Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ-2007. Математика

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕДИНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ

ЕГЭ-2007

МАТЕМАТИКА

Москва

ББК 74.202.5 УДК 37.1 М20

Составитель: Клово А.Г.

Экзаменационные материалы для подготовки государственному экзамену. ЕГЭ-2007. М.: ООО «РУСТЕСТ», 2006.

к единому Математика.

В книге представлены тесты, составленные по спецификации контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена в 2006 году по математике. Даны ответы для всех представленных тестов. Сборник предназначен для самостоятельной подготовки выпускников общеобразовательных учреждений к единому государственному экзамену, а также в помощь преподавателям и методистам, использующим в своей работе тестовый способ контроля знаний.

Издание подготовлено и осуществлено по предоставленным ФГУ «Федеральный центр тестирования».

материалам,

ISBN 5-94635-296-2 (978-5-94635-296-3)

© ФГУ «Федеральный центр тестирования», 2006 © ООО «РУСТЕСТ», 2006 © Обложка - дизайн Полиграфического Дома «Коммерсант», 2006

Содержание 1. Введение

4

2. Как проводится ЕГЭ >

6

3. Спецификация экзаменационной работы по математике для выпускников XI (XII) классов общеобразовательных учреждений 2006 г

11

4. Инструкция по выполнению работы

24

5

Вариант № 1

25

6

Вариант № 2

30

7. Вариант № 3

35

8. Вариант № 4

40

9. Вариант № 5

46

10. Вариант № 6

51

11. Вариант № 7

56

12. В а р и а н т е 8

61

13. Вариант № 9

67

14. В а р и а н т е 10

72

15. Обсуждение и решение варианта № 10

77

16. Правильные ответы к вариантам по математике

100

17. Общие критерии оценки выполнения заданий с развернутым ответом

102

18. Выполнение заданий различного типа при проведении ЕГЭ

104

19. Соответствие первичных и тестовых баллов 20. Таблица соответствия тестовых баллов по результатам ЕГЭ отметкам по 5-ти балльной шкале в 2006 г

106

3

107

ВВЕДЕНИЕ В 2006 году в эксперименте по введению единого государственного эк­ замена (ЕГЭ) участвовал 81 субъект Российской Федерации. Смысл эксперимента состоит в совмещении итоговой аттестации выпу­ скников общеобразовательных учреждений со вступительными испыта­ ниями при поступлении в государственные вузы России. Все действия по проведению ЕГЭ регламентируются Министерством образования и науки Российской Федерации. Оценка учебных достижений выпускников проводится стандартизованно - в максимально однородных условиях и с применением максимально однородных по содержанию и сложности экзаменационных материалов. Каждый вариант экзаменационных материалов ЕГЭ содержит не­ сколько десятков заданий, сформулированных в трех специальных формах. Задания с выбором ответов (тип А). Каждому из таких заданий при­ лагаются по четыре равнопривлекательных вариантов ответов. Участник ЕГЭ должен указать один, по его мнению, верный ответ из них. В заданиях такого типа теоретически возможно случайно угадать верный ответ. Задания с кратким ответом (тип В), который должен быть кратко сформулирован и записан в бланке ответов в виде слова или числа Уга­ дать при этом верный ответ практически невозможно. Проверка ответов типа А и В осуществляется автоматизированно путем сравнения с эталоном или несколькими эталонами, которые обозначают одно и то же. Например, ответы «Иван Грозный» и «Иван IV» в тесте по истории России считаются одинаковыми. Задания с развернутым ответом (тип С) - предлагают участнику ЕГЭ записать ответ в развернутой форме. Фактически это небольшая письменная контрольная работа, которая проверяется специально подго­ товленными экспертами. При проведении ЕГЭ учащиеся получают тестовые задания, запечатан­ ные в индивидуальный пакет. В каждом пакете находятся также три цвет­ ных бланка ответов и бланк черновика. Все три бланка ответов имеют уни­ кальную нумерацию в виде штрихкодов. Бланк регистрации, в котором участник ЕГЭ самостоятельно записы­ вает свои: фамилию, имя, отчество, серию и номер паспорта и др , а также по указанию организатора в аудитории записывает коды региона, района, школы и пр. В бланке регистрации обязательно ставится подпись участника ЕГЭ. Бланк ответов № 1, в котором учащийся отмечает свои ответы на за­ дания типов А и В. В этом бланке запрещено указывать сведения об участ­ нике ЕГЭ. Бланк должен быть обязательно им подписан Бланк ответов № 2, в котором участник ЕГЭ записывает свои ответы на задания в свободной форме. Бланк может заполняться с обеих сторон. В

4

бланке запрещено указывать сведения об участнике ЕГЭ Важной особенностью бланков ЕГЭ является их жесткая сгруппированность по три бланка из каждого индивидуального пакета Бланки отве­ тов сконструированы таким образом, что в запечатанном полиэтиленовом пакете видны штрихкоды всех трех бланков. Номера штрихкодов считываются сканерами и заносятся «тройками» в базу данных Федерального центра тестирования. После проведения ЕГЭ бланки ответов разного вида собираются отдельно, запечатываются в специальные доставочные пакеты и доставляются в различные пункты обработки информации Бланки регистрации и бланки № 1 обрабатываются автоматизированно почти без участия человека. Объединение данных из трех видов бланков ответов производится только в Москве в Федеральном центре тестирования на основании хра­ нящихся в базе данных номеров штрихкодов трех бланков ответов из ин­ дивидуальных пакетов. Проверка правильности ответов и выставление тестовых баллов производится также в Федеральном центре тестирования. Результаты ЕГЭ, представленные в стобалльной шкале, выдаются вы­ пускникам в специальных свидетельствах. Одновременно Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки издает распоряжения о со­ ответствии оценок ЕГЭ (в стобалльной шкале) отметкам итоговой аттеста­ ции (по пятибалльной шкале) по различным предметам. В 2006 г. результаты ЕГЭ, согласно приказа Министерства образования и науки России, учитывались в качестве оценок вступительных испытаний при поступлении в большинство государственных вузов тех регионов Рос­ сии, в которых проводился эксперимент по ЕГЭ. Кроме этого, многие вузы других регионов добровольно принимали результаты ЕГЭ в качестве оце­ нок вступительных испытаний. Значимость ЕГЭ как для отдельного учащегося, так и для системы об­ разования в целом, трудно переоценить. Только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе по­ зволят выпускнику хорошо подготовиться к участию в ЕГЭ и успешно ре­ шить судьбоносную проблему при переходе на более высокий уровень обучения в вуз. Материалы настоящего сборника составлены высококвалифицирован­ ными специалистами Федерального цен ф а тестирования. Ознакомление и работа с ними безусловно будут полезны выпускникам, которые в 2007 г. будут участвовать в ЕГЭ. Внедрение в практику Российского образования тестовых методов кон­ троля знаний повысит объективность и надежность оценок учебных дос­ тижений учащихся, что безусловно приведет к повышению качества рос­ сийского образования.

5

КАК ПРОВОДИТСЯ ЕГЭ Для того, чтобы наилучшим образом подготовиться к единому государственному экзамену (ЕГЭ), надо не только иметь хорошие знания по предмету, но также хорошо представлять себе собственно процедуру экзамена, знать какие и когда действия при этом происходят. Задолго до начала ЕГЭ - обычно в январе-феврале соответствующего года Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки России утверждает расписание ЕГЭ. Первый экзамен проводится обычно 20-22 мая, последний - 18-20 июня. Орган управления образованием субъекта Федерации, в котором проживает выпускник, заранее объявляет перечень предметов, по которым итоговая аттестация может проводиться только в форме ЕГЭ, и перечень предметов, по которым выпускник может самостоятельно определять тип экзамена - в форме ЕГЭ или в традиционной форме. Выпускники должны заранее определить по каким предметам они будут сдавать экзамены в форме ЕГЭ, а по каким в традиционной форме. По каждому предмету экзамен в форме ЕГЭ можно сдавать только один раз. Полученные результаты могут учитываться при приеме в большинство вузов России. В некоторые вузы прием студентов проводится исключительно по результатам ЕГЭ. О своем участии в ЕГЭ по выбранным предметам выпускники заранее сообщают в письменной форме администрации своей школы. В конце апреля для будущих участников ЕГЭ почти во всех регионах России проводится пробный экзамен, который по процедуре проведения и тестам ничем не отличается от ЕГЭ, который будет проводиться в маеиюне. Результаты пробного экзамена обычно объявляются учащимся в середине мая в виде количества баллов, определенных как сумма верных ответов на задания типов А и В и количества баллов, выставленных экспертами за ответы на задания в свободной форме. В середине мая будущие участники ЕГЭ в своих школах получат пропуска, в которых будет указан адрес назначенного им пункта проведения ЕГЭ, даты проведения экзаменов по выбранным предметам и время начала экзаменов. В пропусках написаны правила участия в ЕГЭ, приведены изображения и образцы правильно заполненных бланков ЕГЭ.

6

Советуем внимательно ознакомиться с содержанием пропуска, так как в нем приведено много полезной информации. В школах учащимся объявляют порядок сбора у пункта проведения ЕГЭ (ППЭ). Если от места жительства ученика до ППЭ при самостоятельном передвижении ученика потребуется более одного часа времени, то администрация школы (муниципальный орган управления образованием) должна организовать доставку учеников до ППЭ на специальном транспорте. В день экзамена все учащиеся должны прибыть в пункт проведения ЕГЭ не позднее, чем за полчаса до его начала. Каждый учащийся должен иметь при себе паспорт, пропуск и гелевую авторучку черного цвета. Ученики группируются во дворе ППЭ классами. Каждый класс сопровождают специально назначенные педагоги из той школы, в которой ученики обучаются. Педагоги должны оказывать помощь ученикам в затруднительных ситуациях. Для проведения ЕГЭ в каждую аудиторию ППЭ заранее назначаются специально подготовленные организаторы. Как правило, это учителя других школ, среди которых не должно быть преподавателейпредметников по тому предмету, по которому проводится экзамен. Организаторы выдают педагогам, сопровождающим выпускников, списки, в которых для каждого участника ЕГЭ указаны предназначенные ему номера аудитории и посадочного места. Ученики переходят к тем организаторам, которые держат в руках таблички с номерами соответствующих аудиторий. Организаторы разводят группы учеников по аудиториям. При входе в аудитории организаторы проверяют личности выпускников, которые обязаны предъявить им свои паспорт и пропуск. Каждый выпускник должен занять назначенное ему в аудитории место. Организаторы объясняют правила проведения экзамена и его длительность. Руководитель ППЭ или его помощники приносят в класс доставочный пакет, в котором находятся экзаменационные материалы. Пакет показывают каждому ученику для того, чтобы они удостоверились в целостности его упаковки. Пакет публично вскрывается и из него извлекают 15 индивидуальных полиэтиленовых пакетов и три доставочных

7

пакета для обратной отправки бланков ЕГЭ на обработку. Каждый индивидуальный пакет предназначен для отдельного участника ЕГЭ. В пакете содержатся: - бланки ЕГЭ (регистрационный и бланки № 1 и № 2), - тест ЕГЭ, - инструкция по работе с тестом, - бланк черновика. Все три бланка ЕГЭ имеют в верхней части различные штрихкоды. Тройка номеров штрихкодов из каждого индивидуального пакета перед отправлением в регионы сканируется и хранится в базе данных Федерального центра тестирования. Только в одном бланке - регистрационном, учащийся может записать свою фамилию и паспортные данные. В остальных бланках ЕГЭ указывать какую-либо информацию об участнике ЕГЭ запрещено. Обработка бланков после проведения ЕГЭ производится в разных местах. Объединить информацию, записанную на разных бланках, возможно только с помощью тройки штрихкодов из базы данных Федерального центра тестирования. Поэтому учащимся категорически запрещено обмениваться бланками ЕГЭ. Если это случайно или специально произойдет, то собрать нужную тройку бланков такого небрежного учащегося среди десятков тысяч других бланков ЕГЭ будет практически невозможно. Результаты ЕГЭ будут утеряны со всеми печальными последствиями для нерях. Участники ЕГЭ по указаниям организаторов заполняют бланки регистрации. После этого на доске записывается время начала и окончания экзамена. Учащиеся обращаются к тестам и начинают заполнять бланки ЕГЭ. Тесты ЕГЭ принято называть контрольными измерительными материалами (КИМ) ЕГЭ. Количество используемых вариантов КИМ очень велико. В каждом классе на ЕГЭ практически не бывает двух одинаковых вариантов КИМ. Поэтому не следует тратить время на поиск теста-двойника. Надо внимательно читать задания своего теста и заполнять бланки ответов.

8

Структура предлагаемых тестов (КИМов) очень близка по форме и содержанию к тому, что представлено в этом сборнике. Все промежуточные вычисления, рисунки и записи надо делать на бланке черновика. Если Вам понадобится дополнительный бланк черновика, то скажите об этом организатору в аудитории. Он обязан предоставить черновики в необходимом количестве. По окончании экзамена все черновики сдаются вместе с экзаменационными материалами. Использование для записей других листов бумаги на ЕГЭ запрещено. Никакие записи в черновиках не рассматриваются при оценивании ответов учащихся. Тестовые задания составлены таким образом, что не требуют значительных вычислений. Поэтому калькуляторами на ЕГЭ пользоваться запрещено, кроме экзаменов по химии и по физике. При необходимости учащимся разрешается выходить в туалет. Во время проведения ЕГЭ в ППЭ запрещено находиться посторонним людям. На каждом этаже постоянно находится не менее двух дежурных. В ППЭ должны быть организованы пункты оказания первой медицинской помощи и охраны правопорядка. По истечении времени экзамена учащиеся должны организованно сдать экзаменационные материалы. При этом на столе организаторов должны сформироваться пять стопок материалов: регистрационные бланки, бланки № 1, № 25 тесты и черновики. После сдачи материалов учащиеся должны вернуться на свои рабочие места. Организаторы публично пересчитывают в каждой стопке бланки ЕГЭ и запечатывают их в доставочные пакеты для отправки на обработку. Организаторы выводят учащихся из ППЭ. Результаты ЕГЭ поступают в школы через 9-10 дней после проведения экзамена. Оценки выставляются по 100-бальной шкале. Важно понимать, что полученный на ЕГЭ балл не является процентным выражением числа верных ответов от их максимально возможного значения. Результаты ЕГЭ рассчитываются по специальной методике, учитывающей трудности используемых заданий и частоту верных ответов на них. Величина трудности каждого задания определяется в свою очередь после того, как обработаются первичные результаты ЕГЭ.

9

После объявления результатов ЕГЭ по каждому экзамену Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки утверждает соответствие между оценками по 100-балльной шкале и отметками по 5-ти балльной шкале. В конце июня в регионы поступают из Москвы свидетельства с результатами участниками ЕГЭ по каждому предмету. В школах должны заранее объявить о дате выдачи свидетельств. К этому времени выпускники, как правило, уже получили аттестаты зрелости, во вкладыши к которым вписаны оценки итоговой аттестации по предметам. Администрация школ использует для этого поступившие в регионы протоколы с результатами ЕГЭ каждого выпускника. Выпускники получают свидетельства с результатами ЕГЭ и предъявляют их в приемные комиссии тех вузов, в которые будут поступать. Вузы имеют право перепроверить результаты ЕГЭ, отраженные в свидетельствах. Для этого они могут обратиться к Федеральной базе свидетельств (ФБС), в которой хранятся все результаты участников ЕГЭ. В случае расхождений результатов приоритет будут иметь данные из ФБС. Лица, поступающие в вузы, но окончившие школу в прошлые годы, могут также принять участие в ЕГЭ. Для этого они должны обратиться в муниципальный орган управления образованием по месту жительства. Им будет назначен пункт проведения ЕГЭ. Разумеется, все вышеописанное не может заменить полное описание инструкций и правил проведения ЕГЭ. Много вопросов здесь даже не затронуто, в том числе такой важный вопрос, как подача и рассмотрение апелляций по процедуре и результатам ЕГЭ. Подробнее с инструктивными материалами ЕГЭ можно ознакомиться на сайтах www.rustest.ru и www.ege.edu.ru . Надеемся, что приведенная здесь информация поможет Вам лучше представить процедуру ЕГЭ и получить в итоге более высокие результаты.

10

СПЕЦИФИКАЦИЯ экзаменационной работы по математике для выпускников XI (XII) классов общеобразовательных учреждений 2006 г. Единый государственный экзамен (ЕГЭ) призван заменить собой два экзамена - выпускной за среднюю школу и вступительный в высшие учеб­ ные заведения (вузы). В связи с этим в рамках ЕГЭ осуществляется про­ верка овладения материалом курса алгебры и начал анализа 10-11 классов, усвоение которого проверяется на выпускном экзамене за среднюю школу, а также материалом некоторых тем курсов алгебры основной школы и геометрии основной и средней школы, которые традиционно контролиру­ ются на вступительных экзаменах в вузы. При этом в содержание проверки включаются только те вопросы, которые входят в основной нормативный документ - минимум содержания основной и средней школы по мате­ матике. 1. Назначение экзаменационной работы - оценить общеобразователь­ ную подготовку по математике выпускников XI (XII) классов общеоб­ разовательных учреждений с целью итоговой аттестации и зачисления в ссузы и вузы. 2. Документы, определяющие содержание экзаменационной работы: - Обязательный минимум содержания основного общего образования по предмету (Приказ МО от 19.05.98 № 1276); - Обязательный минимум содержания среднего (полного) общего обра­ зования по предмету (Приказ МО от 30.06 99 № 56). - Федеральный компонент государственного стандарта общего образо­ вания. Математика (Приказ МО от 5 марта 2004 г. № 1089). Кроме нормативных документов, учитываются также требования к под­ готовке выпускников основной и средней (полной) школы, представ­ ленные в рекомендованных Минобразования и науки РФ документах: - Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Ма­ тематика. 5-11 кл./ Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. - М.. Дрофа, 2000, 2002. - Примерные программы вступительных экзаменов (испытаний) в высшие учебные заведения Российской Федерации/ Авторсоставитель Г.В Арсеньев и др. - М.: Высш. шк., 2000. - Оценка качества подготовки выпускников основной школы по мате­ матике / Г.В. Дорофеев и др. - М : Дрофа, 2000. - Оценка качества подготовки выпускников средней (полной) школы по математике/ Г.В. Дорофеев и др. - М.: Дрофа, 2002 - Дорофеев Г.В , Муравин Г.К., Седова Е А. Математика. Сборник за­ даний для подготовки и проведения письменного экзамена по мате-

11

матике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс сред­ ней школы. 11 класс. Пособие. - 3-е изд., испр - М Дрофа, 2000. 160 с. 3. Условия применения Работа рассчитана на выпускников средних общеобразовательных уч­ реждений (школ, гимназий, лицеев), изучивших курс математики, отве­ чающий обязательному минимуму содержания среднего (полного) общего образования по математике в объеме курса В. 4. Структура экзаменационной работы Структура работы отвечает двоякой цели ЕГЭ - обеспечивать атте­ стацию выпускников и их отбор в вузы. Работа состоит из 3 частей, кото­ рые различаются по назначению, а также по содержанию, сложности, чис­ лу и форме включаемых в них заданий. По сравнению с 2005 годом в структуру работы, назначение частей, число и типы используемых в них заданий не внесено никаких изменений. В приведенной ниже Таблице 1 представлена информация о струк­ туре, общем числе, сложности и типах заданий в вариантах КИМ 2006 го­ да. Таблица 1 Структура вариантов КИМ- 2006 Часть 1 Общее число заданий - 26 Тип заданий и форма от­ вета

Часть 2 10

13 А1-А10 с выбором ответа (из четырех пред­ ложенных) В1-ВЗ с кратким ответом (в виде целого числа или числа, записанного в виде десятичной дроби) Базовый

Уровень сложности Проверяе­ Алгебра и начала мый учебный анализа 10-11 классов материал курсов мате­ матики

Часть 3 3

В4-В11 СЗ-С5 с кратким ответом с развернутым (в виде целого числа ответом или числа, записанно­ (полная запись ре­ го в виде десятичной шения с обоснова­ дроби) нием выполненных С1,С2 действий) с развернутым ответом (запись решения) Повышенный Высокий 1. Математика 5-6 классов 2. Алгебра 7-9 клас­ сов 3. Алгебра и начала анализа 10-11 классов 4. Геометрия 7-11 классов

12

1. Математика 5-6 классов 2. Алгебра 7-9 классов 3. Алгебра и нача­ ла анализа 1011 классов 4 Геометрия 7-11 классов |

5. Характеристика заданий в трех частях работы Часть 1 содержит 13 алгебраических заданий базового уровня (А1 А10, В1 - В З ) , соответствующих минимуму содержания курса "Алгебра и начала анализа 10-11 классов" (курс В), обеспечивающих достаточную полноту проверки овладения соответствующим материалом При выпол­ нении этих заданий от учащегося требуется применить свои знания в зна­ комой ситуации. Часть 2 включает 10 заданий повышенного (по сравнению с базо­ вым) уровня (В4 - В11, CI, С2), при решении которых от учащегося требу­ ется применить свои знания в измененной ситуации, используя при этом методы, известные ему из школьного курса. Содержание этих заданий от­ вечает как минимуму содержания средней (полной) школы, так и содержа­ нию, предлагаемому на вступительных экзаменах в вузы. Поэтому в эту часть работы включаются задания как по курсу алгебры и начал анализа 10-11 классов, так и по некоторым вопросам курса математики основной школы и по курсу геометрии основной и средней (полной) школы. Часть 3 включает три самых сложных задачи (две - алгебраических и одну - геометрическую), при решении которых учащимся надо применять свои знания в новой для них ситуации. При этом от учащихся потребуется проанализировать ситуацию, самостоятельно разработать ее математиче­ скую модель и способ решения, привести обоснования, доказательства вы­ полненных действий и математически грамотно записать полученное ре­ шение. Эти задания можно сравнить с наиболее сложными заданиями тра­ диционных письменных экзаменационных работ по курсу алгебры и начал анализа, предлагаемых в последние годы Министерством образования и науки РФ на выпускных экзаменах в общеобразовательной средней (пол­ ной) школе, а также со сложными алгебраическими и геометрическими за­ даниями, предлагаемыми на вступительных экзаменах в большинстве ву­ зов. Результаты выполнения заданий Части 1 позволяют судить о дости­ жении выпускником уровня обязательной подготовки по курсу алгебры и начал анализа 10-11 классов, наличие которой принято оценивать положи­ тельной отметкой «3». Результаты выполнения заданий Частей 2 и 3 по­ зволяют осуществить последующую, более тонкую дифференциацию уча­ щихся по уровню математической подготовки и на этой основе выставить более высокие аттестационные отметки ("4" и "5"). В работе используются три типа заданий- с выбором ответа из четы­ рех предложенных вариантов (тип А), с кратким ответом в виде некоторо­ го целого числа или десятичной дроби (тип В), с развернутым ответом, требующим записи решения поставленной задачи (тип С). В Часть 1 включены два типа заданий: с выбором ответа (А1 - А 10) и с кратким ответом (В1 - ВЗ). В Часть 2 также включены два типа зада­ ний, с кратким ответом ( В 4 - В 1 1 ) и с развернутым ответом (CI, C2). В Часть 3 включены задания только с развернутым ответом (СЗ - С5).

13

Распределение типов заданий в работе представлено в Таблице 2. Таблица 2 Распределение типов заданий по частям работы :

N

1 2 3

Тип заданий

с выбором от­ вета с кратким ответом с развернутым ответом

Число заданий

Максимальный первичный балл

Процент максимального пер­ вичного балла за задания дан­ ного типа от максимального первичного балла за всю рабо­ ту, равного 37

10

10x1=10

27%

И

11 x l = U

30%

5

2x2+3x4-16

43%

26

37

(100%)

6. Распределение заданий экзаменационной работы по содержанию Назначение единого государственного экзамена определяет специ­ фику содержания экзаменационной работы. Аттестация выпускников шко­ лы по курсу алгебры и начал анализа 10-11 классов и требования вступи­ тельных экзаменов в вузы обусловливают необходимость включения в ра­ боту достаточно представительного числа алгебраических заданий, отве­ чающих материалу, изучаемому в данном курсе. Кроме того, требования вступительных экзаменов в вузы определяют необходимость включения в работу алгебраических заданий, составленных на материале некоторых разделов курса алгебры основной школы, а также геометрических заданий по материалу курсов геометрии основной и средней (полной) школы То есть проверке подлежит материал всех блоков, по которым распределено содержание школьного курса математики: «Выражения и преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции», «Числа и вычисления», «Геомет­ рические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин». При этом в соответствии со спецификой математики основное внимание уде­ ляется проверке овладения практической составляющей школьного курса, когда владение теоретическими фактами проверяется опосредованно, но наряду с этим осуществляется и непосредственная проверка овладения его теоретической составляющей (например, овладение смыслом изучаемых основных математических понятий). Соотношение между числом алгебраических и геометрических зада­ ний в работе примерно отвечает соотношению, принятому на вступитель­ ных экзаменах в вузы. Отражение в варианте работы содержания трех пер­ вых блоков («Выражения и преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции») отвечает, особенностям и значимости материала, включенного в эти блоки. Небольшое число заданий, составленных на материале блока

14

«Числа и вычисления», объясняется тем, что овладение этим материалом проверяется также при выполнении заданий, составленных на материале трех первых блоков. Распределение заданий работы по основным блокам содержания приведено в таблице 3. Таблица 3 Распределение заданий по основным блокам содержания школьного курса математики Блоки содержания

Число заданий

Максималь­ ный первич­ ный балл

Выражения и преобразова­ ния Уравнения и неравенства Функции Числа и вычисления Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин Итого

5

5

Процент максимально­ го первичного балла за задания данного блока содержания от макси­ мального первичного балла за всю работу, равного 37 13% ;

7 10 1

11 14 1

30% 38% 3%

3

6

16%

26

37

100%

7. Распределение заданий работы по уровню сложности В соответствии с принятой структурой и содержанием работы Часть 1 включает 13 алгебраических заданий, составленных на материале курса алгебры и начал анализа 10-11 классов и соответствующих уровню базовой подготовки (курс В). Задания посильны для учащихся, подготовка которых отвечает этому уровню. Планируемые показатели трудности этих заданий (процент верных ответов) находятся в промежутке от 40% до 85%. Часть 2 включает 10 заданий повышенного уровня сложности, 8 из которых - алгебраические и 2 - геометрические (одно - по планиметрии и другое - по стереометрии). Они составлены на материале, предлагаемом как на выпускном экзамене в школе, так и на вступительных экзаменах в вузы, и отвечают минимуму содержания основной и средней (полной) школы. При их выполнении от учащихся требуется применить в несколько измененной ситуации знание конкретных математических методов, из­ вестных им из школьного курса. Планируемые показатели трудности этих заданий находятся в пределах от 15% до 45%.

15

|

Часть 3 включает 3 задания высокого уровня сложности. Два зада­ ния - алгебраические. При их выполнении выпускники должны разрабо­ тать способ решения, используя в новой ситуации знания из различных разделов курса алгебры и начал анализа 10-11 классов, записать обосно­ ванное решение. Третье задание - стереометрическая задача на комбина­ цию геометрических тел, при решении которой выпускники должны в но­ вой ситуации применить знания из разных разделов курса геометрии ос­ новной и средней школы, построить чертеж, привести аргументированное решение. С целью обеспечения более тонкой дифференциации учащихся, имеющих высокий уровень математической подготовки, в эту часть вклю­ чены задания различной сложности (0,1% - 8%). Планируемый процент выполнения алгебраического задания СЗ — 5% - 8%, геометрического задания С4 - 3%-6%, самого сложного задания работы - С5 - 0,1% - 1%. Алгебраическое задание С5 с указанным показа­ телем трудности призвано выявить наиболее подготовленных учащихся для зачисления в вузы, в которых проводится углублённое изучение мате­ матики. В следующих таблицах 4 и 5 дается распределение заданий работы по видам деятельности и уровню сложности. Таблица 4 Распределение заданий по видам деятельности Виды деятельности

Знать и понимать Применять знания и умения в знакомой си­ туации Применять знания и ! умения в измененной ситуации Применять знания и умения в новой ситуа­ ции Итого

Число заданий

Максималь­ ный первич­ ный балл

4

4

Процент максимального пер­ вичного балла за задания данного вида деятельности от максимального первично­ го балла за всю работу, рав­ ного 37 11%

10

10

27%

9

1.1

30%

3

12

32%

26

37

100%

16

I

Таблица 5 Распределение заданий по уровню сложности Уровень сложности заданий

Число заданий

Максимальный первичный балл

Базовый Повышенный Высокий Итого

13 10 3 26

13 12 12 37

Процент максимального первичного балла за задания данного уровня сложности от максимального первично­ го балла за всю работу, рав­ ного 37 36% 32% 32% 100%

В Таблице 6 приводится число и уровень трудности алгебраических за­ даний, на основе выполнения которых выставляется аттестационная от­ метка по курсу алгебры и начал анализа 10-11 классов. Таблица 6 Распределение по уровню сложности заданий, на основе которых проводится аттестация по курсу алгебры и начал анализа !

Уровень сложности заданий

Число заданий

Максималь­ ный первич­ ный балл

Базовый Повышенный Высокий Итого

13 7 2 22

13 9 8 30

Процент максимального первичного балла за задания данного уровня сложности от максимального первич­ ного балла за задания по курсу алгеб-, ры и начал анализа, равного 30 43% 30% 27% 100%

8. Время выполнения работы На выполнение экзаменационной работы отводится 240 минут (4 ча­ са). Часть 1 включает 13 заданий с выбором ответа базового уровня слож­ ности. Эти задания составляют самую легкую часть работы. На их выпол­ нение ориентировочно отводится 40 минут. Часть 2 содержит 10 заданий повышенного уровня сложности, на два из которых требуется записать решение. Эти задания доступны для более подготовленных учащихся. Ориентировочное время их выполнения - 90 минут. Часть 3 содержит 3 за­ дания высокого уровня сложности, которые рассчитаны на самых подго­ товленных выпускников. На выполнение этих заданий отводится ориенти­ ровочно ПО минут.

17

9. План экзаменационной работы Варианты экзаменационной работы 2006 г. составляются на основе не­ скольких планов, которые являются вариантами общего плана (см. Приложе­ ние 1). Параллельность вариантов обеспечивается на этапе разработки экза­ менационной работы и достигается за счет: - отбора в каждую из трех частей работы заданий, содержание, уро­ вень сложности и тип которых определяются планом работы; - включения взаимозаменяемых, однотипных, примерно одинаковых по тематике и уровню сложности заданий, расположенных на одних и тех же местах в вариантах работы, составленных по одному и тому же плану. 10. Система оценивания выполнения отдельных заданий и работы в целом Проверка ответов учащихся к заданиям с выбором ответа и кратким ответом выполняется с помощью программного обеспечения. Ответы к за­ даниям с развернутым ответом, включенным в Части 2 и 3, проверяются экспертной комиссией, в состав которой входят работники вузов, методи­ сты и опытные учителя. Задание с выбором ответа считается выполненным верно, если в «Бланке ответов № 1» отмечена цифра, которой обозначен верный ответ на данное задание. Задание с кратким ответом (в виде некоторого целого чис­ ла или конечной десятичной дроби) считается выполненным верно, если в «Бланке ответов № 1» записано именно это число. За верное выполнение задания с выбором ответа и задания с кратким ответом выставляется 1 балл. Однозначность и объективность оценки выполнения заданий с раз­ вернутым ответом обеспечивается соответствующими рекомендациями для экспертов. Для этого разработаны общие критерии оценки их выпол­ нения. Затем на их основе для каждого задания разрабатываются конкрет­ ные критерии, оценивающие полноту и правильность ответа именно на данное задание. В зависимости от полноты и правильности ответа за вы­ полнение задания повышенного уровня с развернутым ответом выставля­ ется от 0 до 2 баллов максимально, за задание высокого уровня - от 0 до 4 баллов. Таким образом, за верное выполнение всех заданий работы можно мак­ симально получить 37 первичных баллов (23 задания из Частей 1 и 2 - 25 баллов, 3 задания Части 3 - 1 2 баллов). Оценка результатов выполнения работы с целью аттестации выпускни­ ков школы и зачисления в вузы проводится раздельно. Тестовый балл - оценка общей математической подготовки, которая фиксируется в свидетельстве для поступления в вузы, подсчитывается по

18

100-балльной шкале на основе первичных баллов, выставленных за выпол­ нение всех заданий работы. Аттестационная оценка выпускника школы за освоение курса алгебры и начал анализа 10-11 классов определяется по 5-балльной шкале Она вы­ ставляется на основе первичных баллов, выставленных за выполнение 22^ заданий, составленных на материале этого курса, при этом не учитывается выполнение 4 оставшихся заданий, составленных на материале курса ал­ гебры основной школы (см. в Приложении 1 задание В9 в общем плане ра­ боты), курсов геометрии основной и средней школы (задания В10, В11 и С4). 11. Дополнительные материалы и оборудование Не используются. Использование калькуляторов не разрешается. 12. Условия проведения экзамена (требования к специалистам) На экзамене в аудиторию не допускаются специалисты по предмету (математике), по которому проводится экзамен. Использование единой ин­ струкции по проведению экзамена позволяет обеспечить соблюдение еди­ ных условий без привлечения лиц со специальным образованием по дан­ ному предмету. Проверку экзаменационных работ (заданий с развернутым ответом) осуществляют специалисты по математике. 13. Рекомендации по подготовке к экзамену К экзамену можно готовиться по учебникам, имеющим гриф Миноб­ разования РФ. 14. Изменения в вариантах КИМ в 2006 г. по сравнению с 2005 г. Структура работы, назначение каждой из ее трех частей, число и типы используемых в них заданий, время на выполнение остались без измене­ ния. Ниже приводится текст инструкции для учащихся, которая будет помещена перед текстом заданий работы.

19

Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы дается 4 часа (240 мин). Ра­ бота состоит из трех частей и содержит 26 заданий. Часть 1 содержит 13 заданий (А1 - А10 и В1 - ВЗ) обязательного уровня по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов. К каждому заданию А1 - А10 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1 - ВЗ надо дать краткий ответ. Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В4 - В11, С1, С2) по ма­ териалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов, а также различ­ ных разделов курсов алгебры и геометрии основной и средней школы. К заданиям В4 - В11 надо дать краткий ответ, к заданиям С1 и С2 - записать решение. Часть 3 содержит 3 самых сложных задания, два - алгебраических (СЗ, С5) и одно - геометрическое (С4). При их выполнении надо записать обоснованное решение. За выполнение работы выставляются две оценки: аттестационная отметка и тестовый балл. Аттестационная отметка за усвоение курса алгебры и начал анализа 10-11 классов выставляется по пятибалль­ ной шкале. При ее выставлении не учитывается выполнение четырех заданий (В9, В10, В11, С4). В тексте работы номера этих заданий отме­ чены звездочкой. Тестовый балл выставляется по 100-балльной шкале на основе пер­ вичных баллов, полученных за выполнение всех заданий работы. Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не уда­ ется выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропу­ щенных заданий вы сможете вернуться, если у вас останется время. Желаем успеха!

20

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

План экзаменационной работы по математике для выпускников средней (полной) общеобразовательной школы 2006 г. Проверяемые элементы содержания и виды деятельности ЧАСТЬ 1 Умение выполнять тождественные преобразования иррациональных выражений Владение понятием степени с рациональным пока­ зателем, умение выполнять тождественные преоб­ разования и находить значение степеней Умение выполнять тождественные преобразования логарифмических выражений Умение читать свойства функции по графику и рас­ познавать графики элементарных функций Умение находить область определения функции Умение находить множество значений функции Умение использовать график функции при решении неравенств Умение решать простейшие уравнения Умение решать неравенства с одной переменной

Коды про­ Уровень веряемых сложно­ элементов сти за­ содержания дания

Планируе­ мая труд­ ность зада­ ния (в %)

Максимальный балл за выпол­ нение задания

Примерное время выпол­ нения задания (мин.)

1.1.3

Б

65-70

3

1.2.1 1.2.2

Б

80-85

3

1.3.4

Б

70-75

з

3.1.11.

Б

60-70

3

3.1.1

Б

60 - 65

3

3.1.2 2.6.4

Б Б

60-70 60-70

3 2

2.4.1 2.6

Б Б

60-70 60-65

3 3

Обозначение сложности задания Б - базовый, П - повышенный, В - высокий

;

Умение находить производную функции. Владение 3.2 геометрическим или физическим смыслом произ­ водной Умение выполнять тождественные преобразования 1.1.3, 1.2.3, выражений 1.3.4, 1.4.6 2.4 1 Умение решать иррациональные, тригонометриче­ ские, показательные и логарифмические уравнения Умение применять общие приемы решения уравне­ 2.3 ний ЧАСТЬ 2 Умение выполнять тождественные преобразования 1.1.3, 1.23, выражений и находить их значения 1.3.4, 1.4.6 Умение исследовать функцию с помощью произ­ 3.3 водной (по графику производной) Умение находить наибольшее и наименьшее значе­ 3.1.8, ния функции 3.3.5 1 Умение решать комбинированные уравнения

2.4.3**

1 Умение использовать чётность (нечётность) функ­ 3.1.5 ции Умение решать текстовую задачу, составляя мате­ 4.3*.2 матическую модель предложенной в ней ситуации 5.5-5.6* Умение решать стереометрические задачи 5 1-5.3* Умение решать планиметрические задачи Умение использовать несколько приёмов при реше2.4.2 **3 | нии уравнений

Б

40-60

3

П

40-55

4

П

40-55

4

П

40-55

4

П

30-45

5

П

30-40

5

П

30-40

6

П

25-35

5

П

25-35

9

П

10-30

9

П П П

15-25 10-20 15-20

5 15 15

2

" Знак * указан для заданий, которые составлены на материале курса алгебры основной школы или курса геометрии 3 Знак** указан для сложных заданий с развернутым ответом.

1

Умение находить значения функции. Умение ре­ шать неравенства, содержащие переменную под знаком модуля ЧАСТЬ 3 Решение текстовых задач на нахождение наибольше­ го (наименьшего) значения величины с помощью производной Умение решать стереометрическую задачу на ком­ бинацию геометрических тел Умение решать задачи с параметром

п

15-20

2

15

3.3.8***

В

5-8

4

30

5.7.* 5 7** 2.4.5**

В,

3-6

4

40

В Всего Б-13 П-10 В- 3 Итого: 26

0,1-1

4 Всего 37 баллов

40 Всего 4 часа (240 мин)

3.1 12,

2.6.5**

1

Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы дается 4 часа (240 мин) Работа состоит из трех частей и содержит 26 заданий. Часть 1 содержит 13 заданий (А1 - А10 и В1 - ВЗ) обязательного уровня по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов. К каждому заданию А1 - А10 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1 - ВЗ надо дать краткий ответ. Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В4 - В И, CI, C2) по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов, а также различных разделов курсов алгебры и геометрии основной и средней школы. К заданиям В4 - В11 надо дать краткий ответ, к заданиям С1 и С2 - записать решение. Часть 3 содержит 3 самых сложных задания, два - алгебраических (СЗ, С5) и одно - геометрическое (С4). При их выполнении надо записать обоснованное решение. За выполнение работы выставляются две оценки: аттестационная отметка и тестовый балл. Аттестационная отметка за усвоение курса алгебры и начал анализа 10-11 классов выставляется по пятибалльной шкале. При ее выставлении не учитывается выполнение четырех заданий (В9, В10, В11, С4). В тексте работы номера этих заданий отмечены звездочкой. Тестовый балл выставляется по 100-балльной шкале на основе первичных баллов, полученных за выполнение всех заданий работы. Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий вы сможете вернуться, если у вас останется время. Желаем успеха!

24

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

?егист*

Контрольные измерительные ^%ow* материалы для подготовки к единому государственному экзамену по МАТЕМАТИКЕ Вариант № 1 ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий А1 - А10 в бланке ответов М 1 под номером выполняемого задания поставьте знак "х" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1

Найдите значение выражения л/5+1 1) 4

2) 3

( А2

3) 2

4)-2

3) 1

4) 2

;Л°'5

Вычислите

1) 0,25

A3

2

75+4.

2) 0,5

Найдите значение выражения 2 log 3 6 + log 3 2,25. 1) 3

2) - 2

3)4

А4 I Функция у = f(x) задана графиком. Укажите число целых значений этой функции. 1) 2 3) 6

2) 4 4) 8

25

4) log 3 15,5

А 5 | Найдите сумму всех целых значений из области определения функции y = \ogx 1) 65

12-х

А6 J Найдите произведение 15 + 4 c o s x - 3 s i n x У1)2

3) 77

2) 66

целых

4) 78

значении

3) 24

2) 6

функции

4) 96

А7 I На рисунке изображен график функции y = f(x). Укажите число решений уравнения f(x) = 0. 1) 1 3)4

А8

2) 2 4)5

Найдите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения 125(х + Г Г - 2 1 6 = х + 21,4. 25х-5

1)-4

3) - 3,2

2) - 3

4)3

А9 I Найдите сумму целых решений неравенства \2х + 4| - 8 < 1, лежащих на отрезке [- 8; 4]. 1).0

А10

2) - 6

3) - 1 8

4) 18

Найдите Ъ + с, если прямая у - Ъх + 5 является касательной к параболе у = х2 + Ъх + с в точке с абсциссой 0. 1) - 1 0

2) - 8

3) 8

26

4) 10

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1

Найдите значение выражения л/2 • sin a cos 2а + sin

a |--cosdrsin2a

Ъп при а = -

В2 I Укажите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения 12 2 г V6 + X л / б - Х х - 5х -14 + \1б~х , + -v6 + x л / з б - ; г = 0 .

ВЗ

Найдите tgx 0 , где х0 - наименьший, положительный корень уравнения l + 3cos2x + sin2x = 0.

ЧАСТЬ 2

В4

Вычислите ^14 • log 5 27 • log 3 625 + 0,25 • 6logl«4 • 3logl*

B5 | Функция у = f(x) определена на промежутке (- 6; 5). На рисунке изображен график ее производной. Найдите длину промежутка убывания этой функции.

В6

Найдите наименьшее целое значение функции у = 19 • 22tgx+te

27

х ]

.

В7 I Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения 4-(l + log3Lv2 + З х - 7 ) ) = 1 8 - З х - х 2 .

В8

Найдите значение функции /(19) , если известно, что функция У = /(х)

~~ нечетная, имеет период 10 и на отрезке [0; 5] функция

имеет вид у = 25х" - х .

39 | При подготовке к Единому экзамену по математике на тренировочном тестировании 112 выпускников школы получили двойки, тройки, четверки и пятерки. Если бы 7 хорошистов получили пятерки, то количество троечников стало в 2 раза больше количества отличников. Если бы после этого еще 10 двоечников получили тройки, то количество троечников стало в 2 раза больше количества хорошистов. А если бы затем 13 троечников получили четверки, то хорошистов стало на 75% больше отличников. Найдите число тех, кто на тренировке получил неудовлетворительные оценки.

*В10

Найдите объем правильной треугольной пирамиды с апофемой, /7 равной А— , если ребро составляет угол 30° с плоскостью основания.

*ви

Тангенс одного из углов прямоугольного треугольника равен 0,75. Найдите отношение радиуса его описанной окружности к радиусу вписанной.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.

С1

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения (Vx + 3 - V 5 ) ' ( 0 , 2 5 x - 2 , 5 ) = ( x - 2 ) - ( V 6 + x - 4 ) .

28

С2 I Найдите целое решение (или произведение целых решений, если их несколько) неравенства х2+х-\ х2 + 1х + \3 х 2 + 5 х + 5 х 2 - 3 х - 3 -+ > +х+4 х+] х-4

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания СЗ-С5 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

СЗ I Найдите целое значение параметра а (или наименьшее, если их несколько), при котором уравнение 1,51п(2х-5)-Зх|х-7| = а не имеет корней.

*£4 I Около прямой четырёхугольной призмы описан цилиндр, причем ' его высота больше радиуса основания, а плоскость основания совпадает с плоскостью основания цилиндра. Основание призмы прямоугольник, в котором диагональ и сторона образуют угол, тангенс которого равен . Боковая поверхность цилиндра равна Зл">/6, а расстояние между диагональю боковой грани призмы и скрещивающейся

с ней диагональю основания равно

Зл/14

.

Найдите объем призмы.

С5|

Найдите сумму целых значений параметра а, при которых множество решений неравенства (|х| + | а - б | - 4 ) ( | х | - | а | + 10)>0 содержит все члены некоторой возрастающей арифметической прогрессии с первым членом, равным - 1, и разностью, меньше или равной 2.

29

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

РЕГИСТР

Контрольные измерительные ^5о-§о5о материалы для подготовки к единому государственному экзамену по МАТЕМАТИКЕ Вариант № 2 ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий А1 - А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак " х " в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1

Если f(x) = —l , т о / 2 ( х ) - 9 приводится к виду Vx + 3 1)

А2

-15 х+3

2) - 3

Упростите выражение 1) Ъп

3)

15 х+3

4)

-45 х+3

31 я.' -п ' ) .

2) Зл1'5

з>4

4) Згс3

П

A3

Найдите выражение log755,4 - 3 . 1 ) ( - 8 ; + оо)

А10

2) (0; 1)

4лг-1 х

2) (-со; 8)

3)[0;8)

4) [ - 8 ; 8)

Найдите значение производной функции sin(5x + 2) + cos(5;r + 2) в точке х0 = 0. 1) 0 3) c o s 2 - s i n 2

2) 5 c o s 2 - 5 s i n 2 4) 5cos2

31

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно. Л4

В1

Вычислите

]1 '27

В2

Укажите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения 6х -2х = 2 0 8 .

ВЗ

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения Л/Х + 4 + 2Л/Х + 3

~(х2 + Лх + з)

=1.

ЧАСТЬ 2 „. | ^ Ь4 Вычислите 1

cos 27 - c o s 63° c i n 118° Q ° csin i n 30°cos 1(\°rn 18° * sin

B5

Функция y = f(x) определена на промежутке (- 6; 3). На ри­ сунке изображен график ее производной. Найдите наи­ меньшее значение тангенса угла наклона касательной к графику этой функции.

В6

Производная функции y = f(x) имеет вид f'(x) = \0x-7. Найдите точку, в которой функция принимает наименьшее значение.

32

В7

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения 17-3* 1 0,5 + log 0 2 5 x

В8

Найдите основной период функции f(x) = s i n — + c o s — . 4 6

7ТХ

7ZX

*В9

Волшебник пообещал Незнайке за каждое доброе дело давать одну порцию мороженого. После этого Незнайка в каждый последующий день, начиная со второго, делал на два добрых дела больше, чем в предыдущий. Запасов мороженого хватило волшебнику ровно на 9 дней. Планируя, что количество добрых дел будет увеличиваться таким же образом, волшебник догадался, что Незнайке хватит сил делать добрые дела еще 5 дней. Найдите, какое количество пакетов с мороженым ему надо создать дополнительно, если в одном пакете 3 порции мороженого, 5 пакетов волшебник обещал Кнопочке, а всего Незнайка съест 224 порции мороженого.

*В10

Шар, вписанный в правильную четырехугольную пирамиду MABCD, пересекает высоту МО пирамиды в точке Р так, что MP : РО = 3 : 4 . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного шара равен 6.

*В11

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках N, К и М. Известно, что AM = 4, АС = 14 и ZABC = 60°. Найдите длину отрезка NK.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение. О

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения 11 + — -

= 7-3,5-log3'

7/ГГ

33

С2 I Найдите целое решение (или сумму целых решений, если их несколько) неравенства 7 ( * - 3 ) ( х - 1 ) + ( > - 1 ) л / з + 2 х - х 2 > V 2 X - 2 - J C + 1.

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания СЗ-С5 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

СЗ I Найдите наибольшее значение площади треугольника ОАВ, где О начало координат, А - точка на графике функции у = — + 56х4е5~5х, х 0,1 < JC < 2, а В - точка на оси Оу, ордината которой равна ординате точки А.

*С4

Около правильной пирамиды ЕАВС с вершиной Е описана сфера радиуса 2V3 . Центр сферы О лежит на высоте пирамиды EF, причем ЕО : OF = 3 : 1 . Точка G лежит на луче СЕ таким образом, что С Е : CG = 4 : 9 . Точка Н выбрана на прямой АВ так, что GH = GB. Найдите объем пирамиды GACH.

С5

Найдите сумму целых значений параметра т, при которых один из уравнение (т - 6)х2 - 2тх + т-3 = 0 меньше 1, а другой корней уравнения корень больше 3.

34

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

регистр

Контрольные измерительные ^o-ioo^ материалы для подготовки к единому государственному экзамену по МАТЕМАТИКЕ Вариант № 3 ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий А1 - А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак "х" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1

Сократите дробь

О

^

Hx+lh

tf?-^+V7' }К-} З)41х-Уу

2)ilx + ljy

I Упростите выражение 1) 3-3/12

A3

х+У

4)

Чх-Ь

v24 • Vl2 -3 °'5 .

2) 12

3) 2-3/6

4) 54

Найдите значение выражения 64 log4 3 . 1) 3

2) 27

3) 9

35

4) 16

А4 I На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а. Укажите функцию, производная которой в точке а равна 0,5.

•*

- ,- , .: „ 1 \

л \

> j / . Jo

в

л

•

.1_(

;

!

-

0

х^

__:_

з)

—

i; i k

л

. .Л. • 1

)

г

- -y*4to-V

2

t

*

--. .-~: х : \ / *

i. ..

;

у*

[

"

у^к&/£~

,,

\XS \ •» - -

-

S

A5 I Найдите

У

t /1

а

х

. сумму

всех

простых

чисел,

входящих

в

область

2

определения функции у = In 16х +13 - \х - 4х +1 I. 1) 27

А6

3) 29

4) 17

Найдите сумму целых значений функции у = log2 (3 + sin Ax). 1)2

А7

2) 28

2)3

3)4

На рисунке изображены графики функций у-f(x) и y~g(x). Укажите число целых решений неравенства f(x) < g(x).

оi 2) 3 3)5 4)7

36

4)6

А8

Решите уравнение

cos 2 x

Л

71

1) ±— + л;п7пе Z 6

2) ±— + 7rn,neZ 3

3) (-1)" + ттп,пе Z V ; — 4

4) ± з— + /rn,neZ

А9 I Найдите целое решение (или сумму целых решений, если их несколько)

неравенства

logct

х

4 < logct

x

VI5

на

промежутке

[-3;3]. 1) 0 А10

2) 1

3) - 1

4) 2

Найдите сумму координат точки с отрицательной абсциссой, лежащей на кривой у = х2-2х + \6 и обладающей тем свойством, что касательная к кривой, проходящая через эту точку, проходит через начало координат. 1) 40

2) 36

3) 28

4) 24

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно. В1

Найдите значение выражения (cosl20 0 (cos72 0 cos48 0 -sin72°sin48 0 ))" 2 .

В2

Определите число корней уравнения (cos 4 х + sin 2 2JC)V24 - х2 = 0.

ВЗ

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения ( V * + 7 - 3 ) - ( V 1 0 + X + 12) = 4 J C - 8 .

37

ЧАСТЬ 2

В4

Вычислите I sin arctg—

В5 I Функция у = /(х) опреде­ лена на интервале (- 6; 4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку а, в которой функция y = f(x) принимает наименьшее значение.

В6

Найдите сумму целых значений функции у = log2 [128 —124 • 2 '*' I.

В7

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения cos 2 (JC 4 - З х 3

В8 I Найдите

f(x-2)

+ 2х2 - 1х + з) = 1 + logs У1Х2-4Х

значение

функции

g(8),

+4 .

если

известно,

что

= 3x-l и f(g(x)) = 2x + l.

B9

Если к четырем числам а, Ь, с, d, составляющим геометрическую прогрессию, прибавить соответственно 4, 21, 29 и 1, то получатся 4 числа, составляющие арифметическую прогрессию. Найдите сумму чисел а, Ь, с, d.

*В10

В кубе A B C D A J B I C I D I с площадью поверхности 72 найдите расстояние от вершины D до плоскости BiCDj.

*В11

Диаметр окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 24. Разность длин оснований трапеции равна 10. Найдите произведение длин оснований трапеции.

fc

38

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение. С1 1 Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения ^/хТз -Цх-Ъ

= %/Зх2 - 2 7 - ^ ( | х | - 3 ) 2

С2 I Найдите целое х (или сумму таких целых аргументов, если их несколько), при которых соответствующие значения функций 2х"4-15 >> = log 0 д (0,001+ 111,111*) и Убудут отличаться меньше, чем на 7.

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания СЗ-С5 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение. | СЗ I Стороны прямоугольника равны 5 и 20. Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 30. Найдите наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника. *С4 I Основанием пирамиды FABC является треугольник ABC, в котором I АВ = 3, ВС = 4 и угол ABC = 90°. Ребро AF перпендикулярно ABC и равно 4. Точки L, М и N расположены соответственно на ребрах ТТГ>

CD

АР

C L

ГГ

FC, FB и АС. При этом C N

N A Л

=

L F

Т7ЛД ЛТО

= — , FM-MB = LF CF

д

39 + 24>/S

и 16

~

, причем точка М расположена ближе к В, чем к F.

NA CA Найдите объем пирамиды ALMN. С5 I Найдите целое значение параметра а (или сумму таких значений, если их несколько), для которых уравнение [а + 2х - х 2 +19) • [а - 3 - |х - 4|) = 0 имеет 3 корня.

39

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

рхист*

(Рс* Контрольные измерительные ^eoiooo материалы для подготовки к единому государственному экзамену по МАТЕМАТИКЕ Вариант № 4 ЧАСТЫ При выполнении заданий А1 - А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак "х" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1 I Найдите значение выражения 2)-1,25

i)-i

А2

Вычислите 1) 36

A3

1-а' 0,75 -, если а= 16. а 0,25.^0,5 + а 0,25 + 1 у

3-5

4V

3) - 1,5

4)-0,5

3) 81

4)^ 9

19

2)Х9

Найдите значение log 2 128с, если log 0 5 с = 5. 1)-2

2)2

3)4

40

4)-1

А4

Укажите номер графика четной функции.

О ... : : .А .-I . :.

._.

2)

4)

А5 I Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения

функции у=

щ^ц-

1) О

А6

3) 15

4) 10

Найдите сумму целых значений функции ^ = 3,5-1,5 cos x. 1) 9

А7

2) - 12

2) 12

На рисунке изображен гра­ фик функций у = f(x). Укажите решение

неравенства

3) 14

[ I Т И

4) 15

I \У> i

[

[

i i 1.^±Щ1Щ...

: {

j

;

i

i

i

i

f(x) (дг + 4) (|х — 4| — 4) содержит все члены некоторой геометрической прогрессии с первым членом, равным 6, и знаменателем -4f

V^ k

2 L1 ™

1

X

А5 I Найдите наименьшее целое число из области определения функции 54

U-ll 1) 26

А6

2) 25

4)-26

3)-25

Найдите множество значений функции у - V144 sin 2 х +16 cos 2 x . 1) [0; 4]

2) [12; 16]

3) [4; 12]

4) [0; 12]

А7 | Функция y = f(x) определена графиком. Укажите промежуток, 1 Г Г Г * Z Jj3"."!~JJ У1"~ на котором она принимает только _ , , . . _ r + . ~y**sT - -*--»-^ ,->.„' :__. положительные значения. "; . "*"Й/

1)0; з) 3)(-2;4)

- г— ^ 4 *

2) (- 1; 4) 4)[-1;5]

~ ,

А8

"

J

\ ;^

< *~ - 1 - п ^

Г

г-

Найдите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения l o g 3 ( x 2 - 1 6 x + 6l) = l o g 3 ( x - 9 ) . 1) 7

А9

3) 13

4) 17

Найдите целое решение (или сумму целых решений, если их несколько) неравенства log0 5 (4 - 0,5х) > - 2 на промежутке [- 9; 9]. 1) 36

А10

2) 10

2) 27

3) 28

4) 29

Найдите значение производной функции sin(3x + 4) - cos(3x + 4) в точке х0 = 0. 1) 3cos4 + 3sin4 3) cos4 + sin4

2) 3 c o s 4 - 3 s i n 4 4) 3cos4

57

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1

Найдите значение выражения ctg~ а, если sin а = -О,2.

В2

Определите число корней уравнения (ctg х - 3V3 • tg 2 х 1 л/1 - х1 = 0.

ВЗ I Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения log 2 x2 = 20log 3 9x - 56.

ЧАСТЬ 2

В4

2

Найти значение выражения

2

В5 I На рисунке изображен график производной функции y-f\x). Исследуйте функ­ цию y = f(x) на монотон­ ность и укажите отрицатель­ ную точку минимума.

В6

ОС

sin a - c o s а, если tg—= 2 .

_Ш/!(*):

Найдите сумму целых чисел, принадлежащих множеству значений 10-3sinx-4cosx функции уг/(х)ч =ЛГЛ 16 log j .

Тг

5

58

"'

В8

I Найдите число корней уравнения х -Зх = vcos лх-1 ,

Найдите значение параметра а (или произведение таких значений, если их несколько), при которых основной период функции y = ctglla2 -6а-32]х\

*В9

равен — 40

Гусеница ползет по звеньям ломаной, причем длина первого звена 40 сантиметров, а каждое следующее звено на 3 сантиметра меньше предыдущего. Найдите число звеньев ломаной, на которых оставила свой след гусеница, если всего за день она проползла два с половиной метра.

Bl()f В кубе ABCDAjBiCjDi с площадью поверхности 32 найдите расстояние от середины ребра AD до плоскости BiCDj.

*В11

Площадь треугольника ABC равна 1 Найдите АС, если сторона АВ равна 11 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 8.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.

С1

Найдите целое отрицательное значение параметра а (или сумму таких значений, если их несколько), при котором уравнение х + 6 — = 0 имеет два различных действительных корня. х

С2

Найдите целое х (или сумму таких целых аргументов, если их несколько), при которых соответствующие значения функций у = log 2 х и у = -J5 - logo 5 х будУт отличаться меньше, чем на 7.

59

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания СЗ—С5 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

СЗ

Точка М лежит на графике функции jy = 0,5x +5x + 17,5, а точка 2

N - на графике функции у = -Ъ,5х + 7 * - 1 9 , 5 . Найдите наимень шее из возможных целых значений длины отрезка MN.

*г£4 1 В прямоугольном параллелепипеде A B C D A J B J C J D J со сторонами АВ = 4 , ВС = 3 и A A j = 8 на отрезках АА Ь А В Ь DAj заданы соответственно точки М, N, L, причем AM = 6, AN = 3v5 , DL = 0,6V73 . Секущая плоскость проходит через точки М, N, L и делит прямоугольный параллелепипед на два многогранника. Найдите наибольший из объемов этих многогранников.

С5

Найдите сумму целых значений параметра а, при которых число целых решений-неравенства | 2 J C - 4 | - J C *+!

х+2 В8

Нечетная функция y = f(x) определена на всей числовой прямой. Для каждого неотрицательного значения аргумента х значение этой функции на 16 меньше, чем значение функции g(x) = (x2 -9х + Л) . Найдите число корней уравнения f(x) = 0.

fr

B9

Теплоход прошел расстояние от А до В по течению реки за 7 суток, а от В до А - за 12 суток. Найдите, за сколько суток доплывет от А до В плот.

|*В101 ШаР» вписанный в правильную четырехугольную пирамиду MABCD, пересекает высоту МО пирамиды в точке Р так, что MP : РО = 5 : 4 . Найдите объем пирамиды, если боковая сторона пирамиды равна V265 .

64

*В11

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 1 см и 4 см.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.

С1

Найдите корень (или сумму действительных, различных корней, если их несколько) уравнения х4 - 2хъ - х2 - 2х +1 = 0.

С2

Найдите целое решение (или сумму целых решений, если их несколько) неравенства У](Х + 5)(Х + 2)+(Х

+ 2)^5-4Х-Х2

1. 1) 1 3)4

2) 2 4) 6

А8 I Найдите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения 3JC2 + 7 X - 1 0 _ ( 2 X + 7 ) 2 2X2-9JC + 7

1) 0,5

А9

3) - 2

2) - 3

4) 1,5

Решите неравенство V 5 x - 1 0 < 1 2 - 6 x . 1){2}

А10

4X2-49

2) [2; +ос)

з ) ( - о о ; + оо)

4) [2; 8]

Найдите точку M 0 (x 0 ;j> 0 ) » обладающую тем свойством, что касательная к графику функции у = х2 - Зх + 2, проведенная в этой точке, перпендикулярна прямой х + Зу -15 = 0. 1) М 0 ( - 2 ; 12)

2) М 0 (2; 3)

3) М0(±;

68

Щ

4) М 0 (3; 2)

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1

Найдите значение выражения (2л/з+Зл/5+6 + 7Г5)-(2>Уз + З л / 5 - 6 - > / Г 5 ) .

В2

Укажите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения

i ВЗ

28-3JCZ = X + 4 .

Разность корней уравнения 2 х 2 - 6 х + 1 = а равна 8. Найдите значение а (или сумму таких значений, если их несколько).

ЧАСТЬ 2 В4

Числа а и Ъ выбраны таким образом, что верно равенство =— + 3 = 0. Найдите значение, которое при этом примет 2а + Ь . а + 2Ь (или сумму таких значений, если эта величина величина Ъа-Ъ может принять несколько значений) а-2Ъ

В5 | На рисунке изображен график производной функции у - f(x). Найдите отрицательную точку максимума этой функции.

69

В6

Найдите наименьшее целое значение функции \ogi/3(23-4x-x2).

g(x) =

В7

Найдите число точек с целочисленными координатами (х,у) на плоскости, для которых выполнено условие

4:5-х +у 2

2

У

+ У

5

1=

0.

*

В8

Найдите значение функции g(-3) f(x + \) = x + 3uf(g(x)) = 2-x.

,

если

известно,

что

*В9

Число равно произведению двух дробей с положительными членами. Числитель первой дроби увеличили на 52%, а знаменатель уменьшили на 4%. Числитель второй дроби увеличили на 26%, а знаменатель уменьшили на 16%. Найдите число процентов с соответствующим знаком, на которое изменится число А.

*В10

Около прямой четырёхугольной призмы описан цилиндр, причем его плоскость основания совпадает с плоскостью основания цилиндра. Основание призмы - прямоугольник, в котором диагональ и большая сторона образуют угол, косинус которого равен 0,8. Объём цилиндра равен 50л*, а расстояние между боковым ребром призмы и скрещивающейся с ним диагональю основания равно 1,6. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

*В11

В треугольнике ABC точка М лежит на стороне АС, причем ВС = 1 2 , АС = 20 и ZABM + Z A M B = ZACB + ZBMC . Найдите длину отрезка AM.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение. О

Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) 3-х2 Зх 0 Л уравнения + г- + 3 = 0.

х

3-х-х

70

Найдите натуральное значение я, при котором значение выражения J1 + ^V л

J : Л V w + 4 j ^V

^

+ Jl V

2 я+ 4

))у

: 1+J \}п + 4)

ближе

всего к 25.

ЧАСТЬ 3 ДЛЯ записи ответов на задания СЗ-С5 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

Найдите- сумму всех целых значений р, при которых сумма квадратов действительных, различных корней уравнения х -(р-6)х + Зр-2 = 0 не превосходит 155.

Основанием прямой призмы ABCAiBiCi является равнобедренный треугольник с вершиной А, две стороны которого равны 1 и 4. Высота призмы равна 2. В призме проведены 2 сечения. Одно из них проходит через ребро АС и вершину В ь а другое - через ребро CCi и биссектрису угла С треугольника ABC. Найдите длину отрезка, по которому пересекаются эти сечения.

Три числа, принадлежащие соответственно интервалам (- 3; 0), (2; 4) и (6; 8), являются первыми членами арифметической прогрессии. Найдите сумму целых значений, которые может принимать величина yja2 + d2 , где а - первый член, a d - разность арифметической прогрессии.

71

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

-РЕГИСТР

(Рс| Контрольные измерительные ^9555 материалы для подготовки к единому государственному экзамену по МАТЕМАТИКЕ Вариант № 10 ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий А1 - А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак "х" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1

Найдите значение выражения 1) 12,4

2) 12,5

I А2

Вычислите ill 12— 1)5

A3

3) 12,8

4) 14

3)6

4) 8

3) 3

4) 21og 2 5

1 - 6—

+3 .

2)5,5

Вычислите log4 0,08 + 0,5 log 2 200. 1) 1

А4

а2-9 а + 2^3а+3 — при а = 28. / —-—-: а - 2л/3я + 3 " 10

2) 2

Укажите график функции, изображен­ ной на рисунке.

1) у = \2х-1\ 3) J; = 2|JC|-1

2) Н * | - 1 4) у =

-2х

72

А5 I Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения функции y = \g

7-3 |JC-1|

2)4

1)3

3)5

4) 6

А6 I Найдите множество значений функции у = log 3 (х2 - вх + 36]. 1) [3; + оо)

2) [2; + °о)

3) ( - j*/.--* -

' T " T""" «

„-» —

1 ' i

;

A8 I Найдите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения |х + 5| = 2 | х - 1 | . 1)-1

А9

2)1

3)6

4)7

Найдите число целых решений неравенства лежащих на отрезке [- 9; 6]. 1) 5

А10

2) 7

3) 8

4) 9

Тело движется прямолинейно таким образом, что пройденное расстояние равно S(t) = 3t + t . Найдите расстояние, которое пройдет тело до того момента, когда его скорость станет равной 11. 1) 10

2) 18

3) 28

73

4) 37

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1 I Найдите значение а, при котором ' я(Зх-8)-Зх-6_х-12 верно для всех значений х. а+3 3

В2

Найдите системы

ВЗ

сумму

всех

\вх-5у-39

переменных, 2

являющимися

равенство

решениями

2

= ^4у -12ху

+ 9х ,

[4х + у = 5.

Уравнение (а - \)х + х + 5 = 0 имеет единственное решение. Найдите значение а (или сумму таких значений, если их несколько).

ЧАСТЬ 2

В4

Вычислите 37 • log 7 243 • log3 49 - l , 2 5 l g 9 • 8 lg9

B5 I На рисунке изображен график производной функции

-

-

_-' - J '

-_

..>—/'{*)


-

Итак,

j) -а

+3

+ 3=,

= 5,5 . В итоге,

правильным является ответ № 2.

Вычислите log 4 0,08 + 0,51og 2 200. 1) 1

2) 2

3) 3

4) 21og 2 5

Умение выполнять тождественные преобразования логарифмических выражений проверяется при решении задачи A3. Упрощая логарифмические выражения, мы должны, прежде всего, знать определение логарифма и эквивалентное ему основное логарифмическое тождество а °8а х = х . Выполняя тождественные преобразования, в данном случае вспомним формулы: —logflx = l o gа* x

к

и \ogax + \ogay = log a (xy) . Кстати, если Вы

подобные преобразования выполняете при решении уравнений и неравенств, то не забывайте об области определения логарифма, т.е. об условиях: а>0, аФ\, х > 0, у>0. Следовательно, log 4 0,08 + 0,5 log2 200 = log 4 0,08 + log 4 200 = = log 4 16 = 2 и правильным является ответ № 2.

80

Укажите график функции, изображен­ ной на рисунке.

1) у = \2х-\\

2

3) ^ = 2|х|-1

4) у = -2х

)

u-.-i—V-* —

Н*И

Ваше умение читать свойства функции по графику и распознавать графики элементарных функций и свойства функций проверяется при решении задачи А4. Заметим, что построенный или исследуемый график функции должен отражать характер поведение функции и показывать все ее характерные точки. В данном случае мы видим, что показанный нам график функции, получен из известного графика функции У~\х\ растяжением в 2 раза вдоль оси ординат и сдвигом вниз одну единицу. Это график № 3.

Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения

1 Л функции y = lg ( —— функции у = lg -х г- 3 . 1)3

2)4

3)5

4) 6

Задача А5 связана с нахождением области определения сложной функции. При этом Вам могут встретиться тригонометрическая, показательная, логарифмическая функция и корень четной степени. Как найти область определения произвольной функции? Можно поступить следующим образом. Представьте себе, что Вам задам аргумент х и надо вычислить соответствующее значение функции. Если написать условие выполнимости каждой операции при вычислении функции, то мы и получим систему для определения области определения. Кроме того, в формировании сложной функции последовательно участвуют несколько функций. В этой ситуации мы, прежде всего, смотрим на последнюю применяемую функцию.

81

Итак, в данном случае аргумент внешней логарифмической функции должен быть положителен, и мы приходим к неравенству 7 7 или 0 < |'x - l | < \х-Ц г-Ъ>0 ' —3 , решением которого является множество — ; 1 U 1; — , содержащее целые числа: - 1, 0, 2, 3. Их сумма равна 4. Это ответ № 2.

Найдите множество значений функции у = log3 (х 2 - 6х + 361. 1)[3; + оо)

2) [2; +со)

3)(-«>;

+ оо)

4 ) [ 0 ; + оо)

При решении задачи А6 Вам потребуются находить множество значений функций. При этом могут потребоваться знания областей определения тригонометрической, логарифмической, показательной функций и умение сопоставлять им соответствующие множества значений. В этой задаче может быть и очень простая ситуация. Быть может, Вам достаточно будет знать, что значения синуса и косинуса находятся на промежутке [- 1; 1], их квадраты принимают значения на промежутке [0; 1]. Не забывайте, что показательная функция принимает лишь положительные значения, а логарифмическая может принимать любые значения. В данном случае множество значений внутренней функции у = х2 - 6х + 36 является областью определения внешней функции у = log3 х . Но функция х2 - 6х + 36 после выделения полного квадрата

приводится

к виду ( х - 3 ) +27 , и

ее

значения

составляют множество [27; + °о). При этих значениях аргумента внешняя функция log 3 x принимает значения от 3 включительно до плюс бесконечности. Правильный ответ № 1.

82

Функция у = f{x) задана графически на промежутке [- 7; 4]. Укажите те значения аргумента, при которых выполнено неравенство f(x) > 1. 1) (- 7; 0) и (0; 4) 2)[-7;-4)u(3;4] 3)[-7;-3)u(3;4] 4) ( - 7 ; 4) Использование графиков в решении неравенств - так обозначена тема задачи А7 в тематике задач Единого экзамена по математике. Следовательно, не исключено, что Вам необходимо будет построить график некоторой функции для решения заданного неравенства. В данном случае непосредственно видно, что требуемое условие f{x)>\ выполнено, если х3 . С учетом области определения функции приходим к ответу № 2.

Найдите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения |JC + 5| = 2 | J C - 1 | .

1) - 1

2) 1

3) 6

4) 7

В задании А8 проверяется умение решать простейшие уравнения. Здесь Вы можете также встретить иррациональное, тригонометрическое, показательное или логарифмическое уравнение. Данное уравнение может быть решено различными способами. Знать каждый из этих способов полезно для решения различных задач. Во-первых, можно применить основной способ решения задач «с модулем». Числовая ось разбивается на части, в каждой из которых все абсолютные величины, входящие в условие задачи, раскрываются с определенными знаками. Тем самым на каждом из рассматриваемых промежутков мы приходим к задаче «без модуля». Решая эти задачи, мы берем ту часть решения, которая лежит на рассматриваемом промежутке. Объединяя вместе полученные части решения, мы приходим к ответу.

83

В конкретных ситуациях логика решения задачи может упрощаться. Например, в данном случае воспользуемся тем фактом, что |а| = Щ То есть модули чисел равны тогда и а = -Ь. только тогда, когда либо эти числа равны, либо они отличаются знаком. Следовательно, равенство |х + 5| = 2|х - 1 | выполнено лишь при условии, что х + 5 = 2х - 2 или х + 5 = 2 - 2х . Соответственно, JCJ = 7 и х2 = - 1 .В итоге мы приходим к правильному ответу № 3.

Найдите число целых решений неравенства ( 9 - х 2 Wx + 7 > 0 , лежащих на отрезке [- 9; 6]. 1) 5

2) 7

3) 8

4) 9

Умение решать неравенства с одной переменной проверяется при решении задачи А9. В задании А9 могут встретиться рациональные, показательные, логарифмические, неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, неравенства с параметром и комбинированные неравенства. Любое неравенство может быть решено методом интервалов. В методе интервалов на числовой оси необходимо отметить точки, при которых неравенство переходит в равенство и точки, являющиеся границей области определения входящих в неравенство функций. После этого на числовой оси образуются интервалы, каждый из которых либо целиком является решением данного неравенство, либо целиком не является этим решением. В ответ отбираются те интервалы и те отмеченные точки, которые являются решением неравенства. Метод интервалов является универсальным Он применим для решения неравенств любого вида. В данном случае, применяя метод интервалов, мы отмечаем на числовой оси точки - 7 и ± 3 . Легко проверить, что все отмеченные точки и интервал (- 3; 3) - решения неравенства. В итоге множество {-7}и(-3;3) является решением заданного неравенства. При этом целыми решениями являются числа: - 7, - 3, - 2, - 1, О, 1, 2, 3. Их число равно 8. Это ответ № 3.

84

Тело движется прямолинейно таким образом, что пройденное расстояние равно S(t) = 3t +1 . Найдите расстояние, которое пройдет тело до того момента, когда его скорость станет равной 11. 1) 10

2) 18

3) 28

4) 37

Владение геометрическим или физическим смыслом производной проверяется при решении задачи А10. В данном случае задан пройденный путь как функция времени при движении тела по прямой. Физический смысл производной заключается в том, что в такой ситуации производная от пройденного пути по времени равна мгновенной скорости тела. Следовательно, для нахождения скорости в момент времени t мы находим производную S'(t) = 3 + 2t . Далее необходимо выяснить, при каком значении t выполнено условие 3 + 2/ = 11 . Отсюда t - 4 и за это время тело пройдет путь S(4) = 28 . Правильным является ответ № 3 .

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно. Найдите значение а, при котором равенство я(Зх-8)-Зх-6 х-12 = верно для всех значении х. а+3 3 В задании В1 необходимо продемонстрировать умение выполнять тождественные преобразования выражений. Бывает ситуация, когда нам сразу понятно, какого рода преобразование надо сделать. В данном случаемы мы имеем дело с уравнением вида ах-Ъ , которое обращается в верное равенство для всех х только в том случае, когда а = Ъ - 0. Все это равносильно тому, что в написанном равенстве коэффициент при переменной х в левой части должен равняться коэффициенту при х в правой и, соответственно, равны свободные члены. .. За-3 1 -8*-6 -12 Итак, =— и = , откуда а = 1,5. Ответ. 1,5. а+3 3 а+3 3 85

Найдите

сумму

всех

переменных, 2

( б х - 5 Jу - 3 9 = vJ4y системы < [4х + у = 5.

являющимися

решениями

2

-\2хуJ + 9х ,

Умение применять стандартные методы для решения уравнений потребуются Вам при решении задачи В2. При этом могут встретиться иррациональные, показательные, логарифмические или тригонометрические уравнения. Ключ к решению заданной системы заключается в том факте, что в правой части первого уравнения подкоренное выражение является полным квадратом и, следовательно, эта правая часть равна модулю линейной комбинации переменных | 2 у - 3 х | . Раскрывая модуль с плюсом и с минусом, мы каждый раз получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. При этом надо учесть, что решения полученных систем нуждаются в дополнительной проверке, т.к. могут и не являться решением первоначальной системы. Отметим основные этапы этого решения. Заданная системы {бх-5у-39 = \2у-3х\, преобразуется к виду < ' ' При 2у - Зх > 0 мы [4х + у = 5. \9х-7у = 39, приходим к виду •< с решением х = 2, у = -3, которое [4х + у = 5 не удовлетворяет условию 2у - Зх > 0 . ГЗд:-3^ = 39, система запишется в виде < с F У [4х + у = 5 решением х = 3,6 , у = -9,4 , которое удовлетворяет условию 2у - Зх < 0 . Вычислив .сумму найденных переменных, приходим к ответу. Ответ. - 5,8. При 2 у - 3 х < 0

Уравнение (а-\)х2 + х + 5 = 0 имеет единственное решение. Найдите значение а (или сумму таких значений, если их несколько). В задании ВЗ необходимо использовать свойства функций при решении уравнений.

86

В данном случае обратим внимание на тот факт, что заданное уравнение имеет единственное решение при двух обстоятельствах. Во-первых, при а = 1 оно является линейным уравнением и имеет единственное решение. Во-вторых, при а Ф 1 заданное уравнение является квадратным. Следовательно, оно имеет единственное решение при дискриминанте D = 1 - 20(0

В итоге задача полностью конкретизировалась. Надо найти 2

(3r-r3J

сумму целых значений, которые принимает величина при 0 < г < >/з .Заметим, что при г = 0 и при величина равна 0. dV Рассмотрим производную = я"2-(1-г2)

исследуемая ,

которая

положительна при 0 < г < 1 и отрицательна при 1 < г < v 3 . Следовательно, значения объема возрастают на промежутке (0; 1] и убывают на промежутке

1; V3) . При г = 1 объем принимает

наибольшее значение и равен заполняют промежуток

. В целом значения объема

\±

Для получения окончательного ответа нам надо выяснить, между какими целыми числами лежит число

. Для его оценки

заметим, что 3,1