 37 M  =



= AMÌÈÁÌ. ‹ A ™˘ÓÔÏÈο mole 35Cl

x = 98,888% 12C

37Cl

75,5 ¥ 35 + 24,5 ¥ 37 =


= 35,47 75,5 + 24,5

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 7 O ¿Óıڷη˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ì ÌÔÚÊ‹ ‰‡Ô ÈÛÔÙfiˆÓ 12C Î·È 13C Î·È ¤¯ÂÈ Ì¤ÛË ÙÈÌ‹ AM 12,01112. N· ‚ÚÂı› Ë ÂηÙÔÛÙÈ·›· ·Ó·ÏÔÁ›· Û mol ÙÔ˘ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ÈÔÛÙfiˆÓ. §‡ÛË: ŒÛÙˆ x% 12C Î·È y% 13C Ë ÂηÙÔÛÙÈ·›· ÁÚ·ÌÌÔÌÔÚȷ΋ Û‡ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜, ¿Ú· x + y = 100 (1)

14 6C.

§‡ÛË: ·) ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ˘Ô‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌÔ‡, ÛÙÔ ÎÔÌÌ¿ÙÈ Ù˘ ͇ÏÈÓ˘ ÂÈÎfiÓ·˜ ÁÈ· Ó· ÂÚȤ¯ÂÙ·È Ë ÌÈÛ‹ Ô14 ÛfiÙËÙ· 6C, ı· ¯ÚÂÈ·ÛıÔ‡Ó 5.700 ¯ÚfiÓÈ· ÁÈ· Ó· ‰È·Û·Ûı› Ë ¿ÏÏË ÌÈÛ‹ ÔÛfiÙËÙ·

14 6C

Î·È Û˘ÓÂÒ˜ Ë ËÏÈΛ· Ù˘ ͇ÏÈÓ˘ ÂÈ-

ÎfiÓ·˜ Â›Ó·È 5.700 ¯ÚfiÓÈ·. 14 6C,

‚) ™ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ‰Â›ÁÌ· ÁÈ· Ó· Ì›ÓÂÈ ÙÔ 1/4 Ù˘ ÔÛfiÙËÙ·˜ ·˘Ùfi ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ ¤¯ÂÈ ‰È·Û·Ûı› ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜, ‰ËÏ·‰‹ 5.700

1 1 N N ¯ÚfiÓÈ· ÁÈ·

N0, ¿ÏÏ· 5.700 ¯ÚfiÓÈ· ÁÈ·



0 =

0 , Û˘ÓÂÒ˜ 2 2 2 4 Ë ËÏÈΛ· ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘ Â›Ó·È 11.400 ¯ÚfiÓÈ· ‹ Ì ÙÔÓ Ú·ÎÙÈÎfi N0 N ηÓfiÓ· ÁÈ· t=2T ·Ô̤ÓÔ˘Ó

=

0 . 22 4 Á) ™ÙÔ ÙÚ›ÙÔ ‰Â›ÁÌ· ÁÈ· Ó· Ì›ÓÂÈ ÙÔ 1\8 Ù˘ ÔÛfiÙËÙ·

14 6C,

·˘Ùfi ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ ¤¯ÂÈ ‰È·Û·Ûı› ÙÚÂȘ ÊÔÚ¤˜ ‰ËÏ·‰‹ 5.700 1 1 N N ¯ÚfiÓÈ· ÁÈ·

Ø N0, ¿ÏÏ· 5.700 ¯ÚfiÓÈ· ÁÈ·



0 =

0 Î·È ¿Ï2 2 2 4 1 N0 N0 Ï· 5.700 ¯ÚfiÓÈ· ÁÈ·



=

, Û˘ÓÂÒ˜ Ë ËÏÈΛ· ÙÔ˘ ˙ÒÔ˘ 2 4 8 Â›Ó·È 5.700+5.700+5.700 = 17.100 ¯ÚfiÓÈ· ‹ Ì ÙÔÓ Ú·ÎÙÈÎfi N0 N ηÓfiÓ· ÁÈ· t=3T ·Ô̤ÓÔ˘Ó

=

0 . 23 8

¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 9 14

¢›ÓÂÙ·È ÙÔ ¿ÙÔÌÔ ÙÔ˘ ·˙ÒÙÔ˘ 7N. N· ‚ÚÂı› Û ÙÈ ı· ÌÂÙ·ÙÚ·› ·˘Ùfi fiÙ·Ó: ·) ÚÔÛÏ¿‚ÂÈ 3e, ‚) ‚ÔÌ‚·Ú‰ÈÛı› Ì ÓÂÙÚfiÓÈÔ. §‡ÛË: ·) H ‰ÔÌ‹ ÙÔ˘ ·ÙfiÌÔ˘

14 7N

›ӷÈ:

K: 2e L: 5e fiÙ·Ó ÙÔ ¿ÙÔÌÔ ·˙ÒÙÔ˘ ÚÔÛÏ¿‚ÂÈ 3e ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ÈfiÓ ·˙ÒÙÔ˘ N–– –. ‚) K·Ù¿ ÙÔ ‚ÔÌ‚·Ú‰ÈÛÌfi ÙÔ˘ ·ÙfiÌÔ˘ Ì ÓÂÙÚfiÓÈÔ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ Ë ·ÓÙ›‰Ú·ÛË 14 7N

1

+ 0n Æ

14 6C

1

+ 6P,

‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ¿˙ˆÙÔ ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ڷ‰ÈÂÓÂÚÁfi ÈÛfiÙÔÔ ÙÔ˘ ¿Ó14 ıڷη 6C.

EÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔÓ Ù‡Ô Ù˘ ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜ Ù˘ AM Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ ÙˆÓ ÈÛÔÙfiˆÓ, ‰ËÏ·‰‹

◆ 31

EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

O π K ∞∆∞§À∆∂™

™∆√

A À∆√∫π¡∏∆√

ª∞™

Bπ√ª∏Ã∞¡π∞ ø™Mø™H™ ÌÈ· ÊÈÏfi‰ÔÍ· ·Ó·Ù˘ÛÛfiÌÂÓË ‰‡Ó·ÌË TÔ˘ E˘. ¶··ÁÈ¿ÁÎÔ˘, XËÌÈÎÔ‡

Ș ÙÂÏÂ˘Ù·›Â˜ ‰‡Ô ‰ÂηÂٛ˜, Ë ‚ÈÔÌ˯·ÓÈ΋ Î·È ‚ÈÔ˚·ÙÚÈ΋ ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ËÌÈÂÚ·ÙÒÓ ÌÂÌ‚Ú·ÓÒÓ ¤¯ÂÈ ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹ÛÂÈ ÌÈ· ‚ÈÔÌ˯·Ó›· Ù˘ ÔÔ›·˜ ÔÈ ˘ÔÏÔÁÈ˙fiÌÂÓ˜ ÂÙ‹ÛȘ ˆÏ‹ÛÂȘ ÍÂÂÚÓÔ‡Ó Ù· 500 ÂηÙ. ‰ÔÏÏ¿ÚÈ·. TfiÛÔ ÔÈ ˆÏ‹ÛÂȘ fiÛÔ Î·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ¯Ú‹ÛÂˆÓ Û˘Ó¯›˙Ô˘Ó Ó· ÌÂÁ·ÏÒÓÔ˘Ó, ηıÒ˜ ÔÈ Û¯Â‰È·ÛÙ¤˜ ÙˆÓ ËÌÈÂÚ·ÙÒÓ ÌÂÌ‚Ú·ÓÒÓ ·Ó·Ù‡ÛÛÔ˘Ó Ó¤Â˜ Ú·ÎÙÈΤ˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ÙÔ˘ Ê·ÈÓÔ̤ÓÔ˘ Ù˘ ÒÛ̈Û˘. ™ÙÔ È·ÙÚÈÎfi ‰›Ô, ÔÏÔ¤Ó· Î·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ ¿ÓıÚˆÔÈ Ô˘ ¿Û¯Ô˘Ó ·fi ÓÂÊÚÈ΋ ·ÓÂ¿ÚÎÂÈ·, ÎÚ·ÙÔ‡ÓÙ·È ˙ˆÓÙ·ÓÔ› Ì «Ù¯ÓËÙ¿ ÓÂÊÚ¿», Ù· ÔÔ›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ËÌÈÂÚ·Ù¤˜ ÌÂÌ‚Ú¿Ó˜ ÁÈ· Ó· ηı·Ú›˙Ô˘Ó ÙÔ ·›Ì· ·fi ¿¯ÚËÛÙ˜ Ô˘Û›Â˜ ÔÈ Ôԛ˜ ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ó ·ÏÏÈÒ˜ Ó· ÚÔηϤÛÔ˘Ó ÙÔ ı¿Ó·ÙÔ. ™Â ÌÈ· ‰È·‰Èηۛ· Ë ÔÔ›· ηÏÂ›Ù·È «‰È¿Ï˘ÛË», ÙÔ ·›Ì· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Ì¤Û· ·fi ¤Ó· ·ÁˆÁfi ηٷÛ΢·Ṳ̂ÓÔ ·fi ËÌÈÂÚ·Ù‹ ÌÂÌ‚Ú¿ÓË Ô ÔÔ›Ô˜ Â›Ó·È ‚˘ıÈṲ̂ÓÔ˜ Û «‰È¿Ï˘Ì·» Ë Û‡ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Â›Ó·È Ôχ ÎÔÓÙ¿ Û’ ·˘Ù‹ ÙÔ˘ ˘ÁÚÔ‡ ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÈÓÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜. EÂȉ‹ ÔÈ Û˘ÁÎÂÓÙÚÒÛÂȘ ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÔÏ˘ÙÒÓ Â›Ó·È ÔÈ ›‰È˜ ÛÙÔ ·›Ì· Î·È ÛÙÔ «‰È¿Ï˘Ì·», ·˘ÙÔ› ‰Â ‰È·ÂÚÓÔ‡Ó ÙË ÌÂÌ‚Ú¿ÓË. OÈ ·Î·ı·Úۛ˜ fï˜ ÂÚÓÔ‡Ó Î·ıÒ˜ Â›Ó·È Û ˘„ËÏfiÙÂÚË Û˘ÁΤÓÙÚˆÛË ÛÙÔ ·›Ì· ·’ fiÙÈ ÛÙÔ ‰È¿Ï˘Ì·. ÕÏÏË ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ËÌÈÂÚ·ÙÒÓ ÌÂÌ‚Ú·ÓÒÓ Â›Ó·È ÛÙȘ ÂÁηٷÛÙ¿ÛÂȘ ·Ê·Ï¿ÙˆÛ˘ ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡. A˘Ù¤˜ ÔÈ ÂÁηٷÛÙ¿ÛÂȘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ÒÛ̈ÛË, ηٿ ÙËÓ ÔÔ›· ¤Ó· Ú‡̷ ·Ï·ÙÈṲ̂ÓÔ˘ ÓÂÚÔ‡ ÙÚÔÊÔ‰ÔÙÂ›Ù·È Û ÌÈ· ËÌÈÂÚ·Ù‹ ÌÂÌ‚Ú¿ÓË Ô˘ ‰ÂÓ ÂÈÙÚ¤ÂÈ ÛÙ· ¿Ï·Ù· Ó· ÂÚ¿ÛÔ˘Ó. TÔ ÊÚ¤ÛÎÔ ÓÂÚfi ÚÔˆıÂ›Ù·È Ì¤Ûˆ Ù˘ ÌÂÌ‚Ú¿Ó˘ ÏfiÁˆ ˘„ËÏÒÓ ȤÛˆÓ, ÂÓÒ Ù· ¿Ï·Ù· ·Ú·Ì¤ÓÔ˘Ó ›Ûˆ. H ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÂÁηٿÛÙ·ÛË Î·ı·ÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ Ô˘ ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙÔ Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ˘ ÒÛ̈Û˘ Î·È ÛÙË ¯Ú‹ÛË ÌÂÌ‚Ú·ÓÒÓ ·Ú¤¯ÂÈ 120 ÂηÙ. Ï›ÙÚ· ÙËÓ Ë̤ڷ ÊÚ¤ÛÎÔ ÓÂÚfi ÁÈ· ÙË ™·Ô˘‰È΋ AÚ·‚›·. ™¯Â‰È¿˙ÂÙ·È Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› ÌÈ· ÂÁηٿÛÙ·ÛË, Ë ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›· Ù˘ ÔÔ›·˜ ı· ‚·Û›˙ÂÙ·È ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ÒÛ̈ÛË, Î·È Ë ÔÔ›· ı· ÌÔÚ› Ó· ·Ê·Ï·ÙÒÛÂÈ Û¯Â‰fiÓ 400 ÂηÙ. Ï›ÙÚ· ÓÂÚÔ‡ ·’ ÙÔÓ ÔÙ·Ìfi KÔÏÔÚ¿ÓÙÔ. OÈ ËÌÈÂÚ·Ù¤˜ ÌÂÌ‚Ú¿Ó˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Â›Û˘ ÁÈ· ÙÔ ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi ÙˆÓ ·ÂÚ›ˆÓ. OÈ ÌÂÌ‚Ú¿Ó˜ Ô˘ ‰È·¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ¤Ó· ‹ Î·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ·¤ÚÈ· ·fi ‰È·Ï‡Ì·Ù· ·ÂÚ›ˆÓ Â›Ó·È ÈÔ ÔχÏÔΘ ·fi ÂΛӘ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÁÈ· Ù· ˘ÁÚ¿, Î·È Ô Ì˯·ÓÈÛÌfi˜ ‰Ú¿-

T

Û˘ ÙÔ˘˜ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‹Úˆ˜ ηٷÓÔËı›. ¶ÈÛÙ‡ÂÙ·È fiÙÈ Ù· ÌfiÚÈ· ÙˆÓ ·ÂÚ›ˆÓ ‰È·Ï‡ÔÓÙ·È ÛÙË ÌÂÌ‚Ú¿ÓË, Î·È fiÙÈ ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ·¤ÚÈ· ‰È·ÂÚÓÔ‡Ó ÙË ÌÂÌ‚Ú¿ÓË Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ Ù·¯‡ÙËÙ·. ™˘Ó‹ıˆ˜, ÌÈ· ÌÂÌ‚Ú¿ÓË ‰È·¯ˆÚÈÛÌÔ‡ ·ÂÚ›ˆÓ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ¤Ó· ·¯‡, ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÂÎÏÂÎÙÈÎfi ÛÙÚÒÌ· ̤ۈ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÌÂÚÈο ·¤ÚÈ· ÂÚÓÔ‡Ó ÈÔ Â‡ÎÔÏ· ·fi ¿ÏÏ·. ŒÓ· Ù¤ÙÔÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ˆ˜ ÙÌ‹Ì· ÌÈ·˜ ‰È·‰Èηۛ·˜ ÁÈ· ÙËÓ ·‡ÍËÛË Ù˘ ·Ú·ÁˆÁ‹˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÂÚ›Ô˘ Ì ¿ÓÙÏËÛË ‰ÈÔÍÂȉ›Ô˘ ÙÔ˘ ¿Óıڷη ̤۷ Û ËÁ¿‰È· ÒÛÙ ÙÔ ·¤ÚÈÔ Ó· ·Ó¤‚ÂÈ ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·. TÔ Ú‡̷ ·ÂÚ›Ô˘ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ‰ÈÔ¯ÂÙ‡ÂÙ·È Ì¤Ûˆ ÌÈ·˜ ËÌÈÂÚ·Ù‹˜ ÌÂÌ‚Ú¿Ó˘ Ë ÔÔ›· ‰È·¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔ ‰ÈÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ ¿Óıڷη ·’ ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ·¤ÚÈÔ. OÈ ËÌÈÂÚ·Ù¤˜ ÌÂÌ‚Ú¿Ó˜ ·Ó·Ì¤ÓÂÙ·È Â›Û˘ Ó· ·›ÍÔ˘Ó ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ÚfiÏÔ Û ÌÂÏÏÔÓÙÈΤ˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ Ù˘ BÈÔÙ¯ÓÔÏÔÁ›·˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ¯Ú‹ÛË ‚·ÎÙËÚ›ˆÓ Ù· ÔÔ›· ¤¯Ô˘Ó ÙÚÔÔÔÈËı› ÁÂÓÂÙÈο ÒÛÙ ӷ ·Ú¿ÁÔ˘Ó Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˜ Ô˘Û›Â˜ fiˆ˜ ÔÚÌfiÓ˜, ·Ó·Ì¤ÓÂÙ·È Ó· Á›ÓÂÈ ÌÈ· ·ÚÈ· ·Ó·Ù˘ÛÛfiÌÂÓË ‚ÈÔÌ˯·Ó›·. M›· ÚfiÙ·ÛË Â›Ó·È Ó· ·ÔıË·ÔÓÙ·È ·˘Ù¿ Ù· ‚·ÎÙ‹ÚÈ· ̤۷ Û ËÌÈÂÚ·Ù¤˜ ÌÂÌ‚Ú¿Ó˜, ÔÈ Ôԛ˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó ÁÈ· ÙÔÓ ¤ÏÂÁ¯Ô ÚÔ‹˜ ÙˆÓ ıÚÂÙÈÎÒÓ Û˘ÛÙ·ÙÈÎÒÓ Î·È Ó· ··ÁÔÚÂ‡Ô˘Ó ÙËÓ Â›ÛÔ‰Ô ÛÂ Ô˘Û›Â˜ Ô˘ ı· Ù· ÌÔχÓÔ˘Ó. H ÒÛ̈ÛË ¤¯ÂÈ ·ÎfiÌË ÚÔÙ·ı› ˆ˜ ¤Ó·˜ ÙÚfiÔ˜ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛ˘ ÙˆÓ ÌÂÏÏÔÓÙÈÎÒÓ ÂÓÂÚÁÂÈ·ÎÒÓ ·Ó·ÁÎÒÓ. H ÚfiÙ·ÛË Â›Ó·È Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó ÁÈÁ·ÓÙÈ·›Â˜ ËÌÈÂÚ·Ù¤˜ ÌÂÌ‚Ú¿Ó˜ ÁÈ· ÙËÓ ·Ó¤ÁÂÚÛË ÛÙËÏÒÓ ÓÂÚÔ‡ Û ¤Ó· ηٿÏÏËÏ· ‰È·ÌÔÚʈ̤ÓÔ ÙÌ‹Ì· ÙÔ˘ ˆÎ·ÓÔ‡. TÔ ÓÂÚfi Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È „ËÏ¿, ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ¤ÊÙÂÈ Û ÙÔ˘ÚÌ›Ó˜, ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ËÏÂÎÙÚÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·. ¶·Ú’ fiÏ· ·˘Ù¿, ÔÏÏ¿ ÂÚˆÙ‹Ì·Ù· Ú¤ÂÈ Ó· ··ÓÙËıÔ‡Ó ÚÈÓ Ë ˆÛ̈ÙÈ΋ ÈÛ¯‡˜ ÁÂÓÈ΢ٛ Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ÁÈ· ÙËÓ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛË ÙˆÓ ÌÂÁ¿ÏˆÓ ÂÓÂÚÁÂÈ·ÎÒÓ ·Ó·ÁÎÒÓ ÙÔ˘ Ï·Ó‹ÙË Ì·˜.

32 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π

◆

A ƒÃ∞π∞

™XE¢IO ¢I¢AKTIKH™ ¶PO™E°°I™H™ •ENOº. E ΛΛHNIKA B (για την A’ Λυκε ου) TÔ˘ AÓ·ÛÙ. ™Ù¤ÊÔ˘, ™¯ÔÏÈÎÔ‡ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˘ ¢.E.N. ¶ÂÈÚ·È¿

•ENOº. E§§HNIKA B, IV, 37-43, H ·ÔηٿÛÙ·ÛË Ù˘ ‰ËÌÔÎÚ·Ù›·˜ I. ™Ùfi¯ÔÈ: ·) °ÏˆÛÛÈ΋ Î·È ÓÔËÌ·ÙÈ΋ ÚÔÛ¤Ï·ÛË Î·È Î·Ù·ÓfiËÛË ÙÔ˘ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ ·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜. ‚) AÍÈÔÏfiÁËÛË ·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ ÙÚfiÔ˘ ·ÔηٿÛÙ·Û˘ Ù˘ ‰ËÌÔÎÚ·Ù›·˜ ÌÂÙ¿ ·fi ÔÎÙ¿ÌËÓË Ù˘Ú·ÓÓ›·. 1) M¤ıÔ‰Ô˜ Î·È Ê¿ÛÂȘ ‰È‰·Ûηϛ·˜: AÓ¿Ï˘ÛË-™‡ÓıÂÛË. 2) MÔÚÊ‹ ‰È‰·Ûηϛ·˜: ¢È·ÏÔÁÈ΋. EÓÂÚÁÔÔ›ËÛË Ù˘ Ù¿Í˘ Ì ÙÔ ‰È¿ÏÔÁÔ Î·ıËÁËÙ‹-Ì·ıËÙÒÓ. 3) EÔÙÈο ̤۷: X¿ÚÙ˜ ÙÔ˘ ‰.‚. Î·È Ù˘ Û¯ÔÏÈ΋˜ ·›ıÔ˘Û·˜. AÍÈÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ÂÈηÛÙÈÎÔ‡ ˘ÏÈÎÔ‡.

II. AÊfiÚÌËÛË: ™‡Ó‰ÂÛË Ì ٷ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· Ì ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ-ÎÚ›ÛÂȘ. ¶ÂÚ›ÏË„Ë ÙˆÓ ·Ú·ÁÚ¿ÊˆÓ 24-36.

III. ¶·ÚÔ˘Û›·ÛË ÙÔ˘ Ó¤Ô˘ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜: ‰¿ÊÈ· 3739 AÓ¿ÁÓˆÛË Ù˘ ÂÓfiÙËÙ·˜ ·fi ÙÔ ‰È‰¿ÛÎÔÓÙ· - OÏÈÁfiÏÂÙË ÛȈËÚ‹ ÂÚÁ·Û›· ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ, ÁÈ· Ó· Û˘Ì‚Ô˘Ï¢ÙÔ‡Ó Ù· ÁψÛÛÈο Î·È ÂÚÌËÓ¢ÙÈο Û¯fiÏÈ· Î·È Ó· ÂÈÛËÌ¿ÓÔ˘Ó ¿ÁÓˆÛÙ˜ ϤÍÂȘ Î·È ÊÚ¿ÛÂȘ. EÌÊ·Ó‹ ÛÙÔȯ›·: (°Ú¿ÊÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ›Ó·Î·) ÙfiÔ˜ Î·È ¯ÚfiÓÔ˜ ÙˆÓ ‰ÚˆÌ¤ÓˆÓ. ¶ÚfiÛˆ· ‹ ÔÌ¿‰Â˜ ÚÔÛÒˆÓ, ‚·ÛÈÎfi ı¤Ì·, Ì ‚¿ÛË ÙÔÓ Ï·ÁÈfiÙÈÙÏÔ: ™˘Ó‰È·ÏÏ·Á‹ ÙˆÓ ·ÓÙÈÌ·¯ÔÌ¤ÓˆÓ Î·È ÙÂÏÈ΋ Û˘Ìʈӛ· ÁÈ· ÙË Û˘ÌÊÈÏ›ˆÛË.

IV. AÓ¿Ï˘ÛË - EÚÌËÓ›·: ·) ¢ÔÌ‹ ÙˆÓ ÂÓÔÙ‹ÙˆÓ Ì ‚¿ÛË Ù· ıÂÌ·ÙÈο ΤÓÙÚ·. ¶·Ú. 37 AÔÛÙÔÏ‹ Ú¤Û‚ÂˆÓ ÛÙË ™¿ÚÙË Î·È ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ÂÎÚÔÛÒˆÓ ÙˆÓ ¢¤Î·. ¶·Ú. 38 AÔÊ¿ÛÂȘ Î·È ÂÓ¤ÚÁÂȘ ÙˆÓ EÊfiÚˆÓ. ¶·Ú. 39 £ÚÈ·Ì‚Â˘ÙÈ΋ ÂÈÛÙÚÔÊ‹ ÙˆÓ ‰ËÌÔÎÚ·ÙÈÎÒÓ ÛÙËÓ Aı‹Ó·. ‚) °ÏˆÛÛÈΤ˜ ÂÈÛËÌ¿ÓÛÂȘ Î·È ‰È¢ÎÚÈÓ›ÛÂȘ (οχοµαιστυ-κκλητοι U SξεD πελ4κει τ4µνει τL δ4νδρον· εδM αντιδιαστ"λλεται το διο το τσεκο/ρι απ8 "να λλο % λλα τσεκο/ρια που δεν "χουν την ιδι8τητα αυτ%· εναι δηλαδ% ατρ8χιστα % σκουριασµ"να. Kατ λα'ον τ*ν +ρηµον πλιν (και 8χι λλη % λλες π8λεις που %ταν κατοικηµ"νες).

O POΛOΣ TOY APΘPOY ΣTH ∆IAKPIΣH EΠIΘETIKOY V KATHΓOPHMATIKOY ΠPOΣ∆IOPIΣMOY _ταν επθετο και ουσιαστικ8 εναι συνδεδεµ"να χωρς ρθρο, τ8τε θα εξαρτηθε απ8 τα συµφραζ8µενα % θα εναι απλMς θ"µα ποψης αν το επθετο εναι επιθετικ8ς % κατηγορηµατικ8ς προσδιορισµ8ς.

_ταν 8µως στη σ/νδεση επιθ"του και ουσιαστικο/ υπρχει ρθρο, τ8τε:

1.

Aν µ8νο το προσδιοριζ8µενο 8νοµα "χει ρθρο, τ8τε ο προσδιορισµ8ς, ετε προηγεται ετε ακολουθε το ουσιαστικ8, εναι KATHΓOPHMATIKOΣ. Φανερ? ψφω /ψηφ#σαντο, πραν απφαση µε φανερ ψηφοφορ α. TοDς Fπλοις /κοσµσαντο παραπλησ#οις.

2.

Aν ο προσδιορισµ8ς "χει ρθρο, τ8τε αυτ8ς ετε προηγεται ετε ακολουθε το "ναρθρο % ναρθρο ουσιαστικ8, εναι πντοτε EΠIΘETIKOΣ. OG ποιητα0 µιµοJνται τLν ;νθρπινον #ον. 5Eργα τ+ κλλιστα προαιροJ, να προτιµς τα ωραιτερα κατορθµατα. OG πντες Qνθρωποι. RH π=σα γ?. ROπλDται οG ξµπαντες ε6ς δισχιλ#ους /γ4νοντο. AG πλεις αG δηµοκρατοµεναι.

¶APATHPH™H –

H θ"ση του ρθρου µε ορισµ"να επθετα % αντωνυµες αλλζει τη σηµασα τους. cτσι, ν µ"σ\η τ\* PδC, στη µ"ση του δρ8µου, ενM ν τ\* µ"σ\η PδC, στο µεσαο, στον κεντρικ8 δρ8µο.

ΣHMEIΩΣH H κατηγορηµατικ% σχ"ση επιθ"του προς ουσιαστικ8 µε ρθρο δηµιουργ%θηκε απ8 τη χρ%ση του ρθρου ως κτητικο/: Λαµπρ