Е. Г. Крушель, О. В. Степанченко
СИНТЕЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ С ДВОЙНОЙ ШКАЛОЙ ВРЕМЕНИ Монография...
32 downloads
255 Views
1009KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Е. Г. Крушель, О. В. Степанченко
СИНТЕЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ С ДВОЙНОЙ ШКАЛОЙ ВРЕМЕНИ Монография
МОСКВА «МАШИНОСТРОЕНИЕ-1» 2006 3
УДК 004.3(06) К 84 Рецензенты: лаборатория «Системные проблемы управления и автоматизации в машиностроении» Института проблем точной механики и управления РАН; заведующий кафедрой «Радиотехнические системы» Самарского государственного технического университета, д. т. н., профессор В. Н. Нестеров; заведующий кафедрой «Информатика и вычислительная техника», декан строительно-технического факультета Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета, д. т. н., профессор А. Н. Богомолов К 84
Крушель Е. Г., Степанченко О. В. СИНТЕЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ С ДВОЙНОЙ ШКАЛОЙ ВРЕМЕНИ: Монография. – М.: Машиностроение-1, 2006. – 96 с. ISBN 5-94275-271-0
Рассмотрены задачи построения цифровых управляющих систем для распространенного класса технологических процессов, особенностью которых является наличие существенно различных по показателям инерционности (т. е. разнотемповых) составляющих (субпроцессов). Приведены результаты анализа особенностей и принципов моделирования технологических процессов с разнотемповыми составляющими, разработана методика моделирования систем управления такими процессами на основе введения управляющей системы с двойной шкалой времени. Описаны принципы построения алгоритмического обеспечения двухконтурного цифрового пропорционально-интегрального регулятора с двойной шкалой времени. Изложены результаты обобщения методов аналитического конструирования оптимальных регуляторов класса задач управления процессами с разнотемповыми составляющими. Для студентов, аспирантов и инженеров, интересующихся вопросами разработки алгоритмического обеспечения автоматизированных и автоматических систем управления. Может быть использована как раздел спецкурса по специальным главам кибернетики. Ил. 40. Табл. 2. Библиогр.: 35 назв. ISBN 5-94275-271-0
© Крушель Е. Г., Степанченко О. В., 2006 © Волгоградский государственный технический университет, 2006 4
Научное издание
Елена Георгиевна Крушель Ольга Викторовна Степанченко
СИНТЕЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ С ДВОЙНОЙ ШКАЛОЙ ВРЕМЕНИ
Монография
Редакторы: Попова Л. В., Пчелинцева М. А. Компьютерная верстка Сарафановой Н. М. Темплан 2006 г., поз. № 3. Лицензия ИД № 04790 от 18.05.2001. Подписано в печать 14. 04. 2006 г. Формат 60×84 1/16. Бумага листовая. Гарнитура ”Times“. Усл. печ. л. 6,0. Усл. авт. л. 5,81. Тираж 200 экз. Заказ Волгоградский государственный технический университет 400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28. РПК «Политехник» Волгоградского государственного технического университета 400131 Волгоград, ул. Советская, 35. ООО Издательство «Машиностроение-1» 107076, Москва, Стромынский пер., 4. Отпечатано в муниципальном унитарном предприятии «Камышинская типография» Лицензия ИД № 05440 от 20 июля 2001 г. 403882, Волгоградская обл., г. Камышин, ул. Красная, 14
5
Е. Г. КРУШЕЛЬ, О. В. СТЕПАНЧЕНКО
СИНТЕЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ С ДВОЙНОЙ ШКАЛОЙ ВРЕМЕНИ
6
СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ.......................................................................................................9 СПИСОК АББРЕВИАТУР...............................................................................7 ГЛАВА 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ С РАЗНОТЕМПОВЫМИ СОСТАВЛЯЮЩИМИ.....................................................................................8 § 1. Основные идеи моделирования разнотемповых процессов и построения их упрощенных моделей на основе метода ДШВ............12 1.1. Общая характеристика метода ДШВ и области его применения.............................................................................................1 2 1.2. Класс объектов с разнотемповыми процессами, для которого предлагается метод ДШВ.....................................................................14 1.3. Способы расчета параметров для модели (1.2) с сепаратным представлением медленной и быстрой составляющих....................15 1.4. Достаточные условия наличия разнотемповости......................19 1.5. Последовательность расчета параметров при использовании метода ДШВ для моделирования динамики сложного процесса...20 § 2. Направления развития метода ДШВ для дискретных систем......22 § 3. Методика моделирования дискретных систем управления по методу ДШВ................................................................................................................................23 3.1 Методика моделирования систем с разнотемповыми процессами...........................................................................................24 3.2. Пример выполнения расчетов и моделирования по разработанной методике для объекта четвертого порядка с разнотемповыми составляющими......................................................34 § 4. Использование метода двойной шкалы времени при моделировании электродвигателя постоянного тока............................44 § 5. Выводы................................................................................................51 ГЛАВА 2. ПРОЕКТИРОВАНИЕ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЦИФРОВОГО ПИ-РЕГУЛЯТОРА С УЧЕТОМ СВОЙСТВ ОБЪЕКТОВ С РАЗНОТЕМПОВЫМИ ПРОЦЕССАМИ........53 § 1. Схема построения цифрового ПИ–регулятора для объектов с разнотемповыми составляющими...........................................................54 § 2. Оценка эффективности использования «двушкальных» цифровых ПИ-регуляторов......................................................54 2.1. Система показателей для оценки эффективности введения ДШВ......................................................................................................66 7
2.2. Исследования качества управления объектом с применением «двушкального» цифрового ПИ-регулятора.....................................58 § 3. Выводы................................................................................................61 ГЛАВА 3. СИНТЕЗ СУБОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ С РАЗНОТЕМПОВЫМИ СУБПРОЦЕССАМИ................62 § 1. База для оценки эффективности использования метода ДШВ....63 § 2. Синтез субоптимальных управляющих воздействий для объектов c разнотемповыми составляющими на основе метода ДШВ............................................................................................................77 2.1. Исходные положения, принимаемые для синтеза субоптимальных управляющих воздействий....................................66 2.2. Сравнение точного и приближенного решения задачи АКОР (на примере управления объектом 4-го порядка)............................72 § 3. Использование фильтров пониженного порядка в задаче синтеза субоптимальных управлений...................................................................8 § 4. Выводы..............................................................................................81 ЗАКЛЮЧЕНИЕ...............................................................................................83 ЛИТЕРАТУРА.................................................................................................84 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. МОДЕЛЬ, РАССМАТРИВАЕМАЯ В КАЧЕСТВЕ ПРИМЕРА В ГЛАВАХ 1, 3...........................................................................86 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА................................................................................................................88 ПРИЛОЖЕНИЕ 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОГО КОНСТРУИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ С КРИТЕРИЕМ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА...............................................91
8
Введение Перевод управляющей техники на цифровую основу не только открывает возможности усовершенствования алгоритмов управления, но и ставит перед разработчиками задачу повышения эффективности использования ресурсов вычислительной (в частности, микропроцессорной) техники. Одним из направлений решения этой важной проблемы является поиск упрощающих допущений на этапе постановки задачи создания управляющей системы, позволяющих получить более простые и быстродействующие алгоритмы без заметного ухудшения качества управления и одновременно улучшить вычислительную процедуру, их реализующую. Ресурсы цифровой системы, которые высвобождаются благодаря упрощению алгоритмов, могут быть использованы для расширения состава информационных функций локальных систем управления и, соответственно, для повышения надежности и экономической эффективности автоматизации. Источником возможных упрощений постановок задач алгоритмизации является учет особенностей структуры и свойств объектов управления. В данной книге исследуется одно из направлений учета свойств некоторых распространенных объектов, основанное на выделении существенно различных по показателям инерционности (т. е. разнотемповых) составляющих (субпроцессов) в автоматизируемом технологическом процессе. Технологические процессы, обладающие разнотемповыми составляющими, довольно широко распространены. В качестве одного из примеров можно указать электропривод постоянного тока, изменение скорости вращения которого характеризуется гораздо большей инерционностью, чем изменение тока в якорной цепи. Другим примером являются аппараты химической промышленности, в которых изменение характеристик катализатора имеет гораздо большую инерционность, чем процесс производства продуктов. В предшествующих работах [1...6] был предложен подход к исследованию систем с разнотемповыми составляющими в непрерывном времени. Теоретической основой данных работ являлся метод малого параметра [7...11]. В частности, в [10] рассматриваются вопросы использования метода малого параметра для придания новых, полезных свойств нелинейным законам управления. В [11] метод малого параметра использован для решения задач математического программирования. Имеются работы, распространяющие идеи исследования систем с разнотемповыми составляющими на процессы с дискретным временем [12...15]. Однако осталось непреодоленным различие в формах описания объектов управления (для которых время является непрерывным, а разделение на субпроцессы – условным, вводимым только для упрощения их 9
анализа) и систем управления, которые в современных условиях являются цифровыми. Для описания цифровых управляющих систем требуется не только ввести дискретное время, но и учесть особенности работы, связанные с многофункциональностью и необходимостью разделения времени между задачами. Результаты, полученные в предшествующих работах, недостаточны для получения практичных методов построения цифровых управляющих систем для объектов с разнотемповыми составляющими, функционирующих в непрерывном времени. Рассмотрению одного из возможных путей преодоления противоречия между формами описания объекта с разнотемповыми составляющими и цифровой управляющей системы и посвящена данная книга. Результаты излагаются применительно к задачам управления многомерными линейными динамическими объектами. В монографии рассмотрены следующие задачи: 1. Анализ особенностей и принципов моделирования технологических процессов с разнотемповыми составляющими, разработка методики моделирования систем управления такими процессами на основе введения двойной шкалы времени (гл. 1). 2. Разработка алгоритмического обеспечения двухконтурного дискретного пропорционально-интегрального (ПИ) регулятора с двойной шкалой времени (гл. 2). 3. Оценка эффективности предлагаемых алгоритмов при решении практической задачи управления процессом стабилизации скорости вращения электродвигателя постоянного тока (гл. 3). 4. Синтез дискретных субоптимальных алгоритмов управления процессами с разнотемповыми составляющими на основе обобщения методов аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) и использования фильтров пониженного порядка для восстановления неизмеряемых составляющих вектора состояния объекта (гл. 3). Проведение исследований базируется на теоретических методах описания дискретных процессов управления в пространстве состояний, принципах понижения порядка математических моделей с использованием метода малого параметра и двойного временного шкалирования, а также на методах имитационного моделирования. Основные результаты работы опубликованы в [16...21].
10
СПИСОК АББРЕВИАТУР АКОР – аналитическое констуирование оптимальных регуляторов АСУТП – автоматические и автоматизированные системы управления технологическими процессами ДШВ – двойная шкала времени П-закон – пропорциональный закон ПИ-регулятор – пропорционально-интегральный регулятор
11
ГЛАВА 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ С РАЗНОТЕМПОВЫМИ СОСТАВЛЯЮЩИМИ Содержание главы составляют вопросы, связанные с описанием динамических процессов с разнотемповыми составляющими, моделированием этих процессов и определением параметров, позволяющих упростить математические модели путем введения двойной шкалы времени (ДШВ). Изложение проведено по следующей схеме: на основании обзора опубликованных работ [12...15], посвященных исследованию разнотемповых процессов в дискретном времени (§ 1), определяются направления развития достигнутых результатов, обладающие новизной (§ 2); излагается методика моделирования систем управления разнотемповыми процессами с использованием ДШВ, содержащая заявленные в п. 1.2 новые элементы; позиции методики сопровождаются сквозным иллюстративным примером (§ 3); приводятся результаты использования разработанной методики для решения прикладной задачи (моделирование разнотемповых процессов в электродвигателе постоянного тока) (§ 4). § 1. Основные идеи моделирования разнотемповых процессов и построения их упрощенных моделей на основе метода ДШВ Материал, включенный в данный параграф, носит обзорный характер; цель обзора – сформулировать направления развития известных методов. Главное внимание уделено обзору результатов, достигнутых в области исследования разнотемповых процессов в дискретном времени [12...15]. 1.1. Общая характеристика метода ДШВ и области его применения Известно, что метод ДШВ входит в группу методов упрощения описания сложных динамических систем, основанных на различных способах понижения порядка описания объектов управления [7,10,11,22...24]. Область применения метода – управление динамическими процессами, переменные состояния которых имеют существенно различные инерционные свойства (далее такие переменные состояния называются разнотемповыми). Техническими примерами объектов, содержащих разнотемповые переменные состояния, являются: аппараты химической промышленности, в которых изменение характеристик катализатора имеет гораздо большую инерционность, чем процесс производства продуктов; электродвигатели, механическая система которых характеризуется гораздо большей инерционностью, чем изменение тока в якорной цепи. Интуитивным обоснованием метода понижения порядка при управлении разнотемповыми процессами является отказ от учета быстрой со12
ставляющей при моделировании переходных процессов (в связи с ее быстрым затуханием) и ориентация алгоритмов управления только на медленную составляющую, которая, в основном, и определяет продолжительность переходных процессов. Инженерные подходы к разделению задач принятия решений по частотному спектру с введением различных интервалов управления, для контуров оперативного планирования, оперативного управления и автоматической стабилизации, основаны именно на использовании данного свойства объектов. Однако управление только медленными составляющими приводит к потерям качества управления в периоды времени, непосредственно примыкающие к моментам изменения режима работы объекта (в частности, к моментам скачкообразного изменения задающих воздействий или возникновения возмущений). В ряде работ [1...3,7] предлагается способ улучшения качества управления за счет введения различных дискрет времени для контуров управления разнотемповыми процессами. Теоретические результаты излагаются в терминах двойной шкалы времени, так как обобщение на случай множественных шкал не представляет труда. Главная идея метода ДШВ состоит в рассмотрении медленной и быстрой составляющих вектора состояния по следующей схеме: − в шкале медленного времени быстрая составляющая трактуется как безынерционная (в частности, для ее описания используются не дифференциальные и не разностные, а алгебраические соотношения); − для периодов резких изменений режима работы объекта, на которых динамика быстрой составляющей существенна, вводится более дробная временная единица (шкала быстрого времени); уравнения, описывающие быструю составляющую, трактуются как динамические, а значения медленной составляющей во время переходных процессов быстрой составляющей приближенно считаются постоянными. Более строгие исследования позволяют установить количественные характеристики параметров объекта, при которых метод ДШВ позволяет получить хорошую аппроксимацию динамики процесса и удовлетворительное качество управления на основе метода ДШВ. К настоящему времени основные результаты по управлению разнотемповыми процессами на базе ДШВ получены для систем управления с непрерывным временем [10, 25...27]. Для целей использования метода ДШВ для разработки цифровых систем управления разнотемповыми процессами более пригодны модели с дискретным временем. Приведем сводку результатов, полученных в этом направлении в [1...3, 7, 20, 21].
13
1.2. Класс объектов с разнотемповыми процессами, для которого предлагается метод ДШВ Рассматривается класс линейных дискретных многомерных объектов управления [28, 29], математическая модель которых представлена в nмерном евклидовом пространстве состояний Rn: x[ s] ∈ R n , s = 0, 1, … – такты дискретного времени, отсчитываемые с заданным интервалом Δt; начальное состояние x[0] считается известным. Предполагается, что по физическим соображениям в векторе состояния x[s] могут быть выделены медленные и быстрые субпроцессы, описываемые субвекторами состояний x1 [ s ] ∈ R n1 и x 2 [ s ] ∈ R n2 соответственно, n1 + n2 = n, после чего модель объекта представляется в виде: x1 [ s + 1] A A12 x1 [ s ] B (1.1) = 11 + 1 u[ s ] , x 2 [ s + 1] A21 A22 x 2 [ s ] B2 где u[ s] ∈ R m – вектор управляющих воздействий, Аij, i,j = 1,2 и Bi, i = 1,2 – матрицы размерностей n1 × n1, n1 × n2, n2 × n1, n2 × n2, n1 × m, n2 × m соответственно. Внедиагональные (возможно, ненулевые) блоки Аij, I ≠ j показывают перекрестные связи между медленным и быстрым субпроцессами. Наличие этих связей не позволяет подтвердить интуитивные предположения о разнотемповости субпроцессов и (тем более) получить ее количественную оценку. Из-за влияния медленной составляющей на быструю реакция быстрого субпроцесса на внешние воздействия имеет примерно такой же характер, как и реакция медленного. Формальное определение свойства разнотемповости. В [12] предложен прием, позволяющий диагностировать наличие разнотемповости путем формального преобразования модели вида (1.1) в эквивалентную модель, в которой перекрестные взаимодействия между субпроцессами исключены. Существо приема состоит в расчете параметров такого линейного преобразования (агрегирования) исходных «физических» переменных состояний, чтобы уравнения динамики для быстрого xБ[s] и медленного xM[s] субпроцессов в преобразованной модели стали автономными: x М [ s + 1] A 0 xМ [s] B (1.2) = М + М u[ s ] , x Б [ s + 1] 0 AБ x Б [ s ] BБ
[
]
T
[
]
T
где x M [ s ]T x Б [ s ]T = C x1[ s ]T x2 [ s ]T , С – n × n матрица линейного преобразования (агрегирования) исходных блоков вектора состояния, AM, AБ, BM, BБ – матрицы размерности n1 × n1, n2 × n2, n1 × m, n2 × m соответственно, полученные путем расчета по параметрам модели (1.1).
14
Наличие свойства ДШВ формально проявляется в существовании «зазора» между собственными числами медленной λi, i = 1, … , n1 и быстрой λj, j = 1, … , n2 подсистем: Δ
Δ
(1.3) λз < λM , где λз = max λ j ( Aз ) ; λМ = min λi ( AМ ) . i j Из (1.3) видно, что самая медленная мода быстрой подсистемы в объекте с ДШВ затухает быстрее, чем самая быстрая мода медленной подсистемы. Достаточным признаком наличия свойства ДШВ является условие −1 (1.4) А М−1 >> А Б ,
где ||...|| – евклидова норма матрицы. В (1.4) использована известная оценка границ спектра собственных чисел −1 min λi ( AМ ) ≥ АМ i
−1
; max λ j ( AБ ) ≤ АБ . j
Соотношение (1.4) используется для того, чтобы избежать сложной процедуры расчета спектра собственных значений, необходимых для непосредственной проверки условия (1.3). В соответствии с последним исходные уравнения (1.1) должны быть преобразованы в форму с сепаратными уравнениями для медленного x М [ s ] ∈ R n1
и быстрого x2 [ s ] ∈ R n2 субпроцессов (1.2).
1.3. Способы расчета параметров для модели (1.2) с сепаратным представлением медленной и быстрой составляющих Известны два способа расчета параметров матриц АМ, АБ, ВМ, ВБ для модели (1.2) [12]. Первый (так наз. Б-преобразование) состоит в первоначальном исключении влияния медленного субпроцесса на быстрый и завершается сепарацией медленного субпроцесса. Второй (так. наз. Мпреобразование), двойственный к Б-преобразованию, состоит в первоначальном исключении влияния быстрого субпроцесса на медленный и завершается сепарацией быстрого субпроцесса. Технология Б-преобразования состоит в следующем. Быстрый сепаратный субпроцесс формируется как агрегат «физических» исходных субпроцессов: (1.5) xБ [ s] = x2 [ s] + PБ x1[ s] , где PБ – поправочная n2 × n1 матрица, элементы которой рассчитываются ниже так, чтобы исключить влияние x1[s] на xБ[s]: x1[ s + 1] B A11 A12 x1[ s ] (1.6) = + 1 u[ s ] , x Б [ s + 1] B2 0 A 22 x Б [ s ] причем A11 , A12 , B2 подлежат определению из условий совпадения динамики (1.6) и (1.1). Для этого выполняются следующие действия: 15
1. Из (1.6) выписывается соотношение для x1[s], в которое подставляется выражение для xБ[s] из (1.5):
x1 [s + 1] = A11 x1 [s ] + A12 x Б [s ] + B1u[ s ] =
= A11 x1 [s ] + A12 ( x 2 [s ] + PБ x1 [s ]) + B1u[ s ], x1 [s + 1] = ( A11 + A12 PБ ) x1 [ s ] + A12 x 2 [ s ] + B1u [ s ] .
(1.7)
Для того чтобы (1.7) тождественно совпадало с формулой для x1[s+1] из (1.1), A11 должна быть определена следующим образом: Δ
A11 = A11 − A12 PБ .
2. Аналогично выписываются соотношения для xБ[s]: xБ [s +1] = A22 xБ [s] + B 2u[s] ,
(1.8) (1.9)
x2 [s + 1] + PБ x1[s +1] = A22 x2 [s] + A22 PБ x1[s] + B 2u[s] .
Подстановка уравнения связи xi[s+1] с xi[s], ui[s], i = 1, 2 из (1.1) в последнее уравнение и группировка элементов с одинаковыми сомножителями приводит к соотношению: ( A21 + PБ A11 − A 22 PБ ) x1[ s ] + ( A22 + PБ A12 ) x2 [ s ] +
+ ( B2 + PБ B1 )u[ s ] = A 22 x2 [ s ] + B 2 u[ s ]. Для того чтобы модели (1.1) и (1.6) были эквивалентными, последнее соотношение должно выполняться тождественно. Это будет достигнуто, если матрицу PБ рассчитать из условия равенства нулю сомножителя перед x1[s] и если определить A22 , B2 следующим образом: Δ
Δ
A 22 = A22 + PБ A12 , B 2 = B2 + PБ B1 .
(1.10) Таким образом, получено матричное уравнение для расчета элементов РБ: А21 + PБ А11 − A22 PБ = 0 . С учетом (1.10) получим матричное уравнение размерности n2 × n1 (уравнение типа Риккати [30]): (1.11) А21 + PБ А11 − А22 PБ − PБ А12 PБ = 0 . 3. После того, как (1.1) приведена к форме (1.6), производится агрегирование исходного медленного субпроцесса с сепаратным быстрым агрегатом xБ[s] с помощью линейного преобразования: (1.12) xМ [ s] = x1[ s] − QБ xБ [ s] , где QБ – поправочная n1 × n2 матрица, элементы которой рассчитываются ниже так, чтобы исключить влияние xБ[s] на xМ[s] и получить модель с полностью сепаратными составляющими. x М [ s + 1] xМ [ s] 0 A11 B1 (1.13) = + u[ s ] . x Б [ s + 1] 0 A 22 x Б [ s ] B2 16
4. Из (1.12)
x1[ s] = xM [ s] + QБ xБ [ s] .
Полученное выражение подставляется в формулу для x1[s+1] из (1.6):
x1[ s + 1] = A11 x1[ s ] + A12 x Б [ s ] + B1u[ s ],
x М [ s + 1] + QБ x Б [ s + 1] = A11 x М [ s ] + A11QБ x Б [ s ] + A12 x Б [ s ] + B1u[ s ]. 5. В полученное выражение подставляется уравнение динамики xБ [s + 1] = A22 xБ [s] + B2u[s] из (1.9); после группировки слагаемых:
x M [ s + 1] = A11 x M [ s ] + ( B1 − Q Б B 2 )u[ s ] + + ( A12 + A11Q Б − Q Б A 22 ) x Б [ s ].
(1.14)
Для того, чтобы уравнение (1.13) определяло медленную составляющую сепаратно, QБ выбирается так, чтобы матричный коэффициент при хБ[s] был нулевым. Из (1.14) получено Δ
B1 = B1 − QБ B 2 , где QБ удовлетворяет уравнению: А12 + A11QБ − QБ A 22 = 0 . С использованием (1.10), (1.8) получено окончательно Δ
B1 = ( E n1×n1 − Q Б PБ ) B1 − Q Б B 2 , где
(1.15)
E n1×n1 – единичная матрица n1 × n1; QБ – решение уравнения Ляпуно-
ва [31]:
( A11 − A12 PБ )QБ − QБ ( A22 + PБ A12 ) + A12 = 0 .
(1.16)
Таким образом, получена искомая сепаратная модель вида (1.13): xМ [s +1] A −А P 0 = 11 12 Б xБ [s +1] A22 + PБ А12 0
xМ [s] (E − QБ PБ )B1 − QБ B2 + n1×n1 u[s] . (1.17) xБ [s] PБ B1 + B2
Преобразования (1.5) и (1.12) задают связь между «физическими»
[
переменными x1 [ s ]T
x 2 [ s]T
медленной составляющими
[x
]
T
и вектором с разделенными быстрой и
T М [s]
E n1×n1 − QБ PБ xМ [s] = PБ x Б [s]
x1[ s ] x2 [ s]
=
E n1×n1 − PБ
x Б [ s ]T
]: T
− QБ E n2 ×n2
x1[ s ] , x2 [ s ]
QБ E n2 ×n2 − PБ QБ
xМ [ s]
17
x Б [ s]
(1.18)
.
(1.19)
Из (1.18) и (1.19) видно, что матричные сомножители – взаимно обратные матрицы. Уравнение (1.18) допускает интересную трактовку: можно рассматривать блочные строки матрицы-сомножителя как матрицы агрегации, позволяющие сформировать быструю либо медленную сепаратные составляющие путем преобразования «физических» переменных состояния линейными фильтрами: xM [ s] = C M x[ s], x Б [ s] = C Б x[ s] , где СМ и СБ представляют собой матрицы агрегации «физических» переменных состояния и записываются в виде: (1.20) C М = [ En × n − QБ PБ − QБ ]; C Б = [ PБ En × n ] . 1
1
2
2
Формулы Б-преобразования существенно упрощаются, если в исходной модели (1.1) матрица А12 – нулевая (такой случай встречается на практике, когда модель в состояниях записывается вместо исходной модели «вход-выход» со скалярными входами и выходами). Аналогично выводятся соотношения для М-преобразования, в котором вначале исключается влияние быстрого субпроцесса на медленный, а затем сепарируется быстрый субпроцесс. В табл. 1 приведены параметры модели с сепаратными быстрой и медленной составляющими, полученные с помощью М-преобразования и Б-преобразования. Матричные уравнения, определяющие (PБ, PМ) и (QБ, QМ) удовлетворяют соотношениям двойственности: (1.21а) A21 + PБ A11 − A22 PБ − PБ A12 PБ = 0 ↔
A12 + PM A22 − A11PM − PM A21PM = 0, ( A11 − A12 PБ )Q Б − Q Б ( A22 + PБ A12 ) + A12 = 0 ↔
(1.21б) (1.22а)
( A22 − A21PM )QM − QM ( A11 + PM A21 ) + A21 = 0.
(1.22б) Таблица 1 Параметры модели (1.2), полученные различными преобразованиями Обозначения параметров в модели (1.2) AМ
Формулы, полученные: при Б-преобразовании при М-преобразовании
AБ BМ
A11 − A12 PБ
A11 + PM A21
A22 + PБ A12
A22 − A21 PМ
(En ×n − QБ PБ )B1 − QБ B2 1
1
18
B1 + PМ B2
Обозначения параметров в модели (1.2) BБ
Формулы, полученные: при Б-преобразовании при М-преобразовании
(En ×n
B2 + PБ B1
2
2
)
− QМ PМ B2 − QМ B1
Для решения матричных уравнений (1.21) – (1.22) предложена итерационная процедура, сходимость которой гарантируется при наличии в объекте свойства ДШВ: −1 , (1.23) PБv = A22 PБv −1 + PБv−1 A12 PБv −1 − A21 A11
(
)
(
)
−1 PMv = A11 A12 + PMv −1 A22 − PMv −1 A21 PMv −1 ,
(1.24)
где в качестве нулевого приближения принимается: −1 −1 PБ0 = − A21 A11 , PМ0 = A11 A12 .
Аналогично получают рекуррентные формулы для определения QБ, QМ: −1 (1.25) QБv = A11 A12 PБ QБv −1 + QБv −1 ( A22 + PБ A12 − A12 ) ,
(
(
)
)
QMv = ( A22 − A21 PM )QMv −1 − QMv −1 PM A21 + A21 A11−1 ,
(1.26)
где в качестве начального приближения использовано: −1 −1 QБ0 = − A11 A12 , QМ0 = A21 A11 .
Уравнение (1.22) можно решать и алгебраически (не итерационно), поскольку параметры матриц QБ, QМ входят в них линейно.
1.4. Достаточные условия наличия разнотемповости Проверка производится с использованием леммы, устанавливающей нижнюю границу величины зазора между спектрами собственных чисел медленного и быстрого субпроцессов. Для ее использования исходное уравнение (1.1) должно быть представлено в виде ˆ x 1 [s + 1] x 1 [s] B A 11 μ 1− j A 12 (1.27) = j + 1 u[s] , ˆ ˆ x 2 [s + 1] x 2 [s] B2 μ A μA 21
22
где μ – малый скалярный параметр. Если x1[s] и x2[s] считаются по физическим соображениям разнотемповыми, то в качестве μ можно выбрать А (1.28) μ = 22