Компьютерный практикум по квантовой механике. Методическое пособие

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Г.Л.Коткин, В.А.Ткаченко, О.А.Ткаченко

КОМПЬЮТЕРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Новосибирск 1996

Аннотация

Пособие предназначено для студентов физического факультета. Содержание соответствует курсу “Квантовая механика”.

c °

Новосибирский государственный университет. 1996

Содержание 1 Как компьютер решает задачи 1.1 Уравнение Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Безразмерные переменные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Решения уравнения Шредингера при постоянном потенциале U (x) и при кусочно-постоянном U (x) . . . . . . . . . . 1.4 Поиск связанных состояний в поле U (x) . . . . . . . . . . . 1.5 Распределение по импульсам . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Зависимость волновой функции от времени . . . . . . . . . 1.7 Коэффициент прохождения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Состояния в периодическом поле . . . . . . . . . . . . . . . 2

9 9 9 10 11 13 14 14 15

Как управлять программой QUANTX 16 2.1 Структура меню . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Как задавать поле U (x). Несколько потенциальных ям и барьеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Как задать потенциал U (x) = −gδ(x) . . . . . . . . 19 2.2.2 Как задать потенциалы, имитирующие линейный и квадратичный . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3 Как задавать энергию . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.4 Поиск связанных состояний . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.5 Изменение масштаба . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Изображение волновых функций при E < 0 . . . . . . . . . 21 2.3.1 Изображение волновой функции . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 Изображение серии волновых функций . . . . . . . 23 2.3.3 Изображение |ψ(x)|2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.4 “Трехмерное” изображение волновых функций . . . 23 2.3.5 Распределение по импульсам . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.6 Изображение зависимости волновых функций от времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Изображение потенциала U (x) . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.1 Как задавать поле U (x). Изменяющееся поле . . . . 25 2.4.2 Изображение деформирующегося потенциала . . . . 26 2.4.3 Уровни энергии в зависимости от степени деформации потенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 Коэффициент прохождения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6 Как задавать поле U (x). Периодическое поле . . . . . . . . 27 2.6.1 Изображение периодического поля U (x) . . . . . . . 27 2.6.2 Поиск запрещенных и разрешенных зон . . . . . . . 28 2.6.3 Изображение закона дисперсии . . . . . . . . . . . . 28 3

2.6.4 Изображение волновых функций . . . . . . . . . . . 2.7 Некоторые добавочные возможности . . . . . . . . . . . . . 3 Задания 3.1 Одна потенциальная яма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Уровни и волновые функции в широкой яме . . . . 3.1.2 Волновой пакет, аналогичный движению классической частицы между стенками . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Штарковский сдвиг уровней для одной ямы . . . . . 3.2 Пара одинаковых ям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 От одной ямы к паре ям . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Связывающие и разрыхляющие состояния. Ковалентная связь атомов в молекуле . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Дифракция на открытом конце пары волноводов . . 3.3 Локализация и делокализация частицы в паре ям . . . . . 3.3.1 Пара разных ям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 “Поляризация” молекулы . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Осцилляции дипольного момента в паре ям . . . . . 3.3.4 Вариации на тему локализации и делокализации . . 3.4 Одномерный “кристалл” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Уровни в поле нескольких одинаковых ям . . . . . . 3.4.2 Уровни в поле нескольких узких ям . . . . . . . . . 3.4.3 Металлическая связь . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Таммовский поверхностный уровень . . . . . . . . . 3.4.5 Примесь в одномерном кристалле . . . . . . . . . . 3.4.6 Дополнительные задания и вопросы . . . . . . . . . 3.5 Прохождение частиц через барьеры . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 “Резонатор” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Три барьера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Несимметричные барьеры . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Появление запрещенных зон при больших энергиях 3.5.5 Надбарьерные резонансы . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.6 Столкновение волнового пакета с прямоугольным барьером . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.7 Дополнительные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.8 Виртуальные уровни. Эффект Рамзауэра в одномерном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.9 Столкновение волнового пакета с прямоугольной ямой 3.6 Периодическое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Разрешенные и запрещенные зоны в периодическом потенциале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

28 28 28 28 29 30 30 31 31 31 32 32 32 32 33 33 33 34 34 34 34 34 35 35 35 35 36 36 36 36 36 37 37 37 37

3.6.2 3.6.3

Модель состояний электрона в молекуле бензола . . Пайерлсовский переход металл-диэлектрик . . . . .

5

38 38

Введение Для активного освоения квантовой механики необходимо решение множества задач. Один из ее создателей, П. А. М. Дирак писал: “Новые теории, независимо от их математической формы, построены на основе таких физических понятий, которые не могут быть объяснены с помощью известных ранее понятий... Подобно тем основным категориям (например, понятия смежности, тождества), которыми каждый человек должен овладеть с рождения, новые физические понятия можно освоить лишь при продолжительном знакомстве с их свойствами и их употреблением.” Курс квантовой механики по отношению к возможности его компьютерной “поддержки” оказался в счастливом положении, потому что множество различных задач могут быть решены с помощью одного лишь уравнения — уравнения Шредингера. А поскольку в этой области физики надо “заново учиться ходить”, уже одномерные задачи дают для этого богатый материал. Стиль работы в компьютерном практикуме не похож ни на тот, который принят на семинарах, ни на работу программиста. Здесь можно полностью исключить громоздкие вычисления и сосредоточить внимание на постановке задачи и анализе результатов. Если принять для самой грубой оценки, что эта часть работы над задачей занимает половину времени, то получается, что компьютер ускоряет темп работы примерно вдвое. Впрочем, не менее важно, что доступны становятся новые задачи. Для кого-то будет нетривиальным замечание, что работа в этом практикуме предполагает, в первую очередь, не количественное решение задач, а качественное изучение закономерностей. Программа QUANTX “удлиняет руки”, но не содержит в себе готового путеводителя по квантовой механике! Кое-что (и немало!) есть в этом пособии, но учится человек сам. Предполагается, что на занятие в компьютерном классе студент приходит, заранее зная, какие вопросы собирается исследовать. Эти вопросы заранее обсуждаются с преподавателем, который ведет в группе семинары, как правило, результаты, полученные в терминальном классе, тоже обсуждаются с ним же (обычно тут же, рядом с компьютером). Каких-то формальных отчетов о работе в практикуме обычно не требуется. Все вопросы обсуждаются непосредственно во время решения конкретных задач, или, лучше сказать, во время выполнения конкретных заданий. Естественный результат работы — умение представить вообще без вычислений и без компьютера вид интересующих нас зависимостей (не тех, которые наблюдали, а каких-то иных, лишь отдаленно похожих). Перечислим кратко, какие задачи решает программа QUANTX. Про6

грамма имеет дело с кусочно-постоянными одномерными потенциалами. Она находит уровни энергии в заданных полях и соответствующие волновые функции, а также — распределения по импульсам. Определяются суперпозиции связанных состояний и зависимости волновых функций от времени. Можно задавать широкие виды деформации потенциалов и следить, как при этом изменяются уровни энергии. Определяется коэффициент прохождения в заданном поле, изображаются волновые функции в этой задаче. Суперпозиции состояний с энергиями непрерывного спектра (приближенно) представляют движение волновых пакетов. Определяется задержка по времени при отражении пакета. В периодическом поле находятся разрешенные и запрещенные зоны, закон дисперсии, изображаются волновые функции, распределение по импульсам, демонстрируется изменение зон при изменении поля. Программа QUANTS посвящена задачам в центральном кусочно-постоянном поле. Она решает задачи о связанных состояниях и задачи рассеяния. Пожалуй, самая замечательная ее особенность в том, что она готова иметь дело более, чем с десятком парциальных волн (в то время, как обычно, при нормальном уровне усилий, студенту удается касаться лишь s и совсем чуть-чуть — p волн.) В центральном поле для связанных состояний можно наблюдать радиальные волновые функции, представленные как в форме Rn,l (r), так и в форме χn,l (r) = rRn,l (r), а также подобные распределения по импульсам. Выводится также зависимость плотности числа частиц с учетом многих уровней и их кратностей вырождения от r: n(r) = 2

lmax X

(2l + 1)

X

|Rn,l (r)|2

n

l=0

и аналогичное распределение по импульсам. При E > 0 выводятся кроме волновых функций фазы рассеяния, амплитуды рассеяния, парциальные и полные сечения, дифференциальные сечения, сечения в борновском приближении. В первой главе рассказано, какие задачи и как решаются программами QUANT. Это не алгоритмы в буквальном смысле слова, но, как мы надеемся, в общих чертах действия компьютера будут понятны. И будет понятно, как близки они в этом случае к тому, что вы делали бы сами, решая такую задачу. Во второй главе содержатся инструкции по управлению программой. Естественно, что понимать их можно будет только после того, как про7

читан соответствующий материал первой главы. В третьей главе содержатся физические задания. Читая инструкцию, студенту лучше всего пользоваться тремя “входами”, — продвигаясь сразу по каждой из глав. Приступать к работе можно, ознакомившись лишь с частью инструкции, относящейся к изучаемой физической теме. Управление программой QUANTS легко осваивается по текстам в позициях меню, хотя и отличается несколько от управления программой QUANTX. То же самое относится к нескольким позициям меню программы QUANTX, не описанным в этой инструкции. Не так уж сложно привести работу программ к сбою, происходящему вследствие выхода за рамки допустимого диапазона чисел (±38 порядков). Контроль, предупреждающий о возможности такого сбоя, в программах не предусмотрен. Необходимо также напомнить о возможности возникновения артефактов — явлений, связанных со способом наблюдения. Они возникают, например, если выводить на экран синусоиду, длина волны которой близка или меньше, чем расстояние между точками растра. Обоих этих сортов неудобств легко избежать, выбирая достаточно “умеренные” значения параметров. Возможна некоторая модификация управления работой программ, не отраженная в этом издании инструкции. Могут быть также подготовлены демонстрации, при которых программы будут исполняться согласно определенному “протоколу”. В издание не включено также значительное число заданий, относящихся к движению в центральном поле. ЗАМЕЧАНИЕ ДЛЯ СИСТЕМНОГО ПРОГРАММИСТА. Программы написаны в ОС DOS и могут иногда конфликтовать с высокими версиями ОС Windows. Наряду с файлом Quantx.exe в директории должны находиться файлы EGAVGA.bgi и Fonts.fnt. При запуске через FAR следует предварительно привести панель FAR к полноэкранному виду с большими буквами (используя команды CNTRL/ENTER и CNTRL/F9). Для программы QUANTR нужно предварительно запустить “руссификатор” RK.com . Тогда при использовании FAR запуск QUANTR осуществляется командой QUANTR.exe, а не выбором позиции в FAR.

8

1

Как компьютер решает задачи

1.1

Уравнение Шредингера

Волновая функция частицы удовлетворяет уравнению Шредингера ∂Ψ ~2 i~ =− ∆Ψ + U (r)Ψ. ∂t 2m

(1)

Мы будем поначалу рассматривать только одномерные задачи, т.е. примем, что U = U (x), Ψ = Ψ(x, t), причем чаще всего будем интересоваться стационарными состояниями, для которых Ψ(x, t) = ψ(x) e−iEt/~ ,

(2)

а уравнение Шредингера имеет вид d2 ψ 2m + 2 (E − U )ψ = 0. dx2 ~ 1.2

(3)

Безразмерные переменные

Прежде всего “обезразмерим” это уравнение. Для этого выберем какуюто единицу длины a0 . Для задач, касающихся свойств атомов и молекул, естественно принять за единицу длины, например, боровский радиус (a0 = 5 · 10−9 см). Для задач, относящихся к строению атомного ядра, удобная единица длины на пять порядков меньше, a0 =1 фм=1 Фм =10−13 см. В качестве единицы энергии выберем1 ε0 =

~2 . 2ma20

(4)

Для явлений в атомных масштабах обычно речь идет о движении электрона, если m — масса электрона, то ε0 =13,6 эВ. В “ядерных” задачах естественно принять m равным массе нуклона. Тогда ε0 ≈20 МэВ. Теперь можно ввести безразмерные переменные √ x˜ = x/a0 ; U˜ = U/ε0 ; E˜ = e/ε0 ; ψ˜ = ψ/ a0 . (5) (Переход к Rфункции ψ˜ обеспечивает ее нормировку в переменных x˜: R ˜ 2 d˜ |ψ| x = |ψ|2 dx). Обращаем внимание, что мы сочли удобным поставить не m, а 2m, поэтому наши единицы не совпадут с так называемыми атомными. 1

9

В этих переменных уравнение (3) принимает вид ψ˜00 (˜ x) + (E˜ − U˜ )ψ˜ = 0.

(6)

Далее мы будем иметь дело именно с уравнением для безразмерных переменных, а знак “тильда” будем опускать. Возможность ввести безразмерные переменные означает, что выполняются определенные законы подобия. При одинаковых зависимостях потенциальной энергии U˜ (˜ x) явления отличаются лишь масштабом. Например, количества связанных состояний частицы в прямоугольных потенциальных ямах глубины U и ширины a одинаковы при одинаковых значениях параметра mU a2 /~2 . 1.3

Решения уравнения Шредингера при постоянном потенциале U (x) и при кусочно-постоянном U (x)

Сначала не будем касаться физической постановки задачи, а будем интересоваться только решением уравнения (6). При заданном значении E это уравнение имеет два линейно независимых решения. Если U = const, то общий вид решения при U > E ψ(x) = A e−κx + B eκx , где κ=

√

U − E,

(7) (8)

при U < E ψ(x) = A sin kx + B cos kx, где k=

√

E − U.

(9) (10)

Здесь A и B — произвольные постоянные, которые определяются в соответствии с физической постановкой задачи. Если же поле U (x) является кусочно постоянным, U (x) = Uj

при xj−1 < x < xj ,

j = 1, 2, . . . , N,

(11)

то на каждом участке решение имеет вид (7) или (9), 2 причем постоянные A и B могут быть выбраны произвольно на одном каком-либо Чтобы не осложнять чтение текста, мы не упоминаем в нем случай U = E. В программе он, разумеется, учтен. 2

10

участке, а на всех прочих определяются после этого однозначно условиями “сшивки”: ψ(xj − 0) = ψ(xj + 0), (12) ψ 0 (xj − 0) = ψ 0 (xj + 0).

(13)

Наша компьютерная программа основана именно на задаче с кусочно постоянными полями. Хотя это и сужает класс возможных задач, выбор их остается не просто богатым, а можно сказать, необъятным. Кусочнопостоянными полями можно моделировать, как мы увидим, множество физических систем. 1.4

Поиск связанных состояний в поле U (x)

Напомним, как можно найти связанные стационарные состояния в заданном поле. В качестве простого примера возьмем прямоугольную потенциальную яму с бесконечной стенкой:   ∞ при x < 0 U (x) = −V0 при 0 < x < a (14)  0 при a < x Условие ψ(0) = 0 диктует выбор константы в (9) B1 = 0, так что для x ∈ (0, a) волновая функция имеет вид ψ(x) = sin kx.

(15)

Для x > a волновая функция имеет вид ψ = A2 e−κ(x−a) + B2 eκ(x−a)

(16)

(по сравнению с (7) константы в (16) определены по-иному; кроме того, не заботясь сейчас о нормировке волновой функции, мы приняли A1 = 1), а правила сшивки (12) и (13) дают sin ka = A2 + B2 ,

k cos ka = κ(−A2 + B2 ),

(17)

откуда

1 k B2 = (sin ka + cos ka). (18) 2 κ Энергии связанных состояний определяются из условия ψ|x→∞ → 0 : B2 (E) = 0, 11

(19)

или более подробно h i 1/2 sin (V − |E|) a +

s

h i V − |E| 1/2 cos (V − |E|) a = 0. |E|

(20)

Не будем здесь подробнее анализировать решения этого уравнения. Подобным же образом решает такую задачу компьютер. Если поле задано на нескольких участках, то на крайнем принимаются такие значения констант, чтобы волновая функция стремилась к нулю при x → −∞ (то есть A = 0, B = 1, в уравнении (7)), а затем с помощью “правил сшивки”(12) и (13) при заданном значении энергии E численно находятся коэффициенты Aj , Bj последовательно на всех участках, где задано поле. После этого остается решить уравнение BN (E) = 0,

(21)

разумеется, также численно. Для этого на обследуемом интервале энергий строится, с определенным шагом, функция BN (E) = 0, находятся те шаги, на границах которых эта функция изменяет знак, а уж в этих интервалах уравнение (21) решается с высокой точностью (методом секущих). Кстати, зависимость BN (E) можно, если появится потребность, увидеть и на экране. Примерно таково же соотношение между аналитическими способами решения других задач, которыми студенты овладевают на семинарах, и численными, — которыми пользуется компьютер. Очевидно, что для любого студента в таком случае не может быть ничего таинственного в способах действия компьютера. Правда, компьютер способен решать задачи несравненно более громоздкие, чем это можно было бы сделать аналитически. А если бы мы имели тем не менее аналитическое решение (полученное, скажем, тоже с помощью компьютера), все равно для анализа его пришлось бы в каких-то случаях строить графики. Но во многих случаях человек может качественно предвидать результат решения задачи, найденное решение представляется естественным или наоборот удивительным. Круг таких вопросов должен заметно вырасти после работы в этом практикуме.

12

1.5

Распределение по импульсам

Напомним, что собственная функция импульса, отвечающая собственному значению p, 1 φp (x) = √ eipx/~ , (22) 2π~ а в безразмерных переменных 1 φk (x) = √ eikx , 2π

p = ~k/a0 .

(220 )

Представляя волновую функцию ψ(x) в виде Z∞ ψ(x) =

ϕ(k)φk (x) dk,

(23)

−∞

мы вводим волновую функцию в импульсном представлении ϕ(k). Очевидно, ϕ(k) содержит в конечном счете такую же информацию о состоянии, как ψ(x). Уравнение (23) — просто разложение Фурье. Непосредственно же можно интерпретировать функцию |ϕ(k)|2 так: вероятность того, что импульс частицы лежит в интервале (k, k + dk), равна dw = |ϕ(k)|2 dk.

(24)

Смысл этого утверждения примерно таков: если бы мы мгновенно “выключили” поле U (x), то образовался бы волновой пакет, который стал бы “расплываться”. Поставленные на большом расстоянии счетчики зарегистрировали бы сигналы с разными задержками по времени; интенсивность сигналов определяется величиной dw, а задержка — величиной импульса. (Нетрудно сообразить, что для одномерной задачи эта картина близка к картине диффракции волн на открытом конце волновода.) Функция ϕ(k) находится с помощью обратного преобразования: Z∞ φ∗k (x)ψ(x) dx.

ϕ(k) =

(25)

−∞

Компьютер вычисляет этот интеграл по готовым аналитическим выражениям для каждого участка, где U (x) = const, и складывает результаты. Это делается для каждого значения k (естественно, не буквально, а с некоторым шагом). Кстати, подобным же образом вычисляется нормировочный интеграл. 13

1.6

Зависимость волновой функции от времени

Любую волновую функцию можно представить в виде суперпозиции волновых функций стационарных состояний X Ψ(x, t) = c(E)ψE (x) e−iEt/~ . (26) E

(В области непрерывного спектра сумму следует заменить на интеграл по dE.) Коэффициенты разложения c(E) могут быть найдены, например, если известна волновая функция в начальный момент. Стоит сразу же сделать одно замечание. Зависимость (26) включает в себя изменение фазы функции, определяемое некоторым характерным значением энергии и несущественное для физических следствий (в той же мере, как несущественен выбор начала отсчета энергии). Существенными же являются разности энергий, входящих в сумму. Поэтому, между прочим, наблюдая зависимость состояния от времени, предпочтительно просматривать не Re ψ(x, t), Im ψ(x, t), а |ψ(x, t)|2 . В программе QUANTX предусмотрены два вида суперпозиций. Суперпозиция, построенная из состояний дискретного спектра решает задачу об изменении со временем волновой функции связанного, но не стационарного состояния. Каким бы ни было начальное состояние, со временем слагаемые, отвечающие непрерывному спектру, “убегут” из области потенциальной ямы и в яме и ближайших ее окрестностях останется вклад именно такой суперпозиции. Волновой пакет, приходящий в область поля с далекого расстояния, — это суперпозиция состояний непрерывного спектра. В программе QUANTX такой волновой пакет представляется приближенно — в виде не интеграла, а суммы нескольких (∼ 10) слагаемых. Естественно, здесь возможны артефакты — “явления” вызванные способом наблюдения. Это полностью аналогично хорошо знакомому по практикуму по электродинамике дискретному преобразованию Фурье. Для дискретного спектра можно наблюдать изменение со временем не только распределений по координатам, но и по импульсам. 1.7

Коэффициент прохождения

Как известно, в квантовой механике, в отличие от классической, частица может отразиться от потенциальной ямы и может пройти сквозь потенциальный барьер. Задача об отражении частицы полностью подобна аналогичной задаче оптики. 14

В области x > xN имеем U = 0, а волновая функция складывается из падающей и отраженной волн3 ψ = C1 e−ikx + C eikx ,

(27)

а при x < 0 есть только прошедшая волна: ψ = D e−ikx

(28)

(чтобы не осложнять запись, мы приняли — здесь, а не в программе, — что U = 0 также и при x < 0). Коэффициент прохождения T = |D/C1 |2 , коэффициент отражения R = |C/C1 |2 = 1 − T . И компьютер, и человек решают задачу одинаково. Выбираем какоето значение энергии, принимаем D = 1, производим сшивки волновых функций и производных во всех точках, где потенциал U (x) испытывает скачок, и находим в итоге C, C1 , T , R. Только человек делает сшивки в аналитической форме, а компьютер — численно. Естественно затем нормировать волновые функции так, чтобы амплитуда падающей волны C1 была равна единице. 1.8

Состояния в периодическом поле

Периодическое поле имеет прямое отношение к физике электронов в кристаллах. Задача о состояниях частицы в периодическом поле решается компьютером тоже “стандартным” способом. Период поля обозначим a. Коэффициенты в равенствах (7), (9) выбираются такими, чтобы функция ψ(x) была собственной функцией оператора сдвига на период: ψ(x − a) = λψ(x).

(29)

Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что это условие сводится к системе линейных уравнений для коэффициентов, в свою очередь приводящей к квадратному уравнению для λ. Корни этого уравнения связаны соотношением 4 λ1 λ2 = 1.

(30)

Мы рассматриваем волну, падающую из области x > 0; во многих пособиях принято иное направление падающей волны, но нам так удобнее осуществлять сшивку. 4 Вронскиан ψ1 ψ20 − ψ2 ψ10 для двух разных решений уравнения Шредингера есть постоянная; если оба эти решения удовлетворяют условию (29), то это сразу же приводит к (30). 3

15

Возможны два варианта: либо эти корни действительные — тогда, например, |λ1 | > 1, |λ2 | < 1; либо комплексно сопряженные — тогда |λ1 | = |λ2 | = 1 λ1 = eiφ , λ2 = e−iφ . (31) Первый вариант означает, что энергия принадлежит запрещенной зоне, такие состояния, подобно состояниям (7) для U (x) ≡ 0, прямого смысла не имеют, но необходимы при построении волновых функций, если в “кристалле” есть какие-то нарушения периодичности. Второй вариант отвечает разрешенной зоне. Достаточно считать, что в (31) 0 < φ < π, чтобы охватить все возможные значения λ1,2 . Обычно полагают λ = eiqa , (32) вводя величину q, называемую квазиимпульсом5 , причем −π < qa < π, так что оба корня (31) охватываются одним выражением (32). Зависимость E(q) обычно называют законом дисперсии. Пара состояний с данной энергией, удовлетворяющих условию (29), образует базис, через который могут быть выражены любые решения уравнения Шредингера. Распределение по импульсам в периодическом поле, как нетрудно убедиться, является дискретным. Дальнейшие подробности было бы нецелесообразно излагать в этой краткой инструкции.

2

Как управлять программой QUANTX

Управление работой программы осуществляется, как это сейчас общепринято, с помощью “меню”; возможно (а со временем оказывается более удобным) часть операций задавать командами. Освоение этого управления требует некоторых усилий, хотя и небольших. С одной стороны, позиции меню крайне лаконичны, что на первых порах создает некоторое напряжение (а в дальнейшем — наоборот, лишнее напряжение снимает). С другой стороны, все предлагаемые действия очень естественны, поэтому обучение управлению происходит быстро. Мы подразумеваем безразмерную величину, переход к размерной, как и переход от безразмерного импульса k к размерному p, состоит в умножении на ~/a0 5

16

2.1

Структура меню

Главное меню (вызываемое нажатием на клавишу h ↑ i ) содержит разделы Dependences (основной), а также Parameters и Operations (вспомогательные и обычно почти не используемые). Dependences — это список решаемых задач (или, если угодно, выводимых на экран зависимостей). Чтобы избежать громоздкости и, в конечном счете, облегчить поиск нужной задачи, имеются ответвления от главного меню, которых можно достичь с помощью клавиш h → i , h ← i ; с их же помощью можно возвратиться в главное меню. Ответвления от разных позиций главного меню разные. Они всегда связаны с основной позицией смыслом, а как правило, и формой записи, так что специально запоминать “пути поиска позиций” не потребуется. Работая с программой, вы заметите, что главное меню по ходу работы может изменяться. Исполнение задачи происходит при нажатии клавиши h Enter i в заданной позиции. Избранная позиция не забывается и тогда, когда изображение меню на экране сменилось каким-то другим. В нижнем окне экрана имеются подсказки — список команд, задаваемых нажатием одной клавиши. Например, нажав клавишу h S i , мы получаем меню изменения масштабов графиков (кстати, это меню является контекстно - зависимым, оно относится именно к той зависимости, которая выбрана в главном меню). Выход из меню изменения параметров — h Esc i . Все команды продублированы в разделах главного меню Parameters и Operations, но пользоваться командами удобнее. Обычно на вызов какого-либо меню реакция следует незамедлительно, а выполнение текущего задания прерывается или приостанавливается. Завершение работы программы — h F3 i . Для многих задач нужна лишь часть всего набора команд, и мы постараемся дать описание управления, избегая излишеств. Надо иметь в виду, что за время работы с программами невозможно и не нужно осваивать все заложенные в них возможности. Начнем с управления программой при поиске связанных стационарных состояний. 2.2

Как задавать поле U (x). Несколько потенциальных ям и барьеров

Имея в виду определенную задачу, прежде всего нужно определить поле U (x). Именно в этом пункте выбор кусочно-постоянного потенциала 17

(поначалу обусловленный ограниченностью вычислительных ресурсов) оказался очень удачным. Задавать кусочно-постоянное поле относительно просто. Подразумевается, что это поле выглядит следующим образом. При x < 0 поле U = U0 = const, причем задано исходное значение U0 = 0. При x > 0 имеется N участков вообще говоря разной длины dj (j = 1, 2, . . . , N ), на каждом из которых потенциал имеет P постоянное значение Uj . Область, занятая полем, имеет длину xN ≡ j dj . Наконец, при больших значениях x, x > xN , принято U (x) = 0. Все перечисленные величины можно задать с помощью меню определения потенциала. Нажав клавишу h U i , мы вызываем меню определения потенциала (несколько способов задания потенциала объединены в одном меню). Того же результата можно достичь, нажав клавишу h Enter i в позиции U раздела Parameters главного меню. • Пошаговое задание потенциала. Наиболее универсальный и простой способ заложен в пункте Ustep. Задается число отрезков N, а затем — ширина d(j) и потенциал U(j) для каждого из них. • Потенциал при x < 0. Можно установить потенциал при x < 0 равным любой константе U0 = Uwall (или +∞), если выбрать пункт U(xxN) в меню потенциалов и затем воспользоваться первыми двумя возможностями в открывшемся подменю доопределения потенциала. Не забывайте, что заданное значение U0 будет сохраняться, пока вы его не измените! • Несколько одинаковых ям или барьеров. Очень много задач относятся к полю из нескольких одинаковых ям или барьеров (это полезный промежуточный пункт в переходе к полю в кристалле). Для быстрого определения таких полей предназначен пункт Umulti в меню потенциалов. В этом случае задается N — число ям, a — ширина одной ямы, Ua — потенциал в яме, b — дистанция между соседними ямами, Ub — потенциал на участке между ямами. (При Ua < 0 мы задаем ямы, при Ua > 0 — барьеры). После того, как потенциал в виде гребенки ям задан, его можно усложнить с помощью известного уже пункта Ustep (например, ввести “примесь”на каком-либо отрезке — яму другой глубины). 18

Задаваемое поле U (x) изображается тут же в малом временном окне, и это помогает избежать ошибок. При этом автоматически изменяется масштаб, так, чтобы это окно использовалось эффективно. Поэтому, например, поле в виде прямоугольной потенциальной ямы изображается одинаково независимо от ее ширины и глубины. 2.2.1

Как задать потенциал U (x) = −gδ(x)

При аналитическом решении задач бывает удобно имитировать узкую потенциальную яму потенциалом в форме U (x) = −gδ(x). Чтобы иллюстрировать такие вычисления, полезно понимать, как задать такой потенциал. Для прямоугольной потенциальной ямы g = U a, а условие, позволяющие считать потенциал δ-функционным — U a2 ¿ 1. Однако не надо усердствовать в выполнении этого условия, чтобы уровни энергии не оказались слишком мелкими, так что для поиска их пришлось бы сильно уменьшать шаг по энергии. Обычно вполне достаточно выбрать U a2 ∼ 0.5. 2.2.2

Как задать потенциалы, имитирующие линейный и квадратичный

Чтобы быстро задать ступенчатый потенциал, имитирующий линейный или квадратичный, следует сначала в позиции Umulti задать, например, N =13, a =0.5, Ua =0, b =0.5, Ub =0, а затем перейти в позицию U+f(x) и выбрать значения предложенных там параметров. 2.2.3

Как задавать энергию

Нажав клавишу h E i , мы получаем доступ к “меню энергии”. В позиции E содержится “текущее” значение энергии. В позиции hE — “шаг по энергии”. С таким шагом изменяется энергия при поиске связанного состояния, изображаются разные функции от E, строятся серии графиков, например, |ψ(x)|2 для разных значений E. Шаг можно задавать и отрицательным. В позициях Emin и Emax — границы, в пределах которых происходит, если надо, изменение энергии с этим шагом. В позиции dEn/En заказывается уровень точности поиска энергии (напомним, что окончательный поиск уровней энергии производится методом секущих, для которого необходимо задавать условие завершения итераций).

19

Все эти значения можно изменять. Контроль на “разумность” задаваемых величин не проводится, но бессмысленные (например, буква вместо цифры) не будут восприняты, и выход из позиции меню будет заблокирован. 2.2.4

Поиск связанных состояний

Алгоритм поиска уровней энергии связанных стационарных состояний мы уже обсуждали. Выполнение такой задачи компьютером начинается при выборе позиции главного меню En (подтвержденном, как обычно, клавишей h Enter i ). При поиске уровней происходит сканирование интервала энергий от “текущего” значения до границы интервала (Emin, Emax) (при hE > 0 — до Emax). Найденным значениям уровней энергии присваиваются номера, начиная с первого. После того, как будет достигнута граница интервала, поиск заканчивается, а энергия принимает значение Emin. (Поэтому иногда бывает удобно повторить поиск — уже с нижней границы, просто повторно нажав h Enter i ). По мере нахождения уровней энергии эти уровни отображаются (пунктиром) на фоне заданной функции U (x) и выводятся их численные значения. Нередко некоторые уровни оказываются очень близки друг к другу (для этого есть причины). В таком случае программа может пропустить некоторые уровни из-за недостаточно мелкого шага изменения E. (Слишком мелкий шаг замедлил бы расчеты). Сам факт пропуска уровней легко установить по нарушению осцилляционной теоремы, если вывести на экран волновые функции. А интервал, в котором находятся пропущенные уровни, можно видеть, если вывести на экран зависимость коэффициента при растущей экспоненте Bn от энергии (ср с (20)). Чтобы сделать это, нужно перейти от позиции En главного меню в его “левое ответвление” (с помощью клавиши h ← i ) и там выбрать позицию Bn(E). (Кстати, позиция Bn(E) “переселится” после этого в главное меню, и заменить ее на En можно будет с помощью аналогичной последовательности действий). Выполнение программы поиска уровней можно приостановить, нажав клавишу “пробел”, изменить какие-то параметры (обычно — шаг по энергии) и продолжить ее выполнение, нажав h Enter i . 2.2.5

Изменение масштаба

Меню изменения масштаба вызывается клавишей h S i (от ан20

глийского Scale). При исполнении программы поиска уровней, запускаемой в позиции меню En, на экране изображается помимо уровней En график U (x). Масштаб изображения задается указанием границ того участка плоскости (x, U ), который отображается на графическое окно экрана, — способ хорошо известный, например, из практикума “Моделирование физических явлений”. При задании нового поля U (x) автоматически подбирается удобный масштаб. (Можно представить себе задачи, когда изменение масштаба нежелательно. В таких — редких — случаях масштаб придется восстанавливать “вручную”) Если заказать изменение масштаба, когда в главном меню (в ответвлении его) выбрана позиция Bn(E), то будет предоставлена возможность изменять только масштаб по горизонтальной оси, где откладывается коэффициент Bn(E). Кстати, этот коэффициент в типичных случаях может изменяться на много порядков. Поэтому на оси Bn выбран переменный масштаб — при небольших значениях |Bn | линейный, а при больших — логарифмический. Точнее, при |Bn | < 1 выводятся значения Bn , при Bn > 1 выводится 1 + lg Bn , при Bn < −1 выводится −1 − lg |Bn |. Масштаб же по оси энергий можно изменять при другом выборе позиции в главном меню (En или U(x)). 2.3

Изображение волновых функций при E < 0

При E < 0 нас интересует обычно задача определения связанных состояний. Поэтому изображаются волновые функции заведомо удовлетворяющие условию 6 ψx→−∞ → 0. Что касается области x → ∞, то здесь все зависит от того, попадает ли значение E на уровень энергии связанного состояния. 2.3.1

Изображение волновой функции

Изображение волновой функции происходит при подтверждении клавишей h Enter i позиции Re Psi(x) в главном меню. (Для задачи о связанных стационарных состояниях частицы волновая функция всегда может быть выбрана действительной, поэтому Re ψ(x) = ψ(x), но в других задачах будет нужно просматривать и действительную, и мнимую части ψ(x)). Волновая функция будет изображена для текущего значения энергии. 6

Точнее говоря, так изображаются волновые функции при E < E0 . 21

Разумеется, изображать волновые функции связанных состояний можно лишь после того, как их уровни энергии были найдены. Чтобы присвоить энергии значение, отвечающее n-му уровню, следует нажать клавишу n, в результате чего появится меню выбора номера уровня. Сейчас нам нужна в нем лишь первая позиция — выбор номера уровня. Если после выбора номера n нажать клавишу h Enter i , то тут же появится значение энергии этого уровня. Меню выбора номера уровня сопровождается временным уменьшенным изображением найденных уже уровней энергии, облегчающим выбор уровня, интересующего вас. Теперь, если мы не покидали позицию Re Psi(x) в главном меню, то после нажатия клавиши h Enter i появится изображение волновой функции. Уровень ψ = 0 будет указан сплошной прямой. Кроме того появится изображение U (x) и на его фоне пунктиром будет отмечен уровень En . На этот раз меню масштаба (вызов — клавишей h S i ) содержит границы экранного окна для ψ и для x. Изображается волновая функция, нормированная на единицу: Z ∞ |ψ(x)|2 dx = 1. −∞

Иногда при больших x у изображения волновой функции найденного уровня появляется растущий “хвост”, особенно хорошо видимый, если выбрать большое значение границы окна xmax . Это получается потому, что уровень энергии находится не абсолютно точно, а неизбежно с некоторой (заранее обусловленной нами) ошибкой. Изображается та самая волновая функция, которая реально была найдена при заданной точности поиска уровней. Просто коэффициент BN хотя и маленький, но отличен от нуля. (Возможность “спрятать этот грех” предусмотрена в другой позиции главного меню — см. следующий пункт.) При нормировке волновой функции этот коэффициент BN принимается равным нулю. То же самое делается и для волновых функций, которые строятся для значений энергии, не совпадающих с уровнями связанных состояний (нормировка которых на единицу невозможна). Нажав клавишу h C i (Color), можно выбрать цвет изображения. При выборе нового значения n цвет изменяется автоматически. В программе предусмотрен режим “автоматической очистки экрана” перед выводом очередного изображения. Для того, чтобы можно было сравнивать волновые функции разных состояний, этот режим следует выключить, нажав клавишу h F8 i . 22

Возврат к автоочистке — h F7 i . Однократная полная очистка экрана — h F9 i . Еще раз заметим, что за соответствием номеров найденных уровней осцилляционной теореме (числу нулей ψ(x)) программа не следит и это полезно делать самостоятельно, чтобы избежать пропусков некоторых уровней. 2.3.2

Изображение серии волновых функций

Можно изобразить сразу волновые функции всех найденных уровней или какую-то часть их. Для этого нужно в правом ответвлении главного меню выбрать позицию Re Psi(x,n), а в меню выбора номера уровня (клавиша h n i ) указать границы интервала номеров n — nmin и nmax, шаг изменения n — hn и исходное значение n. Особенность изображения волновых функций в этой позиции — заведомое отсутствие возрастающих экспонент при больших x (x > xN ), при их вычислении принято BN = 0. Другого характера серия изображений получится, если в том же ответвлении выбрать позицию Re Psi(x,E). Будет изображаться серия функций с разными, последовательно изменяющимися, значениями энергии. Начальное значение E, шаг и границы области изменения энергии — те, что задаются в “меню энергии” (клавиша h E i ). Если это задание выполняется при включенной автоочистке ( h F7 i ) и малом шаге, то создается впечатление, что функция ψ(x) на глазах деформируется. 2.3.3

Изображение |ψ(x)|2

Все сказанное относительно изображения ψ(x) относится и к изображению |ψ(x)|2 , только для этого задания в главном меню выбирается позиция Psi2(x) (и аналогично — позиции в ответвлении). На первый взгляд, такое изображение не содержит новой существенной информации. Но это вовсе не так. Во-первых, при изображении |ψ(x)|2 подчеркивается различие плотностей вероятности для разных участков координат, во-вторых, более очевидно становится сходство различных состояний, по графикам ψ(x) не очень заметное. 2.3.4

“Трехмерное” изображение волновых функций

В некоторых случаях удается представить комплексную волновую функцию ψ(x) в наглядном виде в осях, изображая вектор (Re ψ, Im ψ) в за23

висимости от x. Для этого предназначены позиции 3D:Psi(x), 3D:Psi(x,E) в ответвлениях главного меню. 2.3.5

Распределение по импульсам

Распределение по импульсам 7 выводится при выборе в главном меню (правое ответвление) позиции Psi2(k). Меню масштаба ( h S i ) при выборе этой позиции позволяет изменять границы окна в плоскости (k, |ϕ|2 ) и шаг изображения по импульсу hk. Поскольку для связанного состояния функция ψ(x) действительна, функция |ϕ(k)|2 оказывается четной. В программе предусмотрен только вывод графика |ϕ(k)|2 в симметричных пределах (хотя это в данном случае — избыточная информация), левый предел по k независимому изменению не поддается. Выводя распределение по импульсам, можно допустить такую же ошибку, как при выводе ψ(x) — не указать нужное значение энергии. Однако ошибку эту труднее заметить. Поэтому можно порекомендовать предварительно просматривать волновые функции в координатном представлении). 2.3.6

Изображение зависимости волновых функций от времени

Это тоже изображение серии волновых функций. В главном меню (правое ответвление) — позиции Psi2(x,t), Psi2(k,t) и т.п. Команда — нажатие клавиши h W i — приводит к меню “создания волнового пакета”. В меню создания волнового пакета выбираем позицию Sum PSIn — выбор связанных состояний, входящих в суперпозицию. В открывшемся подменю позиции имеют смысл: number of states — число состояний, входящих в суперпозицию, energy level number — номер состояния, включаемого в суперпозицию, Можно вывести и волновую функцию в импульсном представлении — ее действительную и мнимую части, такие позиции в меню легко найти; однако надо иметь в виду, что Re ϕ(k) и Im ϕ(k) имеют смысл только вместе, например, при изменении начала отсчета x они “перекачиваются” друг в друга. Поэтому гораздо проще их вывести, чем придумать задачу, где бы это было нужно. 7

24

state number — счетчик числа уже заданных уровней (на него надо только посматривать). После того, как состояния отобраны, возвращаемся в меню “создание волнового пакета”, в позицию Weight. Она приводит в “меню выбора коэффициентов”, с которыми отдельные функции входят в суперпозицию (здесь они обозначены r(j)). Обратим внимание, что по умолчанию задается распределение коэффициентов “гауссовское”, так что все коэффициенты могут оказаться очень маленькими (проще задать все коэффициенты равными, тогда будет легче выбрать масштаб). Здесь же будет уместно рассказать, как задается волновой пакет в непрерывном спектре. Для этого в меню создания волнового пакета выбираем позицию Sum PSIj — выбор состояний c E > 0, входящих в суперпозицию. Открывается подменю, позволяющее задать число слагаемых jmax = number of waves, включаемых в волновой пакет, и некоторый интервал энергий. Этот интервал будет разделен на jmax равных отрезков, и для каждого из полученных значений энергии будет включено слагаемое в суперпозицию. Заметим, что подбор физически осмысленных суперпозиций в этом случае требует уже некоторого искусства. 2.4

Изображение потенциала U (x)

Сама по себе позиция главного меню U(x) используется редко, так как этот график воспроизводится при выполнении других задач. В этой позиции можно изменить цвет графика U (x) (после нажатия клавиши h C i ). Чаще всего нужно бывает ответвление меню от этой позиции, о котором речь далее. 2.4.1

Как задавать поле U (x). Изменяющееся поле

Во многих физических задачах оказывается весьма важным вопрос, как изменяются состояния частиц и уровни их энергии при определенных изменениях потенциала U (x). В программе QUANTX имеется возможность автоматической более или менее плавной деформации потенциала от одного вида (будем называть его начальным U initial ) до другого (конечного, U final ). Подразумевается, что начальный и конечный потенциалы определены на одинаковом числе участков (N initial = N final ≡ N ). Длина каждого из участков dj и значение потенциала на нем Uj изменяются согласно формулам dj (z) = (1 − z)dinitial + zdfinal , j j 25

Uj (z) = (1 − z)Ujinitial + zUjfinal , где z — параметр, значения которого могут изменяться с заданным шагом. Переход от U initial к U final происходит при изменении z от 0 до 1. Чтобы задать такого рода деформацию, нужно задать (любым из описанных уже способов) каждый из потенциалов и объявить их “начальным” и “конечным”. Для этого, задав U initial (x), следует перейти в меню определения потенциала в позицию U initial, нажать клавишу h Enter i , а после запроса, появившегося в тексте меню, еще раз нажать ее же. После этого 8 следует задать потенциал U final (x) и подобным же образом аккредитовать его в позиции U final. 2.4.2

Изображение деформирующегося потенциала

Теперь следует убедиться, что происходит именно такая деформация потенциала, на какую вы рассчитывали. Для этого следует выбрать позицию U(x,z) правого ответвления главного меню (естественно, ответвления от позиции U(x)), включить автоочистку ( h F7 i ) и нажать h Enter i . Нажатием клавиши h z i вы получите доступ к заданию параметров управляющих процессом деформации — z, hz, zmin и zmax. 2.4.3

Уровни энергии в зависимости от степени деформации потенциала

Нужная нам позиция En(z) находится в левом ответвлении главного меню (от позиции En). При ее выборе выполняется двойной цикл — по E и по z. Во внутреннем цикле сканируется энергия от Emin до Emax, находятся и рисуются короткими горизонтальными линиями уровни для потенциала с фиксированным z. Текущее значение параметров E, z отмечается движущейся точкой. Во внешнем цикле z меняется от zmin до zmax. На каждом шаге по z переопределяются потенциал U (x) и горизонтальная позиция для рисования нового столбца спектра. Результатом является серия колонок спектров, из которой легко усматривается зависимость энергии от z для любого уровня с фиксированным n. В зависимости от того, какая именно деформация потенциала наблюдается, параметр z характеризует, например, расстояние между ямами, глубину одной из них и т.п. 8

Порядок, в каком задаются U initial и Ufinal , значения не имеет.

26

2.5

Коэффициент прохождения

Для вывода на экран зависимости коэффициента прохождения от энергии в главном меню есть позиция T(E). Пределы интервала энергий и шаг, с которым график выводится на экран, задаются через меню энергий, масштаб по оси T — через меню масштаба. В левом ответвлении можно найти также позицию R(E) — зависимость от энергии коэффициента отражения. Просмотр графика T (E) естественно сопровождать просмотром серии функций |ψ(x)|2 с разными значениями энергии — это позиция Psi2(x,E) (а также, в каких-то особых случаях, — серий Re Ψ(x, E) и Im Ψ(x, E)). Заметим здесь, что переход к новой, весьма содержательной области физических вопросов не потребовал практически новых сведений об управлении работой программы. 2.6

Как задавать поле U (x). Периодическое поле

Чтобы задать периодическое поле, следует в меню потенциалов, выбрать позицию U(xxN), а затем — вариант periodic, подставив в предлагаемой позиции указанный номер (номер 3). После этого достаточно любым способом задать один период поля. Если мы зададим в периоде несколько одинаковых ям, то получим то же самое поле, какое получилось бы, если задать одну. Необходимо однако иметь в виду, что расчеты в этом случае будут сложнее, такими, как если бы период содержал несколько разных ям. Поэтому будет сложнее добиться желаемой точности. Пределы, в которых будет при этом лежать квазиимпульс, тоже будут иными. Короче говоря, не делайте этого, если не собираетесь специально исследовать результат удвоения периода. Можно задавать и изменяющееся периодическое поле. Это делается так же, как для поля не периодического. Если поле заявлено как периодическое, существенно изменяется главное меню: изменяется текст в одной позиции и содержание других. 2.6.1

Изображение периодического поля U (x)

Изображается несколько периодов поля. Сколько именно — можно задать через меню масштабов h S i .

27

2.6.2

Поиск запрещенных и разрешенных зон

Поиск заказывается так же, как в непериодическом поле заказывался поиск уровней энергии. Номера присваиваются границам зон — всем находимым границам подряд. 2.6.3

Изображение закона дисперсии

Позиция главного меню E(q) приводит к определению разрешенных зон и изображению зависимости энергии от квазиимпульса. 2.6.4

Изображение волновых функций

Для изображения волновых функций используются те же команды, что и в случае ограниченного в пространстве поля. Правда, масштаб по x задается, как и для изображения поля, числом периодов. Именно в случае периодического поля удобно бывает выводить “трехмерное” изображение ψ(x). 2.7

Некоторые добавочные возможности

В программе используется “второй графический лист”, что позволяет в определенных случаях запомнить изображение, а потом вывести его. “Смена листов” производится при нажатии клавиши h F5 i . При нажатии клавиши h F6 i на экране появляется сетка, облегчающая определение численных величин.

3

Задания

Предлагаемый перечень задач подобен задачнику и требует участия преподавателя в выборе заданий. 3.1

Одна потенциальная яма

Предполагается, что задача об определении уровней энергии в симметричной прямоугольной потенциальной яме была решена аналитически.

28

3.1.1

Уровни и волновые функции в широкой яме

Зададим яму достаточно широкую и глубокую, например, ширины a = 10 и глубины U = −10. Попытайтесь определить до начала расчетов, сколько уровней в этой яме. Позвольте машине найти уровни энергии. Почему они сгущаются к дну ямы? Для ответа на этот вопрос просмотрите несколько волновых функций (заранее предсказывая, сколько узлов имеет та или иная из них). Обратите внимание, как изменяется глубина проникновения “в стенку” по мере роста энергии. По виду волновых функций определите, какие импульсы частицы наиболее вероятны в состоянии с номером n? * Определите силу давления частицы на стенку и сопоставьте с оценками, сделанными по классической механике. (Для этого удобно вывести на экран зависимость |ψ(x)|2 ; имейте в виду, что волновые функции связанных состояний выводятся нормированными, а масштабы будут написаны около осей координат.) Нарисуйте распределения по импульсам |ψ(k)|2 для разных n. В чем эти графики сходны с распределениями по импульсам для классической частицы в прямоугольной потенциальной яме? Почему пик для основного состояния заметно выше и шире остальных? Почему наиболее вероятные импульсы линейно растут с номером уровня? Как меняется средняя кинетическая энергия частицы при этом? * Вполне возможно, что все предыдущие картинки вы могли бы изобразить качественно и без компьютера. Но распределение по импульсам для самого верхнего уровня может оказаться неожиданным. (Этот уровень в нашей яме имеет энергию очень близкую к нулю и поэтому его трудно найти без уменьшения шага по энергии hE и показа зависимости Bn(E)). Объясните, почему импульсное распределение именно так отличается от распределения для предпоследнего уровня. Проверьте правильность своего объяснения, слегка изменив глубину потенциальной ямы. * Узкая (она же — мелкая) потенциальная яма. Потенциалом U = −gδ(x) имитируется яма, для которой g = |U |a, |U |a2 ¿ 1. (Такой потенциал удобен для аналитического решения задачи). Выбор, например, a = 0.1, U a = −10 позволит без осложнений наблюдать особенности решения. Нужно только выбрать масштаб xmax ≈ xmin À a. * На каком расстоянии от бесконечной стенки “дельта”-яма лишится уровня? Эту задачу проще решить на бумаге, а затем проиллюстриро29

вать ответ на компьютере. 3.1.2

Волновой пакет, аналогичный движению классической частицы между стенками

Найдите уровни энергии в верхней половине широкой ямы (a = 50, U = −20.) Из десяти состояний с энергиями En > −10 сформируйте суперпозицию волновых функций с гауссовскими весами гармоник. Масштаб по x ограничьте размером ямы, чтобы “хвосты” ψ(x) не мешали изображениям. Наблюдайте временную эволюцию (позиции меню Re Psi(x,t), Psi2(x,t), 3D: Psi(x,t), Psi2(k,t)). Выберите приемлемые tmax, ht. Почему на ранних стадиях графики с плавными зависимостями |ψ(x)|2 периодически чередуются с быстро осциллирующими |ψ(x)|2 ? Какие импульсные распределения соответствуют эти двум случаям? Почему при больших t не работает аналогия с движением одной частицы? Сформируйте суперпозицию только из функций одинаковой четности, наблюдайте столкновение пакетов. 3.1.3

Штарковский сдвиг уровней для одной ямы

Введите “возмущение” — добавки к потенциалу разных знаков для двух половин первоначально прямоугольной ямы с двумя уровнями. Это простейшая имитация действия внешнего электрического поля на электрон в яме (можно несколькими ступеньками моделировать линейную зависимость возмущения от координаты). Как изменится ψ по сравнению с волновой функцией в прямоугольной яме? Для нижнего уровня естественно ожидать “перетекания” ψ в более глубокую часть ямы, а для возбужденного? Чтобы заранее представить результат, вспомним о взаимной ортогональности ψn (x). Аналогия довольно отдаленная, но не неправильная: гимнаст на перекладине — нижнее состояние — висит, как мешок с сеном, возбужденное — делает “солнышко”. В связи с изменением ψ(x) очевиден механизм “эффекта Штарка” 9 , т.е., “углубления” первого уровня и “подрастания"второго. Частица окаЭффект Штарка — это расщепление спектральных линий атома, помещенного в электрическое поле. Эффект обусловлен сдвигом уровней энергии 9

30

зывается смещенной в область отрицательного или положительного δU . Поэтому E = hHi меняется в соответствующую сторону. 3.2

Пара одинаковых ям

Предполагается, что уровни энергии и волновые функции в поле U = −gδ(x) − gδ(x − b) будут найдены аналитически. 3.2.1

От одной ямы к паре ям

Пусть посередине потенциальной ямы “вырастает” узкий потенциальный барьер. На какие из уровней, четные или нечетные, больше повлияет появление барьера? Объясните попарную группировку уровней. Почему в случае высокого барьера окажется E2 − E1 ¿ E4 − E3 ? 3.2.2

Связывающие и разрыхляющие состояния. Ковалентная связь атомов в молекуле

Постройте волновые функции для пары одинаковых ям. Если барьер между ямами достаточно широк, то можно понять, из каких состояний в одной яме “произошли” состояния в паре ям. По виду |ψ(x)|2 для двух одинаковых ям скажите, в каком из состояний наименьшее (т.е. наибольшее по модулю) значение имеет средняя потенциальная энергия частицы. По давлению частицы в этом состоянии на внешние и внутренние “стенки” скажите, притягиваются ли ямы друг к другу? В каких состояниях частица стремится сблизить ямы? Получите зависимость уровней энергии от расстояния между ямами. Яму можно считать грубой моделью атома, а пару ям — примитивной, но верной по существу моделью двухатомной молекулы. Различие |ψ|2 возле внутренних и внешних стенок, а также рост или уменьшение En (b) с увеличением b иллюстрирует взаимодействие атомов в молекуле, наличие связывающих и разрыхляющих состояний электрона в молекуле, образование ковалентной связи. (При этом следовало бы вспомнить, что такое адиабатическое приближение — вопрос, известный из аналитической механики). Другая интерпретация |ψ|2 для двух ям — взаимное расположение атома азота и плоскости с атомами водорода в молекуле аммиака, NH3 , 31

имеющей форму пирамиды. Если ввести в качестве координаты x расстояние от плоскости H3 до атома N, то зависимость потенциальной энергии от x — пара ям. В стационарных состояниях “водородный треугольник” с равной вероятностью находится в каждой из потенциальных ям. При включении электрического поля происходит поляризация, разная для основного и возбужденного состояний, что и позволяет “сортировать” молекулы при их пролете через квадрупольную линзу. Переходы между антисимметричным и симметричным состояниями H3 в такой паре потенциальных ям используются в аммиачном мазере. 3.2.3

Дифракция на открытом конце пары волноводов

Еще одна интересная интерпретация состояний в паре ям состоит в трактовке пары ям как поперечного сечения двух связанных волноводов. Объясните вид графиков |ψ(k)|2 для первого и второго уровней по аналогии с дифракцией частиц на открытом конце пары связанных плоских волноводов или на двух щелях (kx /kz = tgθ ≈ θ, где θ — угол дифракции). Какой была бы картина дифракции |ψ(k)|2 , если бы ямы находились далеко друг от друга? Как соотносятся огибающая кривой |ψ(k)|2 для пары ям с |ψ(x)|2 для основного состояния в одной яме? Удаленные друг от друга ямы удобно получить, выбрав их узкими. 3.3 3.3.1

Локализация и делокализация частицы в паре ям Пара разных ям

Поляризацию молекулы внешним полем, а также образование ионной связи в молекулах из разных атомов, можно моделировать небольшим углублением одной из ям. Сделайте это. Как изменилась |ψn (x)|2 по сравнению с симметричным случаем? 3.3.2

“Поляризация” молекулы

Пусть из двух ям одинаковой ширины одна заметно глубже другой. Будем деформировать поле так, чтобы одна яма становилась мельче, а другая — глубже, так что в конце концов они поменяются ролями. Получите зависимость уровней энергии от разности глубин ям ∆U . Изменение энергии можно интерпретировать как энергию поляризации. 32

Какой интервал ∆U отвечает постоянной поляризуемости, а какой — насыщению поляризации? Как можно использовать поляризацию молекул аммиака для отделения возбужденных от невозбужденных? 3.3.3

Осцилляции дипольного момента в паре ям

Предположим, что “частица” H3 находится в основном состоянии поляризованной электрическим полем молекулы аммиака, так что волновая функция приближенно описывается выражением ψ(x) = (ψ1 (x) + √ ψ2 (x))/ 2, где ψn — волновые функции в отсутствие поляризации. Как будет меняться волновая функция частицы во времени после того, как внешнее электрическое поле внезапно исчезло? Какими характерными временами описывается динамика ψ и |ψ|2 ? Решите задачу сначала аналитически, а затем посмотрите на компьютере, как эволюционирует во времени суперпозиция симметричного и антисимметричного состояний в двух одинаковых ямах. Может ли частица в этом нестационарном состоянии излучать электромагнитные волны? А если смешиваются состояния одинаковой четности? 3.3.4

Вариации на тему локализации и делокализации

** Рассмотрите случай трех узких одинаковых ям на разных расстояниях больших чем 1/κ и случаи, когда расстояния между ямами равны, две ямы одинаковы, а одна (центральная или крайняя) является более глубокой. Изобразите уровни энергии и соответствующие им волновые функции. Ответы сначала нарисуйте на бумаге, а затем проверьте на компьютере. ** То же самое для ямы с бесконечной стенкой и двумя уровнями, расположенной возле ямы удвоенной ширины. 3.4

Одномерный “кристалл”

Можно получить первоначальные представления о состояниях электрона в поле кристалла, рассматривая поле нескольких одинаковых потенциальных ям. Стоит просматривать по крайней мере два варианта: ямы, каждая из которых поодиночке имела бы два–три уровня, и узкие ямы.

33

3.4.1

Уровни в поле нескольких одинаковых ям

Задайте потенциал из нескольких одинаковых ям, объясните наличие “зон” в спектре уровней. Почему различаются ширины 1-ой и 2-ой “зон”? По виду волновой функции для краев и центра зон скажите, притягивает или отталкивает частица ямы. Сравните волновые функции и |ψ(x)|2 для состояний равноотстоящих по n от краев зоны (например, второго и предпоследнего в зоне). 3.4.2

Уровни в поле нескольких узких ям

Сопоставьте уровни энергии и волновые функции для “кристалла”, образованного многими (8–12) узкими ямами и для одной ямы, ширина которой совпадает с шириной “кристалла”, а глубина — с усредненным полем. Так удается “объяснить” нижнюю часть зоны. Лучшее понимание верхней будет возможно после знакомства с задачей о периодическом поле. 3.4.3

Металлическая связь

Нарисуйте зависимость спектра уровней от расстояния между ямами. Укажите, в каких состояниях частица стремится сблизить ямы, а в каких — оттолкнуть? Если интерпретировать ямы, как атомы металла, то нужно принять, что каждый атом поставляет по одному электрону, а на каждом уровне может быть не больше двух электронов. 3.4.4

Таммовский поверхностный уровень

Предскажите изменение спектра и волновых функций для нескольких одинаковых ям (с достаточно узкой нижней “зоной”) при установке бесконечной стенки в точке x = 0 (модель поверхности кристалла с большой работой выхода электронов). 3.4.5

Примесь в одномерном кристалле

Слегка расширьте или сделайте уже одну из нескольких одинаковых ям, объясните изменения спектра и волновых функций, которые при этом произойдут. Рассмотрите случаи с симметричным и несимметричным расположением “примеси”. Объясните эффекты попарной группировки уровней в зоне (в первом случае) и смены области локализации частицы с повышением n (во втором случае). Удобно выбрать поле из 8–10 ям. 34

3.4.6

Дополнительные задания и вопросы

** Что происходит со средней кинетической энергией частицы в основном состоянии при переходе от одной ямы (атома) к кристаллу? ** Рассмотрев изменение спектра при “отрастании” гребенки узких барьеров на дне широкой ямы, объясните неподвижность некоторых состояний и образование “зон”. Образуются ли зоны, если барьеры заменить ямами? ** Пусть средняя из трех узких ям сместилась из своего центрального положения. При каком состоянии электрона он создает силу, стремящуюся вернуть яму на место? ** Как будет выглядеть эволюция во времени суперпозиции состояний в нижней зоне в случае гауссовского распределения весов гармоник волнового пакета. Будет ли движение периодическим, как в случае двух ям? 3.5

Прохождение частиц через барьеры

Зная решение задачи о прохождении частицы над прямоугольной потенциальной ямой, выберите условия, когда будут наблюдаться большие осцилляции в зависимости коэффициента прохождения от энергии. Как повлияет сглаживание краев ямы на эту зависимость? (Можно заменить стенку лесенкой). 3.5.1

“Резонатор”

Для пары барьеров в области энергий, для которых один барьер почти непрозрачен, возникают узкие области прозрачности. Основываясь на знаниях об интерферометре Фабри-Перро, предскажите эти энергии. Как выглядит |ψ(x)|2 в максимуме прохождения? Сравните энергии максимумов T (E) с уровнями энергии в потенциальной яме, ширина которой равна расстоянию между барьерами, а глубина совпадает с их высотой? Будет ли достигаться полное прохождение при разных барьерах? 3.5.2

Три барьера

Какими окажутся области прозрачности при увеличении числа барьеров до трех? Как скажется на форме области прозрачности изменение прозрачности среднего барьера? 35

3.5.3

Несимметричные барьеры

Проверьте, что коэффициент прохождения не меняется, если частицы падают на барьер с другой стороны. (Пользуясь программой QUANTX, переворачивать придется барьеры). Как изменяется при таком обращении |ψ(x)|2 ? (Для аналогичного явления в электродинамике этот эффект важен, так как может повлиять на степень нелинейности). 3.5.4

Появление запрещенных зон при больших энергиях

Проследите за появлением зон непрозрачности при надбарьерном прохождении с увеличением числа барьеров. Как меняется глубина провалов T (E) между соседними “зонами” резонансов T ∼ 1 при изменении числа одинаковых ям? Как выглядит волновая функция в области этих провалов (главных максимумов брэгговского отражения при нормальном падении волн)? 3.5.5

Надбарьерные резонансы

Как изменяется |ψ(x)|2 с повышением E от 0 до энергий значительно превосходящих высоту барьера V ? В чем сходство распределений частиц по x в квантовом и классическом случаях, когда E > V ? 3.5.6

Столкновение волнового пакета с прямоугольным барьером

Промоделируйте прохождение “гауссовского” волнового пакета над прямоугольным барьером, распад пакета на прошедший и отраженный, “накачку” резонатора, внутрибарьерные движения частиц и распад “квазистационарного” состояния в случае, когда пакет по энергии окружает только нижний надбарьерный резонанс (края пакета Emin и Emax взяты на полувысоте резонансного пика коэффициента прохождения). 3.5.7

Дополнительные вопросы

** Пусть добротность барьера-резонатора есть квадрат отношения амплитуды волны в резонаторе к амплитуде падающей волны. Как изменяется добротность резонатора при повышении номера (энергии) резонанса? ** Как меняется положение резонансов и добротность резонатора с уменьшением высоты прямоугольного барьера? 36

** При малом коэффициенте отражения (R ∼ 0.01) в области перекрытия падающей и отраженной волн модуляция волновой функции весьма велика (ψmax /ψmin ∼ 1.5). Почему? ** Как меняется фаза отраженной волны при переходе через резонансное состояние? ** Для энергии надбарьерного резонанса без компьютера нарисуйте |ψ(x)|2 в случае двух одинаковых барьеров и барьера утроенной ширины. Какими будут в этих случаях коэффициенты прохождения? ** Исследуйте и опишите картину движения волнового пакета с гармониками вблизи надбарьерного резонанса в случае нескольких одинаковых барьеров. ** Как изменится зависимость T (E) при сглаживании краев прямоугольного барьера? Сохранятся ли надбарьерные резонансы? 3.5.8

Виртуальные уровни. Эффект Рамзауэра в одномерном случае

Рассматривается отражение от широкой ямы (U = −10, a = 10). Назовем виртуальными уровнями состояния с E > 0, при которых яма прозрачна. Найдите аналитически их энергии и промоделируйте превращение виртуального уровня в реальный при небольшом углублении ямы. 3.5.9

Столкновение волнового пакета с прямоугольной ямой

Рассмотрите столкновение волнового пакета “гауссовской” формы из состояний с E > 0 с не очень широкой прямоугольной ямой. Наблюдайте распад пакета на прошедший и отраженный. Чем объяснить более частые осцилляции |ψ(x, t)|2 в яме по сравнению с теми, которые наблюдаются в области отражения? Почему нет осцилляций с противоположной стороны? Почему плотность вероятности в яме не бывает больше чем в ее окрестности? Убедитесь в этом для пакета “настроенного” на виртуальный уровень. 3.6 3.6.1

Периодическое поле Разрешенные и запрещенные зоны в периодическом потенциале

Находя разрешенные и запрещенные зоны, не забудьте задать границы (Emin, Emax) и области поиска не меньшими, чем размер области, выводимой на экран . Как меняются ширины разрешенных и запрещенных зон с ростом E?

37

Просмотрите Re ψ(x), Im ψ(x) и трехмерное изображение ψ(x) для краев зон и для близких к краям значений энергии (как в разрешенных, так и в запрещенных зонах). По трехмерному изображению ψ(x) проследите за изменением квазиимпульса с ростом энергии от дна нижней разрешенной зоны. 3.6.2

Модель состояний электрона в молекуле бензола

Поле шести одинаковых ям моделирует молекулу бензола. Какому условию должна удовлетворять волновая функция, чтобы быть однозначной на кольце? Какие при этом возможны значения qL на интервале (−π, π)? (L — период) Сколько уровней энергии получится, какие из уровней вырождены? Как они будут населены шестью свободными электронами с учетом принципа Паули? Для поиска уровней можно либо изменить число ям на периоде, (Нужные E можно найти и без изменения числа ям на периоде, выводя E(q) с малым шагом hE вплоть до заданной по клавише h k i границы qmax). 3.6.3

Пайерлсовский переход металл-диэлектрик

Нарисуйте зависимость зонного спектра En(z) от величины смещения каждого второго атома из положения равновесия, так что период сохраняется. Пусть зона была первоначально заполнена наполовину, т.е. каждый “атом” содержал один “лишний” электрон. Это была модель металла — сколь угодно малое внешнее электрическое поле было способно вызвать переходы на незаполненные уровни и, тем самым, ток. Сохраняется ли металлическое состояние при попарном смещении атомов друг к другу? Будут ли силы, с которыми электроны действует на решетку, возвращать сдвинутые атомы к положению равновесия? ** Как связаны импульс частицы и квазиимпульс в случае слабого периодического поля U (x)? Каким будет импульсное распределение в этом случае для нижнего края нижней зоны и внутри нее? Каким будет закон дисперсии? Как связана скорость частицы и dE/dq? Как меняется импульсное распределение при изменении E в окрестности точки qL = π? Как изменится |ψ(x)|2 при переходе от верхнего края нижней зоны к нижнему краю второй? ** Как выглядит закон дисперсии в случае двух одинаковых ям на периоде и в случае попарно сдвинутых друг к другу ям? Как изменится закон дисперсии, если одну из нескольких одинаковых ям на периоде 38

сделать глубже или мельче остальных? (Модель образования минизон в сверхрешетке). Как зависит минизонный спектр от глубины этой ямы? Как меняется вид |ψ(x)|2 с повышением номера минизоны? XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX К сожалению, вопросы, относящиеся к центральному полю, сейчас в неудобном для транспортировки виде. [email protected]

39

Глеб Леонидович Коткин Виталий Анатольевич Ткаченко Ольга Александровна Ткаченко

[email protected] [email protected] [email protected]

КОМПЬЮТЕРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

—————————————————————————– Подписано в печать 19.06.96 Формат 60x80/16 Печать офсетная Уч.-изд.л. 4.25 Тираж 300 экз. Заказ N o 284 —————————————————————————– Редакционно–издательский отдел Новосибирского университета, участок оперативной полиграфии НГУ; 630090, Новосибирск – 90. ул. Пирогова, 2. 40