moskowskij gosudarstwennyj uniwersitet IMENI m w lomonosowa mEHANIKO MATEMATI^ESKIJ FAKULXTET .
.
-
s a tELQKOWSKIJ ...
8 downloads
161 Views
968KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
moskowskij gosudarstwennyj uniwersitet IMENI m w lomonosowa mEHANIKO MATEMATI^ESKIJ FAKULXTET .
.
-
s a tELQKOWSKIJ .
.
kurs lekcij po matemati~eskomu analizu I SEMESTR
KWA
Moc
2002
GOD
moskowskij gosudarstwennyj uniwersitet IMENI m w lomonosowa mEHANIKO MATEMATI^ESKIJ FAKULXTET .
.
-
s. a. tELQKOWSKIJ
kURS LEKCIJ PO MATEMATI^ESKOMU ANALIZU SEMESTR . I
kURS PREDSTAWLQET SOBOJ NESKOLXKO SOKRA]ENNOE (IZ-ZA OGRANI^ENIQ OB_EMA) IZLOVENIE LEKCIJ, ^ITAEMYH AWTOROM NA MEHANIKOMATEMATI^ESKOM FAKULXTETE mgu. ~TOBY OBLEG^ITX WOSPRIQTIE MATERIALA W^ERANIMI KOLXNIKAMI, OB]NOSTX W IZLOVENII NARASTAET POSTEPENNO. pREDNAZNA^AETSQ DLQ STUDENTOW, A TAKVE PREPODAWATELEJ MATEMATI^ESKIH SPECIALXNOSTEJ KLASSI^ESKIH UNIWERSITETOW I WUZOW S POWYENNYM KURSOM MATEMATIKI. rECENZENT | PROFESSOR a. m. sEDLECKIJ
c mEHANIKO-MATEMATI^ESKIJ FAKULXTET mgu, 2002 G.
wWEDENIE
nASTOQ]IJ KURS NAPISAN NA OSNOWE LEKCIJ, ^ITAWIHSQ AWTOROM. bOLEE 15 LET AWTOR ^ITAL LEKCII PO MATEMATI^ESKOMU ANALIZU W mfti. tOGDA PRI RAZRABOTKE KURSA ZA OSNOWU BYL WZQT U^EBNIK s. m. nIKOLXSKOGO \kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA". rAZUMEETSQ, ISPOLXZOWALISX I DRUGIE ISTO^NIKI. w PERWU@ O^EREDX \kURS DIFFERENCIALXNOGO I INTEGRALXNOGO IS^ISLENIQ" g. m. fIHTENGOLXCA I \kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA" l. d. kUDRQWCEWA. s 1996 GODA AWTOR ^ITAET KURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA NA MEHANIKO-MATEMATI^ESKOM FAKULXTETE mgu. zNA^ITELXNOE, PO^TI NA 30 PROCENTOW UWELI^ENIE ^ISLA LEKCIONNYH ^ASOW, IZMENENIE PROGRAMMY I EE AKCENTOW PRIWELI K SU]ESTWENNYM IZMENENIQM SODERVANIQ KURSA. pRI \TOJ PERERABOTKE BOLXU@ POMO]X OKAZAL t. p. lUKAENKO, KOTORYJ PREDOSTAWIL AWTORU SWOI ZAPISI LEKCIJ. |TO POWLIQLO NA WYBOR MATERIALA I PODHODY K EGO IZLOVENI@. kURS SOSTOIT IZ 4 WYPUSKOW, SOOTWETSTWU@]IH I, II, III I IV SEMESTRAM. dLQ SOKRA]ENIQ ZAPISI ISPOLXZU@TSQ SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ. 8 | \DLQ KAVDOGO DLQ L@BOGO DLQ WSEH" (\TO PEREWERNUTAQ NA^ALXNAQ BUKWA ANGLIJSKOGO All), 9 | \SU]ESTWUET NAJDETSQ" (\TO PEREWERNUTAQ NA^ALXNAQ BUKWA ANGLIJSKOGO Exist), : | \TAKOJ, ^TO TAKIE, ^TO", := | \OBOZNA^IM", ) | \SLEDUET", , | \RAWNOSILXNO". pOQSNIM UPOTREBLENIE SIMWOLA ). eSLI A I B | NEKOTORYE UTWERVDENIQ, TO ZAPISX A ) B OZNA^AET \IZ A SLEDUET B ". w MATEMATIKE ^ASTO ISPOLXZU@TSQ TERMINY \DOSTATO^NOE USLOWIE", \NEOBHODIMOE USLOWIE". pRI \TOM SLOWA DOSTATO^NOSTX I NEOBHODIMOSTX IME@T TAKOJ VE SMYSL, KAK W OBYDENNOJ RE^I: ESLI A ) B , TO USLOWIE A QWLQETSQ DOSTATO^NYM, DLQ TOGO ^TOBY IMELO MESTO B , A B NEOBHODIMO DLQ WYPOLNENIQ A. sIMWOL A , B QWLQETSQ OB_EDINENIEM SIMWOLOW ) I (. zAPISX A , B OZNA^AET, ^TO IZ A SLEDUET B , A IZ B SLEDUET A. dRUGIMI SLOWAMI, USLOWIE A QWLQETSQ NEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM DLQ WYPOLNENIQ B , A USLOWIE B NEOBHODIMO I DOSTATO^NO DLQ WYPOLNENIQ A. mART 2002 G. s. a. tELQKOWSKIJ 3
gLAWA
1
dejstwitelxnye ~isla bESKONE^NYE DESQTI^NYE DROBI
x 1.1.
rACIONALXNYE ^ISLA (W ^ASTNOSTI, CELYE ^ISLA) I IH SWOJSTWA S^ITA@TSQ IZWESTNYMI IZ KOLY. rACIONALXNYE ^ISLA MOVNO SRAWNIWATX (T.E. DLQ NIH WWEDENY PONQTIQ \BOLXE" I \MENXE"), NAD NIMI OPREDELENY ARIFMETI^ESKIE DEJSTWIQ. nO RACIONALXNYH ^ISEL NEDOSTATO^NO DAVE DLQ NUVD \LEMENTARNOJ MATEMATIKI . tAK, DLINA DIAGONALI KWADRATA SO STORONOJ p 1 RAWNA 2, A \TO ^ISLO IRRACIONALXNOE, T.E. NE RACIONALXNOE. nE QWLQETSQ RACIONALXNYM I ^ISLO , WYRAVA@]EE DLINU OKRUVNOSTI DIAMETRA 1. nAPOMNIM OPREDELENIE ^ISLOWOJ PRQMOJ. nA PRQMOJ, KOTORU@ S^ITA@T RASPOLOVENNOJ GORIZONTALXNO, WYBIRA@T NA^ALXNU@ TO^KU O I EDINICU DLINY | OTREZOK OE , OTLOVENNYJ WPRAWO OT TO^KI O. tO^KE O STAWITSQ W SOOTWETSTWIE ^ISLO 0, TO^KE E | ^ISLO 1. oTKLADYWAQ WPRAWO OT TO^KI E AG ZA AGOM EDINI^NYJ OTREZOK, POLU^IM TO^KI, SOOTWETSTWU@]IE NATURALXNYM ^ISLAM 2 3 : : : , A OTKLADYWAQ EDINI^NYJ OTREZOK WLEWO OT TO^KI O, | TO^KI, SOOTWETSTWU@]IE CELYM OTRICATELXNYM ^ISLAM. zATEM STROQTSQ TO^KI, SOOTWETSTWU@]IE RACIONALXNYM ^ISLAM. ~TOBY POLU^ITX TO^KU, SOOTWETSTWU@]U@ POLOVITELXNOMU RACIONALXNOMU ^ISLU m=n, OTKLADYWAEM m RAZ WPRAWO OT TO^KI O OTREZOK, DLINA KOTOROGO RAWNA 1=n. tO^NO TAKVE DLQ OTRICATELXNYH RACIONALXNYH ^ISEL NAHODIM SOOTWETSTWU@]IE IM TO^KI SLEWA OT TO^KI O. tAKIM OBRAZOM, KAVDOMU RACIONALXNOMU ^ISLU POSTAWLENA W SOOTWETSTWIE TO^KA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ. nO PRI \TOM NE WSEM TO^KAM ^ISLOWOJ PRQMOJ SOOTWETSTWU@T RACIONALXNYE ^ISLA. nAPRIMER p , TAK BUDET DLQ TO^KI, LEVA]EJ SPRAWA OT O NA RASSTOQNII 2. w \TOJ GLAWE BUDET POKAZANO, KAK MOVNO POPOLNITX RACIONALXNYE ^ISLA, ^TOBY KAVDOJ TO^KE ^ISLOWOJ PRQMOJ SOOTWETSTWOWALO ^ISLO, A KAVDOMU ^ISLU | TO^KA NA PRQMOJ. tAKOE POPOLNENIE MOVNO OSU]ESTWITX RAZNYMI SPOSOBAMI. mY SDELAEM \TO NA BAZE BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ. |TOT PUTX BYL O^ENX OSTOROVNO NAME^EN W KOLE. nA^NEM S POSTROENIQ BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI, SOOTWETSTWU@]EJ ZADANNOJ TO^KE A NA ^ISLOWOJ PRQMOJ. pUSTX TO^KA A RASPOLOVENA SPRAWA OT TO^KI O I NE OTWE^AET NATURALXNOMU ^ISLU. nAJDEM CELYE ^ISLA a0 I a0 + 1 TAKIE, ^TO 4
TO^KA A LEVIT MEVDU NIMI. w KA^ESTWE CELOJ ^ASTI BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI, SOOTWETSTWU@]EJ TO^KE A, BEREM a0 . pOSLE \TOGO PROMEVUTOK MEVDU TO^KAMI a0 I a0 + 1 DELIM NA 10 RAWNYH ^ASTEJ I PRIPISYWAEM \TIM ^ASTQM SLEWA NAPRAWO CIFRY OT 0 DO 9. sREDI \TIH PROMEVUTKOW DLINY 1/10 NAHODIM TOT, WNUTRI KOTOROGO NAHODITSQ TO^KA A (SLU^AJ, KOGDA A OKAZYWAETSQ ODNOJ IZ TO^EK DELENIQ, OBSUDIM POZDNEE) I W KA^ESTWE PERWOGO DESQTI^NOGO ZNAKA ISKOMOJ DROBI BEREM CIFRU, PRIPISANNU@ \TOMU PROMEVUTKU. pRODOLVAQ \TOT PROCESS (W PREDPOLOVENII, ^TO A NE QWLQETSQ TO^KOJ DELENIQ), POLU^IM BESKONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX, SOOTWETSTWU@]U@ TO^KE A. rASSMOTRIM TEPERX SLU^AJ, KOGDA NA TO^KU A POPALA ODNA IZ TO^EK DELENIQ. pUSTX, NAPRIMER, BUDET SITUACIQ KAK NA RISUNKE: 0 a0
1
2 A
9 a0+1
tO^KAM, LEVA]IM WBLIZI TO^KI A SPRAWA, MY W KA^ESTWE PERWOGO DESQTI^NOGO ZNAKA PRIPISALI CIFRU 2, A LEVA]IM SLEWA | CIFRU 1. pO POWODU SAMIH TO^EK DELENIQ NUVNO DOGOWORITXSQ, K KAKOMU PROMEVUTKU MY IH OTNOSIM: LEVA]EMU SPRAWA ILI LEVA]EMU SLEWA. eSLI TO^KI DELENIQ OTNOSITX K PRAWYM PROMEVUTKAM, TO DLQ TO^KI A NA RISUNKE POLU^IM a0 2, A WSE OSTALXNYE DESQTI^NYE ZNAKI | NOLI, T.E. POLU^IM a0 2000 : : : . eSLI TO^KI DELENIQ OTNOSITX K LEWYM PROMEVUTKAM, TO DLQ TO^KI A POLU^IM a0 1, A WSE OSTALXNYE DESQTI^NYE ZNAKI | DEWQTKI, T.E. POLU^IM a0 1999 = a0 1(9). w ZAWISIMOSTI OT DOGOWORENNOSTI, OTNOSITX TO^KI DELENIQ K PRAWYM ILI K LEWYM PROMEVUTKAM, DLQ TO^EK ^ISLOWOJ PRQMOJ, SOOTWETSTWU@]IH NATURALXNYM ^ISLAM, TAKVE POLU^IM DWE BESKONE^NYE DESQTI^NYE DROBI. u ODNOJ IZ NIH WSE DESQTI^NYE ZNAKI NOLI, A U DRUGOJ CELAQ ^ASTX NA EDINICU MENXE, A WSE DESQTI^NYE ZNAKI | DEWQTKI. dLQ TO^EK, LEVA]IH NA ^ISLOWOJ PRQMOJ SLEWA OT TO^KI O, PIEM PERED DROBX@ ZNAK MINUS, A ZATEM ANALOGI^NYM OBRAZOM NAHODIM ^ISLA a0 a1 a2 : : : , OPREDELQ@]IE SOOTWETSTWU@]U@ BESKONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX ;a0 a1 a2 : : : . |TI RASSUVDENIQ POKAZYWA@T, ^TO DLQ WSEH TO^EK ^ISLOWOJ PRQMOJ (KROME NA^ALXNOJ TO^KI O), KOTORYE PRI UKAZANNOM POSTROENII POPADA@T NA TO^KI DELENIQ, WOZMOVNY DWE ZAPISI | S NOLEM W PERIODE, T.E. W WIDE CELOGO ^ISLA ILI KONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI, ILI S DEWQTKOJ W PERIODE. dLQ OSTALXNYH TO^EK BESKONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO. 5
~TOBY KAVDOJ TO^KE ^ISLWOJ PRQMOJ SOOTWETSTWOWALA EDINSTWENNAQ BESKONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX, USLAWLIWA@TSQ NE RAZLI^ATX POLU^A@]IESQ PRI NAEM POSTROENII DROBI S 0 I S 9 W PERIODE. oBY^NO W KAVDOM RASSUVDENII ISPOLXZU@T DROBI TOLXKO S NOLEM ILI TOLXKO S DEWQTKOJ W PERIODE. pOSTAWIM OBRATNU@ ZADA^U | DLQ ZADANNOJ BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI a0a1 a2 : : : NAJTI SOOTWETSTWU@]U@ EJ TO^KU NA ^ISLOWOJ PRQMOJ. pO ZNAKU DROBI I ^ISLU a0 NAHODIM DWA IDU]IH PODRQD CELYH ^ISLA, MEVDU KOTORYMI DOLVNA RASPOLAGATXSQ ISKOMAQ TO^KA. zATEM, RAZBIW PROMEVUTOK MEVDU \TIMI TO^KAMI NA 10 RAWNYH ^ASTEJ, PO ZNA^ENI@ a1 MOVNO UKAZATX TOT IZ POLU^IWIHSQ PROMEVUTKOW DLINY 1=10, KOTOROMU DOLVNA PRINADLEVATX NAA TO^KA. pRODOLVAQ \TO POSTROENIE AG ZA AGOM, POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX PROMEVUTKOW, KAVDYJ IZ KOTORYH SODERVITSQ W PREDYDU]EM, A DLINA EGO W 10 RAZ MENXE. iSKOMAQ TO^KA DOLVNA PRINADLEVATX WSEM \TIM PROMEVUTKAM. nO OBQZATELXNO LI SU]ESTWUET TAKAQ TO^KA, MY SEJ^AS NE ZNAEM. w DALXNEJEM BUDET USTANOWLEN POLOVITELXNYJ OTWET NA \TOT WOPROS. wSE SKAZANNOE O BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBQH SLEDUET RASSMATRIWATX KAK NAWODQ]IE SOOBRAVENIQ K TOMU, ^TOBY NAZWATX ^ISLAMI BESKONE^NYE DESQTI^NYE DROBI. oPREDELENIE. dEJSTWITELXNYMI (WE]ESTWENNYMI) ^ISLAMI NAZYWA@TSQ BESKONE^NYE DESQTI^NYE DROBI a0 a1 a2 : : : , GDE WYBRAN OPREDELENNYJ ZNAK: \+" ILI \;", a0 | NATURALXNOE ^ISLO ILI NOLX, A WSE DESQTI^NYE ZNAKI a1 a2 : : : | CIFRY OT 0 DO 9. pRI \TOM DROBX a0 a1 : : : am (9) S^ITAETSQ RAWNOJ DROBI a0a1 : : : am;1d00 : : : , U KOTOROJ m-YJ DESQTI^NYJ ZNAK d RAWEN am + 1. dEJSTWITELXNYE ^ISLA BUDEM OBOZNA^ATX BUKWAMI I PISATX a = a0a1a2 : : : , OPUSKAQ OBY^NO PRI \TOM ZNAK +. ~ISLO 0 ZAPISYWA@T KAK DESQTI^NU@ DROBX 000 : : : , KOTORU@ MOVNO SNABDITX I ZNAKOM + I ZNAKOM ;, NO OBY^NO \TOJ DROBI ZNAK NE PRIPISYWA@T. pRI ZAPISI ^ISEL a b c : : : W WIDE BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ DLQ OBOZNA^ENIQ DESQTI^NYH ZNAKOW BUDEM ISPOLXZOWATX \TI VE BUKWY S INDEKSAMI. tAKIM OBRAZOM, a = a0 a1 a2 : : : b = b0b1 b2 : : : c = c0 c1 c2 : : : : dLQ KAVDOGO ^ISLA a = a0 a1 a2 : : : OPREDELQETSQ ^ISLO ;a, KOTOROE OTLI^AETSQ OT a TOLXKO ZNAKOM, T.E. ;a := a0 a1 a2 : : : . nA 6
^ISLOWOJ PRQMOJ TO^KI, SOOTWETSTWU@IE ^ISLAM a I ;a, RASPOLAGA@TSQ SIMMETRI^NO DRUG DRUGU OTNOSITELXNO NA^ALXNOJ TO^KI O. wYQSNIM, KAK SOOTNOSQTSQ RACIONALXNYE I DEJSTWITELXNYE ^ISLA. rACIONALXNYE ^ISLA PREDSTAWIMY W WIDE DROBI mn , GDE m | CELOE ^ISLO, A n | NATURALXNOE. bUDEM DLQ OPREDELENNOSTI S^ITATX, ^TO m > 0. eSLI RAZDELITX m NA n \UGOLKOM", TO POLU^IM LIBO KONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX, KOTORU@ MOVNO ZAPISATX W WIDE BESKONE^NOJ DROBI S 0 W PERIODE, LIBO BESKONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX, KOTORAQ OBQZATELXNO BUDET PERIODI^ESKOJ. w SAMOM DELE, W \TOM SLU^AE OSTATKAMI PRI DELENII NA n MOGUT BYTX TOLXKO ^ISLA 1 2 : : : n ; 1. rASSMOTRIM OSTATKI, KOTORYE POLU^A@TSQ PRI DELENII m NA n POSLE TOGO, KAK WSE ZNA^A]IE CIFRY ^ISLA m UVE SNESENY. |TI OSTATKI RANO ILI POZDNO NA^NUT POWTORQTXSQ, ZNA^IT, BUDUT POWTORQTXSQ I DESQTI^NYE ZNAKI. tAKIM OBRAZOM, KAVDOE RACIONALXNOE ^ISLO MOVET BYTX PREDSTAWLENO BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ PERIODI^ESKOJ DROBX@. wERNO I OBRATNOE UTWERVDENIE: KAVDAQ BESKONE^NAQ DESQTI^NAQ PERIODI^ESKAQ DROBX RAWNA OTNOENI@ mn CELOGO ^ISLA m K NATURALXNOMU ^ISLU n. w \TOM MOVNO UBEDITXSQ, NAPRIMER, S POMO]X@ FORMULY SUMMY ^LENOW BESKONE^NOJ GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII. wPRO^EM, \TU FORMULU NELXZQ PRIZNATX AKKURATNO DOKAZANNOJ W KOLXNYH U^EBNIKAH, TAK KAK EE WYWOD OSNOWYWALSQ NA NAIWNOINTUITIWNYH PREDSTAWLENIQH O PREDELAH. wO WTOROJ GLAWE BUDET DANO POLNOE DOKAZATELXSTWO UKAZANNOJ FORMULY. iTAK, RACIONALXNYE ^ISLA I TOLXKO ONI PREDSTAWIMY BESKONE^NYMI DESQTI^NYMI PERIODI^ESKIMI DROBQMI. iRRACIONALXNYE ^ISLA ZAPISYWA@TSQ BESKONE^NYMI DESQTI^NYMI NEPERIODI^ESKIMI DROBQMI. pRIMERAMI TAKIH DROBEJ MOVET SLUVITX DROBX 01010010001 : : : (KOLI^ESTWO NOLEJ MEVDU CIFRAMI p 1 KAVDYJ RAZ UWELI^IWAETSQ NA ODIN) ILI DROBX, WYRAVA@]AQ 2. tEPERX NEOBHODIMO OPREDELITX SRAWNENIE DEJSTWITELXNYH ^ISEL I ARIFMETI^ESKIE DEJSTWIQ NAD NIMI. pRI \TOM BUDEM OPIRIATXSQ NA SWOJSTWA SRAWNENIQ RACIONALXNYH ^ISEL I ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIJ NAD NIMI. w DALXNEJEM TAM, GDE \TO NE MOVET WYZWATX NEDORAZUMENIJ, DEJSTWITELXNYE ^ISLA BUDEM NAZYWATX PROSTO ^ISLAMI. x 1.2.
sRAWNENIE ^ISEL
rASSMOTRIM ^ISLO a = a0 a1 a2 : : : . eSLI WSE ^ISLA a0 a1 a2 : : : RAWNY NUL@, TO NE IMEET ZNA^ENIQ, KAKOJ ZNAK STOIT PERED DROBX@, 7
^ISLO a NAZYWA@T NULEM I PIUT a = 0. pUSTX TEPERX SREDI ^ISEL a0 a1 a2 : : : ESTX HOTQ BY ODNO, OTLI^NOE OT NULQ. tOGDA ESLI PERED DROBX@ STOIT ZNAK +, ^ISLO a NAZYWA@T POLOVITELXNYM I PIUT a > 0. a ESLI PERED DROBX@ STOIT ZNAK ;, ^ISLO a NAZYWA@T OTRICATELXNYM I PIUT a < 0. oPREDELENIE. mODULEM (ILI ABSOL@TNOJ WELI^INOJ ) ^ISLA a = a0 a1 a2 : : : NAZYWAETSQ ^ISLO jaj := a0a1a2 : : : : tAKIM OBRAZOM, MODULX ^ISLA LIBO POLOVITELEN, LIBO RAWEN NUL@ I, ESLI a > 0, TO jaj = a, A ESLI a < 0, TO jaj = ;a. dLQ RACIONALXNYH ^ISEL OPREDELENIE MODULQ IZWESTNO IZ KOLY. oPREDELIM SRAWNENIE ^ISEL. bUDEM S^ITATX, ^TO PRI ZAPISI BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ MY POLXZUEMSQ KAKOJ-LIBO ODNOJ FORMOJ ZAPISI | ILI S 0, ILI S 9 W PERIODE. oPREDELENIE. oTLI^NYE OT NULQ ^ISLA a = a0a1a2 : : : I b = b0b1b2 : : : NAZYWA@T RAWNYMI, ESLI ONI IME@T ODINAKOWYE ZNAKI I DLQ WSEH k = 0 1 2 : : : WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA ak = bk . w \TOM SLU^AE PIUT a = b, A W PROTIWNOM SLU^AE PIUT a 6= b. oPREDELIM DLQ ^ISEL NERAWENSTWA. nAPOMNIM, ^TO DLQ SLU^AQ, KOGDA ODNO IZ ^ISEL RAWNO NUL@, NERAWENSTWA BYLI WWEDENY WYE. oPREDELENIE . pUSTX ^ISLA a I b NE RAWNY MEVDU SOBOJ. tOGDA 1 : ESLI ^ISLA a I b POLOVITELXNY, TO GOWORQT, ^TO a MENXE b I PIUT a < b, ESLI a0 < b0 , ILI ESLI DLQ NEKOTORGO k = 0 1 2 : : : , IMEEM a0 = b0 a1 = b1 : : : ak = bk I ak+1 < bk+1 2 : ESLI ODNO IZ ^ISEL POLOVITELXNO, A WTOROE OTRICATELXNO, TO OTRICATELXNOE ^ISLO MENXE POLOVITELXNOGO 3 : ESLI OBA ^ISLA a I b OTRICATELXNY, TO a < b, ESLI jbj < jaj. eSLI a < b, TO GOWORQT, ^TO b BOLXE a I PIUT b > a. iZ \TOGO OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO ESLI a < b, TO ;a > ;b. pRI SRAWNENII RACIONALXNYH ^ISEL \TI OPREDELENIQ DA@T TOT VE REZULXTAT, ^TO I PRI PREVNEM OPREDELENII, KOGDA DLQ POLOVITELXNYH DROBEJ m=n I p=q PISALI m=n < p=q, ESLI mq < np. mY NE BUDEM OSTANAWLIWATXSQ NA DOKAZATELXSTWE \TOGO FAKTA. nARQDU SO STROGIMI NERAWENSTWAMI < I > ISPOLXZU@TSQ NESTROGIE NERAWENSTWA 6 I >. zAPISX a 6 b OZNA^AET, ^TO ILI a < b ILI 8
a = b. pOLXZUQSX ZNAKOM NESTROGOGO NERAWENSTWA, LEGKO STROITX OTRICANIE DLQ STROGOGO NERAWENSTWA. tAK, OTRICANIEM UTWERVDENIQ a < b QWLQETSQ a > b. sFORMULIRUEM SWOJSTWA ^ISEL, SWQZANNYE S NERAWENSTWAMI (PERWAQ GRUPPA SWOJSTW DEJSTWITELXNYH ^ISEL). I.1. dLQ L@BYH DWUH ^ISEL a I b IMEET MESTO I PRITOM TOLXKO ODNO IZ SOOTNOENIJ: a < b, a = b ILI a > b. dRUGIMI SLOWAMI: ESLI ^ISLA RAZLI^NY, TO ODNO IZ NIH MENXE DRUGOGO. sWOJSTWO I.1 NAZYWA@T UPORQDO^ENNOSTX@ DEJSTWITELXNYH ^ISEL. sWOJSTWO UPORQDO^ENNOSTI WYTEKAET SRAZU IZ OPREDELENIQ SRAWNENIQ ^ISEL. I.2. eSLI a < b I b < c, TO a < c. eSLI a = b I b = c, TO a = c. |TI SWOJSTWA NAZYWA@TSQ TRANZITIWNOSTX@ ZNAKOW < I =. tRANZITIWNOSTX ZNAKA = SLEDUET SRAZU IZ OPREDELENIQ RAWENSTWA. dOKAVEM TRANZITIWNOSTX ZNAKA 0. tOGDA ^ISLA b I c POLOVITELXNY. pREDSTAWIM ^ISLA a b c BESKONE^NYMI DESQTI^NYMI DROBQMI a = a0 a1 a2 : : : b = b0 b1 b2 : : : c = c0 c1 c2 : : : ISPOLXZUQ KAKU@-LIBO ODNU FORMU ZAPISI: S 0 ILI S 9 W PERIODE. tAK KAK a < b, TO SU]ESTWUET INDEKS k TAKOJ, ^TO ai = bi DLQ i = 0 1 : : : k ; 1 I ak < bk . tO^NO TAKVE SU]ESTWUET INDEKS l TAKOJ, ^TO bj = cj DLQ j = 0 1 : : : l ; 1 I bl < cl . pUSTX m := min(k l), T.E. m { MENXEE IZ ^ISEL k I l. tOGDA ai = bi = ci DLQ i = 0 1 : : : m ; 1 I WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA am 6 bm I bm 6 cm , PRI^EM PO KRAJNEJ MERE ODNO IZ \TIH NERAWENSTW QWLQETSQ STROGIM. tAK KAK ^ISLA am bm I cm { CELYE, TO POLXZUQSX TRANZITIWNOSTX@ ZNAKA < DLQ CELYH ^ISEL, WIDIM, ^TO am < cm , T.E. a < c. pUSTX TEPERX a < 0. eSLI c 6 0, TO b < 0 I DLQ MODULEJ ^ISEL a, b I c IMEEM jaj > jbj I jbj > jcj. zNA^IT, PO UVE DOKAZANNOMU jaj > jcj, OTKUDA a < c. eSLI VE a < 0 I c > 0, TO a < c PO OPREDELENI@. |TIM ZAKAN^IWAETSQ DOKAZATELXSTWO SWOJSTWA I.2. zNAK 6 TAKVE OBLADAET SWOJSTWOM TRANZITIWNOSTI: ESLI a 6 b I b 6 c, TO a 6 c. |TO SLEDUET IZ TRANZITIWNOSTI ZNAKA a. 9
|TO SWOJSTWO NAZYWA@T ARHIMEDOWYM. pRI OPREDELENII DEJSTWITELXNYH ^ISEL KAK BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ SWOJSTWO I.3 O^EWIDNO: ESLI a = a0 a1 a2 : : : , TO W KA^ESTWE n MOVNO WZQTX a0 +2. wMESTE S TEM, ARHIMEDOWO SWOJSTWO SU]ESTWENNO PRI AKSIOMATI^ESKOM PODHODE K OPREDELENI@ DEJSTWITELXNYH ^ISEL. dOKAVEM NESKOLXKO PROSTYH UTWERVDENIJ, SWQZANNYH SO SRAWNENIEM DEJSTWITELXNYH ^ISEL S KONE^NYMI DESQTI^NYMI DROBQMI. tEOREMA 1.2.1. pUSTX a I b | PROIZWOLXNYE ^ISLA I a < b. tOGDA SU]ESTWUET KONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX TAKAQ, ^TO a < < b. dOKAZATELXSTWO. sNA^ALA BUDEM S^ITATX ^ISLO a NEOTRICATELXNYM. pUSTX W PREDSTAWLENIQH a = a0 a1 a2 : : : , b = b0b1 b2 : : : NE ISPOLXZUETSQ 9 W PERIODE. nAJDEM NAIMENXIJ NOMER k TAKOJ, ^TO ak < bk , I NOMER m > k TAKOJ, ^TO am < 9. lEGKO PROWERITX, ^TO W KA^ESTWE MOVNO WZQTX KONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX a0 a1 : : : am;1 d, U KOTOROJ m-YJ DESQTI^NYJ ZNAK d RAWEN am + 1. eSLI a I b IME@T RAZNYE ZNAKI, TO MOVNO WZQTX = 0. a ESLI ^ISLO b NEPOLOVITELXNO, TO NAHODIM KONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX TAKU@, ^TO jbj < < jaj, I POLAGAEM := ; . tEOREMA DOKAZANA. tEOREMA 1.2.2. dLQ L@BOGO ^ISLA a PRI KAVDOM NATURALXNOM n SU]ESTWUET KONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX n S n ZNAKAMI POSLE ZAPQTOJ TAKAQ, ^TO n 6 a 6 n + 10;n: (1.2.1) dOKAZATELXSTWO. eSLI ^ISLO a NEOTRICATELXNO, TO DLQ KAVDOGO n IMEEM a0 a1 : : : an 6 a 6 a0 a1 : : : an + 10;n I MOVNO WZQTX n := a0 a1 :;: :nan . dLQ OTRICATELXNOGO a = ;a0 a1 a2 : : : IMEEM ;a0a1 : : : an ; 10 6 a 6 ;a0 a1 : : : an I POLAGAEM n := := ;a0a1 : : : an ; 10;n. dROBI n I n + 10;n , UDOWLETWORQ@]IE NERAWENSTWAM (1.2.1), NAZYWA@T n-MI DESQTI^NYMI PRIBLIVENIQMI ^ISLA a SOOTWETSTWENNO S NEDOSTATKOM I S IZBYTKOM. dLQ KRATKOSTI W DALXNEJEM DROBI n , BUDEM NAZYWATX n-MI DESQTI^NYMI PRIBLIVENIQMI ^ISLA a (NE OTME^AQ, ^TO \TO PRIBLIVENIQ S NEDOSTATKOM). lEMMA 1.2.3. pUSTX a < b I n , n | n-YE DESQTI^NYE PRIBLIVENIQ ^ISEL a I b. tOGDA SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO k, ^TO DLQ WSEH n > k WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO n ; n > 10;k : (1.2.2) 10
dOKAZATELXSTWO. bUDEM S^ITATX, ^TO W PREDSTAWLENII ^ISEL DESQTI^NYMI DROBQMI NE ISPOLXZUETSQ ZAPISX S 9 W PERIODE. pUSTX SNA^ALA a > 0 I m | TAKOE ^ISLO, ^TO ai = bi DLQ i = 0 1 : : : m ; 1 I am < bm . pOKAVEM, ^TO W KA^ESTWE k MOVNO WZQTX L@BOE NATURALXNOE ^ISLO, UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM: k > m I ak < 9. w SAMOM DELE, WOZXMEM ^ISLO c, U KOTOROGO ci = ai DLQ WSEH i 6= k I ck = ak + 10;k . pONQTNO, ^TO b > c. oBOZNA^IM n-YE DESQTI^NYE PRIBLIVENIQ ^ISLA c ^EREZ n . tOGDA DLQ n > m IMEEM n > n . nO ESLI n >;kk, TO n = n + 10;k . zNA^IT, DLQ \TIH n IMEEM n > n + 10 I WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO (1.2.2). eSLI a < 0 I b > 0, TO > 0 I DLQ L@BOGO k TAKOGO, ^TO ;a > 10;k, PRI WSEH n IMEEM n n ; n > ;n > ;a > 10;k : rASSMOTRIM, NAKONEC, SLU^AJ , KOGDA a < 0 I b < 0. tAK KAK a < 0, TO n + 10;n 6 0 I, ZNA^IT , n-YM DESQTI^NYM PRIBLIVENIEM ^ISLA jaj QWLQETSQ jn + 10;n j. tO^NO ;TAKVE n-YM DESQTI^NYM PRIBLIVENIEM ^ISLA jbj QWLQETSQ j n + 10 nj. iZ USLOWIQ a < b SLEDUET, ^TO jaj > jbj > 0. dLQ POLOVITELXNYH ^ISEL LEMMA UVE DOKAZANA I MY MOVEM WYBRATX TAKOE k, ^TO jn + 10;n j ; j n + 10;nj > 10;k DLQ WSEH n > k. nO jn + 10;nj ; j n + 10;n j = ;(n + 10;n) + ( n + 10;n) = n ; n I MY PRILI K OCENKE (1.2.2). lEMMA DOKAZANA. lEMMA 1.2.4. eSLI DLQ ^ISLA p SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO q, ^TO DLQ WSEH NATURALXNYH n jpj 6 q 10;n TO p = 0. dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM PROTIWNOE. pUSTX DLQ NEKOTOROGO k ^ISLO pk (IZ PREDSTAWLENIQ p W WIDE BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI) OTLI^NO OT NULQ. nAJDEM NATURALXNOE m, DLQ KOTOROGO 10;k > q 10;m: tOGDA jpj > pk 10;k > 10;k > q 10;m ^TO PROTIWORE^IT USLOWI@. lEMMA DOKAZANA. 11
x 1.3.
tO^NAQ WERHNQQ I TO^NAQ NIVNQQ GRANI ^ISLOWYH MNOVESTW
sDELAEM NESKOLXKO PREDWARITELXNYH ZAME^ANIJ O MNOVESTWAH. mNOVESTWO QWLQETSQ ODNIM IZ ISHODNYH PONQTIJ W MATEMATIKE, ONO NE OPREDELQETSQ. mOVNO WMESTO SLOWA \MNOVESTWO" GOWORITX O NABORE, SOWOKUPNOSTI, SOBRANII, KOLLEKCII. nO WSE \TI SLOWA NE MOGUT SLUVITX OPREDELENIEM, ONI TOLXKO POQSNQ@T PONQTIE MNOVESTWA. mNOVESTWO MOVET SODERVATX ILI NE SODERVATX TE ILI INYE OB_EKTY, KOTORYE PRINQTO NAZYWATX \LEMENTAMI. eSLI \LEMENT x PRINADLEVIT MNOVESTWU A, TO PIUT x 2 A, A ESLI x NE PRINADLEVIT MNOVESTWU A, TO x 2= A. mNOVESTWO OPREDELQETSQ NABOROM SWOIH \LEMENTOW. pRINQTY SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ: N | MNOVESTWO NATURALXNYH ^ISEL, Z | MNOVESTWO CELYH ^ISEL, Q | MNOVESTWO RACIONALXNYH ^ISEL, R | MNOVESTWO DEJSTWITELXNYH ^ISEL. nARQDU S MNOVESTWAMI, SODERVA]IMI NEKOTORYE \LEMENTY, RASSMATRIWA@T MNOVESTWO, NE SODERVA]EE NI ODNOGO \LEMENTA. tAKOE MNOVESTWO NAZYWA@T PUSTYM I OBOZNA^A@T ?. eSLI MNOVESTWO SODERVIT HOTQ BY ODIN \LEMENT, EGO NAZYWA@T NEPUSTYM. oPREDELENIE. eSLI KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA A PRINADLEVIT MNOVESTWU B , TO A NAZYWA@T PODMNOVESTWOM MNOVESTWA B I PIUT A B ILI B A. nAPRIMER, Q R, N Z Q . tAK KAK PUSTOE MNOVESTWO ? NE IMEET \LEMENTOW, TO S^ITA@T, ^TO ? A DLQ L@BOGO MNOVESTWA A. oPREDELENIE. eSLI A B I B A (T.E. KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA A PRINADLEVIT B I KAVDYJ \LEMENT B PRINADLEVIT A), TO MNOVESTWA A I B NAZYWA@T RAWNYMI I PIUT A = B . w PROTIWNOM SLU^AE PIUT A 6= B . tAKIM OBRAZOM, ZAPISX A B NE ISKL@^AET TOGO, ^TO A = B . pEREHODIM K TEME NASTOQ]EGO PARAGRAFA O WERHNIH I NIVNIH GRANQH ^ISLOWYH MNOVESTW. tAK KAK SEJ^AS MY BUDEM RASSMATRIWATX TOLXKO ^ISLOWYE MNOVESTWA, TO BUDEM GOWORITX PROSTO O MNOVESTWAH, PODRAZUMEWAQ, ^TO \TO MNOVESTWA ^ISEL. oPREDELENIE. nEPUSTOE MNOVESTWO A NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM SWERHU, ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO K , ^TO x 6 K DLQ WSEH x 2 A. nEPUSTOE MNOVESTWO A NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM SNIZU, ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO k, ^TO x > k DLQ WSEH x 2 A. 12
oPREDELENIE eSLI MNOVESTWO OGRANI^ENO I SWERHU I SNIZU, EGO .
NAZYWA@T OGRANI^ENNYM. iNA^E MOVNO SKAZATX TAK: NEPUSTOE MNOVESTWO A NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM, ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO K , ^TO DLQ WSEH x 2 A SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jxj 6 K . |TO WYTEKAET IZ TOGO, ^TO NERAWENSTWO jxj 6 K \KWIWALENTNO DWOJNOMU NERAWENSTWU ;K 6 x 6 K. oPREDELENIE. ~ISLO M NAZYWAETSQ TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ NEPUSTOGO MNOVESTWA A, ESLI 1) DLQ L@BOGO x 2 A WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO x 6 M 2) DLQ KAVDOGO ^ISLA M 0 < M SU]ESTWUET ^ISLO x0 2 A TAKOE, ^TO M 0 < x0 . mNOVESTWO MOVET IMETX TOLXKO ODNU TO^NU@ WERHN@@ GRANX. dEJSTWITELXNO, PREDPOLOVIM, ^TO ^ISLA M I M RAZLI^NY I OBA QWLQ@TSQ TO^NYMI WERHNIMI GRANQMI NEPUSTOGO MNOVESTWA A. pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI M m SU]ESTWUET ^ISLO x0 2 A TAKOE, ^TO x0 < m0 . pONQTNO, ^TO I TO^NAQ NIVNQQ GRANX MNOVESTWA (ESLI ONA SU]ESTWUET) OPREDELQETSQ EDINSTWENNYM OBRAZOM. oBOZNA^ENIQ DLQ TO^NOJ WERHNEJ GRANI M = sup A = sup x x2A
(sup OT LATINSKOGO supremum | \WYSEE") I DLQ TO^NOJ NIVNEJ
GRANI
m = inf A = xinf x 2A
(inf OT LATINSKOGO infimum | \NIZEE"). qSNO, ^TO ESLI MNOVESTWO SOSTOIT IZ KONE^NOGO NABORA ^ISEL, TO EGO TO^NAQ WERHNQQ GRANX RAWNA NAIBOLXEMU, A TO^NAQ NIVNQQ GRANX | NAIMENXEMU IZ \TIH ^ISEL. eSLI MNOVESTWO IMEET TO^NU@ WERHN@@ GRANX, TO ONO OGRANI^ENO SWERHU, A ESLI IMEET TO^NU@ NIVN@@ GRANX, TO ONO OGRANI^ENO SNIZU. pOKAVEM, ^TO W \TIH UTWERVDENIQH OGRANI^ENNOSTX SWERHU 13
(SNIZU) QWLQETSQ NE TOLXKO NEOBHODIMYM, NO I DOSTATO^NYM USLOWIEM SU]ESTWOWANIQ TO^NYH GRANEJ. tEOREMA 1.3.1. eSLI NEPUSTOE MNOVESTWO A OGRANI^ENO SWERHU, TO ONO IMEET TO^NU@ WERHN@@ GRANX. dOKAZATELXSTWO. pREDSTAWIM WSE ^ISLA IZ A W WIDE BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ, ZAPRETIW ZAPISX S 0 W PERIODE. rASSMOTRIM SNA^ALA SLU^AJ, KOGDA SREDI ^ISEL MNOVESTWA A ESTX NEOTRICATELXNYE. tOGDA ZADA^A O SU]ESTWOWANII TO^NOJ WERHNEJ GRANI WSEGO MNO-
VESTWA A RAWNOSILXNA TAKOJ ZADA^E DLQ NEOTRICATELXNYH ^ISEL IZ A. tAK KAK NEOTRICATELXNYE ^ISLA IZ A OGRANI^ENY SWERHU, TO OGRANI^ENY SWERHU I CELYE ^ASTI \TIH ^ISEL. zNA^IT, SU]ESTWUET NAIBOLXEE ^ISLO SREDI \TIH CELYH ^ASTEJ. oBOZNA^IM EGO M0 . oSTAWIM TOLXKO TE ^ISLA IZ A, U KOTORYH CELAQ ^ASTX RAWNA M0 , I RASSMOTRIM PERWYE DESQTI^NYE ZNAKI OSTAWIHSQ ^ISEL. pUSTX M1 | NAIBOLXIJ IZ PERWYH DESQTI^NYH ZNAKOW. bUDEM TEPERX RASSMATRIWATX TOLXKO TE ^ISLA IZ A, U KOTORYH CELAQ ^ASTX I PERWYJ DESQTI^NYJ ZNAK RAWNY SOOTWETSTWENNO M0 I M1, T.E. DESQTI^NAQ ZAPISX KOTORYH NA^INAETSQ S M0 M1 . nAHODIM NAIBOLXIJ WTOROJ DESQTI^NYJ ZNAK U \TIH ^ISEL I OBOZNA^AEM EGO M2 . sNOWA OSTAWLQEM TOLXKO TE ^ISLA IZ A, DESQTI^NAQ ZAPISX KOTORYH NA^INAETSQ S M0 M1 M2 , I PROWODIM ANALOGI^NYE RASSUVDENIQ S TRETXIM DESQTI^NYM ZNAKOM. pRODOLVAQ \TOT PROCESS, POLU^IM BESKONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX M0 M1 M2 : : : . pOLOVIM M := M0 M1M2 : : : I POKAVEM, ^TO M = sup A. pO POSTROENI@ M > x DLQ L@BOGO x 2 A. s DRUGOJ STORONY, WZQW PROIZWOLXNOE ^ISLO M 0 := M00 M10 M20 : : : , MENXEE M , 0NAHODIM SREDI ^ISEL 0 1 2 : : : NAIMENXEE ^ISLO k TAKOE, ^TO Mk < Mk . nO SREDI ^ISEL MNOVESTWA A ESTX ^ISLO x0 , DESQTI^NOE RAZLOVENIE KOTOROGO NA^INAETSQ S M0 M1 : : : Mk . zNA^IT, DLQ ^ISLA x0 IMEEM 0 0 M < x I M DEJSTWITELXNO QWLQETSQ TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ MNOVESTWA A. pUSTX TEPERX MNOVESTWO A SODERVIT TOLXKO OTRICATELXNYE ^ISLA. w PREDSTAWLENII ^ISEL x 2 A W WIDE BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ x = ;x0 x1 x2 : : : NAHODIM NAIMENXEE IZ ^ISEL x0 . oBOZNA^IM \TO NAIMENXEE ^ISLO M0 . oSTAWIM TOLXKO TE ^ISLA IZ A, PREDSTAWLENIE KOTORYH W WIDE BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI NA^INAETSQ S ;M0. nAJDEM NAIMENXIJ PERWYJ DESQTI^NYJ ZNAK U \TIH ^ISEL I OBOZNA^IM EGO M1 . dALEE RASSMATRIWAEM TOLXKO TE ^ISLA, DESQ14
TI^NOE PREDSTAWLENIE KOTORYH NA^INAETSQ S ;M0M1 . nAHODIM U \TIH ^ISEL NAIMENXIJ WTOROJ DESQTI^NYJ ZNAK, OBOZNA^AEM EGO M2 I T.D. tOGDA ^ISLO M := ;M0 M1M2 : : : QWLQETSQ TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ MNOVESTWA A. w SAMOM DELE, NERAWENSTWO x0 6 M WYPOLNQETSQ DLQ WSEH x 2 A PO POSTROENI@. a DLQ L@BOGO M < M NAHODIM ^ISLO x0 2 A TAKOE, ^TO x0 > M 0 , S POMO]X@ RASSUVDENIJ, ANALOGI^NYH PROWEDENNYM WYE. tEOREMA DOKAZANA. tEOREMA 1.3.2. eSLI NEPUSTOE MNOVESTWO A OGRANI^ENO SNIZU, TO ONO IMEET TO^NU@ NIVN@@ GRANX. dOKAZATELXSTWO. wWEDEM MNOVESTWO B , SOSTOQ]EE IZ ^ISEL ;x, GDE x 2 A. iZ OGRANI^ENNOSTI MNOVESTWA A SNIZU SLEDUET OGRANI^ENNOSTX MNOVESTWA B SWERHU I, ZNA^IT, SOGLASNO TEOREME 1.3.1 MNOVESTWO B IMEET TO^NU@ WERHN@@ GRANX. nO ; sup B = inf A I, ZNA^IT, MNOVESTWO A IMEET TO^NU@ NIVN@@ GRANX. tEOREMA 1.3.3. pUSTX MNOVESTWO A NEPUSTO. eSLI 8x 2 A WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO x 6 K , TO sup A 6 K . eSLI 8x 2 A WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO x > k, TO inf A > k. eSLI 8x 2 A IMEEM x 6 K , TO sup A SU]ESTWUET SOGLASNO TEOREME 1.3.1. a NERAWENSTWO sup A 6 K LEGKO USTANOWITX OT PROTIWNOGO, SOSLAWISX NA USLOWIE 2) OPREDELENIQ TO^NOJ WERHNEJ GRANI. dLQ TO^NOJ NIVNEJ GRANI RASSUVDENIQ ANALOGI^NY. tEOREMA 1.3.4. dLQ L@BOGO ^ISLA a SPRAWEDLIWO RAWENSTWO a = sup , GDE TO^NAQ WERHNQQ GRANX BERETSQ PO WSEM RACIONALXNYM ^ISLAM 6 a. pRI \TOM MOVNO RASSMATRIWATX TOLXKO TE 6 a, KOTORYE ZAPISYWA@TSQ KONE^NYMI DESQTI^NYMI DROBQMI. nUVNO UBEDITXSQ TOLXKO W TOM, ^TO DLQ L@BOGO0 ^ISLA a0 < a NAJDETSQ KONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX TAKAQ, ^TO a < 6 a. a \TO SLEDUET IZ TEOREMY 1.2.1. tO^NAQ WERHNQQ I TO^NAQ NIVNQQ GRANI MNOVESTWA A MOGUT KAK PRINADLEVATX SAMOMU MNOVESTWU, TAK I NE PRINADLEVATX EMU. nAPRIMER, TO^NAQ NIVNQQ GRANX MNOVESTWA NATURALXNYH ^ISEL N | ^ISLO 1 | PRINADLEVIT N . a ESLI A | MNOVESTWO WSEH POLOVITELXNYH ^ISEL, TO ^ISLO 0 = inf A NE PRINADLEVIT A. eSLI sup A 2 A, TO WMESTO sup A ^ASTO PIUT max A. w ANALOGI^NOJ SITUACII WMESTO inf A PIUT min A. eSLI VE TO^NYE GRANI NE PRINADLEVAT MNOVESTWU ILI IH PRINADLEVNOSTX MNOVESTWU NEIZWESTNA ILI NE OBSUVDAETSQ, TO PIUT sup I inf. 15
x 1.4.
sLOVENIE ^ISEL
oPREDELIM SLOVENIE DEJSTWITELXNYH ^ISEL I USTANOWIM SWOJSTWA OPERACII SLOVENIQ. oPREDELENIE. sUMMOJ ^ISEL a I b NAZYWAETSQ ^ISLO a + b := sup( + ) GDE TO^NAQ WERHNQQ GRANX BERETSQ PO WSEM RACIONALXNYM ^ISLAM I TAKIM, ^TO 6 a I 6 b. sUMMA a + b OPREDELENA DLQ L@BYH ^ISEL a I b, TAK KAK DLQ WSEH RASSMATRIWAEMYH I ZNA^ENIQ SUMM + OGRANI^ENY SWERHU. w SAMOM DELE, ESLI a = a0 a1 a2 : : : I b = b0 b1 b2 : : : , TO a 6 a0 + 1 I b 6 b0 + 1. zNA^IT, 6 a0 + 1, 6 b0 + 1 I + 6 a0 + b0 + 2. wYQSNIM SWOJSTWA OPERACII SLOVENIQ ^ISEL (WTORAQ GRUPPA SWOJSTW DEJSTWITELXNYH ^ISEL). II.1. dLQ L@BYH ^ISEL a I b IMEEM a + b = b + a (KOMMUTATIWNOSTX ILI PEREMESTITELXNOE SWOJSTWO). |TO SWOJSTWO WYTEKAET IZ KOMMUTATIWNOSTI SLOVENIQ RACIONALXNYH ^ISEL. II.2. eSLI a < b, TO DLQ L@BOGO ^ISLA c IMEEM a + c < b + c. dOKAVEM SNA^ALA ANALOGI^NOE SWOJSTWO DLQ NESTROGIH NERAWENSTW: eSLI a 6 b, TO DLQ L@BOGO ^ISLA c IMEEM a + c 6 b + c. dEJSTWITELXNO, PUSTX I OBOZNA^A@T RACIONALXNYE ^ISLA. tOGDA a + c = sup ( + ): 6a 6c
eSLI ZAMENITX ZDESX USLOWIE 6 a NA 6 b, TO TO^NAQ WERHNQQ GRANX ZNA^ENIJ SUMM + MOVET TOLXKO UWELI^ITXSQ. pO\TOMU a + c 6 sup ( + ) = b + c: 6b 6c
oTS@DA WYTEKAET PRAWILO SLOVENIQ ODNOIMENNYH NESTROGIH NERAWENSTW: eSLI a 6 b I c 6 d, TO a + c 6 b + d. dLQ DOKAZATELXSTWA PRIBAWLQEM DWA RAZA ^ISLA K OBEIM ^ASTQM NESTROGOGO NERAWENSTWA: a + c 6 b + c 6 b + d: dOKAVEM TEPERX SWOJSTWO II.2. 16
oPIRAQSX NA TEOREMU 1.2.1, WYBEREM RACIONALXNYE ^ISLA I , DLQ KOTORYH IME@T MESTO NERAWENSTWA a < < < b. pOLXZUQSX TEM, ^TO SWOJSTWA DEJSTWIJ NAD RACIONALXNYMI ^ISLAMI;NAM IZWESTNY, NAHODIM TAKOE NATURALXNOE ^ISLO k, ^TO ; > > 10 k , OTKUDA < ; 10;k : (1.4.1) pUSTX k | k-OE DESQTI^NOE PRIBLIVENIE ^ISLA c, T.E. k 6 c 6 k + 10;k . sKLADYWAQ NERAWENSTWA I ISPOLXZUQ OCENKU (1.4.1), NAHODIM a + c 6 + k + 10;k < ; 10;k + k + 10;k = + k 6 b + c: tAKIM OBRAZOM, SWOJSTWO II.2 DOKAZANO. s POMO]X@ SWOJSTWA II.2 OBOSNOWYWAETSQ PRAWILO SLOVENIQ ODNOIMENNYH STROGIH NERAWENSTW: eSLI a < b I c < d, TO a + c < b + d. zAMETIM, ^TO ESLI DAVE ZAMENITX ZDESX ODNO IZ NERAWENSTW a < b ILI c < d NA NESTROGOE, TO WSE RAWNO POLU^IM STROGOE NERAWENSTWO a + c < b + d. II.3. dLQ L@BYH ^ISEL a, b I c IMEEM (a + b) + c = a + (b + c) (ASSOCIATIWNOSTX ILI SO^ETATELXNOE SWOJSTWO). wWEDEM OBOZNA^ENIQ u := (a + b) + c, v := a + (b + c). dOKAVEM ASSOCIATIWNOSTX OT PROTIWNOGO. pREDPOLOVIM, ^TO u 6= v. pUSTX, NAPRIMER, u < v. pOLXZUQSX TEOREMOJ 1.2.1, NAJDEM RACIONALXNYE ^ISLA I TAKIE, ^TO u < < < v, I WYBEREM NATURALXNOE n TAK, ^TOBY WYPOLNQLOSX NERAWENSTWO ; > 3 10;n : (1.4.2) wOZXMEM n-YE DESQTI^NYE PRIBLIVENIQ ^ISEL a, b I c: n 6 a 6 n + 10;n n 6 b 6 n + 10;n n 6 c 6 n + 10;n: sKLADYWAQ NERAWENSTWA, NAHODIM n + n 6 a + b 6 n + n + 2 10;n I n + n + n 6 (a + b) + c 6 n + n + n + 3 10;n eSLI !n := n + n + n , TO !n 6 u 6 !n + 3 10;n. aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ NERAWENSTWO v 6 !n + 3 ;10n ;n. u^ITYWAQ (1.4.2), IMEEM + 3 ;10n < < v 6 !n + 3 10;n . ; n oTS@DA + 3 10 < !n + 3 10 I, TAK KAK ZDESX WSE ^ISLA 17
RACIONALXNYE, TO < !n . nO S DRUGOJ STORONY !n 6 u < I MY PRILI K PROTIWORE^I@. sLOVENIE ^ISEL BYLO OPREDELENO DLQ DWUH SLAGAEMYH. nO BLAGODARQ ASSOCIATIWNOSTI SLOVENIQ MOVNO PISATX SUMMU TREH I BOLEE SLAGAEMYH BEZ SKOBOK, UKAZYWA@]IH PORQDOK DEJSTWIJ. eSLI WOSPOLXZOWATXSQ E]E SWOJSTWOM KOMMUTATIWNOSTI, TO POLU^IM, ^TO PRI SLOVENII ^ISEL MOVNO PROIZWOLXNYM OBRAZOM PERESTAWLQTX I GRUPPIROWATX SLAGAEMYE. II.4. dLQ L@BOGO ^ISLA a IMEEM a + 0 = a. dEJSTWITELXNO, a+0= sup + = sup = a 6a 60 2Q
6a 2Q
GDE POSLEDNEE RAWENSTWO IMEET MESTO SOGLASNO TEOREME 1.3.4. oTMETIM, ^TO0 SWOJSTWOM II.4 OBLADAET TOLXKO ^ISLO 0 0. dEJSTWITELXNO , ESLI 0 | TAKOE ^ISLO, ^TO 8a IMEEM a + 0 = a, TO 0 0 0 = 0 + 0 = 0. II.5.
a0 = 0.
dLQ KAVDOGO ^ISLA a SU]ESTWUET ^ISLO a0 TAKOE, ^TO a +
pOKAVEM, ^TO W KA^ESTWE a0 WZQTX ^ISLO ;a, T.E. ^ISLO a S PROTIWOPOLOVNYM ZNAKOM. pUSTX n | n-YE DESQTI^NYE PRIBLIVENIQ ^ISLA a, T.E. n 6 a 6 n + 10;n. tOGDA DLQ ;a, KAK OTME^ALOSX PRI OPREDELENII NERAWENSTW, IMEEM ;n ; 10;n 6 ;a 6 ;n . sLOVIW PO^LENNO \TI NERAWENSTWA, POLU^IM ;10;n 6 a +(;a) 6 10;n ILI ja + (;a)j 6 10;n . tAK KAK \TO NERAWENSTWO WYPOLNQETSQ DLQ WSEH n, TO SOGLASNO LEMME 1.2.4 OTS@DA SLEDUET RAWENSTWO a + (;a) = 0. ~ISLO a0 , DLQ KOTOROGO WYPOLNQETSQ RAWENSTWO a+a0 = 0, NAZYWAETSQ ^ISLOM, PROTIWOPOLOVNYM a. nETRUDNO WIDETX, ^TO L@BOGO a PROTIWOPOLOVNOE ^ISLO OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO. dEJSTWITELXNO, ESLI NARQDU S a + a0 = 0 IMEEM a + a00 = 0, TO a00 = a00 + 0 = a00 + (a + a0 ) = (a00 + a) + a0 = 0 + a0 = a0 :
oPREDELENIE rAZNOSTX@ ^ISEL a I b NAZYWAETSQ ^ISLO a ; b :=
a + (;b). dEJSTWIQ SLOVENIQ I WY^ITANIQ ^ISEL QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI. w SAMOM DELE, DLQ L@BYH a I b IMEEM (a + b) ; b = (a + b) + (;b) = a + (b + (;b)) = a: .
18
aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ RAWENSTWO (a ; b) + b = a. tAK KAK DEJSTWIQ SLOVENIQ I WY^ITANIQ ^ISEL WZAIMNO OBRATNY, TO SLAGAEMYE IZ ODNOJ ^ASTI RAWENSTW I NERAWENSTW MOVNO PERENOSITX (S PROTIWOPOLOVNYM ZNAKOM) W DRUGU@ IH ^ASTX. tEOREMA 1.4.1. dLQ L@BYH ^ISEL a I b SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO ja + bj 6 jaj + jbj: (1.4.3)
dOKAZATELXSTWO. sKLADYWAQ NERAWENSTWA a 6 jaj I b 6 jbj, POLU^AEM a + b 6 jaj + jbj. aNALOGI^NO, ;(a + b) = ;a ; b 6 jaj + jbj. nO ODNO IZ ^ISEL a + b ILI ;(a + b) RAWNO ja + bj, PO\TOMU TEOREMA DOKAZANA. nERAWENSTWO (1.4.3) NAZYWA@T NERAWENSTWOM TREUGOLXNIKA. x 1.5.
uMNOVENIE ^ISEL
oPREDELENIE eSLI ^ISLA a I b NEOTRICATELXNY, TO PROIZWEDENI.
EM a NA b NAZYWAETSQ ^ISLO ab := sup( ), GDE WERHNQQ GRANX BERETSQ PO WSEM NEOTRICATELXNYM RACIONALXNYM ^ISLAM I TAKIM, ^TO 6 a I 6 b. eSLI OBA ^ISLA a I b OTRICATELXNY, TO ab := jajjbj. eSLI ODNO IZ ^ISEL a I b OTRICATELXNO, A DRUGOE NEOTRICATELXNO, TO ab := ;(jajjbj). pROIZWEDENIE OPREDELENO DLQ L@BOJ PARY ^ISEL. dOSTATO^NO UBEDITXSQ W \TOM DLQ NEOTRICATELXNYH MNOVITELEJ a I b. nO ESLI 6 a = a0 a1 a2 : : : I 6 b = b0 b1b2 : : : , TO 6 a0 + 1 6 b0 + 1, ZNA^IT, 6 (a0 +1)(b0 +1) I OSTALOSX TOLXKO SOSLATXSQ NA TEOREMU 1.3.1.
zAMETIM, ^TO IZ OPREDELENIQ UMNOVENIQ SLEDUET, ^TO ESLI HOTQ BY ODIN IZ MNOVITELEJ a I b RAWEN NUL@, TO ab = 0. pERE^ISLIM SWOJSTWA UMNOVENIQ ^ISEL (TRETXQ GRUPPA SWOJSTW DEJSTWITELXNYH ^ISEL). III.1. dLQ L@BYH DWUH ^ISEL a I b SPRAWEDLIWO RAWENSTWO ab = ba (KOMMUTATIWNOSTX ILI PEREMESTITELXNOE SWOJSTWO). III.2. eSLI a < b I c > 0, TO ac < bc. III.3. dLQ L@BYH ^ISEL a b I c SPRAWEDLIWO RAWENSTWO (ab)c = a(bc) (ASSOCIATIWNOSTX ILI SO^ETATELXNOE SWOJSTWO). III.4. dLQ KAVDOGO ^ISLA a SPRAWEDLIWO RAWENSTWO a 1 = a. 0 III.5. dLQ KAVDOGO ^ISLA a 6= 0 SU]ESTWUET ^ISLO a TAKOE, ^TO 0 a a = 1. 19
dLQ L@BYH ^ISEL a, b I c SPRAWEDLIWO RAWENSTWO (a + b)c = ac + bc (DISTRIBUTIWNOSTX UMNOVENIQ OTNOSITELXNO SLOVENIQ ILI RASPREDELITELXNOE SWOJSTWO). sWOJSTWO III.1 WYTEKAET IZ KOMMUTATIWNOSTI UMNOVENIQ RACIONALXNYH ^ISEL. dLQ DOKAZATELXSTWA OSTALXNYH SWOJSTWA III.2{III.6 NE TREBU@ETSQ NOWYH SOOBRAVENIJ PO SRAWNENI@ S DOKAZATELXSTWAMI SWOJSTW SLOVENIQ. tAK VE, KAK I TAM, RASSMATRIWA@TSQ DESQTI^NYE PRIBLIVENIQ ^ISEL I ISPOLXZU@TSQ LEMMY 1.2.3 I 1.2.4. oDNAKO, DLQ POLNOGO DOKAZATELXSTWA SWOJSTW III.2{III.6 NEOBHODIMY KROPOTLIWYE RASSUVDENIQ, KOTORYE MY ZDESX NE PRIWODIM. iZ SWOJSTWA III.2 WYTEKAET PRAWILO UMNOVENIQ ODNOIMENNYH NERAWENSTW: eSLI WSE ^ISLA a b c d NEOTRICATELXNY, TO IZ a < b c < d SLEDUET ac < bd. dEJSTWITELXNO, ac < bc < bd. lEGKO PONQTX, ^TO \TO PRAWILO IMEET MESTO I W TOM SLU^AE, KOGDA ODNO IZ ^ISEL a ILI c OTRICATELXNO. nO ESLI OTRICATELXNY KAKIELIBO DWA IZ ^ISEL a b c d, TO POLU^ENNOE TAKIM OBRAZOM NERAWENSTWO MOVET OKAZATXSQ NEWERNYM. w DOPOLNENIE K SWOJSTWU III.2 OTMETIM, ^TO eSLI c < 0, TO IZ a < b SLEDUET ac > bc. w SAMOM DELE, W SILU SWOJSTWA III.2 IMEEM ajcj < bjcj, OTKUDA ;bjcj < ;ajcj. nO TAK KAK c < 0, TO jcj = ;c, ZNA^IT, bc < ac I MY POLU^ILI TREBUEMOE NERAWENSTWO. III.6.
x 1.6.
nEPRERYWNOSTX MNOVESTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL
dLQ DEJSTWITELXNYH ^ISEL IME@T MESTO TRI GRUPPY SWOJSTW, KASA@]IESQ SRAWNENIQ ^ISEL, SLOVENIQ I UMNOVENIQ. wSE \TI SWOJSTWA FORMULIRU@TSQ TO^NO TAK VE, KAK DLQ RACIONALXNYH ^ISEL. tAKIM OBRAZOM, MY RASIRILI MNOVESTWO RACIONALXNYH ^ISEL DO MNOVESTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL, SOHRANIW UKAZANNYE SWOJSTWA, ^TO DAET WOZMOVNOSTX OPERIROWATX S DEJSTWITELXNYMI ^ISLAMI PO TEM VE PRAWILAM, ^TO I S RACIONALXNYMI ^ISLAMI. w KOLE \TO S^ITALOSX SAMO SOBOJ RAZUME@]IMSQ, A TEPERX TAKOJ WYWOD POLU^IL OBOSNOWANIE. nO DEJSTWITELXNYE ^ISLA OBLADA@T E]E ODNIM SWOJSTWOM, KOTOROE DLQ RACIONALXNYH ^ISEL NE WYPOLNQETSQ. |TO SWOJSTWO NEPRERYWNOSTI MNOVESTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL. w PRINQTOM IZLOVENII ONO FORMULIRUETSQ W WIDE TEOREMY 1.3.1 O TO^NOJ WERHNEJ GRANI. 20
dLQ KAVDOGO NEPUSTOGO OGRANI^ENNOGO SWERHU MNOVESTWA SU]ESTWUET ^ISLO, QWLQ@]EESQ EGO TO^NOJ WERHNEJ GRANX@. sWOJSTWO NEPRERYWNOSTI MOVNO WYRAZITX I W DRUGIH TERMINAH. mY POZNAKOMIMSQ E]E S FORMULIROWKOJ W TERMINAH POSLEDOWATELXNOSTEJ WLOVENNYH OTREZKOW.
IV.
x 1.7.
pOSLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH OTREZKOW
nAPOMNIM OPREDELENIQ ^ISLOWYH PROMEVUTKOW, DAWAWIESQ W KOLE. eSLI a < b, TO MNOVESTWO ^ISEL x, UDOWLETWORQ@]IH NERAWENSTWAM a 6 x 6 b, NAZYWA@T OTREZKOM (^ISLOWYM OTREZKOM) I OBOZNA^A@T a b]. tO^KI a I b NAZYWA@T KONCAMI OTREZKA, A DLINOJ OTREZKA NAZYWA@T ^ISLO b ; a. mNOVESTWO ^ISEL x, UDOWLETWORQ@]IH NERAWENSTWAM a < x < b, NAZYWA@T INTERWALOM (S KONCAMI W TO^KAH a I b) I OBOZNA^A@T (a b). ~ISLO b ; a NAZYWA@T DLINOJ INTERWALA. wSTRE^A@]EESQ W NEKOTORYH RUKOWODSTWAH OBOZNA^ENIE DLQ INTERWALA ]a b NE PRIVILOSX. rASSMATRIWA@T TAKVE POLUOTREZKI a b), KOGDA a 6 x < b, I (a b], KOGDA a < x 6 b. iH NAZYWA@T TAKVE POLUINTERWALAMI. tAKIM OBRAZOM, KWADRATNU@ SKOBKU PIUT, ESLI SOOTWETSTWU@]AQ KONCEWAQ TO^KA PRINADLEVIT PROMEVUTKU, INA^E PIUT KRUGLU@ SKOBKU. oBOZNA^ENIQ DLQ BESKONE^NYH PROMEVUTKOW: MNOVESTWO ^ISEL x, DLQ KOTORYH x > a, OBOZNA^A@T a +1) DLQ KOTORYH x > a, OBOZNA^A@T (a +1) DLQ KOTORYH x 6 a, OBOZNA^A@T (;1 a] DLQ KOTORYH x < a, OBOZNA^A@T (;1 a). nAKONEC, WSE ^ISLA OBRAZU@T INTERWAL (;1 +1). oTREZKI, INTERWALY I POLUOTREZKI (KAK KONE^NYE, TAK I BESKONE^NYE) BUDEM NAZYWATX PROMEVUTKAMI. eSLI a b] c d], TO GOWORQT, ^TO OTREZOK a b] WLOVEN W OTREZOK c d]. dADIM TEPERX OPREDELENIE POSLEDOWATELXNOSTI. oPREDELENIE. eSLI KAVDOMU NATURALXNOMU ^ISLU n POSTAWLEN W SOOTWETSTWIE NEKOTORYJ \LEMENT MNOVESTWA A, KOTORYJ BUDEM OBOZNA^ATX xn , TO GOWORQT, ^TO \LEMENTY x1 x2 x3 : : : OBRAZU@T POSLEDOWATELXNOSTX. |TU POSLEDOWATELXNOSTX OBOZNA^A@T fxn g1 n=1 ILI PROSTO fxn g. 21
|LEMENTY, SOSTAWLQ@]IE POSLEDOWATELXNOSTX, NAZYWA@T ^LENAMI POSLEDOWATELXNOSTI. w \TOM OPREDELENII NUMERACIQ ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI xn NA^INAETSQ S n = 1. |TO NE OBQZATELXNO, INOGDA BYWAET UDOBNO NA^INATX NUMERACI@ S NULQ. mOVNO WOOB]E NA^INATX NUMERACI@ S PROIZWOLXNOGO CELOGO ^ISLA. oTMETIM, ^TO W OTLI^IE OT KOLXNOGO OPREDELENIQ MY S^ITAEM POSLEDOWATELXNOSTI BESKONE^NYMI. ~LENY POSLEDOWATELXNOSTI xn I xm PRI n 6= m NE OBQZATELXNO DOLVNY BYTX RAZNYMI \LEMENTAMI MNOVESTWA A. bOLEE TOGO, WSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI MOGUT BYTX ODNIM I TEM VE \LEMENTOM. tAKIE POSLEDOWATELXNOSTI NAZYWA@T STACIONARNYMI. oPREDELIM ^ISLOWYE POSLEDOWATELXNOSTI, SHODQ]IESQ K NUL@. oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX x1 x2 , : : : SHODITSQ K NUL@, ESLI DLQ KAVDOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA " SU]ESTWUET TAKOE (ZAWISQ]EE OT ") ^ISLO N , ^TO DLQ WSEH NOMEROW n > N SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jxn j < ": (1.7.1) dRUGIMI SLOWAMI MOVNO SKAZATX, ^TO DLQ KAVDOGO " > 0 NERAWENSTWO (1.7.1) DOLVNO WYPOLNQTXSQ DLQ WSEH DOSTATO^NO BOLXIH n. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fxn g SHODITSQ K NUL@, TO GOWORQT, ^TO ^LENY \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI (T.E. ^ISLA xn ) STREMQTSQ K NUL@. tEOREMA 1.7.1. pUSTX ZADANA POSLEDOWATELXNOSTX OTREZKOW an bn ], n = 1 2 : : : , GDE KAVDYJ SLEDU@]IJ OTREZOK WLOVEN W PREDYDU]IJ. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX DLIN \TIH OTREZKOW SHODITSQ K NUL@, TO SU]ESTWUET I PRITOM TOLXKO ODNO ^ISLO, PRINADLEVA]EE WSEM OTREZKAM an bn ]. dOKAZATELXSTWO. tAK KAK WSE OTREZKI an bn] SODERVATSQ W a1 b1 ], TO POSLEDOWATELXNOSTX fan g LEWYH KONCOW OTREZKOW OGRANI^ENA SWERHU ^ISLOM b1 . rASSMOTRIM ^ISLO c := supn an . sNA^ALA DOKAVEM, ^TO c PRINADLEVIT WSEM OTREZKAM an bn ], A ZATEM UBEDIMSQ, ^TO \TIM SWOJSTWOM OBLADAET TOLXKO ODNO ^ISLO. pO OPREDELENI@ TO^NOJ WERHNEJ GRANI 8n IMEEM an 6 c. s DRUGOJ STORONY, ESLI BY DLQ NEKOTOROGO k MY IMELI bk < c, TO PO OPREDELENI@ TO^NOJ WERHNEJ GRANI NAELSQ BY TAKOJ NOMER m, ^TO bk < am . nO TOGDA OTREZKI ak bk ] I am bm ] NE IMELI BY OB]IH TO^EK, ^TO PROTIWORE^IT USLOWI@, ^TO OTREZKI WLOVENY. iTAK, 8k IMEEM c 6 bk , ZNA^IT, c 2 ak bk ] DLQ WSEH k. 22
dOKAVEM EDINSTWENNOSTX. pUSTX SU]ESTWU@T NERAWNYE MEVDU SOBOJ ^ISLA c I d, PRINADLEVA]IE WSEM OTREZKAM an bn ], I DLQ OPREDELENNOSTI c < d. tOGDA IZ USLOWIJ an 6 c I d 6 bn NAHODIM bn ; an > d ; c > 0 n = 1 2 : : : , T.E. POSLEDOWATELXNOSTX DLIN OTREZKOW NE SHODITSQ K NUL@. pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE ZAWERAET DOKAZATELXSTWO TEOREMY. zAMETIM, ^TO W USLOWIQH \TOJ TEOREMY NELXZQ ZAMENITX OTREZKI an bn] NA INTERWALY (an bn). w SAMOM DELE, DLQ POSLEDOWATELXNOSTI INTERWALOW (0 2;n) KAVDYJ SLEDU@]IJ INTERWAL WLOVEN W PREDYDU]IJ I POSLEDOWATELXNOSTX DLIN \TIH INTERWALOW f2;ng SHODITSQ K NUL@. nO NIKAKOE ^ISLO NE MOVET PRINADLEVATX WSEM \TIM INTERWALAM. tEOREMA 1.7.1 POZWOLQET ZAKON^ITX ISSLEDOWANIE SWQZI DEJSTWITELXNYH ^ISEL I TO^EK ^ISLOWOJ PRQMOJ. w x 1.1 BYLO POKAZANO, KAK PO TO^KE NA ^ISLOWOJ PRQMOJ NAJTI SOOTWETSTWU@]U@ EJ BESKONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX. pRI RASSMOTRENII OBRATNOJ ZADA^I O POSTROENII TO^KI, SOOTWETSTWU@]EJ ZADANNOJ BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI, BYLO POKAZANO, ^TO ISKOMAQ TO^KA DOLVNA PRINADLEVATX WSEM OTREZKAM NEKOTOROJ POSLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH OTREZKOW, DLINA KAVDOGO IZ KOTORYH W 10 RAZ MENXE DLINY PREDYDU]EGO. nO WOPROS O SU]ESTWOWANII TAKOJ TO^KI OSTAWALSQ OTKRYTYM. tEPERX MY ZNAEM, ^TO OB]AQ WSEM \TIM OTREZKAM TO^KA SU]ESTWUET. zNA^IT, KAVDOMU DEJSTWITELXNOMU ^ISLU SOOTWETSTWUET I PRITOM TOLXKO ODNA TO^KA ^ISLOWOJ PRQMOJ. wWEDEM PONQTIE WZAIMNO ODNOZNA^NOGO SOOTWETSTWIQ MEVDU MNOVESTWAMI. oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO MEVDU MNOVESTWAMI A I A0 USTANOWLENO WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE, ESLI KAVDOMU \LEMENTU x 2 A POSTAWLEN W SOOTWETSTWIE \LEMENT x0 2 A0 I PRI \TOM KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA A0 SOOTWETSTWUET I PRITOM TOLXKO ODNOMU \LEMENTU IZ MNOVESTWA A. tAKOE SOOTWETSTWIE \LEMENTOW BUDEM OBOZNA^ATX x $ x0 . iSPOLXZUQ \TO PONQTIE, MOVNO SKAZATX, ^TO MEVDU TO^KAMI ^ISLOWOJ PRQMOJ I DEJSTWITELXNYMI ^ISLAMI USTANOWLENO WZAIMNO ODNOZNA^NOGO SOOTWETSTWIE. pO\TOMU ^ASTO TO^KI ^ISLOWOJ PRQMOJ NAZYWA@T ^ISLAMI I, NAOBOROT, ^ISLA NAZYWA@T TO^KAMI. mY POLU^ILI TEOREMU 1.7.1 O WLOVENNYH OTREZKAH KAK SLEDSTWIE TEOREMY 1.3.1 O TO^NOJ WERHNEJ GRANI. pOKAVEM, ^TO IZ TEOREMY O WLOVENNYH OTREZKAH MOVNO WYWESTI TEOREMU O TO^NOJ WERHNEJ GRANI. pUSTX A | NEPUSTOE OGRANI^ENNOE SWERHU MNOVESTWO. zNA^IT, 23
SU]ESTWUET ^ISLO L TAKOE, ^TO 8x 2 A IMEEM x < L. wOZXMEM PROIZWOLXNOE ^ISLO x0 2 A I WWEDEM OTREZOK a1 b1 ] := x0 L]. zAMETIM, ^TO OTREZOK a1 b1] SODERVIT TO^KI IZ A, A PRAWEE \TOGO OTREZKA TO^EK IZ A NET. rAZDELIM OTREZOK a1 b1] POPOLAM I OBOZNA^IM ^EREZ a2 b2 ] TOT IZ POLU^ENNYH OTREZKOW, KOTORYJ SAM SODERVIT TO^KI IZ A, A PRAWEE EGO TO^EK IZ A NET. pO POSTROENI@ b2 ; a2 = (b1 ; a1 )=2. nA SLEDU@]EM AGE DELIM OTREZOK a2 b2 ] POPOLAM I WYBIRAEM TAKOJ IZ OTREZO^KOW, ^TO SAM ON SODERVIT TO^KI IZ A, A PRAWEE EGO TO^EK IZ A NET. pRODOLVIW \TOT PROCESS NEOGRANI^ENNO, POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX WLOVENNYH OTREZKOW a1 b1 ] a2 b2 ] a3 b3 ] : : : , KAVDYJ IZ KOTORYH SODERVIT TO^KI IZ A, A PRAWEEn;EGO TO^EK IZ A NET. kROME TOGO, PO POSTROENI@ bn ;an = (b1 ;a1)=2 1 , ZNA^IT, POSLEDOWATELXNOSTX DLIN OTREZKOW SHODITSQ K NUL@. pO TEOREME O WLOVENNYH OTREZKAH SU]ESTWUET EDINSTWENNAQ TO^KA c, PRINADLEVA]AQ WSEM \TIM OTREZKAM. pOKAVEM, ^TO \TA TO^KA c = sup A. 1) dLQ WSEH x 2 A IMEEM x 6 c. dEJSTWITELXNO, ESLI BY SU]ESTWOWALA TO^KA x 2 A TAKAQ, ^TO x > c, TO MY WZQLI BY OTREZOK an bn ], DLINA KOTOROGO MENXE x ; c. t.E. x ; c > bn ; an , OTKUDA x > bn ; an + c. tAK KAK \TOT OTREZOK SODERVIT TO^KU c, TO an 6 c I, ZNA^IT, x > bn . nO PO POSTROENI@ TO^EK MNOVESTWA A, LEVA]IH PRAWEE OTREZKOW an bn ], NET. 2) wOZXMEM PROIZWOLXNOE ^ISLO c0 < c I NAJDEM OTREZOK an bn ], DLINA KOTOROGO MENXE c ;0c0. |TOT OTREZOK SODERVIT TO^KU c I, ZNA^IT, NE MOVET SODERVATX c (ZDESX, KAK I WYE, PRIWEDENNOE RASSUVDENIE NA GEOMETRI^ESKOM QZYKE LEGKO ZAPISATX W WIDE NERAWENSTW). nO W KAVDOM OTREZKE an bn ] ESTX TO^KI IZ A, ZNA^IT, PRAWEE TO^KI c0 ESTX HOTQ BY ODNA TO^KA IZ A. iTAK, MY DOKAZALI, ^TO c = sup A. tAKIM OBRAZOM, TEOREMA O TO^NOJ WERHNEJ GRANI I TEOREMA O WLOVENNYH OTREZKAH \KWIWALENTNY. x 1.8.
s^ETNYE I NES^ETNYE MNOVESTWA
rASSMATRIM WOPROSY, SWQZANNYE SO SRAWNENIEM MNOVESTW PO KOLI^ESTWU SODERVA]IHSQ W NIH \LEMENTOW. dLQ KONE^NYH MNOVESTW (T.E. MNOVESTW IZ KONE^NOGO ^ISLA \LEMENTOW) ZADA^A REAETSQ PROSTO, TAK KAK KOLI^ESTWO \LEMENTOW KONE^NOGO MNOVESTWA WYRAVAETSQ NATURALXNYM ^ISLOM. w SLU^AE, KOGDA NE IMEET ZNA^ENIQ, SKOLXKO IMENNO \LEMENTOW SODERVAT KONE^NYE MNOVESTWA A I B , A NUVNO ZNATX TOLXKO, W KAKOM 24
IZ NIH \LEMENTOW BOLXE, UDOBNO ISPOLXZOWATX SLEDU@]EE SOOBRAVENIE. eSLI MOVNO USTANOWITX WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU \LEMENTAMI MNOVESTWA A I \LEMENTAMI NEKOTOROGO PODMNOVESTWA MNOVESTWA B , TO ^ISLO \LEMENTOW MNOVESTWA A NE BOLXE, ^EM ^ISLO \LEMENTOW W B . tAKOJ PODHOD KLADETSQ W OSNOWU SRAWNENIQ KOLI^ESTWA \LEMENTOW BESKONE^NYH (T.E. NE QWLQ@]IHSQ KONE^NYMI) MNOVESTW. oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO DWA MNOVESTWA IME@T ODINAKOWU@ MO]NOSTX (QWLQ@TSQ RAWNOMO]NYMI ), ESLI MEVDU IH \LEMENTAMI MOVNO USTANOWITX WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE. eSLI MNOVESTWO A IMEET ODINAKOWU@ MO]NOSTX S NEKOTORYM PODMNOVESTWOM MNOVESTWA B , TO GOWORQT, ^TO MO]NOSTX MNOVESTWA A MENXE ILI RAWNA MO]NOSTI MNOVESTWA B . oPREDELENIE. mNOVESTWO NAZYWAETSQ S^ETNYM, ESLI ONO IMEET ODINAKOWU@ MO]NOSTX S MNOVESTWOM NATURALXNYH ^ISEL. zAMETIM, ^TO S^ETNOSTX MNOVESTWA \KWIWALENTNA WOZMOVNOSTI PREDSTAWITX WSE EGO \LEMENTY W WIDE POSLEDOWATELXNOSTI a1 a2 a3 : : : (1.8.1) W KOTOROJ KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA U^ASTWUET ODIN RAZ. dEJSTWITELXNO, ESLI MNOVESTWO A S^ETNO, T.E. IMEETSQ WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE \LEMENTOW A I N , TO MOVNO PREDSTAWITX WSE \LEMENTY MNOVESTWA A W WIDE POSLEDOWATELXNOSTI, ZAPISAW SNA^ALA \LEMENT, SOOTWETSTWU@]IJ ^ISLU 1, ZATEM \LEMENT, SOOTWETSTWU@]IJ ^ISLU 2, I T.D. nAOBOROT, ESLI WSE \LEMENTY MNOVESTWA A ZAPISANY W WIDE POSLEDOWATELXNOSTI (1.8.1), TO POSTAWIW \LEMENT ak W SOOTWETSTWIE ^ISLU k, POLU^IM WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MNOVESTW A I N. s^ETNYE MNOVESTWA | SAMYE \MALENXKIE" SREDI BESKONE^NYH MNOVESTW. dEJSTWITELXNO, PUSTX MNOVESTWO A BESKONE^NO. wOZXMEM NEKOTORYJ \LEMENT IZ A, OBOZNA^AEM EGO a1 . w SILU BESKONE^NOSTI A W A, KROME a1 , ESTX E]E DRUGIE \LEMENTY. wYBIRAEM KAKOJ-LIBO IZ NIH I OBOZNA^AEM EGO a2 . pRODOLVAQ NEOGRANI^ENNO \TOT PROCESS, POLU^IM S^ETNOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA A. tAKIM OBRAZOM, KAVDOE BESKONE^NOE MNOVESTWO SODERVIT S^ETNOE PODMNOVESTWO. rASSMOTRIM PRIMERY S^ETNYH MNOVESTW. pO^TI O^EWIDNYJ PRIMER | S^ETNOSTX MNOVESTWA Z. dEJSTWITELXNO, WSE CELYE ^ISLA MOVNO PREDSTAWITX W WIDE POSLEDOWATELXNOSTI 0 1 ;1 2 ;2 : : : : 25
tEOREMA
mNOVESTWO RACIONALXNYH ^ISEL S^ETNO. dOKAZATELXSTWO. tEOREMA BUDET DOKAZANA, ESLI MY POSTROIM POSLEDOWATELXNOSTX, SODERVA]U@ WSE RACIONALXNYE ^ISLA (KAVDOE RACIONALXNOE ^ISLO DOLVNO U^ASTWOWATX W \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI TOLXKO ODIN RAZ). dLQ \TOGO STROIM SNA^ALA POSLEDOWATELXNOSTI, SODERVA]IE WSE OTLI^NYE OT NULQ RACIONALXNYE ^ISLA S FIKSIROWANNYMI ZNAMENATELQMI: 1.8.1.
1 1
1 1
2 1
2 1
....
1 2
1 2
2 2
2 2
....
1 3
1 3
2 3
2 3
....
...
...
...
...
....
tEPERX PIEM ^ISLO 0, A ZATEM ZAPISYWAEM ^ISLA, DWIGAQSX W POSTROENNOJ BESKONE^NOJ TABLICE PO DIAGONALQM. pERED TEM, KAK NAPISATX O^EREDNOE ^ISLO, PROWERQEM, ^TO \TOGO ^ISLA NET SREDI UVE ZAPISANNYH. tAK POLU^IM NUVNU@ POSLEDOWATELXNOSTX. tEOREMA 1.8.2. mNOVESTWO DEJSTWITELXNYH ^ISEL NES^ETNO. dOKAZATELXSTWO. pOKAVEM, ^TO NES^ETNO MNOVESTWO DEJSTWITELXNYH ^ISEL IZ INTERWALA (0 1). pREDPOLOVIM, ^TO \TO UTWERVDENIE NEWERNO I SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX x1 x2 x3 : : : (1.8.2) SODERVA]AQ WSE ^ISLA IZ (0 1). pUSTX xn = 0 xn1 xn2 : : : , n = = 1 2 : : : | PREDSTAWLENIE ^ISEL xn W WIDE BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ. mY S^ITAEM, ^TO WYBRANA KAKAQ-LIBO ODNA FORMA ZAPISI BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ | ILI S 0, ILI S 9 W PERIODE. zAPIEM \TI PREDSTAWLENIQ W WIDE BESKONE^NOJ TABLICY: x1 = 0 x11 x12 x13 : : : x2 = 0 x21 x22 x23 : : : x3 = 0 x31 x32 x33 : : : ::: ::: ::: ::: 26
pOSTROIM ^ISLO IZ INTERWALA (0 1), KOTOROGO W POSLEDOWATELXNOSTI (1.8.2) NET. pOLOVIM a := 0 a1 a2 : : : , GDE WSE DESQTI^NYE ZNAKI ai WYBIRAEM SREDI CIFR 1 2 : : : 8 TAK, ^TOBY WYPOLNQLISX NERAWENSTWA a1 6= x11 a2 6= x22 : : : . tOGDA W ZAPISI ^ISLA a W WIDE BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI CIFRY 0 I 9 NE U^ASTWU@T WOWSE, I ^ISLO a NE MOVET RAWNQTXSQ NI ODNOMU IZ ^ISEL xn , TAK KAK an 6= xnn DLQ WSEH n. tEOREMA DOKAZANA. oPREDELENIE. mNOVESTWA, IME@]IE ODINAKOWU@ MO]NOSTX S OTREZKOM 0 1], NAZYWA@T MNOVESTWAMI MO]NOSTI KONTINUUM. w \TOM OPREDELENII MOVNO BYLO GOWORITX OB ODINAKOWOJ MO]NOSTI S INTERWALOM (0 1), TAK KAK NETRUDNO USTANOWITX WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE OTREZKA 0 1] I INTERWALA (0 1). |TO MOVNO SDELATX, NAPRIMER, TAK. wYDELIM PROIZWOLXNOE S^ETNOE MNOVESTWO A (0 1). zAPIEM WSE \LEMENTY A W WIDE POSLEDOWATELXNOSTI a1 a2 : : : (WSE \LEMENTY \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI RAZLI^NY) I RASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX B , IME@]U@ WID 0 1 a1 a2 : : : . wSEM ^ISLAM IZ (0 1), NE WHODQ]IM W A, STAWIM W SOOTWETSTWIE IH SAMIH KAK \LEMENTY IZ 0 1]. a POSLEDOWATELXNOSTI A I B ZAPISYWAEM ODNU POD DRUGOJ a1 a2 a3 a4 : : : 0 1 a1 a2 : : : I STAWIM W SOOTWETSTWIE DRUG DRUGU \LEMENTY IZ ODNOGO STOLBCA. w OPREDELENII MNOVESTW MO]NOSTI KONTINUUM NE IMEET ZNA^ENIQ I TOT FAKT, ^TO BERETSQ IMENNO OTREZOK 0 1]. mOVNO BYLO BRATX L@BOJ OTREZOK a b], TAK KAK WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU 0 1] I a b] LEGKO USTANOWITX S POMO]X@ FORMULY t = a + (b ; a)x x 2 0 1], ILI GEOMETRI^ESKI:
0
a
x
1
b
t
w DALXNEJEM MY UWIDIM, ^TO MNOVESTWO WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL TAKVE IMEET MO]NOSTX KONTINUUM. 27
gLAWA
x 2.1.
2
predel posledowatelxnosti oPREDELENIE PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI
nAPOMNIM OPREDELENIE POSLEDOWATELXNOSTI \LEMENTOW PROIZWOLXNOGO MNOVESTWA A, DANNOE W x 1.7. eSLI KAVDOMU NATURALXNOMU ^ISLU n POSTAWLEN W SOOTWETSTWIE NEKOTORYJ \LEMENT xn IZ MNOVESTWA A, TO GOWORQT, ^TO \LEMENTY x1 x2 x3 : : : OBRAZU@T POSLEDOWATELXNOSTX fxn g. w \TOJ GLAWE W OSNOWNOM RASSMATRIWA@TSQ ^ISLOWYE POSLEDOWATELXNOSTI. dLQ KRATKOSTI BUDEM NAZYWATX IH PROSTO POSLEDOWATELXNOSTQMI. oPREDELENIE. ~ISLO a NAZYWA@T PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxng, ESLI DLQ KAVDOGO POLOVITELXNOGO " SU]ESTWUET ^ISLO N = N (") TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jxn ; aj < ": (2.1.1) w \TOM SLU^AE PIUT a = nlim x = lim xn (2.1.2) !1 xn = lim n n ILI xn ! a n ! 1: pRI a = 0 \TO OPREDELENIE BYLO DANO W x 1.7, KOGDA GOWORILOSX O POSLEDOWATELXNOSTQH, SHODQ]IHSQ K NUL@. nERAWENSTWO (2.1.1) RAWNOSILXNO DWOJNOMU NERAWENSTWU ;" < xn ; a < " I, ZNA^IT, RAWNOSILXNO DWOJNOMU NERAWENSTWU a ; " < xn < a + ", KOTOROE OZNA^AET, ^TO xn 2 (a ; " a + "): oPREDELENIE. iNTERWAL (a ; " a + "), GDE " > 0, NAZYWA@T "-OKRESTNOSTX@ TO^KI a. iSPOLXZUQ PONQTIE "-OKRESTNOSTI, OPREDELENIE PREDELA MOVNO SFORMULIROWATX TAK. ~ISLO a NAZYWAETSQ PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI, ESLI DLQ KAVDOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA " WSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI, NA^INAQ S NEKOTOROGO, PRINADLEVAT "-OKRESTNOSTI TO^KI a. 28
oPREDELENIE eSLI POSLEDOWATELXNOSTX IMEET PREDEL, EE NAZYWA.
@T SHODQ]EJSQ. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX NE IMEET PREDELA, EE NAZYWA@T RASHODQ]EJSQ. eSLI ^ISLO a QWLQETSQ PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, TO GOWORQT, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ K a. pRO ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI (^ISLA xn ) GOWORQT, ^TO ONI SHODQTSQ ILI STREMQTSQ K a. oTMETIM, ^TO SHODIMOSTX ILI RASHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI I ZNA^ENIE PREDELA, ESLI POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ, NE ZAWISQT OT EE NA^ALXNYH ^LENOW. tEOREMA 2.1.1. pREDEL SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO. dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM PROTIWNOE | PUSTX ^ISLA a I b QWLQ@TSQ PREDELAMI POSLEDOWATELXNOSTI fxn g I a 6= b, DLQ OPREDELENNOSTI a < b. wOZXMEM " := (b ; a)=2. |TO ^ISLO POLOVITELXNOE. pOLXZUQSX SHODIMOSTX@ POSLEDOWATELXNOSTI K a, NAHODIM N1 TAKOE, ^TO a ; " < xn < a + " (2.1.3) DLQ WSEH n > N1 . tO^NO TAKVE W SILU SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI K b NAHODIM N2 TAKOE, ^TO b ; " < xn < b + " (2.1.4) DLQ WSEH n > N2 . pO\TOMU, ESLI n > N := max(N1 N2 ), TO WYPOLNQ@TSQ OBA NERAWENSTWA: I (2.1.3) I (2.1.4). tAK KAK a+"=a+ b;a = a+b 2
2
I b ; " = (a + b)=2, TO IZ PRAWOGO NERAWENSTWA (2.1.3) I LEWOGO NERAWENSTWA (2.1.4) SLEDUET, ^TO DLQ n > N x N1 I WTOROE DLQ n > N2 . ~TOBY WYPOLNQLISX OBA \TI NERAWENSTWA, MY BRALI n > N = max(N1 N2 ). tAKOJ PRIEM BUDET ^ASTO ISPOLXZOWATXSQ W DALXNEJEM BEZ DOPOLNITELXNYH POQSNENIJ. 29
x 2.2.
tEOREMA
sWOJSTWA PREDELOW SWQZANNYE S NERAWENSTWAMI ,
2.2.1. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ, TO ONA OGRANI^ENA. dOKAZATELXSTWO. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX fxn g SHODITSQ I a := lim x . wZQW " = 1, NAHODIM N TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQn n ETSQ NERAWENSTWO jxn ; aj < 1. tOGDA DLQ \TIH n jxn j = jxn ; a + aj 6 jxn ; aj + jaj < 1 + jaj: pO\TOMU, ESLI POLOVITX L := max(jx1 j jx2 j : : : jxN j 1 + jaj), TO POLU^IM jxn j 6 L DLQ WSEH n, T.E. POSLEDOWATELXNOSTX fxn g OGRANI^ENA. tEOREMA 2.2.2. eSLI lim x = a 6= 0, TO SU]ESTWUET ^ISLO N n n TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N
jxnj > 12 jaj:
pRI \TOM, ESLI a > 0, TO xn > a=2, A ESLI a < 0, TO xn < a=2. dOKAZATELXSTWO. wZQW " := jaj=2, NAJDEM N TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO
tOGDA
jxn ; aj < 12 jaj: a ; 12 jaj < xn < a + 12 jaj:
(2.2.1)
eSLI a > 0, TO jaj = a I POLXZUEMSQ LEWYM NERAWENSTWOM (2.2.1). a ESLI a < 0, TO jaj = ;a I POLXZUEMSQ PRAWYM NERAWENSTWOM (2.2.1). tEOREMA DOKAZANA. tEOREMA 2.2.3. eSLI POSLEDOWATELXNOSTI fxng I fyng SHODQTSQ I xn 6 yn DLQ WSEH n, TO lim x 6 lim y : n!1 n n!1 n dOKAZATELXSTWO. pUSTX a := lim xn I b := lim yn . nUVNO DOKAZATX, ^TO a 6 b. 30
pREDPOLOVIM, ^TO \TO NERAWENSTWO NEWERNO I a > b. wOZXMEM " := (a ; b)=2. tAK KAK " > 0, TO SU]ESTWUET N TAKOE, ^TO DLQ WSEH n>N xn > a ; " = a ; a ;2 b = a +2 b I yn < b + " = b + a ;2 b = a +2 b :
tAKIM OBRAZOM, IMEEM
yn < a +2 b < xn
^TO PROTIWORE^IT USLOWI@. tEOREMA DOKAZANA. zAMETIM, ^TO WYPOLNENIE NERAWENSTWA xn 6 yn MOVNO BYLO TREBOWATX NE DLQ WSEH n, A TOLXKO DLQ WSEH DOSTATO^NO BOLXIH n. pODOBNOE ZAME^ANIE MOVNO BUDET SDELATX I K NEKOTORYM POSLEDU@]IM TEOREMAM, NO MY NE BUDEM ZAOSTRQTX NA \TOM WNIMANIE. bOLEE SU]ESTWENNOE ZAME^ANIE SOSTOIT W SLEDU@]EM. eSLI W TEOREME 2.2.3 WMESTO NESTROGIH NERAWENSTW xn 6 yn PREDPOLAGATX WYPOLNENIE STROGIH NERAWENSTW xn < yn , TO WSE RAWNO MOVNO BYLO BY UTWERVDATX SPRAWEDLIWOSTX TOLXKO NESTROGOGO NERAWENSTWA lim xn 6 lim yn . |TO WIDNO NA PRIMERE POSLEDOWATELXNOSTEJ xn := 0 I yn := 1=n, DLQ KOTORYH xn < yn I lim xn = lim yn = 0. tAKIM OBRAZOM, NEOBHODIMO SOBL@DATX SLEDU@]EE PRAWILO: eSLI SU]ESTWU@T PREDELY WYRAVENIJ IZ LEWOJ I IZ PRAWOJ ^ASTEJ STROGOGO NERAWENSTWA, TO PRI PEREHODE W \TOM NERAWENSTWE K PREDELU STROGOE NERAWENSTWO NUVNO ZAMENITX NA NESTROGOE. tEOREMA 2.2.4. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTI fxng I fyng SHODQTSQ K ODNOMU I TOMU VE PREDELU I xn 6 yn DLQ WSEH n. tOGDA L@BAQ POSLEDOWATELXNOSTX fzng TAKAQ, ^TO xn 6 zn 6 yn DLQ WSEH n, SHODITSQ K TOMU VE PREDELU. dOKAZATELXSTWO. oBOZNA^IM a := lim xn = lim yn . dLQ KAVDOGO " > 0 NAHODIM N TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA a ; " < xn < a + " I a ; " < yn < a + ". tOGDA DLQ \TIH n a ; " < xn 6 zn 6 yn < a + " T.E. zn 2 (a ; " a + ") I TEOREMA DOKAZANA. tEOREMA 2.2.5. eSLI xn ! a, n ! 1, TO jxn j ! jaj n ! 1. 31
|TO UTWERVDENIE IMEET MESTO W SILU NERAWENSTWA jjxnj ; jajj 6 jxn ; aj KOTOROE QWLQETSQ PROSTYM SLEDSTWIEM NERAWENSTWA TREUGOLXNIKA
(1.4.3).
x 2.3.
aRIFMETI^ESKIE SWOJSTWA PREDELOW
pUSTX POSLEDOWATELXNOSTI fxn g I fyng SHODQT1 . nlim !1(xn + yn ) = nlim !1 xn + nlim !1 yn 2 . nlim !1 xn ; nlim !1 yn !1(xn ; yn ) = nlim 3 . nlim !1(xn yn) = nlim !1 xn nlim !1 yn 4 . eSLI yn 6= 0 DLQ WSEH n I lim n yn 6= 0, TO
tEOREMA SQ. tOGDA
2.3.1.
xn = nlim !1 xn : lim n!1 yn lim y n!1 n
zDESX W KAVDOM IZ SLU^AEW 1 {4 SODERVATSQ DWA UTWERVDENIQ: WO-PERWYH, SU]ESTWOWANIE PREDELA WYRAVENIQ, STOQ]EGO W LEWOJ ^ASTI RAWENSTWA, A WO-WTORYH, RAWENSTWO \TOGO PREDELA WYRAVENI@, STOQ]EMU W PRAWOJ ^ASTI. kRATKO \TU TEOREMU OBY^NO FORMULIRU@T TAK: PREDEL SUMMY RAWEN SUMME PREDELOW PREDEL RAZNOSTI RAWEN RAZNOSTI PREDELOW PREDEL PROIZWEDENIQ RAWEN PROIZWEDENI@ PREDELOW PREDEL ^ASTNOGO RAWEN ^ASTNOMU PREDELOW. w POSLEDNEM UTWERVDENII, RAZUMEETSQ, IMEETSQ W WIDU, ^TO NI ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI DELITELEJ, NI PREDEL \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI NE RAWNY NUL@. dOKAZATELXSTWO. pUSTX a := lim xn I b := lim yn . 1 {2. pO ZADANNOMU " > 0 WYBIRAEM N TAK, ^TOBY DLQ WSEH n > N WYPOLNQLISX NERAWENSTWA jxn ; aj < 2" jyn ; bj < 2" : oTS@DA NAHODIM j(xn +yn);(a+b)j = j(xn ;a)+(yn ;b)j 6 jxn ;aj+jyn ;bj < 2" + 2" = ": tO^NO TAKVE j(xn ; yn) ; (a ; b)j = j(xn ; a) ; (yn ; b)j 6 jxn ; aj + jyn ; bj < ": 32
tAKIM OBRAZOM, UTWERVDENIQ 1 I 2 DOKAZANY. 3 . sNA^ALA USTANOWIM WSPOMOGATELXNOE NERAWENSTWO. iMEEM jxn yn ; abj = j(xn yn ; ayn) + (ayn ; ab)j 6 jxn ; ajjynj + jajjyn ; bj: (2.3.1)
w SILU SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI fyn g ONA OGRANI^ENA, PO\TOMU MOVNO WYBRATX ^ISLO L TAKOE, ^TO jyn j < L DLQ WSEH n I jaj < L. tOGDA IZ (2.3.1) WYTEKAET, ^TO jxn yn ; abj 6 Ljxn ; aj + Ljyn ; bj: (2.3.2) tEPERX PO ZADANNOMU " > 0 NAHODIM ^ISLO N TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQ@TSQ OCENKI jxn ; aj < 2"L jyn ; bj < 2"L : pOLXZUQSX \TIMI OCENKAMI, IZ (2.3.2) NAHODIM, ^TO DLQ WSEH n > N jxn yn ; abj < L 2"L + L 2"L = " I SWOJSTWO 3 DOKAZANO. 4 . oBOSNOWANIE \TOGO UTWERVDENIQ TAKVE NA^NEM S DOKAZATELXSTWA WSPOMOGATELXNOGO NERAWENSTWA. iMEEM xn ; a = xn ; xn + xn ; a 6 x 1 ; 1 + n y yn b yn b b b n b (2.3.3) 1 j x j 1 + b (xn ; a) = jy jjn bj jb ; yn j + jbj jxn ; aj: n
tAK KAK b 6= 0, TO SOGLASNO TEOREME 2.2.2 SU]ESTWUET ^ISLO N1 TAKOE, ^TO jyn j > jbj=2 DLQ WSEH n > N1 . pOSLEDOWATELXNOSTX fxn g W SILU EE SHODIMOSTI OGRANI^ENA. pUSTX ^ISLO L TAKOWO, ^TO jxn j < L DLQ WSEH n. tOGDA SOGLASNO (2.3.3) DLQ n > N1 SPRAWEDLIWA OCENKA xn ; a 6 2L jb ; y j + 1 jx ; aj: (2.3.4) n jbj n yn b b2 tEPERX DLQ PROIZWOLXNOGO POLOVITELXNOGO " WYBIRAEM ^ISLO N > N1 TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N SPRAWEDLIWY OCENKI 2 jxn ; aj < " j2bj jb ; ynj < " 4bL : 33
tOGDA IZ (2.3.4) SLEDUET, ^TO DLQ WSEH n > N xn ; a < ": yn b tEOREMA DOKAZANA. x 2.4.
bESKONE^NO MALYE I BESKONE^NO BOLXIE POSLEDOWATELXNOSTI
oPREDELENIE pOSLEDOWATELXNOSTX NAZYWAETSQ BESKONE^NO MALOJ .
(ILI IS^EZA@]EJ ), ESLI ONA SHODITSQ K NUL@.
oBOZNA^ENIE DLQ BESKONE^NO MALOJ POSLEDOWATELXNOSTI an = o(1) n ! 1: sIMWOL o(1) ^ITAETSQ \o-MALOE OT EDINICY". oPREDELENIE. pOSLEDOWATELXNOSTX fbng NAZYWAETSQ BESKONE^NO BOLXOJ, ESLI DLQ KAVDOGO ^ISLA L SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO N = = N (L), ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQETSQ OCENKA jbn j > L. w \TOM SLU^AE PIUT lim bn = 1 I GOWORQT, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fbng IMEET PREDELOM 1. pRI \TOM, ESLI DLQ WSEH DOSTATO^NO BOLXIH n IMEEM bn > 0, TO PIUT lim bn = +1, A ESLI bn < 0, TO PIUT lim bn = ;1. |TI OPREDELENIQ MOVNO SFORMULIROWATX INA^E. oPREDELENIE. eSLI DLQ KAVDOGO ^ISLA L SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO N , ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQETSQ OCENKA bn > L, TO GOWORQT, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fbng IMEET PREDELOM +1 I PIUT lim bn = +1. eSLI DLQ KAVDOGO ^ISLA L SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO N , ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQETSQ OCENKA bn < L, TO GOWORQT, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fbng IMEET PREDELOM ;1 I PIUT lim bn = ;1. w SOOTWETSTWII SO SKAZANNYM W x 2.1 POSLEDOWATELXNOSTI, IME@]IE BESKONE^NYE PREDELY, SLEDUET NAZYWATX RASHODQIMISQ. nO OBY^NO OT \TOGO PRAWILA OTSTUPA@T I NAZYWA@T TAKIE POSLEDOWATELXNOSTI SHODQ]IMISQ. ~TOBY IZBEVATX NEDORAZUMENIJ, USLOWIMSQ, ^TO KOGDA GOWORITSQ O SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI, TO \TO WSEGDA BUDET OZNA^ATX, ^TO ONA IMEET KONE^NYJ PREDEL. a W TEH SLU^AQH, KOGDA POSLEDOWATELXNOSTX MOVET IMETX I BESKONE^NYJ PREDEL, \TO BUDET OGOWARIWATXSQ. zAMETIM, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX MOVET SHODITXSQ K 1, NO PRI \TOM NE SHODITXSQ NI K +n1, NI K ;1. tAK BUDET, NAPRIMER, DLQ POSLEDOWATELXNOSTI f(;1) ng. 34
oTMETIM PROSTEJIE SWOJSTWA BESKONE^NO MALYH I BESKONE^NO BOLXIH POSLEDOWATELXNOSTEJ. eSLI fxn g | BESKONE^NO BOLXAQ POSLEDOWATELXNOSTX, PRI^EM xn 6= 0 DLQ WSEH n, TO f1=xn g | BESKONE^NO MALAQ POSLEDOWATELXNOSTX. dEJSTWITELXNO, DLQ PROIZWOLXNOGO " > 0 POLOVIM L := 1=". tEPERX PO L NAHODIM N TAKOE, ^TO jxn j > L DLQ WSEH n > N . tOGDA DLQ \TIH n IMEEM j1=xnj = 1=jxn j < 1=L = " I NAE UTWERVDENIE DOKAZANO. eSLI fxn g | BESKONE^NO MALAQ POSLEDOWATELXNOSTX I xn 6= 0 DLQ WSEH n, TO f1=xng | BESKONE^NO BOLXAQ POSLEDOWATELXNOSTX. dOKAZATELXSTWO \TOGO SWOJSTWA ANALOGI^NO. eSLI fang I fbng | BESKONE^NO MALYE POSLEDOWATELXNOSTI, TO BESKONE^NO MALYMI QWLQ@TSQ I POSLEDOWATELXNOSTI fan + bn g I fan ; bng. |TO SLEDUET IZ SWOJSTW PREDELOW SHODQ]IHSQ POSLEDOWATELXNOSTEJ. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fang BESKONE^NO MALAQ, A POSLEDOWATELXNOSTX fbng OGRANI^ENNAQ, TO POSLEDOWATELXNOSTX fan bn g BESKONE^NO MALAQ. dEJSTWITELXNO, PO USLOWI@ SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO L, ^TO jbn j < L DLQ WSEH n. pO\TOMU SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jan bnj 6 L janj, IZ KOTOROGO WYSKAZANNOE UTWERVDENIE LEGKO WYWODITSQ. zAMETIM, ^TO EGO NELXZQ POLU^ITX IZ SWOJSTW PREDELOW SHODQ]IHSQ POSLEDOWATELXNOSTEJ, TAK KAK SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI fbng NE PREDPOLAGALASX. dLQ OBOZNA^ENIQ OGRANI^ENNOSTI POSLEDOWATELXNOSTI fbng ISPOLXZUETSQ ZAPISX bn = O(1) 8 n: sIMWOL O(1) ^ITAETSQ \O-BOLXOE OT EDINICY". x 2.5.
pREDEL MONOTONNOJ POSLEDOWATELXNOSTI
oPREDELENIE pOSLEDOWATELXNOSTX fxn g NAZYWAETSQ MONOTONNOJ, .
ESLI ONA NE UBYWAET, T.E. xn 6 xn+1 DLQ WSEH n, ILI NE WOZRASTAET, T.E. xn > xn+1 DLQ WSEH n. wMESTO \NE UBYWAET" OBY^NO BUDEM GOWORITX \WOZRASTAET", DOPUSKAQ W \TOM SLU^AE I NESTROGOE WOZRASTANIE. tAM VE, GDE BUDET WAVNO, ^TO DLQ WSEH n WYPOLNQETSQ STROGOE NERAWENSTWO xn < xn+1 , BUDEM GOWORITX, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX \STROGO WOZRASTAET". tO^NO TAKVE WMESTO \NE WOZRASTAET" BUDEM GOWORITX \UBYWAET". tEOREMA 2.5.1. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX fxng WOZRASTAET. tOGDA 1 . ESLI POSLEDOWATELXNOSTX fxn g OGRANI^ENA SWERHU ^ISLOM B , TO ONA SHODITSQ I lim x 6 B n n 35
2 . ESLI POSLEDOWATELXNOSTX fxn g NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SWERHU, TO lim x = +1. n n
dOKAZATELXSTWO. 1 . tAK KAK xn 6 B DLQ WSEH n, TO SU]ESTWUET TO^NAQ WERHNQQ GRANX M := sup xn I M 6 B . pOKAVEM, ^TO M n QWLQETSQ PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. pOSKOLXKU M | TO^NAQ WERHNQQ GRANX, TO xn 6 M DLQ WSEH n I DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET ^ISLO xp TAKOE, ^TO xp > M ; ". nO TOGDA DLQ WSEH n > p IMEEM M ; " < xp 6 xn . tAKIM OBRAZOM, DLQ WSEH n > p WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA M ; " < xn 6 M . |TO POKAZYWAET, ^TO M = lim n xn . 2 . eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fxn g NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SWERHU, TO DLQ L@BOGO L SU]ESTWUET ^ISLO xq TAKOE, ^TO xq > L. w SILU WOZRASTANIQ POSLEDOWATELXNOSTI OTS@DA SLEDUET, ^TO DLQ WSEH n > q WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA xn > xq > L, A \TO I OZNA^AET, ^TO lim x = +1. n n tEOREMA DOKAZANA. aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ TEOREMA O PREDELE UBYWA@]EJ POSLEDOWATELXNOSTI. rASSMOTRIM DWA PRIMERA. n 1 . dOKAVEM, ^TO ESLI jqj < 1, TO lim n q = 0. pUSTX SNA^ALA 0 < q < 1. tOGDA fqng { UBYWA@]AQ OGRANI^ENNAQ SNIZUn POSLEDOWATELXNOSTX. zNA^IT, ONA IMEET PREDEL. pUSTX a := lim q. n n+1 = pOSLEDOWATELXNOSTX fqn+1 g IMEET \TOT VE PREDEL: lim n q a. nO PO TEOREME O PREDELE PROIZWEDENIQ POSLEDOWATELXNOSTEJ lim qn+1 = lim (qn q) = (lim qn ) q = aq. tAKIM OBRAZOM, a = aq, n n n A \TO WOZMOVNO TOLXKO PRI a = 0 I MY DOKAZALI, ^TO lim qn = 0 DLQ n POLOVITELXNYH q. dLQ OTRICATELXNYH q POLXZUEMSQ TEM, ^TO jqn j = jqjn . 20 : pOKAVEM, ^TO DLQ PROIZWOLXNOGO ^ISLA a an = 0 lim (2.5.1) n n! GDE, NAPOMNIM, n! := 1 2 : : : n. kAK I W PREDYDU]EM PRIMERE, DOSTATO^NO RASSMOTRETX TOLXKO POLOVITELXNYE a. pUSTX m { NATURALXNOE ^ISLO TAKOE, ^TO m + 1 > a. dLQ n > m 36
IMEEM
1 = 1 1 1 1 (m + 1)m 1 6 = n! m! (m + 1) : : : n m! (m + 1)n;m m! (m + 1)n
OTKUDA
an 6 (m + 1)m a n : (2.5.2) n! m! m+1 iZ a=(m + 1) < 1 PO DOKAZANNOMU W PERWOM PRIMERE SLEDUET, ^TO a n ! 0 n ! 1 m+1 A \TO W SILU (2.5.2) PRIWODIT K (2.5.1).
~ISLO e
x 2.6.
nAM BUDET NUVNO SLEDU@]EE NERAWENSTWO, KOTOROE NAZYWA@T NERAWENSTWOM bERNULLI. lEMMA 2.6.1. eSLI m > 2 | NATURALXNOE ^ISLO I x > 0, TO SPRAWEDLIWA OCENKA (1 + x)m > 1 + mx: (2.6.1) dOKAZATELXSTWO. dLQ m = 2 DOKAZATELXSTWO \LEMENTARNO: (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x: dALXNEJIE RASSUVDENIQ PROWEDEM METODOM MATEMATI^ESKOJ INDUKCII. pREDPOLOVIM, ^TO DLQ POKAZATELQ m NERAWENSTWO (2.6.1) UVE DOKAZANO, I USTANOWIM EGO DLQ POKAZATELQ m + 1. iMEEM (1 + x)m+1 = (1 + x)m (1 + x) > (1 + mx)(1 + x) = = 1 + (m + 1)x + mx2 > 1 + (m + 1)x: lEMMA DOKAZANA. tEOREMA 2.6.2. pOSLEDOWATELXNOSTX fxng, GDE
SHODITSQ.
n
xn := 1 + n1 n = 1 2 : : :
(2.6.2)
37
dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI fyng, GDE n+1 : yn := 1 + n1 oTS@DA BUDET WYTEKATX SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI fxn g I RAWENSTWO OBOIH PREDELOW, TAK KAK
xn = yn 1 + n1 : pOSLEDOWATELXNOSTX fyng OGRANI^ENA SNIZU, POSKOLXKU yn > 1 DLQ WSEH n. pOKAVEM, ^TO ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI fyn g MONOTONNO UBYWA@T. dLQ \TOGO RASSMOTRIM OTNOENIE .
1 + n1
n
+1
n+1 n+2 = n n+2 1 1 = 1+ n n+2 n+1 1 n+2 n
yn yn+1 = 1 + 1 n+2 n+1 2 n+2 ( n + 1) n +n 1 = 1 + n (n + 2) n + 1 : = n (n + 2) w SILU NERAWENSTWA bERNULLI (2.6.1) OTS@DA SLEDUET, ^TO yn > 1 + n + 2 n = 1 + 1 n = 1: yn+1 n(n + 2) n + 1 n n+1 tAKIM OBRAZOM, yn > yn+1 DLQ WSEH n. pO\TOMU SOGLASNO TEOREME O PREDELE MONOTONNOJ POSLEDOWATELXNOSTI PREDEL lim yn SU]ESTWUET I TEOREMA DOKAZANA. sLEDUQ |JLERU, PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI (2.6.2) OBOZNA^A@T e. nARQDU S ^ISLO e QWLQETSQ ODNOJ IZ NAIBOLEE WAVNYH KONSTANT W MATEMATIKE. dESQTI^NOE PREDSTAWLENIE ^ISLA e IMEET WID e = 2718 : : : w x 6.5 BUDET POKAZANO, ^TO e | IRRACIONALXNOE ^ISLO. x pODPOSLEDOWATELXNOSTI tEOREMA bOLXCANO wEJERTRASSA 2.7.
.
{
pUSTX ZADANA POSLEDOWATELXNOSTX fxn g. wYBEREM NEKOTORU@ STROGO WOZRASTA@]U@ POSLEDOWATELXNOSTX NATURALXNYH ^ISEL n1 < < n2 < : : : . pOSLEDOWATELXNOSTX fxn1 xn2 : : : g = fxnk g NAZYWAETSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@ POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. 38
tAKIM OBRAZOM, W \TOM SLU^AE KAVDOE ^ISLO xnk QWLQETSQ ^LENOM POSLEDOWATELXNOSTI fxn g I, KROME TOGO, W POSLEDOWATELXNOSTI fxnk g SOHRANQETSQ TOT VE PORQDOK SLEDOWANIQ \LEMENTOW, KAKOJ ONI IMELI W ISHODNOJ POSLEDOWATELXNOSTI. oBRAZNO GOWORQ, MY ZAPISYWAEM PODRQD WSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI x1 x2 x3 : : : , \WY^ERKIWAEM" NEKOTORYE EE \LEMENTY, OSTAWLQQ BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW, I \TU OSTAWU@SQ POSLEDOWATELXNOSTX NAZYWAEM PODPOSLEDOWATELXNOSTX@ POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. pONQTNO, ^TO ESLI POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ, TO I L@BAQ EE PODPOSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ K TOMU VE PREDELU. |TO WERNO I DLQ KONE^NYH I DLQ BESKONE^NYH PREDELOW. oPREDELENIE. pREDEL PODPOSLEDOWATELXNOSTI NAZYWAETSQ ^ASTI^NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI. zDESX IME@TSQ W WIDU KAK KONE^NYE, TAK I K BESKONE^NYE PREDELY. iZ OPREDELENIQ ^ASTI^NOGO PREDELA SLEDUET, ^TO ^ISLO a QWLQETSQ ^ASTI^NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, ESLI KAVDAQ OKRESTNOSTX a SODERVIT BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. ~ASTI^NYJ PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI MOVET NE BYTX EE PREDELOM . nAPRIMER, ^ASTI^NYMI PREDELAMI POSLEDOWATELXNOSTI f(;1)ng, QWLQ@TSQ ^ISLA +1 I ;1, A PREDELA U \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI NET. tEOREMA 2.7.1 (tEOREMA bOLXCANO{wEJERTRASSA). iZ KAVDOJ OGRANI^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI MOVNO WYDELITX SHODQ]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX. dOKAZATELXSTWO. pUSTX fxn g | OGRANI^ENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX. rASSMOTRIM OTREZOK a b], SODERVA]IJ WSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. rAZDELIM OTREZOK a b] POPOLAM. tOGDA PO KRAJNEJ MERE ODIN IZ POLU^IWIHSQ OTREZKOW SODERVIT BESKONE^NO MNOGO ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. oBOZNA^IM ^EREZ a1 b1 ] TOT IZ \TIH OTREZKOW, KOTORYJ SODERVIT BESKONE^NO MNOGO ^LENOW ZADANNOJ POSLEDOWATELXNOSTI, A ESLI OBA OTREZKA OBLADA@T \TIM SWOJSTWOM, TO | L@BOJ IZ NIH. wYBEREM PROIZWOLXNYJ \LEMENT POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, PRINADLEVA]IJ OTREZKU a1 b1]. pUSTX \TO BUDET xn1 . rAZDELIM TEPERX POPOLAM OTREZOK a1 b1 ] I OBOZNA^IM ^EREZ a2 b2] ODIN IZ POLU^IWIHSQ OTREZKOW, KOTORYJ SODERVIT BESKONE^NO MNOGO ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. wOZXMEM \LEMENT POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, PRINADLEVA]IJ OTREZKU a2 b2 ] I TAKOJ, ^TO EGO INDEKS n2 BOLXE, ^EM n1 . tAK WYBRAN \LEMENT xn2 . 39
nA SLEDU@]EM AGE DELIM OTREZOK a2 b2 ] POPOLAM, BEREM OTREZOK a3 b3 ], SODERVA]IJ BESKONE^NO MNOGO ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, I WYBIRAEM W NEM \LEMENT xn3 TAKOJ, ^TO n3 > n2 . pRODOLVIW \TOT PROCESS, POLU^IM, WO-PERWYH, POSLEDOWATELXNOSTX WLOVENNYH OTREZKOW fak bk ]g, KAVDYJ IZ KOTORYH SODERVIT BESKONE^NO MNOGO ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, A DLINY OTREZKOW ak bk ] STREMQTSQ K NUL@ I, WO-WTORYH, POSLEDOWATELXNOSTX TO^EK fxnk g TAKIH, ^TO xnk 2 ak bk ]. pO TEOREME O WLOVENNYH OTREZKAH SU]ESTWUET TO^KA, PRINADLEVA]AQ WSEM OTREZKAM ak bk ]. oBOZNA^IM \TU TO^KU c I POKAVEM, ^TO lim x = c: k!1 nk pUSTX " | PROIZWOLXNOE POLOVITELXNOE ^ISLO. tAK KAK DLINY OTREZKOW ak bk ] STREMQTSQ K NUL@, TO WSE \TI OTREZKI, NA^INAQ S NEKOTOROGO, SODERVATSQ W "-OKRESTNOSTI TO^KI c, A WMESTE S NIMI W \TU OKRESTNOSTX POPADUT I SOOTWETSTWU@]IE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI fxnk g. zNA^IT, xnk PRI k ! 1 SHODQTSQ K c. tEOREMA DOKAZANA. zAMETIM, ^TO ESLI WSE \LEMENTY POSLEDOWATELXNOSTI PRINADLEVAT OTREZKU a b], TO I WSE EE ^ASTI^NYE PREDELY PRINADLEVAT a b]. pOKAVEM, ^TO SREDI ^ASTI^NYH PREDELOW OGRANI^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI ESTX NAIBOLXIJ. tEOREMA 2.7.2. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX OGRANI^ENA, TO TO^NAQ WERHNQQ GRANX EE ^ASTI^NYH PREDELOW SAMA QWLQETSQ ^ASTI^NYM PREDELOM. dOKAZATELXSTWO. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX fxn g OGRANI^ENA I A | MNOVESTWO EE ^ASTI^NYH PREDELOW. oBOZNA^IM a := sup A I POKAVEM, ^TO W KAVDOJ OKRESTNOSTI ^ISLA a SODERVITSQ BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. pO OPREDELENI@ TO^NOJ WERHNEJ GRANI DLQ PROIZWOLXNOGO " > 0 W "-OKRESTNOSTI ^ISLA a NAJDETSQ ^ISLO a , QWLQ@]AQSQ ^ASTI^NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxng. wOZXMEM NASTOLXKO MALU@ OKRESTNOSTX TO^KI a , ^TOBY ONA CELIKOM SODERVALASX W UKAZANNOJ "-OKRESTNOSTI TO^KI a. |TOJ OKRESTNOSTI TO^KI a PRINADLEVIT BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, KOTORYE, TAKIM OBRAZOM, PRINADLEVAT I RASSMATRIWAEMOJ "-OKRESTNOSTI TO^KI a. tEOREMA DOKAZANA. pONQTNO, ^TO I TO^NAQ NIVNQQ GRANX ^ASTI^NYH PREDELOW OGRANI^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI QWLQETSQ EE ^ASTI^NYM PREDELOM. 40
oPREDELENIE tO^NAQ WERHNQQ GRANX ^ASTI^NYH PREDELOW OGRANI.
^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI NAZYWAETSQ WERHNIM PREDELOM, A TO^NAQ NIVNQQ GRANX ^ASTI^NYH PREDELOW NAZYWAETSQ NIVNIM PREDELOM \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI. wERHNIJ I NIVNIJ PREDELY POSLEDOWATELXNOSTI fxn g OBOZNA^A@T SOOTWETSTWENNO lim x lim xn : n!1 n n!1
eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fxn g NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SWERHU, TO IZ NEE MOVNO WYDELITX PODPOSLEDOWATELXNOSTX, SHODQ]U@SQ K +1. dEJSTWITELXNO, WYBIRAEM SNA^ALA ^ISLO xn1 TAKOE, ^TO xn1 > > 1. zATEM NAHODIM TAKOJ NOMER n2 > n1 , ^TO DLQ xn2 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO xn2 > 2, I T.D. w REZULXTATE POLU^IM klim x = +1. !1 nk w \TOM SLU^AE WERHNIM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxn g NAZYWA@T +1 aNALOGI^NO IZ POSLEDOWATELXNOSTI, NE OGRANI^ENNOJ SNIZU, MOVNO WYDELITX PODPOSLEDOWATELXNOSTX, SHODQ]U@SQ K ;1, I W \TOM SLU^AE ;1 NAZYWA@T NIVNIM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI. tAKIM OBRAZOM, WERHNIJ I NIVNIJ PREDELY OPREDELENY DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI. tEOREMA bOLXCANO{wEJERTRASSA OTNOSILASX K OGRANI^ENNYM POSLEDOWATELXNOSTQM. dLQ PROIZWOLXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ SOOTWETSTWU@]EE UTWERVDENIE FORMULIRUETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. tEOREMA 2.7.3. iZ KAVDOJ POSLEDOWATELXNOSTI MOVNO WYDELITX PODPOSLEDOWATELXNOSTX, IME@]U@ PREDEL, KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ. oTMETIM SWOJSTWA WERHNIH PREDELOW, SWQZANNYE S ARIFMETI^ESKIMI DEJSTWIQMI NAD POSLEDOWATELXNOSTQMI (ANALOGI^NYMI SWOJSTWAMI OBLADA@T I NIVNIE PREDELY). qSNO, ^TO DLQ PROIZWOLXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ fxn g I fyng RAWENSTWO lim (x + y ) = lim x + lim y n!1 n n n!1 n n!1 n MOVET NE WYPOLNQTXSQ. nO ESLI ODNA IZ \TIH POSLEDOWATELXNOSTEJ IMEET KONE^NYJ PREDEL, TO TAKOE RAWENSTWO UVE IMEET MESTO. pRI \TOM, ^TOBY NE PREDPOLAGATX KONE^NOSTX WERHNEGO PREDELA WTOROJ POSLEDOWATELXNOSTI, POLOVIM PO OPREDELENI@, ^TO SUMMA ^ISLA I BESKONE^NOGO SIMWOLA RAWNA \TOMU BESKONE^NOMU SIMWOLU. tEOREMA 2.7.4. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fxng IMEET KONE^NYJ PREDEL, TO DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI fyn g SPRAWEDLIWO RA41
WENSTWO nlim !1(xn + yn ) = nlim !1 xn + nlim !1 yn :
(2.7.1)
dOKAZATELXSTWO. eSLI WERHNIJ PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI fyn g BESKONE^EN, TO RAWENSTWO (2.7.1) WYTEKAET IZ OPREDELENIQ BESKONE^NYH PREDELOW. bUDEM TEPERX S^ITATX WERHNIJ PREDEL lim y KONE^NYM. n n pUSTX lim x = a . iZ TEOREMY O PREDELE SUMMY SLEDUET, ^TO ESLI n n NEKOTOROE ^ISLO b QWLQETSQ ^ASTI^NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fyng, TO a + b QWLQETSQ ^ASTI^NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxn + yng. aNALOGI^NO, ESLI IZ ^ASTI^NOGO PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI fxn + yng WY^ESTX a, TO POLU^IM ^ASTI^NYJ PREDEL DLQ fyng. pO\TOMU TO^NAQ WERHNQQ GRANX ^ASTI^NYH PREDELOW fxn + yn g RAWNA SUMME ^ISLA a I TO^NOJ WERHNEJ GRANI ^ASTI^NYH PREDELOW fyng, A \TO I ESTX UTWERVDENIE TEOREMY. tEOREMA 2.7.5. pUSTX fxng I fyng | NEOTRICATELXNYE POSLEDOWATELXNOSTI, POSLEDOWATELXNOSTX fxn g IMEET KONE^NYJ PREDEL, A POSLEDOWATELXNOSTX fyn g | KONE^NYJ WERHNIJ PREDEL. tOGDA lim (x y ) = lim x lim y : (2.7.2) n!1 n n n!1 n n!1 n dOKAZATELXSTWO. wYBEREM POSLEDOWATELXNOSTX INDEKSOW fnmg, DLQ KOTOROJ mlim !1 ynm = nlim !1 yn : tOGDA SOGLASNO TEOREME 2.3.1 lim (x y ) = nlim m!1 nm nm !1 xn nlim !1 yn I, ZNA^IT, W SILU NEOTRICATELXNOSTI ^ISEL xn I yn lim (x y ) > lim x lim y : (2.7.3) n!1 n n n!1 n n!1 n
~TOBY POLU^ITX PROTIWOPOLOVNOE NERAWENSTWO, ZAMETIM, ^TO DLQ KAVDOGO FIKSIROWANNOGO " > 0 PRI WSEH DOSTATO^NO BOLXIH n xn < nlim yn < nlim !1 xn + " !1 yn + ":
oTS@DA SLEDUET, ^TO xn yn < nlim x + " lim y + " : n n !1 n!1 42
tAK KAK WYRAVENIE W PRAWOJ ^ASTI \TOGO NERAWENSTWA NE ZAWISIT OT n, TO IZ NEGO WYTEKAET, ^TO lim ( x y ) 6 lim x + " lim y + " : (2.7.4) n!1 n n n!1 n n!1 n
tEPERX POLXZUEMSQ TEM, ^TO LEWAQ ^ASTX OCENKI (2.7.4) NE ZAWISIT OT ". pO\TOMU IZ (2.7.4) SLEDUET, ^TO lim (x y ) 6 lim x lim y : (2.7.5) n!1 n n n!1 n n!1 n iZ NERAWENSTW (2.7.3) I (2.7.5) WYTEKAET RAWENSTWO (2.7.2). tEOREMA DOKAZANA. x 2.8.
kRITERIJ kOI
tERMIN \KRITERIJ" OBY^NO UPOTREBLQ@T DLQ OBOZNA^ENIQ NEOBHODIMYH I DOSTATO^NYH USLOWIJ. wPRO^EM, TAKOE PONIMANIE \TOGO TERMINA NE QWLQETSQ OB]EPRINQTYM. pOLU^IM KRITERIJ SU]ESTWOWANIQ U POSLEDOWATELXNOSTI KONE^NOGO PREDELA. rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX fxn g, SHODQ]U@SQ K ^ISLU a. sRAWNIM MEVDU SOBOJ ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI fxn g S BOLXIMI INDEKSAMI. w SILU SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE N , ^TO DLQ WSEH n > N SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jxn ; aj < "=2. pO\TOMU, ESLI n > N I m > N , TO jxn ; xm j = j(xn ; a) + (a ; xm )j 6 jxn ; aj + ja ; xmj < 2" + 2" = ":
oPREDELENIE gOWORQT, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fxng UDOWLETWO.
RQET USLOWI@ kOI (ILI QWLQETSQ FUNDAMENTALXNOJ ), ESLI DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE N , ^TO DLQ WSEH n > N I m > N SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jxn ; xmj < ":
tAKIM OBRAZOM, USLOWIE kOI QWLQETSQ NEOBHODIMYM DLQ SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI K KONE^NOMU PREDELU. pOKAVEM, ^TO \TO USLOWIE QWLQETSQ TAKVE I DOSTATO^NYM. tEOREMA 2.8.1 (kRITERIJ kOI). dLQ TOGO ^TOBY POSLEDOWATELXNOSTX SHODILASX K KONE^NOMU PREDELU, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY ONA UDOWLETWORQLA USLOWI@ kOI. 43
dOKAZATELXSTWO. pUSTX DLQ POSLEDOWATELXNOSTI fxn g WYPOLNQETSQ USLOWIE kOI. pOKAVEM SNA^ALA , ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fxn g OGRANI^ENA. dLQ " = 1 NAJDEM N TAKOE, ^TO DLQ WSEH n m > N SPRAWEDLIWA OCENKA jxn ; xm j < 1. pOLOVIM m = N + 1. tOGDA DLQ n > N IMEEM jxn ; xN +1 j < 1 I, ZNA^IT, jxnj = jxn ; xN +1 + xN +1 j < 1 + jxN +1j: pO\TOMU, ESLI L := max(jx1 j jx2 j : : : jxN j 1 + jxN +1 j), TO jxn j 6 L DLQ WSEH n. tAKIM OBRAZOM, POSLEDOWATELXNOSTX, UDOWLETWORQ@]AQ USLOWI@ kOI, OGRANI^ENA. sOGLASNO TEOREME bOLXCANO{wEJERTRASSA POSLEDOWATELXNOSTX fxng W SILU EE OGRANI^ENNOSTI IMEET ^ASTI^NYJ PREDEL. oBOZNA^IM EGO a I DOKAVEM, ^TO a QWLQETSQ PREDELOM WSEJ POSLEDOWATELXNOSTI fxng. pUSTX fxnk g | TA PODPOSLEDOWATELXNOSTX, DLQ KOTOROJ lim x = k nk a. zADADIM PROIZWOLXNOE " > 0 I NAJDEM N1 TAKOE, ^TO DLQ WSEH n m > N1 IMEEM jxn ; xm j < "=2, I N2 TAKOE, ^TO DLQ WSEH nk > N2 IMEEM ja ; xnk j < "=2. oCENIM DLQ n > N := max(N1 N2 ) RAZNOSTX xn ; a. pUSTX nk | PROIZWOLXNOE ^ISLO, TAKOE, ^TO nk > N . tOGDA DLQ WSEH n > N IMEEM jxn ; aj 6 jxn ; xnk j + jxnk ; aj < "=2 + "=2 = ": tAKIM OBRAZOM, POSLEDOWATELXNOSTX fxn g SHODITSQ. tEOREMA DOKAZANA. oTMETIM, ^TO DLQ WYQSNENIQ WOPROSA O SHODIMOSTI ILI RASHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI KRITERIEM kOI POLXZOWATXSQ UDOBNEE, ^EM OPREDELENIEM SHODIMOSTI. w SAMOM DELE, DLQ PROWERKI WYPOLNENIQ USLOWIQ kOI NET NEOBHODIMOSTI ZARANEE ZNATX (ILI PREDPOLAGATX), ^EMU RAWEN PREDEL RASSMATRIWAEMOJ POSLEDOWATELXNOSTI.
gLAWA
3
predel funkcii x pONQTIE FUNKCII 3.1.
pUSTX D | NEKOTOROE MNOVESTWO ^ISEL ILI (^TO TO VE SAMOE) TO^EK NA ^ISLOWOJ PRQMOJ. eSLI KAVDOMU ^ISLU x 2 D POSTAWLE44
NO W SOOTWETSTWIE NEKOTOROE ^ISLO y, TO GOWORQT, ^TO NA D ZADANA FUNKCIQ, ^ASTO EE OBOZNA^A@T f I TOGDA PIUT y = f (x). pRI \TOM x NAZYWA@T NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ ILI ARGUMENTOM, A y | ZAWISIMOJ PEREMENNOJ ILI FUNKCIEJ. |TO POD^ERKIWAET, ^TO x MOVNO MENQTX PROIZWOLXNO, A ZNA^ENIE y IZMENQETSQ W ZAWISIMOSTI OT WYBRANNOGO x. dLQ OBOZNA^ENIQ FUNKCII ISPOLXZU@T I ODNU BUKWU f I SIMWOL f (x). tAKIM OBRAZOM, f (x) MOVET OBOZNA^ATX I FUNKCI@ f I ZNA^ENIE FUNKCII f , KOGDA ARGUMENT RAWEN x. mNOVESTWO D NAZYWA@T MNOVESTWOM OPREDELENIQ ILI OBLASTX@ OPREDELENIQ FUNKCII f . mNOVESTWO ^ISEL y, KOTORYE POLU^A@TSQ, KOGDA x PROBEGAET WSE ^ISLA IZ D, NAZYWA@T MNOVESTWOM (ILI OBLASTX@) ZNA^ENIJ FUNKCII f . oBOZNA^IM \TO MNOVESTWO E . gOWORQT, ^TO MNOVESTWO E QWLQETSQ OBRAZOM MNOVESTWA D PRI OTOBRAVENII, OSU]ESTWLQEMOM FUNKCIEJ f . sAMO MNOVESTWO E NE WSEGDA PROSTO NAJTI, NO \TO I NE NUVNO, KOGDA MY OBSUVDAEM OPREDELENIE FUNKCII. wAVNO TOLXKO UKAZATX, ^TO PREDSTAWLQ@T SOBOJ ZNA^ENIQ FUNKCII. w PRIWEDENNOM OPREDELENII \TO BYLI ^ISLA. nO ZNA^ENIQMI FUNKCII MOGUT BYTX I DRUGIE OB_EKTY, NAPRIMER, WEKTORY, MATRICY I T.D. fUNKCIQ { ODNO IZ OSNOWNYH PONQTIJ MATEMATIKI. oNO IMEET O^ENX OB]IJ HARAKTER. nE TOLXKO OBLASTX ZNA^ENIJ, NO I OBLASTX OPREDELENIQ MOGUT BYTX NE OBQZATELXNO ^ISLOWYMI. nO SEJ^AS MY BUDEM RASSMATRIWATX FUNKCII W TOM WIDE, KAK ONI BYLI OPREDELENY WYE, KOGDA I OBLASTX OPREDELENIQ D I OBLASTX ZNA^ENIJ E QWLQ@TSQ ^ISLOWYMI MNOVESTWAMI. pONQTIE FUNKCII WYRABATYWALOSX POSTEPENNO. zAWISIMOSTX ODNIH PEREMENNYH WELI^IN OT DRUGIH RASSMATRIWALI DAWNO. tERMIN \FUNKCIQ" WWEL lEJBNIC. pRIWEDENNOE WYE SOWREMENNOE OPREDELENIE FUNKCII IMEETSQ W MONOGRAFII |JLERA \dIFFERENCIALXNOE IS^ISLENIE" (1755 G.). nUVNO TOLXKO IMETX W WIDU, ^TO W TE GODY TEORETIKO-MNOVESTWENNAQ TERMINOLOGIQ E]E NE BYLA WYRABOTANA. |JLER PISAL: \kOGDA NEKOTORYE KOLI^ESTWA ZAWISQT OT DRUGIH TAKIM OBRAZOM, ^TO PRI IZMENENII POSLEDNIH I SAMI ONI PODWERGA@TSQ IZMENENI@, TO PERWYE NAZYWA@TSQ FUNKCIQMI WTORYH. |TO NAIMENOWANIE IMEET ^REZWY^AJNO IROKIJ HARAKTER, ONO OHWATYWAET WSE SPOSOBY, KAKIMI ODNO KOLI^ESTWO MOVET OPREDELQTXSQ S POMO]X@ DRUGIH. iTAK, ESLI x OBOZNA^AET POSTOQNNOE KOLI^ESTWO, TO WSE KOLI^ESTWA, KOTORYE KAK-LIBO ZAWISQT OT x, T.E. OPREDELQ@TSQ IM, NAZYWA@TSQ EGO FUNKCIQMI". dLQ OBOZNA^ENIQ FUNKCII f , ZADANNOJ NA MNOVESTWE D, ZNA^E45
NIQMI KOTOROJ QWLQ@TSQ ^ISLA, ISPOLXZUETSQ ZAPISX f : D ! R: w PODOBNOM OBOZNA^ENII UKAZYWA@TSQ OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII I MNOVESTWO, KOTOROMU PRINADLEVAT ZNA^ENIQ FUNKCII. tAKAQ ZAPISX NE PREDPOLAGAET, ^TO WSE ^ISLA IZ R QWLQ@TSQ ZNA^ENIQMI FUNKCII. iNOGDA FUNKCI@, ZADANNU@ NA MNOVESTWE D, NUVNO RASSMATRIWATX NA BOLEE UZKOM MNOVESTWE D1 D. tOGDA GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f : D1 ! R QWLQETSQ SLEDOM FUNKCII f : D ! R NA MNOVESTWE D1 ILI SUVENIEM FUNKCII f : D ! R NA MNOVESTWO D1 . s PONQTIEM FUNKCII MY UVE WSTRE^ALISX, KOGDA DAWALOSX OPREDELENIE POSLEDOWATELXNOSTI. fAKTI^ESKI TOGDA RE^X LA O ^ISLOWOJ FUNKCII, ZADANNOJ NA MNOVESTWE NATURALXNYH ^ISEL, T.E. O FUNKCII WIDA f : N ! R. pRI IZU^ENII ^ISLOWYH FUNKCIJ ^ISLOWOGO ARGUMENTA UDOBNO POLXZOWATXSQ IH GRAFIKAMI. gRAFIK FUNKCII f (x) : D ! R { \TO MNOVESTWO TO^EK NA PLOSKOSTI, KOTORYE W NEKOTOROJ DEKARTOWOJ PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT IME@T KOORDINATY (x y) = (x f (x)). tO ESTX DLQ KAVDOJ TO^KI x 2 D NA PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ \TU TO^KU PARALLELXNO OSI OY , OTME^ENA TO^KA, ORDINATA KOTOROJ RAWNA f (x). mNOVESTWO WSEH TAKIH TO^EK OBRAZUET GRAFIK FUNKCII f (x). wOZMOVEN I PODHOD, KOGDA GRAFIK ISPOLXZUETSQ DLQ OPREDELENIQ FUNKCII. w \TOM SLU^AE ISHODNYM QWLQETSQ MNOVESTWO TO^EK (x y) NA PLOSKOSTI, TAKOE, ^TO KAVDOE ^ISLO x WSTRE^AETSQ W \TOM MNOVESTWE NE BOLEE ODNOGO RAZA (ILI ODIN RAZ, ESLI ZARANEE S^ITATX, ^TO x 2 D). fUNKCII MOGUT BYTX ZADANY RAZNYMI SPOSOBAMI. oDNIM IZ OSNOWNYH QWLQETSQ ZADANIE FUNKCII FORMULOJ. pRI \TOM, ESLI OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII NE UKAZANA, S^ITA@T, ^TO EE OBLASTX OPREDELENIQ SOSTAWLQ@T WSE ZNA^ENIQ ARGUMENTA, PRI KOTORYH FORMULA IMEET SMYSL. x 3.2.
oPREDELENIE PREDELA FUNKCII
oKRESTNOSTX@ TO^KI x NAZYWA@T PROIZWOLXNYJ INTERWAL (c d), SODERVA]IJ \TU TO^KU, T.E. DOLVNY WYPOLNQTXSQ USLOWIQ c < x < d. rANXE GOWORILOSX OB "-OKRESTNOSTQH, KOTORYE TEPERX MOVNO RASSMATRIWATX KAK ^ASTNYJ SLU^AJ OKRESTNOSTEJ. bUDUT DANY DWA WARIANTA OPREDELENIQ PREDELA FUNKCII. zATEM MY POKAVEM, ^TO \TI OPREDELENIQ \KWIWALENTNY. 46
oPREDELENIE PREDELA FUNKCII PO kOI ~ISLO a NAZYWAETSQ .
PREDELOM FUNKCII f W TO^KE x0 , ESLI 1 . FUNKCIQ f OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , ZA ISKL@^ENIEM, BYTX MOVET, SAMOJ \TOJ TO^KI 2 . DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO = (") > 0, ^TO DLQ WSEH x 6= x0 , UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ jx ; x0 j < , WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jf (x) ; aj < ": (3.2.1)
w \TOM SLU^AE PIUT a = xlim !x0 f (x)
ILI
f (x) ! a x ! x0 : wMESTO \PREDEL FUNKCII W TO^KE x0 " GOWORQT TAKVE \PREDEL FUNKCII PRI x ! x0 ". w OPREDELENII PREDELA FUNKCII NE IMEET ZNA^ENIQ, ZADANA FUNKCIQ f W TO^KE x0 ILI NET, A ESLI ZADANA, TO ^EMU RAWNO f (x0 ). i W USLOWII 10 : I W USLOWII 20: GOWORITSQ OB OKRESTNOSTQH TO^KI x0 , ZA ISKL@^ENIEM SAMOJ \TOJ TO^KI. w SWQZI S \TIM WWODITSQ PONQTIE \PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI" | \TO OKRESTNOSTX, IZ KOTOROJ ISKL@^ENA SAMA \TA TO^KA. pOLXZUQSX \TIM TERMINOM, USLOWIE 10 : MOVNO SFORMULIROWATX TAK: FUNKCIQ f OPREDELENA W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , A W USLOWII 20 : MOVNO GOWORITX, ^TO NERAWENSTWO (3.2.1) WYPOLNQETSQ W PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI TO^KI x0 . oPREDELENIE PREDELA FUNKCII PO kOI NAZYWA@T TAKVE OPREDELENIEM NA QZYKE "{ ILI NA QZYKE OKRESTNOSTEJ.
oPREDELENIE PREDELA FUNKCII PO gEJNE ILI NA QZYKE PO SLEDOWATELXNOSTEJ ~ISLO a NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f W (
-
.
TO^KE x0 , ESLI 1 . FUNKCIQ f OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , ZA ISKL@^ENIEM, BYTX MOVET, SAMOJ \TOJ TO^KI 2 . DLQ KAVDOJ POSLEDOWATELXNOSTI TO^EK x1 x2 x3 : : : IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f , SHODQ]EJSQ K x0 , NO NE PRINIMA@]EJ ZNA^ENIE x0 , POSLEDOWATELXNOSTX f (x1 ) f (x2 ) f (x3 ) : : : SHODITSQ K a, T.E. a = nlim !1 f (xn ): 47
tAKIM OBRAZOM, W OBOIH OPREDELENIQH TREBOWANIQ NA OBLASTX ZADANIQ FUNKCII ODINAKOWY. rAZNICA SOSTOIT W FORMULIROWKE USLOWIJ 2 . tEOREMA 3.2.1. oPREDELENIQ PREDELA FUNKCII W TO^KE PO kOI I PO gEJNE \KWIWALENTNY. dOKAZATELXSTWO. pUSTX a | PREDEL FUNKCII f W TO^KE x0 PO kOI. pOKAVEM, ^TO a QWLQETSQ PREDELOM PO gEJNE. wOZXMEM PROIZWOLXNU@ POSLEDOWATELXNOSTX fxn g, WSE TO^KI xn KOTOROJ PRINADLEVAT OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f , xn 6= x0 DLQ WSEH NATURALXNYH n I xn ! x0 PRI n ! 1. pO ZADANNOMU " > 0 NAJDEM > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH x, DLQ KOTORYH 0 < jx ; x0 j < , WYPOLNQETSQ USLOWIE jf (x) ; aj < ". tAK KAK xn ! x0 , TO PO \TOMU MOVNO NAJTI N , ZAWISQ]EE OT , A W KONE^NOM S^ETE ZAWISQ]EE OT ", TAKOE, ^TO 8n > N WYPOLNQETSQ USLOWIE jxn ; x0 j < . nO TOGDA DLQ \TIH n IMEEM jf (xn ) ; aj < ", T.E. a = limn f (xn ). tAKIM OBRAZOM, a QWLQETSQ PREDELOM FUNKCII f PO gEJNE. pUSTX TEPERX, NAOBOROT, a | PREDEL FUNKCII f W TO^KE x0 PO gEJNE. bUDEM RASSUVDATX OT PROTIWNOGO. pREDPOLOVIM, ^TO a NE QWLQETSQ PREDELOM PO kOI. |TO OZNA^AET, ^TO SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO "0 > 0, ^TO DLQ L@BOGO > 0 NAJDETSQ TO^KA x0 TAKAQ, ^TO 0 < jx0 ; x0 j < I jf (x0 ) ; aj > "0. bUDEM W KA^ESTWE BRATX ^ISLA 1=n n 2 N . tOGDA DLQ KAVDOGO n POLU^IM TAKU@ TO^KU xn 6= x0 , W KOTOROJ FUNKCIQ f OPREDELENA, 0 < jxn ; x0j < 1=n I jf (xn ) ; aj > "0. pOSTROENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX fxng OTNOSITSQ K ^ISLU TEH, KAKIE RASSMATRIWA@TSQ W OPREDELENII PREDELA PO gEJNE, NO DLQ NEE jf (xn ) ; aj > "0 . |TO PROTIWORE^IT USLOWI@, ^TO a { PREDEL FUNKCII f PO gEJNE. tEOREMA DOKAZANA. |TA TEOREMA POZWOLQET GOWORITX O PREDELE FUNKCII W TO^KE, NE UKAZYWAQ, W KAKOM SMYSLE PONIMAETSQ \TOT PREDEL, I KAVDYJ RAZ POLXZOWATXSQ BOLEE UDOBNYM WARIANTOM OPREDELENIQ. zAMETIM, ^TO IZ OPREDELENIQ PREDELA FUNKCII SLEDUET, ^TO ESLI PREDEL FUNKCII W TO^KE SU]ESTWUET, TO ON OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO. wSE, ^TO BYLO SKAZANO O PREDELE FUNKCII, PRISPOSOBLENO K SLU^A@, KOGDA x0 | ^ISLO (TO^KA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ). nO RASSMATRIWA@TSQ TAKVE PREDELY FUNKCII, KOGDA x STREMITSQ K +1, K ;1 ILI K 1. pOZNAKOMIMSQ S NEKOTORYMI PONQTIQMI, KOTORYE POKAVUT, ^TO \TI SLU^AI NE IME@T PRINCIPIALXNYH RAZLI^IJ. 48
nARQDU S ^ISLOWOJ PRQMOJ R = (;1 +1) RASSMATRIWAETSQ RASIRENNAQ ^ISLOWAQ PRQMAQ. zDESX WOZMOVNY DWA WARIANTA. w ODNOM SLU^AE K (;1 +1) DOBAWLQ@TSQ DWE \BESKONE^NO UDALENNYE TO^KI" ;1 I +1. tOGDA WSE \LEMENTY RASIRENNOJ TAKIM OBRAZOM ^ISLOWOJ PRQMOJ OSTA@TSQ UPORQDO^ENNYM MNOVESTWOM (DLQ L@BOGO ^ISLA x IMEEM ;1 < x < +1), NO ARIFMETI^ESKIE DEJSTWIQ OPREDELENY NE DLQ L@BOJ PARY \LEMENTOW. nAPRIMER, IME@T SMYSL WYRAVENIQ x+(+1) (+1)+(+1), NO NE IME@T SMYSLA WYRAVENIQ WIDA (+1) + (;1) ILI 0 (+1). oKRESTNOSTI SIMWOLA (\TO^KI") +1 OPREDELQ@TSQ KAK MNOVESTWA TO^EK x, UDOWLETWORQ@]IH NERAWENSTWAM x > L, GDE L { PROIZWOLXNOE ^ISLO. a DLQ ;1 OKRESTNOSTI OPREDELQ@TSQ NERAWENSTWAMI x < L. dRUGOJ WARIANT RASIRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ POLU^IM, KOGDA K ^ISLOWOJ PRQMOJ (;1 +1) DOBAWLQETSQ ODIN SIMWOL 1 (BEZ ZNAKA). zDESX UPORQDO^ENNOSTI NET I ARIFMETR^ESKIE DEJSTWIQ TAKVE OPREDELENY NE DLQ WSEH SLU^AEW. oKRESTNOSTI SIMWOLA (\TO^KI") 1 OPREDELQ@TSQ KAK MNOVESTWA TO^EK, LEVA]IH WNE PROIZWOLXNYH OTREZKOW L M ]. |TI PONQTIQ DA@T PREDSTAWLENIE, KAK DOLVNY WYGLQDETX OPREDELENIQ PREDELOW FUNKCII PRI x ! +1 (ILI ;1 ILI 1). oSTANOWIMSQ PODROBNO NA SLU^AE x ! +1. oSTALXNYE SLU^AI ANALOGI^NY. oPREDELENIE. ~ISLO a NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f PRI x ! +1, ESLI 1 . FUNKCIQ f OPREDELENA DLQ WSEH x, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ x > L, GDE L | NEKOTOROE ^ISLO 2 . (OPREDELENIE PO kOI) DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO M ("), ^TO DLQ WSEH x > M WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jf (x) ; aj < " 2 . (OPREDELENIE PO gEJNE) DLQ KAVDOJ POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, GDE WSE xn PRINADLEVAT OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f I xn ! +1, SPRAWEDLIWO RAWENSTWO a = nlim !1 f (xn ): |KWIWALENTNOSTX OPREDELENIJ PO kOI I PO gEJNE DOKAZYWAETSQ ANALOGI^NO. zAMETIM, ^TO ESLI W OPREDELENII PREDELA PO kOI WMESTO ZAPISI NERAWENSTW, GOWORITX OB OKRESTNOSTQH, TO NIKAKOJ RAZNICY MEVDU SLU^AQMI KONE^NOGO x0 I BESKONE^NOGO SIMWOLA NE BUDET. nAKONEC, DA@TSQ OPREDELENIQ, KOGDA PREDELOM QWLQETSQ NE ^ISLO a, A BESKONE^NYJ SIMWOL. nAPRIMER, PO OPREDELENI@ xlim !x0 f (x) = 1, 49
ESLI (POMIMO TREBOWANIQ NA OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII f ) DLQ L@BOGO ^ISLA M SU]ESTWUET TAKOE = (M ) > 0, ^TO DLQ WSEH x 6= x0 , DLQ KOTORYH jx ; x0 j < , IMEEM jf (x)j > M . pODOBNYM OBRAZOM MOVNO GOWORITX O SLU^AQH, KOGDA xlim !x0 f (x) = +1 (ILI ;1), A TAKVE OB OPREDELENIQH, W KOTORYH ROLX x0 OTDANA KAKOMU-LIBO BESKONE^NOMU SIMWOLU. kAK I DLQ POSLEDOWATELXNOSTEJ, BUDEM GOWORITX, ^TO FUNKCIQ IMEET PREDEL, ESLI \TOT PREDEL KONE^EN. a ESLI PREDEL MOVET BYTX I BESKONE^NYM, TO \TO BUDET OTME^ATXSQ. x 3.3.
sWOJSTWA PREDELA FUNKCII
3.3.1. eSLI FUNKCIQ IMEET PREDEL PRI x ! x0 , TO ONA OGRANI^ENA W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . dOKAZATELXSTWO. pUSTX a = xlim !x0 f (x). wZQW " = 1, NAHODIM > 0, PRI KOTOROM DLQ WSEH x 6= x0 TAKIH, ^TO jx ; x0 j < , IMEEM jf (x) ; aj < 1. tOGDA DLQ \TIH x SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jf (x)j 6 jf (x) ; aj + jaj < 1 + jaj I TEOREMA DOKAZANA. tEOREMA 3.3.2. eSLI xlim !x0 f (x) = a I a 6= 0, TO SU]ESTWUET TAKAQ PROKOLOTAQ OKRESTNOSTX TO^KI x0 , ^TO DLQ WSEH x IZ \TOJ OKRESTNOSTI WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO
tEOREMA
jf (x)j > 21 jaj:
pRI \TOM f (x) > a=2, ESLI a > 0, I f (x) < a=2, ESLI a < 0. dOKAZATELXSTWO. rASSUVDENIQ ANALOGI^NY DOKAZATELXSTWU SOOTWETSTWU@]EJ TEOREMY DLQ POSLEDOWATELXNOSTEJ. pOLAGAEM " := jaj=2 I NAHODIM > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH x, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ 0 < jx ; x0 j < , WYPOLNQETSQ OCENKA
jf (x) ; aj < 21 jaj:
|TA OCENKA RAWNOSILXNA DWOJNOMU NERAWENSTWU a ; 12 jaj < f (x) < a + 12 jaj:
(3.3.1)
tEPERX, ESLI a > 0, TO POLXZUEMSQ LEWYM NERAWENSTWOM (3.3.1), A ESLI a < 0, TO | PRAWYM NERAWENSTWOM (3.3.1). 50
tEOREMA
3.3.3.
eSLI DLQ FUNKCIJ f I g SU]ESTWU@T PREDELY
lim f (x) I xlim x!x0 !x0 g(x) I W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO f (x) 6 g(x), TO lim f (x) 6 xlim !x g(x):
x!x0
0
dOKAZATELXSTWO. sU]ESTWUET TAKAQ PROKOLOTAQ OKRESTNOSTX TO^KI x0 , W KOTOROJ OPREDELENY OBE FUNKCII f I g. wOZXMEM PROIZWOLXNU@ POSLEDOWATELXNOSTX TO^EK fxn g, PRINADLEVA]IH \TOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI I SHODQ]IHSQ K x0 . tAK KAK xn ! x0 , TO WSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA n, POPADUT W TU OKRESTNOSTX TO^KI x0 , W KOTOROJ f (x) 6 g(x), T.E. f (xn ) 6 g(xn ) DLQ WSEH DOSTATO^NO BOLXIH n. pO TEOREME 2.2.3 O PREDELAH POSLEDOWATELXNOSTEJ OTS@DA WYTEKAET, ^TO lim f (x ) 6 lim g(x ) n!1 n n!1 n
I OSTALOSX TOLXKO ZAMETITX, ^TO IZ OPREDELENIQ PREDELA FUNKCII PO gEJNE SLEDUET, ^TO nlim !1 f (xn ) = xlim !x0 f (x) I nlim !1 g(xn ) = xlim !x0 g(x). tEOREMA DOKAZANA. tEOREMA 3.3.4. pUSTX W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 DLQ FUNKCIJ f (x), g(x) I h(x) WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA f (x) 6 g(x) 6 h(x): (3.3.2) eSLI xlim !x0 f (x) = xlim !x0 h(x) (PREDPOLAGAETSQ SU]ESTWOWANIE PREDELOW I IH RAWENSTWO), TO PREDEL xlim !x0 g(x) SU]ESTWUET I RAWEN lim f (x). x!x0
dOKAZATELXSTWO. wOZXMEM PROIZWOLXNU@ SHODQ]U@SQ K x0 POSLEDOWATELXNOSTX fxn g IZ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , W KOTOROJ WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA (3.3.2). tOGDA f (xn ) 6 g(xn ) 6 h(xn ) I PREDELY POSLEDOWATELXNOSTEJ ff (xn )g I fh(xn )g SU]ESTWU@T I RAWNY. zNA^IT, PO TEOREME 2.2.4 nlim !1 g(xn ) = nlim !1 f (xn ):
oTS@DA, POLXZUQSX OPREDELENIEM PREDELA FUNKCII PO gEJNE, PRIHODIM K UTWERVDENI@ TEOREMY. 51
tEOREMA
eSLI SU]ESTWUET PREDEL xlim !x0 f (x), TO SU]ESTWUET PREDEL xlim !x0 jf (x)j I SPRAWEDLIWO RAWENSTWO 3.3.5.
lim jf (x)j = xlim !x f (x) :
x!x0
0
dOKAZATELXSTWO. pUSTX xlim !x0 f (x) = a. zNA^IT, DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE > 0, ^TO DLQ WSEH x, DLQ KOTORYH 0 < jx;x0 j < , IMEEM jf (x) ; aj < ". nO TOGDA jf (x)j ; jaj 6 jf (x) ; aj < " I TEOREMA DOKAZANA. rASSMOTRIM ARIFMETI^ESKIE DEJSTWIQ NAD FUNKCIQMI, IME@]IMI PREDELY. tEOREMA 3.3.6. pUSTX DLQ FUNKCIJ f I g SU]ESTWU@T PREDELY xlim !x0 f (x) I xlim !x0 g(x). tOGDA SU]ESTWU@T UKAZANNYE NIVE PREDELY I WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA: lim f (x) g(x)] = xlim x!x0 !x0 f (x) xlim !x0 g(x) lim f (x) g(x) = xlim x!x0 !x0 f (x) xlim !x0 g(x) ESLI, KROME TOGO, xlim !x0 g(x) 6= 0, TO
f (x) = xlim !x0 f (x) : lim x!x0 g (x) lim g(x) x!x 0
dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, ^TO W UTWERVDENII O ^ASTNOM IZ USLOWIQ xlim !x0 g(x) 6= 0 SOGLASNO TEOREME 3.3.2 SLEDUET, ^TO W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO g(x) 6= 0, ZNA^IT, W \TOJ OKRESTNOSTI IMEET SMYSL ^ASTNOE f (x)=g(x). dOKAZATELXSTWO KAVDOGO IZ UTWERVDENIJ TEOREMY PROWODITSQ PO SLEDU@]EJ SHEME. wYBIRAETSQ PROIZWOLXNAQ SHODQ]AQSQ K x0 POSLEDOWATELXNOSTX TO^EK fxn g IZ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , W KOTOROJ OPREDELENY FUNKCII f I g. dLQ ^ISLOWYH POSLEDOWATELXNOSTEJ ff (xn )g I fg(xn )g SOOTWETSTWU@]IE SWOJSTWA IZWESTNY (KOGDA GOWORITSQ O ^ASTNOM, U^ITYWAEM, ^TO g(xn ) 6= 0 DLQ DOSTATO^NO BOLXIH n). pRI \TOM DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI fxn g UKAZANNOGO WIDA W LEWOJ ^ASTI RAWENSTW KAVDOGO IZ UTWERVDENIJ TEOREMY POLU^AEM ODNI I TE VE ZNA^ENIQ PREDELOW, TAK KAK PREDELY W PRAWYH ^ASTQH NE ZAWISQT OT TOGO, KAKAQ IMENNO POSLEDOWATELXNOSTX fxn g BYLA WZQTA. tAKIM OBRAZOM, TEOREMA DOKAZANA. 52
tEOREMA
x 3.4.
kRITERIJ kOI
3.4.1 (kRITERIJ kOI). pUSTX FUNKCIQ f OPREDELENA W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . dLQ TOGO ^TOBY SU]ESTWOWAL KONE^NYJ PREDEL xlim !x0 f (x), NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY WYPOLNQLOSX USLOWIE kOI, T.E. ^TOBY DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWOWALO TAKOE > 0, ^TO DLQ L@BYH TO^EK x0 I x00 IZ PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI TO^KI x0 IMELO MESTO NERAWENSTWO (3.4.1) jf (x0) ; f (x00 )j < ":
dOKAZATELXSTWO. pUSTX xlim !x0 f (x) = a. dLQ KAVDOGO " > 0 NAHODIM > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH x, DLQ KOTORYH 0 < jx ; x0 j < , WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jf (x) ; aj < "=2. wZQW TEPERX PROIZWOLNYE TO^KI x0 I x00 IZ \TOJ PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI, WIDIM, ^TO jf (x0) ; f (x00 )j 6 jf (x0) ; aj + ja ; f (x00 )j < " + " = " 2
2
I NEOBHODIMOSTX USLOWIQ kOI DOKAZANA. pUSTX TEPERX WYPOLNENO USLOWIE kOI. pO " > 0 WYBIRAEM TAKOE > 0, ^TO DLQ L@BYH TO^EK x0 I x00 IZ PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI TO^KI x0 SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO (3.4.1). rASSMOTRIM PROIZWOLXNU@ POSLEDOWATELXNOSTX TO^EK fxn g IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f TAKU@, ^TO xn 6= x0 DLQ WSEH n I xn ! x0 , n ! 1. w SILU SHODIMOSTI xn K x0 SU]ESTWUET ^ISLO N , ZAWISQ]EE OT , A W KONE^NOM S^ETE ZAWISQ]EE OT ", TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N TO^KI xn PRINADLEVAT TOJ PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI TO^KI x0 , GDE WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO (3.4.1). tOGDA DLQ n, m > N IMEEM jf (xn ) ; f (xm )j < ". |TO POKAZYWAET, ^TO WYPOLNENO USLOWIE kOI DLQ POSLEDOWATELXNOSTI ff (xn )g. tAKIM OBRAZOM, DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI fxn g RASSMATRIWAEMOGO WIDA SU]ESTWUET KONE^NYJ PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI ff (xn )g. nUVNO E]E POKAZATX, ^TO DLQ RAZNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ fxn g PREDELY POSLEDOWATELXNOSTEJ ff (xn )g ODINAKOWY. rASSMOTRIM DWE POSLEDOWATELXNOSTI UKAZANNOGO WIDA fx g I ftng. pUSTX limn!1 f (xn) = a I limn!1 f (tn) = b. sOSTAWIMn NOWU@ POSLEDOWATELXNOSTX x1 t1 x2 t2 x3 t3 : : : (3.4.2) WKL@^AQ W NEE POPEREMENNO ^LENY POSLEDOWATELXNOSTEJ fxn g I ftn g. 53
wSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI (3.4.2) PRINADLEVAT OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f , OTLI^NY OT x0 I POSLEDOWATELXNOSTX (3.4.2) SHODITSQ K x0 . zNA^IT, PO UVE DOKAZANNOMU POSLEDOWATELXNOSTX ZNA^ENIJ FUNKCII f W TO^KAH \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI IMEET PREDEL. ~ISLA a I b QWLQ@TSQ ^ASTI^NYMI PREDELAMI \TOJ SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI. oTS@DA SLEDUET, ^TO a = b. tEOREMA DOKAZANA. x 3.5.
pREDEL SLOVNOJ FUNKCII
sNA^ALA OB_QSNIM TERMIN \SLOVNAQ FUNKCIQ". oPREDELENIE. pUSTX NA MNOVESTWE D ZADANA FUNKCIQ f (x) I E | MNOVESTWO ZNA^ENIJ FUNKCII f . pREDPOLOVIM, ^TO NA E OPREDELENA FUNKCIQ '. tOGDA DLQ WSEH x 2 D IMEET SMYSL WYRAVENIE (x) := '(f (x)): zADANNAQ TAKIM OBRAZOM NA D FUNKCIQ NAZYWAETSQ SLOVNOJ FUNKCIEJ. sLOVNU@ FUNKCI@ NAZYWA@T TAKVE FUNKCIEJ OT FUNKCII, SUPERPOZICIEJ FUNKCIJ ILI KOMPOZICIEJ FUNKCIJ. rASSMOTRIM WOPROS, PRI KAKIH USLOWIQH IZ SU]ESTWOWANIQ PREDELOW FUNKCIJ f I ' SLEDUET, ^TO IMEET PREDEL SLOVNAQ FUNKCIQ . tEOREMA 3.5.1. pUSTX xlim !x0 f (x) = y0 , PRI^EM W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 f (x) 6= y0 : (3.5.1) pUSTX, DALEE, ylim !y0 '(y) = z0 . tOGDA SU]ESTWUET PREDEL xlim !x0 '(f (x)) = z0 :
dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, ^TO W DOKAZATELXSTWE NUVDAETSQ I TOT FAKT, ^TO SLOVNAQ FUNKCIQ '(f (x)) OPREDELENA W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . |TO BUDET USTANOWLENO PO HODU RASSUVDENIJ. tAK KAK PREDEL FUNKCII ' W TO^KE y0 RAWEN z0 , TO DLQ PROIZWOLXNOGO " > 0 SU]ESTWUET ^ISLO (") > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH y, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ 0 < jy ; y0 j < , SPRAWEDLIWA OCENKA j'(y) ; z0j < ". 54
tEPERX PO NAHODIM > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH x, DLQ KOTORYH 0 < jx ; x0 j < , IMEEM jf (x) ; y0j < . uMENXIW W SLU^AE NEOBHODIMOSTI ZNA^ENIE , MOVNO DOBITXSQ TOGO, ^TO W PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI TO^KI x0 WYPOLNQETSQ USLOWIE (3.5.1). tOGDA WSE ZNA^ENIQ FUNKCII f DLQ x IZ \TOJ -OKRESTNOSTI PRINADLEVAT PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI TO^KI y0. zNA^IT, DLQ \TIH x
j'(f (x)) ; z j < ": 0
oTS@DA SLEDUET UTWERVDENIE TEOREMY, POSKOLXKU WYBIRALOSX W ZAWISIMOSTI OT , A W ZAWISIMOSTI OT ", T.E. W KONCE KONCOW WYBOR ZAWISIT OT ". uSLOWIE (3.5.1) SU]ESTWENNO DLQ SPRAWEDLIWOSTI TEOREMY 3.5.1. w SAMOM DELE, IZ SU]ESTWOWANIQ PREDELA limy!y0 '(y) NE SLEDUET, ^TO FUNKCIQ '(y) OPREDELENA W TO^KE y0 , A ESLI I OPREDELENA, TO NIKAKIH USLOWIJ NA EE ZNA^ENIE W \TOJ TO^KE NE NAKLADYWAETSQ. pO\TOMU, ESLI USLOWIE (3.5.1) NE WYPOLNENO, TO W KAK UGODNO MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 MOGUT OKAZATXSQ TO^KI x, DLQ KOTORYH WYRAVENIE '(f (x)) ILI NE OPREDELENO ILI PRINIMAET ZNA^ENIQ, NIKAK NE SWQZANNYE SO ZNA^ENIQMI ' W PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI y0 . wMESTE S TEM, IZ DOKAZATELXSTWA TEOREMY 3.5.1 WIDNO, ^TO OT USLOWIQ (3.5.1) MOVNO OTKAZATXSQ, ESLI POTREBOWATX, ^TO FUNKCIQ ' OPREDELENA PRI y = y0 I ylim !y0 '(y) = '(y0 ). tAKIM OBRAZOM, IMEET MESTO SLEDU@]EE UTWERVDENIE. tEOREMA 3.5.2. pUSTX xlim !x0 f (x) = y0 I ylim !y0 '(y) = '(y0 ). tOGDA xlim !x0 '(f (x)) = '(y0 ):
x 3.6.
oDNOSTORONNIE PREDELY
nARQDU S OKRESTNOSTQMI TO^EK, KOGDA TO^KA LEVIT WNUTRI SOOTWETSTWU@]EGO INTERWALA, RASSMATRIWA@TSQ PROMEVUTKI, KOTORYE NAZYWA@T ODNOSTORONNIMI OKRESTNOSTQMI TO^EK. l@BOJ POLUOTREZOK WIDA (a x0 ] NAZYWA@T LEWOJ OKRESTNOSTX@ TO^KI x0 , A POLUOTREZOK WIDA x0 b) | PRAWOJ OKRESTNOSTX@ TO^KI x0 . w TERMINAH LEWYH I PRAWYH OKRESTNOSTEJ WWODQTSQ ODNOSTORONNIE PREDELY. pRIWEDEM OPREDELENIE PREDELA FUNKCII W TO^KE SPRAWA. oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f ZADANA W NEKOTOROJ PRAWOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , ZA ISKL@^ENIEM, BYTX MOVET, SAMOJ TO^KI x0 . ~ISLO a NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f W TO^KE x0 SPRAWA, 55
ESLI DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET = (") > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH x, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ x0 < x < x0 + , SPRAWEDLIWA OCENKA jf (x) ; aj < ": w \TOM SLU^AE PIUT a = x!xlim f (x) = x!lim f ( x) x0 +0 0 x>x0 ILI a = f (x0 + 0). |TO | OPREDELENIE PREDELA PO kOI. mOVNO DATX OPREDELENIE ODNOSTORONNIH PREDELOW PO gEJNE I DOKAZATX IH \KWIWALENTNOSTX. nE BUDEM NA \TOM OSTANAWLIWATXSQ WWIDU O^EWIDNOSTI TEH IZMENENIJ, KOTORYE NUVNO SDELATX PO SRAWNENI@ SO SLU^AEM OBY^NYH PREDELOW. sOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM FORMULIRUETSQ OPREDELENIE PREDELA FUNKCII SLEWA. |TOT PREDEL OBOZNA^A@T f (x0 ; 0). pRAWYJ I LEWYJ PREDELY W TO^KE 0 OBOZNA^A@T f (+0) I f (;0). pONQTNO, ^TO SU]ESTWOWANIE PREDELA xlim !x0 f (x) RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ I RAWENSTWU ODNOSTORONNIH PREDELOW f (x0 +0) I f (x0 ; 0).
tEOREMA
3.6.1. pUSTX FUNKCIQ f WOZRASTAET NA INTERWALE (a b), T.E. f (x1 ) 6 f (x2 ) DLQ x1 < x2 . tOGDA ESLI ZNA^ENIQ f NA (a b) OGRANI^ENY SWERHU ^ISLOM B , TO PREDEL f (b ; 0) SU]ESTWUET I f (b ; 0) 6 B . eSLI FUNKCIQ f NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SWERHU NA (a b), TO f (b ; 0) = +1. dOKAZATELXSTWO. rASSUVDENIQ ANALOGI^NY DOKAZATELXSTWU SOOTWETSTWU@]EJ TEOREMY DLQ POSLEDOWATELXNOSTEJ. eSLI f (x) 6 B DLQ x 2 (a b), TO SU]ESTWUET M := sup f (x) I M 6 B . tAK KAK x2(ab) M | TO^NAQ WERHNQQ GRANX, TO DLQ KAVDOGO " > 0 NAJDETSQ TO^KA x" 2 (a b), DLQ KOTOROJ f (x" ) > M ; ". nO TOGDA W SILU WOZRASTANIQ f DLQ WSEH x 2 (x" b) IMEEM M ; " < f (x" ) 6 f (x) 6 M: a \TO POKAZYWAET, ^TO f (b ; 0) = M . eSLI f NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SWERHU, TO DLQ KAVDOGO ^ISLA L SU]ESTWUET TO^KA xL 2 (a b) TAKAQ, ^TO f (xL ) > L. a W SILU WOZRASTANIQ f DLQ WSEH x 2 (xL b) IMEEM f (x) > f (xL ) > L. zNA^IT, f (b ; 0) = +1. tEOREMA DOKAZANA.
56
aNALOGI^NOE UTWERVDENIE SPRAWEDLIWO I DLQ UBYWA@]IH FUNKCIJ. tEOREMA 3.6.2. eSLI FUNKCIQ f MONOTONNA (T.E. WOZRASTAET ILI UBYWAET) NA (a b), TO DLQ KAVDOGO x 2 (a b) SU]ESTWU@T PREDELY f (x + 0) I f (x ; 0). pRI \TOM, ESLI f WOZRASTAET, TO f (x ; 0) 6 f (x + 0), A ESLI f UBYWAET, TO f (x ; 0) > f (x + 0). dOKAZATELXSTWO. pUSTX f NA (a b) WOZRASTAET. dLQ KAVDOJ TO^KI x0 RASSMOTRIM SLED f NA INTERWALE (a x0 ). tAK KAK WSE ZNA^ENIQ FUNKCII f NA (a x0 ) OGRANI^ENY SWERHU ^ISLOM f (x0 ), TO SOGLASNO TEOREME 3.6.1 SU]ESTWUET PREDEL f (x0 ; 0) I SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO f (x0 ; 0) 6 f (x0 ). tO^NO TAK VE IZ WOZRASTANIQ f NA INTERWALE (x0 b) SLEDUET SU]ESTWOWANIE PREDELA f (x0 + 0) I NERAWENSTWO f (x0 ) 6 f (x0 + 0). |TO DOKAZYWAET TEOREMU DLQ WOZRASTA@]IH FUNKCIJ. dLQ UBYWA@]IH FUNKCIJ RASSUVDENIQ ANALOGI^NY. x 3.7.
sRAWNENIE FUNKCIJ
pUSTX NA MNOVESTWE D ZADANY FUNKCII f (x) I '(x). eSLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO C , ^TO DLQ WSEH x 2 D WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jf (x)j 6 C j'(x)j TO PIUT f (x) = O('(x)) NA D I GOWORQT, ^TO f ESTX O-BOLXOE OT ' NA D. pUSTX TEPERX FUNKCII f (x) I '(x) ZADANY W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . eSLI SU]ESTWU@T ^ISLO C I TAKAQ PROKOLOTAQ OKRESTNOSTX TO^KI x0 , ^TO DLQ WSEH x IZ \TOJ OKRESTNOSTI jf (x)j 6 C j'(x)j TO PIUT (3.7.1) f (x) = O('(x)) x ! x0 I GOWORQT, ^TO f ESTX O-BOLXOE OT ' PRI x ! x0 . hOTQ W \TOJ FORMULE ISPOLXZOWANA ZAPISX x ! x0 , NO NIKAKOGO PREDELXNOGO PEREHODA ZDESX NET. |TO OZNA^AET TOLXKO, ^TO RE^X IDET O DOSTATO^NO MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . eSLI NA D ILI PRI x ! x0 ODNOWREMENNO IME@T MESTO SOOTNOENIQ f (x) = O('(x)) I '(x) = O(f (x)), TO GOWORQT, ^TO FUNKCII 57
f (x) I '(x) IME@T ODINAKOWYJ PORQDOK, SOOTWETSTWENNO, NA D ILI PRI x ! x0 . oBOZNA^ATX \TO BUDEM TAK: f (x) '(x) (3.7.2) DOBAWLQQ, ^TO \TO SOOTNOENIE IMEET MESTO NA D ILI PRI x ! x0 . eSLI FUNKCII f (x) I '(x) NE OBRA]A@TSQ W NULX (SOOTWETSTWENNO, NA D ILI W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 ), TO OPREDELENIE ODINAKOWOGO PORQDKA \TIH FUNKCIJ MOVNO SFORMULIROWATX TAK: SU]ESTWU@T POLOVITELXNYE ^ISLA C1 I C2 TAKIE, ^TO C1 6 'f ((xx)) 6 C2 NA D ILI W DOSTATO^NO MALOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . rASSMOTRIM FUNKCII f (x) I '(x), ZADANNYE W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , DLQ KOTORYH lim f (x) = 0: x!x0 '(x) w \TOM SLU^AE PIUT f (x) = o('(x)) x ! x0 (3.7.3) I GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f (x) ESTX o-MALOE OT '(x) PRI x ! x0 . eSLI f (x) = o(1), x ! x0 , TO FUNKCI@ f NAZYWA@T BESKONE^NO MALOJ (IS^EZA@]EJ) PRI x ! x0 . qSNO, ^TO ESLI f (x) = o('(x)), x ! x0 , TO f (x) = O('(x)), x ! x0 , A OBRATNOE UTWERVDENIE NE WERNO. pONQTNO TAKVE, ^TO ESLI f (x) = O('(x)), x ! x0 , I '(x) = O((x)), x ! x0 , TO f (x) = O((x)), x ! x0 , PRI^EM ESLI HOTQ BY W ODNOM IZ ISHODNYH SOOTNOENIJ ZAMENITX O NA o, TO POLU^IM f (x) = o((x)), x ! x0 . eSLI FUNKCII f (x) I '(x) TAKOWY, ^TO f (x) = 1 lim x!x0 '(x) TO GOWORQT, ^TO FUNKCII f (x) I '(x) PRI x ! x0 ASIMPTOTI^ESKI RAWNY ILI \KWIWALENTNY. w TAKOM SLU^AE BUDEM PISATX f (x) '(x) x ! x0 : (3.7.4) 58
k SOVALENI@, NET USTANOWIWIHSQ OB]EPRINQYH OBOZNA^ENIJ DLQ PORQDKOWOGO I ASIMPTOTI^ESKOGO RAWENSTW I NARQDU S (3.7.2) I (3.7.4) ISPOLXZU@TSQ I DRUGIE WARIANTY ZAPISI. oTMETIM, ^TO OPREDELENIQ SIMWOLOW O, o, , MOVNO OTNOSITX NE KO WSEJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , A K ODNOSTORONNIM OKRESTNOSTQM. pOD^ERKNEM, ^TO HOTQ W FORMULAH (3.7.1) I (3.7.3) UPOTREBLQETSQ ZNAK RAWENSTWA, W OBOIH \TIH SLU^AQH MY IMEEM DELO NE S RAWENSTWAMI, A S OCENKAMI, SRAWNIWA@]IMI POWEDENIE FUNKCII f (x) S POWEDENIEM FUNKCII '(x) PRI x ! x0 .
gLAWA
4
neprerywnye funkcii nEPRERYWNOSTX FUNKCII W TO^KE
x 4.1.
oPREDELENIE fUNKCIQ f NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ W TO^KE x0 , .
ESLI ONA OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI I DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET = (") > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH x, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ jx ; x0 j < , SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jf (x) ; f (x0)j < ": iSPOLXZUQ PREDEL FUNKCII W TO^KE, MOVNO DATX \KWIWALENTNU@ FORMULIROWKU: FUNKCIQ f NEPRERYWNA W TO^KE x0 , ESLI lim f (x) = f (x0 ): x!x0 gRAFI^ESKI NEPRERYWNOSTX f W TO^KE x0 OZNA^AET, ^TO PO " > 0 STROITSQ POLOSA, PARALLELXNAQ OSI OX , ZAKL@^ENNAQ MEVDU PRQMYMI y = f (x0 ) + " I y = f (x0 ) ; ", I TREBUETSQ, ^TOBY SU]ESTWOWALA TAKAQ -OKRESTNOSTX TO^KI x0 , ^TO DLQ WSEH x IZ \TOJ OKRESTNOSTI TO^KI GRAFIKA FUNKCII f (x) POPADALI W UKAZANNU@ POLOSU. mOVNO DATX OPREDELENIE I W TERMINAH POSLEDOWATELXNOSTEJ: FUNKCIQ f NEPRERYWNA W TO^KE x0 , ESLI ONA OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI I DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI TO^EK fxn g IZ OBLASTI OPREDELENIQ f TAKOJ, ^TO nlim !1 xn = x0 , SPRAWELIWO RAWENSTWO nlim !1 f (xn ) = f (x0 ). |TO MOVNO ZAPISATX TAK: lim f (xn ) = f (nlim !1 xn ):
n!1
59
y f (x0)+ε y =f (x) f (x0) f (x0)–ε x0–δ
x0
x0+δ
x
pRI OBSUVDENII WOPROSOW, SWQZANNYH S NEPRERYWNOSTX@ FUNKCIJ, UDOBNO POLXZOWATXSQ PONQTIEM PRIRA]ENIQ FUNKCII. dADIM ARGUMENTU x0 FUNKCII y = f (x) PRIRA]ENIE x TAK, ^TOBY ^ISLO x0 + x TAKVE PRINADLEVALO OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII. pRIRA]ENIE x MOVET BYTX KAK POLOVITELXNYM, TAK I OTRICATELXNYM. rAZNOSTX ZNA^ENIJ FUNKCII y := f (x0 + x) ; f (x0 ) NAZYWAETSQ PRIRA]ENIEM FUNKCII f W TO^KE x0 , SOOTWETSTWU@]IM PRIRA]ENI@ ARGUMENTA x. nEPRERYWNOSTX FUNKCII f W TO^KE x0 \KWIWALENTNA TOMU, ^TO y ! 0 PRI x ! 0. pERE^ISLIM SWOJSTWA NEPRERYWNYH FUNKCIJ, KOTORYE WYTEKA@T IZ SWOJSTW PREDELA FUNKCII W TO^KE. eSLI FUNKCIQ NEPRERYWNA W TO^KE, TO ONA OGRANI^ENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI. eSLI FUNKCIQ f NEPRERYWNA W TO^KE x0 I f (x0 ) 6= 0, TO SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX TO^KI x0 , ^TO jf (x)j > jf (x0 )j=2 DLQ WSEH x IZ \TOJ OKRESTNOSTI. pRI \TOM f (x) > f (x0 )=2, ESLI f (x0 ) > 0, I f (x) < f (x0 )=2, ESLI f (x0 ) < 0. oTS@DA SLEDUET, ^TO ESLI FUNKCIQ f NEPRERYWNA W TO^KE x0 I f (x0 ) 6= 0, TO f SOHRANQET ZNAK W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . eSLI FUNKCII f (x) I g(x) NEPRERYWNY W TO^KE x0 , TO W \TOJ TO^KE NEPRERYWNY FUNKCII f (x) + g(x), f (x) ; g(x), f (x) g(x), A ESLI, KROME TOGO, g(x0 ) 6= 0, TO NEPRERYWNA I FUNKCIQ f (x)=g(x). nEPRERYWNOSTX FUNKCIJ, POLU^ENNYH PRI ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIQH NAD NEPRERYWNYMI FUNKCIQMI, POZWOLQET SDELATX WYWOD O NEPRERYWNOSTI MNOGO^LENOW. w SAMOM DELE, NEPRERYWNOSTX FUNKCIJ f (x) = C (\TA FUNKCIQ PRINIMAET ZNA^ENIE C DLQ WSEH ZNA^ENIJ ARGUMENTA) I f (x) = x O^EWIDNA. zNA^IT, DLQ KAVDOGO NATURALXNOGO 60
n FUNKCIQ f (x) = xn QWLQETSQ NEPRERYWNOJ, W ^EM LEGKO UBEDITXSQ, RASSUVDAQ PO INDUKCII . a OTS@DA SLEDUET NEPRERYWNOSTX L@BOGO MNOGO^LENA an xn + an;1 xn;1 + : : : a1 x + a0 . rACIONALXNYE DROBI, T.E. OTNOENIQ DWUH MNOGO^LENOW, NEPRERYWNY WO WSEH TO^KAH, W KOTORYH ZNAMENATELX NE OBRA]AETSQ W NULX. nAKONEC, TEOREMA 3.5.2 POKAZYWAET, ^TO ESLI FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA W TO^KE x0 , A FUNKCIQ '(y) NEPRERYWNA W TO^KE y0 := f (x0 ), TO SLOVNAQ FUNKCIQ '(f (x)) NEPRERYWNA W TO^KE x0 . nARQDU S NEPRERYWNOSTX@ FUNKCII W TO^KE RASSMATRIWA@T ODNOSTORONN@@ NEPRERYWNOSTX. oPREDELENIE. fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ SPRAWA W TO^KE x0 , ESLI f (x0 + 0) = f (x0 ). fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ SLEWA W TO^KE x0 , ESLI f (x0 ; 0) = f (x0 ). nEPRERYWNOSTI FUNKCII f W TO^KE RAWNOSILXNA NEPRERYWNOSTI f W \TOJ TO^KE I SPRAWA I SLEWA. pONQTNO, KAK PRIWEDENNYE WYE SWOJSTWA FUNKCIJ, NEPRERYWNYH W TO^KE, PERENOSQTSQ NA FUNKCII, NEPRERYWNYE SPRAWA ILI SLEWA. x 4.2.
kLASSIFIKACIQ TO^EK RAZRYWA
rASSMOTRIM, KAKIMI MOGUT BYTX TO^KI, W KOTORYH FUNKCIQ NE QWLQETSQ NEPRERYWNOJ. tAKIE TO^KI NAZYWA@T TO^KAMI RAZRYWA FUNKCII. bUDEM S^ITATX, ^TO FUNKCIQ f OPREDELENA W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , ^TOBY MOVNO BYLO GOWORITX O PREDELE f W TO^KE x0 . |TO USLOWIE W DALXNEJEM OTME^ATX NE BUDEM. eSLI FUNKCIQ f IMEET RAZRYW W TO^KE x0 I SU]ESTWU@T KONE^NYE PREDELY f (x0 + 0) I f (x0 ; 0), TO GOWORQT, ^TO \TO RAZRYW PERWOGO RODA. eSLI FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x0 RAZRYW PERWOGO RODA I f (x0 + 0) = f (x0 ; 0), TO LIBO f NE OPREDELENA W \TOJ TO^KE, LIBO f OPREDELENA W TO^KE x0 , NO f (x0 ) 6= f (x0 + 0). pOLOVIIW f (x0 ) := f (x0 + 0), T.E. DOOPREDELIW ILI PEREOPREDELIW f W TO^KE x0 , POLU^IM NEPRERYWNU@ FUNKCI@. tAKIM OBRAZOM, MY \USTRANILI" RAZRYW. tAKIE RAZRYWY NAZYWA@T USTRANIMYMI. rAZRYW PERWOGO RODA NAZYWA@T NEUSTRANIMYM, ESLI f (x0 + 0) 6= f (x0 ; 0). w \TOM SLU^AE DOOPREDELENIEM ILI PEREOPREDELENIEM FUNKCII W TO^KE x0 NELXZQ POLU^ITX NEPRERYWNU@ FUNKCI@. nA RISUNKE IZOBRAVENY NEUSTRANIMYE RAZRYWY PERWOGO RODA. 61
x0
x0
x0
x0
pUSTX FUNKCIQ f ZADANA W ODNOSTORONNEJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , DLQ OPREDELENNOSTI | W PRAWOJ OKRESTNOSTI. eSLI SU]ESTWUET PREDEL f (x0 + 0) I f (x0 + 0) 6= f (x0 ), TO x0 TAKVE NAZYWA@T TO^KOJ RAZRYWA PERWOGO RODA. eSLI RAZRYW FUNKCII NE QWLQETSQ RAZRYWOM PERWOGO RODA, TO EGO NAZYWA@T RAZRYWOM WTOROGO RODA. nA RISUNKE IZOBRAVENY NEKOTORYE HARAKTERNYE PRIMERY RAZRYWOW WTOROGO RODA. y
O
1 f (x)= – x
x
y
O
1 f (x)= – x2
x
y
O
1
f (x)=sin– x
x
sOGLASNO TEOREIE 3.6.2, ESLI FUNKCIQ f (x) MONOTONNA NA NEKOTOROM PROMEVUTKE, TO W KAVDOJ WNUTRENNEJ TO^KE x0 \TOGO PROMEVUTKA SU]ESTWU@T PREDELY f (x0 ; 0) I f (x0 +0). sOOTWETSTWU@]IJ ODNOSTORONNIJ PREDEL SU]ESTWUET I W KONCEWYH TO^KAH PROMEVUTKA MONOTONNOSTI, ESLI \TI TO^KI EMU PRINADLEVAT. zNA^IT, WSE TO^KI RAZRYWA MONOTONNOJ FUNKCII QWLQ@TSQ TO^KAMI RAZRYWA PERWOGO RODA. zAMETIM, ^TO ESLI MNOVESTWO TO^EK RAZRYWA MONOTONNOJ FUNKCII BESKONE^NO, TO ONO OBQZATELXNO S^ETNO. w SAMOM DELE, POSTAWIM KAVDOJ TO^KE RAZRYWA x0 KAKOE-LIBO RACIONALXNOE ^ISLO, ZAKL@^ENNOE MEVDU f (x0 ; 0) I f (x0 + 0). pOLU^IM WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MNOVESTWA TO^EK RAZRYWA I NEKOTOROGO PODMNOVESTWA MNOVESTWA RACIONALXNYH ^ISEL, A KAVDOE TAKOE BESKONE^NOE MNOVESTWO S^ETNO. iTAK, MONOTONNAQ FUNKCIQ MOVET IMETX TO^KI RAZRYWA TOLXKO PERWOGO RODA I MNOVESTWO TO^EK RAZRYWA NE BOLEE ^EM S^ETNO. 62
sWOJSTWA FUNKCIJ NEPRERYWNYH NA OTREZKE
x 4.3.
,
oPREDELENIE fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ NA OTREZ.
KE a b], ESLI ONA NEPRERYWNA WO WSEH WNUTRENNIH TO^KAH OTREZKA, T.E. WO WSEH TO^KAH INTERWALA (a b), NEPRERYWNA SPRAWA W TO^KE a I NEPRERYWNA SLEWA W TO^KE b. mNOVESTWO WSEH NEPRERYWNYH NA OTREZKE a b] FUNKCIJ OBOZNA^A@T C a b] I TOT FAKT, ^TO f NEPRERYWNA NA a b], ZAPISYWA@T TAK: f 2 C a b]. nARQDU S NEPRERYWNOSTX@ NA OTREZKE RASSMATRIWA@T NEPRERYWNOSTX NA INTERWALE, NA POLUOTREZKE, POLUOSI I WSEJ OSI. mNOVESTWO FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA INTERWALE (a b), OBOZNA^A@T C (a b). kOGDA QSNO, O NEPRERYWNOSTI NA KAKOM PROMEVUTKE IDET RE^X, PIUT f 2 C . pONQTNO, ^TO ESLI FUNKCII f (x) I g(x) NEPRERYWNY NA OTREZKE a b], TO NA \TOM OTREZKE NEPRERYWNY FUNKCII f (x) g(x), f (x) g(x), A ESLI g(x) 6= 0 DLQ WSEH x 2 a b], TO NEPRERYWNA I FUNKCIQ f (x)=g(x). tEOREMA 4.3.1. fUNKCIQ, NEPRERYWNAQ NA OTREZKE, OGRANI^ENA NA \TOM OTREZKE. dOKAZATELXSTWO. oGRANI^ENNOSTX FUNKCII f NA OTREZKE a b] OZNA^AET SU]ESTWOWANIE TAKOGO ^ISLA L, ^TO jf (x)j 6 L DLQ WSEH x 2 a b]. dOKAVEM TEOREMU OT PROTIWNOGO. pREDPOLOVIM, ^TO FUNKCIQ f 2 C a b] I NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ NA a b]. tOGDA DLQ KAVDOGO n 2 N SU]ESTWUET TO^KA xn 2 a b], DLQ KOTOROJ jf (xn )j > n. tAKIM OBRAZOM, limn!1 f (xn ) = 1. pOSLEDOWATELXNOSTX TO^EK fxn g OGRANI^ENA, TAK KAK WSE \TI TO^KI PRINADLEVAT OTREZKU a b]. zNA^IT, PO TEOREME bOLXCANO{wEJERTRASSA SU]ESTWUET SHODQ]AQSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX fxnk g. pUSTX t := limk xnk . tOGDA t 2 a b]. w SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII f W TO^KE t (ESLI TO^KA t OKAZALASX ODNIM IZ KONCOW OTREZKA, TO IMEETSQ W WIDU ODNOSTORONNQQ NEPRERYWNOSTX) DLQ L@BOJ SHODQ]EJSQ K \TOJ TO^KE POSLEDOWATELXNOSTI TO^EK fzk g IZ a b] IMEEM lim f (zk ) = f (t). zNA^IT, k lim f (x ) = f (t). nO TAK KAK nlim !1 f (xn ) = 1, TO DOLVNO WYPOLk!1 nk NQTXSQ RAWENSTWO nlim f (xnk ) = 1. mY PRILI K PROTIWORE^I@, KOTOROE ZAKAN^IWAET!1DOKAZATELXSTWO TEOREMY. oTMETIM, ^TO DLQ FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA INTERWALE, UTWERVDENIE, ANALOGI^NOE TEOREME 4.3.1, NE WERNO. w \TOM MOVNO UBEDITXSQ 63
NA PRIMERE FUNKCII f (x) := 1=x. |TA FUNKCIQ NEPRERYWNA, NO NE OGRANI^ENA NA (0 1). tEOREMA 4.3.2 (tEOREMA wEJERTRASSA). eSLI FUNKCIQ NEPRERYWNA NA OTREZKE a b], TO W NEKOTORYH TO^KAH \TOGO OTREZKA ONA DOSTIGAET TO^NU@ WERHN@@ I TO^NU@ NIVN@@ GRANI SWOIH ZNA^ENIJ NA a b]. dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM UTWERVDENIE O TO^NOJ WERHNEJ GRANI. tO^NAQ WERHNQQ GRANX ZNA^ENIJ FUNKCII f (x), NEPRERYWNOJ NA OTREZKE a b], SU]ESTWUET, TAK KAK SOGLASNO TEOREME 4.3.1 FUNKCIQ OGRANI^ENA. pUSTX M := sup f (x). dLQ KAVDOGO NATURALXNOGO n NAJDEM x2 ab] TO^KU xn 2 a b] TAKU@, ^TO f (xn ) > M ; 1=n. nO f (xn ) 6 M DLQ WSEH n, PO\TOMU (4.3.1) nlim !1 f (xn ) = M: pOLXZUQSX TEOREMOJ bOLXCANO{wEJERTRASSA, NAHODIM SHODQ]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX fxnk g POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. pUSTX t := lim x , TOGDA t 2 a b]. k nk tAK KAK f NEPRERYWNA W TO^KE t, TO klim f (x ) = f (t). s DRUGOJ !1 nk STORONY, SOGLASNO (4.3.1) klim f (x ) = M , ZNA^IT, M = f (t). !1 nk dLQ TO^NOJ NIVNEJ GRANI DOKAZATELXSTWO ANALOGI^NO. tAKIM OBRAZOM, MOVNO GOWORITX O MAKSIMALXNOM ZNA^ENII FUNKCII, NEPRERYWNOJ NA OTREZKE, I PISATX W \TOM SLU^AE NE sup f (x), x2 ab] A xmax f (x). 2 ab] dLQ FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA INTERWALE, TEOREMA 4.3.2 NE IMEET MESTA, DAVE ESLI DOPOLNITELXNO PREDPOLAGATX OGRANI^ENNOSTX FUNKCII.
tEOREMA
(tEOREMA kOI O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH). pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE a b] I f (a) 6= 4.3.3
f (b). tOGDA DLQ L@BOGO ^ISLA d, ZAKL@^ENNOGO MEVDU f (a) I f (b), SU]ESTWUET TO^KA t 2 a b] TAKAQ, ^TO d = f (t). dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM SNA^ALA ^ASTNYJ SLU^AJ \TOGO UTWERVDENIQ, KOGDA ^ISLA f (a) I f (b) IME@T RAZNYE ZNAKI I d = 0. rAZDELIM OTREZOK a b] POPOLAM. eSLI W TO^KE DELENIQ ZNA^ENIE FUNKCII RAWNO NUL@, TO W KA^ESTWE t MOVNO WZQTX TO^KU DELENIQ. a ESLI W TO^KE DELENIQ ZNA^ENIE FUNKCII f OTLI^NO OT NULQ, TO W KONCAH ODNOGO IZ POLU^ENNYH OTREZKOW ZNA^ENIQ f (x) IME@T 64
RAZNYE ZNAKI. oBOZNA^IM \TOT OTREZOK a1 b1 ]. zAMETIM, ^TO b1 ; a1 = (b ; a)=2. dELIM TEPERX OTREZOK a1 b1 ] POPOLAM I POWTORQEM PREDYDU]EE RASSUVDENIE. t.E., ESLI W TO^KE DELENIQ FUNKCIQ OBRA]AETSQ W NULX, TO NUVNAQ TO^KA UVE NAJDENA. w PROTIWNOM SLU^AE WYBEREM TOT IZ POLU^IWIHSQ OTREZKOW, W KONCAH KOTOROGO FUNKCIQ PRINIMAET ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW. oBOZNA^IM \TOT OTREZOK a2 b2] I ZAMETIM, ^TO EGO DLINA W DWA RAZA MENXE DLINY OTREZKA a1 b1]. pRODOLVIM \TOT PROCESS. eSLI MY NE WSTRETIM NULX FUNKCII NA KAKOM-TO AGE, TO POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX WLOVENNYH OTREZKOW fan bn ]g, DLINY KOTORYH bn ; an = (b ; a)=2n STREMQTSQ K NUL@. zNA^IT, SOGLASNO TEOREME 1.7.1 SU]ESTWUET TO^KA t, PRINADLEVA]AQ WSEM \TIM OTREZKAM. pOKAVEM, ^TO f (t) = 0. eSLI \TO NE TAK, TO FUNKCIQ f SOHRANQET ZNAK W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI t. dLQ DOSTATO^NO BOLXIH n OTREZKI an bn] CELIKOM SODERVATSQ W \TOJ OKRESTNOSTI, TAK KAK ONA SODERVIT TO^KU t I DLINY OTREZKOW STREMQTSQ K NUL@. pOSKOLXKU W KONCAH OTREZKOW an bn] FUNKCIQ f PRINIMAET ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW, MY PRILI K PROTIWORE^I@ S TEM, ^TO FUNKCIQ SOHRANQET ZNAK W UKAZANNOJ OKRESTNOSTI TO^KI t. pEREHODIM K OB]EMU SLU^A@ W TEOREME kOI. wWEDEM FUNKCI@ g(x) := f (x) ; d. fUNKCIQ g NEPRERYWNA I W KONCAH OTREZKA a b] PRINIMAET ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW. zNA^IT, PO UVE DOKAZANNOMU SU]ESTWUET TO^KA t 2 a b], W KOTOROJ g(t) = 0. oTS@DA f (t) ; d = 0 I f (t) = d. tEOREMA DOKAZANA. s L E D S T W I E 4.3.4. pUSTX a b] | PROMEVUTOK, T.E. OTREZOK, INTERWAL ILI POLUOTREZOK. pUSTX, DALEE, FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA \TOM PROMEVUTKE I M := sup f (x) x2 ab]
ESLI ZNA^ENIQ f NA a b] OGRANI^ENY SWERHU, I M := +1 W PROTIWNOM SLU^AE. aNALOGI^NO POLAGAEM f (x) m := x2inf ab]
ILI m := ;1. tOGDA DLQ L@BOGO ^ISLA d 2 (m M ) SU]ESTWET TO^KA t 2 a b] TAKAQ, ^TO d = f (t). dOKAZATELXSTWO. tAK KAK m < d < M , TO, POLXZUQSX OPREDELENIEM TO^NYH GRANEJ, WIDIM, ^TO SU]ESTWU@T TAKIE ^ISLA m0 I M 0 , ^TO 65
m < m0 < d < M 0 < M I ^ISLA m0 I M 0 QWLQ@TSQ ZNA^ENIQMI FUNKCII f , T.E. m0 = f (x1 ) I M 0 = f (x2 ) DLQ NEKOTORYH TO^EK x1 I x2 IZ PROMEVUTKA a b]. rASSMOTRIM SLED FUNKCII f NA OTREZKE S KONCAMI W TO^KAH x1 I x2 . tAK KAK f NEPRERYWNA NA \TOM OTZEZKE, A W KONCAH EGO IMEET ZNA^ENIQ m0 I M 0 , TO W SILU TEOREMY kOI 4.3.3 FUNKCIQ f PRINIMAET ZNA^ENIE d W NEKOTOROJ TO^KE, ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX. eSLI W SLEDSTWII 4.3.4 PROMEVUTOK a b] QWLQETSQ OTREZKOM, TO SOGLASNO TEOREME wEJERTRASSA 4.3.2 ^ISLA m I M TAKVE QWLQ@TSQ ZNA^ENIQMI FUNKCII f . zNA^IT, W \TOM SLU^AE ZNA^ENIQ f CELIKOM ZAPOLNQ@T OTREZOK m M ], T.E. OTREZOK m M ] QWLQETSQ OBRAZOM OTREZKA a b] PRI OTOBRAVENII, OSU]ESTWLQEMOM FUNKCIEJ f (x). x 4.4.
rAWNOMERNAQ NEPRERYWNOSTX FUNKCIJ
eSLI FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA PROMEVUTKE a b], TO DLQ L@BOJ TO^KI x0 2 a b] I L@BOGO ^ISLA " > 0 SU]ESTWUET ^ISLO = (x0 ") TAKOE, ^TO 8x IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f , DLQ KOTORYH jx ; x0 j < , IMEEM jf (x) ; f (x0 )j < ". pOD^ERKNEM, ^TO ZAWISIT NE TOLXKO OT ", NO I OT x0 I, PEREHODQ OT ODNOJ TO^KI K DRUGOJ, PRI ODNOM I TOM VE " BUDEM POLU^ATX RAZNYE . a W TOM SLU^AE, KOGDA MOVNO WYBRATX ZAWISQ]IM TOLXKO OT ", GOWORQT O RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII. oPREDELENIE. fUNKCIQ, ZADANNAQ NA PROMEVUTKE a b], NAZYWAETSQ RAWNOMERNO NEPRERYWNOJ NA \TOM PROMEVUTKE, ESLI DLQ0 KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET = (") TAKOE, ^TO DLQ L@BYH TO^EK x I x00 IZ a b], UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ jx0 ; x00 j < , WYPOLNQETSQ OCENKA jf (x0 ) ; f (x00)j < ": pROMEVUTOK, O KOTOROM ZDESX GOWORITSQ, NE OBQZATELXNO QWLQETSQ OTREZKOM. oN MOVET BYTX INTERWALOM ILI POLUOTREZKOM, W TOM ^ISLE I BESKONE^NYM. tEOREMA 4.4.1 (tEOREMA kANTORA). eSLI FUNKCIQ NEPRERYWNA NA OTREZKE, TO ONA RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA \TOM OTREZKE. dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM PROTIWNOE: PUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA, NO NE QWLQETSQ RAWNOMERNO NEPRERYWNOJ NA OTREZKE a b]. |TO OZNA^AET, ^TO 9"0 > 0 TAKOE, ^TO 8 > 0 NAJDUTSQ TO^KI x0 I x00 IZ a b], DLQ KOTORYH jx0 ; x00 j < , NO jf (x0 ) ; f (x00 )j > "0 . wYBIRAQ W KA^ESTWE ^ISLA WIDA 1=n n 2 N , DLQ KAVDOGO n NAHODIM PARU TO^EK x0n I x00n IZ a b] TAKU@, ^TO jx0n ; x00n j < 1=n I jf (x0n) ; f (x00n )j > "0. 66
rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX fx0n g. oNA OGRANI^ENA , ZNA^IT, SODERVIT SHODQ]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX f x0nk g. pUSTX x0 := limk x0nk , TOGDA x0 2 a b]. iZ NERAWENSTWA jx00nk ; x0 j 6 jx00nk ; x0nk j + jx0nk ; x0 j SLEDUET, ^TO I lim x00 = x0 . k nk tAK 00KAK f NEPRERYWNA W TO^KE x0 , TO limk f (x0nk ) = f (x0 ) I limk f (xnk ) = f (x0 ), A \TO WSTUPAET W PROTIWORE^IE S NERAWENSTWOM jf (x0nk ) ; f (x00nk )j > "0. tEOREMA DOKAZANA. dLQ FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA INTERWALE, PODOBNAQ TEOREMA NE IMEET MESTA. sWOJSTWO RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII UDOBNO WYRAVATX W TERMINAH EE MODULQ NEPRERYWNOSTI. oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f OPREDELENA NA NEKOTOROM PROOMEVUTKE. mODULEM NEPRERYWNOSTI FUNKCII f NAZYWAETSQ FUNKCIQ !(f ) := sup jf (x0 ) ; f (x00 )j > 0 GDE WERHNQQ GRANX BERETSQ0 PO 00WSEM TO^KAM x0 I x00 IZ UKAZANNOGO PROMEVUTKA TAKIM, ^TO jx ; x j 6 . mODULX NEPRERYWNOSTI !(f ) OPREDELQ@T DLQ , NE PREWOSHODQIH DLINY PROMEVUTKA, NA KOTOROM RASSMATRIWAETSQ FUNKCIQ f . w OBOZNA^ENII !(f ) SIMWOL f OPUSKA@T, ESLI QSNO, O MODULE NEPRERYWNOSTI KAKOJ FUNKCII IDET RE^X. lEGKO WIDETX, ^TO MODULX NEPRERYWNOSTI OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI : 1 . !() > 0 I !(0) = 0 2 . !() UBYWAET PRI UBYWANII . oTS@DA, W ^ASTNOSTI, SLEDUET, ^TO PREDEL !(+0) SU]ESTWUET I WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO !(+0) > 0. tEOREMA 4.4.2. eSLI FUNKCIQ !() QWLQETSQ MODULEM NEPRERYWNOSTI NEKOTOROJ FUNKCII f , TO DLQ L@BYH POLOVITELXNYH ^ISEL 1 I 2 SPRAWEDLIWA OCENKA !(1 + 2 ) 6 !(1 ) + !(2 ): (4.4.1) w ^ASTNOSTI, !(2) 6 2!(). dOKAZATELXSTWO. pUSTX x0 I x00 | PROIZWOLXNYE TO^KI IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f TAKIE, ^TO jx0 ; x00 j 6 1 + 2. wOZXMEM MEVDU x0 I x00 TO^KU z , DLQ KOTOROJ jx0 ; z j 6 1 I jz ; x00 j 6 2 . tOGDA jf (x0 ) ; f (x00)j 6 jf (x0 ) ; f (z)j + jf (z) ; f (x00 )j 6 !(1) + !(2 ): 67
w00 POLU^ENNOM NERAWENSTWE PRAWAQ ^ASTX NE ZAWISIT OT TO^EK x0 I x . pO\TOMU WYRAVENIE W LEWOJ ^ASTI MOVNO ZAMENITX NA WERHN@@ GRANX EGO ZNA^ENIJ, WZQTU@ PO WSEM RASSMATRIWAEMYM x0 I x00 , A \TO DAET OCENKU (4.4.1). tEOREMA DOKAZANA. sWOJSTWO, WYRAVENNOE NERAWENSTWOM (4.4.1), NAZYWA@T POLUADDITIWNOSTX@ FUNKCII !(). tEOREMA 4.4.3. uSLOWIE !(f +0) = 0 NEOBHODIMO I DOSTATO^NO DLQ RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII f . dOKAZATELXSTWO. eSLI !(f +0) = 0, TO DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET = (") > 0 TAKOE, ^TO !(f ) < ". zNA^IT, DLQ L@BYH TO^EK x0 x00 IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII 0 00 f , DLQ KOTORYH jx ; x j < , IMEEM jf (x0 ) ; f (x00 )j < ". a \TO OZNA^AET RAWNOMERNU@ NEPRERYWNOSTX FUNKCII f , T.E. DOSTATO^NOSTX DOKAZANA. dOKAVEM NEOBHODIMOSTX. pUSTX FUNKCIQ f RAWNOMERGO NEPRERYWNA. tOGDA DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET > 0 TAKOE, ^TO DLQ L@BYH TO^EK x0 , x00 IZ OBLASTI OPREDELENIQ f , DLQ KOTORYH jx0 ; x00j < , IMEEM jf (x0 ) ; f (x00 )j < "=2: tAK KAK WYRAVENIE W PRAWOJ ^ASTI \TOGO NERAWENSTWA NE ZAWISIT OT x0 I x00 , WYRAVENIE IZ LEWOJ ^ASTI MOVNO ZAMENITX NA WERHN@@ GRANX PO WSEM x0 I x00 , DLQ KOTORYH jx0 ; x00 j < . tOGDA POLU^IM !() 6 "=2 < ", ^TO PRIWODIT K RAWENSTWU !(f +0) = 0. tEOREMA DOKAZANA. x 4.5.
nEPRERYWNOSTX OBRATNOJ FUNKCII
pUSTX NA D ZADANA FUNKCIQ f I E { MNOVESTWO EE ZNA^ENIJ, T.E. \TO MNOVESTWO TEH ^ISEL y = f (x), KOTORYE POLU^A@TSQ, KOGDA x PROBEGAET WSE MNOVESTWO D. gOWORQT, ^TO E | OBRAZ MNOVESTWA D PRI OTOBRAVENII, OSU]ESTWLQEMOM FUNKCIEJ f . wOSSTANOWITX x PO ZNA^ENI@ y 2 E NE WSEGDA MOVNO, TAK KAK DLQ ODNOGO y 2 E MOVET BYTX MNOGO TO^EK x 2 D TAKIH, ^TO y = f (x). eSLI FUNKCIQ f OSU]ESTWLQET WZAIMNO ODNOZNA^NOE OTOBRAVENIE MNOVESTWA D NA E , TO NA E MOVNO ZADATX FUNKCI@, POSTAWIW W SOOTWETSTWIE KAVDOMU y 2 E TO ^ISLO x 2 D, DLQ KOTOROGO y = f (x). w SILU WZAIMNOJ ODNOZNA^NOSTI TAKOE ^ISLO x TOLXKO ODNO. |TU FUNKCI@ x = '(y) NAZYWA@T FUNKCIEJ , OBRATNOJ K f . oBRATNU@ FUNKCI@ ^ASTO OBOZNA^A@T x = f ;1 (y). 68
eSLI FUNKCIQ f STROGO MONOTONNA NA D, T.E. f STROGO WOZRASTAET ILI STROGO UBYWAET, TO OTOBRAVENIE f : D ! E OBRATIMO. w \TOM SLU^AE OBRATNAQ FUNKCIQ TAKVE STROGO MONOTONNA, PRI^EM ONA QWLQETSQ STROGO WOZRASTA@]EJ, ESLI FUNKCIQ f WOZRASTALA, I QWLQETSQ STROGO UBYWA@]EJ, ESLI FUNKCIQ f UBYWALA. tEOREMA 4.5.1. pUSTX FUNKCIQ f NA OTREZKE a b] STROGO WOZRASTAET I NEPRERYWNA, c := f (a) I d := f (b). tOGDA OBRATNAQ FUNKCIQ x = f ;1(y) STROGO WOZRASTAET I NEPRERYWNA NA OTREZKE c d]. dOKAZATELXSTWO. o STROGOM WOZRASTANII OBRATNOJ FUNKCII UVE GOWORILOSX. kROME TOGO, MNOVESTWO ZNA^ENIJ FUNKCII f (x) W SILU EE NEPRERYWNOSTI CELIKOM ZAPOLNQET OTREZOK c d]. nOWYM QWLQETSQ UTWERVDENIE O NEPRERYWNOSTI FUNKCII f ;1 (y) NA OTREZKE c d]. rASSMOTRIM PROIZWOLXNU@ TO^KU y0 2 (c d) I NAJDEM TO^KU x0 2 (a b), DLQ KOTOROJ f (x0 ) = y0 . wOZXMEM POLOVITELXNOE ^ISLO " TAKOE, ^TO "-OKRESTNOSTX TO^KI x0 PRINADLEVIT INTERWALU (a b). tOGDA TO^KI y1 := f (x0 ; ") I y2 := f (x0 + ") POPADA@T W INTERWAL (c d). y d y2
( (
y0+δ y0 y0–δ y1 c
y =f (x) a
x0–ε
x0
x0+ε
b
x
w SILU STROGOGO WOZRASTANIQ FUNKCII f (x) ONA USTANAWLIWAET WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE OTREZKA x0 ; " x0 + "] NA OSI OX I OTREZKA y1 y2] NA OSI OY . wOZXMEM POLOVITELXNOE ^ISLO TAKOE, ^TO -OKRESTNOSTX TO^KI y0 PRINADLEVIT (y1 y2 ). tOGDA WSQ -OKRESTNOSTX TO^KI y0 PRI OTOBRAVENII, OSU]ESTWLQEMOM FUNKCIEJ f ;1 (y), POPADAET W "-OKREST NOSTX TO^KI x0 . a \TO I OZNA^AET NEPRERYWNOSTX FUNKCII f ;1 W TO^KE y0 . pRI DOKAZATELXSTWE NEPRERYWNOSTI f ;1 W KONCEWYH TO^KAH c I d RASSUVDENIQ ANALOGI^NY, NUVNO TOLXKO BRATX SOOTWETSTWU@]IE ODNOSTORONNIE OKRESTNOSTI. tEOREMA DOKAZANA. 69
pRIWEDEM WARIANT TEOREMY O NEPRERYWNOSTI OBRATOJ FUNKCII, KOGDA ISHODNAQ FUNKCIQ ZADANA NE NA OTREZKE, A NA INTERWALE. tEOREMA 4.5.2. pUSTX FUNKCIQ f STROGO WOZRASTAET I NEPRERYWNA NA INTERWALE (a b). oBOZNA^IM c := x2inf f (x) I d := (ab) sup f (x). tOGDA OBRAZOM INTERWALA (a b) PRI OTOBRAVENII y = x2(ab) f (x) QWLQETSQ INTERWAL (c d) I FUNKCIQ x = f ;1 (y) NEPRERYWNA NA (c d). dOKAZATELXSTWO. zDESX INTERWAL (a b) MOVET BYTX KAK KONE^NYM, TAK I BESKONE^NYM. eSLI FUNKCIQ f NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SWERHU NA (a b), TO POD TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ ZNA^ENIJ f (x) PONIMAEM +1. aNALOGI^NO POLAGAEM c = ;1, ESLI f NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SNIZU. tAKIM OBRAZOM, INTERWAL (c d) TAKVE MOVET BYTX BESKONE^NYM. eSLI d < +1, TO NIKAKOE ^ISLO y > d NE MOVET BYTX ZNA^ENIEM FUNKCII f (x). dLQ y > d \TO SLEDUET IZ OPREDELENIQ TO^NOJ WERHNEJ GRANI. a ESLI BY ^ISLO d BYLO ZNA^ENIEM FUNKCII f PRI NEKOTOROM x0 2 (a b), TO DLQ x > x0 W SILU STROGOGO WOZRASTANIQ f MY POLU^ILI BY ZNA^ENIQ, PREWYA@]IE d. aNALOGI^NOE UTWERVDENIE SPRAWEDLIWO I DLQ LEWOGO KONCA INTERWALA (c d). tAKIM OBRAZOM, DLQ WSEH x 2 (a b) IMEEM f (x) 2 (c d). l@BOE ^ISLO y0 2 (c d) QWLQETSQ ZNA^ENIEM FUNKCII f W NEKOTOROJ TO^KE IZ (a b). w SAMOM DELE, SOGLASNO OPREDELENI@ WELI^IN c I d W (a b) SU]ESTWU@T ^ISLA x1 I x2 TAKIE, ^TO f (x1 ) < y0 < f (x2 ). pRI \TOM x1 < x2 W SILU STROGOGO WOZRASTANIQ f . rASSMOTRIM SLED FUNKCII f NA OTREZKE x1 x2 ]. tAK KAK f STROGO WOZRASTAET NA x1 x2 ], TO ZNA^ENIQ FUNKCII f CELIKOM ZAPOLNQ@T OTREZOK f (x1 ) f (x2 )], T.E. TO^KA y0 QWLQETSQ ODNIM IZ ZNA^ENIJ FUNKCII I, KROME TOGO, SOGLASNO TEOREME 4.5.1 OBRATNAQ FUNKCIQ f ;1 (y) NEPRERYWNA W TO^KE y0 . tEOREMA DOKAZANA. pONQTNO, KAK DOLVNY WYGLQDETX ANALOGI TEOREM 4.5.1 I 4.5.2 DLQ STROGO UBYWA@]IH FUNKCIJ. rASSMOTRIM WOPROS O GRAFIKE OBRATNOJ FUNKCII. pUSTX FUNKCIQ y = f (x) STROGO MONOTONNA. bUDEM OBOZNA^ATX ARGUMENT OBRATNOJ FUNKCII f ;1 ^EREZ x, KAK MY OBY^NO OBOZNA^AEM NEZAWISIMU@ PEREMENNU@, A ZAWISIMU@ PEREMENNU@ BUDEM OBOZNA^ATX y. tOGDA GRAFIK FUNKCII y = f ;1 (x) MOVNO POLU^ITX S POMO]X@ ZERKALXNOGO OTRAVENIQ GRAFIKA FUNKCII y = f (x) OTNOSITELXNO PRQMOJ y = x. dELO W TOM, ^TO TO^KI, PRINADLEVA]IE GRAFIKU FUNKCII y = f (x) IME@T KOORDINATY (x f (x)), A KOORDINATY TO^EK, POLU^ENNYH PRI IH ZERKALXNOM OTRAVENII, RAWNY (f (x) x). 70
y
y =f –1(x)
y =x
( f (x),x)
y =f (x)
(x, f (x))
f (x)
x 4.6.
x
pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ
x
nA^NEM S OPREDELENIQ STEPENI ax PRI IRRACIONALXNYH ZNA^ENIQH POKAZATELQ x. bUDEM S^ITATX, ^TO ^ISLO a UDOWLETWORQET ESTESTWENNYM USLOWIQM a > 0 I a 6= 1, NE OTME^AQ \TOx. rASSMOTRIM SNA^ALA STEPENX a DLQ RACIONALXNYH ZNA^ENIJ POKAZATELQ x. pRI \TOM MNOGOE BUDET POWTORQTX RASSUVDENIQ, PROWODIWIESQ W KOLXNOM KURSE. pO OPREDELENI@ STEPENNOJ FUNKCII a1 := a I PRI NATURALXNYH n>2 an := a| a {z a} : n
pUSTX TEPERX ^ISLO x IMEET WID 1=n, GDE n 2 N . pRI FIKSIROWANNOM NATURALXNOM n RASSMOTRIM FUNKCI@ u = vn v 2 0 1). |TA FUNKCIQ STROGO WOZRASTAET I NEPRERYWNA, OBLASTX EE ZNA^ENIJ 0 1). zNA^IT, pSOGLASNO TEOREMAM PREDYDU]EGO PARAGRAFA OBRATNAQ FUNKCIQ v = n u = u1=n OPREDELENA NA POLUOSI 0 1) I NEPRERYWNA NA NEJ. w KOLXNOM KURSE SU]ESTWOWANIE ARIFMETI^ESKOGO KORNQ n-OJ STEPENI IZ POLOVITELXNOGO ^ISLA S^ITALOSX SAMO SOBOJ RAZUME@]IMSQ. tEPERX \TOTx FAKT POLU^IL OBOSNOWANIE. iTAK, STEPENX a OPREDELENA DLQ ^ISEL x WIDA 1=n. eSLI x = p=q, GDE p I q { NATURALXNYE ^ISLA, TO PO OPREDELENI@ POLAGA@T ap=q := (ap )1=q : zDESX MOVNO BYLO BY BRATX I (a1=q )p , NO RAWENSTWO (ap )1=q = (a1=q )p NUVDAETSQ W DOKAZATELXSTWE . eSLI x = 0, TO a0 := 1, A ESLI x = ;p=q, GDE p I q | NATURALXNYE ^ISLA, TO PO OPREDELENI@ a;p=q := 1=ap=q . 71
tAKIM OBRAZOM, STEPENX ax OPREDELENA DLQ WSEH RACIONALXNYH x. pRI \TOM WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE SWOJSTWA (BUKWY r OBOZNA^A@T PROIZWOLXNYE RACIONALXNYE ^ISLA): ar > 0 ar1 +r2 = ar1 ar2 (ar1 )r2 = ar1 r2 (ab)r = ar br a > 0 b > 0 ESLI a > 1, TO ar STROGO WOZRASTAET NA MNOVESTWE RACIONALXNYH ar = +1, ^ISEL (W ^ASTNOSTI, ESLI a > 1 I r > 0, TO ar > 1) I r!lim +1 lim ar = 0 r!;1 ESLI a < 1, TO ar STROGO UBYWAET NA MNOVESTWE RACIONALXNYH ^ISEL. mY NE PRIWODIM OBOSNOWANIE \TIH SWOJSTW, TAK KAK ONO AKKURATNO PROWEDENO W KOLXNOM KURSE, GDE NE BYLO DOKAZANO TOLXKO SU]ESTWOWANIE ARIFMETI^ESKOGO KORNQ n-OJ STEPENI. w DALXNEJIM PONADOBITSQ SLEDU@]EE UTWERVDENIE O STEPENQH S RACIONALXNYMI POKAZATELQMI. lEMMA 4.6.1 (nERAWENSTWO bERNULLI). eSLI a > 1 I h 2 (0 1] | RACIONALXNOE ^ISLO, TO 0 < ah ; 1 6 2(a ; 1)h:
(4.6.1)
dOKAZATELXSTWO. pUSTX SNA^ALA h = 1=n, GDE n | NATURALXNOE ^ISLO. tOGDA a1=n = 1 + , GDE W SILU STROGOGO WOZRASTANIQ ax NA MNOVESTWE RACIONALXNYH ^ISEL > 0. pO\TOMU IZ NERAWENSTWA bERNULLI (2.6.1) WYTEKAET, ^TO a = (1 + )n > 1 + n: zNA^IT, = ah ; 1 6 a ;n 1 = (a ; 1)h T.E. 0 < ah ; 1 6 (a ; 1)h I MY POLU^ILI NERAWENSTWO (4.6.1) DLQ RASSMATRIWAEMYH ZNA^ENIJ h DAVE BEZ MNOVITELQ 2 W PRAWOJ ^ASTI. pUSTX TEPERX h | PROIZWOLXNOE RACIONALXNOE ^ISLO IZ (0 1). nAHODIM NATURALXNOE n TAKOE, ^TO 1=(n + 1) < h 6 1=n. tOGDA, 72
POLXZUQSX DOKAZANNYM UVE DLQ POKAZATELQ 1=n NERAWENSTWOM (4.6.1), POLU^AEM 1 a ; 1 < n + 1 (a ; 1)h 6 2(a ; 1)h: ah ; 1 6 a1=n ; 1 6 a ;n 1 = n + n n+1 n lEMMA DOKAZANA. bUDEM PO-PREVNEMU S^ITATX a > 1. dLQ RACIONALXNYH x IMEEM ax = sup ar : (4.6.2) r6x r2Q
pRIMEM FORMULU (4.6.2) W KA^ESTWE OPREDELENIQ ax PRI a > 1 DLQ IRRACIONALXNYH x. tEPERX STEPENX ax PRI a > 1 OPREDELENA DLQ WSEH DEJSTWITELXNYH x. nAA CELX | WYQSNITX SWOJSTWA POKAZATELXNOJ FUNKCII y = ax , W ^ASTNOSTI, DOKAZATX EE NEPRERYWNOSTX . pERE^ISLIM SWOJSTWA FUNKCII ax PRI a > 1. 1 . ax > 0. |TO | PROSTOE SLEDSTWIE IZ (4.6.2). 2 . fUNKCIQ ax STROGO WOZRASTAET, T.E. ESLI x1 < x2 , TO ax1 < ax2 . sNA^ALA ZAMETIM, ^TO NESTROGOE NERAWENSTWO ax1 6 ax2 WYTEx 2 KAET IZ TOGO, ^TO DLQ a W (4.6.2) WERHNQQ GRANX BERETSQ PO BOLEE IROKOMU MNOVESTWU RACIONALXNYH ^ISEL, ^EM DLQ ax1 . wOZXMEM RACIONALXNYE ^ISLA I TAKIE, ^TO x1 < < < x2 . tOGDA W SILU STROGOJ MONOTONNOSTI ax DLQ RACIONALXNYH POKAZATELEJ IMEEM ax1 6 a < a 6 ax2 I MY POLU^ILI NUVNOE NERAWENSTWO. 3 . ax ! +1 PRI x ! +1 ax ! 0 PRI x ! ;1. |TO WYTEKAET IZ SWOJSTW STEPENI S CELYM POKAZATELEM I STROGOGO WOZRASTANIQ xFUNKCII ax . 4 . fUNKCIQ a NEPRERYWNA. zAFIKSIRUEM PROIZWOLXNU@ TO^KU x0 I DOKAVEM NEPRERYWNOSTX FUNKCII ax W \TOJ TO^KE. sNA^ALA USTANOWIM NEPRERYWNOSTX SPRAWA. pUSTX x > x0 I x ; x0 < 1=2. wOZXMEM RACIONALXNYE ^ISLA I TAKIE, ^TO < x0 < x < I ; < 2(x ; x0 ). tOGDA ; < 1 I POLXZUQSX SNA^ALA STROGIM WOZRASTANIEM FUNKCII ax , A ZATEM OCENKOJ (4.6.1), NAHODIM ax ; ax0 < a ; a = a (a; ; 1) < x < a 0 2(a ; 1)( ; ) < 4ax0 (a ; 1)(x ; x0 ): tAK KAK MNOVITELX 4ax0 (a ; 1) OT x NE ZAWISIT , TO POLU^ENNAQ OCENKA DOKAZYWAET NEPRERYWNOSTX FUNKCII ax W TO^KE x0 SPRAWA. 73
pRI DOKAZATELXSTWE NEPRERYWNOSTI SLEWA RASSUVDENIQ ANALOGI^NY. eSLI x < x0 I x0 ; x < 1=2, TO WYBIRAEM RACIONALXNYE ^ISLA I TAKIE, ^TO < x < x0 < I ; < 2(x0 ; x). tOGDA SPRAWEDLIWY OCENKI ax0 ; ax < a ; a = a (a; ; 1) < < ax0 2(a ; 1)( ; ) < 4ax0 (a ; 1)(x ; x0 ) POKAZYWA@]IE NEPRERYWNOSTX SLEWA. 5 . oSNOWNOE SWOJSTWO STEPENI: ax+y = ax + ay DLQ L@BYH x I y. wYBEREM TAKIE POSLEDOWATELXNOSTI RACIONALXNYH ^ISEL f g I f ng, ^TO n ! x I n ! y PRI n ! 1. tOGDA n + n ! x + ynI W SILU OSNOWNOGO SWOJSTWA STEPENI DLQ RACIONALXNYH POKAZATELEJ an +n = an an : pEREHODIM W \TOM RAWENSTWE K PREDELU PRI n ! 1 I, POLXZUQSX NEPRERYWNOSTX@ POKAZATELXNOJ FUNKCII, POLU^AEM NUVNOE RAWENSTWO. pREVDE ^EM GOWORITX O DRUGIH SWOJSTWAH POKAZATELXNOJ FUNKCII PRI a > 1, RASPROSTRANIM EE OPREDELENIE NA a < 1. eSLI 0 < a < 1, TO 1=a > 1 I POLOVIM 1 : ax := (1=a )x
tOGDA WSE SWOJSTWA 1 {5 POKAZATELXNOJ FUNKCII PERENOSQTSQ NA SLU^AJ 0 < a < 1, NO TOLXKO TEPERX FUNKCIQ ax STROGO UBYWAET . pRODOLVAEM WYQSNENIE SWOJSTW POKAZATELXNOJ FUNKCII ax . tEPERX OSNOWANIE STEPENI a | L@BOE POLOVITELXNOE ^ISLO, NE RAWNOE 1. 6 . dLQ PROIZWOLXNYH ^ISEL x I y (ax )y = axy : eSLI y | NATURALXNOE ^ISLO, TO IZ OSNOWNOGO SWOJSTWA STEPENI POLU^AEM (ax )y = a| x ax{z ax} = axy : y
oTS@DA NAHODIM, ^TO ESLI q | NATURALXNOE ^ISLO, TO (ax=q )q = a(x=q)q = ax I, IZWLEKAQ KORENX STEPENI q, WIDIM, ^TO ax=q = (ax )1=q , T.E. SWOJ STWO 6 DOKAZANO DLQ ^ISEL y WIDA 1=q. 74
pUSTX TEPERX y = p=q, GDE p I q | NATURALXNYE ^ISLA. tOGDA W SILU UVE DOKAZANNOGO IMEEM (ax )p=q = (ax )p(1=q) = (axp )1=q = ax(p=q) A ESLI y = ;p=q, GDE p I q | NATURALXNYE ^ISLA, TO
(ax );p=q = x1p=q = x(1p=q) = a;x(p=q) (a ) a I, ZNA^IT, SWOJSTWO 6 DOKAZANO DLQ RACIONALXNYH y. tEPERX, ESLI y IRRACIONALXNO, WYBIRAEM POSLEDOWATELXNOSTX RACIONALXNYH ^ISEL n , SHODQ]U@SQ K y. tOGDA PO UVE DOKAZAN-
NOMU
(ax )n = axn
I, POLXZUQSX NEPRERYWNOSTX@ POKAZATELXNOJ FUNKCII, PEREHODIM0 W \TOM RAWENSTWE K PREDELU PRI n ! 1. tAK POLU^AEM SWOJSTWO 6 : W POLNOM OB_EME. 70 : (ab)x = ax bx DLQ L@BYH POLOVITELXNYH a I b I L@BOGO x. dLQ DOKAZATELXSTWA DOSTATO^NO WZQTX POSLEDOWATELXNOSTX RACIONALXNYH ^ISEL fng, SHODQ]U@SQ K x, I PEREJTI K PREDELU W RAWENSTWE (ab)n = an bn . x pODWEDEM ITOG. sTEPENX a , a > 0, OPREDELENA DLQ WSEH x 2 R I POKAZATELXNAQ FUNKCIQ ax OBLADAET WSEMI SWOJSTWAMI, KOTORYE BYLI IZWESTNY IZ KOLXNOGO KURSA DLQ RACIONALXNYH x. kROME TOGO, POKAZATELXNAQ FUNKCIQ NEPRERYWNA NA WSEJ OSI. nA RISUNKE IZOBRAVENY GRAFIKI FUNKCII ax PRI a > 1, a < 1, A TAKVE PRI a = 1, KOTORYJ PRIWEDEN DLQ POLNOTY KARTINY. y
a>1 1
a=1 a 0 I a 6= 1, STROGO MONOTONNA I NEPRERYWNA NA WSEJ OSI, A OBLASTX 75
EE ZNA^ENIJ | POLUOSX (0 +1), TO NA (0 +1) MOVNO OPREDELITX OBRATNU@ FUNKCI@, KOTORU@ NAZYWA@T LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCIEJ PO OSNOWANI@ a I OBOZNA^A@T x = loga y. wYQSNIM SWOJSTWA LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII, PRI^EM NEZAWISIMU@ PEREMENNU@, BUDEM, KAK OBY^NO, OBOZNA^ATX x, A ZAWISIMU@ y, T.E. BUDEM GOWORITX O FUNKCII y = loga x. u^ITYWAQ HARAKTER MONOTONNOSTI FUNKCII ax , WIDIM, ^TO FUNKCIQ loga x PRI a > 1 STROGO WOZRASTAET OT ;1 DO +1, A PRI 0 < a < 1 STROGO UBYWAET OT +1 DO ;1. gRAFIK LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII IMEET WID: y a>1
O
x
1 0 0 I a | PROIZWOLXNOE ^ISLO, NAZYWA@T STEPENNOJ FUNKCIEJ. sTEPENNU@ FUNKCI@ MOVNO PREDSTAWITX KAK SLOVNU@ FUNKCI@
a
xa = eln x = ea ln x :
oTS@DA W SILU TEOREMY O NEPRERYWNOSTI SLOVNOJ FUNKCII WYTEKAET NEPRERYWNOSTX STEPENNOJ FUNKCII, TAK KAK NEPRERYWNOSTX LOGARIFMI^ESKOJ I POKAZATELXNOJ FUNKCIJ IZWESTNY. pRI a > 0 STEPENNU@ FUNKCI@ DOOPREDELQ@T W NULE, POLAGAQ 0a := 0. tOGDA FUNKCIQ y = xa STANOWITSQ NEPRERYWNOJ NA 0 +1). nA RISUNKE IZOBRAVENY GRAFIKI STEPENNOJ FUNKCII PRI RAZLI^NYH ZNA^ENIQH POKAZATELQ a. eSLI a | CELOE ^ISLO, TO FUNKCI@ xa MOVNO RASSMATRIWATX I DLQ OTRICATELXNYH ZNA^ENIJ x. pRI \TOM POLAGA@T x0 1 PRI WSEH x, W TOM ^ISLE I PRI x = 0. dLQ CELYH ZNA^ENIJ POKAZATELQ a STEPENNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ ^ETNOJ ILI NE^ETNOJ W ZAWISIMOSTI OT ^ETNOSTI ILI NE^ETNOSTI a. eSLI a | NE^ETNOE ^ISLO, TO FUNKCIQ xa OBRATIMA DLQ WSEH x PRI POLOVITELXNYH a I OBRATIMA DLQ WSEH x 6= 0 PRI OTRICATELXNYH a. tRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII. oPREDELENIE TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ IZWESTNO IZ KOLXNOGO KURSA. dOKAVEM IH NEPRERYWNOSTX. 77
y
a>1 a=1
0 1+ 1 1 (1+x)1=x > 1+ 1=x 1+ 1=x] + 1 1=x] + 1 : pRI x ! +0 PREDEL POLU^ENNOGO WYRAVENIQ TAKVE RAWEN e I, TAKIM OBRAZOM, W SILU TEOREMY 3.3.4 RAWENSTWO (4.8.3) DOKAZANO DLQ x ! +0. pUSTX TEPERX x < 0. tOGDA 1=jxj 1=jxj (1 + x)1=x = (1 ; jxj);1=jxj = 1 ;1 jxj = 1 + 1 ;jxjjxj =
1=x
=
1 + 1 ;jxjjxj
nO ESLI x ! 0, TO
;jxj jxj
1
1 + 1 ;jxjjxj :
jxj
1 ; jxj ! 0:
pO\TOMU W SILU DOKAZANNOGO UVE RAWENSTWA (4.8.3) DLQ x > 0 POLU^AEM, ^TO ONO IMEET MESTO I DLQ x < 0. 3 . pUSTX a > 0 I a 6= 1. nAJDEM PREDEL lim loga (1x + x) : x!0 82
pOLXZUQSX NEPRERYWNOSTX@ LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII I RAWENSTWOM (4.8.3), POLU^AEM 1=x lim loga (1x + x) = xlim !0 loga (1 + x) = x!0 ; = loga xlim (1 + x)1=x = loga e = ln1a : !0 tAKIM OBRAZOM, (4.8.4) lim loga (1x + x) = ln1a x!0 W ^ASTNOSTI, lim ln(1x+ x) = 1: (4.8.5) x!0 4 . wY^ISLIM PREDEL ax ; 1 lim x!0 x DLQ a > 0 I a 6=x 1. pOLOVIM a ; 1 = t. tOGDA ax = 1 + t I x = loga (1 + t). zNA^IT, t ax ; 1 = x loga (1 + t) : w SILU NEPRERYWNOSTI POKAZATELXNOJ FUNKCII t ! 0 PRI x ! 0. pO\TOMU, POLXZUQSX RAWENSTWOM (4.8.4), NAHODIM ax ; 1 = ln a: lim (4.8.6) x!0 x w ^ASTNOSTI, ex ; 1 = 1: lim (4.8.7) x!0 x
gLAWA
5
proizwodnye i differencialy x pROIZWODNAQ 5.1.
pUSTX FUNKCIQ y = f (x) OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . pRIDADIM ARGUMENTU x0 DOSTATO^NO MALOE PRIRA]ENIE 83
x, ^TOBY NE WYJTI IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII, I RASSMOTRIM PRIRA]ENIE FUNKCII f , SOOTWETSTWU@]EE \TOMU PRIRA]ENI@ ARGUMENTA: y = f := f (x0 + x) ; f (x0 ): sOSTAWIM OTNOENIE PRIRA]ENIQ FUNKCII K PRIRA]ENI@ ARGU-
MENTA I POSTAWIM WOPROS O SU]ESTWOWANII PREDELA \TOGO OTNOENIQ PRI x ! 0. oPREDELENIE. eSLI SU]ESTWUET PREDEL lim y (5.1.1)
x!0 x TO ZNA^ENIE \TOGO PREDELA NAZYWA@T PROIZWODNOJ FUNKCII f W TO^KE x0 , OBOZNA^A@T f 0(x0 ) I GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x0 PROIZWODNU@. tEOREMA 5.1.1. eSLI FUNKCIQ f W NEKOTOROJ TO^KE IMEET PROIZWODNU@, TO f NEPRERYWNA W \TOJ TO^KE. dOKAZATELXSTWO. iZ SU]ESTWOWANIQ PREDELA (5.1.1) SLEDUET, ^TO W DOSTATO^NO MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 SPRAWEDLIWO RAWENSTWO y 0 (5.1.2) x = f (x0 ) + "( x) GDE "( x) | NEKOTORAQ FUNKCIQ OT x TAKAQ, ^TO lim "( x) = 0: (5.1.3)
x!0 w SILU (5.1.2)
y = f 0 (x0 ) x + "( x) x:
pRI x ! 0 WYRAVENIE IZ PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA STREMITSQ K NUL@, T.E. y ! 0, A \TO OZNA^AET NEPRERYWNOSTX FUNKCII f W TO^KE x0 . tEOREMA DOKAZANA. tAKIM OBRAZOM, NEOBHODIMYM USLOWIEM SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ FUNKCII W TO^KE QWLQETSQ NEPRERYWNOSTX FUNKCII W \TOJ TO^KE. nO \TO USLOWIE NE QWLQETSQ DOSTATO^NYM. w SAMOM DELE, PUSTX y := jxj. tOGDA DLQ PRIRA]ENIQ FUNKCII W NULE SPRAWEDLIWO RAWENSTWO y = j xj I, SLEDOWATELXNO, ( y = 1 ESLI x > 0 (5.1.4) x ;1 ESLI x < 0: 84
zNA^IT, FUNKCIQ jxj NE IMEET PROIZWODNOJ W NULE, HOTQ ONA I NEPRERYWNA WS@DU. zAMETIM, ^TO W DANNOM PRIMERE SU]ESTWU@T ODNOSTORONNIE PREDELY OTNOENIQ PRIRA]ENIQ FUNKCII K PRIRA]ENI@ ARGUMENTA (5.1.4). w TAKIH SLU^AQH GOWORQT OB ODNOSTORONNIH PROIZWODNYH. oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f OPREDELENA W NEKOTOROJ PRAWOJ OKRESTNOSTI TO^KI x. eSLI SU]ESTWUET ODNOSTORONNIJ PREDEL y lim (5.1.5)
x!+0 x TO GOWORQT, ^TO0 FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x PRAWU@ ODNOSTORONN@@ PROIZWODNU@ f+ (x), RAWNU@ ZNA^ENI@ PREDELA (5.1.5). eSLI FUNKCIQ f OREDELENA W NEKOTOROJ LEWOJ OKRESTNOSTI TO^KI x I SU]ESTWUET ODNOSTORONNIJ PREDEL (5.1.6) lim y
x!;0 x TO GOWORQT, ^TO0 FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x LEWU@ ODNOSTORONN@@ PROIZWODNU@ f; (x), RAWNU@ ZNA^ENI@ \TOGO PREDELA. sLOWO \ODNOSTORONN@@" ZDESX ^ASTO OPUSKA@T I GOWORQT O PRAWOJ PROIZWODNOJ ILI PROIZWODNOJ SPRAWA, SOOTWETSTWENNO, LEWOJ PROIZWODNOJ I PROIZWODNOJ SLEWA. tAKIM OBRAZOM, DLQ FUNKCII f (x) = jxj IMEEM f+0 (0) = 1 I f;0 (0) = ;1. pRIWEDEM PRIMER FUNKCII, NEPRERYWNOJ WS@DU, NO NE IME@]EJ W NEKOTOROJ TO^KE ODNOSTORONNIH PROIZWODNYH. pUSTX ( 1 x 6= 0 f (x) := 0x sin x PRI PRI x = 0: tAK KAK jf (x)j 6 jxj, TO FUNKCIQ f NEPRERYWNA W NULE, A EE NEPRERYWNOSTX W OSTALXNYH TO^KAH O^EWIDNA. dLQ PRIRA]ENIQ f W NULE IMEEM f = x sin 1x : zNA^IT, f = sin 1 x x I U FUNKCII f W NULE NE SU]ESTWU@T NE TOLXKO PROIZWODNAQ, NO I ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE. 85
wYWEDEM PRAWILA WY^ISLENIQ PROIZWODNYH. pUSTX FUNKCII u(x) I v(x) IME@T PROIZWODNYE W TO^KE x. tAK KAK \TI FUNKCII OPREDELENY W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x, TO PRAWOMEREN WOPROS O SU]ESTWOWANII PROIZWODNYH FUNKCIJ, POLU^ENNYH W REZULXTATE ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIJ NAD FUNKCIQMI u(x) I v(x). tEOREMA 5.1.2. pUSTX W NEKOTOROJ TO^KE x FUNKCII u I v IME@T PROIZWODNYE. tOGDA W \TOJ TO^KE SU]ESTWU@T SLEDU@]IE PROIZWODNYE I WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA: 1 . (u(x) + v(x))0 = u0 (x) + v0 (x). 2 . (u(x) ; v(x))0 = u0 (x) ; v0 (x). 3 . (u(x) v(x))0 = u0 (x) v(x) + u(x) v0 (x). 4 . eSLI v(x) 6= 0, TO u(x) 0 = u0 (x) v(x) ; u(x) v0 (x) : v(x) v2 (x) dOKAZATELXSTWO. 1 . iMEEM (u + v) = u(x + x) + v(x + x) ; (u(x) + v(x)) = u + v: pO\TOMU (u + v) = u + v : x x x dROBI W PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA IME@T PREDELY PRI x ! 0, PO\TOMU u + lim v = u0 (x) + v0 (x): v) lim (u + x!0 x x!0 x
x!0 x = lim dOKAZATELXSTWO SWOJSTWA 2 ANALOGI^NO. 3 . iMEEM (uv) = u(x + x)v(x + x) ; u(x)v(x): tAK KAK u = u(x + x) ; u(x), TO u(x + x) = u(x) + u. pO\TOMU (u v) = (u(x) + u)(v(x) + v) ; u(x) v(x) = = u v(x) + u(x) v + u v I, TAKIM OBRAZOM, (uv) = u v(x) + u(x) v + u v: x x x x 86
kAVDOE SLAGAEMOE, STOQ]EE W \TOM RAWENSTWE SPRAWA, PRI x ! 0 IMEET PREDEL, PRI^EM v ! 0 W SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII v. zNA^IT, (u v) = u0 (x) v(x) + u(x) v0 (x): lim
x!0 x
4 . sNA^ALA RASSMOTRIM ^ASTNYJ SLU^AJ, KOGDA u(x) 1, T.E. POLU^IM FORMULU DLQ PROIZWODNOJ DROBI 1=v(x). tAK KAK FUNKCIQ v W TO^KE x NEPRERYWNA I v(x) 6= 0, TO v NE OBRA]AETSQ W NULX W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x. pO\TOMU DLQ DOSTATO^NO MALYH PRIRA]ENIJ x IMEEM v1 = v(x +1 x) ; v(1x) = v(vx(x) ;+ v (xx)+v( xx) ) = v(x +; xv) v(x) : oTS@DA v : 1v : x = ; v(x + 1x) v(x) x wYRAVENIE IZ PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA IMEET PREDEL PRI x ! 0. zNA^IT, SU]ESTWUET PREDEL WYRAVENIQ IZ LEWOJ ^ASTI I, TAKIM OBRAZOM, 0 1 = ; v0 : v v2
tEPERX S POMO]X@ FORMULY DLQ PROIZWODNOJ PROIZWEDENIQ POLU^IM FORMULU DLQ PROIZWODNOJ ^ASTNOGO W OB]EM SLU^AE: u(x) 0 = u(x) 1 0 = u0(x) 1 ; u(x) v0 (x) v(x) v(x) v(x) v2 (x) I OSTALOSX TOLXKO PRIWESTI POLU^ENNYE DROBI K OB]EMU ZNAMENATEL@. tEOREMA DOKAZANA. wYWEDEM FORMULY DLQ PROIZWODNYH NEKOTORYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ. 1 . eSLI FUNKCIQ f RAWNA KONSTANTE, T.E. DLQ WSEH x PRINIMAET ODNO I TO VE ZNA^ENIE C , TO f = 0 I, TAKIM OBRAZOM, C 0 = 0. pO\TOMU DLQ PROIZWOLXNOJ FUNKCII u, IME@]EJ W TO^KE x PROIZWODNU@, S POMO]X@ FORMULY PROIZWODNOJ PROIZWEDENIQ POLU^AEM (Cu(x))0 = Cu0 (x): 87
kONE^NO, \TO LEGKO BYLO POLU^ITX I NEPOSREDSTWENNO, RASSMATRIWAQ PRIRA]ENIE FUNKCII Cu(x). 2 . rASSMOTRIM STEPENNU@ FUNKCI@ S CELYM POKAZATELEM, T.E. FUNKCI@ f (x) = xn , GDE n | CELOE ^ISLO. pOKAVEM, ^TO (xn )0 = nxn;1 (5.1.7) GDE x | L@BOE, ESLI n > 1, I x | L@BOE NERAWNOE NUL@ ^ISLO, ESLI n < 0. sNA^ALA USTANOWIM FORMULU DLQ NATURALXNYH n, PROWEDQ INDUKCI@ PO n. pRI n = 1 IMEEM f = x, OTKUDA SLEDUET, ^TO x0 = 1. bUDEM TEPERX S^ITATX FORMULU (5.1.7) DOKAZANNOJ DLQ POKAZATELQ n I DOKAVEM EE DLQ POKAZATELQ n + 1. pO FORMULE PROIZWODNOJ PROIZWEDENIQ IMEEM (xn+1 )0 = (x xn )0 = xn + x nxn;1 = (n + 1)xn : tAKIM OBRAZOM, RAWENSTWO (5.1.7) USTANOWLENO DLQ WSEH NATURALXNYH n. rASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA n | CELOE OTRICATELXNOE ^ISLO. pOLOVIM m := ;n. tOGDA m > 0 I DLQ x 6= 0 xn = x1m :
pO FORMULE PROIZWODNOJ ^ASTNOGO IMEEM 0 m0 m;1 ;m;1 = nxn;1 (xn )0 = x1m = ; (xx2m) = ; mx x2m = ;mx
I RAWENSTWO (5.1.7) DLQ CELYH OTRICATELXNYH POKAZATELEJ DOKAZANO. tAK KAK PO OPREDELENI@ STEPENNOJ FUNKCII S NULEWYM POKAZATELEM x0 1, TO (x0 )0 = 0. pO\TOMU MOVNO S^ITATX, ^TO FORMULA (5.1.7) IMEET MESTO I PRI n = 0, ESLI USLOWITXSQ, ^TO W \TOM SLU^AE PRAWAQ ^ASTX W (5.1.7) RAWNA NUL@. w DALXNEJEM BUDET POKAZANO, ^TO RAWENSTWO (5.1.7) IMEET MESTO DLQ L@BYH, A NE TOLXKO CELYH POKAZATELEJ n. 3 . nAJDEM PROIZWODNU@ POKAZATELXNOJ FUNKCII y = ax . tAK KAK y = ax+ x ; ax = ax a x ; 1 x x x 88
TO W SILU (4.8.6) IMEEM y = ax lim a x ; 1 = ax ln a: lim
x!0
x!0 x x tAKIM OBRAZOM, (ax )0 = ax ln a ;1 < x < 1: (5.1.8) w ^ASTNOSTI, ESLI a = e, TO (ex )0 = ex: (5.1.9) 4 . nAJDEM PROIZWODNU@ LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII y = loga x. pREOBRAZUEM PRIRA]ENIE FUNKCII, ^TOBY BYLO UDOBNO WOSPOLXZOWATXSQ PREDELOM (4.8.4). iMEEM x y = loga (x + x) ; loga x = loga 1 + x : pO\TOMU y = 1 log 1 + x = 1 log 1 + x 1 x x a x ( x)=x a x x OTKUDA W SILU (4.8.4) POLU^AEM w ^ASTNOSTI,
(loga x)0 = loga e x1 = x ln1 a :
(5.1.10)
(ln x)0 = x1 :
(5.1.11)
rAWENSTWA (5.1.10) I (5.1.11) IME@T MESTO DLQ WSEH x > 0. 5 . nAJDEM PROIZWODNYE TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ. pUSTX y = sin x. tOGDA x x y = sin(x + x) ; sin x = 2 sin cos x + : 2
2
oTS@DA, POLXZUQSX FORMULOJ (4.8.2) I NEPRERYWNOSTX@ FUNKCII cos x, NAHODIM y 2 x x lim = lim sin 2 cos x + 2 = cos x:
x!0 x x!0 x 89
tAKIM OBRAZOM, (sin x)0 = cos x:
(5.1.12)
aNALOGI^NO WY^ISLQETSQ PROIZWODNAQ FUNKCII y = cos x: y = cos(x + x) ; cos x = 2 sin ; 2x ZNA^IT,
y = lim 2 sin lim
x!0 x
x!0 x
iTAK,
; 2x sin
(cos x)0 = ; sin x:
sin x + 2x
x + 2x = ; sin x:
(5.1.13)
rAWENSTWA (5.1.12) I (5.1.13) IME@T MESTO DLQ WSEH x. pROIZWODNYE TANGENSA I KOTANGENSA NAHODIM, POLXZUQSX FORMULOJ PROIZWODNOJ ^ASTNOGO I PROIZWODNYMI SINUSA I KOSINUSA: sin x 0 = cos x cos x ; sin x (; sin x) = 1 (tg x)0 = cos x cos2 x cos2 x (5.1.14) 0 x ; sin x sin x ; cos x cos x = ; 1 : (ctg x)0 = cos sin x = sin2 x sin2 x (5.1.15)
kAVDAQ IZ FORMUL (5.1.14) I (5.1.15) SPRAWEDLIWA DLQ WSEH x, PRI KOTORYH OPREDELENY TANGENS I, SOOTWETSTWENNO, KOTANGENS. wY^ISLENIE PROIZWODNYH DRUGIH \LEMENTARNYH FUNKCIJ TREBUET ZNANIQ SWOJSTW PROIZWODNYH, KOTORYE BUDUT USTANOWLENY POZDNEE. w OPREDELENII PROIZWODNOJ PREDEL (5.1.1) S^ITA@T KONE^NYM. nO INOGDA NUVNO RASSMATRIWATX I SLU^AI, KOGDA \TOT PREDEL RAWEN +1 ILI ;1. tOGDA GOWORQT O SOOTWETSTWU@]EJ BESKONE^NOJ PROIZWODNOJ. kAK I DLQ PREDELOW FUNKCII, ESLI NE SKAZANO, ^TO PROIZWODNAQ MOVET BYTX BESKONE^NOJ, TO S^ITA@T, ^TO \TA PROIZWODNAQ KONE^NA. 90
x 5.2.
dIFFERENCIAL FUNKCII
oPREDELENIE pUSTX FUNKCIQ y = f (x) OPREDELENA W NEKOTOROJ .
OKRESTNOSTI TO^KI x. eSLI PRIRA]ENIE FUNKCII f W \TOJ TO^KE MOVET BYTX PREDSTAWLENO W WIDE y = A x + o( x) x ! 0 (5.2.1) GDE A | NEKOTOROE ^ISLO, TO GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x. iNOGDA NUVNO RASSMATRIWATX PRIRA]ENIE y I PRI x = 0. w \TOM SLU^AE S^ITA@T, ^TO PRI x = 0 OSTATO^NYJ ^LEN W FORMULE (5.2.1) RAWEN NUL@. tEOREMA 5.2.1. dLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ y = f (x) BYLA DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x0 , NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY f IMELA W \TOJ TO^KE PROIZWODNU@. eSLI \TO USLOWIE WYPOLNENO, TO y = f 0 (x0 ) x + o( x) x ! 0: (5.2.2)
dOKAZATELXSTWO. pRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY 5.1.1 MY WIDELI, ^TO IZ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ FUNKCII f W TO^KE x SLEDUET OCENKA (5.1.2), KOTORU@ W SILU (5.1.3) MOVNO ZAPISATX KAK (5.2.2). oTS@DA SLEDUET DOSTATO^NOSTX W TEOREME 5.2.1. ~TOBY DOKAZATX NEOBHODIMOSTX, RAZDELIM OBE ^ASTI (5.2.1) NA x: y x = A + o(1) x ! 0: |TO SOOTNOENIE OZNA^AET, ^TO FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x PROIZWODNU@, RAWNU@ A, T.E. IZ (5.2.1) SLEDUET (5.2.2). tEOREMA DOKAZANA. tAKIM OBRAZOM, RAWNOSILXNY UTWERVDENIQ, ^TO FUNKCIQ IMEET W NEKOTOROJ TO^KE PROIZWODNU@ I ^TO FUNKCIQ DIFFERENCIRUEMA W \TOJ TO^KE. eSLI DLQ PRIRA]ENIQ FUNKCII f IMEET MESTO PREDSTAWLENIE (5.2.1), TO SLAGAEMOE A x NAZYWA@T LINEJNOJ ^ASTX@ PRIRA]ENIQ FUNKCII f . oPREDELENIE. eSLI FUNKCIQ f (x) DIFFERENCIRUEMA W TO^KE, TO LINEJNU@ ^ASTX PRIRA]ENIQ FUNKCII NAZYWA@T DIFFERENCIALOM FUNKCII W \TOJ TO^KE I OBOZNA^A@T df ILI df (x). tAKIM OBRAZOM, df (x) := f 0 (x) x: (5.2.3) 91
pOD^ERKNEM, ^TO ZDESX RE^X IDET O DIFFERENCIALE FUNKCII f KAK FUNKCII ARGUMENTA x. w OB]EM SLU^AE dy 6= y, TAK KAK W SILU (5.2.2) PRIRA]ENIE y IMEET E]E SLAGAEMOE o( x). dLQ EDINOOBRAZIQ OBOZNA^ENIJ NARQDU S DIFFERENCIALOM FUNKCII WWODQT DIFFERENCIAL NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ, POLAGAQ PO OPREDELENI@ dx := x. eSLI ISPOLXZOWATX DIFFERENCIAL NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ, TO DIFFERENCIAL FUNKCII dy MOVNO ZAPISATX TAK: dy = f 0 (x) dx, OTKUDA dy : (5.2.4) f 0 (x) = dx sLEDOWATELXNO, PROIZWODNAQ RAWNA OTNOENI@ DIFFERENCIALA FUNKCII K DIFFERENCIALU NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ. iNOGDA RAWENSTWO (5.2.4) RASSMATRIWA@T PROSTO KAK DRUGOE OBOZNA^ENIE PROIZWODNOJ. dLQ DIFFERENCIALOW SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE FORMULY: d(u v) = du dv (5.2.5) d(u v) = u dv + v du (5.2.6) I, ESLI v(x) 6= 0, TO d uv = v du v;2 u dv : (5.2.7) wO WSEH \TIH RAWENSTWAH PREDPOLAGAETSQ, ^TO FUNKCII u I v DIFFERENCIRUEMY W NEKOTOROJ TO^KE, I UTWERVDAETSQ SU]ESTWOWANIE W \TOJ TO^KE DIFFERENCIALOW FUNKCIJ, POLU^ENNYH IZ u I v S POMO]X@ ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIJ, I DA@TSQ WYRAVENIQ DLQ \TIH DIFFERENCIALOW. dOKAZATELXSTWO RAWENSTW (5.2.5){(5.2.7) PROWODITSQ ODNOTIPNO. nAPRIMER, W SILU (5.2.3) I FORMULY DLQ PROIZWODNOJ PROIZWEDENIQ IMEEM d(u v) = (u v)0 dx = u0 vdx + u v0 dx = du v + u dv: wYQSNIM GEOMETRI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ I DIFFERENCIALA. sNA^ALA RASSMOTRIM, KAKOMU SWOJSTWU GRAFIKA FUNKCII SOOTWETSTWUET SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ. pUSTX FUNKCIQ f NEPRERYWNA W TO^KE x0 . bUDEM PRIDAWATX ARGUMENTU x0 TAKIE PRIRA]ENIQ x, ^TOBY TO^KI x0 + x NE WYHODILI ZA OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII f . 92
oTMETIM NA GRAFIKE FUNKCII f TO^KI A(x0 f (x0 )) I B (x0 + x f (x0 + x)) I PROWEDEM ^EREZ \TI TO^KI PRQMU@. pUSTX | UGOL, KOTORYJ OBRAZUET PRQMAQ AB S OSX@ ABSCISS OX . uGOL S^ITAEM POLOVITELXNNYM, ESLI PRQMAQ AB PRAWEE TO^KI PERESE^ENIQ S OSX@ OX LEVIT WYE OSI, A W PROTIWNOM SLU^AE S^ITAEM OTRICATELXNYM. eSLI PRQMAQ AB PARALLELXNA OSI ABSCISS OX , TO POLAGAEM = 0. y
y =f (x) B Δy
A
α Δx
α x0
x0+Δx
x
tAK KAK y = f (x0 + x)) ; f (x0 ), TO IZ RISUNKA WIDNO, ^TO y (5.2.8) x = tg : w SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII f W TO^KE x0 TO^KA B GRAFIKA FUNKCII PRI x ! 0 NEOGRANI^ENNO PRIBLIVAETSQ K TO^KE A. pRI \TOM ZNA^ENIE UGLA ZAWISIT OT x. rAWENSTWO (5.2.8) POKAZYWAET, ^TO SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ FUNKCII f W TO^KE x0 RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ PREDELA tg PRI x ! 0. tAK KAK TANGENS QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ, TO SU]ESTWOWANIE PREDELA tg RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ PREDELXNOGO ZNA^ENIQ UGLA , KOTOROE OBOZNA^IM 0 . a \TO W SWO@ O^EREDX OZNA^AET, ^TO PRI x ! 0 SEKU]AQ AB ZANIMAET PREDELXNOE POLOVENIE, SOOTWETSTWU@]EE UGLU NAKLONA 0 . pRQMU@, POLU^ENNU@ KAK PREDELXNOE POLOVENIE SEKU]EJ, NAZYWA@T KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII f (x) W TO^KE x0 . pRI \TOM f 0(x0 ) = tg 0 : iTAK, SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII, KAK PREDELXNOGO POLOVENIQ SEKU]EJ, A ZNA^ENIE PROIZWODNOJ RAWNO TANGENSU UGLA NAKLONA KASATELXNOJ. zAMETIM, ^TO W \TIH RASSUVDENIQH MOVNO BYLO IMETX W WIDU ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE. 93
fIZI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ | \TO SKOROSTX IZMENENIQ ZAWISIMOJ PEREMENNOJ y KAK FUNKCII NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x. eSLI y | PUTX, PROJDENNYJ TO^KOJ PRI DWIVENII PO PRQMOJ, A x | WREMQ, TO PROIZWODNAQ | \TO SKOROSTX DWIVENIQ. w FIZIKE PROIZWODNU@ NAZYWA@T MGNOWENNOJ SKOROSTX@ W OTLI^IE OT SREDNEJ SKOROSTI ZA OPREDELENNYJ PROMEVUTOK WREMENI, KOTORAQ RAWNA OTNOENI@ PRIRA]ENIQ FUNKCII K PRIRA]ENI@ ARGUMETNA. wOOB]E, ESLI FUNKCIQ OPISYWAET NEKOTORYJ PROCESS, TO PROIZWODNAQ HARAKTERIZUET MGNOWENNU@ SKOROSTX PROTEKANIQ \TOGO PROCESSA. dIFFERENCIAL FUNKCII RAWEN PRIRA]ENI@ ORDINATY KASATELXNOJ PRI ZADANNOM x. tAKIM OBRAZOM, DIFFERENCIAL | \TO LINEJNAQ FUNKCIQ, GRAFIKOM KOTOROJ QWLQETSQ KASATELXNAQ. dIFFERENIAL POKAZYWAET, KAK MENQLASX BY FUNKCIQ, ESLI W TE^ENIE WSEGO WREMENI IZMENENIE FUNKCII PROHODILO BY S TOJ VE SKOROSTX@, ^TO I DANNYJ MOMENT. pRIMENENIE DIFFERENCIALOW OPIRAETSQ NA TO, ^TO \W MALOM", T.E. PRI DOSTATO^NO MALYH x, PRIRA]ENIE FUNKCII NEZNA^ITELXNO OTLI^AETSQ OT PRIRA]ENIQ LINEJNOJ FUNKCII, T.E. OT DIFFERENCIALA I, ZNA^IT, DIFFERENCIAL DAET HOROEE PRIBLIVENIE DLQ PRIRA]ENIQ FUNKCII. x 5.3.
pROIZWODNAQ OBRATNOJ FUNKCII
pUSTX NA INTERWALE (a b) ZADANA NEPRERYWNAQ STROGO MONOTONNAQ FUNKCIQ y = f (x). oBOZNA^IM ^EREZ (A B ) OBRAZ INTERWALA (a b) PRI OTOBRAVENII, OSU]ESTWLQEMOM FUNKCIEJ f . tOGDA SOGLASNO TEOREME 4.5.2 NA (A B ) OPREDELENA NEPRERYWNAQ STROGO MONOTONNAQ OBRATNAQ FUNKCIQ x = '(y). wYQSNIM, KAK SWQZANY DIFFERENCIRUEMOSTX ISHODNOJ FUNKCII f W TO^KE x0 I DIFFERENCIRUEMOSTX OBRATNOJ FUNKCII ' W TO^KE y0 := f (x0 ). bUDEM RASSMATRIWATX TAKIE PRIRA]ENIQ ARGUMENTA x, PRI KOTORYH TO^KI x0 + x PRINADLEVAT INTERWALU (a b). tOGDA W SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII f W TO^KE x0 IZ x ! 0 SLEDUET y = f (x0 + x) ; f (x0 ) ! 0. eSLI ARGUMENTU y OBRATNOJ FUNKCII '(y) DAWATX TAKIE PRIRA]ENIQ, PRI KOTORYH TO^KI y0 + y NE WYHODQT ZA PREDELY INTERWALA (A B ), TO DLQ PRIRA]ENIJ x, KOTORYE BUDET POLU^ATX FUNKCIQ ', W SILU NEPRERYWNOSTI OBRATNOJ FUNKCII POLU^IM, ^TO IZ y ! 0 SLEDUET x ! 0. 94
tAKIM OBRAZOM, W NAEM SLU^AE USLOWIQ x ! 0 I y ! 0 RAWNOSILXNY. pREDPOLOVIM, ^TO SU]ESTWUET PROIZWODNAQ f 0 (x0 ), I RASSMOTRIM WOPROS O SU]ESTWOWANII PROIZWODNOJ '0 (y0 ). pRI DOSTATO^NO MALYH PRIRA]ENIQH ARGUMENTA y FUNKCIQ ' POLU^AET PRIRA]ENIE x = '(y0 + y) ; '(y0 ) I SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ '0 (y0 ) RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ PREDELA lim x :
y !0 y tAK KAK FUNKCIQ ' STROGO MONOTONNA, TO IZ y 6= 0 SLEDUET x 6= 0. pO\TOMU x = 1 : y : (5.3.1) y x eSLI f 0 (x0 ) 6= 0, TO POLXZUQSX RAWNOSILXNOSTX@ USLOWIJ y ! 0 I x ! 0, IZ (5.3.1) NAHODIM 1 x = lim 1 : y = lim = 1 :
x!0
y !0 y x lim x!0
xy f 0 (x0 ) tAKIM OBRAZOM, DOKAZANO SLEDU@]EE UTWERVDENIE. tEOREMA 5.3.1. eSLI NEPRERYWNAQ FUNKCIQ f (x) STROGO MONOTONNA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , IMEET W \TOJ TO^KE PROIZWODNU@ I f 0(x0 ) 6= 0, TO OBRATNAQ FUNKCIQ '(y) IMEET W TO^KE y0 = f (x0 ) PROIZWODNU@ I SPRAWEDLIWO RAWENSTWO '0 (y0 ) = f 0 (1x ) : 0
(5.3.2)
eSLI f 0 (x0 ) = 0, TO FORMULA (5.3.2) NE IMEET SMYSLA. wYQSNIM, ^TO MOVNO SKAZATX O PROIZWODNRJ OBRATNOJ FUNKCII W \TOM SLU^AE. eSLI FUNKCIQ f STROGO WOZRASTAET, TO PRIRA]ENIQ y I x IME@T ODINAKOWYE ZNAKI. pO\TOMU IH OTNOENIE POLOVITELXNO I, PEREHODQ W (5.3.1) K PREDELU PRI y ! 0 (ILI, ^TO TO VE SAMOE, PRI x ! 0), WIDIM, ^TO 1 = + 1: lim x = lim
y !0 y x!0 y= x a ESLI FUNKCIQ f STROGO UBYWAET, TO OTNOENIE PRIRA]ENIJ y I x OTRICATELXNO. zNA^IT, W \TOM SLU^AE x = ;1: lim
y !0 y 95
tAKIM OBRAZOM, MOVNO S^ITATX, ^TO FORMULA (5.3.2) IMEET MESTO I PRI f 0(x0 ) = 0, ESLI DOGOWORITXSQ, ^TO W 0\TOM SLU^AE ONA OZNA^AET SU]ESTWOWANIE BESKONE^NOJ PROIZWODNOJ ' (y0 ), RAWNOJ +1 ILI ;1 W ZAWISIMOSTI OT TOGO, WOZRASTAET ILI UBYWAET FUNKCIQ f . w SOOTWETSTWII S \TIM S^ITA@T, ^TO ESLI SU]ESTWUET ODNA IZ PROIZWODNYH f 0 (x0 ) ILI '0 (y0 ), KONE^NAQ ILI BESKONE^NAQ, TO SU]ESTWUET I WTORAQ I IH ZNA^ENIQ SWQZANY SOOTNOENIEM (5.3.2). wOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ PROIZWODNOJ OBRATNOJ FUNKCII DLQ WY^ISLENIQ PROIZWODNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ. zAMETIM, ^TO TAK KAK POKAZATELXNAQ FUNKCIQ y = ax I LOGARIFMI^ESKAQ FUNKCIQ y = loga x QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI, TO FORMULU DLQ PROIZWODNOJ ODNOJ IH \TIH FUNKCIJ MOVNO POLU^ITX IZ FORMULY DLQ DRUGOJ FUNKCII. pOLU^IM, NAPRIMER, IZ RAWENSTWA (ax )0 = ax ln a FORMULU DLQ PROIZWODNOJ LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII. eSLI y = loga x, TO x = ay . pO\TOMU SOGLASNO (5.3.2) IMEEM (loga x)0 = (a1y )0 = ay 1ln a = x ln1 a : nAJDEM PROIZWODNYE OBRATNYH TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ. 1 . eSLI y = arcsin x, TO x = sin y. pO\TOMU (arcsin x)0 = (sin1y)0 = cos1 y = p 1 2 = p 1 2 : (5.3.3) 1;x 1 ; sin y 2 . aNALOGI^NO WY^ISLQETSQ PROIZWODNAQ FUNKCII y = arccos x. iMEEM x = cos y I (arccos x)0 = (cos1 y)0 = ; sin1 y = ; p 1 2 = ; p 1 2 : (5.3.4) 1;x 1; cos y fORMULY (5.3.3) I (5.3.4) SPRAWEDLIWY DLQ WSEH x 2 ;1 1]. oNI POKAZYWA@T, ^TO PRI x = 1 SU]ESTWU@T BESKONE^NYE ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE . 3 . eSLI y = arctg x, TO x = tg y I SOGLASNO (5.3.2) 2 (arctg x)0 = (tg1y)0 = cos2 y = 2cos y 2 = 1 2 = 1+1x2 : cos y+ sin y 1+ tg y 4 . aNALOGI^NO DLQ y = arcctg x NAHODIM
(arcctg x)0 = (ctg1 y)0 = ; sin2 y =
2 = ; 2 sin y 2 = ; 1 2 = ; 1 +1 x2 : 1 + ctg y sin y + cos y
96
(5.3.5)
(5.3.6)
fORMULY (5.3.5) I (5.3.6) IME@T MESTO DLQ WSEH x. x 5.4.
tEOREMA
pROIZWODNAQ SLOVNOJ FUNKCII
5.4.1. pUSTX FUNKCIQ y = f (x) IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0 , y0 := f (x0 ) I FUNKCIQ z = '(y) IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE y0 . tOGDA SLOVNAQ FUNKCIQ z = (x) := '(f (x)) IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0 I SPRAWEDLIWO RAWENSTWO (5.4.1) 0 (x0 ) = '0 (y0 ) f 0 (x0 ):
dOKAZATELXSTWO. sU]ESTWOWANIE SLOVNOJ FUNKCII (x) SOGLASNO SKAZANNOMU W x 4.1 WYTEKAET IZ NEPRERYWNOSTI FUNKCIJ f (x) I '(y). iZ USLOWIJ TEOREMY SLEDUET, ^TO DLQ PRIRA]ENIJ FUNKCIJ f I ' W TO^KAH x0 I y0 SOOTWETSTWENNO SPRAWEDLIWY RAWENSTWA y = f 0 (x0 ) x + x "( x) (5.4.2) I z = '0 (y0 ) y + y "1 ( y) (5.4.3) GDE "( x) ! 0 PRI x ! 0 I "1 ( y) ! 0 PRI y ! 0. ~TOBY WYRAZITX PRIRA]ENIE z ^EREZ x, PODSTAWIM W PERWOE SLAGAEMOE IZ PRAWOJ ^ASTI FORMULY (5.4.3) WMESTO y EGO PREDSTAWLENIE IZ (5.4.2). zNA^ENIE y, NAJDENNOE PO FORMULE (5.4.2), MOVET OKAZATXSQ RAWNYM NUL@. kAK GOWORILOSX W x 5.2, S^ITAEM "1 (0) = 0. tOGDA POLU^IM ; z = '0 (y0 ) f 0 (x0 ) x + x "( x) + y "1( y) = = '0 (y0 ) f 0 (x0 ) x + '0 (y0 ) x "( x) + y "1 ( y): rAZDELIM LEWU@ I PRAWU@ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA NA x: y z 0 0 0 (5.4.4) x = ' (y0 ) f (x0 ) + ' (y0 ) "( x) + x "1 ( y): eSLI x ! 0, TO y ! 0. pO\TOMU PEREHOD W (5.4.4) K PREDELU PRI x ! 0 PRIWODIT K RAWENSTWU lim z = '0 (y0 ) f 0 (x0 ):
x!0 x tAKIM OBRAZOM, DOKAZANY I SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ 0 (x0 ) I RAWENSTWO (5.4.1). 97
dLQ OBOZNA^ENIQ ZNA^ENIQ PROIZWODNOJ FUNKCII y = f (x) W TO^KE x0 UPOTREBLQETSQ TAKVE ZAPISX yx0 (x0 ). w \TIH OBOZNA^ENIQH FORMULA DLQ PROIZWODNOJ SLOVNOJ FUNKCII IMEET WID zx0 (x0 ) = zy0 (y0 ) yx0 (x0 ): (5.4.5) pRIWEDEM PRIMERY PRIMENENIQ FORMULY PROIZWODNOJ SLOVNOJ FUNKCII. 1 . nAJDEM PROIZWODNU@ STEPENNOJ FUNKCII y = xa , x > 0, GDE a | PROIZWOLXNOE ^ISLO. w x 5.1 PROIZWODNAQ STEPENNOJ FUNKCII BYLA WY^ISLENA W SLU^AE, KOGDA a | CELOE ^ISLO. tOGDA PRI a > 0 ARGUMENT x MOG BYTX L@BYM, A PRI a < 0 | L@BYM NE RAWNYM NUL@ ^ISLOM. iMEEM y = eln xa = ea ln x : pOLOVIM u = a ln x. tOGDA y = eu I, ZNA^IT, SOGLASNO (5.4.5) yx0 = yu0 u0x = eu xa = ea ln x xa = xa xa = axa;1 : (5.4.6) fORMULA (5.4.6) DLQ PROIZWOLXNYH a IMEET MESTO PRI x > 0, A ESLI a > 1, TO ONA SPRAWEDLIWAaI PRI x = 0. zAMETIM, ^TO DLQ 0 < a < 1 STEPENNAQ FUNKCIQ y = x IMEET W NULE PRAWU@ BESKONE^NU@ PROIZWODNU@. pRIWEDENNOE DOKAZATELXSTWO FORMULY (5.4.6) NE ZAWISIT OT TOGO, QWLQETSQ ^ISLO a CELYM ILI NET. nO DLQ SLU^AQ, KOGDA a | NATURALXNOE ^ISLO, \TO DOKAZATELXSTWO NE POZWOLQET NAJTI PROIZWODNU@ DLQ OTRICATELXNYH x W OTLI^IE OT FORMULY (5.1.7), KOTORAQ W \TOM SLU^AE IMEET MESTO DLQ WSEH x. 2 . nAJDEM PROIZWODNU@ FUNKCII y = loga jxj, x 6= 0. ~TOBY WOSPOLXZOWATXSQ FORMULOJ PROIZWODNOJ SLOVNOJ FUNKCII, POLOVIM u = jxj. tOGDA y = loga u. wWEDEM FUNKCI@, NAZYWAEMU@ sign x (OT LATINSKOGO signum) ILI ZNAK x: 8 > 0 sign x := >0 ESLI x = 0 : ;1 ESLI x < 0: tOGDA u = jxj = x sign x I jxj0 = sign x PRI x 6= 0. pO\TOMU SOGLASNO (5.4.5) x 1 = 1 : yx0 = yu0 u0x = u ln1 a sign x = sign jxj ln a x ln a 98
tAKIM OBRAZOM, w ^ASTNOSTI,
(loga jxj)0 = x ln1 a x 6= 0:
(5.4.7)
(ln jxj)0 = x1 x 6= 0:
(5.4.8)
rAZUMEETSQ, PROIZWODNU@ FUNKCII loga jxj MOVNO BYLO NAJTI, NE PRIBEGAQ K FORMULE PROIZWODNOJ SLOVNOJ FUNKCII. 3 . wY^ISLIM PROIZWODNYE GIPERBOLI^ESKIH SINUSA I KOSINUSA: x ; e;x 0 ex ; (e;x )0 ex + e;x e 0 (sh x) = = = = ch x (5.4.9) 2
(ch x)0 =
ex + e;x 0
2
2
=
ex
; e;x 2
2
= sh x:
(5.4.10)
tAKIM OBRAZOM, NAJDENY PROIZWODNYE WSEH OSNOWNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ. x 5.5.
pROIZWODNYE I DIFFERENCIALY WYSIH PORQDKOW
eSLI FUNKCIQ f (x) IMEET PROIZWODNU@ f 0 (x) WO WSEH TO^KAH IZ NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , TO MOVNO POSTAWITX WOPROS O SU]ESTWOWANII W \TOJ TO^KE PROIZWODNOJ FUNKCII f 0 (x). eSLI f 0 (x) IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0 , TO \TU PROIZWODNU@ NAZYWA@T WTOROJ PROIZWODNOJ FUNKCII f (x) W TO^KE x0 I OBOZNA^@T f 00 (x0 ). aNALOGI^NO OPREDELQ@TSQ TRETXQ PROIZWODNAQ I WOOB]E PROIZWODNYE L@BOGO PORQDKA . pROIZWODNAQ f (n) PORQDKA n FUNKCII f (x) SU]ESTWUET W TO^KE x0 , ESLI W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI SU]ESTWUET PROIZWODNAQ PORQDKA n ; 1 FUNKCII f (x), T.E. SU]ESTWUET f (n;1) (x), I FUNKCIQ f (n;1) (x) IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0 . |TU PROIZWODNU@ OBOZNA^A@T f (n)(x0 ) I NAZYWA@T PROIZWODNOJ PORQDKA n FUNKCII f (x) W TO^KE x0 . oSNOWNYE \LEMENTARNYE FUNKCII IME@T PROIZWODNYE L@BOGO PORQDKA W SWOEJ ESTESTWENNOJ OBLASTI OPREDELENIQ. nAPRIMER, (ax )(n) = ax (ln a)n n (n) (sin x) = sin x + 2 99
(xa )(n) = a(a ; 1) : : : (a ; n + 1)xa;n :
w SWQZI S FORMULOJ DLQ PROIZWODNOJ STEPENNOJ FUNKCII OTMETIM, ^TO ESLI ^ISLO a > 0 NE CELOE, TO FUNKCIQ xa W NULE IMEET PROIZWODNYE DO PORQDKA a] WKL@^ITELXNO, NO NE IMEET PROIZWODNYH BOLEE WYSOKOGO PORQDKA. eSLI FUNKCIQ IMEET W TO^KE ILI NA NEKOTOROM PROMEVUTKE PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW, TO \TU FUNKCI@ NAZYWA@T BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOJ SOOTWETSTWENNO W TO^KE ILI NA PROMEVUTKE. fUNKCIQ MOVET IMETX PROIZWODNU@ PERWOGO PORQDKA, NO NE IMETX PROIZWODNOJ WTOROGO PORQDKA. nAPRIMER, ESLI y = xjxj, TO y0 = 2jxj I, ZNA^IT, \TA FUNKCIQ NE IMEET W NULE PROIZWODNOJ WTOROGO PORQDKA. tO^NO TAKVE MOVNO UKAZATX FUNKCII, IME@]IE PROIZWODNU@ PORQDKA n > 1, NO NE IME@]IE PROIZWODNOJ PORQDKA n + 1. eSLI FUNKCII u(x) I v(x) IME@T W NEKOTOROJ TO^KE PROIZWODNYE PORQDKA n, TO QSNO, ^TO SUMMA I RAZNOSTX \TIH FUNKCIJ TAKVE IME@T W \TOJ TO^KE PROIZWODNYE PORQDKA n I WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA (u(x) v(x))(n) = u(n) (x) v(n) (x): w \TOM LEGKO UBEDITXSQ PO INDUKCII. rASSUVDENIQ PO INDUKCII POKAZYWA@T TAKVE, ^TO PRI \TIH USLOWIQH SU]ESTWUET PROIZWODNAQ PORQDKA n PROIZWEDENIQ u(x)v(x). sEJ^AS NAS BUDET INTERESOWATX WYRAVENIE PROIZWODNYH WYSIH PORQDKOW OT PROIZWEDENIQ FUNKCIJ ^EREZ PROIZWODNYE SAMIH \TIH FUNKCIJ. zDESX POTREBU@TSQ WELI^INY Cnk := k! (nn;! k)! 0 6 k 6 n 0! := 1 (5.5.1) KOTORYE NAZYWA@T BINOMIALXNYMI KO\FFICIENTAMI, TAK KAK \TI ^ISLA U^ASTWU@T W FORMULE BINOMA nX@TONA, NO OB \TOM BUDET GOWORITXSQ POZDNEE . ~ISLO Cnk NAZYWA@T ^ISLOM SO^ETANIJ IZ n PO k, TAK KAK ONO POKAZYWAET, SKOLXKO RAZLI^NYH PODMNOVESTW, SOSTOQ]IH IZ k \LEMENTOW, IMEET MNOVESTWO IZ n \LEMENTOW. nO \TO SWOJSTWO SEJ^AS NE BUDET NUVNO. tEOREMA 5.5.1 (fORMULA lEJBNICA). eSLI FUNKCII u(x) I v(x) IME@T W TO^KE x0 PROIZWODNYE PORQDKA n, TO W \TOJ TO^KE SU]ESTWUET PROIZWODNAQ PORQDKA n PROIZWEDENIQ u(x) v(x) I SPRAWEDLIWO RAWENSTWO (u(x0 ) v(x0 ))(n) = 100
n
X
k=0
Cnk u(k) (x0 ) v(n;k) (x0 ) n = 1 2 : : : (5.5.2)
GDE PO OPREDELENI@ S^ITA@T, ^TO PROIZWODNAQ NULEWOGO PORQDKA RAWNA SAMOJ FUNKCII. dOKAZATELXSTWO. dLQ SOKRA]ENIQ ZAPISI NE BUDEM PISATX ARGUMENTY U PROIZWODNYH. dOKAVEM FORMULU lEJBNICA PO INDUKCII. pRI n = 1 FORMULA (5.5.2) IMEET WID 1
X (u v)0 = C k u(k) v(1;k) = u v0 + u0 v
k=0
1
T.E. \TO FORMULA DLQ PERWOJ PROIZWODNOJ PROIZWEDENIQ DWUH FUNKCIJ. pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO RAWENSTWO (5.5.2) DOKAZANO DLQ POKAZATELQ n = m I USTANOWIM EGO SPRAWEDLIWOSTX PRI n = m + 1. iMEEM (u v)(m+1) = ((u v)(m) )0 = =
m
X
k=0
; Cmk u(k) v(m;k) 0 =
=
=
m
mX +1 i=1
m
X
k=0
m
X
0
Cmk u(k) v(m;k) =
k=0 ; Cmk u(k+1) v(m;k) + u(k) v(m+1;k) =
Cmi;1 u(i) v(m;(i;1)) +
m
X
Cmi u(i) v(m+1;i) =
i=0 (Cmi;1 + Cmi )u(i) v(m+1;i) + Cmm u(m+1) v(0) + Cm0 u(0) v(m+1) :
X
i=1
nO SOGLASNO (5.5.1)
Cmi;1 + Cmi = (i ; 1)! (mm;! (i ; 1))! + i! (mm;! i)! = (m + 1)! = C i : = i! (m ;mi! + 1)! (i + m ; i + 1) = i!(m ; i + 1)! m+1 kROME TOGO, +1 Cmm = 1 = Cmm+1 Cm0 = 1 = Cm0 +1 : pO\TOMU (u v)(m+1) = Cm0 +1 u(0) v(m+1) +
m
X
i=1
Cmi +1 u(i) v(m+1;i) + 101
+1 (m+1) (0) +Cmm+1 u v =
mX +1 i=0
Cmi +1 u(i) v(m+1;i)
I MY POLU^ILI FORMULU (5.5.2) DLQ n = m + 1. tEOREMA DOKAZANA. rASSMOTRIM TEPERX DIFFERENCIALY WYSIH PORQDKOW. pUSTX x | NEZAWISIMAQ PEREMENNAQ I FUNKCIQ y = f (x) DIFFERENCIRUEMA. tOGDA dy = f 0 (x)dx I, ZNA^IT, DIFFERENCIAL dy ZAWISIT OT x I OT dx. pOSTAWIM WOPROS, QWLQETSQ LI DIFFERENCIAL dy KAK FUNKCIQ OT x DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCIEJ. ~TOBY WYQSNITX \TO, WNOWX PRIDADIM ARGUMENTU x PRIRA]ENIE dx I RASSMOTRIM PRIRA]ENIE DIFFERENCIALA dy ; f 0 (x + dx)dx ; f 0 (x) dx = f 0 (x + dx) ; f 0 (x) dx: (5.5.3) eSLI SU]ESTWUET WTORAQ PROIZWODNAQ f 00 (x), TO RAZNOSTX (5.5.3) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE ; ; f 0(x + dx) ; f 0 (x) dx = f 00 (x)dx + o(dx) dx = ; = f 00 (x)(dx)2 + o (dx)2 dx ! 0: kWADRAT DIFFERENCIALA NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ (dx)2 PRINQTO 2 OBOZNA^ATX dx . w TAKOJ ZAPISI dx S^ITAETSQ EDINYM SIMWOLOM, KOTORYJ WOZWODITSQ W KWADRAT. tAKIM OBRAZOM, POLAGAQ PO OPREDELENI@ d2 y := d(dy), POLU^AEM d2 y = f 00 (x)dx2 : (5.5.4) tAK KAK DIFFERENCIRUEMOSTX FUNKCII RAWNOSILXNA SU]ESTWO2 WANI@ PROIZWODNOJ, TO SU]ESTWOWANIE WTOROGO DIFFERENCIALA dy RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ WTOROJ PROIZWODNOJ f 00 (x). pOSKOLXKU DIFFERENCIAL NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ dx OT x NE ZAWISIT, TO d2 x = d(dx) = 0. dLQ n > 2 ANALOGI^NO POLAGAEM dn y := d(dn;1 y) I NAHODIM dn y = f (n) (x)dxn (5.5.5) GDE dxn OBOZNA^AET n-U@ STEPENX DIFFERENCIALA dx. 102
oTS@DA SLEDUET, ^TO
dn y n = 1 2 : : :: f (n) (x) = dx n
(5.5.6)
nAPOMNIM, ^TO FORMULY (5.5.4) I (5.5.5) WYWEDENY W PREDPOLOVENII, ^TO x QWLQETSQ NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ. rASSMOTRIM DIFFERENCIALY SLOVNOJ FUNKCII. sNA^ALA NAJDEM WYRAVENIE DLQ DIFFERENCIALA PERWOGO PORQDKA SLOVNOJ FUNKCII. pUSTX ZADANA SLOVNAQ FUNKCIQ y = (x) = '(f (x)), GDE FUNKCII y = '(u) I u = f (x) IME@T PROIZWODNYE PERWOGO PORQDKA. tOGDA dy = 0 (x) dx I W SILU RAWENSTWA (5.4.1) 0 (x) = '0 (u)f 0 (x). pO\TOMU dy = '0 (u)f 0 (x) dx: s DRUGOJ STORONY, du = f 0 (x) dx I, ZNA^IT, dy = '0 (u) du. tAKIM OBRAZOM, DLQ DIFFERENCIALA dy SPRAWEDLIWY FORMULY dy = 0 (x) dx (5.5.7) I dy = '0 (u) du: (5.5.8) |TI FORMULY WYGLQDQT ODINAKOWO, NO IH PRINCIPIALXNAQ RAZNICA SOSTOIT W TOM, ^TO W (5.5.7) dx QWLQETSQ DIFFERENCIALOM NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ, A W (5.5.8) du QWLQETSQ DIFFERENCIALOM ZAWISIMOJ PEREMENNOJ. sWOJSTWO PERWOGO DIFFERENCIALA IMETX ODINAKOWOE WYRAVENNIE ^EREZ DIFFERENCIALY NEZAWISIMOJ I ZAWISIMOJ PEREMENOJ NAZYWA@T INWARIANTNOSTX@ FORMY PERWOGO DIFFERENCIALA. dIFFERENCIALY WYSIH PORQDKOW PODOBNOJ INWARIANTNOSTX@ NE OBLADA@T. pUSTX PO-PREVNEMU y = '(u), u = f (x), GDE x | NEZAWISIMAQ PEREMENNAQ. sOGLASNO (5.5.8) I (5.2.6) d2 y = d('0 (u) du) = d('0 (u)) du + '0 (u) d(du) = = '00 (u) du du + '0 (u) d2 u = '00 (u) du2 + '0 (u) d2 u: iTAK, d2 y = '00 (u) du2 + '0 (u) d2 u: (5.5.9) 103
zDESX d2 u MOVET NE RAWNQTXSQ NUL@, TAK KAK u | ZAWISIMAQ PEREMENNAQ I d2 u = f 00 (x) dx2 . sRAWNENIE FORMUL (5.5.9) I (5.5.4) POKAZYWAET, ^TO WTOROJ DIFFERENCIAL NE OBLADAET SWOJSTWOM INWARIANTNOSTI | EGO WYRAVENIE ZAWISIT OT TOGO, ZAPISYWAETSQ LI ON ^EREZ DIFFERENCIALY NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ ILI ^EREZ DIFFERENCIALY ZAWISIMOJ PEREMENNOJ. nAJDEM E]E WYRAVENIE TRETXEGO DIFFERENCIALA FUNKCII ^EREZ DIFFERENCIALY ZAWISIMOJ PEREMENNOJ. iMEEM d3 y = d(d2 y) = d('00 (u) du2 + '0 (u) d2 u) = = '000 (u) du3 + '00 (u) d(du2 ) + '00 (u) du d2 u + '0 (u) d(d2 u) = = '000 (u) du3 + 3'00 (u) d2 u du + '0 (u) d3 u:
(5.5.10) fORMULY (5.5.9) I (5.5.10) ZAPOMINATX NE NUVNO. kAVDYJ RAZ, KOGDA ONI NUVNY, REKOMENDUETSQ WYWODITX IH ZANOWO. rASSMOTRIM, NAKONEC, WOPROS O PROIZWODNYH FUNKCIJ, ZADANNYH PARAMETRI^ESKI. sNA^ALA POQSNIM, KAK PONIMAETSQ PARAMETRI^ESKOE ZADANIE FUNKCIJ. pUSTX W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI t0 ZADANY FUNKCII x = x(t) I y = y(t), PRI^EM FUNKCIQ x(t) STROGO MONOTONNA I NEPRERYWNA W \TOJ OKRESTNOSTI. tOGDA W OKRESTNOSTI TO^KI x0 := x(t0 ) SU]ESTWUET OBRATNAQ STROGO MONOTONNAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ t = t(x). |TO POZWOLQET WWESTI SLOVNU@ FUNKCI@ y = y(t(x)), KOTORU@ I IME@T W WIDU, KOGDA GOWORQT O FUNKCII y = y(x), ZADANNOJ PARAMETRI^ESKI FORMULAMI x = x(t), y = y(t). bUDEM TEPERX DOPOLNITELXNO S^ITATX, ^TO W TO^KE t0 SU]ESTWU@T PROIZWODNYE x0t , yt0 I x0t (t0 ) 6=0 0. pOKAVEM, ^TO W \TOM SLU^AE MOVNO WY^ISLITX PROIZWODNU@ yx W TO^KE x0 , NE NAHODQ QWNO FUNKCI@ t = t(x).
iMEEM
0 yx0 = yt0 t0x = xyt0 : t eSLI FUNKCIQ yt0 =x0t IMEET PROIZWODNU@ (TAK 00BUDET WO00 WSQKOM SLU^AE, KOGDA SU]ESTWU@T WTORYE PROIZWODNYE x (t) I yt t (t)), TO 00 MOVNO NAJTI PO FORMULEt t WTORU@ PROIZWODNU@ yxx 0 0 0 00 = (y0 )0 = yt0 = yt0 t0 = yt0 1 : yxx xx x0t x x0t t x x0t t x0t pODOBNYM OBRAZOM MOVNO NAHODITX PROIZWODNYE FUNKCII y(x) BOLEE WYSOKOGO PORQDKA, ESLI ONI SU]ESTWU@T. 104
gLAWA
6
swojstwa differenciruemyh funkcij wOZRASTANIE I UBYWANIE FUNKCII W TO^KE
x 6.1.
nARQDU S WOZRASTANIEM I UBYWANIEM FUNKCIJ NA PROMEVUTKE RASSMATRIWAETSQ WOZRASTANIE I UBYWANIE FUNKCII W TO^KE. oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f (x) ZADANA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . gOWORQT, ^TO f STROGO WOZRASTAET W TO^KE x0 , ESLI SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX TO^KI x0 , ^TO DLQ x IZ \TOJ OKRESTNOSTI, LEVA]IH SLEWA OT x0 , SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO f (x) < f (x0 ), A DLQ x, LEVA]IH SPRAWA OT x0 , | NERAWENSTWO f (x) > f (x0 ). eSLI W \TIH NERAWENSTWAH ZNAKI < I > ZAMENENY SOOTWETSTWENNO NA 6 I >, TO GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f WOZRASTAET (TO^NEE, NE UBYWAET ) W TO^KE x0 . aNALOGI^NO OPREDELQ@TSQ STROGOE UBYWANIE I UBYWANIE FUNKCII W TO^KE. mOVNO GOWORITX TAKVE OB ODNOSTORONNEM WOZRASTANII I UBYWANII W TO^KE. oSNOWNYMI QWLQ@TSQ SLU^AI STROGOGO WOZRASTANIQ I UBYWANIQ FUNKCII W TO^KE, A NESTROGOE WOZRASTANIE I UBYWANIE RASSMATRIWA@T REVE. tEOREMA 6.1.1. pUSTX FUNKCIQ y = f (x) IMEET W TO^KE x0 PROIZWODNU@. tOGDA W TO^KE x0 FUNKCIQ f STROGO WOZRASTAET, ESLI f 0 (x0 ) > 0, I STROGO UBYWAET, ESLI f 0(x0 ) < 0. dOKAZATELXSTWO. pUSTX f 0 (x0 ) > 0. tAK KAK y f 0 (x0 ) = lim x!0 x TO DLQ DOSTATO^NO MALYH x y x > 0: zNA^IT, ESLI x > 0, TO y = f (x0 + x) ; f (x) > 0, A ESLI x < 0, TO y < 0. a \TO OZNA^AET STROGOE WOZRASTANIE FUNKCII f W TO^KE x0 . aNALOGI^NO RASSMATRIWAETSQ SLU^AJ, KOGDA f 0 (x0 ) < 0. w TEOREME 6.1.1 MOVNO IMETX W WIDU ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE, NO TOGDA W UTWERVDENII NUVNO GOWORITX OB ODNOSTORONNEM STROGOM WOZRASTANII ILI STROGOM UBYWANII FUNKCII. 105
oPREDELENIE gOWORQT, ^TO FUNKCIQ f (x) IMEET W TO^KE x0 LO.
KALXNYJ MAKSIMUM, ESLI DLQ WSEH x IZ NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO f (x) 6 f (x0 ). a ESLI DLQ WSEH x IZ NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO f (x) < f (x0 ), TO GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f (x) IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ MAKSIMUM. gOWORQT, ^TO FUNKCIQ f (x) IMEET W TO^KE x0 LOKALXNYJ MINIMUM, ESLI DLQ WSEH x IZ NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO f (x) > f (x0 ). a ESLI DLQ WSEH x IZ NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO f (x) > f (x0 ), TO GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f (x) IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ MINIMUM. tO^KI LOKALXNOGO MAKSIMUMA I MINIMUMA FUNKCII NAZYWA@T TO^KAMI EE LOKALXNOGO \KSTREMUMA, A TO^KI STROGOGO LOKALXNOGO MAKSIMUMA I MINIMUMA | TO^KAMI STROGOGO LOKALXNOGO \KSTREMUMA. w \TIH OPREDELENIQH SLOWO \LOKALXNYJ" DOBAWLQ@T POTOMU, ^TO ^ISLO f (x0 ) SRAWNIWAETSQ SO ZNA^ENIQMI FUNKCII TOLXKO W DOSTATO^NO MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 W OTLI^IE OT \GLOBALXNOGO" MAKSIMUMA I MINIMUMA, KOTORYE OTNOSQTSQ KO WSEJ OBLASTI ZADANIQ FUNKCII. tEOREMA 6.1.2 (tEOREMA fERMA). eSLI FUNKCIQ f (x) IMEET W TO^KE x0 PROIZWODNU@, TO DLQ TOGO ^TOBY W TO^KE x0 FUNKCIQ f IMELA LOKALXNYJ \KSTREMUM, NEOBHODIMO WYPOLNENIE RAWENSTWA f 0 (x0 ) = 0. dOKAZATELXSTWO. iZ NERAWENSTWA f 0 (x0 ) > 0 SLEDUET STROGOE WOZRASTANIE FUNKCII f W TO^KE x0 , A IZ NERAWENSTWA f 0 (x0 ) < 0 | STROGOE UBYWANIE f W TO^KE x0 0 . zNA^IT, LOKALXNYJ \KSTREMUM WOZMOVEN TOLXKO PRI USLOWII f (x0 ) = 0. uSLOWIE f 0 (x0 ) = 0, BUDU^I NEOBHODIMYM DLQ LOKALXNOGO \KS3TEMUMA, NE QWLQETSQ DOSTATO^NYM. dEJSTWITELXNO, FUNKCIQ y = x STROGO WOZRASTAET NA WSEJ OSI. wMESTE S TEM, EE PROIZWODNAQ y0 = 3x2 OBRA]AETSQ W NULX PRI x = 0.
tEOREMA
(tEOREMA dARBU O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH). pUSTX FUNKCIQ f (x) ZADANA NA OTREZKE a b], f (a) 6= f (b) 0 6.1.3
I SU]ESTWUET FUNKCIQ F (x) TAKAQ, ^TO F (x) = f (x) DLQ WSEH x 2 a b]. tOGDA DLQ L@BOGO ^ISLA , ZAKL@^ENNOGO STROGO MEVDU f (a) I f (b), NAJDETSQ TO^KA 2 (a b) TAKAQ, ^TO f ( ) = . dOKAZATELXSTWO. sNA^ALA RASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA ^ISLA f (a) I f (b) IME@T RAZNYE ZNAKI I RAWNO NUL@. pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI f (a) > 0 I f (b) < 0. 106
fUNKCIQ F (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE a b] I, ZNA^IT, PRINIMAET0 W NEKOTOROJ TO^KE 2 a b] SWOE MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE. tAK KAK F (a) = f (a) > 0, TO W TO^KE a FUNKCIQ F STORGO WOZRASTAET, PO\TOMU NE MOVET BYTX TO^KOJ a. tO^NO TAKVE NE MOVET RAWNQTXSQ b, TAK KAK IZ USLOWIQ F 0 (b) = f (b) < 0 SLEDUET, ^TO F STROGO UBYWAET W TO^KE b. sLEDOWATELXNO, | WNUTRENNQQ TO^KA OTREZKA a b] I TOGDA PO TEOREME fERMA F 0 ( ) = 0. nO F 0 ( ) = f ( ) I, TAKIM OBRAZOM, f ( ) = 0. eSLI WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ f (a) < 0 I f (b) > 0, TO W KA^ESTWE MOVNO WZQTX TO^KU, W KOTOROJ F (x) PRINIMAET MINIMALXNOE ZNA^ENIE NA OTREZKE a b], I ANALOGI^NYM OBRAZOM DOKAZATX, ^TO f ( ) = 0. tAKIM OBRAZOM, W RASSMATRIWAEMOM ^ASTNOM SLU^AE TEOREMA DOKAZANA. pEREHOD K OB]EMU SLU^A@ OSU]ESTWLQETSQ TAK VE, KAK PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY kOI 4.3.3 O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH. wWODIM FUNKCI@ '(x) := f (x) ; . tAK KAK ^ISLO ZAKL@^ENO STROGO MEVDU f (a) I f (b), TO FUNKCIQ '(x) PRINIMAET W TO^KAH a I b ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW. kROME TOGO, ESLI POLOVITX (x) := F (x) ; x, TO 0 (x) = (F (x) ; x)0 = '(x). pO\TOMU W SILU UVE DOKAZANNOGO ^ASTNOGO SLU^AQ TEOREMY SU]ESTWUET TAKAQ TO^KA 2 (a b), ^TO '( ) = 0. oTS@DA f ( ) ; = 0 I, ZNA^IT, f ( ) = . tEOREMA DOKAZANA. sRAWNIM TEOREMY dARBU I kOI O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH. zAKL@^ENIE W OBEIH TEOREMAH ODINAKOWY, RAZNYMI QWLQ@TSQ USLOWIQ NA FUNKCI@ f . w TEOREME kOI TREBOWALASX NEPRERYWNOSTX FUNKCII f (x), A W TEOREME0 dARBU PREDPOLAGAETSQ SU]ESTWOWANIE FUNKCII F (x) TAKOJ, ^TO F (x) = f (x) DLQ WSEH x 2 a b]. nO PROIZWODNAQ MOVET SU]ESTWOWATX W KAVDOJ TO^KE I NE BYTX NEPRERYWNOJ. |TO WIDNO NA PRIMERE FUNKCII ( 2 x 6= 0, F (x) := x0 sin(1=x) PRI PRI x = 0, DLQ KOTOROJ ( x 6= 0, 0 F (x) = 20x sin(1=x) ; cos(1=x) PRI PRI x = 0 I F 0 (x) IMEET RAZRYW W TO^KE 0. pO\TOMU TEOREMA dARBU NE SLEDUET IZ TEOREMY kOI. nA SAMOM DELE TEOREMA kOI QWLQETSQ SLEDSTWIEM TEOREMY dARBU, TAK KAK DLQ KAVDOJ NEPRERYWNOJ FUNKCII f SU]ESTWUET FUNKCIQ F TAKAQ, ^TO F 0 (x) = f (x) DLQ WSEH x 2 a b]. |TO BUDET DOKAZANO W GLAWE 9. 107
x 6.2.
tEOREMY O SREDNEM
w \TOM PARAGRAFE RASSMATRIWA@TSQ FUNKCII, NEPRERYWNYE NA OTREZKE a b] I DIFFERENCIRUEMYE, T.E. IME@]IE PROIZWODNU@, NA INTERWALE (a b). tEOREMA 6.2.1 (tEOREMA rOLLQ). pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE a b] I DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a b). eSLI f (a) = f (b), TO SU]ESTWUET TO^KA 2 (a b) TAKAQ, ^TO f 0 ( ) = 0. dOKAZATELXSTWO. tAK KAK FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA OTREZKE a b], TO W NEKOTORYH TO^KAH ONA PRINIMAET SWOI MAKSIMALXNOE M I MINIMALXNOE m ZNA^ENIQ NA \TOM OTREZKE. eSLI M = m0 , TO f | IMEET \TO ZNA^ENIE WO WSEH TO^KAH IZ a b] I PROIZWODNAQ f (x) RAWNA NUL@ WS@DU NA (a b). eSLI VE M 6= m, TO PO KRAJNEJ MERE ODNO IZ \TIH ZNA^ENIJ FUNKCIQ f PRINIMAET WO WNUTRENNEJ TO^KE0 OTREZKA a b]. tOGDA PO TEOREME fERMA W \TOJ TO^KE PROIZWODNAQ f RAWNA NUL@ I TEOREMA DOKAZANA. tEOREMA rOLLQ POKAZYWAET, ^TO W NEKOTOROJ TO^KE INTERWALA (a b) KASATELXNAQ K GRAFIKU FUNKCII PARALLELXNA OSI OX . tEOREMA 6.2.2 (tEOREMA lAGRANVA O SREDNEM). pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE a b] I DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a b). tOGDA SU]ESTWUET TO^KA 2 (a b) TAKAQ, ^TO f (b) ; f (a) = f 0 ( )(b ; a): (6.2.1) dOKAZATELXSTWO. sWEDEM ZADA^U K TEOREME rOLLQ. dLQ \TOGO WYBEREM ^ISLO TAK, ^TOBY DLQ FUNKCII '(x) := f (x) ; x WYPOLNQLOSX RAWENSTWO '(a) = '(b). rEIW URAWNENIE f (a) ; a = f (b) ; b, WIDIM, ^TO \TO USLOWIE WYPOLNQETSQ PRI f (a) = f (bb) ; ;a : fUNKCIQ '(x) NEPRERYWNA NA a b] I DIFFERENCIRUEMA NA (a b). pO TEOREME rOLLQ SU]ESTWUET TO^KA 2 (a b) TAKAQ, ^TO '0 ( ) = 0: |TO RAWENSTWO OZNA^AET, ^TO f 0 ( ) ; = 0 I, TAKIM OBRAZOM, ; f (a) = 0: f 0 ( ) ; f (bb) ; a tEOREMA DOKAZANA. 108
fORMULU (6.2.1) NAZYWA@T FORMULOJ KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA. oNA QWLQETSQ ODNIM IZ OSNOWNYH REZULXTATOW DIFFERENCIALXNOGO IS^ISLENIQ. ~TOBY WYQSNITX GEOMETRI^ESKIJ SMYSL FORMULY KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA, ZAPIEM EE W WIDE ; f (a) : (6.2.2) f 0 ( ) = f (bb) ; a lEWAQ ^ASTX RAWENSTWA (6.2.2) RAWNA TANGENSU UGLA NAKLONA KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII f (x) W TO^KE , A PRAWAQ ^ASTX | TANGENSU UGLA NAKLONA PRQMOJ, SOEDINQ@]EJ TO^KI (a f (a)) I (b f (b)) GRAFIKA FUNKCII. tAKIM OBRAZOM, TEOREMA lAGRANVA POKAZYWAET, ^TO SU]ESTWUET TO^KA 2 (a b), KASATELXNAQ W KOTOROJ PARALLELXNA PRQMOJ, SOEDINQ@]EJ TO^KI (a f (a)) I (b f (b)) GRAFIKA FUNKCII. y
a
ξ
b
x
dRUGAQ FORMA ZAPISI FORMULY KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA TAKOWA: f (b) ; f (a) = f 0 (a + (b ; a))(b ; a) (6.2.3) GDE | NEKOTOROE ^ISLO, UDOWLETWORQ@]EE USLOWI@ 0 < < 1. w FORMULIROWKE TEOREMY 6.2.2 PREDPOLAGAETSQ, ^TO a < b. nO LEGKO WIDETX, ^TO FORMULA (6.2.1) IMEET MESTO I W TOM SLU^AE, KOGDA a > b. tEOREMA 6.2.3 (tEOREMA kOI O SREDNEM). pUSTX NA OTREZKE a b] ZADANY NEPRERYWNYE FUNKCII f (x) I g(x), PRI^EM g(a) 6= g(b). pREDPOLOVIM, ^TO f I g DIFFERENCIRUEMY NA INTERWALE (a b) I PROIZWODNYE f 0 (x) I g0 (x) NE OBRA]A@TSQ NA (a b) W NULX ODNOWREMENNO. tOGDA SU]ESTWUET TO^KA 2 (a b) TAKAQ, ^TO f (b) ; f (a) = f 0 ( ) : (6.2.4) g(b) ; g(a) g0( ) 109
dOKAZATELXSTWO. dLQ g(x) = x TEOREMA 6.2.3 SOWPADAET S TEOREMOJ 6.2.2. dOKAZATELXSTWO TEOREMY 6.2.3 BUDET IDTI PO TOJ VE SHEME. wWEDEM FUNKCI@ '(x) := f (x) ; g(x). oNA NEPRERYWNA NA a b] I DIFFERENCIRUEMA NA (a b). ~TOBY K FUNKCII '(x) MOVNO BYLO PRIMENITX TEOREMU rOLLQ, SOSTAWIM URAWNENIE f (b) ; g(b) = f (a) ; g(a), REIW KOTOROE, POLU^IM f (a ) = fg((bb)) ; ; g(a) : dLQ \TOGO IMEEM '(a) = '(b). pO\TOMU SU]ESTWUET TO^KA 2 (a b), DLQ KOTOROJ '0 ( ) = 0. oTS@DA ; f (a) g0( ) = 0: f 0 ( ) ; fg((bb)) ; (6.2.5) g(a) pRI \TOM g0 ( ) 6= 0, TAK KAK INA^E IZ (6.2.5) SLEDOWALO BY, ^TO I f 0 ( ) = 0, A PROIZWODNYE FUNKCIJ f I g NE MOGUT OBRA]ATXSQ W NULX ODNOWREMENNO. tAKIM OBRAZOM, LEWU@ I PRAWU@ ^ASTI RAWENSTWA (6.2.5) MOVNO RAZDELITX NA g0( ), ^TO PRIWODIT K (6.2.4). tEOREMA DOKAZANA. pOLU^IM NEKOTORYE SLEDSTWIQ IZ TEOREMY lAGRANVA O SREDNEM. tEOREMA 6.2.4. pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE a b] I f 0 (x) = 0 WO WSEH TO^KAH INTERWALA (a b). tOGDA FUNKCIQ f POSTOQNNA NA OTREZKE a b]. dOKAZATELXSTWO. dLQ L@BOJ PARY TO^EK x I x IZ OTREZKA a b] PO FORMULE KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA SU]ESTWUET TAKAQ TO^KA 2 (x x ), RASPOLOVENNAQ MEVDU x I x , ^TO f (x ) ; f (x ) = f 0 ( )(x ; x ): nO TAK KAK PRINADLEVIT INTERWALU (a b), TO f 0 ( ) = 0 I, ZNA^IT, f (x ) = f (x ). tEOREMA DOKAZANA, TAK KAK TO^KI x I x BYLI PROIZWOLXNYMI TO^KAMI OTREZKA a b]. pOKAVEM, ^TO USLOWIQ \TOJ TEOREMY MOVNO NESKOLXKO OSLABITX. tEOREMA 6.2.5. pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE a b] I f 0 (x) = 0 WO WSEH TO^KAH INTERWALA (a b) ZA ISKL@^ENIEM KONE^NOGO ^ISLA TO^EK, W KOTORYH SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ NE PREDPOLAGAETSQ. tOGDA FUNKCIQ f POSTOQNNA NA OTREZKE a b]. dOKAZATELXSTWO. pUSTX a = x0 < x1 < < xn = b | TE TO^KI, IZ OTREZKA a b], W KOTORYH PROIZWODNAQ f 0 (x) MOVET NE SU]ESTWOWATX. 110
pRIMENIW TEOREMU 6.2.4 K OTREZKAM xk;1 xk ], k = 1 : : : n, WIDIM, ^TO FUNKCIQ f (x) POSTOQNNA NA KAVDOM TAKOM OTREZKE. tAK KAK WSE TO^KI xk k = 1 : : : n ; 1, PRINADLEVAT INTERWALU (a b) I QWLQ@TSQ KONCEWYMI TO^KAMI DWUH OTREZKOW POSTOQNSTWA NEPRERYWNOJ FUNKCII f (x), TO f POSTOQNNA NA WSEM OTREZKE a b]. s POMO]X@ SHODNYH RASSUVDENIJ USTANAWLIWAETSQ SLEDU@]EE UTWERVDENIE. tEOREMA 6.2.6. pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE a b] I W KAVDOJ TO^KE \TOGO OTREZKA, ZA ISKL@^ENIEM NE BOLEE ^EM KONE^NOGO MNOVESTWA TO^EK, IMEET PROIZWODNU@, UDOWLETWORQ@]U@ USLOWI@ jf 0(x)j 6 M: (6.2.6) tOGDA DLQ L@BYH TO^EK x x , PRINADLEVA]IH OTREZKU a b], SPRAWEDLIWA OCENKA jf (x ) ; f (x)j 6 M jx ; x j: (6.2.7) dOKAZATELXSTWO. pUSTX a = x0 < x1 < < xn = b | TE TO^KI IZ a b], W KOTORYH SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ NE PREDPOLAGAETSQ. dLQ L@BYH TO^EK x x , PRINADLEVA]IH OTREZKU xk;1 xk ], k = 1 : : : n, POLXZUQSX FORMULOJ KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA, NAHODIM, ^TO PRI NEKOTOROM 2 (x x )
jf (x) ; f (x )j = jf 0( )jjx ; x j 6 M jx ; x j: pUSTX TEPERX x 2 xi; xi ] I x 2 xj; xj ], GDE i < j . tOGDA jf (x ) ; f (x )j 6 jf (x) ; f (xi )j + j; + jf (xk; ) ; f (xk )j + jf (xj; ) ; f (x )j 1
1
1
X
PO\TOMU +M
1
k=i+1
j ;1
X
k=i+1
1
jf (x ) ; f (x)j 6 M jx ; xi j + jxk; ; xk j + M jxj; ; x j = M jx ; x j: 1
1
tEOREMA DOKAZANA. 111
fUNKCII, UDOWLETWORQ@]IE USLOWI@ WIDA (6.2.7), ^ASTO WSTRE^A@TSQ W RAZNYH WOPROSAH, ^TO DAET POWOD DLQ WWEDENIQ SLEDU@]EGO PONQTIQ. oPREDELENIE. fUNKCIQ f (x) UDOWLETWORQET NA PROMEVUTKE USLOWI@ lIPICA PORQDKA > 0, ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO M , ^TO DLQ L@BOJ PARY TO^EK x x IZ \TOGO PROMEVUTKA, SPRAWEDLIWA OCENKA (6.2.8) jf (x ) ; f (x )j 6 M jx ; xj : w TERMINAH MODULQ NEPRERYWNOSTI USLOWIE lIPICA ZAPISYWAETSQ TAK: !(f ) 6 M : pOKAVEM, ^TO FUNKCII, UDOWLETWORQ@]IE USLOWI@ lIPICA PORQDKA > 1, QWLQ@TSQ KONSTANTAMI. w SAMOM DELE, IZ (6.2.8) SLEDUET, ^TO f (x ) ; f (x ) 6 M jx ; x j = M jx ; x j;1 (6.2.9) x ; x jx ; x j A TAK KAK ; 1 > 0, TO IZ (6.2.9) PRI x ! x POLU^AEM f 0 (x ) = 0, ^TO W SILU TEOREMY 6.2.4 DOKAZYWAET NAE UTWERVDENIE. pO\TOMU USLOWIE lIPICA RASSMATRIWA@T TOLXKO PRI 0 < 6 1. pOKAVEM, ^TO DLQ DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ WOPROS OB IH MONOTONNOSTI NA PROMEVUTKE REAETSQ W TERMINAH ZNAKA PROIZWODNOJ. tEOREMA 6.2.7. pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE a b] I DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a b). tOGDA 1). USLOWIE f 0(x) > 0 NA (a b) NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, DLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f WOZRASTALA NA a b] 2). USLOWIE f 0 (x) > 0 NA (a b) DOSTATO^NO DLQ STROGOGO WOZRASTANIQ f NA a b]. dOKAZATELXSTWO. 1). eSLI FUNKCIQ y = f (x) WOZRASTAET NA a b], TO DAWAQ W PROIZWOLXNOJ TO^KE x 2 (a b) PRIRA]ENIE x, WIDIM, ^TO IZ x > 0 SLEDUET y > 0, A IZ x < 0 SLEDUET y 6 0. pO\TOMU WSEGDA y x > 0: 112
zNA^IT, PREDEL
y lim
x!0 x KOTORYJ PO USLOWI@0 SU]ESTWUET, NE MOVET BYTX OTRICATELXNYM. nAOBOROT, ESLI f (x) > 0 NA INTERWALE (a b), TO DLQ L@BOJ PARY TO^EK x1 I x2 , PRINADLEVA]IH OTREZKU a b], IZ x1 < x2 S POMO]X@
FORMULY KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA POLU^AEM f (x2 ) ; f (x1 ) = f 0 ( )(x2 ; x1 ) > 0 T.E. f (x2 ) > f (0 x1 ). 2). eSLI f (x) > 0 NA (a b), TO DLQ PROIWOLXNYH TO^EK x1 I x2 IZ a b] TAKIH, ^TO x1 < x2 , IMEEM f (x2 ) ; f (x1 ) = f 0 ( )(x2 ; x1 ) > 0 OTKUDA f (x2 ) > f (x1 ). tEOREMA DOKAZANA. zAMETIM, ^TO USLOWIE f 0 (x) > 0, BUDU^I DOSTATO^NYM DLQ STROGOGO WOZRASTANIQ FUNKCII f , NE QWLQETSQ NEOBHODIMYM. |TO WIDNO0 NA PRIMERE FUNKCII f (x) = x3 , KOTORAQ STROGO WOZRASTAET, NO f (0) = 0. iZ TEOREMY 6.2.7 WYTEKA@T SLEDU@]IE UTWERVDENIQ O FUNKCIQH, MONOTONNYH NA INTERWALE, KOTORYJ MOVET BYTX KONE^NYM ILI BESKONE^NYM. s L E D S T W I E 6.2.8.pUSTX FUNKCIQ f (x) DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a b). tOGDA 1). USLOWIE f 0 (x) > 0 NA (a b) NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, DLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f WOZRASTALA NA (a b) 2). USLOWIE f 0 (x) > 0 NA (a b) DOSTATO^NO DLQ STROGOGO WOZRASTANIQ f NA (a b). dOKAZATELXSTWO. dLQ L@BOJ PARY TO^EK x1 , x2 TAKIH, ^TO a < x1 < x2 < b, SLED FUNKCII f NA OTREZKE x1 x2 ] UDOWLETWORQET USLOWIQM TEOREMY 6.2.7. zNA^IT, IZ0 NERAWENSTWA f 0 (x) > 0 NA x1 x2 ] SLEDUET, ^TO f (x1 ) 6 f (x2 ), A IZ f (x) > 0 NA x1 x2 ] SLEDUET f (x1 ) < f (x2 ). kAVDU@ TO^KU x 2 (a b) MOVNO POMESTITX W OTREZOK x1 x2 ] (a b), DLQ KOTOROGO TO^KA x QWLQETSQ WNUTRENNEJ, I, SOSLAWISX NA TEOREMU 6.2.7, IZ WOZRASTANIQ f NA x1 x2 ] WYWESTI, ^TO f 0 (x) > 0. pONQTNO, ^TO UTWERVDENIQ, ANALOGI^NYE TEOREME 6.2.7 I SLEDSTWI@ 6.2.8, IME@T MESTO I DLQ UBYWA@]IH FUNKCIJ. tEOREMA 6.2.9. pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA0 NA OTREZKE a b] I DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a b). eSLI f (x) 6= 0 DLQ WSEH x 2 (a b), TO f STROGO MONOTONNA NA a b]. 113
dOKAZATELXSTWO. w SILU TEOREMY dARBU 6.1.3 O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH, ESLI BY PROIZWODNAQ f 0 (x) PRINIMALA W NEKOTORYH TO^KAH INTERWALA (a b) ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW, TO ONA OBRA]ALASX BY W NULX W NEKOTOROJ TO^KE IZ (a b),0 ^TO PO USLOWI@0 NEWOZMOVNO. zNA^IT, WS@DU NA (a b) LIBO f (x) > 0, LIBO f (x) < 0. a TOGDA SOGLASNO TEOREME 6.2.7 FUNKCIQ f (x) NA OTREZKE a b] ILI STROGO WOZRASTAET, ILI STROGO UBYWAET. tEOREMA DOKAZANA. tEOREMA 6.2.10. pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE x0 x0 + ], > 0, I DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (x0 x0 + ). eSLI SU]ESTWUET KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL f 0 (x0 + 0), TO FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x0 PRAWU@ PROIZWODNU@, SOOTWETSTWENNO KONE^NU@ ILI BESKONE^NU@, I f+0 (x0 ) = f 0 (x0 + 0): dOKAZATELXSTWO. sOGLASNO FORMULE KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA DLQ DOSTATO^NO MALYH POLOVITELXNYH h IMEEM f (x0 + h) ; f (x0 ) = f 0 (x + h) 0 < < 1: (6.2.10) 0 h pO USLOWI@ PRI h ! +0 W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA (6.2.10) POLU^AEM PREDEL f 0 (x0 + 0). zNA^IT, SU]ESTWUET RAWNYJ EMU PREDEL WYRAVENIQ IZ LEWOJ ^ASTI (6.2.10). tEOREMA DOKAZANA. tO^NO TAKVE, ESLI f NEPRERYWNA W TO^KE x0 SLEWA I SU]ESTWUET KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL f 0 (x0 ; 0), TO SU]ESTWET RAWNAQ \TOMU PREDELU LEWAQ PROIZWODNAQ FUNKCII f W TO^KE x0 . iZ TEOREMY 6.2.10 SLEDUET, ^TO ESLI PROIZWODNAQ FUNKCII SU]ESTWUET W KAVDOJ TO^KE NEKOTOROGO INTERWALA, TO \TA PROIZWODNAQ NE MOVET IMETX TO^EK RAZRYWA PERWOGO RODA. kROME TOGO, ESLI FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA W TO^KE x0 , DIFFERENCIRUEMA0 W PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 I SU]ESTWUET PREDEL xlim !x0 f (x), TO f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x0 I 0 f 0 (x0 ) = xlim !x0 f (x):
x 6.3.
rASKRYTIE NEOPREDELENNOSTEJ
mY UVE WSTRE^ALISX S ZADA^EJ O PREDELAH WIDA f (x) xlim !a g(x) 114
(6.3.1)
KOGDA xlim !a g(x) = 0. w \TOM SLU^AE NELXZQ PEREHODITX K PREDELU OTDELXNO W ^ISLITELE I W ZNAMENATELE. tAK BYLO, NAPRIMER, KOGDA ISKALI PREDEL lim sin x : x!0 x eSLI xlim !a f (x) 6= 0, TO PREDEL DROBI (6.3.1) BESKONE^EN. pO\TOMU INTERESEN SLU^AJ, KOGDA xlim !a f (x) = 0. gOWORQT, ^TO PREDEL (6.3.1) QWLQETSQ NEOPREDELENNOSTX@ WIDA 0=0, ESLI PREDELY ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ \TOJ DROBI RAWNY NUL@, A NAHOVDENIE PREDELOW PODOBNOGO TIPA NAZYWA@T RASKRYTIEM NEOPREDELENNOSTEJ. tEOREMA 6.3.1. pUSTX DLQ FUNKCIJ f (x) I g(x) SPRAWEDLIWY RAWENSTWA f (a) = g(a) = 0 I SU]ESTWU@T PROIZWODNYE f 0(a) I g0 (a), PRI^EM g0 (a) 6= 0. tOGDA PREDEL (6.3.1) SU]ESTWUET I f (x) = f 0 (a) : lim (6.3.2) x!a g (x) g 0 (a) dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, ^TO W SILU USLOWIQ g0 (a) 6= 0 FUNKCIQ g(x) STROGO MONOTONNA W TO^KE a I, TAK KAK g(a) = 0, TO W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI a FUNKCIQ g(x) NE OBRA]AETSQ W NULX. zNA^IT, W \TOJ OKRESTNOSTI DROBX f (x)=g(x) IMEET SMYSL. dLQ x 6= a f (x) = f (x) ; f (a) = f (x) ; f (a) : g(x) ; g(a) : (6.3.3) g(x) g(x) ; g(a) x;a x;a w POSLEDNEM WYRAVENII OBE DROBI IME@T PREDELY PRI x ! a, PRI^EM PREDEL DELITELQ, RAWNYJ g0 (a), OTLI^EN OT NULQ. pO\TOMU, PEREHODQ K PREDELU PRI x ! a W DROBI IZ PRAWOJ ^ASTI (6.3.3) OTDELXNO W ^ISLITELE I W ZNAMENATELE, POLU^AEM RAWENSTWO (6.3.2). tEOREMA DOKAZANA. zDESX MOVNO BYLO IMETX W WIDU ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE FUNKCIJ f I g I SOOTWETSTWU@]IJ ODNOSTORONNIJ PREDEL W (6.3.2).
tEOREMA
6.3.2 (pRAWILO lOPITALQ DLQ NEOPREDELENNOSTI 0=0). pUSTX FUNKCII f (x) I g(x) IME@T PROIZWODNYE W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI a, PRI^EM g0 (x) NE OBRA]AETSQ W \TOJ OKRESTNOSTI W NULX, xlim !a f (x) = 0 I xlim !a g(x) = 0. eSLI
SU]ESTWUET KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL f 0 (x) lim x!a g 0 (x)
(6.3.4) 115
TO SU]ESTWUET PREDEL lim f (x)
(6.3.5)
x!a g (x)
I ZNA^ENIQ \TIH PREDELOW RAWNY, T.E. SPRAWEDLIWO RAWENSTWO f (x) = lim f 0 (x) : lim x!a g (x) x!a g 0 (x) dOKAZATELXSTWO. w ROLI \TO^KI a" ZDESX MOGUT WYSTUPATX KAK ^ISLA, TAK I BESKONE^NYE SIMWOLY +1 I ;1. bUDEM SNA^ALA S^ITATX a KONE^NYM. dOOPREDELIM (ILI PEREOPREDELIM) FUNKCII f I g W TO^KE a, POLOVIW f (a) = g(a) = 0. tOGDA \TI FUNKCII BUDUT NEPRERYWNYMI W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI a. iMEEM f (x) = f (x) ; f (a) : g(x) g(x) ; g(a) dLQ DROBI W PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ TEOREMY kOI O SREDNEM. zNA^IT, PRI NEKOTOROM 2 (0 1) f (x) = f 0 (a + (x ; a)) : (6.3.6) g(x) g0 (a + (x ; a)) tAK KAK W SILU USLOWIJ TEOREMY PREDEL DROBI, STOQ]EJ W (6.3.6) SPRAWA, SU]ESTWUET, TO IZ (6.3.6) SLEDUET UTWERVDENIE TEOREMY DLQ KONE^NYH a. zAMETIM, ^TO W \TOM SLU^AE MOVNO IMETX W WIDU ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE I ODNOSTORONNIE PREDELY. rASSMOTRIM TEPERX SLU^AJ, KOGDA a | BESKONE^NYJ SIMWOL. pUSTX, NAPRIMER, a = +1. sDELAEM ZAMENU x = 1=t I WWEDEM FUNKCII '(t) := f (1=t) I (t) := g(1=t). dLQ DOSTATO^NO MALYH POLOVITELXNYH t FUNKCII '(t) I (t) DIFFERENCIRUEMY, PRI^EM 0 (t) = g0 (1=t)
; t1 6= 0:
2
dALEE, '(t) ! 0 (t) ! 0 PRI t ! +0 I '0 (t) = f 0 (1=t) ; 1 . g0 (1=t) ; 1 = f 0 (1=t). g0 (1=t): 0 (t) t2 t2 116
pO\TOMU SU]ESTWUET PREDEL '0 (t) = lim f 0 (x) : lim t!+0 0 (t) x!+1 g 0 (x) zNA^IT, PO UVE DOKAZANNOMU IMEEM '(t) = lim '0 (t) lim t!+0 (t) t!+0 0 (t) I OSTALOSX TOLXKO ZAMETITX, ^TO lim '(t) = lim f (x) : t!+0 (t) x!+1 g (x) tEOREMA DOKAZANA. pOKAVEM, ^TO SU]ESTWOWANIE PREDELA (6.3.4), BUDU^I DOSTATO^NYM DLQ SU]ESTWOWANIQ PREDELA2 (6.3.5), NE QWLQETSQ NEOBHODIMYM. dEJSTWITELXNO, PUSTX f (x) = x sin 1=x I g(x) = x. tOGDA f (x) = lim x sin 1 = 0: lim x!0 g (x) x!0 x nO PRI x ! 0 PREDEL DROBI f 0 (x) = 2x sin 1 + x2 cos 1 ; 1 = 2x sin 1 ; cos 1 g0 (x) x x x2 x x NE SU]ESTWUET.
tEOREMA
1=1).
6.3.3
(pRAWILO lOPITALQ DLQ NEOPREDELENNOSTI
pUSTX FUNKCII f (x) I g(x) IME@T PROIZWODNYE W NEKOTOROJ ODNOSTORONNEJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI a, PRI^EM g0 (x) NE OBRA]AETSQ W \TOJ OKRESTNOSTI W NULX, xlim !a f (x) = 1 I lim g ( x ) = 1 . eSLI SU]ESTWUET KONE^NYJ ILI RAWNYJ BESKONE^x!a NOSTI OPREDELENNOGO ZNAKA PREDEL f 0 (x) lim (6.3.7) x!a g 0 (x) TO SU]ESTWUET PREDEL f (x) xlim !a g(x) 117
I ZNA^ENIQ \TIH PREDELOW RAWNY, T.E. SPRAWEDLIWO RAWENSTWO f (x) = lim f 0 (x) : lim x!a g (x) x!a g 0 (x) dOKAZATELXSTWO. w \TOJ TEOREME a MOVET BYTX KAK KONE^NYM, TAK I BESKONE^NYM SIMWOLOM +1 ILI ;1. pREDELY PONIMA@TSQ KAK SOOTWETSTWU@]IE ODNOSTORONNIE PREDELY. dLQ OPREDELENNOSTI PROWEDEM RASSUVDENIQ W SLU^AE, KOGDA a | ^ISLO I x ! a +0. iZMENENIQ, KOTORYE NUVNO PROIZWESTI, ESLI a | BESKONE^NYJ SIMWOL, O^EWIDNY. bUDEM S^ITATX, ^TO MY NAHODIMSQ W STOLX MALOJ PROKOLOTOJ PRAWOJ OKRESTNOSTI TO^KI a, W KOTOROJ g I g0 NE OBRA]A@TSQ W NULX I PROIZWODNAQ f 0 SU]ESTWUET. w \TOJ OKRESTNOSTI FUNKCIQ g STROGO MONOTONNA. wWEDEM OBOZNA^ENIE f 0 (x) = K lim x!a+0 g 0 (x) I RASSMOTRIM SNA^ALA SLU^AJ, KOGDA PREDEL K KONE^EN. bEREM PROIZWOLXNOE " > 0 I NAHODIM ^ISLO x0 > a TAKOE, ^TO DLQ WSEH x 2 (a x0 ) WYPOLNQETSQ OCENKA f 0 (x) ; K < " : (6.3.8) g0 (x) 2 dLQ KAVDOGO x 2 (a x0 ) PO TEOREME kOI O SREDNEM SU]ESTWUET TO^KA 2 (x x0 ) TAKAQ, ^TO f (x) ; f (x0 ) = f 0 ( ) : g(x) ; g(x0 ) g0 ( ) tAK KAK W TO^KE SPRAWEDLIWA OCENKA (6.3.8), TO f (x ) ; f (x 0 ) ; K < " : (6.3.9) g(x) ; g(x0 ) 2 w SILU STROGOJ MONOTONNOSTI FUNKCII g IMEEM 0 < gg((xx0)) < 1 OTKUDA (6.3.10) 0 < g(x)g;(xg)(x0 ) < 1: 118
uMNOVIM OBE ^ASTI NERAWENSTWA (6.3.9) NA DROBX g(x) ; g(x0 ) : g(x) tOGDA, POLXZUQSX OCENKAMI (6.3.10), POLU^IM f (x) ; f (x0 ) ; K 1 ; g(x0 ) < " : g(x) g(x) 2 pO\TOMU SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO f (x) ; K = f (x);f (x0 ) ; K 1 ; g(x0 ) + f (x0 ) ; K g(x0 ) < g(x) g(x) g(x) g(x) g(x) " f ( x ) g ( x ) < 2 + g(x0) + K g(x0) :
pOLXZUQSX TEPERX TEM, ^TO x!lim g(x) = 1, NAHODIM > 0 TAKOE, a+0 ^TO a + < x0 I DLQ WSEH x 2 (a a + ) WYPOLNQETSQ OCENKA f (x0 ) + K g(x0 ) < " : g(x) g(x) 2 tOGDA DLQ WSEH x 2 (a a + ) IMEEM f (x) ; K < " g(x) A \TO POKAZYWAET, ^TO lim f (x) = K: x!a+0 g (x) tAKIM OBRAZOM, DLQ SLU^AQ KONE^NOGO PREDELA K TEOREMA DOKAZANA. pUSTX TEPERX K BESKONE^NO, DLQ OPREDELENNOSTI K = +1. tOGDA0 W DOSTATO^NO MALOJ PRAWOJ OKRESTNOSTI TO^KI a PROIZWODNAQ f (x) SOHRANQET ZNAK. zNA^IT, W \TOJ OKRESTNOSTI FUNKCIQ f STROGO MONOTONNA. iTAK, SU]ESTWUET TAKAQ PRAWAQ OKRESTNOSTX TO^KI a, ^TO W NEJ OBE FUNKCII f I g DIFFERENCIRUEMY, NE IME@T NULEJ I STROGO MONOTONNY. w DALXNEJEM BUDEM IMETX W WIDU TOLXKO \TU OKRESTNOSTX. iZ USLOWIQ f 0 (x) = +1 lim x!a+0 g 0 (x) 119
SLEDUET, ^TO DLQ KAVDOGO ^ISLA L SU]ESTWUET TO^KA x0 TAKAQ, ^TO DLQ WSEH x IZ (a x0 ) WYPOLNQETSQ OCENKA f 0 (x) > L: g0(x) zAPIEM DLQ x 2 (a x0 ) TOVDESTWO
f (x) = f (x) ; f (x0 ) 1 ; g(x0 ) 1 ; f (x0 ) ;1 : (6.3.11) g(x) g(x) ; g(x0 ) g(x) f (x) pO TEOREME kOI O SREDNEM SU]ESTWUET TO^KA 2 (x x0 ) TAKAQ, ^TO f (x) ; f (x0 ) = f 0 ( ) : g(x) ; g(x0 ) g0 ( ) zNA^IT, DLQ WSEH x 2 (a x0 ) IMEEM f (x) ; f (x0 ) > L: (6.3.12) g(x) ; g(x0 ) pOSKOLXKU FUNKCII f I g STROGO MONOTONNY I IH PREDELY BESKONE^NY, TO SU]ESTWUET TAKAQ PRAWAQ OKRESTNOSTX TO^KI a, ^TO DLQ WSEH x 2 (a x0 ) IZ \TOJ OKRESTNOSTI SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO ;1 1 ; gg((xx0)) 1 ; ff((xx0)) > 12 : (6.3.13) iZ (6.3.11){(6.3.13) WYTEKAET, ^TO DLQ WSEH x IZ UKAZANNOJ OKRESTNOSTI f (x) > 1 L: g(x) 2 oTS@DA lim f (x) = +1: x!a+0 g (x)
tEPERX TEOREMA POLNOSTX@ DOKAZANA. zAMETIM, ^TO ESLI W TEOREME 6.3.3 PREDEL (6.3.7) BESKONE^EN, TO ON OBQZATELXNO RAWEN ILI +1 ILI ;1. w SAMOM DELE, ESLI PREDEL (6.3.7) BESKONE^EN, TO f 0(x) NE MOVET IMETX NULEJ W SOOTWETSTWU@]EJ MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI a. oTS@DA W SILU TEOREMY 6.2.9 0WIDIM, ^TO f STROGO MONOTONNA W UKAZANNOJ OKRESTNOSTI. zNA^IT, f (x) IMEET W NEJ OPREDELENNYJ ZNAK. tAKIM 120
OBRAZOM, I f 0 I g0 IME@T KAVDAQ SWOJ ZNAK I BESKONE^NYJ PREDEL RAWEN +1 ILI ;1. |TO ZAME^ANIE OTNOSITSQ I K ODNOSTORONNIM BESKONE^NYM PREDELAM W TEOREME 6.3.2. rASSMOTRIM NEOPREDELENNOSTI DRUGIH TIPOW. oNI WOZNIKA@T, KOGDA PRI FORMALXNOM PEREHODE K PREDELU POLU^A@TSQ WYRAVENIQ WIDA 0 1 +1 ; (+1) (+0)0 (+1)0 11 : pOKAVEM, KAK KAVDYJ IZ \TIH SLU^AEW MOVNO SWESTI, NAPRIMER, K NEOPREDELENNOSTI WIDA 0=0. pUSTX lim f (x) = 0 I lim g(x) = 1. tOGDA WMESTO PREDELA lim f (x)g(x) MOVNO RASSMATRIWATX PREDEL lim 1f=g(x(x) ) KOTORYJ QWLQETSQ NEOPREDELENNOSTX@ WIDA 0=0. eSLI lim f (x) = +1 I lim g(x) = +1, TO PREDSTAWIM RAZNOSTX \TIH FUNKCIJ W WIDE PROIZWEDENIQ f (x) ; g(x) = g(1x) ; f (1x) f (x)g(x) A PREDEL POSLEDNEGO WYRAVENIQ QWLQETSQ NEOPREDELENNOSTX@ WIDA
0 1.
nEOPREDELENNOSTI 00 , PREDSTAWLENIEM
1 , 11 OBY^NO RASKRYWA@T, POLXZUQSX 0
f (x)g(x) = eln f (x)g(x) = eg(x) ln f (x) (PRI ESTESTWENNOM USLOWII f (x) > 0). tOGDA DLQ NEOPREDELENNOSTEJ WIDA (+0)0 (+1)0 WYRAVENIE W POKAZATELE STEPENI PREOBRAZU@TSQ W 0 1, A DLQ NEOPREDELENNOSTI 11 | W 1 0. w KA^ESTWE PRIMERA NA PRIMENENIE PRAWILA lOPITALQ POSTROIM BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMU@ FUNKCI@, KOTORAQ IMEET NULX TOLXKO W ODNOJ TO^KE, A WSE EE PROIZWODNYE W \TOJ TO^KE RAWNY NUL@. pOKAVEM, ^TO \TIM SWOJSTWOM OBLADAET FUNKCIQ ;1=x2 PRI x 6= 0 '(x) := e0 PRI x = 0: (
121
pRI \TOM BUDET ISPOLXZOWATXSQ RAWENSTWO e;1=x2 = 0 (6.3.14) lim x!0 xk GDE k | PROIZWOLXNOE NATURALXNOE ^ISLO. ~TOBY USTANOWITX (6.3.14), SDELAEM ZAMENU 1=x2 = t I BUDEM IZU^ATX POLU^IWEESQ WYRAVENIE e;1=x2 = tk=2 xk et PRI t ! +1. s POMO]X@ PRAWILA lOPITALQ LEGKO UBEDITXSQ, ^TO tk=2 = 0: (6.3.15) lim t!+1 et dEJSTWITELXNO, PRI KAVDOM DIFFERENCIROWANII ZNAMENATELX OSTAETSQ BEZ IZMENENIJ, A POKAZATELX STEPENI W ^ISLITELE UMENXAETSQ NA EDINICU. pO\TOMU POSLE DOSTATO^NOGO ^ISLA DIFFERENCIROWANIJ ^ISLITELX STANET OGRANI^ENNYM I MY POLU^IM (6.3.15). pRI x 6= 0 IMEEM '0 (x) = x23 e;1=x2 A KAVDAQ 2SLEDU@]AQ PROIZWODNAQ FUNKCII '(x) RAWNA PROIZWEDENI@ e;1=x NA NEKOTORU@ LINEJNU@ KOMBINACI@ DROBEJ WIDA 1=xk . pO\TOMU W SILU (6.3.14) RAWENSTWA '(m) (0) = 0 WYPOLNQ@TSQ DLQ WSEH m = 1 2 : : : I NAE UTWERVDENIE DOKAZANO. x 6.4.
fORMULA tEJLORA
rASSMOTRIM WSPOMOGATELXNU@ ZADA^U. pUSTX FUNKCIQ f (x) IMEET W TO^KE a PROIZWODNYE DO PORQDKA m WKL@^ITELXNO. tREBUETSQ NAJTI MNOGO^LEN Q(x) STEPENI NE WYE m TAKOJ, ^TO DLQ WSEH p = 0 1 : : : m WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA f (p) (a) = Q(p) (a): bUDEM ISKATX MNOGO^LEN, Q(x) W WIDE Q(x) =
m
X
k=0
k (x ; a)k
GDE KO\FFICIENTY k NUVNO OPREDELITX. 122
nAJDEM PROIZWODNU@ MNOGO^LENA Q(x) PORQDKA p p = 0 1 : : : m: Q(p) (x) = p!p +(p +1)p : : : 2 (x ; a)+(p +2)(p +1) : : : 3 (x ; a)2 + : : : : oTS@DA Q(p) (a) = p!p : zNA^IT, DOLVNY WYPOLNQTXSQ RAWENSTWA (p) (p) p = Q p!(a) = f p!(a) p = 0 1 : : : m: tAKIM OBRAZOM, POSTAWLENNU@ ZADA^U REAET MNOGO^LEN m (k ) X Q(x) = f k!(a) (x ; a)k : (6.4.1) k=0
mNOGO^LEN Q(x), ZADANNYJ FORMULOJ (6.4.1), NAZYWA@T MNOGO^LENOM tEJLORA PORQDKA m FUNKCII f W TO^KE a. pUSTX FUNKCIQ f IMEET W TO^KE a PROIZWODNU@ PORQDKA n ; 1. sOSTAWIM RAZNOSTX FUNKCII f I EE MNOGO^LENA tEJLORA PORQDKA n ; 1: nX ;1 (k) f (x) ; f k!(a) (x ; a)k = Rn (x): k=0
rAWENSTWO
f (x) =
nX ;1 f (k) (a) k=0
k k! (x ; a) + Rn (x)
(6.4.2)
NAZYWA@T FORMULOJ tEJLORA PORQDKA n ; 1 FUNKCII f W TO^KE a, FUNKCI@ Rn (x) | OSTATO^NYM ^LENOM FORMULY tEJLORA. pO POSTROENI@ MNOGO^LENA tEJLORA W TO^KE a WSE PROIZWODNYE FUNKCII Rn (x) DO PORQDKA n ; 1 RAWNY NUL@. lEMMA 6.4.1. pUSTX FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA OTREZKE S KONCAMI W TO^KAH a I x, IMEET WO WSEH TO^KAH \TOGO OTREZKA, ZA ISKL@^ENIEM, BYTX MOVET, TO^KI x, PROIZWODNU@ PORQDKA n ; 1 n > 1, I Rn (x) | OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY tEJLORA PORQDKA n ; 1 FUNKCII f W TO^KE a. eSLI g(x) := (x ; a)n , TO SU]ESTWUET TAKAQ TO^KA x , RASPOLOVENNAQ MEVDU a I x, ^TO Rn (x) = Rn(n;1) (x ) ; Rn(n;1)(a) : (6.4.3) g(x) n!(x ; a) 123
dOKAZATELXSTWO. tAK KAK Rn (a) = 0 I g(a) = 0, TO Rn (x) = Rn (x) ; Rn (a) : g (x ) g(x) ; g(a) k POLU^ENNOJ DROBI PRIMENIM TEOREMU kOI O SREDNEM, SOGLASNO KOTOROJ SU]ESTWUET TO^KA x1 , LEVA]AQ MEVDU TO^KAMI a I x, TAKAQ, ^TO Rn (x) = Rn0 (x1 ) : g(x) g0 (x ) 1
pOLXZUQSX TEM, ^TO Rn0 (a) = 0 I g0 (a) = 0, ZAPISYWAEM Rn0 (x1 ) = Rn0 (x1 ) ; Rn0 (a) g0 (x1 ) g0 (x1 ) ; g0 (a) I, WNOWX PRIMENIW TEOREMU kOI O SREDNEM, NAHODIM TO^KU x2 , LEVA]U@ MEVDU a I x1 , A, ZNA^IT, MEVDU TO^KAMI a I x, TAKU@, ^TO Rn0 (x1 ) = Rn00 (x2 ) : g0 (x1 ) g00 (x2 ) pRODOLVAEM \TOT PROCESS I NAHODIM TO^KU xn;1 MEVDU TO^KAMI a I x, DLQ KOTOROJ Rn (x) = Rn(n;1) (xn;1 ) : g(x) g(n;1) (xn;1 ) tEPERX, ^TOBY POLU^ITX FORMULU (6.4.3), NUVNO U^ESTX, ^TO ( n ; g 1) (x) = n!(x ; a) I Rn(n;1) (a) = 0, I POLOVITX x = xn;1 . lEMMA DOKAZANA.
tEOREMA
(fORMULA tEJLORA S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME lAGRANVA). pUSTX FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA OTREZKE S KONCAMI W TO^KAH a I x, IMEET NA INTERWALE S KONCAMI W \TIH TO^KAH PROIZWODNU@ PORQDKA n, n > 1, I NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ 6.4.2
PORQDKA n ; 1 W TO^KE a (ODNOSTORONN@@ SO STORONY TO^KI x). tOGDA SU]ESTWUET ^ISLO , 0 < < 1, TAKOE, ^TO SPRAWEDLIWO RAWENSTWO f (x) =
(n) k + f (a + (x ; a)) (x ; a)n ( x ; a ) k! n!
nX ;1 f (k) (a) k=0
(6.4.4)
NAZYWAEMOE FORMULOJ tEJLORA PORQDKA n ; 1 W TO^KE a S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME lAGRANVA. 124
dOKAZATELXSTWO. pUSTX Rn (x) | OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY tEJLORA (6.4.2) FUNKCII f , RAWNYJ RAZNOSTI FUNKCII f I EE MNOGO^LENA tEJLORA PORQDKA n ; 1. zAPIEM FORMULU (6.4.3) I PRIMENIM TEOREMU kOI O SREDNEM K DROBI W PRAWOJ ^ASTI \TOJ FORMULY. tOGDA POLU^IM, ^TO MEVDU a I x SU]ESTWUET TO^KA TAKAQ, ^TO Rn (x) = Rn(n) ( ) : g(x) n! tAK KAK PROIZWODNAQ PORQDKA n OT MNOGO^LENA PORQDKA NE WYE n ; 1 RAWNA NUL@, TO Rn(n)( ) = f (n)( ). pO\TOMU, ZAPISAW W WIDE a + (x ; a), GDE 0 < < 1, POLU^IM Rn (x) = f (n)(a + (x ; a)) n1! (x ; a)n
A \TO RAWNOSILXNO (6.4.4). tEOREMA DOKAZANA. pRI n = 1 FORMULA (6.4.4) IMEET WID f (x) = f (a) + f 0 (a + (x ; a)) (x ; a) T.E. \TO | FORMULA KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA. iZ TEOREMY 6.4.2 SLEDUET, ^TO ESLI DLQ NEKOTOROGO n SPRAWEDLIWO TOVDESTWO f (n) (x) 0, TO FUNKCIQ f QWLQETSQ MNOGO^LENOM STEPENI NE WYE n ; 1. pRI n = 1 \TO UTWERVDENIE SOSTAWLQLO TEOREMU 6.2.4.
tEOREMA
(fORMULA tEJLORA S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME pEANO). pUSTX FUNKCIQ f (x) IMEET W TO^KE a PROIZWODNU@ PORQDKA n, GDE n > 1. tOGDA SPRAWEDLIWA OCENKA 6.4.3
f (x) =
n
f (k) (a) (x ; a)k + o ((x ; a)n ) x ! a k=0 k ! X
(6.4.5)
NAZYWAEMAQ FORMULOJ tEJLORA PORQDKA n W TO^KE a S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME pEANO. dOKAZATELXSTWO. iZ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ f (n)(a) ZAKL@^AEM, ^TO OSTATO^NYJ ^LEN Rn FORMULY tEJLORA (6.4.2) IMEET W TO^KE a PROIZWODNU@ PORQDKA n I SPRAWEDLIWO RAWENSTWO Rn(n) (a) = f (n) (a). 125
tAK KAK PROIZWODNAQ f (n;1) SU]ESTWUET W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI a, TO WYPOLNENY USLOWIQ LEMMY 6.4.1. pO\TOMU MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ RAWENSTWOM (6.4.3) I ZAPISATX EGO PRAWU@ ^ASTX W WIDE 1 (n) 1 (n) n! Rn (a) + o (1) = n! f (a) + o (1) x ! a: tAKIM OBRAZOM, Rn (x) = f (n) (a) 1 + o (1) x ! a: g(x) n! uMNOVIW LEWU@ I PRAWU@ ^ASTI \TOJ OCENKI NA g(x), PRIHODIM K (6.4.5). tEOREMA DOKAZANA. w TEOREME 6.4.3 PROIZWODNAQ MOVET PONIMATXSQ KAK ODNOSTORONNQQ. tOGDA OCENKA (6.4.5) IMEET MESTO DLQ x IZ SOOTWETSTWU@]EJ ODNOSTORONNEJ OKRESTNOSTI TO^KI a. pRI n = 1 FORMULA (6.4.5) PRINIMAET WID f (x) = f (a) + f 0 (a)(x ; a) + o(x ; a) x ! a RAWNOSILXNYJ PREDSTAWLENI@ PRIRA]ENIQ FUNKCII ^EREZ DIFFERENCIAL. oSTATO^NYJ ^LEN W FORMULE tEJLORA ZAWISIT OT n I OT x ; a. ~ASTO FORMULOJ tEJLORA POLXZU@TSQ, KOGDA n FIKSIROWANO I x ; a ! 0 ILI KOGDA x FIKSIROWANO, A n ! 1. x fORMULA tEJLORA DLQ \LEMENTARNYH FUNKCIJ 6.5.
zAPIEM DLQ \LEMENTARNYH FUNKCIJ IH MNOGO^LENY tEJLORA I BUDEM SLEDITX ZA POWEDENIEM OSTOTO^NOGO ^LENA FORMULY tEJLORA PRI FIKSIROWANNOM x I n ! 1. pRI \TOM BUDEM POLXZOWATXSQ PREDSTAWLENIEM OSTATO^NOGO ^LENA W FORME lAGRANVA. dLQ PROSTOTY ZAPISI I PO TRADICII BUDEM RASSMATRIWATX FORMULU tEJLORA W NULE. pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ f (x) = ex tAK KAK f (k) (x) = ex , TO f (k) (0) = 1 DLQ WSEH k. zNA^IT, 1 .
ex = 126
n 1 xk +
X
k=0 k !
e x xn+1 (n + 1)!
(6.5.1)
GDE 0 < < 1. nO DLQ KAVDOGO x IMEEM e x 6 ejxj. pO\TOMU DLQ OSTATO^NOGO ^LENA FORMULY tEJLORA (6.5.1) SPRAWEDLIWA OCENKA e x xn+1 6 jxjn+1 ejxj (n + 1)! (n + 1)!
KOTORAQ W SILU (2.5.1) POKAZYWAET, ^TO DLQ KAVDOGO x OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY tEJLORA STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1. pRI x = 1 IZ FORMULY (6.5.1) POLU^AEM e=
n 1
X
k=0
e k! + (n + 1)! :
(6.5.2)
pRI n = 2 IMEEM e=
1 + e < 1 + 1 + 1 + e 2 6 k=0 k ! 3! 2 X
I, ZNA^IT, e < 3. tAKIM OBRAZOM, SOGLASNO (6.5.2) SPRAWEDLIWA OCENKA 0<e;
n 1
X
3
< : k=0 k ! (n + 1)!
(6.5.3)
dROBX W PRAWOJ ^ASTI FORMULY (6.5.3) PRI n ! 1 STREMITSQ K NUL@ DOSTATO^NO BYSTRO. pO\TOMU FORMULA (6.5.2), W OTLI^IE OT OPREDELENIQ ^ISLA e, MOVET BYTX ISPOLXZOWANA DLQ NAHOVDENIQ PRIBLIVENNOGO ZNA^ENIQ e. s POMO]X@ (6.5.3) LEGKO DOKAZATX IRRACIONALXNOSTX ^ISLA e. bUDEM RASSUVDATX OT PROTIWNOGO. pREDPOLOVIM, ^TO e RACIONALXNO I (6.5.4) e= m n
GDE n > 2, TAK KAK e ZAWEDOMO NE QWLQETSQ NATURALXNYM ^ISLOM. uMNOVIW DWOJNOE NERAWENSTWO (6.5.3) NA n!, POLU^IM 0 < n! e ;
n
n! < 3 6 1: k=0 k ! n + 1 X
127
tAKIM OBRAZOM, ^ISLO n! e ;
n n! n! = (n ; 1)! m ; X k=0 k ! k=0 k ! n
X
DOLVNO PRINADLEVATX INTERWALU (0 1), wMESTE S TEM, \TO ^ISLO CELOE. pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE DOKAZYWAET IRRACIONALXNOSTX e. 2 .
iMEEM OTKUDA
fUNKCIQ
sin
x
sin(k) x = sin x + k 2
sin(k) 0 = sin k 2:
tAKIM OBRAZOM, ZNA^ENIE PROIZWODNOJ PORQDKA k W NULE DLQ ^ETNYH k RAWNO NUL@, A DLQ NE^ETNYH k ONO RAWNO (;1)k;1 . zNA^IT, FORMULA tEJLORA PORQDKA 2n ; 1 DLQ FUNKCII sin x IMEET WID n 2k ;1 X sin x = (;1)k;1 (2xk ; 1)! + R2n;1 (x) (6.5.5) k=1 GDE DLQ OSTATO^NOGO ^LENA SPRAWEDLIWO PREDSTAWLENIE (2n+1) R2n;1 (x) = sin(2n + 1)!x x2n+1 : oTS@DA SLEDUET OCENKA 2n+1 jR2n;1 (x)j 6 (2jxnj + 1)! KOTORAQ POKAZYWAET, ^TO DLQ WSEH x OSTATO^NYJ ^LEN STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1. 3 .
fUNKCIQ
cos
x
w \TOM SLU^AE RASSUVDENIQ ANALOGI^NY PREDYDU]IM. tAK KAK k (k) cos x = cos x + 2
128
TO
cos(k) 0 = cos k 2:
pO\TOMU cos x =
n
X
k=0
2k
(;1)k (2xk)! + R2n (x)
(6.5.6)
GDE DLQ OSTATO^NOGO ^LENA SPRAWEDLIWA OCENKA 2n+2 jR2n (x)j 6 (2xn + 2)! : zNA^IT, OSTATO^NYJ ^LEN DLQ KAVDOGO x STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1. 4 .
fUNKCII
sh
xI
ch
x
tAK KAK sh(k) x = sh x DLQ ^ETNYH k I sh(k) x = ch x DLQ NE^ETNYH k, TO sh(k) 0 = 0 DLQ ^ETNYH k I sh(k) 0 = 1 DLQ NE^ETNYH k. pO\TOMU sh x =
n
x2k;1 + R (x) 2n;1 k=1 (2k ; 1)! X
(6.5.7)
GDE DLQ R2n+1 (x) SPRAWEDLIWA OCENKA
jR n; (x)j 6 ejxj (2jxnj + 1)! : 2n+1
2
1
aNALOGI^NO, ch x =
GDE
n
x2k + R (x) 2n k=0 (2k )! X
(6.5.8)
2n+2
jR n(x)j 6 ejxj (2xn + 2)! : 2
w OBOIH \TIH SLU^AQH DLQ KAVDOGO FIKSIROWANNOGO x OSTATO^NYJ ^LEN STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1. zAMETIM, ^TO FORMULY (6.5.7) I (6.5.8) MOVNO WYWESTI I IZ (6.5.1).
129
5 .
lOGARIFMI^ESKAQ FUNKCIQ f (x) = ln(1 + x)
zDESX W OTLI^IE OT PREDYDU]IH PRIMEROW FUNKCIQ OPREDELENA NE DLQ WSEH x, A TOLXKO PRI x > ;1. nAJDEM PROIZWODNYE FUNKCII ln(1 + x). iMEEM I PRI k > 2
f 0 (x) = 1 +1 x = (1 + x);1
: : : (;(k ; 1)) = (;1)k;1 (k ; 1)! : f (k) (x) = (;1) (;2) (1 + x)k (1 + x)k
pO\TOMU ln(1 + x) =
GDE
n
X
k=1
k
(;1)k;1 xk + Rn (x)
xn+1 Rn (x) = (;1)n (n + 1)(1 + x)n+1 0 < < 1:
(6.5.9)
(6.5.10)
oCENIM OSTATO^NYJ ^LEN (6.5.10). eSLI x 2 0 1], TO
jRn(x)j 6 n +1 1 :
(6.5.11)
pO\TOMU DLQ \TIH x OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY (6.5.9) STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1. eSLI x 2 ;1=2 0), TO
n+1 jxj n+1 x xn+1 < 1 ; jxj 6 1: (1 + x)n+1 = 1 + x zNA^IT, DLQ \TIH x TAKVE SPRAWEDLIWA OCENKA (6.5.11). tAKIM OBRAZOM, MY USTANOWILI, ^TO DLQ x 2 ;1=2 1] OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY (6.5.9) STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1. w GLAWE 16 BUDET USTANOWLENO, ^TO OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY (6.5.9) PRI n ! 1 STREMITSQ K NUL@ DLQ x 2 (;1 1], A DLQ OSTALXNYH x \TO NE TAK. pREDSTAWLENIE OSTATO^NOGO ^LENA W FORME lAGRANVA (6.5.10) NE POZWOLQET SDELATX \TOT WYWOD. 130
6 .
sTEPENNAQ FUNKCIQ f (x) = (1 + x)m
sNA^ALA RASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA m | NATURALXNOE ^ISLO. eSLI k 6 m, TO f (k) (x) = m(m ; 1) : : : (m ; k + 1)(1 + x)m;k I, ZNA^IT, f (k) (0) = m(m ; 1) : : : (m ; k + 1) = (mm;! k)! : a ESLI k > m, TO f (k) (x) 0. pO\TOMU OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY tEJLORA PORQDKA n DLQ n > m RAWEN NUL@ I m k X m (1 + x) = (mm;! k)! xk! : k=0 tAKIM OBRAZOM, DLQ WSEH x SPRAWEDLIWO RAWENSTWO m m X X (1 + x)m = (m ;mk! )!k! xk = Cmk xk (6.5.12) k=0 k=0
GDE Cmk | BINOMIALXNYE KO\FFICIENTY (5.5.1), KOTORYE U^ASTWOWALI W FORMULE lEJBNICA DLQ PROIZWODNOJ PROIZWEDENIQ DWUH FUNKCIJ. iZ RAWENSTWA (6.5.12) LEGKO WYWESTI FORMULU BINOMA nX@TONA (a + b)m =
m
X
k=0
Cmk ak bm;k
(6.5.13)
DLQ PROIZWOLXNYH ^ISEL a I b. w SAMOM DELE, DOSTATO^NO RASSMOTRETX b 6= 0, A W \TOM SLU^AE m m m k X X a m m (a + b) = b 1 + b = bm Cmk abk = Cmk ak bm;k : k=0 k=0
tOT FAKT, ^TO ^ISLA Cmk QWLQ@TSQ KO\FFICIENTAMI W PREDSTAWLENII (6.5.13), SLUVIT OSNOWANIEM DLQ NAZWANIQ IH BINOMIALXNYMI KO\FFICIENTAMI. eSLI m NE QWLQETSQ NATURALXNYM ^ISLOM, TO DLQ WSEH k f (k) (x) = m(m ; 1) : : : (m ; k + 1)(1 + x)m;k 131
I, ZNA^IT,
f (k) (0) = m(m ; 1) : : : (m ; k + 1): pO\TOMU FORMULA tEJLORA PORQDKA n IMEET WID (1 + x)m = 1 + m x + 1!
(6.5.14) + m(m2!; 1) x2 + + m(m ; 1) : :n: !(m ; n + 1) xn + Rn (x): w 16 GLAWE BUDET POKAZANO, ^TO PRI n ! 1 OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY tEJLORA (6.5.14) DLQ jxj < 1 STREMITSQ K NUL@, DLQ jxj > 1 \TO NE TAK, A DLQ x, RAWNYH +1 I ;1, WOPROS REAETSQ W ZAWISIMOSTI OT ZNA^ENIQ m. pROSTOE WYRAVENIE MNOGO^LENA tEJLORA IMEET E]E FUNKCIQ arctg x, OB \TOM BUDET GOWORITSQ W 16 GLAWE. wYRAVENIQ MNOGO^LENOW tEJLORA DRUGIH \LEMENTARNYH FUNKCIJ SLOVNY I MY NE BUDEM NA \TOM OSTANAWLIWATXSQ. x 6.6.
iSSLEDOWANIE FUNKCIJ S POMO]X@ STARIH PROIZWODNYH
dO SIH POR SWOJSTWA FUNKCIJ HARAKTERIZOWALSX S POMO]X@ PROIZWODNYH PERWOGO PORQDKA. sEJ^AS BUDEM ISSLEDOWATX SWOJSTWA FUNKCIJ, ISPOLXZUQ STARIE PROIZWODNYE. sNA^ALA RASSMOTRIM WOPROS O LOKALXNYH \KSTREMUMAH. tEOREMA 6.6.1. pUSTX FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x0 PROIZWODNU@ PORQDKA n n > 1, PRI^EM f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = = f (n;1)(x0 ) = 0, A f (n) (x0 ) 6= 0. tOGDA 1. eSLI n ^ETNO, TO f IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ \KSTREMUM, PRI^EM \TO MAKSIMUM, ESLI f (n) (x0 ) < 0, I MINIMUM, ESLI f (n) (x0 ) > 0. 2. eSLI n NE^ETNO, TO f STROGO MONOTONNA W TO^KE x0 . pRI \TOM f W TO^KE x0 STROGO WOZRASTAET, ESLI f (n) (x0 ) > 0, I STROGO UBYWAET, ESLI f (n)(x0 ) < 0. dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, ^TO PRI n = 1 USLOWIE TEOREMY OZNA^AET f 0 (x0 ) 6= 0. w SILU USLOWIJ NA FUNKCI@ f (x) IZ FORMULY tEJLORA S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME pEANO SLEDUET, ^TO (n) f (x) ; f (x0 ) = f n(!x0 ) (x ; x0 )n + o ((x ; x0 )n ) x ! x0 : (6.6.1) 132
tAK KAK f (n) (x0 ) 6= 0, TO W DOSTATO^NO MALOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 ZNAK WYRAVENIQ W PRAWOJ ^ASTI OCENKI (6.6.1) OPREDELQETSQ PERWYM SLAGAEMYM. sEJ^AS NAS INTERESUET TOLXKO ZNAK \TOGO WYRAVENIQ PRI x, BLIZKIH K x0 , PO\TOMU SLAGAEMOE o((x;x0 )n ) MOVNO NE U^ITYWATX. pUSTX SNA^ALA n | ^ETNO. tOGDA (x ; x0 )n > 0 DLQ WSEH x 6= x0 . pO\TOMU, ESLI f (n) (x0 ) > 0, TO f (x) ; f (x0 ) > 0, T.E. f (x) > f (x0 ), DLQ x IZ DOSTATO^NO MALOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . a \TO OZNA^AET , ^TO f IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ MINIMUM. eSLI VE f (n) (x0 ) < 0, TO f (x) ; f (x0 ) < 0 DLQ x IZ DOSTATO^NO MALOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , I, ZNA^IT, f IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ MAKSIMUM. pUSTX TEPERX n NE^ETNO. tOGDA (x ; x0 )n > 0 DLQ x > x0 I (x ; x0 )n < 0 DLQ x < x0 . pO\TOMU, ESLI f (n) (x0 ) > 0 I x PRINADLEVIT DOSTATO^NO MALOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , TO f (x) > f (x0 ), ESLI x > x0 , I f (x) < f (x0 ), ESLI x < x0 . tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ f (x) STROGO WOZRASTAET W TO^KE x0 . aNALOGI^NO RASSMATRIWAETSQ SLU^AJ, KOGDA f (n) (x0 ) < 0. tEOREMA DOKAZANA. tAKIM OBRAZOM, ESLI U FUNKCII W NEKOTOROJ TO^KE ESTX NERAWNAQ NUL@ PROIZWODNAQ KAKOGO-LIBO PORQDKA, TO W \TOJ TO^KE FUNKCIQ ILI IMEET STROGIJ LOKALXNYJ \KSTREMUM ILI QWLQETSQ STROGO MONOTONNOJ. tEOREMA 6.6.1 NEPRIMENIMA, ESLI FUNKCIQ NE IMEET W TO^KE OTLI^NYH OT NULQ PROIZWODNYH, T.E. ESLI WSE PROIZWODNYE DO NEKOTOROGO PORQDKA RAWNY NUL@, A PROIZWODNYE BOLEE WYSOKOGO PORQDKA NE SU]ESTWU@T, ILI ESLI PROIZWODNYE L@BOGO PORQDKA SU]ESTWU@T, NO WSE ONI RAWNY NUL@. tEOREMA 6.6.1 SFORMULIROWANA KAK DOSTATO^NOE USLOWIE SU]ESTWOWANIQ LOKALXNOGO \KSTREMUMA. nO IZ \TOJ TEOREMY MOVNO POLU^ITX I NEOBHODIMYE USLOWIQ LOKALXNOGO \KSTREMUMA, KOTORYE W ^ASTNOM SLU^AE DA@T TEOREMU fERMA 6.1.2. tEOREMA 6.6.2. pUSTX W TO^KE x0 FUNKCIQ f IMEET PROIZWODNU@ PORQDKA n n > 1, PRI^EM WSE PROIZWODNYE MENXEGO PORQDKA RAWNY NUL@, T.E. f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = = f (n;1) (x0 ) = 0. tOGDA 1 . eSLI n ^ETNO, TO USLOWIE f (n) (x0 ) 6 0 NEOBHODIMO, DLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f IMELA W TO^KE x0 LOKALXNYJ MAKSIMUM, A USLOWIE f (n) (x0 ) > 0 NEOBHODIMO, DLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f IMELA W TO^KE x0 LOKALXNYJ MINIMUM. 2 . eSLI n NE^ETNO, TO USLOWIE f (n) (x0 ) = 0 NEOBHODIMO, DLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f IMELA W TO^KE x0 LOKALXNYJ \KSTEMUM. dOKAZATELXSTWO. eSLI n ^ETNO I f (n) (x0 ) > 0, TO SOGLASNO TEOREME 6.6.1 f IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ MINIMUM. zNA^IT, 133
LOKALXNYJ MAKSIMUM WOZMOVEN TOLXKO PRI USLOWII f (n) (x0 ) 6 0. aNALOGI^NO POLU^AEM NEOBHODIMOE USLOWIE DLQ LOKALXNOGO MINIMUMA. eSLI n NE^ETNO I f (n) (x0 ) 6= 0, TO SOGLASNO TEOREME 6.6.1 f STROGO MONOTONNA W TO^KE x0 . zNA^IT, LOKALXNYJ \KSTREMUM(n)W TO^KE x0 FUNKCIQ f MOVET IMETX TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA f (x0 ) = 0. rASSMOTRIM SWOJSTWA GRAFIKOW FUNKCIJ, IME@]IH PROIZWODNYE. w x 5.2, BYLO DOKAZANO, ^TO SU]ESTWOWANIE PERWOJ PROIZWODNOJ FUNKCII f (x) W TO^KE x0 \KWIWALENTNO SU]ESTWOWANI@ U GRAFIKA FUNKCII f KASATELXNOJ W TO^KE (x0 f (x0 )). sEJ^AS NAS BUDUT INTERESOWATX HARAKTERISTIKI GRAFIKA FUNKCII, SWQZANNYE S POLOVENIEM GRAFIKA OTNOSITELXNO KASATELXNOJ. oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0 . gOWORQT, ^TO f WYPUKLA W TO^KE x0 , ESLI DLQ x IZ NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII LEVAT NA KASATELXNOJ W TO^KE x0 ILI WYE KASATELXNOJ (T.E. NET TO^EK GRAFIKA, LEVA]IH NIVE KASATELXNOJ). eSLI VE DLQ x IZ NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII LEVAT WYE KASATELXNOJ, TO FUNKCI@ NAZYWA@T STROGO WYPUKLOJ W TO^KE x0 . oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0 . gOWORQT, ^TO f WOGNUTA W TO^KE x0 , ESLI DLQ x IZ NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII LEVAT NA KASATELXNOJ W TO^KE x0 ILI NIVE KASATELXNOJ. eSLI VE DLQ x IZ NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII LEVAT NIVE KASATELXNOJ, TO FUNKCI@ NAZYWA@T STROGO WOGNUTOJ W TO^KE x0 . oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0 . gOWORQT, ^TO x0 QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA FUNKCII f , ESLI DLQ x IZ NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII DLQ x < x0 LEVAT STROGO PO ODNU STORONU OT KASATELXNOJ W TO^KE x0 , A DLQ x > x0 | STROGO PO DRUGU@ STORONU OT \TOJ KASATELXNOJ. eSLI FUNKCIQ IMEET W TO^KE BESKONE^NU@ PROIZWODNU@ OPREDELENNOGO ZNAKA, TO TAKU@ TO^KU TAKVE NAZYWA@T TO^KOJ PEREGIBA. tEOREMA 6.6.3. pUSTX W TO^KE x0 FUNKCIQ f IMEET OTLI^NU@ OT NULQ PROIZWODNU@ PORQDKA n n > 2, A WSE PROIZWODNYE, NA^INAQ SO WTOROJ DO PORQDKA n ; 1, RAWNY NUL@, T.E. f 00 (x0 ) = = f (n;1) (x0 ) = 0, A f (n) (x0 ) 6= 0. tOGDA 1 . eSLI n ^ETNO, TO f W TO^KE x0 STROGO WYPUKLA, ESLI ( n ) f (x0 ) > 0, I STROGO WOGNUTA W TO^KE x0 , ESLI f (n) (x0 ) < 0. 134
2 . eSLI n NE^ETNO, TO x0 QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA FUNKCII f . dOKAZATELXSTWO. pRI n = 2 USLOWIE NA PROIZWODNYE OZN^AET, ^TO f 00 (x0 ) 6= 0.
uRAWNENIE KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII W TO^KE x0 IMEET WID y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x ; x0 ). rASSMOTRIM FUNKCI@ '(x) := f (x) ; f (x0 ) ; f 0 (x0 )(x ; x0 ): dLQ FUNKCII '(x) WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ
'(x0 ) = '0 (x0 ) = '00 (x0 ) = = '(n;1) (x0 ) = 0: pROIZWODNYE PORQDKA n W TO^KE x0 FUNKCIJ '(x) I f (x) RAWNY MEVDU SOBOJ. pO\TOMU W SLU^AE, KOGDA n ^ETNO, SOGLASNO TEOREME 6.6.1 '(x) IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ MINIMUM, ESLI f (n) (x0 ) > 0, I STROGIJ LOKALXNYJ MAKSIMUM, ESLI f (n)(x0 ) < 0. a TAK KAK f (x) = '(x) + f (x0 ) + f 0(x0 )(x ; x0 ) TO W TO^KE x0 FUNKCIQ f (x) STROGO WYPUKLA, ESLI f (n)(x0 ) > 0, I STROGO WOGNUTA, ESLI f (n) (x0 ) < 0. eSLI VE n NE^ETNO, TO FUNKCIQ '(x) STROGO MONOTONNA W TO^KE x0 . zNA^IT, x0 QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA FUNKCII f (x). tEOREMA DOKAZANA. tAKIM OBRAZOM, W KAVDOJ TO^KE, W KOTOROJ FUNKCIQ IMEET OTLI^NU@ OT NUL@ WTORU@ PROIZWODNU@, \TA FUNKCIQ QWLQETSQ ILI STROGO WYPUKLOJ ILI STROGO WOGNUTOJ, PRI^EM PO ZNAKU WTOROJ PROIZWODNOJ MOVNO UZNATX, KAKOJ IMENNO SLU^AJ IMEET MESTO. eSLI VE WTORAQ PROIZWODNAQ RAWNA NUL@, A TRETXQ PROIZWODNAQ OTLI^NA OT NULQ, TO TAKAQ TO^KA QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA. rAZUMEETSQ, FUNKCIQ MOVET IMETX TO^KI, KOTORYE NE QWLQ@TSQ EE TO^KAMI WYPUKLOSTI, WOGNUTOSTI ILI TO^KAMI PEREGIBA. nO W \TIH TO^KAH FUNKCIQ NE IMEET OTLI^NOJ OT NULQ PROIZWODNOJ PORQDKA n > 2. x 6.7.
fUNKCII WYPUKLYE NA PROMEVUTKE ,
oPREDELENIE fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ WYPUKLOJ NA PROMEVUT-
KE a b], ESLI DLQ L@BOGO OTREZKA x1 x2 ] a b] WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII f (x), SOOTWETSTWU@]IE x 2 (x1 x2 ), LEVAT NA HORDE, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI (x1 f (x1 )) I (x2 f (x2 )), ILI NIVE \TOJ HORDY. .
135
fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ STROGO WYPUKLOJ NA PROMEVUTKE a b], ESLI DLQ L@BOGO OTREZKA x1 x2 ] a b] WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII f (x), SOOTWETSTWU@]IE x 2 (x1 x2 ), LEVAT NIVE HORDY, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI (x1 f (x1 )) I (x2 f (x2 )). zDESX, KAK I W ANALOGI^NYH SLU^AQH NIVE, KONCEWYE TO^KI a I b MOGUT KAK PRINADLEVATX, TAK I NE PRINADLEVATX PROMEVUTKU a b]. oPREDELENIE. fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ WOGNUTOJ NA PROMEVUTKE a b], ESLI DLQ L@BOGO OTREZKA x1 x2 ] a b] WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII f (x), SOOTWETSTWU@]IE x 2 (x1 x2 ), LEVAT NA HORDE, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI (x1 f (x1 )) I (x2 f (x2 )), ILI WYE \TOJ HORDY. fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ STROGO WOGNUTOJ NA PROMEVUTKE a b], ESLI DLQ L@BOGO OTREZKA x1 x2 ] a b] WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII f (x), SOOTWETSTWU@]IE x 2 (x1 x2 ), LEVAT WYE HORDY, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI (x1 f (x1 )) I (x2 f (x2 )). y
y f выпукла
a
x1
f вогнута
x2
b
x
a
x1
x2
b
x
nARQDU S \TOJ TERMINOLOGIEJ ISPOLXZU@T I DRUGU@, KOGDA WYPUKLYE FUNKCII NAZYWA@T WYPUKLYMI WNIZ, A WOGNUTYE FUNKCII | WYPUKLYMI WWERH. oPREDELENIQ WYPUKLYH I WOGNUTYH FUNKCIJ S POMO]X@ SWOJSTW IH GRAFIKOW DA@T NAGLQDNOE PREDSTAWLENIE O TAKIH FUNKCIQH, NO \TIMI OPREDELENIQMI NEUDOBNO POLXZOWATXSQ. uKAVEM SWOJSTWA SAMIH FUNKCIJ, RAWNOSILXNYE IH WYPUKLOSTI I WOGNUTOSTI. zAMETIM, ^TO WOGNUTOSTX FUNKCII f (x) RAWNOSILXNA WYPUKLOSTI FUNKCII ;f (x). |TO POZWOLQET PRI IZU^ENII SWOJSTW WYPUKLYH I WOGNUTYH FUNKCIJ RASSMATRIWATX TOLXKO WYPUKLYE FUNKCII. fUNKCII, WYPUKLYE NA PROMEVUTKE, NE OBQZATELXNO IME@T PROIZWODNU@ WO WSEH TO^KAH \TOGO PROMEVUTKA. nAPRIMER, WYPUKLOJ QWLQETSQ FUNKCIQ jxj. pO\TOMU W NEOBHODIMYH USLOWIQH WYPUKLOSTI PROIZWODNYE NE MOGUT U^ASTWOWATX. 136
tEOREMA
6.7.1. dLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f BYLA WYPUKLOJ NA PROMEVUTKE a b], NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DLQ L@BYH TO^EK x0 , x, t0 , t IZ \TOGO PROMEVUTKA, UDOWLETWORQ@]IH USLOWIQM x0 6 t0 < t x0 < x 6 t (6.7.1) WYPOLNQLOSX NERAWENSTWO f (x) ; f (x0 ) 6 f (t) ; f (t0 ) : (6.7.2) x ; x0 t ; t0 dLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f BYLA STROGO WYPUKLOJ NA PROMEVUTKE a b], NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DLQ L@BYH TO^EK x0 , x, t0 , t IZ \TOGO PROMEVUTKA, UDOWLETWORQ@]IH USLOWIQM (6:7:1), WYPOLNQLOSX NERAWENSTWO f (x) ; f (x0 ) < f (t) ; f (t0 ) : (6.7.3) x ; x0 t ; t0
dOKAZATELXSTWO. pUSTX FUNKCIQ f WYPUKLA NA a b]. sNA^ALA DOKAVEM NERAWENSTWO (6.7.2) PRI t0 = x. uRAWNENIE HORDY, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI (x0 f (x0 )) I (t f (t)) GRAFIKA FUNKCII f , IMEET WID y = tt;;xx f (x0 ) + xt ;; xx0 f (t): 0 0 tAK KAK t0 = x, TO x0 < x < t I W SILU WYPUKLOSTI f IMEEM f (x) 6 tt;;xx f (x0 ) + xt ;; xx0 f (t): (6.7.4) 0 0 nO W NAEM SLU^AE MY MOVEM NAPISATX f (x) = tt;;xx f (x) + xt ;; xx0 f (t0 ): 0 0 pO\TOMU POSLE SOOTWETSTWU@]EJ GRUPPIROWKI SLAGAEMYH OCENKA (6.7.4) PREOBRAZUETSQ W RAWNOSILXNU@ EJ OCENKU f (x) ; f (x0 ) 6 f (t) ; f (x) x < x < t: (6.7.5) 0 x ; x0 t;x tAKIM OBRAZOM, PRI t0 = x NERAWENSTWO (6.7.2) DOKAZANO. 137
eSLI x < t0 , TO PRIMENIW OCENKU WIDA (6.7.5) SNA^ALA K TO^KAM x0 , x, t0 , A ZATEM K TO^KAM x, t0 , t, POLU^IM
f (x) ; f (x0 ) 6 f (t0 ) ; f (x) 6 f (t) ; f (t0 ) x ; x0 t0 ; x t ; t0 T.E. SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO (6.7.2). rASSMOTRIM OSTAWIJSQ SLU^AJ, KOGDA x0 6 t0 < x 6 t. pO ANALOGII S (6.7.4) OCENIM f (t0 ) ^EREZ f (x0 ) I f (x), A f (x) ^EREZ f (t0 ) I f (t): x0 f (t): f (t0 ) 6 xx ;; xt0 f (x0 )+ tx0 ;; xx0 f (x) f (x) 6 tt;;xx f (t0 )+ xt ; ; t0 0 0 0
sLOVIW \TI NERAWENSTWA, POSLE PRIWEDENIQ PODOBNYH SLAGAEMYH PRIHODIM K (6.7.2). iTAK, NEOBHODIMOSTX USLOWIQ (6.7.2) DLQ WYPUKLYH FUNKCIJ USTANOWLENA. dOSTATO^NOSTX \TOGO USLOWIQ WYTEKAET IZ RAWNOSILXNOSTI OCENOK (6.7.4) I (6.7.5). dOKAZATELXSTWO UTWERVDENIQ TEOREMY O STROGO WYPUKLYH FUNKCIQH PROWODITSQ ANALOGI^NO. nUVNO TOLXKO W NERAWENSTWE (6.7.4), EGO SLEDSTWIQH I ANALOGAH WMESTO 6 PISATX 0: (6.7.8) h h oCENKA (6.7.2) POKAZYWAET, ^TO PRI UBYWANII h DROBX IZ PRAWOJ ^ASTI NERAWENSTWA (6.7.8) UBYWAET, A DROBX IZ LEWOJ ^ASTI | WOZRASTAET. pO\TOMU, PEREHODQ W (6.7.8) K PREDELU PRI h ! +0, POLU^IM SU]ESTWOWANIE PROIZWODNYH f;0 (x0 ) I f+0 (x0 ) I NERAWENSTWO f;0 (x0 ) 6 f+0 (x0 ). oTMETIM, ^TO IZ SU]ESTWOWANIQ ODNOSTORONNIH PROIZWODNYH WYTEKAET NEPRERYWNOSTX FUNKCII f NA (a b). tO^KAMI RAZRYWA MOGUT BYTX TOLXKO KONCEWYE TO^KI PROMEVUTKA WYPUKLOSTI. pUSTX TEPERX a < x1 < x2 < b. dLQ PROIZWOLXNOJ TO^KI x 2 (x1 x2 ) IZ (6.7.6) NAHODIM f (x) ; f (x1 ) 6 f (x2 ) ; f (x) : (6.7.9) x ; x1 x2 ; x iZ (6.7.9) PRI x ! x1 + 0 POLU^AEM ; f (x1 ) f+0 (x1 ) 6 f (xx2 ) ; (6.7.10) x1 2 139
A PRI x ! x2 ; 0
f (x2 ) ; f (x1 ) 6 f 0 (x ): (6.7.11) ; 2 x2 ; x1 tAKIM OBRAZOM, f+0 (x1 ) 6 f;0 (x2 ). nAKONEC, ESLI FUNKCIQ f STROGO WYPUKLA, TO W (6.7.9) IMEEM STROGOE NERAWENSTWO. tAK KAK PRI UBYWANII x DROBX IZ LEWOJ ^ASTI (6.7.9) STROGO UBYWAET, TO WMESTO (6.7.10) POLU^IM f (x1 ) f+0 (x1 ) < f (xx2 ) ; ; x1 2 ^TO WMESTE S (6.7.11) DAET OCENKU f+0 (x1 ) < f;0 (x2 ). tEOREMA DOKAZANA. s L E D S T W I E 6.7.4. eSLI FUNKCIQ WYPUKLA NA PROMEVUTKE, TO ONA DIFFERENCIRUEMA WO WSEH WNUTRENNIH TO^KAH \TOGO PROMEVUTKA, ZA ISKL@^ENIEM NE BOLEE ^EM S^ETNOGO MNOVESTWA TO^EK. w SAMOM DELE, DLQ KAVDOJ WNUTRENNEJ TO^KI x0 PROMEVUTKA WYPUKLOSTI FUNKCII f , W KOTOROJ f;0 (x0 ) < f+0 (x0 ),0 MOVNO0 NAJTI RACIONALXNOE ^ISLO, PRINADLEVA]EE INTERWALU (f; (x0 ) f+ (x0 )). zNA^IT, MO]NOSTX MNOVESTWA TO^EK NEDIFFERENCIRUEMOSTI NE MOVET PREWYATX MO]NOSTI MNOVESTWA RACIONALXNYH ^ISEL. wYPUKLOSTX FUNKCIJ, IME@]IH PERWU@ PROIZWODNU@, HARAKTERIZUETSQ W TERMINAH MONOTONNOSTI PROIZWODNOJ. tEOREMA 6.7.5. pUSTX FUNKCIQ f (x) DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a b). tOGDA DLQ WYPUKLOSTI f (x) NA (a b) NEOBHODIMO I DOSTATO^NO WOZRASTANIE PROIZWODNOJ f 0 (x), A DLQ STROGOJ WYPUKLOSTI f (x) NEOBHODIMO I DOSTATO^NO STROGOE WOZRASTANIE PROIZWODNOJ f 0 (x). dOKAZATELXSTWO. sOGLASNO TEOREME 6.7.3, ESLI DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ WYPUKLA NA (a b), TO EE PROIZWODNAQ WOZRASTAET. a W SLU^AE STROGOJ WYPUKLOSTI FUNKCII PROIZWODNAQ STROGO WOZRASTAET. tAKIM OBRAZOM, USLOWIQ TEOREMY NEOBHODIMY. 0 dOKAVEM, ^TO IZ WOZRASTANIQ PROIZWODNOJ f (x) NA (a b) SLEDUET WYPUKLOSTX f (x). rASSMOTRIM PROIZWOLXNYE TRI TO^KI x1 x x2 , TAKIE, ^TO a < x1 < x < x2 < b. pOLXZUQSX FORMULOJ KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA, NAHODIM TO^KI 1 2 (x1 x) I 2 2 (x x2 ), DLQ KOTORYH WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA f (x) ; f (x1 ) = f 0 ( ) 1 x ; x1 140
I
f (x2 ) ; f (x) = f 0 ( ): 2 x2 ; x tOGDA IZ f 0 ( 1 ) 6 f 0 ( 2 ) SLEDUET, ^TO
f (x) ; f (x1 ) 6 f (x2 ) ; f (x) x ; x1 x2 ; x A IZ f 0 ( 1 ) < f 0 ( 2 ) SLEDUET
f (x) ; f (x1 ) < f (x2 ) ; f (x) : x ; x1 x2 ; x oTS@DA SOGLASNO SLEDSTWI@ 6.7.2 POLU^AEM WYPUKLOSTX I, SOOTWETSTWENNO, STROGU@ WYPUKLOSTX FUNKCII f (x) NA (a b). tEOREMA DOKAZANA. eSLI FUNKCIQ f IMEET WTORU@ PROIZWODNU@ f 00 , TO, ISPOLXZUQ E]E SLEDSTWIE 6.2.8, PRIHODIM K SLEDU@]EMU UTWERVDENI@ O SWQZI WYPUKLOSTI FUNKCII SO ZNAKOM EE WTOROJ PROIZWODNOJ. tEOREMA 6.7.6. pUSTX FUNKCIQ f (x) IMEET WTORU@ PROIZWODNU@ NA INTERWALE (a b). tOGDA 1 . uSLOWIE f 00 (x) > 0 NA (a b) NEOBHODIMO I DOSTATO^NO DLQ WYPUKLOSTI FUNKCII f (x) 2 . eSLI f 00 (x) > 0 NA (a b), TO FUNKCIQ f (x) STROGO WYPUKLA NA (a b). zAMETIM, ^TO W TEOREME 6.7.6 USLOWIE f 00 (x) > 0 NE QWLQETSQ NEOBHODIMYM DLQ STROGOJ WYPUKLOSTI FUNKCII f (x). |TO WIDNO NA PRIMERE FUNKCII x4 , U KOTOROJ WTORAQ PROIZWODNAQ 12x2 OBRA]AETSQ W NULX W TO^KE x = 0, HOTQ \TA FUNKCIQ STROGO WYPUKLA NA WSEJ OSI3, ^TO SLEDUET IZ STROGOGO WOZRASTANIQ EE PERWOJ PROIZWODNOJ 4x . rEZULXTATY \TOJ GLAWY, POZWOLQ@T WYSKAZATX SLEDU@]IE REKOMENDACII PO POSTROENI@ GRAFIKOW FUNKCIJ f , IME@]IH WTORU@ PROIZWODNU@. sNA^ALA NAHODIM PROMEVUTKI, GDE f 0 (x) > 0 I f 0 (x) < 0, I NULI PERWOJ PROIZWODNOJ. |TO POKAZYWAET PROMEVUTKI MONOTONNOSTI I TO^KI, W KOTORYH FUNKCIQ MOVET IMETX LOKALXNYE \KSTREMUMY. pO WTOROJ PROIZWODNOJ NAHODIM TO^KI, KOTORYE MOGUT BYTX TO^KAMI PEREGIBA, I PROMEVUTKI WYPUKLOSTI I WOGNUTOSTI. gLOBALXNYE \KSTREMUMY NAHODQT, SRAWNIWAQ ZNA^ENIQ LOKALXNYH \KSTREMUMOW MEVDU SOBOJ I SO ZNA^ENIQMI FUNKCII W KONCAH PROMEVUTKA. 141
x 6.8.
tEOREMA
nEKOTORYE KLASSI^ESKIE NERAWENSTWA
6.8.1 (nERAWENSTWO iENSENA). pUSTX FUNKCIQ f (x) WYPUKLA NA OTREZKE a b]. tOGDA DLQ L@BYH TO^EK x1 x2 : : : xn , n > 2P , IZ a b] I L@BYH POLOVITELXNYH ^ISEL 1 2 : : : n TAKIH, ^TO nk=1 k = 1, SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO
f
n
X
k=1
k xk 6
n
X
k=1
k f (x k )
(6.8.1)
NAZYWAEMOE NERAWENSTWOM iENSENA. dOKAZATELXSTWO. pROWEDEM INDUKCI@ PO n. dOKAVEM SNA^ALA NERAWENSTWO (6.8.1) PRI n = 2. pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI x1 < x2 . rASSMOTRIM TO^KU x = 1 x1 + 2 x2 , ONA LEVIT MEVDU x1 I x2 . hORDA, SOEDINQ@]AQ TO^KI GRAFIKA FUNKCII (x1 f (x1 )) I (x2 f (x2 )), IMEET URAWNENIE y = xx2 ;;xx f (x1 ) + xx ;;xx1 f (x2 ): 2 1 2 1
zNA^IT, W SILU WYPUKLOSTI FUNKCII f SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO f (x) = f (1 x1 + 2 x2 ) 6 xx2 ;;xx f (x1 ) + xx ;;xx1 f (x2 ): (6.8.2) 2 1 2 1 nAJDEM ZNA^ENIE DROBI x2 ; x = x2 ; 1 x1 ; 2 x2 = x2 (1 ; 2 ) ; x1 1 = : 1 x2 ; x1 x2 ; x1 x2 ; x1 aNALOGI^NO, x ; x1 = 1 x1 + 2 x2 ; x1 = : 2 x2 ; x1 x2 ; x1 tAKIM OBRAZOM, IZ (6.8.2) POLU^AEM f (1 x1 + 2 x2 ) 6 1 f (x1 ) + 2 f (x2 ) T.E. DLQ n = 2 TEOREMA DOKAZANA. pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO PRI n = m NERAWENSTWO (6.8.1) UVE USTANOWLENO I DOKAVEM EGO DLQ n = m + 1. 142
wWEDEM OBOZNA^ENIQ :=
tAK KAK
m
X
k=1
k := k k = 1 2 : : : m:
k
m
X
k=1
k = 1
TO PO PREDPOLOVENI@ INDUKCII f
m
X
k=1
k xk 6
m
X
k=1
k f (xk ):
(6.8.3)
pOLXZUQSX TEM, ^TO + m+1 = 1, NERAWENSTWOM (6.8.1) PRI n = 2 I OCENKOJ (6.8.3), POLU^AEM f
mX +1 k=1
k xk = f
+m+1 f (xm+1 ) 6
m
X
k=1 m X k=1
k xk + m+1 xm+1 6 f
k f (xk ) + m+1 f (xm+1 ) =
m
X
k=1 mX +1 k=1
k xk + k f (xk )
I MY PRILI K NERAWENSTWU (6.8.1) PRI n = m + 1. tEOREMA DOKAZANA. eSLI FUNKCIQ f (x) WOGNUTA NA OTREZKE a b], TO PRI TEH VE USLOWIQH NA TO^KI xk I ^ISLA k NERAWENSTWO iENSENA IMEET WID f
n
X
k=1
k xk >
n
X
k=1
k f (xk ):
(6.8.4)
s POMO]X@ NERAWENSTWA iENSENA LEGKO DOKAZYWAETSQ SLEDU@]EE UTWERVDENIE. lEMMA 6.8.2. pUSTX p > 1 I q | SOPRQVENNOE S p ^ISLO, T.E. 1 + 1 = 1:
(6.8.5) p q tOGDA DLQ L@BYH POLOVITELXNYH ^ISEL c I d SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO
c d 6 1p cp + 1q dq :
(6.8.6) 143
dOKAZATELXSTWO. tAK KAK FUNKCIQ ln x WOGNUTA NA (0 +1), A ^ISLA p I q SWQZANY RAWENSTWOM (6.8.5), TO SOGLASNO NERAWENSTWU iENSENA (6.8.4)
ln 1p cp + 1q dq > p1 ln cp + 1q ln dq = ln c d:
oTS@DA W SILU STROGOJ MONOTONNOSTI LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII WYTEKAET OCENKA (6.8.6). tEOREMA 6.8.3 (nERAWENSTWO g ELXDERA). pUSTX p > 1 I q | SOPRQVENNOE S p ^ISLO. tOGDA DLQ L@BYH 2n NEOTRICATELXNYH ^ISEL a1 : : : an , b1 : : : bn SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO n
X
k=1
ak bk 6
n
X
k=1
apk
1
n =p X k=1
bqk
=q
1
(6.8.7)
NAZYWAEMOE NERAWENSTWOM gELXDERA. dOKAZATELXSTWO. eSLI WSE ^ISLA ak ILI WSE ^ISLA bk RAWNY NUL@, TO NERAWENSTWO (6.8.7) O^EWIDNO. pO\TOMU BUDEM S^ITATX, ^TO I SREDI ak I SREDI bk ESTX OTLI^NYE OT NULQ ^ISLA. dLQ KAVDOGO k WWEDEM ^ISLA ck := ak
n
X
i=1
api
=p
1
dk := bk
n
X
i=1
bqi
=q
1
I ZAPIEM DLQ NIH OCENKU (6.8.6): ck dk 6 p1 apk
n
X
i=1
api + 1q bqk
n
X
i=1
bqi :
sLOVIM POLU^ENNYE NERAWENSTWA: n
X
k=1
ck dk 6 p1 + 1q = 1:
pODSTAWIW S@DA WYRAVENIQ ^ISEL ck I dk , PRIHODIM K NERAWENSTWU (6.8.7).
tEOREMA DOKAZANA. oTMETIM WAVNYJ ^ASTNYJ SLU^AJ TEOREMY 6.8.3, SOOTWETSTWU@]IJ p = 2. w \TOM SLU^AE q = 2. 144
tEOREMA
6.8.4 (nERAWENSTWO kOI{bUNQKOWSKOGO). dLQ L@BYH 2n ^ISEL a1 : : : an , b1 : : : bn SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO
n
X
k=1
ak bk 6
n
X
k=1
a2k
n
=
1 2 X
k=1
b2k
=
1 2
(6.8.8)
NAZYWAEMOE NERAWENSTWOM kOI{bUNQKOWSKOGO. zDESX OPU]ENO TREBOWANIE NEOTRICATELXNOSTI ^ISEL ak bk . kONE^NO, OT \TOGO TREBOWANIQ MOVNO BYLO OTKAZATXSQ I pW NERAWENSTWE (6.8.7), ESLI ZAMENITX W PRAWOJ EGO ^ASTI ak NA jak jp I bqk g ELXDERA q NA jbk j . pRI n = 3 NERAWENSTWO kOI{bUNQKOWSKOGO MOVNO ISTOLKOWATX KAK OCENKU MODULQ SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ WEKTOROW (a1 a2 a3 ) I (b1 b2 b3 ) ^EREZ DLINY \TIH WEKTOROW (S^ITAEM, ^TO ak I bk | KOMPONENTY WEKTOROW W ORTONORMIROWANNOM BAZISE). tEOREMA 6.8.5 (nERAWENSTWO mINKOWSKOGO). pUSTX ^ISLA a1 : : : an , b1 : : : bn NEOTRICATELXNY I p > 1. tOGDA SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO
n
X
k=1
(ak + bk )p
=p
1
6
n
X
k=1
apk
1
=p
+
n
X
k=1
bpk
=p
1
(6.8.9)
NAZYWAEMOE NERAWENSTWOM mINKOWSKOGO. dOKAZATELXSTWO. zAPIEM TOVDESTWO n
X
k=1
(ak + bk )p =
n
X
k=1
ak (ak + bk )p;1 +
n
X
k=1
bk (ak + bk )p;1
I PRIMENIM K KAVDOJ IZ SUMM W EGO PRAWOJ ^ASTI NERAWENSTWO g ELXDERA: n
X
(ak + bk )p 6
k=1
+
n
X
1
n =p X
k=1 1=p n X
k=1
bpk
n
X
apk
(ak + bk )q(p;1)
(ak + bk )q(p;1)
=q
1
=q
1
+
=
k=1 k=1 n 1=p n 1=p n 1=q X X X = apk + bpk (ak + bk )p : k=1 k=1 k=1
rAZDELIW OBE ^ASTI POLU^ENNOGO NERAWENSTWA NA 145
n
X
k=1
(ak + bk )p
=q
1
PRIHODIM K (6.8.9). tEOREMA DOKAZANA. oTMETIM ^ASTNYJ SLU^AJ NERAWENSTWA (6.8.9), SOOTWETSTWU@]IJ p = 2:
n
X
k=1
(ak + bk )
2
=
1 2
6
n
X
k=1
ak 2
=
1 2
+
n
X
k=1
bk 2
=
1 2
:
(6.8.10)
pRI n = 3 NERAWENSTWO (6.8.10) MOVNO ISTOLKOWATX KAK OCENKU DLINY SUMMY WEKTOROW (a1 a2 a3 ) I (b1 b2 b3) ^EREZ DLINY SAMIH \TIH WEKTOROW. w SWQZI S \TIM NERAWENSTWO (6.8.10) I NERAWENSTWO mINKOWSKOGO (6.8.9) NAZYWA@T NERAWENSTWOM TREUGOLXNIKA. w DALXNEJEM MY UWIDIM, ^TO NERAWENSTWA (6.8.1), (6.8.7), (6.8.9) QWLQ@TSQ ^ASTNYMI SLU^AQMI BOLEE OB]IH NERAWENSTW, KOTORYE NOSQT TE VE NAZWANIQ.
gLAWA
7
kriwye w trehmernom prostranstwe x wEKTORNOZNA^NYE FUNKCII 7.1.
dO SIH POR RASSMATRIWALISX FUNKCII, ZNA^ENIQMI KOTORYH BYLI DEJSTWITELXNYE ^ISLA, HOTQ WO MNOGIH SLU^AQH ZNA^ENIQMI MOGLI BYTX I KOMPLEKSNYE ^ISLA. nO PONQTIE FUNKCII IMEET O^ENX OB]IJ HARAKTER I IH ZNA^ENIQMI (KAK I ARGUMENTAMI) MOGUT BYTX OB_EKTY PROIZWOLXNOJ PRIRODY. w SWQZI S IZU^ENIEM KRIWYH BUDUT NUVNY WEKTORNOZNA^NYE FUNKCII ^ISLOWOGO ARGUMENTA, T.E. FUNKCII, ARGUMENTAMI KOTORYH QWLQ@TSQ ^ISLA, A ZNA^ENIQMI | WEKTORY TREHMERNOGO PROSTRANSTWA. tAKIE FUNKCII NAZYWA@T E]E WEKTOR-FUNKCIQMI. w TEH SLU^AQH, KOGDA RASSMATRIWA@TSQ I FUNKCII, ZNA^ENIQMI KOTORYH QWLQ@TSQ WEKTORY, I FUNKCII, ZNA^ENIQMI KOTORYH QWLQ@TSQ ^ISLA, PERWYE NAZYWA@T WEKTORNYMI, A WTORYE | SKALQRNYMI. bUDEM S^ITATX, ^TO TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE ZAFIKSIROWANA NEKOTORAQ DEKARTOWA PRQMOUGOLXNAQ SISTEMA KOORDINAT. tOGDA MEVDU WEKTORAMI r I UPORQDO^ENNYMI TROJKAMI ^ISEL 146
(x y z ) | KOMPONENTAMI WEKTOROW | USTANAWLIWAETSQ WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE. zADANIE NA OTREZKE ^ISLOWOJ PRQMOJ a b] WEKTORNOZNA^NOJ FUNKCII r(t) RAWNOSILXNO ZADANI@ NA a b] TREH SKALQRNYH FUNKCIJ x(t) y(t) z (t). dLQ WEKTOR-FUNKCIJ WWODQTSQ PONQTIQ PREDELA, NEPRERYWNOSTI, PROIZWODNOJ. pRI \TOM BLIZOSTX ZNA^ENIJ FUNKCII r(t1 ) I r(t2 ) PONIMAETSQ KAK MALOSTX DLINY WEKTORA RAZNOSTI r(t1 ) ; r(t2 ). pRIWEDEM OPREDELENIE PREDELA WEKTOR-FUNKCII PO kOI. oPREDELENIE. wEKTOR r0 NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII r(t) W TO^KE t0 , ESLI \TA FUNKCIQ OPREDELENA W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI t0 I DLQ KAVDOGO POLOVITELXNOGO " SU]ESTWUET > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH ZNA^ENIJ t IZ PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI TO^KI
t0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jr(t) ; r0j < ": oBOZNA^A@T PREDEL WEKTORNOZNA^NOJ FUNKCII KAK I PREDELY SKALQRNYH FUNKCIJ: r0 = tlim !t0 r(t):
eSLI r(t) = (x(t) y(t) z (t)) I r0 = (x0 y0 z0 ), TO
jr(t) ; r j = 0
(x(t) ; x0 )2 + (y(t) ; y0 )2 + (z (t) ; z0)2 :
p
|TA FORMULA POKAZYWAET, ^TO SU]ESTWOANIE PREDELA lim r(t) = r0 RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ TREH PREDELOW lim x(t) = x0 , lim y(t) = y0 , lim z (t) = z0 . pREDELY WEKTORNYH FUNKCIJ OBLADA@T MNOGIMI SWOJSTWAMI PREDELOW SKALQRNYH FUNKCIJ. nAPRIMER, ESLI FUNKCIQ r(t) IMEET PREDEL W TO^KE t0 , TO W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI t0 FUNKCIQ r(t) OGRANI^ENA, T.E. OGRANI^ENY DLINY WEKTOROW r(t). pERE^ISLIM SWOJSTWA PREDELOW, SWQZANNYE S DEJSTIQMI NAD WEKTOR-FUNKCIQMI. pUSTX WEKTORNYE FUNKCII r1 (t), r2 (t) I SKALQRNAQ FUNKCIQ (t) IME@T PREDELY PRI t ! t0 . tOGDA PRI t ! t0 SU]ESTWU@T SLEDU@]IE PREDELY I DLQ NIH WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA: lim (r1 (t) r2 (t)) = lim r1 (t) lim r2 (t) lim (t) r(t) = lim (t) lim r(t) ; ; lim r1 (t) r2 (t) = lim r1 (t) lim r2 (t) lim r1 (t) r2 (t) = lim r1 (t) lim r2 (t) : 147
|TI SWOJSTWA MOVNO WYWESTI IZ SWOJSTW PREDELOW SKALQRNYH FUNKCIJ, PEREHODQ K SOOTWETSTWU@]IM RAWENSTWAM DLQ KOMPONENT WEKTOROW. nO MOVNO PROWESTI RASSUVDENIQ DLQ WEKTORNOZNA^NYH FUNKCIJ. pRIWEDEM DLQ PRIMERA DOKAZATELXSTWO UTWERVDENIQ O PEREHODE K PREDELU W SKALQRNOM PROIZWEDENII. pUSTX r1 := lim r1 (t) I r2 := lim r2 (t). tOGDA (r1 (t) r2 (t)) ; (r1 r2 ) = (r1 (t) r2 (t) ; r2 ) + (r1 (t) ; r1 r2 ): pO\TOMU ; ; r1 (t) r2 (t) ; r1 r2 6 r1 (t) r2 (t) ; r2 + r1 (t) ; r1 r2 : oTS@DA W SILU OGRANI^ENNOSTI FUNKCII r1 (t) W DOSTATO^NO MALOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI, W KOTOROJ BERETSQ PREDEL, WYTEKAET TREBUEMAQ OCENKA. nEPRERYWNOSTX WEKTOR-FUNKCIJ WWODITSQ PO ANALOGII S NEPRERYWNOSTX@ SKALQRNYH FUNKCIJ. fUNKCIQ r(t) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ W TO^KE t0 , ESLI lim r(t) = r(t0 ): t!t0 iZ SWOJSTW PREDELOW SLEDUET, ^TO NEPRERYWNOSTX WEKTORNOZNA^NYH FUNKCIJ RAWNOSILXNA NEPRERYWNOSTI TREH SKALQRNYH FUNKCIJ | KOMPONENT WEKTOROW. a OPERACII SLOVENIQ I WY^ITANIQ WEKTOROW, UMNOVENIQ WEKTORA NA SKALQR, SKALQRNOGO I WEKTORNOGO UMNOVENIQ WEKTOROW, PROIZWEDENNYE NAD NEPRERYWNMI WEKTORFUNKCIQMI, DA@T NEPRERYWNYE WEKTOR-FUNKCII. pROIZWODNAQ WEKTORNOZNA^NOJ FUNKCII r(t) OPREDELQETSQ KAK PREDEL r(t + t) ; r(t) r0 (t) = lim t!0 t ESLI \TOT PREDEL SU]ESTWUET. pONQTNO, ^TO SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ r0 (t) RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ PROIZWODNYH x0 (t), y0 (t) I z 0(t). pRI \TOM r0 (t) = (x0 (t) y0 (t) z 0 (t)). eSLI FUNKCIQ r(t) IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE ILI NA PROMEVUTKE, TO \TU FUNKCI@ NAZYWA@T DIFFERENCIRUEMOJ SOOTWETSTWENNO W TO^KE ILI NA PROMEVUTKE. oTMETIM FORMULU DLQ PROIZWODNOJ SLOVNOJ FUNKCII. pUSTX NA OTREZKE ] ZADANA DIFFERENCIRUEMAQ SKALQRNAQ FUNKCIQ t = ( ), ZNA^ENIQ KOTOROJ PRINADLEVAT OTREZKU a b], 148
I NA a b] ZADANA DIFFERENCIRUEMAQ WEKTORNAQ FUNKCIQ r(t). tOGDA SLOVNAQ FUNKCIQ R( ) := r(( )) DIFFERENCIRUEMA NA ] I SPRAWEDLIWA FORMULA R0 = r0t 0 : dOKAZATX \TO PRO]E WSEGO, RASSMATRIWAQ KOMPONENTY WEKTORNYH FUNKCIJ. zAMETIM, NAKONEC, ^TO ANALOGI^NO DA@TSQ OPREDELENIQ ODNOSTORONNIH PREDELOW, ODNOSTORONNEJ NEPRERYWNOSTI I ODNOSTORONNIH PROIZWODNYH. mNOGIE SWOJSTWA PROIZWODNYH SKALQRNYH FUNKCIJ LEGKO PERENOSQTSQ NA PROIZWODNYE WEKTORYH FUNKCIJ. nAPRIMER, IZ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ W TO^KE SLEDUET NEPRERYWNOSTX FUNKCII W \TOJ TO^KE. kROME TOGO, DLQ PROIZWODNYH IME@T MESTO SLEDU@]IE RAWENSTWA: (r1 (t) r2 (t))0 = r01 (t) r02 (t) ((t) r(t))0 = 0 (t) r(t) + (t) r0 (t) ; ; ; r1 (t) r2 (t) 0 = r01 (t) r2 (t) + r1 (t) r02 (t) r1 (t) r2 (t) 0 = r01 (t) r2 (t) + r1 (t) r02 (t) : zDESX, KAK I W SKALQRNOM SLU^AE, PREDPOLAGAETSQ, ^TO SU]ESTWU@T PROIZWODNYE, ZAPISANNYE SPRAWA, I UTWERVDAETSQ SU]ESTWOWANIE PROIZWODNYH, ZAPISANNYH SLEWA, I SPRAWEDLIWOSTX RAWENSTW. nO TAKOE WAVNOE SWOJSTWO KAK FORMULA KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA PRQMOGO ANALOGA W WEKTORNOM SLU^AE NE IMEET. w SAMOM DELE, RASSMOTRIM FUNKCI@ r(t) := (cos t sin t), ZNA^ENIQMI KOTOROJ QWLQ@TSQ DWUMERNYE WEKTORY. tOGDA r(2) ; r (0) = 0. nO jr0 (t)j = 1, TAK KAK r0 (t)=(; sin t cos t). zNA^IT, NI DLQ KAKOGO NE MOVET WYPOLNQTXSQ RAWENSTWO r(2) ; r(0) = r0 ( )(2 ; 0): tEM NE MENEE ODNO IZ OSNOWNYH SLEDSTWIJ FORMULY KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA IMEET MESTO I DLQ WEKTORNOZNA^NYH FUNKCIJ. tEOREMA 7.1.1. pUSTX FUNKCIQ r(t) NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA NA OTREZKE a b] I M := maxt2 ab] jr0 (t)j. tOGDA SPRAWEDLIWA OCENKA
jr(b) ; r(a)j 6 M (b ; a):
(7.1.1) 149
dOKAZATELXSTWO. eSLI r(b) = r(a), TO OCENKA (7.1.1) O^EWIDNA. pO\TOMU BUDEM S^ITATX r(b) ; r(a) 6= 0. pOLOVIM r(a) e := jrr((bb)) ; ; r(a)j : tOGDA jej = 1 I ; ; ; r(b) ; r(a) = r(b) ; r(a) e = r(b) e ; r(a) e : wWEDEM FUNKCI@ ; f (t) := r(t) e : |TA SKALQRNAQ FUNKCIQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA NA a b]. pO\TOMU SOGLASNO FORMULE KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA SU]ESTWUET TO^KA 2 (a b) TAKAQ, ^TO f (b) ; f (a) = f 0 ( )(b ; a): nO jf 0( )j = (r0( ) e) 6 jr0( )j 6 M: tAKIM OBRAZOM, jr(b) ; r(a)j 6 M (b ; a): tEOREMA DOKAZANA. x 7.2.
dLINA KRIWOJ
pUSTX NA OTREZKE a b] ZADANA NEPRERYWNAQ FUNKCIQ r(t), ZNA^ENIQMI KOTOROJ QWLQ@TSQ WEKTORY TREHMERNOGO EWKLIDOWA PROSTRANSTWA E 3 . bUDEM S^ITATX, ^TO W E 3 ZAFIKSIROWANA DEKARTOWA PRQMOUGOLXNAQ SISTEMA KOORDINAT I r(t) = (x(t) y(t) z (t)). rASSMOTRIM TO^KI M (t) := (x(t) y(t) z (t)), RADIUSAMI-WEKTORAMI KOTORYH QWLQ@TSQ WEKTORY r(t), t 2 a b]. pOLU^ENNOE MNOVESTWO TO^EK BUDEM NAZYWATX NEPRERYWNOJ KRIWOJ ; W E 3 I PISATX ; := fr(t) t 2 a b]g: (7.2.1) kAVDOMU ZNA^ENI@ PARAMETRA t SOOTWETSTWUET TO^KA M (t) NA KRIWOJ ;. kOGDA t PROBEGAET OTREZOK a b], WOZRASTAQ OT a K b, KRIWAQ ; SLUVIT TRAEKTORIEJ DWIVENIQ TO^KI M (t) I WOZRASTANIE t ZADAET NAPRAWLENIE DWIVENIQ PO KRIWOJ. gOWORQT, ^TO \TIM NA KRIWOJ ; ZADAETSQ ORIENTACIQ. 150
eSLI PARAMETR t BUDET IZMENQTXSQ OT b K a, TO POLU^IM TU VE KRIWU@ ;, NO S PROTIWOPOLOVNYM NAPRAWLENIEM DWIVENIQ (S PROTIWOPOLOVNOJ ORIENTACIEJ). qSNO, ^TO NEPRERYWNAQ KRIWAQ MOVET BYTX ZADANA RAZNYMI NEPRERYWNYMI WEKTOR-FUNKCIQMI. nAPRIMER, ESLI SDELATX ZAMENU ARGUMENTA t PO FORMULE t = ( ), GDE ( ) | NEPRERYWNAQ STROGO WOZRASTA@]AQ FUNKCIQ, OTOBRAVA@]AQ OTREZOK ] NA a b], TO POLU^IM TU VE KRIWU@ (7.2.1), ZADANNU@ TEPERX FORMULOJ ; := fr (( )) 2 ]g: pRI \TOM W SILU WOZRASTANIQ FUNKCII ORIENTACIQ NA KRIWOJ ; SOHRANITSQ. eSLI VE WZQTX FUNKCI@ NEPRERYWNOJ I STROGO UBYWA@]EJ, TO POLU^IM KRIWU@ ; S PROTIWOPOLOVNOJ ORIENTACIEJ. oPREDELIM DLINU KRIWOJ. zDESX PONADOBITSQ PONQTIE LOMANOJ. pUSTX ZADANY TO^KI M0 , M1 : : : Mn. sOEDINIW IH POSLEDOWATELXNO OTREZKAMI S KONCAMI W TO^KAH Mk;1 I Mk , k = 1 2 : : : n, POLU^IM LOMANU@, KOTORAQ QWLQETSQ NEPRERYWNOJ KRIWOJ. dLINU \TOJ LOMANOJ OPREDELIM KAK SUMMU DLIN SOSTAWLQ@]IH EE OTREZKOW Mk;1 Mk . pUSTX ZADANA NEPRERYWNAQ KRIWAQ ; := fr(t) t 2 a b]g. wWEDEM RAZBIENIE T OTREZKA a b] TO^KAMI tk : a = t0 < t1 < < tn = b: pOSTROIM LOMANU@ S WERINAMI W TO^KAH Mk = M (r(tk )), k = = 0 1 : : : n. tAKU@ LOMANU@ NAZYWA@T WPISANNOJ W KRIWU@ ;. dLINU POLU^ENNOJ LOMANOJ OBOZNA^IM T . oPREDELENIE. dLINOJ NEPRERYWNOJ KRIWOJ ; NAZYWAETSQ WERHNQQ GRANX DLIN WPISANNYH W NEE LOMANYH: S; := sup T : (7.2.2) T zDESX sup PONIMAETSQ KAK TO^NAQ WERHNQQ GRANX, ESLI ONA SU]ESTWUET, I KAK +1, ESLI WELI^INY T NE OGRANI^ENY. oPREDELENIE DLINY KRIWOJ NE ZAWISIT OT FUNKCII r(t), S POMO]X@ KOTOROJ KRIWAQ ZADANA, POSKOLXKU W OPREDELENII DLINY U^ASTWU@T TOLXKO LOMANYE, WPISANNYE W KRIWU@. qSNO, ^TO WSEGDA 0 6 S; 6 +1. eSLI S; < +1, TO KRIWAQ ; NAZYWAETSQ SPRQMLQEMOJ. eSLI S; = +1, KRIWU@ NAZYWA@T NESPRQMLQEMOJ. tEOREMA 7.2.1. pUSTX ZADANY NEPRERYWNAQ KRIWAQ ; := fr(t) t 2 a b]g I TO^KA c 2 (a b). pOLOVIM ;1 := fr(t) t 2 a c]g ;2 := fr(t) t 2 c b]g: 151
tOGDA S; = S;1 + S;2 :
(7.2.3)
dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, ^TO SPRQMLQEMOSTX KRIWYH NE PREDPOLAGAETSQ I, KAK OBY^NO, SUMMA ^ISLA I +1 S^ITAETSQ RAWNOJ +1. dLQ PROIZWOLXNOGO RAZBIENIQ T OTREZKA a b] POSTROIM RAZBIENIE T , POLU^ENNOE PUTEM DOBAWLENIQ K T TO^KI c, ESLI EE TAM NE BYLO. qSNO, ^TO PRI \TOM DLINA WPISANNOJ W ; LOMANOJ NE MOVET UMENXITSQ, T.E. T 6 T . pUSTX T1 I T2 | TE RAZBIENIQ OTREZKOW a c] I c b], KOTORYE POROVDA@TSQ RAZBIENIEM T . tOGDA DLINY LOMANYH T , T1 I T2 , WPISANNYH SOOTWETSTWENNO W KRIWYE ;, ;1 I ;2 , SWQZANY RAWENSTWOM T = T1 + T2 . pO\TOMU T 6 T1 + T2 : zAMENIW W PRAWOJ ^ASTI \TOJ OCENKI DLINY LOMANYH NA DLINY SOOTWETSTWU@]IH KRIWYH, POLU^IM T 6 S;1 + S;2 : (7.2.4) tEPERX, WZQW W LEWOJ ^ASTI OCENKI (7.2.4) WERHN@@ GRANX PO RAZBIENIQM T OTREZKA a b], NAHODIM S; 6 S;1 + S;2 : (7.2.5) uSTANOWIM DLQ S; OCENKU SNIZU: S; > S;1 + S;2 : (7.2.6) eSLI S; = +1, TO OCENKA (7.2.6) O^EWIDNA. pO\TOMU NUVNO RASSMOTRETX SLU^AJ, KOGDA S; < +1. pUSTX T1 I T2 | PROIZWOLNYE RAZBIENIQ OTREZKOW a c] I c b] SOOTWETSTWENNO I T | POROVDENNOE IMI RAZBIENIE OTREZKA a b]. tOGDA T = T1 + T2 , OTKUDA T1 = T ; T2 I, ZNA^IT, T1 6 S; ; T2 : pOLXZUQSX TEM, ^TO PRAWAQ ^ASTX \TOGO NERAWENSTWA NE ZAWISIT OT RAZBIENIQ T1 , PEREHODIM W LEWOJ ^ASTI K WERHNEJ GRANI PO RAZBIENIQM T1 : S;1 6 S; ; T2 152
OTKUDA SLEDUET, ^TO
T2 6 S; ; S;1 : wYRAVENIE W PRAWOJ ^ASTI \TOGO NERAWENSTWA QWLQETSQ FIKSIROWANNYM ^ISLOM. pO\TOMU, ZAMENIW LEWU@ ^ASTX NERAWENSTWA NA WERHN@@ GRANX WELI^IN T2 PO RAZBIENIQM T2 , POLU^IM S;2 6 S; ; S;1 I MY PRILI K (7.2.6). iZ (7.2.5) I (7.2.6) WYTEKAET RAWENSTWO (7.2.3) I TEOREMA DOKAZANA. sWOJSTWO DLINY KRIWOJ, WYRAVENNOE RAWENSTWOM (7.2.3), NAZYWA@T ADDITIWNOSTX@: DLINA OB_EDINENIQ DWUH KRIWYH RAWNA SUMME DLIN \TIH KRIWYH. x 7.3.
gLADKE KRIWYE
mOVNO POKAZATX, NO NE BUDEM NA \TOM OSTANAWLIWATXSQ, ^TO ESLI W OPREDELENII KRIWOJ NA FUNKCI@ r(t) NE NAKLADYWATX NIKAKIH USLOWIJ, KROME NEPRERYWNOSTI, TO W KA^ESTWE NEPRERYWNYH KRIWYH MOVNO POLU^ITX MNOVESTWA TO^EK, NE SOOTWETSTWU@]IE INTUITIWNYM PREDSTAWLENIQM O KRIWOJ KAK O \TONKOJ NITI". pO\TOMU W DALXNEJEM BUDUT RASSMATRIWATXSQ BOLEE UZKIE KLASSY KRIWYH. oPREDELENIE. kRIWAQ ; := fr(t) t 2 a b]g (7.3.1) NAZYWAETSQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ, ESLI FUNKCIQ r(t) IMEET NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ NA OTREZKE a b]. eSLI FUNKCIQ r(t) NEPRERYWNA I IMEET KUSO^NO NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@, TO KRIWAQ (7.3.1) NAZYWAETSQ KUSO^NO NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ. tEOREMA 7.3.1. nEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMAQ KRIWAQ (7:3:1) SPRQMLQEMA I DLQ EE DLINY SPRAWEDLIWY OCENKI q
GDE
m2x + m2y + m2z (b ; a) 6 S; 6 Mx2 + My2 + Mz2 (b ; a) (7.3.2) q
mx := t2min jx0 (t)j Mx := tmax jx0 (t)j ab] 2 ab]
I ANALOGI^NO OPREDELQ@TSQ WELI^INY my My mz Mz . 153
dOKAZATELXSTWO. dLQ PROIZWOLXNOGO RAZBIENIQ T OTREZKA a b] a = t0 < t1 < < tn = b IMEEM T = = =
n
n
X
k=1
jr(tk ) ; r(tk; )j = 1
x(tk ) ; x(tk;1 )]2 + y(tk ) ; y(tk;1 )]2 + z (tk ) ; z (tk;1 )]2 =
Xp
k=1 n
(tk ;tk;1 ) x0 ( k )]2 + (tk ;tk;1 ) y0 ( k )]2 + (tk ;tk;1 ) z 0(k )]2
Xp
k=1
GDE k , k , k | NEKOTORYE TO^KI IZ (a b). oTS@DA T =
n
(tk ; tk;1 ) x0 ( k )]2 + y0 ( k )]2 + z 0 (k )]2 :
X
k=1
p
pEREHODQ ZDESX K MINIMALXNYM I MAKSIMALXNYM NA a b] ZNA^ENIQM MODULEJ PROIZWODNYH, POLU^AEM q q m2x + m2y + m2z (b ; a) 6 T 6 Mx2 + My2 + Mz2 (b ; a): iZ \TIH OCENOK WYTEKAET (7.3.2) I, W ^ASTNOSTI, SPRAMLQEMOSTX KRIWOJ ;. tEOREMA DOKAZANA. oCENKA (7.3.2) SPRAWEDLIWA I DLQ KUSO^NO NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYH KRIWYH. dOKAZATELXSTWO OSTAETSQ TEM VE, ESLI ZAMETITX, ^TO W OPREDELENII DLINY KRIWOJ (7.2.2) MOVNO RASSMATRIWATX TOLXKO TAKIE RAZBIENIQ T , SREDI TO^EK KOTORYH SODERVATSQ WSE TO^KI, GDE U FUNKCII r(t) NET PROIZWODNOJ. oPREDELENIE. pUSTX KRIWAQ ; := fr( ) 2 a b]g (7.3.3) SPRQMLQEMA I ;(t) := fr( ) 2 a t]g | ^ASTX KRIWOJ ;, SOOTWETSTWU@]AQ IZMENENI@ PARAMETRA OT a DO t 6 b. dLINOJ DUGI KRIWOJ ; NAZYWAETSQ FUNKCIQ s(t) := S;(t) t 2 a b]: 154
tEOREMA
7.3.2. eSLI KRIWAQ (7:3:3) NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA, TO DLINA DUGI s(t) MONOTONNO WOZRASTAET, IMEET NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ I SPRAWEDLIWO RAWENSTWO ds = px0 (t)]2 + y0 (t)]2 + z 0(t)]2 = dr(t) : (7.3.4) dt dt
dOKAZATELXSTWO. wOZRASTANIE FUNKCII s(t) SLEDUET IZ OPREDELENIQ DLINY DUGI. |TOT FAKT WEREN DLQ L@BOJ SPRQMLQEMOJ KRIWOJ. rASSMOTRIM OTNOENIE PRIRA]ENIQ FUNKCII s(t) K PRIRA]ENI@ ARGUMENTA s= t. w SILU WOZRASTANIQ FUNKCII s(t) DLQ WSEH t IMEEM s > 0: (7.3.5) t wYBEREM TO^KU t0 2 (a b) I PRI ZADANNOM PRIRA]ENII ARGUMENTA t RASSMOTRIM ^ASTX KRIWOJ, SOOTWETSTWU@]U@ IZMENENI@ ARGUMENTA t W PREDELAH t0 t0 + t], ESLI t > 0, I t0 + t t0 ], ESLI t < 0. zDESX S^ITAETSQ, ^TO t DOSTATO^NO MALO I MY NE WYHODIM ZA PREDELY OTREZKA a b]. w SILU TEOREMY 7.3.1 DLQ PRIRA]ENIQ FUNKCII s(t), SOOTWETSTWU@]EGO \TOMU PRIRA]ENI@ ARGUMENTA t, SPRAWEDLIWY OCENKI SWERHU I SNIZU m2x + m2y + m2z j tj 6 j sj 6 Mx2 + My2 + Mz2 j tj
q
q
(7.3.6)
GDE mx Mx I OSTALXNYE PODOBNYE WELI^INY | \TO MINIMUMY I MAKSIMUMY MODULEJ PROIZWODNYH KOMPONENT WEKTORA r(t) NA DANNOM OTREZKE IZMENENIQ ARGUMENTA t. iZ (7.3.6) I (7.3.5) NAHODIM q s 6 qM 2 + M 2 + M 2 m2x + m2y + m2z 6 x y z t I, PEREHODQ K PREDELU PRI t ! 0, W SILU NEPRERYWNOSTI PROIZWODNOJ r0 (t) POLU^AEM (7.3.4). |TI RASSUVDENIQ OHWATYWA@T I SLU^AJ, KOGDA t0 QWLQETSQ ODNOJ IZ KONCEWYH TO^EK OTREZKA a b]. tEOREMA DOKAZANA. oPREDELENIE. kRIWAQ ; := fr(t) t 2 a b]g 155
NAZYWAETSQ GLADKOJ, ESLI ONA NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA I r0 (t) 6= 0 DLQ WSEH t 2 a b]. kRIWAQ NAZYWAETSQ KUSO^NO GLADKOJ, ESLI ONA NEPRERYWNA I QWLQETSQ OB_EDINENIEM KONE^NOGO ^ISLA GLADKIH KRIWYH. eSLI KRIWAQ ; QWLQETSQ GLADKOJ, TO W KAVDOJ TO^KE0 t0 2 0a b] OTLI^NA OT NULQ PO KRAJNEJ MERE ODNA IZ PROIZWODNYH x (t0 ), y (t0 ), z 0(t0 ). pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI x0 (t0 ) 6= 0. tOGDA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI t0 PROIZWODNAQ x0 (t) SOHRANQET ZNAK I, SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ x(t) STROGO MONOTONNA. zNA^IT, W \TOJ OKRESTNOSTI x(t) IMEET OBRATNU@ FUNKCI@ t = t(x), KOTORAQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA. pO\TOMU W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI SOOTWETSTWU@]EJ TO^KI KRIWOJ SAMU KRIWU@ MOVNO ZADATX URAWNENIQMI y = y(t(x)), z = z (t(x)), T.E. URAWNENIQMI WIDA y = g(x), z = h(x). oSOBENNO PROSTO \TO WYGLQDIT DLQ PLOSKIH KRIWYH. tOGDA z 0 I URAWNENIE SOOTWETSTWU@]EGO KUSKA GLADKOJ KRIWOJ IMEET WID y = g(x). pRI \TOM FUNKCIQ g(x) IMEET NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@. tAKIM OBRAZOM, PLOSKAQ GLADKAQ KRIWAQ W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI KAVDOJ EE TO^KI PREDSTAWLQET SOBOJ GRAFIK NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII. rASSMOTRIM GLADKU@ KRIWU@ ; := fr(t) t 2 a b]g. wEKTOR r(t) = r(t0 + t) ; r(t0 ) t t LEVIT NA SEKU]EJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI KRIWOJ, SOOTWETSTWU@]IE ZNA^ENIQM t, RAWNYM t0 + t I t0 . dLQ KAVDOGO t \TOT WEKTOR NAPRAWLEN W STORONU WOZRASTANIQ PARAMETRA t. tAK KAK SU]ESTWUET NENULEWOJ PREDEL lim r(t)
t!0 t TO \TOT WEKTOR OPREDELQET PREDELXNOE POLOVENIE SEKU]EJ, KOTOROE NAZYWA@T KASATELXNYM NAPRAWLENIEM. pRQMU@, PARALLELXNU@ WEKTORU r0 (t0 ), PROHODQ]U@ ^EREZ TO^KU, RADIUSOM-WEKTOROM KOTOROJ QWLQETSQ r(t0 ), NAZYWA@T KASATELXNOJ K KRIWOJ ; W TO^KE r(t0 ). w PRIMENENII K GRAFIKU NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII TAKOE OPREDELENIE KASATELXNOJ SOWPADAET S TEM, KOTOROE BYLO DANO W x 5.2. eSLI KRIWAQ ; := r(t) t 2 a b]g QWLQETSQ GLADKOJ, TO jr0 (t)j > 0 I SOGLASNO TEOREME 7.3.2 DLQ FUNKCII DLINY DUGI s(t) IMEEM s0 (t) > 0. pO\TOMU FUNKCIQ s(t) QWLQETSQ STROGO MONOTONNOJ I EE MOVNO WZQTX W KA^ESTWE PARAMETRA W OPREDELENII KRIWOJ. 156
tOGDA ; MOVNO RASSMATRIWATX KAK KRIWU@, ZADANU@ WEKTORNOJ FUNKCIEJ r(t(s)). iZMENIW OBOZNA^ENIQ, POLU^IM ; := fr(s) s 2 0 S; ]g PRI^EM dr(s) = ds = 1: ds ds tAKIM OBRAZOM, PRI s ! 0
r s
! 1:
gEOMETRI^ESKI \TO OZNA^AET, ^TO DLINA HORDY, SOEDINQ@]EJ DWE TO^KI GLADKOJ KRIWOJ, BLIZKA DLINE ^ASTI KRIWOJ, OGRANI^ENNOJ \TIMI TO^KAMI.
157
sODERVANIE wWEDENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gLAWA 1. dEJSTWITELXNYE ^ISLA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : x 1.1. bESKONE^NYE DESQTI^NYE DROBI . . . . . . . . . . . . . x 1.2. sRAWNENIE ^ISEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1.3. tO^NAQ WERHNQQ I TO^NAQ NIVNQQ GRANI ^ISLOWYH MNOVESTW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1.4. sLOVENIE ^ISEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1.5. uMNOVENIE ^ISEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1.6. nEPRERYWNOSTX MNOVESTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL . . x 1.7. pOSLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH OTREZKOW . . . . . . . x 1.8. s^ETNYE I NES^ETNYE MNOVESTWA . . . . . . . . . . . . gLAWA 2. pREDEL POSLEDOWATELXNOSTI : : : : : : : : : : : : : : : : : : : x 2.1. oPREDELENIE PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI . . . . . . . x 2.2. sWOJSTWA PREDELOW, SWQZANNYE S NERAWENSTWAMI . . . . x 2.3. aRIFMETI^ESKIE SWOJSTWA PREDELOW . . . . . . . . . . . x 2.4. bESKONE^NO MALYE I BESKONE^NO BOLXIE POSLEDOWATELXNOSTI . . . . . . . . . . . . . . . x 2.5. pREDEL MONOTONNOJ POSLEDOWATELXNOSTI . . . . . . . . x 2.6. ~ISLO e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 2.7. pODPOSLEDOWATELXNOSTI. tEOREMA bOLXCANO{wEJERTRASSA . . . . . . . . . . . . x 2.8. kRITERIJ kOI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gLAWA 3. pREDEL FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : x 3.1. pONQTIE FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 3.2. oPREDELENIE PREDELA FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . x 3.3. sWOJSTWA PREDELA FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . x 3.4. kRITERIJ kOI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 3.5. pREDEL SLOVNOJ FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . . x 3.6. oDNOSTORONNIE PREDELY . . . . . . . . . . . . . . . . . x 3.7. sRAWNENIE FUNKCIJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gLAWA 4. nEPRERYWNYE FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : x 4.1. nEPRERYWNOSTX FUNKCII W TO^KE . . . . . . . . . . . . x 4.2. kLASSIFIKACIQ TO^EK RAZRYWA . . . . . . . . . . . . . . x 4.3. sWOJSTWA FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA OTREZKE . . . . . x 4.4. rAWNOMERNAQ NEPRERYWNOSTX FUNKCIJ . . . . . . . . . x 4.5. nEPRERYWNOSTX OBRATNOJ FUNKCII . . . . . . . . . . . x 4.6. pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3 4
4 7
12 16 19 20 21 24 28
28 30 32 34 35 37 38 43
44
44 46 50 53 54 55 57
59
59 61 63 66 68 71
x 4.7. |LEMENTARNYE FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 4.8. wY^ISLENIE NEKOTORYH PREDELOW . . . . . . . . . . . .
gLAWA
pROIZWODNYE I DIFFERENCIALY : : : : : : : : : : : : : :
75 80
x 5.1. pROIZWODNAQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 5.2. dIFFERENCIAL FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . . x 5.3. pROIZWODNAQ OBRATNOJ FUNKCII . . . . . . . . . . . . . x 5.4. pROIZWODNAQ SLOVNOJ FUNKCII . . . . . . . . . . . . . x 5.5. pROIZWODNYE I DIFFERENCIALY WYSIH PORQDKOW . .
83
x 6.1. wOZRASTANIE I UBYWANIE FUNKCII W TO^KE . . . . . . . x 6.2. tEOREMY O SREDNEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 6.3. rASKRYTIE NEOPREDELENNOSTEJ . . . . . . . . . . . . . . x 6.4. fORMULA tEJLORA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 6.5. fORMULA tEJLORA DLQ \LEMENTARNYH FUNKCIJ . . . . x 6.6. iSSLEDOWANIE FUNKCIJ S POMO]X@ STARIH PROIZWODNYH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 6.7. fUNKCII, WYPUKLYE NA PROMEVUTKE . . . . . . . . . . . x 6.8. nEKOTORYE KLASSI^ESKIE NERAWENSTWA . . . . . . . . . .
105
x 7.1. wEKTORNOZNA^NYE FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . x 7.2. dLINA KRIWOJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 7.3. gLADKE KRIWYE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
gLAWA
gLAWA
5.
6.
7.
sWOJSTWA DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ : : : : :
kRIWYE W TREHMERNOM PROSTRANSTWE : : : : : : : :
83 91 94 97 99
105 108 114 122 126 132 135 142
146 150 153
159
s. a. tELQKOWSKIJ kURS LEKCIJ PO MATEMATI^ESKOMU ANALIZU. I SEMESTR M., iZDATELXSTWO cENTRA PRIKLADNYH ISSLEDOWANIJ PRI MEHANIKOMATEMATI^ESKOM FAKULXTETE mgu, 160 STR.
pODPISANO W PE^ATX 31.05.2002 G. fORMAT 60 90 1/16. oB_EM 10,0 P.L. zAKAZ 14 tIRAV 350 \KZ. iZDATELXSTWO cpi PRI MEHANIKO-MATEMATI^ESKOM FAKULXTETE mgu mOSKWA, lENINSKIE GORY. lICENZIQ NA IZDATELXSKU@ DEQTELXNOSTX id 04059, OT 20.02.2001 G. oTPE^ATANO NA TIPOGRAFSKOM OBORUDOWANII MEHANIKO-MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA I fRANKO-RUSSKOGO CENTRA IM. a. m. lQPUNOWA.
