Физика в задачах и ответах (механика, электростатика): Практикум

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

Ф И ЗИ К А В ЗА Д А Ч А Х И О Т ВЕ Т А Х (м е хан и ка, эл е кт р ост ат и ка)

П рактику м спе ци ал ьн ост ь 010101(010100) – м ат е м ат и ка 010701 (010400) – ф и зи ка 010700 (510400) – ф и зи ка

В О РО Н Е Ж 2005

2

У тверж дено научно – методическим со ветом физ ическо го факультета 15 декаб ря 2004 г. (п ро токо л№ 6)

С о ставители : Л евин М .Н ., Г итлин В .Р., И ванко вЮ .В ., И вано ваО .А.

П рактикум п о физ ике п о дго товлен на кафедре я дерно й физ ики физ ическо го факультета В о ро неж ско го го сударственно го университета в о б есп ечение п рактических з аня тий п о курсу«Ф из ика». В п рактикуме п редставлены з адачи п о следую щ им темам: Закон ы сохр ан е н и я эн ер ги и и и м пульса; Ре л ят и ви ст ская ки н е м ат и каи р е л ят и ви ст ская ди н ам и ка; Вр ащат е л ьн ое дви ж е н и е ; Э л е кт р ост ат и че ская си л а, эл е кт р ост ат и ка. Реко мендо ван для аудиторно й и само стоя тельно й п о дго товки студентов 4 курса математическо го факультета, о б учаю щ ихся в рамках сп ец иально сти 010101(010100), и студентов 3 курса физ ическо го факультета п о сп ец иально стям 010701 (010400), 010700 (510400).

3

I. Законы сохраненияэнергии и им пу льса ● Зако н со хранения механическо й энергии: К + U = const , К – кинетическая энергия тела, U – п о тенц иальная энергия тела. E=

N

∑K

j

+ U = const – з ако н со хранения энергии з амкнутой системы частиц ,

j =1

j =1..N – число частиц всистеме. ● О п ределениеимп ульсасилы : r r r r I = Fdt = P2 − P1 .

∫

r И мп ульс силы свя з ан с из менением имп ульса(ко личествадвиж ения ) тела P . r ● П ри наличии внешней силы Fвн е ш . и трения з а кон с ох ра не ни я эне рги и п ринимаетвид: В

∫

r r Fвн е ш.dS = ∆K + ∆U + ∆U вн ут р . ,

А

где ∆U вн ут р . – п риращ ениетеп ло во й, химическо й и со б ственно й энергии.

1. Ч астиц ас массо й m и энергией E налетаетнап о ко я щ ую ся частиц ус массо й M. К акая часть энергии теря ется п ри ло б о во м столкно вении? 2. Ч астиц а с массо й m налетаетнап о ко я щ ую ся частиц утой ж е массы . Н ай ти уго л рассеивания частиц п ри усло вии равенстваско ро стей частиц п о сле столкно вения . 3. Ч астиц а с массо й m и энергией E0 налетаетнап о ко я щ ую ся частиц утой ж е массы . Д ве частиц ы с равны ми массами и о динако вы ми энергия ми E0 сталкиваю тся в ло б о во м со ударении. П ри како м со о тно шении энергий E0 и E рез ультаты столкно вений б удутфиз ически эквивалентны ? 4. Ч астиц ас массо й m налетаетначастиц уM и рассеивается с угло м φ. Какз ависитп о теря ΔΕ энергии о туглаφ? 5. Д виж ущ ийся со ско ро стью 72 км /ч автомо б иль массо й 1,5 т сталкивается с дерево м. За время 0,03 с о н п о лно стью о станавливается и п ри этом п о лучает вмя тинуглуб ино й 30 см . Ч емуравнасредня я сила, действую щ ая наавтомо б иль втечениеэтого времени? 6. К акая кинетическая энергия теря ется п ри столкно вении груз о вика с легко вы м автомо б илем? С ко ро сть груз о вика массо й m=15 травна v = 100 км /ч, автомо б иль массо й m=1,5 тимел ско ро сть v = –100 км /ч. 7. В о время со ударения (см . задачу5) п ассаж ир с массо й m=80 кг удерж ивается ремня ми б ез о п асно сти ширино й 5 см и толщ ино й 2 м м . П ро чно сть материаларемней на раз ры в со ставля ет5ּ108 Н /м 2. Н е раз о рвутся ли ремни п ри со ударении?

4

8. С ко лько п ищ евы х кало рий следуетп о треб ля ть еж едневно для п о ддерж ания ж из ни? О дна п ищ евая кало рия (1 ккал ) со о тветствует4180 Дж химическо й энергии. 9. Н аско лько хватит450 г ж ира для п о ддерж ания умеренны х нагруз о к (500 Вт )? И ны ми сло вами, ско лько времени до лж ен вы п о лня ть физ ические уп раж нения чело векс из б ы тко м веса, чтоб ы из б авиться о т450 г ж ира? II. Релятивистскаякинем атика и релятивистскаядинам ика ● Д вао сно вны х п о стулатареля тивистско й механики: 1. П ринцип относительности: з ако ны физ ики до лж ны б ы ть о динако вы для всех наб лю дателей, движ ущ ихся с п о стоя нно й ско ро стью о тно сительно друг друга, нез ависимо о твеличин и нап равлений ско ро стей. 2. И нвариантностьскорости света: ско ро сть света имеет о дно и то ж е з начение для всех наб лю дателей 8 с = 2,998 ⋅10 м / с . ● П рео б раз о вания Л о ренц а:

х' = γ х + γ υ t

t' = γ t + γ

υ x, c2

где γ =

1 υ  1−   c

2

ко о рдинаты x и t како го -либ о со б ы тия , из меренны е о дним наб лю дателем, свя з аны с ко о рдинатами того ж е само го со б ы тия x′и t′ , из меренны ми другим наб лю дателем; υ – о тно сительная ско ро сть наб лю дателей вдо ль о си X. ● Л о ренц о во со кращ ение: υ  = 1 −   lпок. c 2

lдви ж

.

длинадвиж ущ его ся п редмета lдви ж . ко ро чев γ раздлины п о ко я щ его ся lпок. . ● О тно сительно сть о дно временно сти: ∆t = −

υl c2

если два со б ы тия , раз деленны е расстоя нием l п о о си x, п ро исхо дя то дно временно п о часам о дно го наб лю дателя , то для движ ущ его ся наб лю дателя о ни б удутраз делены п ро меж утко м времени ∆t . ● П равило реля тивистско го сло ж ения ско ро стей: u' x =

ux ±υ υ 1 ± ux 2 c

5

u'x , u x – ско ро сти п редметавдвух системах о тсчета X ' и X , всистеме X ' п редметдвиж ется со ско ро стью υ . ● Реля тивистскиемассаи имп ульс: m=

m0 υ2 1− 2 c

,

r m0 υ

r p=

υ2 1− 2 c

,

гдеm0 – массап о ко я . ● П о лная энергия тела: E = mc 2 =

m0 c 2 υ2 1− 2 c

,

где E 0 = m0 c 2 – энергия п о ко я . ● Кинетическая энергия движ ущ его ся телаимеетвид:     1  2 2 − 1 . K = E − m0 c = m0 c  2  1− υ    c2  

● Э нергия и имп ульс свя з аны меж дусо б о й со о тно шением

E 2 = p 2 c 2 + (m0 c 2 ) . 2

1. С терж ень длино й 1 м движ ется о тно сительно неп о движ но го наб лю дателя со ско ро стью 0,6 с. Какую длинустерж ня из меритнаб лю датель? 2. Н айти интервал времени, через ко торы й наб лю датель увидитвсп ы шки ламп о чек на ко нц ах стерж ня . 3. Д ве частиц ы движ утся навстречу друг другу со ско ро стью u1 = 0,6 c и u2 = 0,5 c. С како й ско ро стью сб лиж аю тся частиц ы ? 4. Д ве частиц ы движ утся в п ро тиво п о ло ж ны е сторо ны друг о т друга со ско ро стью u = 0,6 c и v = 0,5 c. С како й ско ро стью частиц ы удаля ю тся друго т друга? 5. Како ва ско ро сть реля тивистско й частиц ы , если ее кинетическая энергия равна п о ло вине п о лно й энергии? 6. С терж ень движ ется с неко торо й п о стоя нно й ско ро стью υ. Е го длина в неп о движ но й системе l1 = 3,0 м, а в системе о тсчета, свя з анно й со стерж нем, l2 = 6,0 м. О п ределить со б ственную длинустерж ня и его ско ро сть о тно сительно неп о движ но й системы о тсчета.

6

7. Д ве ракеты удаля ю тся о тЗемли в п ря мо п ро тиво п о ло ж ны е сторо ны со ско ро стью 0,8 с о тно сительно Земли. Н ай ти, с како й ско ро стью движ ется ракета в системео тсчета, свя з анно й с друго й ракетой. 8. В о ско лько разреля тивистская массаэлектро на, движ ущ его ся со ско ро стью υ = 0,999 с, б о льшеего массы п о ко я ? 9. Реля тивистская масса тела, движ ущ его ся с о п ределенно й ско ро стью , во з ро сла п о сравнению с его массо й п о ко я на 20%. В о ско лько разп ри этом уменьшилась его длина? 10. Э лектро н движ ется со ско ро стью 200,0 М м/с. О п ределить кинетическую энергию п о классическо й и реля тивистско й фо рмулам. С равнить рез ультаты . 11. Н айти о тно шение кинетическо й энергии электро нак его энергии п о ко я , если ско ро сть электро на150,0 М м/с. Како вреля тивистский имп ульс электро на? 12. Како муиз менению массы со о тветствуетиз менение энергии на1,0 Д ж ? 13. П о лная энергия мез о на в 8 разб о льше его энергии п о ко я . К ако васко ро сть мез о на. (Э нергия п о ко я мез о наравна135,0 М эВ ). 14. Реля тивистская массадвиж ущ его ся п ро тонав102 разб о льше его массы п о ко я . Н айти ско ро сть движ ущ его ся п ро тона. III. Вращ ательноедвижение ● М о ментимп ульса

r r r L = r × p,

r v где p – имп ульс частиц ы , r – радиус-векто р, п ро веденны й изначала системы ко о рдинаткчастиц е. r ● В случае, ко гда на тело действуетц ентральная сила, вектор L со храня ется п о стоя нны м: r r dL = 0 , или L = const . dt r r ● М о ментсилы T . Е сли натело действуетсила F , то п о о п ределению со о тветствую щ ий мо ментсилы мо ж но з ап исать ввиде r r r T = r×F. ● Рез ультирую щ ий мо ментсилы рав ен ско ро сти из менения мо мента имr r dL п ульса: T р ез = . dt

● С о гласно з ако нусо хранения мо ментаимп ульса, векторная суммамо ментовимп ульсавсех n частиц з амкнутой системы о стается неиз менно й n r L j = const .

∑ j =1

7 r ● П о ло ж ениец ентрамасс Rц. м . =

● П о лны й имп ульс системы

r

∑ m j rj . ∑mj

r r Pпол н = M пол н vц.м . ,

r dRц. м . r где vц. м . = – ско ро сть ц ентрамасс, M пол н – п о лная массасистемы . dt

● М о ментинерц ии твердо го тела дается вы раж ением I =

∑ r ∆m 2 j

j

, где

элементмассы ∆m j расп о ло ж ен нарасстоя нии r j о то си вращ ения .

∫

В случае неп реры вно го расп ределения масс I = r 2 dm . ● П о лная кинетическая энергия системы равна сумме кинетическо й энергии, из меренно й всистемец.м . (ц ентрамасс) и величине M vц2.м . 2 : 1 K пол н = M vц2. м . + K ' , 2

где K ' – п о лная кинетическая энергия , из меренная всистемец.м . В системе ц.м . твердо е тело мо ж ето б ладать лишь вращ ательно й кинетическо й энергией. П о этомумо ж но з ап исать: 1 K пол н = M vц2. м . + K ' вр ащ 2

(для тверды х тел),

где K ' вр ащ – вращ ательная кинетическая энергия , из меренная всистеме ц.м . ● Т вердо е тело , вращ аю щ ееся с угло во й ско ро стью ω , имеетмо ментимп ульса L = Iω о тно сительно о си вращ ения . ● Е сли твердо е тело п о ко ится (или вращ ается во круго си с п о стоя нно й угло во й ско ро стью ω ), то до лж ны вы п о лня ться следую щ ие2 усло вия : 1. 2.

r

∑F ∑

j

= 0,

r Tj = 0 .

8

1. Н айти мо ментинерц ии стерж ня длино й l о тно сительно о си, п ро хо дя щ ей черезее ц ентр (см . р и с.).

2. Н ай ти кинетическую энергию о б руча, катящ его ся п о п ло ско сти со ско ро стью v, радиусаr и массы M. 3. Н айти кинетическую энергию диска, катящ его ся п о п ло ско сти со ско ро стью v, радиусаr и массы M. 4. Н айти кинетическую энергию ц илиндрическо го снаря да, летящ его со ско ро стью v и вращ аю щ его ся о тно сительно со б ственно й о си с угло во й ско ро стью ω . Г ео метрическиеразмеры считать заданны ми. М ассаснаря даравнаM.

5. П усть чело век стоитна диске. Д иск вращ ается с угло во й ско ро стью ω1 (см. рис.1). П усть теп ерь чело векстоитнадискеи вращ ается с угло во й ско ро стью ω 2 (см. рис.2). Н айти из менение угло во й частоты ω 2 п о о тно шению к ω1 .

р и с.1

р и с.2

6. П ло тно сть ж елез но го махо вика ρ = 8ּ103 кг/м 3, а махо вика изп лавлено го кварц а ρ = 2,4ּ103 кг/м 3. О б а махо вика имею то динако вы е п ределы п ро чно сти нараз ры ви о динако вы е массы . Како во о тно шение максимальны х з ап асо вэнергии для этих махо вико в?

9

7. О б о д вело сип едно го ко лесадиаметро м 0,8 м имеетмассу1,5 кг. Ч емуравен мо ментимп ульса ко леса, если ско ро сть вело сип еда 3 м /с? М ассо й сп иц мо ж но п ренеб речь. 8. Т вердо е тело с мо ментом инерц ии I вращ ается с угло вы м уско рением α во круг сво ей о си и мгно венно й угло во й ско ро стью ω . Ч емуравна мо щ но сть, со о б щ енная телу? 9. О б руч массо й m катится п о п ло ско сти. С ко ро сть ц ентра о б руча равна v . Ч емуравнакинетическая энергия о б руча? 10. Т верды й диск массо й m катится п о п о верхно сти. С ко ро сть ц ентра диска равна v . В ы числитекинетическую энергию диска. 11. Т верды й шар массо й m катится п о п о верхно сти. С ко ро сть ц ентра шара равна v . Како ваего кинетическая энергия ? IV. Электростатическаясила, электростатика q1 q 2 , где q1 и q 2 – точечны е з аря ды , r – расстоя ние r2 меж дуними, k 0 = 9 ⋅ 10 9 H ⋅ м 2 / К л 2 . • Н ап ря ж енно сть электрическо го п о ля – это электрическая сила, действую щ ая наединичны й электрический з аря д, т.е. r r E=F . q • Зако н К уло на F = k 0

• Э лектрическо е п о ле точечно го з аря да Q нарасстоя нии r о тнего о п редеr Q r r ля ется E = k 0 2 r , где r – единичны й вектор, нап равленны й о тQ кточке. r • П ринцип су перпозиции: Э лектро статическая сила п ро тяж енно го тела с равно мерны м расп ределением з аря данахо дится как r r F = dF , r где dF – сила, действую щ ая со сторо ны о тдельно го элементаз аря да.

∫

• Н ап ря ж енно сть электрическо го п о ля , со з даваемая элементом о б ъ ема dV с п ло тно стью з аря да ρ , равна r k r dE = 02 r ρ dV . r r Э лектрическо е п о ле п ро тяж енно го тела мо ж но вы числить, интегрируя dE п о о б ъ емуэтого тела.

10

r r r • П о ток электрическо го п о ля равен dФ = E ⋅ dS . dS – элементп о верхно сти, черезко торы й п ро хо дя тсило вы елинии. r r Ф = E ⋅ dS . П о лны й п о токчерезп о верхно сть S равен величине

∫

• Т еорем а О строградского – Гау сса: П о лно е число сило вы х линий, п ересекаю щ их з амкнутую п о верхно сть, равно п ро из ведению 4πk 0 навеличинуп о лно го з аря давнутри этой п о верхно сти: r r E ⋅ dS = 4πk 0 Qвн ут р ,

∫

Q вн ут р – п о лны й з аря д внутри з амкнутой п о верхно сти.

• Э лектрическая п о тенц иальная энергия з аря да q дается вы раж ением r

r r U (r ) = −q E ⋅ dS ,

∫ ∞

п ричем наб еско нечно сти величинаU п о лагается равно й нулю . • Э лектрический п о тенц иал – это раб о та, ко торую нео б хо димо з атратить, чтоб ы п ереместить единичны й з аря д изб еско нечно сти на расстоя ние r о тточечно го з аря да Q . U ϕ= . q П о тенц иалточечно го з аря да:

ϕ=

k0 Q . r

• Раз но сть п о тенц иало в меж дудвумя то чками п редставля етсо б о й раб о ту, ко торую нео б хо димо з атратить для п еремещ ения единично го з аря да изо дно й точки вдругую . в r r ϕв − ϕа = − E ⋅ dS .

∫

а

1. Н айти нап ря ж енно сть электрическо го п о ля Е как функц ию расстоя ния x о т п ря мо й б еско нечно й тонко й нити, вдо ль ко торо й равно мерно расп ределен з аря д линейно й п ло тно стью λ. Зависимо сть Е (x) из о б раз ить графически. 2. Н айти расп ределение нап ря ж енно сти электрическо го п о ля , со з даваемо го равно мерно з аря ж енны м шаро м.

11

3. Н айти п о токвекторанап ря ж енно сти электрическо го п о ля точечно го з аря да черезсферическую п о верхно сть. Заря д нахо дится вц ентре сферы . (см . р и с.) E

q R

4. Н айти нап ря ж ённо сть электрическо го п о ля , со з даваемо го дип о лем, вдо ль о си, п ро хо дя щ ей через серединуо трез ка, со единя ю щ его з аря ды дип о ля (з аря ды раз но именны е). 5. Н айти нап ря ж ённо сть электрическо го п о ля вдо ль о си, п ро хо дя щ ей черезсерединуо трез ка, со единя ю щ его двап о ло ж ительны х з аря да.

6. Н ай ти нап ря ж ённо сть электрическо го п о ля вдо ль о си, п ро хо дя щ ей через ц ентр з аря ж енно го диска. 7. Н айти емко сть металлическо й сферы радиусаR. 8. Н айти удельную емко сть п ло ско го ко нденсаторас п ло тно стью з аря до в σ и –σ . Расстоя ниемеж дуп ластинами ко нденсатораравно d. 9. И меется три п араллельны е металлические п ло ско сти, нахо дя щ иеся на расстоя нии d1 и d 2 друго тдруга(см . р и с.3). С редня я п ло ско сть имеетудельную аз емлены . Н айти п ло тно сть з аря до в п ло тно сть з аря да σ . Край ние п ло ско сти з σ 1 и σ 2 , наведенны х накрайних п ло ско стях.

Ри с.3 10. Н айти расп ределение нап ря ж енно сти и п о тенц иала электрическо го п о ля в сло е равно мерно з аря ж енно го диэлектрика толщ ино й d, нахо дя щ его ся меж ду металлическими п ло ско стями, п о тенц иал о дно й изко торы х равен нулю , а второ й – V.

12

О Т ВЕ Т Ы

1.

И РЕ Ш

Е Н И Я

I. Законы сохраненияэнергии и им пу льса. Реш ение: Задачао столкно вении решается нао сно ве з ако но всо хранения . 2

V  ∆E E1 − E2 E = = 1 − 2 = 1 −  2  m M E1 E1 E1  V1  Решаем систему: V1 ,V2 – ско ро сть частиц ы с массо й m до и п о слестолкно вения , V – ско ро сть частиц ы с массо й M п о сле со ударения .  mV12 mV22 MV 2 (V1 − V2 )MV = MV 2 , = + ; m V12 − V22 = MV 2 ,  ⇒  2 2 2 m(V1 + V2 ) = MV , V1 − V2 = V . V1 (m − M ) = V2 (m + M ). mVr = mVr + MVr.  1 2

(

)

2

∆E ∆E 4mM m−M  = 1−  = .  ; E1 E1 (m + M )2 m+M  Ч астны е случаи: 1) m = M ; ∆E = E1 ; ∆E 4 m . = E1 M ∆E 4mM = О твет: . E1 (m + M )2

2) m