Теория вероятностей: Учебное пособие

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ

А. Р. Бестугин, А. Л. Дийков, А. В. Стрепетов, В. Г. Фарафонов

ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ Ó÷åáíîå ïîñîáèå

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2001

УДК 519.2 ББК 22.171 Áåñòóãèí À. Ð., Äèéêîâ À. Ë., Ñòðåïåòîâ À. Â., Ôàðàôîíîâ Â. Ã. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé: Ó÷åá. ïîñîáèå/ ÑÏáÃÓÀÏ. ÑÏá., 2001. 56 ñ. Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçëîæåíèå îñíîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ ñòóäåíòîâ çàî÷íîé ôîðìû îáó÷åíèÿ, ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ ýêîíîìè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé. Ïîäãîòîâëåíî ê ïóáëèêàöèè êàôåäðîé ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè. Ðåöåíçåíòû: êàôåäðà ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè ÑÏá ÃÓÍÒ ÏÒ; äîêòîð ôèç-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Èâëåâ Ë.Ñ. Óòâåðæäåíî ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì óíèâåðñèòåòà â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ

Учебное издание

Áåñòóãèí Àëåêñàíäð Ðîàëüäîâè÷ Äèéêîâ Àëåêñåé Ëüâîâè÷ Ñòðåïåòîâ Àëåêñåé Âëàäèìèðîâè÷ Ôàðàôîíîâ Âèêòîð Ãåîðãèåâè÷

ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ Учебное пособие Компьютерная верстка А. Н. Колешко Сдано в набор 10.12.01. Подписано к печати 25.12.01.Формат 60×84 1/16. Бумага тип. № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,25. Уч.-изд. л. 3,5. Тираж 500 экз. Заказ № 263 Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки Отдел оперативной полиграфии СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

© Санкт-Петербургский

государственный университет аэрокосмического приборостроения, 2001

2

1. ÑËÓ×ÀÉÍÛÅ ÑÎÁÛÒÈß, ÎÏÅÐÀÖÈÈ ÍÀÄ ÍÈÌÈ 1.1. Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ Îïðåäåëåíèå. Îïûòîì íàçûâàåòñÿ âñÿêîå îñóùåñòâëåíèå îïðåäåëåííûõ óñëîâèé è äåéñòâèé, ïðè êîòîðûõ íàáëþäàåòñÿ èçó÷àåìîå ñëó÷àéíîå ÿâëåíèå. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé èçó÷àåò ìàññîâûå ñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ, ò. å. ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ëþáîé îïûò ìîæíî ïîâòîðÿòü ñêîëüêî óãîäíî ðàç. Îïðåäåëåíèå. Ñîáûòèåì íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ êà÷åñòâåííàÿ èëè êîëè÷åñòâåííàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðåçóëüòàòà îïûòà. Ñîáûòèå íàçûâàåòñÿ äîñòîâåðíûì, åñëè îíî îáÿçàòåëüíî ïðîèñõîäèò â ðåçóëüòàòå îïûòà. Ñîáûòèå íàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíûì, åñëè îíî íèêîãäà íå ïðîèñõîäèò â ðåçóëüòàòå îïûòà. Ñëó÷àéíûì íàçûâàþò ñîáûòèå, êîòîðîå ìîæåò ïðîèçîéòè èëè íå ïðîèçîéòè â ðåçóëüòàòå îïûòà. Îïðåäåëåíèå. Ïðîñòðàíñòâîì Ω âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà íàçûâàþò ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, ò. å. ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà. Ëþáîå ñëó÷àéíîå ñîáûòèå ñâÿçàíî ñ ïðîñòðàíñòâîì Ω. Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíîå ñîáûòèå åñòü ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà. Ýòî ïîäìíîæåñòâî ñîñòîèò èç ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ äàííîìó ñëó÷àéíîìó ñîáûòèþ, ò. å. òàêèõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, íàñòóïëåíèå êîòîðûõ âëå÷åò çà ñîáîé íàñòóïëåíèå äàííîãî ñîáûòèÿ. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé èñïîëüçóþò çàãëàâíûå áóêâû ëàòèíñêîãî àëôàâèòà A, B, C, … . Äîñòîâåðíîå ñîáûòèå îáîçíà÷àåòñÿ áóêâîé U, ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùåå åìó ïîäìíîæåñòâî ñîâïàäàåò ñ ïðîñòðàíñòâîì Ω. Íåâîçìîæíîå ñîáûòèå îáîçíà÷àåòñÿ áóêâîé V, ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùåå åìó ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Ω íå ñîäåðæèò ýëåìåíòîâ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà, ò. å. ÿâëÿåòñÿ ïóñòûì ìíîæåñòâîì ∅. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ïðèìåðû. Ï ð è ì å ð 1. Ïðîèçâîäèòñÿ áðîñàíèå ìîíåòû.  ýòîì îïûòå âîçìîæíû äâà èñõîäà: 1) ìîíåòà âûïàäàåò ââåðõ “ãåðáîì” (ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå ω1) è 2) ìîíåòà âûïàäàåò ââåðõ “íàäïèñüþ” (ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå ω2).  äàííîì ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâî Ω âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà ñîäåðæèò òîëüêî äâà ýëåìåíòà (ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ ω1 è ω2), ò. å. Ω = {ω1, ω2}. Ï ð è ì å ð 2. Ïðîèçâîäèòñÿ áðîñàíèå èãðàëüíîé êîñòè. Çäåñü ïðîñòðàíñòâî Ω âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà ñîäåðæèò øåñòü 3

ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ωk (ωk ñîîòâåòñòâóåò âûïàäåíèþ ÷èñëà k), ãäå k = 1,2, …, 6. Ñîáûòèå A, çàêëþ÷àþùååñÿ â âûïàäåíèè ÷åòíîãî ÷èñëà, áóäåò ïîäìíîæåñòâîì, ñîñòîÿùèõ èç òðåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, A = {ω2, ω4, ω6}. 1.2. Îïåðàöèè íàä ñëó÷àéíûìè ñîáûòèÿìè Ñîáûòèå A âëå÷åò çà ñîáîé ñîáûòèå B (îáîçíà÷åíèå A ⊂ B), åñëè íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ A âëå÷åò çà ñîáîé íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ B. Äðóãèìè ñëîâàìè, âñå ýëåìåíòû ïîäìíîæåñòâà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîáûòèþ A, ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ïîäìíîæåñòâà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîáûòèþ B, ò. å., åñëè ω∈A ⇒ ω ∈ B. Ðàâåíñòâî ñîáûòèé A è B (îáîçíà÷åíèå A = B) îçíà÷àåò, ÷òî íàñòóïëåíèå îäíîãî èç ýòèõ ñîáûòèé âëå÷åò çà ñîáîé íàñòóïëåíèå äðóãîãî ñîáûòèÿ (ò. å. A ⊂ B è B ⊂ A). Ïîäìíîæåñòâà, ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáûòèÿì A è B, ñîäåðæàò îäíè è òå æå ýëåìåíòû, ò. å. ω ∈ A ⇔ ω ∈ B. Îáúåäèíåíèåì ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå C = A ∪ B, ñîñòîÿùåå â íàñòóïëåíèè õîòÿ áû îäíîãî èç ýòèõ ñîáûòèé A è B. Ïîäìíîæåñòâî, ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáûòèþ A∪B, ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ ïîäìíîæåñòâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáûòèÿì A è B, ò. å. ω ∈ Ñ = A ∪ B, åñëè ω∈A èëè ω ∈ B. Ïåðåñå÷åíèåì ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå C = A ∩ B, ñîñòîÿùåå â îäíîâðåìåííîì íàñòóïëåíèè ñîáûòèé A è B. Ïîäìíîæåñòâî, ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáûòèþ A ∩ B, ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ, îáùèõ äëÿ ïîäìíîæåñòâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáûòèÿì A è B, ò. å. ω ∈ Ñ = A ∩ B, åñëè ω ∈ A è ω ∈ B. Ðàçíîñòüþ ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå C = A\B, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ñîáûòèå A ïðîèñõîäèò, à ñîáûòèå B íå ïðîèñõîäèò. Ìíîæåñòâî C, ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáûòèþ A\B, ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ ïîäìíîæåñòâó, ñîîòâåòñòâóþùåìó ñîáûòèþ A, è íå ïðèíàäëåæàùèõ ïîäìíîæåñòâó, ñîîòâåòñòâóþùåìó ñîáûòèþ B, ò. å. ω ∈ Ñ= A\B, åñëè ω ∈ A è ω ∉ B. Ñîáûòèåì, ïðîòèâîïîëîæíûì ñîáûòèþ A, íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå C = A , ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ñîáûòèå A íå ïðîèñõîäèò. Ïîäìíîæåñòâî, ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáûòèþ A , ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà Ω âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà, íå ïðèíàäëåæàùèõ ïîäìíîæåñòâó, ñîîòâåòñòâóþùåìó ñîáûòèþ A, ò. å. ω ∈ A , åñëè ω ∉ A (èíà÷å ω ∈ (Ω\A)). Èç îïðåäåëåíèÿ ðàçíîñòè ñîáûòèé A è B è ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå A\B = A ∩B . Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåñîâìå4

ñòíûìè, åñëè A ∩ B = ∅, ò. å. íåâîçìîæíî èõ îäíîâðåìåííîå íàñòóïëåíèå. Îïðåäåëåíèå. Ñîáûòèÿ Ak (k = 1, 2, … , n) îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó, åñëè â ðåçóëüòàòå îïûòà îáÿçàòåëüíî äîëæíî íàñòóïèòü õîòÿ áû îäíî èç ýòèõ ñîáûòèé, ò. å. n

∪ Ak = U.

k =1

Îáúåäèíåíèå âñåõ ñîáûòèé Ak ÿâëÿåòñÿ äîñòîâåðíûì ñîáûòèåì. Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò ïîëíóþ ãðóïïó íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé, êîãäà ñîáûòèÿ Ak ïîïàðíî íåñîâìåñòíû Ak ∩ Aj = V ïðè k ≠ j. Ïðèìåðîì ïîëíîé ãðóïïû íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé ìîãóò ñëóæèòü ñîáûòèå À è ïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèå A . Äåéñòâèòåëüíî A ∪ A = U, íî A ∩ A = V. Íèæå ïðèâåäåíû ñâîéñòâà, êîòîðûì ïîä÷èíÿþòñÿ îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ ñîáûòèé: êîììóòàòèâíîñòü A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A; àññîöèàòèâíîñòü A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C; äèñòðèáóòèâíîñòü A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Ñåìåéñòâî ñîáûòèé A, êîòîðîå ñ êàæäûì ñîáûòèåì À ñîäåðæèò è ïðîòèâîïîëîæíîå åìó ñîáûòèå A , à ñ êàæäîé ïàðîé ñîáûòèé À è  ñîäåðæèò ñîáûòèÿ A ∪ B, A ∩ B è A\B, íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé ñîáûòèé. Èíîãäà ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü áåñêîíå÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé è äåéñòâèÿ íàä íèìè.  ýòîì ñëó÷àå òðåáóþò, ÷òîáû îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ñîáûòèé òàêæå ÿâëÿëèñü áû ñîáûòèÿìè, ò. å. ïðèíàäëåæàëè áû àëãåáðå ñîáûòèé A. Àëãåáðà ñîáûòèé A, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ ∀An ∈ A ⇒

∞

∪ An ∈

n =1

∞

A, ∩ An ∈ A, íàçûâàåòñÿ σ-àëãåáðîé. n =1

1.3. Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ Ï ð è ì å ð 1. Ïðè êàêèõ ñîáûòèÿõ À è  âîçìîæíî ðàâåíñòâî A ∪ B = A? Ðåøåíèå. Îáúåäèíåíèå ñîáûòèé A ∪ B åñòü ñîáûòèå, çàêëþ÷àþùååñÿ â íàñòóïëåíèè õîòÿ áû îäíîãî èç ñîáûòèé À è Â. 5

Ñëåäîâàòåëüíî, íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ À âëå÷åò çà ñîáîé íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ A ∪ B: A ⊂ A ∪ B.  êàêîì ñëó÷àå íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ A ∪ B âëå÷åò çà ñîáîé íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ À, ò. å. A ∪ B ⊂ A. Òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ  âëå÷åò çà ñîáîé íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ À. Òàêèì îáðàçîì, ðàâåíñòâî âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå B ⊂ A. Ï ð è ì å ð 2. Äîêàçàòü íåðàâåíñòâî A ∩ B = A ∪ B . Ðåøåíèå.  ðåçóëüòàòå îïûòà ñîáûòèå À ìîæåò ïðîèçîéòè èëè íå ïðîèçîéòè (ò. å. ïðîèçîéäåò ïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèå A ). Áóäåì îáîçíà÷àòü íàñòóïëåíèå ñîáûòèé öèôðîé 1, à íå íàñòóïëåíèå – öèôðîé 0. Ðàññìîòðèì âñå âîçìîæíûå êîìáèíàöèè íàñòóïëåíèÿ è íåíàñòóïëåíèÿ äâóõ ñîáûòèé À è  è çàïîëíèì ñëåäóþùóþ òàáëèöó, êîòîðàÿ ñîäåðæèò ñðàâíèâàåìûå ñîáûòèÿ: A

B

A

1 1 0 0

1 0 1 0

0 0 1 1

A∪B

B

0 1 0 1

1 1 1 0

A∩B

0 0 0 1

A∩ B 1 1 1 0

Ìû âèäèì, ÷òî ñòîëáöû, ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáûòèÿì A ∪ B è A∩ B , ñîâïàëè, ò. å. ýòè ñîáûòèÿ ðàâíû A ∩ B = A ∪ B, òàê êàê íàñòóïëåíèå îäíîãî èç íèõ âëå÷åò çà ñîáîé íàñòóïëåíèå äðóãîãî. Ï ð è ì å ð 3. Èìåþòñÿ ñîáûòèÿ: À – õîòÿ áû îäèí èç òðåõ ïðîâåðÿåìûõ ïðèáîðîâ áðàêîâàííûé,  – âñå ïðèáîðû äîáðîêà÷åñòâåííûå. ×òî îçíà÷àþò ñîáûòèÿ A, B, A ∪ B, A ∩ B, A\B ? Ðåøåíèå. Ââåäåì ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà Ω = {ω0, ω1, ω2, ω3}, ãäå ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå ω0 ñîñòîèò â òîì, ÷òî áðàêîâàííûõ ïðèáîðîâ íåò, ω1 – òîëüêî îäèí ïðèáîð áðàêîâàííûé, ω2 – ðîâíî äâà ïðèáîðà áðàêîâàííûå, ω3 – âñå òðè ïðèáîðà áðàêîâàííûå. Ñîáûòèÿì À è  áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü ñëåäóþùèå ïîäìíîæåñòâà A = {ω1, ω2, ω3}, B = {ω0}. Òåïåðü ëåãêî çàïèñàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ïîäìíîæåñòâà äëÿ ïðîòèâîïîëîæíûõ ñîáûòèé A = {ω0} = B, B = {ω1, ω2, ω3} = A. Îáúåäèíåíèå ñîáûòèé A ∪ B äàåò äîñòîâåðíîå ñîáûòèå A ∪ B = {ω0, ω1, ω2, ω3} = U. Ïåðåñå÷åíèå ñîáûòèé A ∩B åñòü íåâîçìîæíîå ñîáûòèå, òàê êàê íåò îáùèõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé A ∩ B = V. 6

Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü ñîáûòèé A\B. Åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â äðóãîì âèäå A\B = A ∩ B = A ∩ A = A = {ω1, ω2, ω3}, òàê êàê èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå B = A.

7

2. ÌÅÒÎÄÈÊÀ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÑÎÁÛÒÈÉ ÍÀ ÎÑÍÎÂÀÍÈÈ ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß 2.1. Ñòàòèñòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè Ïóñòü íåêîòîðûé îïûò ïðîèçâîäèòñÿ N ðàç ïðè îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ, ïðè ýòîì ñëó÷àéíîå ñîáûòèå À ïðîèñõîäèò N(A) ðàç. ×èñëî N(A) íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé ñîáûòèÿ À, à îòíîøåíèå N(A)/N îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòîé ñîáûòèÿ À. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè áîëüøèõ N îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà äëÿ ñëó÷àéíûõ ìàññîâûõ ñîáûòèé (èõ ìîæíî íàáëþäàòü ïðè îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ ñêîëüêî óãîäíî ðàç) îáëàäàåò ñâîéñòâîì óñòîé÷èâîñòè, ò. å. â íåñêîëüêèõ ñåðèÿõ èç äîñòàòî÷íî áîëüøîãî êîëè÷åñòâà N1, N2, …, Nk íàáëþäåíèé äàííîãî îïûòà èìåþò ìåñòî ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà N1( A) N2( A) N ( A) . ≈ ≈…≈ k N1 N2 Nk

Òàêèì îáðàçîì, îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ñîáûòèÿ À êîëåáëåòñÿ îêîëî îäíîãî è òîãî æå ÷èñëà, êîòîðîå õàðàêòåðèçóåò äàííîå ñëó÷àéíîå ñîáûòèå À. Ýòî ÷èñëî p(A) íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ A. Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî çà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ ïðèáëèæåííî ìîæíî áðàòü åãî îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì ÷èñëå íàáëþäåíèé äàííîãî îïûòà â îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ. Ï ð è ì å ð. Ïðîèçâîäèòñÿ áðîñàíèå “ïðàâèëüíîé” (ñèììåòðè÷íîé, îäíîðîäíîé) ìîíåòû. Ñîáûòèå À çàêëþ÷àåòñÿ â ïðîÿâëåíèè “ãåðáà”. Åñëè ïîäáðàñûâàòü ìîíåòó ìíîãî ðàç, òî îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ñîáûòèÿ À áóäåò êîëåáàòüñÿ îêîëî ÷èñëà 1/2, êîòîðîå áóäåò âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ À. 2.2. Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè Ñîîáðàæåíèÿ ñèììåòðèè â ñëó÷àå êîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà Ω âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà ïîçâîëÿåò äàòü ïðîñòîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè. Íåñêîëüêî ñîáûòèé â äàííîì îïûòå íàçûâàþòñÿ ðàâíîâîçìîæíûìè, åñëè ïî óñëîâèÿì ñèììåòðèè íåò îñíîâàíèé ñ÷èòàòü êàêîå-ëèáî èç íèõ áîëåå âîçìîæíûì, ÷åì äðóãîå. Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî Ω âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà ñîäåðæèò n ýëåìåíòîâ Ω = {ω1, ω2, …,ωn}. Åñëè âñå ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ 8

ωk, k = 1, 2,..., n ðàâíîâîçìîæíû (ò. å. ðàâíîâîçìîæíû âñå èñõîäû äàííîãî îïûòà), òî âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå p (A) =

mA , n

ãäå mA – ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, áëàãîïðèÿòíûõ ñîáûòèþ À, ò. å. ÷èñëî ýëåìåíòîâ ωk, ïðèíàäëåæàùèõ ïîäìíîæåñòâó, ñîîòâåòñòâóþùåìó ñîáûòèþ À. Ï ð è ì å ð. Ïðîèçâîäèòñÿ áðîñàíèå ìîíåòû. Ìîíåòà ïðåäïîëàãàåòñÿ “ïðàâèëüíîé” (ñèììåòðè÷íîé è îäíîðîäíîé). Ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà ñîäåðæèò äâà ýëåìåíòà Ω = {ω1, ω2}, ãäå ω1 ñîñòîèò â ïðîÿâëåíèè “ãåðáà”, à ω2 – “íàäïèñè”. Ñîáûòèå À ñîñòîèò â ïîÿâëåíèè “ãåðáà”, A = {ω1}. Ñîãëàñíî êëàññè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòè p(A) = 1/2. 2.3. Àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè Äàííûå âûøå îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè îáëàäàþò ðÿäîì íåäîñòàòêîâ. Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì (÷àñòíûì ñëó÷àåì), ïîñêîëüêó òðåáóåò êîíå÷íîñòè ïðîñòðàíñòâà Ω âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà è ðàâíîâîçìîæíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, ÷òî ÷àñòî íå ñîîòâåòñòâóåò äåéñòâèòåëüíîñòè. Ñòàòèñòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå îïèðàåòñÿ íà ôàêò óñòîé÷èâîñòè îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò ìàññîâûõ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé è ñóùåñòâîâàíèå èõ ïðåäåëîâ, êîòîðûå â ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ìû ïîêà íå ìîæåì îáîñíîâàòü. Ñàìî æå ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòè î÷åíü âàæíî, òàê êàê åå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáúåêòèâíóþ ìåðó îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòû ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ â ñåðèè îïûòîâ. Ïîýòîìó ñóùåñòâîâàíèå âåðîÿòíîñòè ïîñòóëèðóþò. Âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ òðîéêà îáúåêòîâ (Ω, A, p), ãäå Ω – ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà, A – σ-àëãåáðà ñîáûòèé (ò. å. ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Ω), p – ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ñîáûòèÿõ è íàçûâàåìàÿ âåðîÿòíîñòüþ. Âåðîÿòíîñòü óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì àêñèîìàì: 1) p(A) ≥ 0 äëÿ âñåõ A ∈ Ω (íåîòðèöàòåëüíîñòü p); 2) âåðîÿòíîñòü äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà åäèíèöå p(U) = 1 (íîðìèðîâàííîñòü p); 3) åñëè A è B íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ (A ∩ B) = V – íåâîçìîæíîå ñîáûòèå), òî p(A ∪ B) = p(A) + p(B) (àääèòèâíîñòü p). 9

 ñëó÷àå êîãäà ïðîñòðàíñòâî Ω áåñêîíå÷íî, äîáàâëÿþò åùå îäíó àêñèîìó: 4) åñëè {An} – ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ∞

∞

n =1

n =1

ñîáûòèé, òî p( ∪ An ) = ∑ p( An ) (ñ÷åòíàÿ àääèòèâíîñòü p). Èç ýòèõ àêñèîì ìîæíî âûâåñòè ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 1) âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ñîáûòèÿ A ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíûì ÷èñëîì, íå ïðåâûøàþùèì åäèíèöû, 0 ≤ p(A) ≤ 1; 2) âåðîÿòíîñòü íåâîçìîæíîãî ñîáûòèÿ V ðàâíà íóëþ, p(V) = 0; 3) âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ p( A ) = 1 – p(A). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè ïîëíîñòüþ ñîãëàñóåòñÿ ñ àêñèîìàìè âåðîÿòíîñòè. 2.4. Ðàçìåùåíèå è ñî÷åòàíèÿ Ïðèâåäåì âàæíûå â ïðàêòè÷åñêîì îòíîøåíèè ïîíÿòèÿ ðàçìåùåíèé, ïåðåñòàíîâîê è ñî÷åòàíèé. Ïóñòü èìååòñÿ êîíå÷íîå ìíîæåñòâî X ={x1, x2, x3, …, xN}, ñîñòîÿùåå èç N ýëåìåíòîâ. Îïðåäåëåíèå. Ðàçìåùåíèåì èç N ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà X ïî k ýëåìåíòàì íàçûâàåòñÿ ëþáîé óïîðÿäî÷åííûé íàáîð (xj1, xj2, …, xjk) è (xi1, xi2, …, xik) ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà xj = xi $ , $ = =1,2, … , k. ×èñëî âñåõ ðàçëè÷íûõ ðàçìåùåíèé èç N ýëåìåíòîâ k ïî k îáîçíà÷àåòñÿ A N è âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå N!

k = N(N–1) … (N–k+1) = (N − k)! , AN

ãäå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî A 0N = 1. Îïðåäåëåíèå. ×àñòíûé ñëó÷àé ðàçìåùåíèÿ ïðè k = N íàçûâàåòñÿ ïåðåñòàíîâêîé èç N ýëåìåíòîâ. ×èñëî âñåõ ïåðåñòàíîâîê èç N ýëåìåíòîâ ðàâíî • AN N = N(N–1)...2 1 = N!.

Îïðåäåëåíèå. Ñî÷åòàíèåì èç N ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà X ïî k íàçûâàåòñÿ ëþáîå ïîäìíîæåñòâî {xj1, xj2, …, xjk}, ñîñòîÿùåå èç k ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Õ. k ×èñëî âñåõ ñî÷åòàíèé èç N ïî k îáîçíà÷àåòñÿ C N è âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: k CN =

10

k AN N(N − 1)…(N − k + 1) N! . = = k! k(k − 1)… 2 ⋅ 1 k !(N − k)!

k Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî C 0N = 1 è C N = 0 åñëè k > N. Èç ôîðìóëû k äëÿ âû÷èñëåíèÿ ÷èñëà ñî÷åòàíèé C N íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò −k k ðàâåíñòâî C N =CN . N

2.5. Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ Ï ð è ì å ð 1. Èãðàëüíàÿ êîñòü áðîñàåòñÿ îäèí ðàç. Íàéòè âåðîÿòíîñòü ñëåäóþùèõ ñîáûòèé: 1) À – âûïàäåíèå ÷åòíîãî ÷èñëà î÷êîâ; 2)  – âûïàäåíèå íå ìåíåå 5 î÷êîâ; 3) Ñ – âûïàäåíèå íå áîëåå 5 î÷êîâ. Ðåøåíèå.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâî Ω âîçìîæíûõ èñõîäîâ ñîäåðæèò 6 ýëåìåíòîâ Ω = {ω1, ω2, …, ω6}, ãäå ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå ωk åñòü âûïàäåíèå ÷èñëà k. Èãðàëüíàÿ êîñòü ñ÷èòàåòñÿ “ïðàâèëüíîé”, ïîýòîìó âñå ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ ÿâëÿþòñÿ ðàâíîçíà÷íûìè è ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ êëàññè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè. Ñîáûòèÿ À,  è C ñîîòâåòñòâóþò ñëåäóþùèì ïîäìíîæåñòâàì ïðîñòðàíñòâà Ω: A = {ω2, ω4, ω6}, B = {ω5, ω6}, C = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5}, ïîýòîìó ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèÿì A, B è C ñîîòâåòñòâåííî ðàâíî mA = 3, mB = 2, mC = 5. mA 1 = Òåïåðü âû÷èñëÿåì âåðîÿòíîñòè ýòèõ ñîáûòèé p(A) = , 2 n mB mC 1 5 = = p(B) = , p(C) = . 3 6 n n Ï ð è ì å ð 2.  óðíå k áåëûõ è r ÷åðíûõ øàðîâ (k > 2). Èç óðíû âûíèìàþò íàóãàä äâà øàðà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáà øàðà áåëûå. Ðåøåíèå. Çà ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà Ω = {ω} ïðèíèìàåì ìíîæåñòâî âñåõ ñî÷åòàíèé èç (k + r) ýëåìåíòîâ (îáùåå ÷èñëî øàðîâ) ïî 2 (÷èñëî âûíóòûõ øàðîâ). Èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè (âñå øàðû îäèíàêîâûå è øàðû âûíèìàþò íàóãàä) ñëåäóåò, ÷òî âñå ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ ðàâíîâîçìîæíû, ïîýòîìó äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ (îáà âûíóòûõ øàðà áåëûå) ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ êëàññè÷åñêèì îïðåäåëåíèmA åì: P(A) = . ×èñëî âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ðàâíî ÷èñëó n ñî÷åòàíèé èç (k + r) ïî 2. 11

n = C 2k + r =

1 (k + r )(k + r − 1). 2

×èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé mA, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A, ðàâíî ÷èñëó ñî÷åòàíèé èç k ýëåìåíòîâ (îáùåå ÷èñëî áåëûõ øàðîâ) ïî 2 (÷èñëî âûíóòûõ øàðîâ) mA = C 2k =

1 (k)(k − 1) . 2

k(k − 1) . (k + r )(k + r − 1) Ï ð è ì å ð 3.  ïàðòèè, ñîñòîÿùåé èç k èçäåëèé, èìååòñÿ $ äåôåêòíûõ ( $ ≤ k). Èç ïàðòèè âûáèðàåòñÿ äëÿ êîíòðîëÿ r èçäåëèé. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç íèõ ðîâíî s èçäåëèé áóäåò äåôåêòíûõ (s ≤ r). Ðåøåíèå. Çà ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà Ω = {ω} ïðèíèìàåì ìíîæåñòâî âñåõ ñî÷åòàíèé èç k ýëåìåíòîâ (îáùåå ÷èñëî èçäåëèé) ïî r (÷èñëî âûáðàííûõ èçäåëèé). Ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ ðàâíîâîçìîæíû, ïîýòîìó ïîëüçóåìñÿ êëàññè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè. Ñîáûòèå A ñîñòîèò â òîì, ÷òî èç r âûáðàííûõ èçäåëèé ðîâíî s äåôåêòíûõ. Åãî âåðîÿòíîñòü îïðåmA äåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå P(A) = , ãäå îáùåå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ n ñîáûòèé n ðàâíî ÷èñëó ñî÷åòàíèé èç k ïî r. n = Ckr . Ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå áóäåò áëàãîïðèÿòñòâóþùèì ñîáûòèþ A, åñëè èç r âûáðàííûõ èçäåëèé ðîâíî s áóäåò äåôåêòíûìè, à (r – s) ãîäíûìè. Ïîýòîìó ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A, ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëà ñî÷åòàíèé èç $ (îáùåå ÷èñëî äåôåêòíûõ èçäåëèé) ïî s (âûáðàííîå ÷èñëî äåôåêòíûõ èçäåëèé) íà ÷èñëî ñî÷åòàíèé èç (k – $ ) (îáùåå ÷èñëî ãîäíûõ èçäåëèé) ïî (r – s) (âûáðàííîå ÷èñëî ãîäíûõ èçäåëèé)

Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A ðàâíà p(A) =

C$sC kr --$s . C kr Ï ð è ì å ð 4. Èç óðíû, ñîäåðæàùåé k ïåðåíóìåðîâàííûõ øàðîâ, íàóãàä âûíèìàþò îäèí çà äðóãèì $ íàõîäÿùèõñÿ â íåé øàðîâ ( $ ≤ k ). Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íîìåðà âûíóòûõ øàðîâ áóäóò èäòè ïî ïîðÿäêó: s, s + 1, … , s + $ – 1. Ðåøåíèå. Çà ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà Ω = {ω} ïðèíèìàåì ìíîæåñòâî âñåõ ðàçìåùåíèé èç k ýëåìåíòîâ (îáùåå ÷èñëî øàðîâ) ïî $ (÷èñëî âûíóòûõ øàðîâ). Ñîáûòèå A ñîñòîèò â òîì, ÷òî íîìåðà âûíóòûõ øàðîâ áóäóò èäòè ïî ïîðÿäêó.  ñèëó s

r −s

mA = C$ Ck − $ . Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A ðàâíà p(A) =

12

ñèììåòðèè ðåçóëüòàòîâ îïûòà âñå ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ ðàâíîâîçìîæíû, ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A âû÷èñëÿåòñÿ ïî êëàññè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ p ( A) =

mA . n

Îáùåå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé n ðàâíî ÷èñëó ðàçìåùåíèé èç k ïî $ n = Ak$ = k(k − 1)…(k − $ + 1).

Ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå áóäåò áëàãîïðèÿòñòâîâàòü ñîáûòèþ A, åñëè íîìåðà âûíóòûõ øàðîâ îáðàçóþò ðÿä ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Òàêèå ðàçìåùåíèÿ (öåïî÷êà èç $ ÷èñåë) îïðåäåëÿþòñÿ ïåðâûì ÷èñëîì, ïîñêîëüêó çàòåì íîìåðà óâåëè÷èâàþòñÿ íà åäèíèöó. Òàê êàê ïîñëåäíåå ÷èñëî â öåïî÷êå íå ìîæåò ïðåâûøàòü îáùåãî ÷èñëà øàðîâ k, òî ïåðâûé âûíóòûé øàð ìîæåò èìåòü ñëåäóþùèå íîìåðà: 1,2, … ,(k – $ + 1), ò. å. ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A, ðàâíî mA = k – $ +1. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A ðàâíà p ( A) =

(k − $ + 1) = k(k − 1)…(k − $ + 1)

1 . k(k − 1)…(k − $ + 2)

 ÷àñòíîì ñëó÷àå $ = k ìû ïîëó÷èì î÷åâèäíûé ðåçóëüòàò 1 p(A) = , òàê êàê îáùåå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ðàâíî k! ÷èñëó ïåðåñòàíîâîê, à áëàãîïðèÿòíûì ÿâëÿåòñÿ òîëüêî îäíî ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå. Åñëè âûíèìàåòñÿ òîëüêî îäèí øàð, òî ñîáûòèå A ÿâëÿåòñÿ äîñòîâåðíûì ñîáûòèåì, p(A) = 1. Ï ð è ì å ð 5. Èìååòñÿ 3 ÿùèêà ñ ðàçëè÷íûìè ìàòåðèàëàìè. Èõ íàóãàä ðàñïðåäåëÿþò íà 5 ïîëîê. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî: à) âñå ÿùèêè áóäóò íà ïîñëåäíåé ïîëêå; á) òîëüêî îäèí ÿùèê áóäåò íà ïîñëåäíåé ïîëêå. Ðåøåíèå. Êàæäûé ÿùèê ìîæåò íàõîäèòüñÿ íà ëþáîé èç ïÿòè ïîëîê, ïîýòîìó ðàñïðåäåëåíèå îäíîãî ÿùèêà ìîæíî îïèñàòü ÷èñëîì x1, ïðèíèìàþùèì îäíî èç çíà÷åíèé 1, 2, …, 5, ñîîòâåòñòâóþùåå íîìåðó ïîëêè. Ðàñïðåäåëåíèå äâóõ ÿùèêîâ ìîæíî îïèñàòü äâóìåðíûì âåêòîðîì (x1, x2), êàæäûé êîìïîíåíò êîòîðîãî ïðèíèìàåò îäíî èç çíà÷åíèé 1, 2, …, 5. Çà ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà ïðèìåì ìíîæåñòâî òðåõìåðíûõ âåêòîðîâ (x1, x2, x3), êàæäûé êîìïîíåíò êîòî13

ðîãî ïðèíèìàåò îäíî èç çíà÷åíèé 1, 2, …, 5. Ñîáûòèå A ñîñòîèò â òîì, ÷òî âñå ÿùèêè áóäóò íà ïîñëåäíåé (ïÿòîé) ïîëêå, ñîáûòèå B – òîëüêî îäèí ÿùèê íà ïîñëåäíåé ïîëêå.  ñèëó ñèììåòðèè ðåçóëüòàòîâ îïûòà, âñå ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ ðàâíîâîçìîæíû, ïîýòîìó äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé A è B ïîëüçóåìñÿ êëàññè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì p ( A) =

mA m , p (B ) = B . n n

Îáùåå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé n ðàâíî ÷èñëó òðåõìåðíûõ âåêòîðîâ (x1, x2, x3), êàæäûé êîìïîíåíò êîòîðûõ ïðèíèìàåò îäíî èç çíà÷åíèé 1, 2, … ,5: n = 53 = 125. ×èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A, ðàâíî åäèíèöå (ñîáûòèþ A ñîîòâåòñòâóåò òîëüêî îäèí âåêòîð (5, 5, 5), âñå êîìïîíåíòû êîòîðîãî ðàâíû ïÿòè) mA = 1. ×èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ B, ðàâíî MB =3 ⋅ 4 ⋅ 4 = 48, òàê êàê îäèí èç êîìïîíåíòîâ âåêòîðà äîëæåí ïðèíèìàòü çíà÷åíèå ïÿòü, à äâå îñòàëüíûå – çíà÷åíèå 1, 2, 3, 4. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèé A è B ðàâíà p(A) =

1 48 = 0,008, p(B) = = 0,384. 125 125

Ï ð è ì å ð 6.  ðîçûãðûøå ïåðâåíñòâà ïî ôóòáîëó ó÷àñòâóþò 16 êîìàíä èç êîòîðûõ ñëó÷àéíûì îáðàçîì ôîðìèðóþòñÿ äâå ãðóïïû ïî 8 êîìàíä â êàæäîé. Ñðåäè ó÷àñòíèêîâ ñîðåâíîâàíèé èìååòñÿ 5 êîìàíä ýêñòðàêëàññà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü ñëåäóþùèõ ñîáûòèé: A – âñå êîìàíäû ýêñòðàêëàññà ïîïàäóò â îäíó è òó æå ãðóïïó, B – äâå êîìàíäû ýêñòðàêëàññà ïîïàäóò â îäíó èç ãðóïï, à òðè – â äðóãóþ. Ðåøåíèå. Çà ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà Ω = {ω} ïðèìåì ìíîæåñòâî ñî÷åòàíèé èç 16 ýëåìåíòîâ (îáùåå ÷èñëî êîìàíä) ïî 8 (÷èñëî êîìàíä â ïåðâîé ãðóïïå, âòîðàÿ ãðóïïà ôîðìèðóåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè èç îñòàâøèõñÿ 8 êîìàíä). Âñå ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ ðàâíîâîçìîæíû, ïîýòîìó ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ êëàññè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè p ( A) =

14

mA m , p (B ) = B . n n

Îáùåå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ðàâíî ÷èñëó ñî÷åòàíèé èç 16 êîìàíä ïî 8 8 n = C16 .

Ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå áóäåò áëàãîïðèÿòñòâîâàòü ñîáûòèþ A, åñëè â ïåðâîé ãðóïïå íåò êîìàíä ýêñòðàêëàññà èëè â íåå âõîäÿò âñå ïÿòü êîìàíä ýêñòðàêëàññà.  ïåðâîì ñëó÷àå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A, ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëà ñî÷åòàíèé èç 5 (îáùåå ÷èñëî êîìàíä ýêñòðàêëàññà) ïî 0 (÷èñëî êîìàíä ýêñòðàêëàññà â ïåðâîé ãðóïïå) íà ÷èñëî ñî÷åòàíèé èç 11 (îáùåå ÷èñëî êîìàíä íå ýêñòðàêëàññà) ïî 8 (÷èñëî êîìàíä íå ýêñòðàêëàññà â ïåðâîé ãðóïïå): 8 8 = C11 m1A = C50C11 .

Âî âòîðîì ñëó÷àå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A, ðàâíî 3 3 m2 A = C55C11 = C11 .

Îáùåå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ 8 3 3 ñîáûòèþ A, ðàâíî m A =m 1A +m 2A = C11 , òàê êàê + C11 = 2C11 8 3 . C11 = C11 Ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå áóäåò áëàãîïðèÿòñòâîâàòü ñîáûòèþ B, åñëè â ïåðâîé ãðóïïå äâå êîìàíäû ýêñòðàêëàññà èëè â íåå âõîäÿò òðè êîìàíäû ýêñòðàêëàññà.  ïåðâîì ñëó÷àå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ B, ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëà ñî÷åòàíèé èç 5 (îáùåå ÷èñëî êîìàíä ýêñòðàêëàññà â ïåðâîé ãðóïïå) ïî 2 (÷èñëî êîìàíä ýêñòðàêëàññà â ïåðâîé ãðóïïå) íà ÷èñëî ñî÷åòàíèé èç 11 (îáùåå ÷èñëî êîìàíä íå ýêñòðàêëàññà) ïî 6 (÷èñëî êîìàíä íå ýêñòðàêëàññà â ïåðâîé ãðóïïå) 6 m1B = m1B = C52C11 . 5 Âî âòîðîì ñëó÷àå ïîëó÷èì m2B = C535C11 è îáùåå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ B, ðàâíî mB = 6 5 5 6 5 = m1B + m2B = C52C11 + C535C11 = 2C53C11 , òàê êàê C52 = C53 , C11 . = C11 Èòàê, âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé A è B ðàâíû:

p (A) =

3 5 2C11 2C53C11 , = p B . ( ) 8 8 C16 C16

15

3. ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÊÀÇÀÍÈß Ê ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÞ ÒÅÎÐÅÌ ÑËÎÆÅÍÈß È ÓÌÍÎÆÅÍÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 3.1. Òåîðåìû ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé Àêñèîìà àääèòèâíîñòè ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü îáúåäèíåíèÿ äâóõ íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé À è  (A ∩ B = V): p(A ∩ B) = p(A) + p(B). Åå ñëåäñòâèåì ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé (Ai ∩ Aj = V ïðè i ≠ j) p(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = p(A1) + p(A2) + … + p(An). Òåîðåìà ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñîâìåñòíûõ ñîáûòèé: âåðîÿòíîñòü îáúåäèíåíèÿ äâóõ ñîâìåñòíûõ ñîáûòèé ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé ýòèõ ñîáûòèé áåç âåðîÿòíîñòè èõ ñîâìåñòíîãî íàñòóïëåíèÿ (ò. å. áåç âåðîÿòíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ñîáûòèé) p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B). Ñîãëàñèå òåîðåì ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ íåñîâìåñòíûõ è ñîâìåñòíûõ ñîáûòèé î÷åâèäíî, òàê êàê ïåðåñå÷åíèå íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé åñòü íåâîçìîæíîå ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà íóëþ. Ïðèâåäåì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîâìåñòíûõ ñîáûòèé  n  P Ak  =    k =1 

∪

∑ p( Ak ) − ∑ p(Ai ∩ Aj ) + ∑ i< j

k

i< j< k

p( Ai ∩ A j ∩ Ak ) − ... +

+ ( −1) p( A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ … ∩ An ), n

ãäå ñóììû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà âñå âîçìîæíûå êîìáèíàöèè ðàçëè÷íûõ èíäåêñîâ i, j, k, … , âçÿòûõ ïî îäíîìó, ïî äâà è ò. ä. 3.2. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè. Òåîðåìû óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé Äëÿ òîãî ÷òîáû ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, îïðåäåëèì óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè. Îïðåäåëåíèå. Óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ  ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå À ïðîèçîøëî, íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå âåðîÿòíîñòè ñîâìåñòíîãî íàñòóïëåíèÿ äâóõ ñîáûòèé À è  (ò. å. èõ ïåðåñå÷åíèÿ A ∩ B) ê âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ À: 16

pA ( B ) =

p( A ∩ B) . p( A)

Òåîðåìà óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé: âåðîÿòíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ñîáûòèé À è  ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ À íà óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ  ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå À óæå ïðîèçîøëî, p(A ∩ B) = p(A)pA(B). Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé íåðàçðûâíî ñâÿçàíà ñ ïîíÿòèåì óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè. Ñëåäñòâèåì ýòîé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîáûòèé. Âåðîÿòíîñòü ñîâìåñòíîãî ïîÿâëåíèÿ íåñêîëüêèõ ñîáûòèé (ò. å. èõ ïåðåñå÷åíèÿ) ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòè îäíîãî èç íèõ íà óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè âñåõ îñòàëüíûõ, ïðè÷åì âåðîÿòíîñòè êàæäîãî ïîñëåäóþùåãî ñîáûòèÿ âû÷èñëÿþòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âñå ïðåäûäóùèå ñîáûòèÿ óæå íàñòóïèëè p( A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An ) = p( A1) ⋅ pA1( A2 ) ⋅ pA1 ∩ A2 ( A3 )… pA1 ∩ A2 ∩…∩ An −1 ( An ),

ãäå pA1 ∩ A2 ∩…∩ An −1(An ) – âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ An ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèÿ A1, A2, …, An–1 óæå ïðîèçîøëè. Îïðåäåëåíèå. Ñîáûòèÿ À è  íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè âåðîÿòíîñòü èõ ñîâìåñòíîãî ïîÿâëåíèÿ ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòåé ýòèõ ñîáûòèé p(A ∩ B) = p(A)p(B). Ýòî îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé À è  ýêâèâàëåíòíî òðåáîâàíèþ ñîâïàäåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ  è óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ  ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå À óæå ïðîèçîøëî p(B) = pA(B), èëè, àíàëîãè÷íî p(A) = pB(A).  ñëó÷àå íåñêîëüêèõ ñîáûòèé, íåçàâèñèìûõ â ñîâîêóïíîñòè, âåðîÿòíîñòü èõ ñîâìåñòíîãî ïîÿâëåíèÿ ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ýòèõ ñîáûòèé p( A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An ) = p( A1) ⋅ p( A2 ) ⋅ p( A3 )… p( An ).

3.3. Ñõåìà íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Âàæíûì ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïðèìåíåíèÿ ôîðìóë ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ ñõåìà. Ïóñòü ïðîâîäèòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî n ïîñëåäîâàòåëüíûõ íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, â 17

êàæäîì èç êîòîðûõ âîçìîæíî òîëüêî äâà èñõîäà: ëèáî óñïåõ, ëèáî ïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèå – íåóäà÷à. Òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èñïûòàíèé íàçûâàåòñÿ ñõåìîé Áåðíóëëè, åñëè âåðîÿòíîñòè óñïåõà â êàæäîì îïûòå îäèíàêîâû.  ñõåìå Áåðíóëëè îäíîìó èñïûòàíèþ ñîîòâåòñòâóåò ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, ñîñòîÿùåå èç äâóõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé: {ω0, ω1 }, ω0 = 0 (íåóäà÷à) è ω1 = 1 (óñïåõ). Åñëè çàäàíû âåðîÿòíîñòè óñïåõà è íåóäà÷è â îòäåëüíîì èñïûòàíèè Ð(ω0) = ð; Ð(ω1) = 1 – ð = q, òî ìîæíî ïî ôîðìóëå óìíîæåíèÿ îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà ω, âêëþ÷àþùåãî k óñïåõîâ è (n – k) íåóäà÷ â îïðåäåëåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Ð(ω) = Ð(ω0)Ð(ω1)... Ð(ω0) = qp ... q =pkqn–k. Åñëè íàñ èíòåðåñóåò âåðîÿòíîñòü Pn(k) òîãî, ÷òî â n èñïûòàíèÿõ ïðîèçîøëî ðîâíî k óñïåõîâ (íå âàæíî â êàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè), òî åå ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ñóììó âåðîÿòíîñòåé òàêèõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ïî ôîðìóëå ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé:

Pn(k) = C knpkqn − k . k

Çäåñü C n – ÷èñëî ñî÷åòàíèé ïî k ýëåìåíòîâ èç n – â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ω, õàðàêòåðèçóþùèìèñÿ k óñïåõàìè.  ðÿäå çàäà÷ ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ íàèâåðîÿòíåéøåå ÷èñëî óñïåõîâ, òî åñòü òàêîå ÷èñëî óñïåõîâ m*, âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ñàìàÿ áîëüøàÿ ïðè äàííûõ n è k. Ýòî ÷èñëî íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå åäèíè÷íîé äëèíû âáëèçè òî÷êè np: np − q ≤ m* ≤ np + p .

Ðàññìîòðèì, êàê âåäóò ñåáÿ áèíîìèàëüíûå âåðîÿòíîñòè ïðè n → ∞, p → 0, np → λ , ò. å. êîãäà ïðîâîäÿò áîëüøîå ÷èñëî íàáëþäåíèé “ðåäêèõ” ñîáûòèé n →∞,p → 0,np =λ  → Pn(k) = C knpkq n − k 

λ k −λ e = P(k). k!

Ïðåäåëüíûå âåðîÿòíîñòè P(k) â ñõåìå íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé P(k) =

λ k −λ e , k = 0, 1, 2,... k!

íàçûâàþòñÿ ïóàññîíîâñêèìè. 18

3.4. Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ Ï ð è ì å ð 1. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À ðàâíà p. Äîêàçàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà (1 – p). Ðåøåíèå. Ïîêàæåì, ÷òî ñîáûòèÿ A è A îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé. Ñîáûòèå A , ïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèþ A, íàñòóïàåò â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñîáûòèå À íå ïîÿâèëîñü. Ïîýòîìó ýòè ñîáûòèÿ íåñîâìåñòíû, ò. å. îíè íå ìîãóò íàñòóïèòü îäíîâðåìåííî â äàííîì îïûòå. Èç îïðåäåëåíèÿ ñîáûòèÿ A ñëåäóåò, ÷òî îáúåäèíåíèå ïðîòèâîïîëîæíûõ ñîáûòèé À è A äàåò äîñòîâåðíîå ñîáûòèå (ñîáûòèå À ïðîèçîéäåò èëè íå ïðîèçîéäåò). Èòàê, ñîáûòèÿ À è A îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé, ò. å. îíè íåñîâìåñòíû è A ∪ A = U . Òåïåðü ïðèìåíèì òåîðåìó ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé, ó÷èòûâàÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòü äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà 1, p(A) + p( A ) = 1. Âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ îáîçíà÷àþò ÷åðåç q. Òàêèì îáðàçîì, q = p( A ) = 1 – p(A) = 1 – p. Ï ð è ì å ð 2. Äâà ñòðåëêà ñòðåëÿþò ïî ìèøåíè. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ìèøåíü ïðè îäíîì âûñòðåëå äëÿ ïåðâîãî ñòðåëêà ðàâíà 0,7, à äëÿ âòîðîãî – 0,8. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè îäíîì çàëïå â ìèøåíü ïîïàäåò òîëüêî îäèí èç ñòðåëêîâ. Ðåøåíèå. Ïóñòü ñîáûòèå À åñòü ïîïàäàíèå â ìèøåíü ïåðâûì ñòðåëêîì, à ñîáûòèå  ïîïàäàíèå â ìèøåíü âòîðûì ñòðåëêîì. Òîãäà ïðîòèâîïîëîæíûå ñîáûòèÿ áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü A – ïðîìàõó ïåðâîãî ñòðåëêà, B – ïðîìàõó âòîðîãî ñòðåëêà. Ñîáûòèå Ñ íàñòóïàåò, êîãäà â ìèøåíü ïîïàäàåò òîëüêî îäèí èç ñòðåëêîâ. Ýòî ñîáûòèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

C = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B), ò. å. ïðîèñõîäèò õîòÿ áû îäíî èç ñîáûòèé: ïåðâûé ñòðåëîê ïîïàäàåò â ìèøåíü, à âòîðîé – íå ïîïàäàåò ( A ∩ B) , ëèáî ïåðâûé ñòðåëîê íå ïîïàäàåò â ìèøåíü, à âòîðîé – ïîïàäàåò (A ∩ B) . Ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé À è  èçâåñòíû, òî ëåãêî âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíûõ ñîáûòèé (ñì. ïðèìåð 1) p( A ) = 1 – 0,7 = 0,3, p( B ) = 1 – 0,8 = 0,2. Ñîáûòèÿ ( A ∩ B) è ( A ∩ B) íåñîâìåñòíû, òàê êàê ïðè ïîÿâëåíèè ïåðâîãî äîëæíî íàñòóïèòü ñîáûòèå À, à ïðè ïîÿâëåíèè âòîðîãî ñîáûòèÿ À äîëæíî íå íàñòóïèòü. Ñòðåëêè ñòðåëÿþò 19

íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, ïîýòîìó ñîáûòèÿ À è  ìîæíî ñ÷èòàòü íåçàâèñèìûìè è èç òåîðåì ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé èìååì p(C ) = p(( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B)) = p( A ∩ B) + p( A ∩ B) = = p( A)p(B) + p( A)p(B) = 0,7 ⋅ 0,2 + 0,3 ⋅ 0,8 = 0,38.

Ï ð è ì å ð 3. ÎÒÊ ïðîâåðÿåò èçäåëèÿ íà ñòàíäàðòíîñòü. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èçäåëèå íåñòàíäàðòíî, ðàâíà 0,1. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîòÿ áû îäíî èç òðåõ ïðîâåðÿåìûõ èçäåëèé íåñòàíäàðòíî. Ðåøåíèå. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå ñîáûòèé: Ai – i-å èçäåëèå íåñòàíäàðòíî (i = 1, 2, 3),  – õîòÿ áû îäíî èç òðåõ ïðîâåðÿåìûõ èçäåëèé íåñòàíäàðòíî. Òîãäà ñîáûòèå Ai íàñòóïèò òîãäà, êîãäà i-å èçäåëèå ñòàíäàðòíî, è âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ ðàâíà p( Ai ) = 1 – p(Ai) = 1 – 0,1 = 0,9. Ñîáûòèÿ B íàñòóïàåò òîãäà, êîãäà íè îäíî èç òðåõ ïðîâåðÿåìûõ èçäåëèé íå ÿâëÿåòñÿ íåñòàíäàðòíûì, ò. å. êîãäà âñå òðè èçäåëèÿ ñòàíäàðòíû. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîáûòèå  ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå B = A1 ∩ A2 ∩ A3 . Ïîñêîëüêó ñòàíäàðòíîñòü èëè íåñòàíäàðòíîñòü èçäåëèÿ íå çàâèñèò îò ðåçóëüòàòîâ ïðîâåðêè äðóãèõ èçäåëèé, òî ñîáûòèÿ A1, A2, A3 ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè, è ïî òåîðåìå óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé èìååì

p(B) = p(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = p(A1)p(A2 )p(A3 ) = 0,93 = 0,729. Òåïåðü âû÷èñëÿåì âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ Â: p(B) = 1 – p(B) = = 1 – 0,729 = 0,271. Èòàê, äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ À õîòÿ áû îäèí ðàç ïðè íåñêîëüêèõ èñïûòàíèÿõ (ñîáûòèå Â), öåëåñîîáðàçíî îïðåäåëèòü ñíà÷àëà âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ B – íåïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ À ïðè ýòèõ èñïûòàíèÿõ, à çàòåì îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ Â. Ï ð è ì å ð 4. Áðîøåíû òðè èãðàëüíûå êîñòè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà âñåõ òðåõ êîñòÿõ ïîÿâèòñÿ ðàçíîå ÷èñëî î÷êîâ. Ïåðâûé ñïîñîá ðåøåíèÿ. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: ñîáûòèå À íàñòóïàåò òîãäà, êîãäà íà âòîðîé èãðàëüíîé êîñòè âûïàäàåò ÷èñëî, îòëè÷íîå îò ÷èñëà, âûïàâøåãî íà ïåðâîé èãðàëüíîé êîñòè. Ñîáûòèå  íàñòóïàåò òîãäà, êîãäà íà òðåòüåé èãðàëüíîé êîñòè âûïàäàåò ÷èñëî, îòëè÷íîå îò ÷èñëà íà ïåðâîé è âòîðîé èãðàëüíûõ êîñòÿõ. Ñîáûòèå Ñ íàñòóïàåò òîãäà, êîãäà íà âñåõ òðåõ êî20

ñòÿõ ïîÿâèòñÿ ðàçíîå ÷èñëî î÷êîâ. Ýòî ñîáûòèå åñòü ïåðåñå÷åíèå ñîáûòèé À è Â, ò. å. C = A ∩ B. Ïî òåîðåìå óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé èìååì p(C ) = p( A ∩ B) = p( A)pA(B).

Âû÷èñëèì âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé À è Â. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À ðàâíà p(A) =

5 . 6

Òàê êàê îáùåå ÷èñëî ñëó÷àåâ (êîëè÷åñòâî ÷èñåë, êîòîðûå ìîãóò âûïàñòü íà âòîðîé êîñòè) ðàâíî 6, à ÷èñëî ñëó÷àåâ, áëàãîïðèÿòíûõ ñîáûòèþ À (êîëè÷åñòâî ÷èñåë, íå ñîâïàäàþùèõ ñ ÷èñëîì, âûïàâøèì íà ïåðâîé êîñòè) ðàâíî 5. Àíàëîãè÷íî, âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ  ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå À ïîÿâèëîñü, ðàâíà pA(B) =

4 2 = . 6 3

Îêîí÷àòåëüíî, âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ Ñ ðàâíà p(C) =

5 2 5 ⋅ = . 6 3 9

Âòîðîé ñïîñîá ðåøåíèÿ. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ Ñ ìîæíî âû÷èñëèòü, ïîëüçóÿñü òîëüêî êëàññè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè. Îáùåå ÷èñëî ñëó÷àåâ, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûì óïîðÿäî÷åííûì öåïî÷êàì èç òðåõ ÷èñåë, ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ 1, 2, … ,6, ðàâíî n = 63 = 216. ×èñëî ñëó÷àåâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ Ñ, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò óïîðÿäî÷åííûì öåïî÷êàì èç òðåõ ðàçëè÷íûõ ÷èñåë, ðàâíî ÷èñëó ðàçìåùåíèé mc = A63 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120. Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ Ñ ðàâíà p(C) =

mc 120 5 = = . 216 9 n

Îáà ñïîñîáà ðåøåíèÿ ïðèâîäÿò ê îäíîìó è òîìó æå ðåçóëüòàòó. Ï ð è ì å ð 5.  ÷èòàëüíîì çàëå èìååòñÿ øåñòü ó÷åáíèêîâ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, èç êîòîðûõ ÷åòûðå â ïåðåïëåòå. Áèáëèîòåêàðü íàóäà÷ó âçÿë òðè ó÷åáíèêà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âñå îíè â ïåðåïëåòå. 21

Ïåðâûé ñïîñîá ðåøåíèÿ. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ ñîáûòèé: À – ïåðâûé ó÷åáíèê â ïåðåïëåòå,  – âòîðîé ó÷åáíèê â ïåðåïëåòå, C – òðåòèé ó÷åáíèê â ïåðåïëåòå, F – âñå âûáðàííûå ó÷åáíèêè â ïåðåïëåòå. Ñîáûòèå F åñòü ïåðåñå÷åíèå ñîáûòèé F = A ∩ B ∩ C .  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ñîáûòèÿ A, B è C íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè, ïîýòîìó ïî òåîðåìå óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé èìååì p(F) = p ( F ) = p(A ∩ B ∩ C) = p(A)pA(B)pA ∩ B(C). Âû÷èñëèì ýòè âåðîÿòíîñòè, èñïîëüçóÿ êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A ðàâíà p ( A) =

mA 4 2 = = . 6 3 n

Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ B ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå A ïðîèçîøëî (ò. å. îñòàëîñü 5 ó÷åáíèêîâ, èç íèõ 3 â ïåðåïëåòå), ðàâíà pA(B) =

3 . 5

Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ C ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèÿ A è B ïðîèçîøëè (ò. å. îñòàëîñü 4 ó÷åáíèêà, èç íèõ 2 â ïåðåïëåòå), ðàâíà pA ∩ B(C ) =

2 1 = . 4 2

Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ F ðàâíà p (F ) =

2 3 1 1 ⋅ ⋅ = . 3 5 2 5

Âòîðîé ñïîñîá ðåøåíèÿ. Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü, èñïîëüçóÿ òîëüêî êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè. Îáùåå ÷èñëî ñëó÷àåâ ðàâíî ÷èñëó ñî÷åòàíèé n = C63 =

6⋅5⋅4 = 20. . 1⋅ 2 ⋅ 3

×èñëî ñëó÷àåâ mF, áëàãîïðèÿòíûõ ñîáûòèþ F, ðàâíà ÷èñëó ñî÷åòàíèé C43 = 4. Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ F ðàâíà p(F) =

mF 4 1 = = . n 20 5

Îáà ñïîñîáà ïðèâîäÿò ê îäíîìó è òîìó æå ðåçóëüòàòó. 22

Ï ð è ì å ð 6. Ðàçðûâ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìîæåò ïðîèçîéòè âñëåäñòâèå âûõîäà èç ñòðîÿ ýëåìåíòà k èëè äâóõ ýëåìåíòîâ k1 è k2, êîòîðûå âûõîäÿò èç ñòðîÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà ñîîòâåòñòâåííî ñ âåðîÿòíîñòÿìè 0,3; 0,2 è 0,2. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü ðàçðûâà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ðåøåíèå. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå ñîáûòèé: A – âûõîä èç ñòðîÿ ýëåìåíòà k, Bi – âûõîä èç ñòðîÿ ýëåìåíòà ki, (i = 1, 2), C – ðàçðûâ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è ñîáûòèå C ïðîèçîéäåò â òîì ñëó÷àå, êîãäà âûéäåò èç ñòðîÿ ýëåìåíò k èëè âûéäóò èç ñòðîÿ äâà ýëåìåíòà k1 è k2. Ïîýòîìó ñîáûòèå C ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå C = A ∪ (B1 ∩ B2 ). Ñîãëàñíî òåîðåìå âåðîÿòíîñòåé èìååì (ñîáûòèÿ A è Bi íå ÿâëÿþòñÿ íåñîâìåñòíûìè) p(C ) = p( A ∪ (B1 ∩ B2 )) = p( A) + p(B1 ∩ B2 ) − p( A ∩ B1 ∩ B2 ).

Òàê êàê ñîáûòèÿ A, B1 è B2 íåçàâèñèìû, òî ïî òåîðåìå óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ïîëó÷èì: p(C ) = p( A) + p(B1)p(B2 ) − p( A)p(B1)p(B2 ) = = 0,3 + 0,2 ⋅ 0,2 − 0,3 ⋅ 0,2 ⋅ 0,2 = 0,328.

23

4. ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÊÀÇÀÍÈß Ê ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÞ ÔÎÐÌÓËÛ ÏÎËÍÎÉ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ È ÔÎÐÌÓËÛ ÁÀÉÅÑÀ 4.1. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è ôîðìóëà Áàéåñà Ïóñòü èìååòñÿ ïîëíàÿ ãðóïïà ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé (ãèïîòåç) H1, H2, …, Hn, ò. å. 1) Hi ∩Hj = V ïðè i≠j, 2) p(H1 ∪ H2 ∪ … ∪ H n ) = p(H1) + p(H2 ) + … + p(H n ) = 1. Òîãäà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè

p(A) = p(H1)pH1(A) + p(H2 )pH2 (A) + … + p(Hn )pH n (A). Ïîëíàÿ ãðóïïà ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ãèïîòåç åñòü ðàçáèåíèå ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà Ω. Îäíîâðåìåííî ïðîèñõîäèò ðàçáèåíèå ñîáûòèÿ A A = ( A ∩ H1) ∪ ( A ∩ H2 ) ∪ … ∪ ( A ∩ H n ).

Êàæäûé ÷ëåí â ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè p(Hi )pHi ( A) äàåò âåðîÿòíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé ÷àñòè ( A ∩ Hi ) ðàçáèåíèÿ ñîáûòèÿ À. Åñëè äî îïûòà âåðîÿòíîñòè ãèïîòåç áûëè ðàâíû p(H1), p(H2 ), … , p(H n ), à â ðåçóëüòàòå îïûòà ïîÿâèëîñü ñîáûòèå A, òî ñ ó÷åòîì ýòîãî ñîáûòèÿ, “íîâûå”, ò. å. óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè ãèïîòåç âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå Áàéåñà pA(Hi ) =

p(Hi )pHi ( A) p(H1)pH1( A) + … + p(H n )pH n ( A)

=

p(Hi )pHi ( A) p( A)

.

Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà Áàéåñà äàåò âîçìîæíîñòü “ïåðåñìîòðåòü” âåðîÿòíîñòè ãèïîòåç ñ ó÷åòîì íàáëþäåíèÿ ðåçóëüòàòà îïûòà. 4.2. Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ Ï ð è ì å ð 1.  êàæäîé èç äâóõ óðí ñîäåðæèòñÿ 6 ÷åðíûõ è 4 áåëûõ øàðà. Èç ïåðâîé óðíû íàóäà÷ó èçâëå÷åí îäèí øàð è ïåðåëîæåí âî âòîðóþ óðíó, ïîñëå ÷åãî èç âòîðîé óðíû íàóäà÷ó èçâëå÷åí îäèí øàð. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî øàð ÷åðíûé. 24

Ðåøåíèå. Ââåäåì ïîëíóþ ãðóïïó íåñîâìåñòíûõ ãèïîòåç: H1 – øàð, èçâëå÷åííûé èç ïåðâîé óðíû, ÿâëÿåòñÿ ÷åðíûì, H2 – øàð, èçâëå÷åííûé èç ïåðâîé óðíû, ÿâëÿåòñÿ áåëûì. Âåðîÿòíîñòè ýòèõ íåñîâìåñòíûõ ãèïîòåç ðàâíû p(H1) =

6 3 4 2 = , p(H2 ) = = . 10 5 10 5

Íàéäåì óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ A (èç âòîðîé óðíû èçâëå÷åí ÷åðíûé øàð) ïðè âûïîëíåíèè ãèïîòåç H1 è H2. Ïðè ïîÿâëåíèè ñîáûòèÿ H1 âî âòîðîé óðíå áóäåò ñîäåðæàòüñÿ 11 øàðîâ: 7 ÷åðíûõ è 4 áåëûõ. Ïîýòîìó óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå H1 ïðîèçîøëî, áóäåò ðàâíà 7 pH1( A) = . 11 Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿåì óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå H2 ïðîèçîøëî.  ýòîì ñëó÷àå âî âòîðîé 6 óðíå 11 øàðîâ: 6 ÷åðíûõ è 5 áåëûõ, ïîýòîìó pH21( A) = . 11 Ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè âû÷èñëÿåì âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A p( A) = p(H1)pH1( A) + p(H2 )pH2 ( A) =

3 7 2 6 3 ⋅ + ⋅ = . 5 11 5 11 5

Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A, èçâëå÷åíèÿ ÷åðíîãî øàðà èç âòîðîé óðíû, ðàâíà âåðîÿòíîñòè èçâëå÷åíèÿ ÷åðíîãî øàðà èç ïåðâîé óðíû. Ï ð è ì å ð 2. Òðè îðóäèÿ ïðîèçâîäÿò ñòðåëüáó ïî òðåì öåëÿì. Êàæäîå îðóäèå âûáèðàåò ñåáå öåëü ñëó÷àéíûì îáðàçîì è íåçàâèñèìî îò äðóãèõ. Öåëü, îáñòðåëÿííàÿ îäíèì îðóäèåì, ïîðàæàåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,8. Íàéòè âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî èç òðåõ öåëåé áóäóò ïîðàæåíû äâå, à òðåòüÿ – íåò. Ðåøåíèå. Ââåäåì ïîëíóþ ãðóïïó íåñîâìåñòíûõ ãèïîòåç: H1 – îáñòðåëÿíû âñå òðè öåëè; H2 – âñå îðóäèÿ ñòðåëÿþò ïî îäíîé öåëè; H3 – äâå öåëè èç òðåõ îáñòðåëÿíû, à òðåòüÿ – íåò. Ýòè ñîáûòèÿ íåñîâìåñòíû è îíè îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó, òàê êàê èõ îáúåäèíåíèå – åñòü äîñòîâåðíîå ñîáûòèå. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ H1 ðàâíà p(H1) = 1 ⋅

2 1 2 ⋅ = , 3 3 9

25

òàê êàê ïåðâîå îðóäèå âñåãäà áóäåò ñòðåëÿòü ïî êàêîé-òî öåëè, 2 âòîðîå îðóäèå áóäåò ñòðåëÿòü ïî äðóãîé öåëè ñ âåðîÿòíîñòüþ , 3 à òðåòüå îðóäèå – ïî îñòàâøåéñÿ íåîáñòðåëÿííîé öåëè ñ âåðî1 ÿòíîñòüþ . Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ H2 ðàâíà 3 p(H2 ) = 1 ⋅

1 1 1 ⋅ = . 3 3 9

Òàê êàê p(H1) + p(H2) + p(H3) = 1, òî p(H3 ) = 1 − 2 − 1 = 2 . 9 9 3 Ñîáûòèå À íàñòóïàåò òîãäà, êîãäà ïîðàæåíû ðîâíî äâå öåëè èç òðåõ. Âû÷èñëèì óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîèçîøëî îäíî èç ñîáûòèé Hi (i = 1, 2, 3). Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîèçîøëî ñîáûòèå H1, ðàâíà

pH1(A) = 0,2 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8 + 0,8 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8 + 0,8 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 = 0,384. Ïåðâîå ñëàãàåìîå ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà íå ïîðàæåíà ïåðâàÿ öåëü, âòîðîå – íå ïîðàæåíà âòîðàÿ öåëü, òðåòüå – íå ïîðàæåíà òðåòüÿ öåëü, à îñòàëüíûå äâå öåëè ïîðàæåíû. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîèçîøëî ñîáûòèå H2, ðàâíà íóëþ pH2 ( A) = 0,

Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîèçîøëî ñîáûòèå H3, ðàâíà

pH3 (A) = 0,8 ⋅ (1 − 0,22) = 0,768.  ýòîì ñëó÷àå ïî îäíîé öåëè ñòðåëÿåò îäíî îðóäèå (âåðîÿòíîñòü ïîðàæåíèÿ ðàâíà 0,8), ïî äðóãîé öåëè ñòðåëÿþò äâà îðóäèÿ (âåðîÿòíîñòü ïîðàæåíèÿ – õîòÿ áû îäíîãî ïîïàäàíèÿ – ðàâíà 1– 0,22). Ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè íàõîäèì âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À p( A) =

2 1 2 ⋅ 0,384 + ⋅ 0 + ⋅ 0,768 = 0, 5973. 9 9 3

Ï ð è ì å ð 3. Íà âõîä ðàäèîëîêàöèîííîãî óñòðîéñòâà ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,2 ïîñòóïàåò ñìåñü ïîëåçíîãî ñèãíàëà ñ ïîìåõîé, à ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,8 – òîëüêî îäíà ïîìåõà. Åñëè ïîñòóïàåò ïîëåç26

íûé ñèãíàë ñ ïîìåõîé, òî óñòðîéñòâî ðåãèñòðèðóåò íàëè÷èå êàêîãî-òî ñèãíàëà ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,95, à åñëè ïîìåõà – ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,02. Èçâåñòíî, ÷òî óñòðîéñòâî çàðåãèñòðèðîâàëî íàëè÷èå êàêîãî-òî ñèãíàëà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â åãî ñîñòàâå èìååòñÿ ïîëåçíûé ñèãíàë. Ðåøåíèå. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî ìîæíî ââåñòè ñëåäóþùóþ ïîëíóþ ãðóïïó íåñîâìåñòíûõ ãèïîòåç: H1 – ïîëåçíûé ñèãíàë íà âõîäå èìååòñÿ, H2 – ïîëåçíîãî ñèãíàëà íà âõîäå íåò. Âåðîÿòíîñòü ýòèõ ñîáûòèé ðàâíà p(H1) = 0,2, p(H2) = 0,8, à èõ ñóììà äàåò åäèíèöó. Ñîáûòèå À íàñòóïàåò òîãäà, êîãäà óñòðîéñòâî ðåãèñòðèðóåò íàëè÷èå êàêîãî-òî ñèãíàëà. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå H1 ïðîèçîøëî, ðàâíà

pH1(A) = 0,95. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå H2 ïðîèçîøëî, ðàâíà

pH2 (A) = 0,02. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è íóæíî îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü íàëè÷èÿ ïîëåçíîãî ñèãíàëà, åñëè óñòðîéñòâî çàðåãèñòðèðîâàëî êàêîé-òî ñèãíàë, ò. å. óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü pA(H1) . Ýòà âåðîÿòíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Áàéåñà pA(H1) =

p(H1)pH1( A) p(H1)pH!( A) + p(H2 )pH2 ( A)

=

0,2 ⋅ 0, 95 = 0, 922. 0,2 ⋅ 0,95 + 0,8 ⋅ 0, 002

Ï ð è ì å ð 4. Áàòàðåÿ èç òðåõ îðóäèé ïðîèçâåëà çàëï, ïðè÷åì äâà ñíàðÿäà ïîïàëè â öåëü. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òîáû ïåðâîå îðóäèå äàëî ïîïàäàíèå, åñëè âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â öåëü ïåðâûì, âòîðûì è òðåòüèì îðóäèÿìè ðàâíû 0,4; 0,3; 0,5. Ðåøåíèå. Ââåäåì ïîëíóþ ãðóïïó íåñîâìåñòíûõ ãèïîòåç: H1 – ïåðâîå îðóäèå ïîïàëî â öåëü, H2 – ïåðâîå îðóäèå íå ïîïàëî â öåëü. Âåðîÿòíîñòè ýòèõ ñîáûòèé ðàâíû p(H1) = 0,4, p(H2) = 1 – 0,4 = 0,6. Ñîáûòèå À íàñòóïàåò òîãäà, êîãäà äâà ñíàðÿäà ïîïàäàåò â öåëü. Ïîýòîìó óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå H1 ïðîèçîøëî (ïåðâîå îðóäèå ïîïàëî â öåëü) áóäåò ñóììîé äâóõ ñëàãàåìûõ pH1( A) = 0,3 ⋅ (1 − 0, 5) + (1 − 0,3) ⋅ 0, 5 = 0, 5.

27

Ïåðâîå ñëàãàåìîå ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà âòîðîå îðóäèå ïîïàäàåò â öåëü, à òðåòüå íå ïîïàäàåò. Âòîðîå ñëàãàåìîå ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà ïîïàäàåò â öåëü òðåòüå îðóäèå, à âòîðîå íå ïîïàäàåò. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå H2 ïðîèçîøëî (ïåðâîå îðóäèå íå ïîïàëî â öåëü), ðàâíà pH2 ( A) = 0,3 ⋅ 0, 5 = 0,15,

òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ïîïàäàåò â öåëü âòîðîå è òðåòüå îðóäèÿ. Ïî ôîðìóëå Áàéåñà îïðåäåëÿåì èñêîìóþ âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü ïåðâîãî îðóäèÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî äâà ñíàðÿäà ïîïàëè â öåëü pA(H1) =

28

p(H1)pH1( A) p(H1)pH!( A) + p(H2 )pH2 ( A)

=

0, 4 ⋅ 0, 5 = 0, 69. 0, 4 ⋅ 0, 5 + 0,6 ⋅ 0,15

5. ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÊÀÇÀÍÈß ÏÎ ÒÅÌÅ ÑËÓ×ÀÉÍÛÅ ÂÅËÈ×ÈÍÛ 5.1. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïîä ñëó÷àéíîé ïîíèìàåòñÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ â ðÿäå ïîâòîðíûõ îïûòîâ ìîæåò ïðèíèìàòü ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ è â êàæäîì îñóùåñòâëåíèè îïûòà ïðèíèìàåò îäíî è òîëüêî îäíî çíà÷åíèå, çàðàíåå íåèçâåñòíî êàêîå (çàâèñÿùåå îò ñëó÷àéíîãî èñõîäà îïûòà). Òàêîé îïòèìàëüíîé õàðàêòåðèñòèêå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ξ íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ ξ = ξ(ω), ω ∈ Ω , îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå Ω ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è, äëÿ êîòîðîé îïðåäåëåíà âåðîÿòíîñòü p(ξ ∈ B) = p{ω : ξ(ω) ∈ B} ïðèíàäëåæíîñòè ξ êàæäîìó èç çàäàííûõ ìíîæåñòâ B ÷èñëîâîé îñè (B ∈ R1).  êà÷åñòâå ìíîæåñòâ B îáû÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ èíòåðâàëû âèäà (a, b), [a, b), (a, b], [a, b] è èõ îáúåäèíåíèÿ. Âåðîÿòíîñòü p(ξ ∈B) ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà, åñëè èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü p(ξ < x) = p{ω: ξ(ω) < x}, B = (–∞; x). Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ(x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü p(ξ < x), ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ôóíêöèÿ ïåðåìåííîé x (x∈R1)

Fξ(x) = p(ξ < x)

(5.1)

(åñëè íå âîçíèêàåò íåäîðàçóìåíèé, òî ïèøóò Fξ(x) = F(x) ). Ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ: Fξ( x) ≥ 0 – íåîòðèöàòåëüíîñòü. F( x2 ) ≥ F( x1) ïðè x2 ≥ x1 , F(x) – íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ. F(−∞) = 0, F(∞) = 1.

lim F(x − ε) = F(x) – íåïðåðûâíà ñëåâà (â òî÷êàõ ðàçðûâà

ε> 0, ε→ 0

íåïðåðûâíîñòè). Åñëè x = xk – òî÷êà ðàçðûâà íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè F(x), òî âåëè÷èíà ñêà÷êà ðàâíà âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ {ξ = xk} F( x k + 0) − F( x k ) = p(ξ = x k ).

(5.2)

Åñëè â òî÷êå x = xk ôóíêöèÿ F(x) íåïðåðûâíà, òî p(ξ = xk ) = 0.

(5.3) 29

Çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé âèäà p(ξ ∈ B) ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F(x) ðåøàþòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñëåäóþùèõ ôîðìóë: 1. p(ξ ∈ [a, b)) = p(a ≤ ξ < b) = F(b) − F(a); 2. p(ξ ∈

m

∪ [ai ,

bi )) =

i =1

(5.4)

m

∑ p(ξ ∈ [ai , bi )).

(5.5)

i =1

äëÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëîâ [ai, bi) (i = 1, 2, … , m). 5.2. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîé, åñëè ìíîæåñòâî åå âîçìîæíûõ çíà÷åíèé êîíå÷íî ({xi}1n ) èëè ñ÷åòíî ({xi}1∞ ) (ìíîæåñòâî Ω äèñêðåòíî).  ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì è ñâîéñòâîì (5.2) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé è îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì òî÷åê ðàçðûâà xi (i = 1, 2, …, n) è âåëè÷èíîé ñêà÷êîâ (5.2) â ýòèõ òî÷êàõ. Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè xi è pi = p(ξ = x i) (i = 1, 2, … , n) íàçûâàåòñÿ çàêîíîì (ðÿäîì) ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: xi

x1

x2

…

…

xn

pi

p1

p2

…

…

pn

 ýòîì ñëó÷àå âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòè p(ξ∈[a, b)) ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû, âûòåêàþùåé èç (5.4) è ñâîéñòâ F(x) p(ξ∈[a, b)) =

∑

xi ∈[a,b) n

∑ pi = ∑ i =1

xi ∈(-∞,∞)

pi ;

p(ξ = xi ) = 1.

(5.6)

Îïðåäåëåíèå. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ, ïðèíèìàþùåé âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ xi ñ âåðîÿòíîñòÿìè pi = p(ξ = xi) (i = 1, 2, …, n), íàçûâàåòñÿ íåñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà M[ξ], îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìóëîé M[ξ] = mξ =

n

∑ xi pi , i =1

ãäå n – ÷èñëî âîçìîæíûõ çíà÷åíèé. 30

(5.7)

Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ: 1) M[c] = c , åñëè c – íåñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà; 2) M[cξ] = cM[ξ] ; 3) M[ξ + η] = M[ξ] + M[η] . (5.8) Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η, ÿâëÿþùåéñÿ ôóíêöèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ: η = ϕ(ξ),

îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé M[η] = mη =

n

∑ ϕ(xi )pi .

(5.9)

i =1

Îïðåäåëåíèå. Äèñïåðñèåé Dξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ íåñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìóëîé: Dξ = M[ξ% 2 ] =

n

∑ (xi − mξ )2 pi ,

(5.10)

i =1

ãäå ξ% = ξ − mξ öåíòðèðîâàííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Äëÿ âû÷èñëåíèé äèñïåðñèè óäîáåí äðóãîé âàðèàíò ôîðìóëû (5.10) •

Dξ = M[(ξ)2 ] = M[(ξ − Mξ )2 ] = M[ξ2 ] − M2[ξ] =

n

∑ xi2 pi − i =1

mξ2 .

(5.11)

Âåëè÷èíà σξ = Dξ íàçûâàåòñÿ ñðåäíèì êâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Íà÷àëüíûå ìîìåíòû αk è öåíòðàëüíûå ìîìåíòû βk îïðåäåëÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèåì (5.9) ôîðìóëàìè α k = M[ξk ] = β k = M[ξ% k ] =

n

∑ xik pi i =1 n

,

∑ (xi − mξ )k pi ,

(k = 1, 2, …); (k = 1, 2, …).

(5.12)

i =1

5.3. Íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé, åñëè åå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F(x) íåïðåðûâíà ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ x. Äëÿ ëþáîãî èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé x íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (5.3); ïîýòîìó èìååò 31

ñìûñë ëèøü âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé âèäà p(ξ ∈ B), ãäå B = [a, b) êîíå÷íûé èíòåðâàë (èëè îáúåäèíåíèå òàêèõ èíòåðâàëîâ). Äëÿ âû÷èñëåíèÿ óêàçàííîé âåðîÿòíîñòè èñïîëüçóåòñÿ îáùàÿ ôîðìóëà (5.4). Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé (ðàñïðåäåëåííîé ñ íåêîòîðîé ïëîòíîñòüþ), åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ èíòåãðèðóåìàÿ, íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ f(x), ÷òî ïðè ëþáîì x x

F( x) =

∫ f(x)dx.

-∞

(5.13)

Ôóíêöèÿ f(x), íàçûâàåìàÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, îïðåäåëÿåòñÿ î÷åâèäíîé ôîðìóëîé f ( x) =

dF( x) , dx

(5.14)

è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì, ñëåäóþùèì èç ñâîéñòâ F(x): 1) f ( x) ≥ 0 ; ∞

2)

∫ f(x)dx = 1;

−∞

3) f (±∞) = 0 . Îáû÷íî íåïðåðûâíîé íàçûâàþò àáñîëþòíî íåïðåðûâíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó.  ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (5.4) è (5.13) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî b

p(a ≤ ξ < b) =

∫ f (x)dx. a

Îïðåäåëåíèå. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ íåñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì: ∞

M[η] = mη =

∫

−∞

xf ( x)dx.

(5.15)

Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ïðåæíèìè ñîîòíîøåíèÿìè (5.8). Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ôóíêöèè η = ϕ(ξ) íàõîäèòñÿ ïî àíàëîãè÷íîé ôîðìóëå: 32

∞

M[ϕ(ξ)] =

∫ ϕ(x)f(x)dx.

−∞

(5.16)

Äëÿ äèñïåðñèè Dξ èìååì: Dξ = M[ξ% 2 ] =

∞

∫ (x − mξ ) f(x)dx 2

(5.17)

-∞

èëè ∞

Dξ = M[ξ2 ] − M2[ξ] =

∫x

2

f ( x)dx − mξ2 .

(5.18)

-∞

Íà÷àëüíûå αk è öåíòðàëüíûå ìîìåíòû βk îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âûðàæåíèÿìè: ∞

α k = M[ξ k ] =

∫

x k f ( x)dx (k = 1, 2, …);

−∞

β k = M[ξ% k ] =

∞

∫ (x − mξ )

k

f (x )dx (k = 1, 2, …).

(5.19)

-∞

5.4. Ôóíêöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Âåëè÷èíà η, ÿâëÿþùàÿñÿ ôóíêöèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η = ϕ(ξ), òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Îñíîâíûå çàäà÷è ñâîäÿòñÿ ê îïðåäåëåíèþ åå õàðàêòåðèñòèê – çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ïî àíàëîãè÷íûì õàðàêòåðèñòèêàì ñëó÷àéíîãî àðãóìåíòà. Ïóñòü ξ – äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, çàäàííàÿ çàêîíîì (ðÿäîì) ðàñïðåäåëåíèÿ xi; pi = p(ξ = xi), (i = 1, 2, … ,n). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ yi ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè yi = ϕ( xi ) è p(η = yi ) = p(ξ = xi ) = pi , ïîëó÷àåì çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ η: yi = ϕ( xi ) , pi = p(ξ = xi ) , (i = 1, 2, … ,n)

(5.20)

Ïðè íåîäíîçíà÷íîñòè ôóíêöèè ϕ(ξ) íåñêîëüêèì xi îòâå÷àåò îäíî yj (j = 1, 2, … , m, m < n ), ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè pi ñóììèðóþòñÿ. 33

Äëÿ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû, âûòåêàþùèå èç (5.9):

% 2] = Dη = M[η

n

∑ ϕ(xi )pi ;

(5.21)

∑ [ϕ(xi ) − mη]2 pi .

(5.22)

M[η] = mη =

i =1

n

i =1

5.5. Ïðèìåðû íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè) Ðàñïðåäåëåíèåì Áåðíóëëè íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ – ÷èñëà óñïåõîâ â ñåðèè èç n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé.  ÷àñòíîñòè, ýòà âåëè÷èíà âîçíèêàåò, êîãäà ïðîâîäÿò íåñêîëüêî îïûòîâ ïî íàáëþäåíèþ ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ À; òîãäà âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ p = P(A). Âåðîÿòíîñòè îòäåëüíûõ çíà÷åíèé ξ = 0,1,2, ..., n íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè, è âñå âìåñòå îáðàçóþò ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ xk

pk

0

1

qn

npqn–1

...

k

...

n

...

k n− k C knp q

...

pn

Óñëîâèå íîðìèðîâêè äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè âûïîëíåíî – ïî ñâîéñòâó ÷èñåë ñî÷åòàíèÿ C kn n

n

k =0

k =0

∑ pk = ∑ C knpkq n − k = (p + q )

n

= 1n = 1.

×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî íàéòè ðàçíûìè ñïîñîáàìè: ëèáî â ñîîòâåòñòâèè ñ îáùèìè ôîðìóëàìè (5.7), (5.11); ëèáî ïðåäñòàâèòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ êàê ñóììó íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξk, îòâå÷àþùèõ êàæäîìó îòäåëüíîìó èñïûòàíèþ, è âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñâîéñòâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè. Î÷åâèäíî, ÷òî ξk ðàâíà íóëþ ñ âåðîÿòíîñòüþ q =1–p è ðàâíà åäèíèöå ñ âåðîÿòíîñòüþ p. Åå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè âû÷èñëÿþòñÿ íåìåäëåííî:

M[ξk ] = 0 ⋅ (1 − p) + 1 ⋅ p = p , 34

D[ξk ] = 02 ⋅ (1 − p) + 12 ⋅ p − p2 = pq.

Òîãäà äëÿ ñàìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mξ =

n

∑ Mξ

k =1

k

=

n

∑ p = np

k =1

ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëà îïûòîâ íà âåðîÿòíîñòü óñïåõà â îäíîì îïûòå, à äèñïåðñèÿ Dξ =

n

∑ Dξ

k =1

k

=

n

∑ pq = npq

k =1

ñîâïàäàåò ñ ïðîèçâåäåíèåì ÷èñëà èñïûòàíèé íà âåðîÿòíîñòè ïîëîæèòåëüíîãî è îòðèöàòåëüíîãî èñõîäîâ. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà Ïðåäåëüíûì ñëó÷àåì ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè ïðè n → ∞, p → 0, np = λ ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà xk

0

1

...

pk

e–λ

λe–λ

...

k

λ k −λ e k!

... ...

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî íàéòè, èñïîëüçóÿ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä â ôîðìóëàõ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè:

Mξ =

lim np = λ; Dξ =

n→∞,np=λ

lim npq = λ.

n→∞,np=λ

Ðåçóëüòàò ìîæíî ïðîâåðèòü ïðÿìûì ñ÷åòîì ïî ôîðìóëàì (5.7), (5.11). Íàïðèìåð, äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ èìååì Mξ =

∞

∞

k −1

∑ k λk ! e−λ = λ ∑ (kλ − 1)! e−λ = λeλe−λ = λ.

k =0

k

k =0

Ïîêàçàòåëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ Â òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ îäíîé çàÿâêè ðàñïðåäåëåíî ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó, ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè êîòîðîãî èìååò âèä  −µx fξ( x) =  µe , 0,

x ≥ 0, x